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主题：工程问题
日期：2022.12.07
1第四章 工程问题（笔记）
【注意】完工时间型：总量=效率*时间，中间离开或休息。
1.赋总量（完工时间的公倍数）。
2.算效率：效率＝总量/时间。
3.列表展现工作过程，求解。
例：老大搬砖需要 3 天，老二需要 6 天，两人先一起搬了一天，老大跑了，
问老二一共搬了多久呢？
答：总量=效率*时间，赋值总量为3、6的公倍数6，所以老大的效率为6/3=2；
老二的效率为6/6=1。两人先一起搬了一天，效率和为 1+2=3,老大跑了，工作量
还剩 6-3=3，老二效率是 1，1*3=3，老二还需要搬三天，老二一共干了 1+3=4
天。
【注意】整个展现过程，就是解方程的过程。
1.找公倍数训练：（短除法：最外侧的数相乘）、大数扩大。
（1）10、12：先取 2，剩余5、6,没有公因子，则最小公倍数为 2*5*6=60。
（2）12、15：先取 3，剩余4、5,没有公因子，则最小公倍数为 3*4*5=60。
（3）10、15、24：先取 5，剩余2、3、24，再取3，剩余2、1、8，再取2，
剩余1、1、4，则最小公倍数为 5*3*2*1*1*4=120。
2.以上方法太慢，可以用大数扩大包进小数就可以了。
（1）10、12：5*12=60，60可以包10，10、12的公倍数为60。
（2）12、15：15*4=60，60可以包12，12、15的公倍数为60。
（3）10、15、24：24*5=120，120可以包 10、15，10、15、24 的公倍数为
120。
【注意】完工时间指的是完成同一项工程的多个时间
1.周期循环。
2.工程费用。
3.多个工作型。
- 1 -4.效率调整。
5.题型变形（识别）。
6.工程问题的难点就是展现工作过程。
2.效率比例型。
3.具体单位型。
4.多工作同时开始、同时结束。
5.牛吃草问题。
一、完工时间型
1.中间离开或休息
【例 1】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需（ ）天。
A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】1.问的是完成该项目共需多少天，判定为完工时间型的工程问题，
三步走：赋总量、效率、展现。总量=效率*时间，W=P*T。甲：200；乙 300。赋
值总量为600，甲的效率：600/200=3，乙的效率：600/300=2。甲、乙一同施工
效率为：2+3=5；5*60=300，甲被调离，乙队单独完成剩余任务：600-300=300；
300/2=150。完成该项目共需 60+150=210，对应 D项。【选D】
【例 2】（2022 全国事业单位联考）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需
对设施设备进行测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速
作业，如甲机构单独检测需要 90 分钟，乙机构单独检测需要 135 分钟，现两机
构同时协作检测 45 分钟后，甲单独完成剩余部分，问甲机构一共检测了多少分
钟？（ ）
A.55 B.60
- 2 -C.65 D.70
【解析】2.问的是甲一共检测的时间，判定为给定完工时间型工程问题，总
量=效率*时间。三步走：赋总量为90和135的公倍数270；算效率，甲：270/90=3；
乙：270/135=2；甲乙效率和为 3+2=5。问甲机构一共检测了多少分钟。所求甲
一共检测的时间：45*5=225；270-225=45；45/3=15；15+45=60，对应 B项。【选
B】
【例 3】（2020 重庆选调）一批零件，小王单独做需要 50天加工完，小李单
独做需要 75 天加工完。为了尽快完成任务，两人合作加工零件，中间小李休息
了几天，最后共用了 40天把这批零件加工完，那么小李休息了多少天？
A.25 B.3
C.20 D.15
【解析】3.问的是小李休息的天数，总共 40天，A项+D项=40，猜 A、D项，
概率为 50%正确。总量=效率*时间，赋值总量为 50 和 75 的公倍数 150，则小王
效率：150/50=3，小李效率：150/75=2，小王工作量：40*3=120，小李工作量为
150-120=30，则小李工作时间为 30/2=15，所求=40-15=25，对应A 项。【选A】
2.周期循环
【注意】
1.周期循环类一般是两人循环或三人循环。
2.重点：一个周期是几人。一般是先按周期来算，再把周期转化成天数。
【例 4】（2019 河北）甲、乙两队单独完成某项工程分别需要 10 天、17天。
甲队与乙队按天轮流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？
A.甲队第 11天 B.甲队第13天
C.乙队第 12天 D.乙队第14天
【解析】4.问最后是哪队第几天完工。完工时间型工程问题，总量=效率*
时间。赋值总量为 10和17的公倍数170，则甲的效率：170/10=17；乙的效率：
170/17=10，甲与乙按轮流做这项工程，一个周期为两天，170/27=6……8,6*2=12，
- 3 -余8个工作量需要甲干 1天，则甲队第12+1=13 天完工，对应B项。【选 B】
【例 5】（2021 年四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，
分别需要12小时、10 小时和8小时完成。现按“甲—乙—丙—甲……”的顺序
让三个工程队轮班，每队施工 1小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工
时间共计：
A.2 小时54分 B.3小时
C.3 小时54分 D.4小时
【解析】5.问甲工程队的施工时间共计。完工时间型工程问题，总量=效率*
时间。赋值总量为 12、10、8 的公倍数 120，则甲的效率：120/12=10；乙的效
率：120/10=12；丙的效率：120/8=15，三人为一个周期，一个周期效率为
10+12+15=37；一个周期时间为 3 小时，120/37=3……9,剩下 9 个工作量为新的
周期开始，一定是甲来干，所以甲=3+，对应 C项。【选C】
3.工程费用
【注意】牵扯到费用的时候，求费用，越少越好。
【例 6】（2021 江苏）为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程
队施工，工期为60 天，费用为144万元；若由乙工程队施工，工期为 40天，费
用为 158 万元。为在旅游旺季到来前完工，工期不能超过 30 天，为此需要甲、
乙两工程队合作施工，则完成此项工程的费用最少是：
A.156 万元 B.154万元
C.151 万元 D.149万元
【解析】6.问完成此项工程的费用最少是，完工时间型问题，甲、乙两工程
队合作施工，工期不能超过 30 天。根据题干得出，甲工程队每天的费用一定比
乙工程队少，只能让甲干 30 天，剩下的全部交给乙，甲工期 60 天正好为 30 天
的一半，费用则为 72 万元。剩下一半的工期交给乙，费用为 158/2=79。问完成
此项工程的费用最少是：79+72=115，对应 C项。【选C】
- 4 -4.多个工作型
【注意】方法：列多个表。
【例 7】（2022 联考）甲、乙、丙三个工程队接到 A、B两个工程的施工任务。
若由甲单独完成B工程需要 30天；若甲乙两队合作施工，则完成 A 工程需要30
天，完成B工程需要 20天；乙丙合作完成A 工程则需要24天。现在三个工程队
合作完成A、B两个工程，多少天可以完工？（不足 1天按1天计算）
A.24 B.25
C.26 D.27
【解析】7.问三个工程队合作完成 A、B 两个工程，多少天可以完工，求效
时间，总量/总效率=时间，A工程时间，甲乙：30；乙丙：24。B工程时间，甲：
30；甲乙：20。赋值 B 工程总量为30和20的公倍数 60，则甲的效率：60/30=2；
甲乙的效率：60/20=3；乙的效率：3-2=1。A 工程总量为 30*3=90，则总工程量
为 90+60=150。乙丙效率：90/24=15/4。2+15/4→8/4+15/4→23/4=26+，对应 D
项。【选D】
5.效率调整
【例 8】（2022 联考）某地采用传统销售模式，销售一批鸡蛋需要 20天，销
售一批桃子需要 25 天。为推动销售，当地开启县领导直播带货模式，直播带货
期间，鸡蛋的销售效率提高为原来的 2倍，桃子销售效率为原来的 3 倍；其余销
售时间依然按照传统模式进行，结果两种产品同时销售完成。那么销售期间直播
带货的天数为：
A.3 B.5
C.8 D.10
【解析】8.问直播带货的天数为。根据题干传统销售一批鸡蛋，销售一批桃
子为两个工程，赋值鸡蛋总量 20，桃子总量 25，则效率都为 1。开启直播带货
模式，鸡蛋销售效率提高为原来的 2倍，桃子销售效率为原来的 3倍。则直播的
销售总量为，鸡蛋：2*T=2T；桃子：3*T=3T。根据题干描述其余销售时间依然按
照传统模式进行，结果两种产品同时销售完成。则传统销售时间为鸡蛋：20-2T；
- 5 -桃子：25-3T。20-2T=25-3T→T=5，对应B项。【选 B】
6.题型变形（识别）
带着工程的帽子，考官改了改样子。
原：同一个工程……时间。
创新：同一物品……时间（个数）。
【注意】总量=效率*时间；总额=单价*数量；总量=单量*数量。同一个最重
要：A=B*C（同一个 A的表述）
【例 9】（2021 联考）社区居委会张阿姨为表达对志愿者的感谢，买了一些
毛线，准备织帽子和手套。这些毛线如果全部织帽子可织 15 个，全部织手套可
织20只，现将一个帽子和两只手套做成一个“爱心礼包”。这些毛线最多可做成
几个“爱心礼包”？
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】9.问这些毛线最多可做成几个。帽子可织 15 个，手套可织 20 只，
总量=单量*数量，赋值毛线总量为 15 和 20 的公倍数 60 个，则一个帽子需要：
60/15=4；一个手套需要：60/20=3。一个“爱心礼包”为一个帽子加两个手套，
所求：60/（4+3*2）=6，对应项。【选C】
【例 10】（2022 黑龙江公检法）某智能设备满电情况下不接外部电源，可以
开机使用 3 小时或者待机 51 小时，现在满电且不接外部电源情况下，开机使用
N分钟后，剩余电量的待机时长也是 N分钟，问 N是多少？
A.140 B.150
C.160 D.170
【解析】10.问 N是多少。开机使用3小时，待机 51小时，总量=效率*时间，
赋值总量为3和51 的公倍数51。算效率，开机一小时：51/3=17；待机一小时：
51/51=1，开机使用 N 分钟后，剩余电量的待机时长也是 N 分钟，则开机总量为
17N，待机总量为N。总量 51=17N+N→51=18N；N=17/6小时，一小时为 60分钟，
- 6 -17/6*60=170，对应 D项。【选D】
二、效率比例型
1.效率比。
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式求解。
例：大王和小王搬砖效率之比为 3:2，两人合作需要 10 小时，此工作小王
单独搬砖需要多少时间？
2.工作量推效率比。（长长的句，句，句）
3.多人、多机器。
4.效率比例的形式。
（1）直接给：甲：乙=3：4（比例）；甲的效率是乙的 2.5倍（效率）；甲的
效率比乙高 25%（增长率）。甲/乙=5/4；甲/乙=1/5→甲/乙=6/5；甲/乙=4/3→
甲/乙。
【注意】难点：效率统一化。
1.例：大王和小王搬砖效率之比为 3:2，两人合作需要 10 小时，此工作小
王单独搬砖需要多少时间？
答：赋值大王效率为 3，小王效率为2，两人合作效率和为 3+2=5，总量=效
率*时间，5*10=50，问小王单独搬砖需要多少时间，50/2=25。
2.甲：乙=2：3，甲：丙=3：4。甲：乙：丙=6：9：8。统一中间的量。甲*x，
乙、丙*x，才能保持不变。
3.间接给：工作量相等，以工作量推效率关系。
（1）甲4天的工作量等于乙 3天的工作量。
（2）甲、乙两个工程队合作完成某工程需 36 天，若甲工程队先做 10 天，
剩下的工程再由两队合作 30天完成。
（3）给具体人数或机器数：50 个工人修路，80 台挖掘机，赋值每个人/每
台机器效率为1。
- 7 -1.效率比
【例 11】（2022 江苏）出版社安排甲、乙、丙三人校对一本书，甲完成总任
务的1/8 后，剩下的分配给乙和丙。若乙的工作效率是丙的 3/4，且两人完成工
作所用时间相同，则乙的工作量是总任务的：
A.3/8 B.21/32
C.7/16 D.1/2
【解析】11.方法一：赋一本书总量为 1。甲：1/8；乙：丙*3/4，乙/丙=3/4，
总量剩余：1-1/8=7/8，乙占3份为：3/8；丙占 4份为：4/8，对应 A项。
方法二：猜题，根据题干得出丙比乙快，则丙完成的总量一定＜1/2，对应
A项。【选A】
【例 12】（2018 四川下）甲工程队与乙工程队的效率之比为 4：5，一项工
程由甲工程队单独做 6天，再由乙工程队单独做 8天，最后由甲、乙两个工程队
合作4天刚好完成，如果这项工程由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队
所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】12.问甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天，所求=总量
/甲-总量/乙。效率比例问题，赋值甲效率为 4，乙效率为 5。总量为 4*6=24；
5*8=40；（4+5）*4=36；24+40+36=100。所求=100/4-100/5=25-20=5，对应C项。
【选C】
【例 13】（2022 联考）甲、乙二人合作计划 30 天完成一项工程，甲的工作
效率是乙的2倍。两人合作 10天后，甲的效率提升 25%，乙的效率提升 50%。又
合作 10 天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时
间：
A.早 2天 B.晚2天
C.早 4天 D.晚4天
【解析】13.问最终工作比预计时间，根据题干，赋值甲效率为 4，乙效率
- 8 -为 2。总量=效率*时间，求总量：4+2*30=180。两人合作 10 天后，甲的效率提
升 25%，乙的效率提升 50%。则甲乙前十天完成总量为：6*10=60；又合作 10 天
后，乙因其他任务撤出，则中间十天甲效率为 5；乙效率为3，完成总量为（5+3）
*10=80。所求：180-80-60=40,40/5=8；问最终工作比预计时间，30-8-10-10=2，
对应A项。【选 A】
2.工作量推效率比
（1）列等式去推效率关系（浪费时间）。
（2）左右相消会更快。
【注意】
1.甲 4天的工作量等于乙 3天的工作量→甲/乙=3/4。
2.甲、乙两个工程队合作完成某工程需 36天，若甲工程队先做 10天，剩下
的工程再由两队合作 30天完成。
（1）方法一：36*（甲+乙）=10 甲+30*（甲+乙）→6（甲+乙）=10 甲→6
甲+6乙=10甲→6乙=4甲。
（2）方法二：6（甲+乙）=10甲→4甲=6乙→甲/乙=3/2。
3.如果该道路交由甲施工队先单独施工 6 天，乙施工队再单独施工 15 天即
可完工；如果交由乙施工队先单独施工 6 天，那么甲施工队还需要单独施工 24
天才能修筑完成。
答：6甲+15乙=6乙+24甲→9乙=18甲→甲/乙=1/2。
4.识别：总量的并列表述。如：如果……如果……；若……若……。
【例 14】（2018 全国事业单位）甲、乙两个工程队合作完成某工程需 36天，
若甲工程队先做10 天，剩下的工程再由两队合作 30天完成。问乙工程队的工作
效率是甲工程队的：
A.2/3 B.4/5
C.3/4 D.1/2
【解析】14.问乙工程队的工作效率是甲工程队的多少倍，并列表述：36（甲
+乙）=10甲+30（甲+乙）→4甲=6乙→乙=4/6 甲→乙=2/3甲，对应A 项。【选A】
- 9 -【例 15】（2019 黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队
先单独施工 6 天，乙施工队再单独施工 15 天即可完工；如果交由乙施工队先单
独施工 6 天，那么甲施工队还需要单独施工 24 天才能修筑完成。如果这条道路
交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要：
A.30 天 B.32天
C.36 天 D.40天
【解析】15.问这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要多少天，
总量/甲效率=时间，根据干描述，并列表述：18 甲=9 乙→甲/乙=9/18=1/2，赋
值甲的效率为1，则乙的效率为 2，6*1+15*2=36；36/1=36，对应 C 项。【选 C】
【例 16】（2019 国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组 2天的工作量与
甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由甲、乙组共同工作 3 天，再由乙、
丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整 7天。B 工程如丙组
单独完成正好需要 10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？
A.不到 6天 B.6天多
C.7 天多 D.超过8天
【解析】16.问、甲、乙组共同完成需要多少天，B 总量/甲乙=时间，根据
题干描述求出效率：2 乙=甲+丙；A 工程出现并列表述：4 甲=3 乙→甲/乙=3/4，
甲为3，乙为 4，根据 2乙=甲+丙：得出丙为 2*4-3=5，所求B工程：5*10/3+4=7+，
对应C项。【选 C】
【例 17】（2022 四川）工厂甲、乙、丙 3 条生产线共同完成一项任务，甲、
丙先合作两天，完成了全部任务的，接着乙、丙合作两天完成剩下任务的 45%，
最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问甲完成的部分占全部任务的：
A.4/15 B.1/3
C.2/5 D.3/5
【解析】17.问甲完成的部分占全部任务的多少，甲丙两天完成 1/3；乙丙
两天完成剩下2/3的 45%=2/3*45%=30%；甲乙不好算，有分数、有百分数，抓住
- 10 -问题，每个人干两天、每个人干两天，得出甲干了 4天；乙干了4天；丙干了 4
天，并列表述：乙丙两天完成 30%，则 4天完成 60%，对应甲四天完成 40%→2/5，
对应C项。【选 C】
3.多人、多机器
【注意】为了方便计算，赋值每人或每台机器效率为 1。
题型识别：
【例 18】（2018 国家）工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施
工 30 天，每天工作 10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有 10
天时间无法施工，工期还剩 8 天时，工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。问工
程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？
答：赋值每台挖掘机的效率为 1。
【例 19】（2019 辽宁）某工程50人进行施工。如果连续施工 20 天，每天工
作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有 5天时间无法施工，
工期还剩 8 天时，工程队增派 15 人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均
每天需工作（ ）小时。
答：赋值每人的效率为 1。
【注意】小时候，暑假的作业，是怎么完成的？
1.情景+方法：开始乖，中间玩，所有未完成的工作量，在更短时间内加班
加点完成。刚开始完成多少天，
2.计算技巧：约分。
【例 18】（2018 国家）工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施
工 30 天，每天工作 10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有 10
天时间无法施工，工期还剩 8 天时，工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。问工
程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？
- 11 -A.2.5 B.3
C.1.5 D.2
【解析】18.问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时。因施
工过程中遭遇大暴雨，10 天无法施工，剩 8 天工期，30-8-10=12，完成的工作
量为 12 天，未完成的工作量为 30-12=18 天。约分：18*80*10=8*（80+70）*T
→6*2=T→12=T，所求：12-10=2，对应D项。【选 D】
【例 19】（2019 辽宁）某工程50人进行施工。如果连续施工 20 天，每天工
作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有 5天时间无法施工，
工期还剩 8 天时，工程队增派 15 人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均
每天需工作（ ）小时。
A.12.5 B.11
C.13.5 D.11.5
【解析】19.工程队想按期完成，则平均每天需工作多少小时。因施工过程
中遭遇原料短缺，有 5天时间无法施工，剩 8天工期，20-8-5=7，完成的工作量
为7天，未完成的为20-7=13天。约分：13*50*10=8*（50+15）*T→100=8T→T=12.5，
对应A项。【选 A】
三、具体单位型
1、某工程队计划每天修路 560 米，恰好可按期完成任务。如每天比计划多
修 80 米，则可以提前 2 天完成，且最后 1 天只需修 320 米。问如果要提前 6 天
完成，每天要比计划多修多少米？
2、（2022国考）某单位办事大厅有 3个相同的办事窗口，2天最多可以办理
600笔业务，每个窗口办理单笔业务的用时均相同。现对该办事大厅进行流程优
化，增设2个与以前相同的办事窗口，
3、（2020江苏）某装配式建筑企业接到一个生产 1033套楼板的订单。甲班
组生产5天后，乙班组再生产 4天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生
产23套，则甲班组生产楼板的套数是。
【注意】给定效率或具体量的单位。识别：给定具体效率或者给定具体工作
- 12 -量（带着单位）。
1.单位：560、80、320米。
2.单位：600笔业务。
3.单位：1033、23套。
【例 20】（2021 四川）某工程队计划每天修路 560米，恰好可按期完成任务。
如每天比计划多修 80 米，则可以提前 2 天完成，且最后 1 天只需修 320 米。问
如果要提前6天完成，每天要比计划多修多少米？
A.160 B.240
C.320 D.400
【解析】20.问每天要比计划多修多少米？设原来为 t，560T=640（t-3）=320
方法一：约分，560T=640（t-3）=320；先约 0：56T=64（t-3）=32；56、
64、32公因数为8，约8：7t=8（t-3）+4→7t=8t-24+4→t=20。所求：560*20/14=800；
800-560=240，对应 B项。
方法二：猜题，提前两天多休 80 米，提前 6 天：80/2*6=240，对应 B 项。
【选B】
【例 21】（2022 国考）某单位办事大厅有 3个相同的办事窗口，2天最多可
以办理600笔业务，每个窗口办理单笔业务的用时均相同。现对该办事大厅进行
流程优化，增设2个与以前相同的办事窗口，且每个办事窗口办理每笔业务的用
时缩短到以前的2/3。问优化后的办事大厅办理 6000笔业务最少需要多少天？
A.8 B.10
C.12 D.15
【解析】21.问优化后的办事大厅办理 6000 笔业务最少需要多少天。一个窗
口：600/3*2=100笔/天。每个窗口时用缩短到以前的 2/3，效率则变成 3/2，时
间和效率是为反比的，则现在一个窗口能办理 100*3/2=150笔/天，所求：6000/
（5*150）=8，对应 A项。【选A】
四、多工作同时开始、同时结束
- 13 -1.题型特征：
（1）N个人完成(N-1)项工作，有一个人打游击帮工.
2.解题套路：
（1）整体分析：先求出总的完工时间，完工时间=工作总量/效率和。
（2）抓住问题。
【注意】多工作同时开始、同时结束，代表每个人都没有休息。
【例 22】（2019 贵州事业单位）A、B、C 三个挖渠小分队负责 2700 米的挖
渠任务，将任务分成等额甲、乙两份，A 队和 C 队分别负责，B 队则在两队之间
帮忙，A、B、C三个工程队的效率分别是 100 米/小时、150米/小时、200米/小
时，B队先在A队帮忙再去 C队帮忙，最后任务同时开始并同时结束，那么 B队
在C队帮忙（ ）小时。
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】22.问那么 B队在C队帮忙几小时，2700米的挖渠任务，将任务分
成等额甲、乙两份，2700/2=1350。工作时间相同，T=总工作量/效率和，2700/450=6，
得出A、B、C每队干 6小时，200*6=1200；1350-1200=150；150/150=1，对应A
项。【选A】
【例 23】（2018 江西）甲、乙、丙三人工作的效率比为 7∶9∶8，现将 A、B
两项工作量相同的工程交给这三个人，甲负责 A工程，乙负责B工程，丙作为机
动参与A工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时8天同时结束，
问丙在A工程中参与施工多少天？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】23.问丙在 A工程中参与施工多少天。T=总工作量/总效率和；总工
作量：24*8=192。A、B 两项工作量相同：192/2=96。7*8=56；96-56=40；剩下
丙来干：40/8=5，对应 C项。【选C】
- 14 -【例 24】（2020 江苏）某小微企业接到三个相同的订单，赵、钱、孙、李四
位师傅单独完成一个，分别需 20小时、20小时、15小时和12小时。现钱、孙、
李各负责一个订单，赵根据需要协助他们完成任务。若要三个订单同时完工且用
时最短，则赵协助钱的时间是：
A.8 小时 B.7小时
C.6 小时 D.5小时
【解析】24.问则赵协助钱的时间，T=总工作量/总效率和，赋值一份总量为
20、20、15、12的公倍数 60，则赵、钱、孙、李四位师傅效率分别为 3、3、4、
5。现钱、孙、李各负责一个订单：3*60/（3+3+4+5）=12。3*12=36；60-36=24；
24/3=8，对应 A项。【选 A】
五、牛吃草问题
基本公式：y=（N-x）*T
y：代表原有存量的消耗量（比如：原有草量吃完啦）。
N：促使原有存量消耗的变量（比如：牛数）。
x：存量的自然生长速度（比如：草长速度）。
T：时间。
【考法合集：充分认知】一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可
以供25 头牛吃12天，或者供 40头牛吃6天。
问题 1：草生长速度是多少？
问题 2：这片草地原有多少草量？
问题 3：这片草地可以供 30头牛吃多少天？
问题 4：草地上有 28头牛，需要多少天，原有草地还剩 40%？
问题 5：要想可持续发展（草永远吃不完），每天最多放多少头牛？
【注意】
1.问题 1：草生长速度是多少？
答：（25-x）*12=（40-x）*6→50-2x=40-x→x=10。
2.问题 2：这片草地原有多少草量？
答：y=（25-x）*12=（40-x）*6=y=180。
- 15 -3.问题 3：这片草地可以供 30头牛吃多少天？
答：y=180=（30-10）*t→180=20*t→t=9。
4.问题 4：草地上有 28头牛，需要多少天，原有草地还剩 40%？
答：180*60%=（28-10）*t→180*0.6=18*t→t=6。
5.问题 5：要想可持续发展（草永远吃不完），每天最多放多少头牛？
答：（n=x时），y可持续。
【注意】牛吃草考法：
1.纯牛问题。
2.资源消耗类。
（1）挖沙问题。
（2）树木的砍伐。
（3）进出水问题。
①宏观：水库进出水。
②微观：水池进出水。
3.服务类：窗口的排队问题。
【例 25】（2019 联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程
队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1台挖
沙机300 天可完成清淤工作，使用 2台挖沙机 100天可完成清淤工作。为了尽快
让河道恢复使用，上级部门要求工程队 25 天内完成河道的全部清淤工作，那么
工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】25.问工程队至少要有多少台挖沙机同时工作，读题有生长，有消
耗，判定为牛吃草类问题。求 x列式：y=（1-x）*300=（2-x）*100→3-3x=2-2x
→2x=1→x=0.5；求 y 列式：y=（1-0.5）*300=（2-0.5）*100=150。求 n 列式：
150=（n-0.5）*25→6=n-0.6→n=6.5台，机器一定是整数，对应 D 项。【选D】
- 16 -【例 26】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后
每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若
开放3个窗口，需耗时 90分钟，若开放5个窗口，则需耗时 45分钟。问如果开
放6个窗口，需耗时多少分钟?
A.36 B.38
C.40 D.42
【解析】26.问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟，读题有生长，有消耗，
判定为牛吃草类问题。求 x 列式：y=（3-x）*90=（5-x）*45→6-2x=5-x→x=1；
求y列式：y=（3-1）*90=（5-1）*45=180；求 t列式：180=（6-1）*t→180=5*t
→t=180/5=36，对应 A项。【选A】
【例 27】（2022 江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后
每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：
若开8个接种台，6 小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3小时后不再有人
排队。如果每小时新增的市民人数比假设的多 25%，那么为保证2小时后不再有
人排队，需开接种台的数量至少为：
A.14 个 B.15个
C.16 个 D.17个
【解析】27.问那么为保证 2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少。
读题有生长，有消耗，判定为牛吃草类问题。求 x 列式：y=（8-x）*6=（12-x）
*3→16-2x=12-x→x=4；求y列式：y=（8-4）*6=（12-4）*3=24；求n列式：24=[n-
（x+x*25%）]*2→24=（n-5）*2→12=n-5，12+5=17，对应D项。【选 D】
【注意】寄语：
有的小伙伴在职备考，白天工作，偷摸学习，一天工作已很累，晚上熬夜刷
题。有的小伙伴全职备考，身心压力很大，无社交，不敢出门，封闭了自己。
成年人
每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜
- 17 -【答案汇总】1-5：DBABC；6-10：CDBCD；11-15：ACAAC；16-20：CCDAB；
21-25：AACAD；26-27：AD。
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