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2025 年高考考前信息必刷卷 03（浙江卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A A B B C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABC ABC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．0 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，
所以 ． （5分）
（2）
由（1）知 ．由题意知 ， ，
即 ，化简得 ． （9分）在 中， ， ，根据余弦定理有 ，
则 ，
解得 ，从而 ，
所以 的周长为 ． （13分）
16．（15分）
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，又平面 平面 ，
∵平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ， （3分）
∵ 平面 平面 ，
∴ ，
又 平面 ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ，则 ； （6分）
（2）由题意及（1）， 面 ，且 面 ，则 ，
由 面 面 ，则 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （8分）
设 ，则 ，解得 ，
则 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ， ，
所以 ，当 时， ， （11分）
设 是平面 的一个法向量，则 ， ，
所以 ，当 时， ， （13分）
∴ 由图知，平面 与平面 夹角为锐角，
∴平面 与平面 的夹角为 ． （15分）
17．（15分）
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 ，
解得 ，所以 ． （3分）因为 的定义域为 ，令 ，求导，得 ，所以 在
上单调递增．
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值，
无极大值，
所以 的最小值为 ，无最大值． （7分）
（2）要证 ，只需证 ，即证 ．
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，也是最大值，
所以 ． （10分）
又 ，所以 ，恒有 ，
即 ，也即 ． （15分）
18．（17分）
【解析】（1）因为直线 的方程分别为 和 ， 两点的横坐标分别为 ，
所以 、 ，故 ， ，
因为 两点都在 轴同侧，则 ，所以 ，
则 ，所以 为定值 ． （4分）
（2）设 ，由中点坐标公式可得 ， ，由 ，即 ，
所以曲线 的方程为 ． （8分）
（3）设 、 ， ，
设点 ，则 ， ，
由 得 ，解得 ，
故点 的坐标为 ， （11分）
将点 的坐标代入方程 ，化简得 ， ，
易知直线 的倾斜角为 ，由图可得 ，
又 ， ，
所以 ， （15分）
由题意得， ，即 ，解得 ，所以实数 的最大值为 ． （17分）
19．（17分）
【解析】（1）根据题意可得： ，因为 ，代入上式解得 ，
又因为 ，因为 ， ， ，解得 ，
因为 为等比数列，所以 的公比为 ，
所以 ，
所以 ，
即： ， （3分）
当 时， ，
两式相减得： ，
化简得： ，整理得： ，
所以 是公差为 的等差数列，所以 . （5分）
（2）因为 ，
整理得：
记集合 的全体元素的和为 ，
集合 ， 为首项为 ，公比 的等比数列，所有元素的和为 ，
集合 ， 为首项为 ，公差为 的等差数列，
，所有元素的和为 ，
集合 的所有元素的和为 ，则有 ，
对于数列 ，
当 时，
是数列 中的项，
当 时， ，不是数列 中的项，
所以 ，其中 （8分）
所以 ，
即 （其中 表示不超过实数 的最大整数），
因为 为首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 . （10分）
（3） ，
当 ， 时，
是 的整数倍，
故一定不是数列 中的项，即 ，
当 时，
不是数列 中的项，
即 ， （15分）
当 时，
是数列 中的项，
即 ，
综上， 是 类集合， . （17分）
