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第十九讲
排列组合之平均分堆、环形、错位与重复
排列
✎错位排序：
1、2、3、4、5 个元素的错位排序共有0、1、2、9、44 种情况，需要记忆。
例题1（2014 北京）
相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4 个车位，要
求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A．9
B．12
C．14
D．16
【参考答案】：A
【参考解析】：由“要求所有车不得停在原来的车位”可知，本题属于特殊情境中的错位排
序问题，4 个元素的错位排序共有9 种情况，即一共有9 种不同的停放方式。
例题2（2015 山东）
某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接
收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
A．120
B．78
C．44
D．24
【参考答案】：C
【参考解析】：“5 个科室各抽调一名工作人员交流到其他科室”，即5 人均不回到原科室，
属于特殊情境的错位排序；5 个元素的错位排序有44 种可能。
例题3（2017 上海）
元宵节时某单位工会组织猜灯谜活动，需要在标号1、2、3、4 四个灯笼上贴上四道不
同难度的谜语，1 号灯笼对应难度最低的灯谜，2、3、4 号灯笼对应灯谜的难度依次递增。
工作人员安排了一位志愿者帮忙贴灯谜，但由于匆忙忘记告诉志愿者灯谜的难度，那么灯谜
位置全部贴错的概率是多少？
A．
3
8
B．
5
12
C．
1
3
D．
1
24
【参考答案】：A
【参考解析】：本题属于特殊情境中的错位排序，一共有A44＝24 种排法，4 个元素的错位
排序对应9,则全排错的概率= 9
24
= 3
8
。
例题4（2017 年国考）
某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训。培训后再将5 人随机分配到
这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训后返
回原分公司的概率？
A．低于20%
B．在20%～30%之间
C．在30%～35%之间
D．大于35%
【参考答案】：A
【参考解析】：全部的情况：5 个人回到5 个不同的公司，即A55；符合要求的情况：先选
出返回原分公司的1 人(C51)，“剩余4 人均未回到原分公司”属于特殊情境的错位排序，4
个元素的错位排序，共有9 种情况；则有且仅有1 人返回原公司的概率=
5
5
1
5
A
9
C
＝37.5%.
✎环形排列：
n 个元素环形排列，共有
1
n
1
n
A
种排列方式。
例题5（2021 云南）
两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相邻的概率为
多少？
A．
2
5
B．
3
5
C．
1
3
D．
2
3
【参考答案】：B
【参考解析】：由题意可知是环形排列问题，则所有可能情况为（6-1）！=120 种，两个大人
相邻的概率即为两个大人捆绑再排列，即为
48
1
5
2
2
！
A
，所以两个大人不相邻的概率
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为
5
3
120
48
120
。
例题6（2012 年国考）
有5 对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10 个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者
并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5 对夫妇恰好都被安排在一起相邻而
坐的概率是多少？
A．在1‰到5‰之间
B．在5‰到1%之间
C．超过1%
D．不超过1‰
【参考答案】：A
【参考解析】：全部的情况：10 人安排在一张圆桌，符合特殊情境中的环形排列，即A99；
符合要求的情况：“5 对夫妇在圆桌上各自相邻而坐”，符合特殊情境中的相邻问题和环形排
列，可先使用捆绑法，将5 对夫妇看做为5 个元素，5 个元素的环形排列为A44，之后再将
每对夫妇进行排序，即A22×A22×A22×A22×A22；
综上，5 对夫妇恰好都被安排一起的概率＝A44×A22×A22×A22×A22×A22
A99
≈2.1‰。
✎重复排列：
重复排列问题各个元素之间互不干扰，若每种元素有n 种选择，则m 个元素共有nm 种选择。
例题7（2023 国考副省级）
某单位有甲和乙2 个办公室，分别有职工5 人和4 人。每周从这9 名职工中随机抽取1
人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7 月前2 周的志愿者均来自
甲办公室的概率在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．25%～35%之间
C．35%～45%之间
D．超过45%
【参考答案】：B
【参考解析】：本题属于特殊情境中的重复排列问题，每周抽人抽到甲办公室的概率为
/
=
,且“同一人有可能被连续、重复选中”，故7 月前2 周的志愿者均来自甲办公室的概
率为
×
=
≈31%，在25%~35%之间。
例题8（2019 联考）
某小学组织6 个年级的学生外出参观包括A 科技馆在内的6 个科技馆，每个年级任选一
个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A 科技馆的方案有：
A．1800 种
B．18750 种
C．3800 种
D．9375 种
【参考答案】：D
【参考解析】：根据题干可知：参观科技馆可分为先选出选择A 科技馆的2 个年级之后在考
虑剩余年级情况；
首先从6 个年级选择2 个年级参观A 科技馆有
=
×
=15 种选择。其次剩余4 个年级，
每一个年级都有5 种选择，共有5
4=625 种选择。
所以6 个年级总的方案共有：625×15=9375 种选择（用尾数法求解）。
✎平均分堆：
平均分堆需要注意之后是否有顺序，若只是单纯分堆，需要把人为产生的顺序除掉，有n 堆数量
相等除去Ann；
若后续有顺序，可将“平均分n 堆”、“再为n 堆有顺序的选择”两步合并，直接有顺序的选择
元素即可。
例题9（练习题）
某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3 个勘探点进行环境检测，每个勘探
点至少一人，共有多少种安排方式？
A．36
B．48
C．72
D．144
【参考答案】：A
【参考解析】：4 位专家分到3 个勘探点，且每个勘探点至少一人，所以勘探点得人数分别
为1，1，2。先从四人中选出2 人
2
4
C ，然后和剩余两个1 人组成三组进行全排列
3
3
A 。共有
36
2
3
2
3
4
种。
例题10（2015 四川）
将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A．120
B．126
C．240
D．252
【参考答案】：B
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【参考解析】：“平均分成两组”，属于特殊情境中的平均分堆问题，即一共有
2
2
5
10
A
C
＝126
种分法。
例题11（2018 浙江）
某班共有8名战士，现在从中挑出4人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，
问共有多少种不同的方案？
A．210
B．420
C．630
D．840
【参考答案】：B
【参考解析】：后续有顺序要求的平均分堆问题，可两步合并；先挑选参加射击考核的2 名
战士（
2
8
C ），再挑选参加格斗考核的2 名战士（
2
6
C ），即一共有420 种不同方案。
