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主题：方程法
日期：2022.12.02方程法（笔记）
第二章 方程问题
高频考点：
1.普通方程（平均考 1-2个，送分题）
2.不定方程（考得少，技巧题）
3.不定方程组（考得少，技巧题）
【注意】高频考点：难点是在考场上不敢去仔细读，识别不出来什么是量的
关系
1.普通方程
【注意】普通方程：设未知数技巧（重点）。
1.设小不设大（减少分数计算）。设：体重“你”是“我”的一半，“你”
是x；“我”就是 2x。如果“我”是x，“你”就是 1/2x，不好计算。
2.出现比例设份数（减少分数计算）。设：体重“你”是“我”的 2/3，代
表：你/我=2/3，说明设“你”为：2x；“我”为：3x。
3.设中间量（未知量较多时，从中间量入手）。一般来说未知量较多的时候，
一定会给一个中间关系。
4.考法：
（1）普通方程（一个方程，一个未知数）。
（2）普通方程组（多个方程，多个未知数）。
（3）一个等量关系叫做一个方程；多个等量关系叫做方程组。
【例 1】（2021 新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款240元，
甲、丙、丁共捐款 190 元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款 40 元。问丁捐
款多少元？
A.70 B.80
C.90 D.120
- 1 -【解析】1.问丁捐款多少元。未知量较多时，从中间量入手，根据题干描述，
甲为中间量，但是甲是丙的两倍，设小不设大，设丙为 x，则甲为 2x，乙为 2x+40。
消元或者约分皆可。2x+2x+40+x=240→5x+40=240，解得 x=40；甲、丙、丁共捐
款 190 元，列式：2x+x+丁=190→丁=190-3x=190-120=70，则丁=70，对应 A 项。
【选A】
【注意】温馨提示：未知数量较多时，从中间量入手。
【例 2】（2022 联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加 2人
并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加 10
人，第二小组人数减少 1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原
先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15 人 B.21 人
C.24 人 D.32 人
【解析】2.问题为原先人数最多的小组与人数最少的小组之间差多少人，所
求=最多-最少。根据题干“与原先相比”知道人数存在着“现在和原来”。现在
每小组人数为x，则现在的总人数为 x+x+x+x=4x。根据题干，第一小组原来：x-
10；第二小组原来：x+1；第三小组原来：x/2；第四小组原来：2x，原来的总人
数为：4x-2。列式：x-10+x+1+x/2+2x=4x-2→-9+x/2=-2；得出：x=14。原来人数
最多的为 2x=28，人数最少的为 x-10=4；所求=最多-最少=28-4=24，对应 C 项。
【选C】
【练习-追根溯源】(2017吉林)姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱
合在一起是180元，如果老大钱数增加 8元，老二钱数减少 8元，老三钱数乘以
2倍，老四钱数减少到原来的一半，则此时四个人的钱数相同。若其中两人的钱
数凑在一起正好买一个价格为 68元的音乐盒，则这两个人是:
A.老二和老三 B.老大和老三
C.老大和老二 D.老二和老四
【解析】练习.总量为180，找到中间量设未知数，设相同为x。老大：x-8；
- 2 -老二：x+8；老三：2/x；老四：2x；列式：（x-8）+（x+8）+2/x+2x=180→2/9x=180，
解得x=40。则老大：40-8=32；老二40+8=48；老三：2/40=20；老四：2*40=80。
问那两人凑在一起正好 68，老二+老三48+20=68，对应A项。【选 A】
【例 3】（2022 江苏）某餐饮公司甲、乙两种外卖每份的售价分别为 30 元
和 50 元，若该公司某天售出这两种外卖共 500 份，销售收入为 21400 元，则售
出的两种外卖数量相差：
A.140 份 B.160 份
C.180 份 D.200 份
【解析】3.给出份数和金额两个等量关系，列两个等式。设 30 元、50元分
别为 x、y 份。列式：x+y=500①；30x+50y=21400②。问售出的两种外卖数量相
差。
方法一：用①*30 得③：30x+30y=1500，②-③：20y=6400，解得 y=320。
x+y=500→x=500-320=180，则y-x=320-180=140，对应A项。
方法二：当问题问两者差的时候，x、y 单价分别对应 30、50，找 30 和 50
的中间量：（30+50）/2=40，①*40：40x+40y=20000⑤；②-⑤：10y-10x=140；
则y-x=140，对应A 项。【选A】
【例 4】（2019 上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、倒
勾和踹毽八种基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记 1分；
后三种基本动作由于难度较高，每次记 3 分。方华在 1 分钟内完成了 35 个基本
动作，总分为69分。那么方华完成了（ ）个3分动作。
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】4.给出个数、分数两个定量关系，列两个等式。设前五种基本动作
为x；后三种基本动作为y。x+y=35①；x+3y=69②，②-①：2y=34→y=17，对应
B项。【选B】
【注意】方程表述为对立面：
- 3 -1.分析总量关系。
2.求问题。
【例 5】（2020 深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员
各自独立完成送达。其中有 93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是
丙派送的，则甲派送了多少件？
A.44 B.45
C.46 D.47
【解析】5.捋清题目，93件不是甲派送的：乙+丙=93；92件不是乙派送的：
甲+丙=92；91 件不是丙派送的：甲+乙=91。列式：2*（甲+乙+丙）=93+92+91；
甲+乙+丙=138。抓住问题，问的是甲派送了多少件，列式：甲=甲+乙+丙-（乙+
丙）；甲=138-93；甲=45，对应B项。【选 B】
【例 6】（2017 联考）某人雇佣了甲、乙、丙三名工人加工一些零件，其中
有 87 个零件不是甲加工的，有 86 个零件不是乙加工的，有 85 个零件不是丙加
工的，那么甲加工的零件数是：
A.42 个 B.43 个
C.44 个 D.45 个
【解析】6.跟例 5类似。方法一：列式：甲+乙+丙=（87+86+86）/2；甲+乙
+丙=129；求甲的减去乙、丙：129-87=42，对应 A项。
方法二：所求=甲乙丙-乙丙；对应（非 A+非B+非C）/2-非A；通分得：（非
A+非B+非C）/2-（2*非A）/2=（非B+非C-非 A）/2，代入：（92+91-93）/2=45，
对应A项。【选 A】
【例 7】（2020 联考）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书
写春联。现场书写的春联中有 188幅不是A 老师书写的，有219幅不是 B老师书
写的，A、B 两位老师今年一共书写了 311 幅春联。问 B 老师今年一共书写了多
少幅春联？
A.208 B.171
- 4 -C.140 D.126
【解析】7.188 幅不是 A 老师书写的：B+C=188；有 219 幅不是 B 老师书写
的：A+C=219；A、B 两位老师今年一共书写了 311幅春联：A+B=311。问 B老师今
年一共书写了多少幅春联：（非A+非C-非B）/2=（188+311-219）/2=280/2=140,
对应C项。【选 C】
普通方程小结
设未知数技巧
1、设小不设大（减少分数计算）
2、出现比例设份数（减少分数计算）
3、设中间量（未知量较多时，从中间量入手）
考法：
普通方程（一个方程，一个未知数）
普通方程组（多个方程，多个未知数）
【注意】核心为问题和等量关系。
2.不定方程：
形式 1：ax+by=M→奇偶、倍数、尾数、代入。
形式 2：ax+by+cz=→倍数。
【注意】
1.一个方程两个未知数。
2.一个方程三个未知数。
1.不定方程：ax+by=c。
2.方法：
（1）奇偶特性。
（2）倍数特性（等式左右两边有共同的因子）。
（3）尾数法（x、y的系数的尾数为0）。
（4）代入排除。
- 5 -3.例：
（1）引例1.奇偶特性。
3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）。
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】引例 1.3x+4y=25，25为奇数，4为偶数，奇数+偶数=奇数，所以 3x
一定为奇，看选项排除 A、C项。代入C项：3x+4y=25；3x为9；25-9=16；4y=16；
y=4，正确，当选。【选 B】
（2）引例 2.倍数特性：ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特
性。
7x+3y=60，y最大为多少?（x、y均为正整数且不为 0）。
A.12 B.13
C.16 D.18
【解析】引例 2.不定方程的最值（此消彼长）。要想 y最大为多少，说明 x
要尽量的小，7x+3y=60，利用倍数特性，3y 和60有公因子，都是3 的倍数，都
可以被 3 整除，说明 7x 也是 3 的倍数，x 要尽量的小，代入 x=3；60-（7*3）
=39；3y=39；y=13，对应 B项。【选B】
（3）引例3.尾数：ax+by=M，当a或b 尾数是0时，考虑尾数。
37x+20y=271，x=?（x、y均为正整数）。
A.1 B.3
C.2 D.4
【解析】引例 3.当 a 或 b 尾数是 0 或者 5 时，考虑尾数，因为尾数为 0 是
唯一性；5 是有限性，要么为 0 要么为 5。37x+20y=271；271 尾数为 1；20y 尾
数为 0；1+0=1；37x 尾数为 7，代入 A 项：1*7=7，错误，排除。B 项：3*7=21，
尾数为1，当选。C 项：2*7=14，错误，排除。D项：4*7=28，错误，排除，对应
B项。【选B】
【注意】不定方程形式：尾数优于倍数，尾数优于奇偶，代入是前提都没办
法用代入。
- 6 -【例 8】（2020 四川）某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三
个品种的樱桃单价分别为 28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少
盒丙品种的樱桃？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】8.问最多购买了多少盒丙。设甲、乙、丙分别为 x、y、z，求 z。
以价格列等式：28x+32y+33z=400；一个方程三个未知数，用倍数特性。用选项
的倍数特性，28、32、400 都可以被 4 整除，33z 一定就是 4 的倍数，33 不是 4
的倍数，则z一定是 4的倍数，对应B项。【选 B】
【练习】（山东）某公司的 6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同
食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭 15 元一份，水饺 7 元一份，面
条9元一份，他们一共花费了 60元。问他们中最多有几人买了水饺：
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】练习.最多有几人买了水饺。设盖饭、水饺、面条分别为 x、y、z份，
共花费了 60 元，列等式：15x+7y+9z=60，一个方程三个未知数，用倍数特性，
15、9、60都是3的倍数，所以 7y一定就是 3的倍数，对应C项。【选 C】
【例 9】（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有 153 份相同的文件，
需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装 24 份文件，小的每个能装
15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】9.问需要大文件袋几个，设大文件袋为x个，小文件袋为 y个，求
x，列式：24x+15y=153；约掉3：8x+5y=51。
方法一：利用尾数法，5y的尾数为0或 5；51的尾数为1；5y的尾数为 0时
- 7 -0+1=1,8x尾数不可能是 1。5y的尾数为5；1+5=6，8x的尾数为6，代入选项 A：
2*8=16，尾数为 6，正确，对应 A项。
方法二：8x+5y=51 扩大2倍：16x+10y=102；10y的尾数为0；102 的尾数为
2；0+2=2,16x 的尾数为 2，代入选项 A：16*2=32，尾数为 2，正确，对应 A 项。
【选A】
【例 10】（2020 浙江）某会务组租了 20 多辆车将 2220 名参会者从酒店接
到活动现场。大车每次能送 50人，小车每次能送 36人，所有车辆送 2趟，且所
有车辆均满员，正好送完，则大车比小车（ ）。
A.多 5辆 B.多 2辆
C.少 2辆 D.少 5辆
【解析】10.问大车比小车。设大车为 x 辆，小车为 y 辆，采用尾数法。列
式：（50x+36y）*2=100x+72y=2220；100x 的尾数为 0；2220 的尾数为 0，那么
72y的尾数必然为 0，则说明y只能是5的倍数。y=5时：100x+360=2220,100+360
尾数不是20，排除；y=10时：100x+720=2220，100+720尾数为20，则 x=（2220-
720）/100=15，x=15,y=10，15-10=5，对应 A项。【选A】
【注意】不定方程组：
1.a x＋by＋c z＝M。
1 1 1
2.a x＋by＋c z＝N。
2 2 2
3.第一类：未知数一定是整数（主流）。
4.方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
【例 11】（2019 联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在
团体总分的规则为：一等奖得 9分，二等奖得 5分，三等奖得2分。甲队共有 10
位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为 61 分，问该队最多有几位选手获得
一等奖？
A.3 B.4
C.5 D.6
- 8 -【解析】11.问该队最多有几位选手获得一等奖，这道题有人数的等量，和
分数的等量。设一等奖、二等奖、三等奖分别为 x、y、z 人。分数为 9x、5y、
2z。列等式：x+y+z=10①；9x+5y+2z=61②，判定题型为不定方程组，x、y、z一
定为整数，先消元，消 z：②-2*①=7x+3y=41；因为3y能被3整除，7x代入A、
D项也能被3整除，但是 41不能，x一定不是 A、D项。问最多，从大开始代入，
代入 C 项：7x+3y=41；35+3y=41；3y=41-35=6；y=2，z=10-5-2=3，满足题干，
对应C项。【选 C】
【注意】人不能为 0，也不能为负。
【例 12】（2019 广东选调）一项考试共有 35道试题，答对一题得 2分，答
错一题扣 1 分，不答则不得分。一名考生一共得了 47 分，那么，他最多答对多
少道题？
A.26 B.27
C.29 D.30
【解析】12.问最多答对多少道题，设对、不答、错分别为 x、y、z，列式：
x+y+z=35①；2x-y=47②。不定方程组，一定是整数，消元，两式相加：①+②
=3x+z=82；问最多，从大开始代入，代入 D 项：30*30=90＞82，错误，排除；代
入 C 项：30*29=87＞82，错误，排除；代入 B 项：30*27=81，x 为 27 时，z=1，
y=7，满足所有条件，对应 B项。【选B】
【例 13】（2022 江苏）某企业年终评选了 30名优秀员工，分三个等级，分
别按每人 10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1
万元奖金的员工有：
A.14 人 B.19 人
C.20 人 D.21 人
【解析】13.设人数分别为 x、y、z人，求 z。列式：x+y+z=30①，10x+5y+1z=89
②。不定方程组，人数一定是整数，只能消元。消 y：①*5-②：-5x+4z=61→
4z=61+5x③。求z，用尾数法，③*2：8z=122+10x，10x尾数为0，122 尾数为2，
- 9 -则说明 8z 的尾数一定为 2，排除 C、D 选项。代入 A 项：8*14=112，则 x 为负，
排除，对应B项。【选 B】
【例 14】（2018 四川下）某企业采购 A 类、B 类和 C 类设备各若干台，21
台设备共用48万元。已知 A、B、C类设备的单价分别为 1.2万元、2 万元和2.4
万元。问该企业最多可能采购了多少台 C类设备？
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】14.问最多可能采购了多少台 C类设备。设A类、B类、C类分别为
x、y、z台，列式：x+y+z=21①；1.2x+2y+2.4z=48②。数小变成整数好算，②*5：
6x+10y+12z=240③，求 z，消 y：③-①*10：-4x+2z=30→-2x+z=15→z=15+2x，
求z。15 为奇数，2x 为偶数，z一定是奇数，排除 A、C选项。代入 B 项：z=17；
x=1；y=21-1-17=3；y=3，是整数，对应B项。【选 B】
【注意】只要验证是整数或者非 0，答案直接选。
【例 15】（2020 深圳）“数艺杯”绘画比赛的决赛规则如下：由 3 位评委
对 11 件作品进行投票，每位评委对每件作品可以投一票或者不投票；得 3 票的
作品为一等奖，得 2票的作品为二等奖；得 1票的作品为三等奖，不得票的作品
为鼓励奖。已知三位评委分别投出了 6票、7 票、8票。且有3件作品为鼓励奖，
那么（ ）。
A.一等奖作品比三等奖作品多 5件
B.一等奖作品比二等奖作品多 2件
C.二等奖作品比一等奖作品多 5件
D.二等奖作品比三等奖作品多 3件
【解析】15.设一等奖为 x 件，二等奖为 y 件，三等奖为 z 件，x+y+z=8①。
根据票数：3x+2y+z=21②，出现了等差数列，①*2：2x+2y+2z=16③，②-③：x-
z=5，对应 A项。【选 A】
- 10 -【注意】第二类：未知数可以是小数（单价和时间）。
1.凑系数（高中考法）。
2.赋零法：赋其中 1个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。
【例 16】（2018 上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲 1件、乙 3件、
丙 7 件共需 200 元；若购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元。则购买甲、
乙、丙各1件共需多少元？
A.50 B.100
C.150 D.200
【解析】16.设甲、乙、丙分别为x、y、z。列式：x+3y+7z=200①；2x+5y+11z=350
②。不定方程组，x、y、z不确定是否为整数，因为单位是元，只能赋 0。赋z为
0。x+3y=200；2x+5y=350。解方程①*2：2x+6y=400③；③-②：y=50。根据①：
x+3y=200；x+150=200，x=50、y=50、z=0，50+50+0=100，对应B项。【选 B】
【例 17】（2021 黑龙江边境）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新
年用品，已知大班采购春联 7 幅，窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元，
中班采购春联 9 幅、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。问小班采购春
联10幅，窗花 10对，小狗玩偶 10个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】17.设春联、窗花、小狗的单价分别为 x、y、z，赋 0 法，赋 y 为
0。列式：7x+5z=200①；9x+5z=224②。②-①：2x=24→x=12，代入①：84+5z=200；
200-84=5z；5z=116。问春联 10 幅，窗花 10 对，小狗玩偶 10 个需花费多少元，
10x+10z+10z=120+0+232=362，对应D项。【选 D】
【例 18】（2018 北京）老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。
3 个笔盒、2 个皮球和 4 个杯子一共 89 元，4 个笔盒、3 个皮球和 6 个杯子一共
127元。则一个笔盒多少元？
A.10 B.11
- 11 -C.12 D.13
【解析】18.问一个笔盒多少元，设笔盒、皮球、杯子分别为 x、y、z 元。
不定方程组，x、y、z 为非整数。3x+2y+4z=89①；4x+3y+6z=127②。赋 z 为 0。
①*3：9x+6y=267；②*2：8x+6y=254；①*3-②*2：x=13，对应D项。【选 D】
小结：方程
考法：等量关系
普通方程（一个方程，一个未知数）
普通方程组（多个方程，多个未知数）
【注意】重心一定不要放在不定方程上，放在普通方程上，考的特别多。
不定方程（一个方程，多个未知数）
不定方程组（两个方程，三个未知数）（消元、赋零法）
【注意】整数的题，必然消元，不可赋 0，只有是非整数的时间、金钱才可
赋0。
【注意】寄语：
读书从来都不是一件轻松的事儿，全世界都一样。
读书苦，但不读书的人生更苦。
亲爱的小伙伴们，你以后想过什么样的生活？
你现在所做的，所为之努力的，不仅仅是为了试卷上的分数，也不仅仅是为
了父母的期望，更重要的是为了自己，为了自己能变成自己想要变成的那种人。
这个世界上，含着金汤匙出生的人毕竟是少数，绝大多数是普通人。而普通
人想要改变自己的命运，无非是通过读书。要知道，读书是普通人逆袭的最佳途
径。
读书不苦，不读书的人生，才苦！
所以别怕吃学习苦，那是你通往世界的路。
总有一天，那些苦，会变成你遨游天际的翅膀。
- 12 -【答案汇总】1-5：ACABB；6-10：ACBAA；11-15：CBBBA；16-18：BDD
- 13 -
