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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考江苏专用）·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
B
A
A
B
D
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
BCD
ABD
BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．12
14．47
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【解析】（1）因为四边形
为菱形，所以
⊥
，
因为平面
平面
，
为交线，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
因为平面
平面
，
为交线，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
因为
，
平面
，
1
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所以
平面
；（5 分）
（2）由（1）知，
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
，则
，
，
设
，
，则
，
，（7 分）
设平面
的一个法向量为
，
，
令
得
，故
，（9 分）
直线
与平面
所成角的正弦值为
，
即
，（10 分）
化简得
，负值舍去，则
，
平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
夹角为
，
，
2
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所以平面
与平面
夹角余弦值为
.（13）
16．（15 分）
【解析】（1）设等差数列
公差为
成等比数列，则
，
所以
，解得
或
（舍去），所以
；（4 分）
（2）设
，当
时，
单调递减，
，所以
，由（1）可知
，
则有
，所以不等式
恒立．（8 分）
（3）因为
，所以要证
，
只需证：
，（10 分）
根据（2）可知
，那么
，
（13 分）
，
所以
.（15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）记附近居民第
天选择路线
分别为事件
，
依题意，
，
，
，
3
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则由全概率公式，得居民第二天选择路线
散步的概率
；（3 分）
记第二天选择路线
散步的人数为
，则
，
则
，
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
故
的数学期望
．（8 分）
（2）（i）当第
天选择路线
时，第
天选择路线
的概率
；
当第
天选择路线
时，第
天选择路线
的概率
，
所以
.（10 分）
（ii）由（i）知
，则
，而
，
于是数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
因此
，即
，
，
当
时，
，而
，
4
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所以
；（13 分）
当
时，
，而
，
所以
，
所以
.（15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）当
时，
，设
为
与
的一个公共点
，
，
切点
与
在公共点处的切线方程为
．（5 分）
（2）设
为
与
的一个公共点，
，由
，
代入①，
，
（8 分）
令
当
时，
在区间
单调递增；
当
时，
在
单调递减，当
时，
，
，
5
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当且仅当
时取“
”，
．（11 分）
（3）由（2）知，
证：
时，
，
即证：
对
恒成立（13 分）
令
，
当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
单调递增,
当
时，
，故函数在
时取最小值
，
，证毕！（17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）双曲线
，
双曲线
的离心率
.（4 分）
（2）①证明：由题意将与双曲线联立，
，
化简得
，
，
，
同理将
与双曲线联立，
，同理可得
，
6
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（8 分）
同理
，
，
．
从而可证
．（12 分）
②由（1）可知，当
时，
且
，
直线
方程为：
，且
，
则
到
的距离
，
，（13 分）
令
，则
，
令
，解得
，
7
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当
时，
单调递增；当
时，
单调递增，
，
，（15 分）
又因为
时，
，
．
从而可证
．（17 分）
8
