文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年高考数学第二次模拟考试
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
B
B
A
C
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AD
ACD
BC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．32
13．2
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【解析】（1）因为
，由正弦定理得
，
所以
，
由余弦定理得
，
又
，所以
；…………………………..5 分
（2）因为
，所以
．
因为D 是线段AC 的中点，所以
，
所以
，
由正弦定理得
，所以
，
，
所以
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
,
又
为锐角三角形，所以
，解得
，所以
，
即
，则
，所以
，
即
，则BD 的长的取值范围是
．…………………………..13 分
16．（15 分）
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
因为
是边长为2 的等边三角形，所以
，
在直角三角形
中，
，
为
中点，所以
，
又
，所以
，
所以
°，即
，
又∵
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
．…………………………..7 分
（2）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由（1）知
两两垂直，以
为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
则
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
．………………………….15 分
17．（15 分）
【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得：
良好以
下
良好及以上
合计
男
800
300
1100
女
400
100
500
合计
1200
400
1600
K
2= 1600×(800×100−400×300)
2
1200×400×1100×500
= 320
33 ≈9.697>3.841，
故有95 %的把握认为本次体测结果等级与性别有关系. …………………………..7 分
（2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为1
4 .
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知ξ的取值有0，1，2，3，4，ξ ∼B(4 , 1
4)，记P(ξ =i)(i=0,1,2,3,4)为ξ =i的概率，
则P(ξ =0)=C4
0⋅(
3
4)
4
= 81
256，
P(ξ =1)=C4
1⋅(
3
4)
3
(
1
4)= 108
256，
P(ξ =2)=C4
2⋅(
3
4)
2
(
1
4)
2
= 54
256，
P(ξ =3)=C4
3⋅(
3
4)(
1
4)
3
= 12
256 ；
P(ξ = 4)=C4
4⋅(
1
4)
4
= 1
256 ；
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
81
256
108
256
54
256
12
256
1
256
所以ξ的数学期望E(ξ)= 4× 1
4 =1. …………………………..15 分
18．（17 分）
【详解】（1）
的定义域为
，所以
，当
时，
，
在
上
单调递增，当
时，令
，得
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
综上可得，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在区间
上单调递减；…………………………..5 分
（2）当
时，
，由（1）可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
在
上恒成立，所以当
时，
，
令
且
，则
，
即
，
，…，
，
所以累加得
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故当
且
时，
.…………………………..10 分
（3）由题对任意
，都有
恒成立，即
在
上恒成
立，
令
，
，即
在
上恒成立，①当
时，由于
，
则有
，
令
，所以
，令
，得
，
所以当
，
，
在
上单调递减，
当
，
，
在
上单调递增，
所以当
时，
，
令
，则
，令
，所以
，
令
，得
，所以当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
所以当
时，
，
即
在
上恒成立，符合题意，
②当
时，由于
在
上单调递增且
，
，
故存在唯一
，使得
，即
，即
，即
，
此时
这与
在
上恒成立不符，
综上，实数
得到取值范围是
…………………………..17 分
19．（17 分）
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，设点
到准线的距离为
．
由抛物线的定义，得
，解得
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，所以抛物线
的标准方程为
．…………………………..5
分
（2）①设
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
消去
整理得
，
所以
，同理可得
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以直线
的方程为
，
即
，同理直线
的方程为
．
联立
，得
，即
，
即
，即
，
所以
，即点
在直线
上．…………………………..12 分
②由题意可知，
的斜率存在且均不为0，
因为
，所以设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，
由①知，
．所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，又易知
，
所以
的取值范围为
…………………………..17 分
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7
