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数量的统筹题型系列：假币、青蛙跳井、货物
集中
（笔记）
主讲教师：杨亚辉
授课时间：2025.12.15
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1
数量的统筹题型系列：假币、青蛙跳井、货物集中（笔记）
【答案汇总】
1-5：AAACB；6-7：CB
天平找假币
【引例】8 枚硬币中混入了1 枚假币（真币重量相同，假币重量偏轻），那
么，在最优方案下，最多使用天平称几次能找出假币？
最优方案：尽可能平均分成3 堆
最多次数：n 次（3
n-1＜硬币数≤3
n）
两种问法：最优方案……最多几次……
至少几次……一定找到……
【注意】天平找假币：
1.引例：8 枚硬币中混入了1 枚假币（真币重量相同，假币重量偏轻），那
么，在最优方案下，最多使用天平称几次能找出假币？
（1）要求“在最优方案下”，可以考虑二分法，将硬币分为2 堆，左边是
1～4，右边是5～8，哪边轻假币在哪边，假设左边轻，则假币在1～4 中。左边
是1、2，右边是3、4，假设左边轻，则假币在1、2 中。左边是1，右边是2，
假设左边轻，则假币是1。综上，最多需要3 次。
（2）二分法不是最优方案，实际最优方案是三分法，即尽可能分为3 堆。
考虑1～3 一组、3～6 一组、7～8 一组。第一次：左边1～3，右边4～6，有可
能是平衡的，则假币在7、8，还需要再称一次即可，假设左边轻，则假币是7，
此时只需要2 次就可以找到假币。如果第一次不平衡，假设左边轻，则假币在1～
2
3 中，再三分，称1 和2，如果平衡，则假币是3，如果不平衡，则假币是轻的
那个，还只需要2 次就可以找到假币。
2.结论：
（1）最优方案：尽可能平均分成3 堆。
（2）最多次数：n 次（3
n-1＜硬币数≤3
n）。
3.两种问法：都是一样的问法，“最优方案”就是“次数最少”。
（1）最优方案……最多几次……。
（2）至少几次……一定找到……。
4.上方引例：直接套用结论，硬币数为8，介于3¹～3²之间，则需要2 次。
【例1】（2017 联考）体育彩票22 选5 中使用的22 个彩球除编号不同外，
其余完全一样。由于生产过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其它球。
现需用天平将该球找出，那么，在最优方案下，最多要使用天平：
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
【解析】1.天平称假球，问找到假球的最优方案，一共有22 个彩球，22 介
于3²～3³之间，n 取3，需要3 次，对应A 项。【选A】
【例2】（2023 深圳）小孟有58 枚硬币，其中1 枚为假，目前已知道真币
重量相同，假币重量偏轻。如果小孟手中只有一个天平，则至少称（
）次一定
能找出假币。
3
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】2.天平称假币，问至少需要多少次找到假币，一共有58 个硬币，
58 介于3³～3
4之间，n 取4，对应A 项。【选A】
【练习1】（2022 四川事业单位）某工厂生产了一批网球共78 个，该批网
球颜色外观上完全一样，由于生产中的疏急，这78 个网球中有一个网球略重于
其他网球。现需要用天平秤将该球找出，在选择最优的方法后，最多使用（
）
次天平秤。
A.2
B.4
C.7
D.8
【解析】拓展1.天平称假球，问找到假球的最优方案，一共有78 个网球，
78 介于3³～3
4之间，n 取4，对应B 项。【选B】
【练习2】（2024 河南事业单位）茗心茶厂在生产茶包时，发现一台机器故
障，导致1 袋茶包的重量不够，王主任打算用天平将这袋缺斤少两的茶包找出来。
已知这批茶包共有152 袋，则王主任要找到这袋茶包，至少需要称（
）。
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
【解析】拓展2.课堂正确率为84%。天平称茶包，问至少称几次，一共有
152 个茶包，152 介于3
4～3
5之间（81～243），n 取5，对应C 项。【选C】
青蛙跳井
【引例】一只青蛙从井底向上爬，井深5 米，它每次跳上3 米，又下滑2
米，像这样需跳几次方可出井？
第①次：上跳3 米，停在3 米；下滑2 米，停在1 米
第②次：上跳3 米，停在4 米；下滑2 米，停在2 米
第③次：上跳3 米，成功跳出
假设需跳n 次方可出井
4
（a-b）*（n-1）+a=m
（a-b）*n-（a-b）+a=m
（a-b）*n+b=m
【注意】青蛙跳井：
1.引例1：一只青蛙从井底向上爬，井深5 米，它每次跳上3 米，又下滑2
米，像这样需跳几次方可出井？
答：尝试枚举，第①次：上跳3 米，停在3 米；下滑2 米，停在1 米。第②
次：上跳3 米，停在4 米；下滑2 米，停在2 米。第③次：上跳3 米，2+3=5，
成功跳出。
2.引例2：一只青蛙从井底向上爬，井深m 米，它每次跳上a 米，又下滑b
米，像这样需跳几次方可出井？
答：假设需跳n 次方可出井。结合引例1，第三次加的是上跳的部分，前两
次加的是净增的部分，则前面n-1 次是净增的部分，最后一次是上跳的部分，列
式：（a-b）*（n-1）+a=m→（a-b）*n-（a-b）+a=m→（a-b）*n+b=m→n=（m-b）
/（a-b）。
3.引例1：直接用结论，所求=（5-2）/（3-2）=3 次。
【例3】（2010 湖北）青蛙从井底向上爬，井深10 米，青蛙每次跳上5 米，
又下滑4 米，像这样青蛙需跳几次方可出井？
A.6 次
B.5 次
C.9 次
D.10 次
【解析】3.青蛙跳井问题，直接套公式，m=10、a=5、b=4，列式：n=（m-b）
/（a-b）=（10-4）/（5-4）=6/1=6。【选A】
【注意】青蛙跳井：井深m 米，上跳a 米，下滑b 米，跳出井所需次数n=
（m-b）/（a-b）。
【例4】（2010 湖北）有一只青蛙在井底，每天上爬10 米，又下滑6 米，
这口井深20 米，这只青蛙爬出井口至少需要多少天：
5
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】4.青蛙跳井问题，m=20、a=10、b=6，套公式：n=（m-b）/（a-b）
=（20-6）/（10-6）=14/4=3.5，结果不是整数，不能四舍五入，3 天跳不出井
口，只能向上取整，取4 天。【选C】
【练习3】（2015 重庆）一人爬有20 个阶梯的楼梯，假定每次向上爬5 个
阶梯，又下走3 个阶梯，问该人需几次能跑到楼梯顶部？
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】拓展.青蛙跳井问题，类比为人爬楼梯，本质相同。m=20、a=5、b=3，
套公式：n=（m-b）/（a-b）=（20-3）/（5-3）=17/2=8.5，答案为非整数，8
天不能到顶部，向上取整，取9。【选C】
【例5】（2018 安徽事业单位）青蛙从井底向上爬，井深12 米，青蛙每次
会上跳某一同等高度，但又会向下滑4 米，只知青蛙通过8 次刚好跳出井面，请
问青蛙每次跳多高？
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】5.青蛙跳井问题，已知m=12、a 未知、b=4、n=8，套公式：n=（m-b）
/（a-b）→8=（12-4）/（a-4）→8=8/（a-4），说明a-4=1，解得a=5，对应B
项。【选B】
【注意】平时练习，可以练习反推b、反推m 的题目，核心都是套公式n=
（m-b）/（a-b），共4 个未知数，给3 个未知数，一定可以求第四个数。
货物集中
【引例】有A、B 两个仓库，相距10 千米。现需要把所有的货物集中存放在
其中某一个仓库，如果每吨货物运输1 千米需要运费10 元，要使运费最少，则
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需将货物集中到哪座仓库？
集中在A 仓库费用：
25 吨*10 千米*10 元/吨·千米=2500 元
集中在B 仓库费用：
10 吨*10 千米*10 元/吨·千米=1000 元
货物集中问题相关结论：
①只和货物吨数有关，与距离、单价无关
②货物由“轻”的一边流向“重”的一边
【注意】
1.引例：共两个仓库，假设都集中在A 仓库，则A 仓库的10 吨不用动，把
B 仓库的25 吨货物都运送到B 仓库，25 吨*10 千米*10 元/吨·千米=2500 元。
假设都集中在B 仓库，则B 仓库的25 吨不用动，把A 仓库的10 吨都运送到A
仓库，10 吨*10 千米*10 元/吨·千米=1000 元，说明集中在B 仓库费用更少。
2.两种集中方式，距离10 千米、单价10 元/吨·千米均相同，说明费用的
多少取决于重量。
3.B 仓库吨数更多，要费用少，则货物由“轻”的一边流向“重”的一边。
【引例】有A、B、C、D 四个仓库，两两相距10 千米。现需要把所有的货物
集中存放在其中某一个仓库，如果每吨货物运输1 千米需要运费10 元，要使运
费最少，则需将货物集中到哪座仓库？
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货物集中问题相关结论：
①只和货物吨数有关，与距离、单价无关
②货物由“轻”的一边流向“重”的一边
【注意】真题中，不止两个仓库，可能有3、4、5 个仓库。
1.引例：如果在AB 之间建立天平，由“轻”的一边流向“重”的一边，则
B 仓库有10+25=35 吨货物；CD 之间建立天平，由“轻”的一边流向“重”的一
边，则C 仓库有20+35=55 吨。BC 之间建立天平，货物由“轻”的一边流向“重”
的一边，最终集中在C 仓库。
2.不管多少个仓库，从最中间放置一个大天平，BC 之间建立天平，左侧重
量为10+25=35、右侧重量为35+20=55 吨，由“轻”的一边流向“重”的一边，
应该流向右侧，排除A 仓库和B 仓库。CD 之间联立天平，左侧重量=10+25+35、
右侧重量=20，由“轻”的一边流向“重”的一边，流向左侧，因此集中到C 仓
库。
【例6】（2020 安徽）某电商平台每隔5 千米有一座仓库，共有A、B、C、
D 四座仓库，图中数字表示各仓库库存货物的吨数。现需要把所有的货物集中存
放在其中某一个仓库中，如果每吨货物运输1 千米需要运费3 元，要使运费最少，
则需将货物集中到哪座仓库？
A.仓库A
B.仓库B
C.仓库C
D.仓库D
【解析】6.从最中间建立天平，左侧重量=10+20=30，右侧重量=15+25=40，
由“轻”的一边流向“重”的一边，由左侧流向右侧。在CD 之间建立天平，左
侧重量=10+20+15=45，右侧重量=25，由“轻”的一边流向“重”的一边，流向
左侧，因此在C 仓库建立天平。【选C】
【练习4】（2025 天津事业单位）源丰公司在甲乙丙丁四个地方各有一个仓
库，四个地方依次排列，大致都在一条直线上，分别相距8 千米、12 千米、22
千米，甲仓库有货物2 吨，乙仓库有货物7 吨，丙仓库有货物10 吨，丁仓库有
货物6 吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费为200 元，
8
请问把货物运到哪个仓库最省钱？（
）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】拓展.本题两两之间距离不同，但与距离无关。单价不变，与单价
无关，只和重量有关，由“轻”的一边流向“重”的一边。先在乙丙之间建立天
平，左侧重量=2+7=9、右侧重量=10+6=16，由“轻”的一边流向“重”的一边，
流向右侧。在丙丁之间建立天平，左侧重量=2+7+10=19，右侧重量=6，由“轻”
的一边流向“重”的一边，流向左侧，即在丙仓库建立天平。【选C】
【例7】（2020 重庆）一条公路沿线顺次有甲、乙、丙、丁、戊5 个仓库，
相邻仓库间隔100 千米。甲仓库有10 吨货物，乙仓库有20 吨货物，戊仓库有
40 吨货物，其余两个仓库无货物。现在准备把所有货物集中到一个仓库里，如
果每吨货物运输成本是每千米1 元运费，那么运费最少是多少元？
A.9000
B.10000
C.11000
D.12000
【解析】7.丙和丁为0 吨，甲乙共10+20=30，戊=40，在丁戊之间建立天平，
左侧重量=30、右侧重量=40，由“轻”的一边流向“重”的一边，因此都集中到
戊仓库，甲→戊：甲共10 吨，距离为4*100=400 千米，运费=10*400*1=4000 元。
乙→戊：共20 吨，距离为3*100=300 千米，运费=20*300*1=6000 元，共
4000+6000=10000 元。【选B】
小题型总结
1.天平称假币
最优方案：尽可能平均分成3 堆
最多次数：n 次（3
n-1＜硬币数＜3
n）
两种问法：最优方案……最多几次……&至少几次……一定找到……
2.青蛙跳井：井深m 米，上跳a 米，下滑b 米，跳出井所需次数n=（m-b）
/（a-b）。
3.货物集中①只和货物吨数有关，与距离、单价无关
9
②货物由“轻”的一边流向“重”的一边
【注意】三个小题型为低频考点，几年考一次，只要对这类题目熟悉，遇到
直接套结论即可。
1.天平称假币：
（1）最优方案：尽可能平均分成3 堆。
（2）最多次数：n 次（3
n-1＜硬币数＜3
n）。
（3）两种问法：最优方案……最多几次……&至少几次……一定找到……。
2.青蛙跳井：井深m 米，上跳a 米，下滑b 米，跳出井所需次数n=（m-b）
/（a-b）。现在考试可能反求m、a、b，都可以求。如果解得n 不是整数，要向
上取整，不要四舍五入。
3.货物集中：
（1）只和货物吨数有关，与距离、单价无关。
（2）物由“轻”的一边流向“重”的一边。
10
遇见不一样的自己
Be your better self
