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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.A∪(C R B)=R
【答案】A
【解析】由
，则
，所以
，
所以
，又
，
所以
，则
，
.
故选：A．
2．若复数
满足
，其共轭复数为
，则下列说法正确的是（ ）
A.
对应的点在第一象限
B.
C.
的虚部为
D.
2.【答案】B
【解析】由
两边乘以
得，
，
所以
对应点
在第四象限，
的虚部为
，
，
，
所以B 选项正确，ACD 选项错误.
故选：B
1
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3．一组数据
满足
，若去掉
后组成一组新数据.则新数据与原数
据相比（ ）
A. 极差变大
B. 平均数变大
C. 方差变小
D. 第25 百分位数变小
3.【答案】C
3.【解析】由于
，
故
，
，……，
，
，
A 选项，原来的极差为
，去掉
后，极差为
，极差变小，A 错误；
B 选项，原来的平均数为
，
去掉
后的平均数为
，平均数不变，B 错误；
C 选项，原来的方差为
，
去掉
后的方差为
，
方差变小，C 正确；
D 选项，
，从小到大排列，选第3 个数作为第25 百分位数，即
，
，故从小到大排列，选择第3 个数作为第25 百分位数，即
，
由于
，第25 百分位数变大，D 错误.
故选：C
4．将甲、乙等8 名同学分配到3 个体育场馆进行冬奥会
志愿服务，每个场馆不能少于2 人，则不同的安
排方法有（ ）
A. 2720
B. 3160
C. 3000
D. 2940
4.【答案】D
【解析】共有两种分配方式，一种是
，一种是
，
故不同的安排方法有
.
故选：D
5．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，且
为边
上的高，
2
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为边
上的中线，则
的值为（ ）
A. 2
B. －2
C. 6
D. －6
5.【答案】D
【解析】
因为
为边
上的中线，所以
，
又BE 为边AC 上的高，
所以
，且在
中，
，
所以
.
故选：D.
6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积．如图，
，
为椭圆
：
的左、右焦点，中心为原点，椭圆
的面积为
，直线
上一点
满足
是等腰三角形，且
，则
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.【答案】B
3
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【解析】由题可知，
，即
，
是以
为顶角的等腰三角形，
则有：
，
，
，
所以
，又因为
，即
，
，
可得：
，解得
，故离心率为
．
故选：B．
7．若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.【答案】C
【解析】因为
，解得
，
所以，
.
故选：C.
8
．
已
知
函
数
的
定
义
域
为
为
的
导
函
数
且
，若
为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
5
C.
D.
8.【答案】D
【解析】对于D，
为偶函数，则
，
4
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两边求导可得
，则
为奇函数，
则
，令
，则
，
，D 对；
对于C，令
，可得
，则
，C 错；
对于B，
，可得
，
可得
，
两式相加可得
，
令
，即可得
，B 错；
又
，
则
，
，可得
，
所以
是以
为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出
，A 不一定成立.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若
两组成对数据的样本相关系数分别为
，则
组数据比
组数据的相关性
较强
B. 若样本数据
的方差为2，则数据
的方差为8
C. 已知互不相同的30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28 个数据的22%分位数不等于原
样本数据的22%分位数
D. 某人解答5 个问题，答对题数为
，若
，则
9.【答案】BCD
【解析】对于A，因为
，即
组数据比
组数据的相关性较弱，故A 错误；
对于B ，若样本数据
方差为
，则数据
的方差为
5
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，故B 正确；
对于C，将这原来的30 个数从小大大排列为
，则
，所以原来的22%分位数为
，
若去掉其中最大和最小的数据，剩下28 个数据为
，则
，所以剩下28 个数据的
22%分位数为
，
由于
互不相同，所以C 正确；
对于D，某人解答5 个问题，答对题数为
，若
，则
，故D 正确.
故选：BCD.
10．已知定义域在R 上的函数
满足：
是奇函数，且
，当
，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
的周期
B.
C.
在
上单调递增
D.
是偶函数
10.【答案】BC
【解析】由于
是奇函数，所以
，则
又
，
则
，
所
以
，所以
的周期为8，A 错误，，
，故B 正确，
根据函数的性质结合
，
，作出函数图象为：
6
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由图象可知：
在
上单调递增，C 正确，
由于
的图象不关于
对称，所以
不是偶函数，D 错误
故选：BC
11．已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则（ ）
A. 当
时，
B.
C. 数列
单调递增，
单调递减
D. 当
时，恒有
11.【答案】ACD
【解析】由题意可得：
，
，
由
可知：
，但
，
可知对任意的
，都有
，
对于选项A：若
，
则
，
即
，故A 正确；
对于选项B：
，
即
，故B 错误.
对于选项C：因为
，
，
则
，且
，
7
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可知
是等比数列，则
，
设
，
，
可得
，
，
因为
，可知
为递增数列，
所以数列
单调递增，
单调递减，故C 正确；
对于选项D：因为
，
，
由
，可得
，即
，则
，即
；
由
，可得
，即
，则
，即
；
以此类推，可得对任意的
，都有
，
又因为
，则
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.已知向量
，
为单位向量，且满足
，则向量
在向量
方向的投影向量为
8
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________
12.【答案】
【解析】因为
，所以
，即
，
又
，
为单位向量，则
，
，
所以向量
在向量
方向的投影向量为
.
故答案为：
13．若函数
在区间
内没有零点，则正数ω 的取值范围是____．
13.【答案】
【解析】由
，可得
，即
，
令
，则
又
在区间
内没有零点，
则区间
内不存在整数，
又
，则正数ω 满足
，
则
，则
，解之得
，
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则正数ω 的取值范围是
.
故答案为：
14．函数
，若
，则
的最小值为___________.
14.【答案】
【解析】因为
的定义域为
，
，所以
在
为增函数，
，所以
，
又
，
在
为增函数，所以
，即
，
因为
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，满足
，且
，
，
10
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成等比数列.
（1）求
；
（2）若
，求
.
【解析】（1） 由正弦定理及
，得
，（2 分）
即
，（4 分）
由余弦定理得
，
所以
，（5 分）
因为
,
,
成等比数列，所以
，（6 分）
所以
.（7 分）
（2）因为
，整理得
，（8 分）
因为
，所以
，所以
，（10 分）
代入
得
，（12 分）
则根据正弦定理有
.（13 分）
16．（15 分）
已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一象限的交点为
，
且
点的横坐标为6．
（1）求抛物线
的方程；
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（2）过点
的直线与抛物线
相交于
，
两点，
关于
轴的对称点为
，证明：直线
必过定点．
【解析】（1）设点
的坐标为
，因为点
在第一象限，所以
，（1 分）
双曲线
的渐近线方程为
，（2 分）
因为点
在双曲线的渐近线上，所以
，（3 分）
所以点
的坐标为
，（4 分）
又点
在抛物线
上，所以
，所以
，（5 分）
故抛物线的标准方程为：
；（6 分）
（2）设直线
的方程为
，联立
，消
得，
，（8 分）
方程
的判别式
，即
，（9 分）
设
，则
，（10 分）
设
关于
轴的对称点为
， （11 分）
则直线
的方程为
，（12 分）
根据抛物线的对称性可知定点必定在
轴上，
令
得：
（13 分）
．（14 分）
直线
过定点
．（15 分）
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17．（15 分）
如图，三棱柱
中，侧面
与底面
垂直，且
，
，
为
侧棱
的中点，三棱锥
的体积为
.
（1）求三棱柱
的高；
（2）已知点
在
上，且
，若
平面
，求实数
的值；
（3）若
，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【解析】（1） 因为
平面
，
所以
，
又
，所以
，（1 分）
在
中，
，
，
所以
，（2 分）
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所以
，
所以
，（3 分）
设三棱柱
的高为，则
，解得
；（4 分）
（2）设
的中点为
，连接
、
，
因为
且
，所以四边形
为平行四边形，（5 分）
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，
，
平面
，（6 分）
所以平面
平面
，又平面
平面
，平面
平面
，
所以
，（7 分）
因为
为
的中点，所以
为
的中点，
所以
，即
；（8 分）
（3）过点
作
于点
，连接
，
因为侧面
与底面
垂直，侧面
底面
，
所以
平面
，（9 分）
因为
且
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，（10 分）
又
平面
，所以
，
如图建立空间直角坐标系，因为
平面
，所以
，
，则
，
，
，
，
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因为
，则
，
所以
，则
，
又
，
，（11 分）
设平面
的法向量为
，
则
，取
，（12 分）
又
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，（13 分）
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，（14 分）
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.（15 分）
18．（17 分）
2025 年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C 三个工程队负责从冰冻的江中采
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出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C 三
个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，
0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过
程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
（1）若只取1 块，求它是由B 队所采的概率；
（2）若抽取2 块，其中由A 队采出的冰块数记为
，求
的分布列和数学期望；
（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块
的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
【解析】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块
抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C 三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，（2 分）
所以若只取1 块，它是B 队所采的概率为
.（3 分）
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果
影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C 分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C 二个队分別采回的，（4 分）
与（1）同理可求得若只取1 块，则
，（5 分）
由B，C 两队所采的概率为
.（6 分）
依题意可知
的取值为0，1，2，且
.（7 分）
所以
，
，
，（9
分）
所以
的分布列为：
0
1
2
P
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数学期望
.（10 分）
（3）设事件
表示冰块被利用，由（2）知
，
.（11 分）
所以
，
，
.（12 分）
又
（13 分）
，（14 分）
即今年冰块的利用率约为0.67.（15 分）
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约
.（16 分）
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.（17 分）
19．（17 分）
已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
，求
的取值范围；
（3）若
的定义域为
，求
的取值集合.
【解析】（1）当
时，
.（1 分）
.（3 分）
故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.（4 分）
（2）
，即
.
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①当
时，
，原不等式恒成立.（5 分）
②当
时，令函数
，
所以
在
上单调递增.
令
，解得
.（6 分）
当
时，
，原不等式恒成立
当
时，
，原不等式等价于
，
化简得
.
令函数
.（7 分）
若
，则当
时，
恒成立，即原不等式恒成立.
若
，则存在
，
所以
0 不恒成立，即原不等式不恒成立.（8 分）
若
，则
在
上单调递减.
因为
，（9 分）
所以当
时，
，即原不等式恒成立.
综上，
的取值范围为
.（10 分）
（3）当
时，由（2）可得
，不符合题意.（11 分）
当
时，
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，不符合题意（12 分）
当
时，
满足
，符合题意.（13 分）
当
时，
，解得
或
，
所以
的定义域为
.（14 分）
.
要使得
，则必须满足
，
即
，解得
（
舍去）.
当
时，
的定义域为
，
.
当
时，
.
当
时，
，（15 分）
.
在
上单调递减，在
上单调递增.（16 分）
因为
，所以
，满足题意.
综上，
的取值集合为
.（17 分）
19
