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主题：倍数特性法
日期：2022.12.01倍数特性法（笔记）
课程设置：12 次课，讲练结合
【注意】课程设置：12次课，讲练结合（9次课+3次练习）。
灵魂一问？数量是不是亲生的？考场真的要放弃数量吗？
【注意】数量关系：放弃数量不能进面，不能达到 70+或75+分；破而立，不
能把所有的精力都放在三大模块上，也要匀一些精力给数量。
1.数量的为什么让你苦恼？
（1）没时间做（偏心眼）：没有大局观。
（2）读不懂。
（3）做得慢、算得慢、列得慢。
（4）基础不好，即使算了最后也不对。
2.考场到底该如何解决？
（1）要有大局观。
（2）先读问题，再读题干。
（3）计算：约分、代入。
（4）熟：快、狠、准。
第一章 倍数特性
1.整除型
2.余数型
3.比例型
4.取物模型
5.不定方程型倍数特性
6.余数问题的三则运算
7.倍数特性之增长率型
解题思维：利用选项结合倍数关系，先排除，排除不完再代入
【注意】倍数特性法——利用选项：
- 1 -1.提高正确率。
2.有可能对。
1.整除型
基础知识：如果，A=B*C（B、C均为整数），那么，A能被B整除，且 A能被
C整除
【注意】基础知识：如 15=3*5，15能被 3整除，且15能被5整除。
【例 1】（2021 北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企
业扩大招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生 240名，但实际招聘的高校毕业生
数量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7个部门
培训，并在培训结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作。问该企业实际招聘的
高校毕业生至少比计划招聘数多多少人？
A.6 B.12
C.14 D.28
【解析】1.抓住问题，前面是背景，不重要。问题三步走，问实际比计划多
多少人，所求（最少）=实际-计划，计划招聘 240人，实际的人数既能分到 7个
部门，又能分给 9 个分公司，则应是 63 的倍数，即所求=63n-240，要求结果最
少，说明 63n 需要最少，63*4-240=240+12-240=12，或根据 63*4-240=尾数 2，
选择B项。【选 B】
整除判定法
（1）口诀法（常用于 3、4、5、9）：3/9 看各位数字之和，5 看末位，4 看
末两位。
3/9→看各位数字之和能否被 3/9整除，例：12345
2/5→看数字末一位能否被2/5整除，例：12125
4/25→看数字末两位能否被 4/25整除，例：12124
8/125→看数字末三位能否被 8/125整除，例：12164
（2）拆分法（没口诀，常用于 7、11、13）
- 2 -一个数=接近且明显能被整除的数±零头，只看零头，
例：623÷7，把 623拆成7的倍数±零头，只看零头能否被 7整除
（3）因式分解（复杂倍数，常用于 6、12、18、24等）
因式分解成两个互质（互质指两数没有公约数）的数，同时满足能被这两个
数整除，例：24=3*8。
【注意】整除判定法：
1.口诀法（常用于 3、4、5、9）：3/9看各位数字之和，5看末位，4 看末两
位。
1.3/9→看各位数字之和能否被 3/9 整除。例：12345，看各个位数之和，
1+2+3+4+5=15，15 能被3整除，则12345能被 3整除；2547，看各个位数之和，
2+5+4+7=18，18能被 9整除，则2547能被 9整除。
（1）弃3法（弃 3的倍数）：如123456，划掉 3的倍数，即划掉 1、2（1+2=3），
划掉3，划掉 4、5（4+5=9），划掉6，说明 123456可被3整除。
（2）弃9法（弃 9的倍数）：如245763，划掉 9的倍数，即划掉4、5（4+5=9），
划掉2、7（2+7=9），划掉 6、3（6+3=9），说明 245763可被9整除。
2.2/5→看数字末一位能否被 2/5整除。例：12125，只看末位 5。
3.4/25→看数字末两位能否被 4/25 整除。例：12124，12124=12100+24，
12100末两位为 00，能被 4、25整除，故只看末两位 24是否能被4、25整除。
4.8/125→看数字末三位能否被 8/125整除。例：12164，12164=12000+164，
12000能被 8和125 整除，只看164是否能被 8和125整除。
2.拆分法（没口诀，常用于 7、11、13）：一个数=接近且明显能被整除的数
±零头，只看零头。例：623/7，把 623 拆成 7 的倍数±零头，只看零头能否被
7 整除，623=630-7，630、7 都能被 7 整除，则 623 能被 7 整除；209=190+19，
190、19 都能被19 整除，则209能被19整除。
3.因式分解（复杂倍数，常用于 6、12、18、24 等）：因式分解成两个互质
（互质指两数没有公约数）的数，同时满足能被这两个数整除。例：24=3*8。
（1）6=2*3，一个数能被 2整除，也能被 3整除，则一定能被 6整除。
（2）12=3*4≠2*6，要拆成两个没有公约数的数。
（3）18=2*9≠3*6。
- 3 -（4）24=3*8≠4*6。
（5）注：12、18、24是最常考的三个数。
【例 2】（2021 上海）公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没
有标注单价，且总价第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可
能是（ ）。
A.3 B.5
C.7 D.9
【解析】2.总价=单价*数量→☆579△=单价*24=单价*3*8，说明☆579△既
能被 3 整除又能被 8 整除，3 看数字和、8 看末三位，数字和不好看，先看末三
位79△=800-8是8 的倍数，则△=2。弃3法：☆5792，划掉9、7、2（7+2=9），
说明“☆+5”能被 3整除，只有C项满足。【选 C】
2.余数型
余数型（公务员思想：均分思想、多退少补）
若总数=ax+b，则（总数-b）能被a整除。（a、x均为整数）
【补例 1】一堆苹果分给一些人，平均每人分 3个……，问这堆苹果有多少
个？
【补例 2】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【补例 3】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【注意】余数型（公务员思想：均分思想、多退少补）：
1.补例 1：A=B*C，总数=人均个数*人数=3*人数，总数是3的倍数。
2.补例 2：“剩 3个”即“余3个”，说明总数/10→余3，对应C 项。或“剩
- 4 -3个”即“多3个”，多退少补，总数-3=10 的倍数，选择C项。
3.补例 3：“缺 3个”，多退少补，总数+3=10的倍数，选择A项。
【例 3】（2019 江苏）一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，
5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学生的最少人数是：
A.23 B.53
C.88 D.158
【解析】3.余数问题，问“最少”，从最小的 A 项开始代入，A 项：23/3 余
2，23/5 余 3，23/7 不余 4，不满足，排除；B 项：53/3 余 2，53/5 余 3，53/7
余4，满足所有条件，当选。不需要验证 C、D项。【选B】
【例 4】（2019 江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能
部门。如果按每个部门 9 包分发，则多 6 包；如果按每个部门 11 包分发，则有
1个部门只能分到1 包。这批打印纸的数量是
A.87 包 B.78 包
C.69 包 D.67 包
【解析】4.余数问题：均分思想。根据题意：总数-6=9 的倍数，“选项-6”
分别为 81、72、63、61，61 不是 9 的倍数，排除 D 项。“如果按每个部门 11 包
分发，则有1个部门只能分到 1包”，说明有 1个部门少了10包，总数+10=11的
倍数，A、B、C项分别+10：97、88、79，只有 88是11的倍数，选择 B项。【选
B】
【注意】“如果按每个部门 11 包分发，则有 1 个部门只能分到 1 包”，也可
以是总数-1=11的倍数，如果这 1包不给这个部门，就是少 10包。
【例 5】（2021 广东选调）疫情期间，爱心人士向某街道捐赠了两箱防疫物
资，内装物资件数相同。街道将两箱物资分别给了甲、乙两个工作组，其中甲工
作组除1人拿到4件物资外，其余每人各分得 5件；乙工作组除1人拿到 6件物
资外，其余每人各分得 7 件。已知每箱物资数量在 50 到 100 件之间，则每箱装
- 5 -有防疫物资（ ）件。
A.58 B.62
C.69 D.74
【解析】5.第一句为背景，根据题意：总数+1=5的倍数，排除 A、B项；总
数+1=7 的倍数，C、D 项分别+1：70、75，75 不是 7 的倍数，排除 D 项，选择 C
项。【选C】
3.比例型
已知某班：男/女=7/3（最简分数），问：
①男生人数是_____的倍数
②女生人数是_____的倍数
③全班人数是_____的倍数
④男女生人数差是_____的倍数
【注意】比例型：已知某班男/女=7/3，一定要化成最简分数，如果一个班
有20人，男/女=7/3=14 人/6人，如果写成 700/300，无形中把人数变多了。
1.男生人数是 7的倍数。
2.女生人数是 3的倍数。
3.全班人数是 10的倍数。
4.男女生人数差是 4的倍数。
①男员工是女员工的 3/5（分数）；
②男员工与女员工之比 3：5（比例）；
③男员工是女员工的 60%（百分数）；
④男员工是女员工的 0.6倍（倍数）
比例型适用于：
1、题干特征：分数、比例、百分数、倍数
2、对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。人、车、年龄
等
【注意】
- 6 -1.比例形式：
（1）男员工是女员工的 3/5（分数），即男/女=3/5。
（2）男员工与女员工之比 3：5（比例），即男：女=3：5。
（3）男员工是女员工的 60%（百分数），即男=女*60%=女*3/5。
（4）男员工是女员工的 0.6倍（倍数），即男=女*0.6=女*3/5。
2.比例型适用于：
（1）题干特征：分数、比例、百分数、倍数。
（2）对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。人、车、年
龄（考试中一定是整数）等。
考法
【注意】考法：
1.灵魂：分子与分母↔问题的关系。
2.考法一：男/女=7/3。
（1）分子：男生是 7的倍数。
（2）分母：女生是 3的倍数。
（3）分子+分母：“共”=男生+女生=10 的倍数。
（4）分子与分母之差：“差”=多的-少的=男-女=4的倍数。
3.考法二：（男-2）/女=7/3。
（1）分子：男-2=7的倍数。
（2）分母：女生是 3的倍数。
（3）分子+分母：“共”=男+女-2=总-2=（7+3）的倍数=10的倍数。
（4）分子-分母：“多”=（男-2）-女=男-女-2=（7-3）的倍数=4 的倍数。
4.考法三：甲/其他=3/5，即A与非A。
（1）甲是3的倍数。
（2）其他是5 的倍数。
（3）“共”是 8的倍数。
（4）甲/总=3/8。
- 7 -【例 6】（2022 联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志
愿服务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以
上的人数是不到 20 岁人数的 7 倍。已知 30 岁以下的人数比 30 岁及以上的人数
多66人，问这支服务队共多少人？
A.90 B.120
C.150 D.180
【解析】6.问“共多少人”，已知“一百多人”，排除 A 项。20～30 岁/总
=68/100=34/50=17/25，说明总人数是25的倍数，只有C项满足。【选 C】
【例 7】（2022 国考）高校某专业70多名毕业生中，有 96%在毕业后去西部
省区支援国家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的 20%，
比任职大学生村官的毕业生少 2人，比在西部地区参军入伍的毕业生多 1人，其
余的毕业生选择去国有企业西部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作
的毕业生有多少人？
A.32 B.29
C.26 D.23
【解析】7.关键字为 96%、20%，使用倍数特性。已知支援/总=96/100=（100-
4）/100=24/25，总人数是 25 的倍数，且为“70 多名”，只能是 75 人，包含支
援、不支援，则支援人数=75*24/25=72 人，不支援人数=3 人。支援小学的人数
=75*20%=15人，大学生村官人数=17人，入伍人数=14人，其余（西部）=72-15-
17-14=72-46=26，对应 C项。【选C】
【注意】也可以用尾数法解题，所求=72-（15+17+14）=尾2-尾 6=尾6，选
择C项。
【例 8】（2019 江苏）某地区有甲、乙、丙、丁 4 个派出所。已知上月甲、
乙 2 个派出所的合计出警次数是 95 次，乙、丙、丁 3 个派出所的合计出警次数
7
是140次，乙派出所的出警次数占 4个派出所合计出警次数的 ，则上月甲派出
40
所的出警次数是：
- 8 -A.55 次 B.60 次
C.68 次 D.75 次
【解析】8.问“甲”，根据题意：甲+乙=95、乙+丙+丁=140、乙/（甲+乙+丙
+丁）=7/40，出现百分数，整零的数具有天然的优越性，甲+140=40 的倍数，说
明甲的尾数是0，只有 B项满足。【选B】
1
【例 9】（2019 黑龙江）学校买来四种教材，语文教材是其余三种的 ，数学
4
3 7
教材是其余三种的 ，英语教材是其余三种的 ，科学教材比数学教材少 30 本，
7 13
则数学教材有：
A.30 本 B.60 本
C.100 本 D.200 本
【解析】9.抓重点，问“数学”，数学/其他=3/7，说明数学是3 的倍数，排
除C、D项。已知数学=科学+30，如果数学=30，则科学=0，0本不需要买，故选
择B项。【选 B】
【例 10】（2020 上海）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三
1 1
个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的 ，丙带的钱是另外三个人的 ，丁带
3 4
了91元，他们一共带了多少元？
A.364 B.380
C.420 D.495
【解析】10.抓住问题，问“一共”，是考法三，即问“和”。已知甲/其他 =1/2
1
→总数是3的倍数、乙/其他 =1/3→总数是 4的倍数、丙/其他 =1/4→总数是5
2 3
的倍数，总数是 3、4、5 的倍数，即总数是 60 的倍数，只有 C 项满足。【选 C】
【例 11】（2020 联考）甲、乙、丙三人去超市买了 100元的商品，如果甲付
2
钱，那么甲剩下的钱是乙、丙两人钱数之和的 ；如果乙付钱，则乙剩下的钱是
13
9
甲、丙两人钱数之和的 ；如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受 9折优惠，结果
16
1
丙剩下的钱是甲、乙两人钱数之和的 ；那么，甲、乙、丙三人开始时一共带了
3
- 9 -多少钱？
A.850 元 B.900 元
C.950 元 D.1000 元
【解析】11.抓住问题，问“共”，是考法二，即分子+分母。已知（甲-100）
/（乙+丙）=2/13→甲+乙+丙-100=15的倍数，15=3*5，“选项-100”分别为 750、
800、850、900，排除 B、C 项。（乙-100）/（甲+丙）=9/16→甲+乙+丙-100=25
的倍数，无法排除选项。（丙-90）/（甲+乙）=1/3，甲+乙+丙-90=4的倍数，A项
-90=760，D项-90=910，910不是4的倍数，只有 A项满足。【选A】
4.取物模型
（1）总量描述
（2）各部分关系描述
【注意】取物模型：
1.总量描述→算总量。
2.各部分关系描述→找关系。
3.代入出答案。
【例 12】（2018 四川）现有 10 个相同的盒子中分别装有 1～10 个球，任意
两个盒子中的球数都不相同。小李分三次每次取出若干个盒子，每次取出的盒子
中的球数之和都是上一次的 3倍，且最后剩下 1个盒子。问剩下的盒子中有多少
个球？
A.9 B.6
C.5 D.3
【解析】12.算总量：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，凑11，结果为55。设第一次
取 x，则第二次取 3x、第三次取 9x，剩余=55-x-3x-9x=55-13x→55-剩余=13 的
倍数，代入D项：55-3=52，是13的倍数，满足，对应 D项。【选D】
【注意】若不放心，代入其他选项，C 项：55-5=50 不是 13 的倍数，B 项：
55-6=49 不是13的倍数，A项：55-9=46不是 13的倍数，只有D项满足。
- 10 -【例 13】（2021 上海）将从 1 到 11 连续自然数填入下图中的圆圈内，要使
每边上的三个数的和都相等，a不可能是（ ）。
A.1 B.6
C.7 D.11
【解析】13.算总量：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=55+11=66，图形类似于风
扇的5个“叶”，则 66-a=5的倍数，问“不可能”，找“66-选项”不是 5的倍数
的，只有C项满足。【选 C】
【例 14】（2019 联考）现有5盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、
14、17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼 4种，每个盒内装的
是同图案的卡片。已知米老鼠的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数
之和比葫芦娃图案的多 1倍。据此可知，图案为米老鼠的卡片张数为：
A.7 B.9
C.14 D.17
【解析】14.算总量：米老鼠+葫芦娃+喜羊羊+灰太狼=58，已知“喜羊羊、
灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多 1 倍”，说明喜羊羊+灰太狼=2*葫芦
娃，则米老鼠+3*葫芦娃=58→58-米老鼠=3 的倍数，“58-选项”分别为 51、49、
44、41，只有 51是 3的倍数，选择A项。【选 A】
【注意】58-米老鼠=3的倍数，5+8=13，选项各位数字之和分别为 7、9、5、
8，13-9=4不是3的倍数，13-5=8不是3的倍数，13-8=5不是3的倍数，只有 A
项满足。
5.不定方程型倍数特性
- 11 -量的关系：A+B=C
特点：A、B倍数特性表述
【注意】不定方程型倍数特性：
1.量的关系：A+B=C，即两人/两物存在和的关系或差的关系。
2.特点：A、B 倍数特性表述，每个人都用“%”表述。
【例 15】（2018 联考）某储蓄所两名工作人员，一天内共办理了 122 件业
务，其中小王经手的有 84%是现金业务，小李经手的有 25%为非现金业务，小李
当天办理了多少件现金业务？
A.36 B.42
C.48 D.54
【解析】15.根据题意：王现/王=84/100=21/25，李非/李=25/100=1/4，量
的关系：王（25的倍数）+李（4的倍数）=122，设王为25x、李为4y，则25x+4y=122，
122、4y能被2整除，说明 25x一定能被2 整除，总量为122，说明王只能是 50
或100，若王是100，100+22=122，但22不是4的倍数，则王只能是50，50+72=122，
说明李是 72，1/4 是非现金，则 3/4 是现金，李现=72*3/4=54，选择 D 项。【选
D】
【例 16】（2019 联考）某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计
2200只，所有兔子的毛色分为黑、白两种。肉兔中有 87.5%的毛色为黑色，宠物
兔中有23%的毛色为白色。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A.25 B.50
C.100 D.200
【解析】16.已知肉和宠共 2200，肉→87.5%，宠→23%，不定方程型倍数特
性。黑肉/肉=87.5%=7/8，说明肉兔是 8 的倍数，白宠/宠=23%=23/100，说明宠
物兔是100的倍数，肉+宠=2200，设肉是 8x，宠是 100y，则 8x+100y=2200，100y、
2200 是 100 的倍数，则 8x 也是 100 的倍数，问“至少”，8x 既是 8 的倍数又是
100的倍数，最小是 200，肉兔是200，白肉/肉=1-7/8=1/8，则所求=200*1/8=25，
对应A项。【选 A】
- 12 -【注意】7/8=87.5%，1/8=12.5%；5/8=62.5%，3/8=37.5%。
不定方程型倍数特性小结
（1）列不等式：A+B=C
（2）根据A、B倍数特解题
6.余数问题的三则运算
余数定理
口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
解释：
1、余同取余，例如“一个数除以 7 余 1，除以 6 余 1，除以 5 余 1”，可
见，所得余数恒为 1，则取1，被除数的表达式为 210n+1；
2、和同加和，例如“一个数除以 7 余 1，除以 6 余 2，除以 5 余 3”，可
见，除数与余数的和相同，取此和 8，被除数的表达式为 210n+8；
3、差同减差，例如“一个数除以 7 余 3，除以 6 余 2，除以 5 余 1”，可
见，除数与余数的差相同，取此差 4，被除数的表达式为 210n-4；
特别注意的是，前面的 210是5、6、7 的最小公倍数，此即为公倍数做周
期
【注意】余数问题的三则运算——余数定理：例 3、例 4、例 5 问总数，
代入即可，如果利用总数找关系，但无总数，需要用到余数定理。
口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
1.余同取余：（ ）/7余1，（ ）/6 余1，（ ）/5余1，余数相同，均
为“1”，5、6、7 的最小公倍数210，被除数的表达式为 210n+1。如（ ）/5
余1，（ ）/4余 1，（ ）/3余1，余数相同，均为“1”，5、4、3的最小公
倍数为60，被除数的表达式为 60n+1，n=1 时→60+1=61，n=2时→120+1=121，
n=3时→180+1=181。
2.和同加和：（ ）/7余1，（ ）/6 余2，（ ）/5余3，余数不同，但
7+1=8、6+2=8、5+3=8，和相同，均为“8”，5、6、7的最小公倍数 210 作为周
- 13 -期，被除数的表达式为 210n+8。
3.差同减差：“差同”即“缺同”，（ ）/7余3→缺4，（ ）/6余2→缺
4，（ ）/5余1→缺 4，5、6、7的最小公倍数210作为周期，被除数的表达
式为210n-4。
4.特别注意的是，前面的 210是5、6、7的最小公倍数，此即为公倍数做
周期。
【例 17】（2019 山东）一个盒子里有乒乓球 100多个，如果每次取 5个出来
最后剩下4个，如果每次取 4个最后剩3个，如果每次取 3个最后剩 2个，那么
如果每次取12个最后剩多少个？
A.11 B.10
C.9 D.8
【解析】17.如果问总数，可以直接代入，除以 5余4、除以4余 3、除以3
余2。
方法一：差同减差，都缺 1，总数=60n-1，每次取 12个，最后缺 1个，即剩
11个，选择 A项。
方法二：只看除以 4余 3、除以3余2，均缺 1，则正好是12n-1，问“每次
取12”，12-1=11，一定选择 A项。【选A】
【例 18】（2018 浙江）某次比赛报名参赛者有 213人，但实际参赛人数不足
200。主办方安排车辆时，每 5 人坐一辆车，最后多 2 人；安排就餐时，每 8 人
坐一桌，最后多7人；分组比赛时，每 7人一组，最后多 6人。问未参赛人数占
报名人数的比重在以下哪个范围内？
A.低于 20% B.20%～25%之间
C.25%～30%之间 D.高于 30%
【解析】18.根据题意：除 5余2、除8 余7、除7余6，余数不同，后两个
差相同，差同减差，则参加人数=56n-1，n=1、n=2、n=3，尾数法代入，n=1时，
56-1=55，除5不能余 2，排除。n=2时，56*2-1=112-1=111，除5不能余 2，排
除。n=3 时，56*3-1=167，除 5 余 2，满足，不参加的人数=213-167=46，所求
- 14 -=46/213，首位商2，比20%略大，选择B项。【选 B】
【注意】考试中，90%的题考的都是“差同”。
小结：余数问题的三则运算——余数定理
口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
【注意】余数的考法：
1.求总数，如例 3、例4、例5。
2.无总数，用余数定理，余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
7.倍数特性之增长率型
【注意】倍数特性之增长率型：数量中有资料，现期=基期*（1+r）。
【例19】（2020江苏）某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，
营业利润增加 600 万元。已知该企业去年的营业利润为 1000 万元，则其今年的
预计营业支出是
A.9000 万元 B.9900 万元
C.10800 万元 D.11500 万元
【解析】19.抓住问题，问今年的预计营业支出，今年营业支出=去年营业支
出*（1+10%）→今年营业支出/去年营业支出=1.1=11/10，说明今年营业支出是
11的倍数，只有 B 项满足。【选B】
【注意】为什么一定是整数：
1.观察题干和选项，1000 万元、11500 万元=1.15 亿元，不在乎块儿八毛。
2.观察选项，考官提示为整数。
【例 20】（2019 联考）某高校本年度毕业学生 3060 名，比上年度增长 2%。
其中本科生毕业数量比上年度减少 2%，而研究生毕业数量比上年度增加 10%，那
么，这所高校本年度本科生毕业数量是：
- 15 -A.1900 人 B.1930 人
C.1960 人 D.1990 人
【解析】20.已知“本科生毕业数量比上年度减少 2%”，今年本科=去年本科
*（1-2%）→今年本科/去年本科=98/100，今年本科是 98的倍数，只有 C项满足。
【选C】
小结：倍数特性之增长率型
数量中出现增长率的表述，问今年去年的量的多少？
利用倍数特性
小结：倍数特性
1.整除型
2.余数型
3.比例型
4.取物模型
5.不定方程型倍数特性
6.余数问题的三则运算
7.倍数特性之增长率型
【注意】倍数特性：总共 20题。
1.整除型。
2.余数型。
3.比例型：讲解考法一、考法二、考法三，每种考法介绍四种小考法，灵魂
是分子、分母与问题的关系。
4.取物模型。
5.不定方程型倍数特性。
6.余数问题的三则运算。
7.倍数特性之增长率型。
你的梦想拉高一分，你的能力 N倍裂变。
- 16 -你的梦想拉高一分，你的能力自我显现。
有了梦想就有了动力，有了动力就练出了能力。
【注意】作业：
1.读题→识别题型，每个读 3遍。
2.计算→做 2遍。
【答案汇总】
1-5：BCBBC；6-10：CCBBC；11-15：ADCAD；16-20：AABBC
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