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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（广东卷）02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ），
A．
B．
C．
D．
2．有一组数据，按从小到大排列为：
，这组数据的
分位数等于他们的平均数，则为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
4．记等比数列
的前项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．32
D．64
5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的
温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为
，则经过一定时间，即分钟后的温度
满足
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称为半衰期，其中
是环境温度.若
，现有一杯
的热水降至
大
约用时1 分钟，那么水温从
降至
大约还需要（ ）（参考数据：
）
A．8 分钟
B．9 分钟
C．10 分钟
D．11 分钟
6．设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100 个样本，勘探队中的
成员甲提议用如下方式进行检测，先将100 个样本分为10 组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本
进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100 个样本
分为5 组或20 组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率
．且每个样本是否含有该矿物质相互独
立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据：
）
A．5 个一组
B．10 个一组
C．20 个一组
D．逐个检验
8．如图1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左、右焦点分别为
，从
发出
的光线经过图2 中的A，B 两点反射后，分别经过点
和
，且
，则
的离心率
为( )
2
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A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知复数
，
，若
为实数，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
对应的点位于第三象限
10．已知等差数列
的首项为
，公差为
，前项和为
，若
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
最大 B．使得
成立的最小自然数
C．
D．
中最小项为
11．在正三棱柱
中，
，
的重心为
，以
为球心的球与平面
相切.
若点
在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点
和实数
，
，使得
B．三棱锥
体积的最大值为
C．若直线
与平面
所成的角为，则
的最大值为
D．若
，则所有满足条件的点
形成的轨迹的长度为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
3
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12．在
的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点
都满足方程
，
现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点
“爱心线”上任意
一点的最小距离为
，则用
表示心吧面积的最大值为 ．
14．已知函数
，若关于的方程
有个不同的实数根，则的取值范围是
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；(2)设
，
，求
的值.
16．（15 分）已知函数
.
(1)设
，求曲线
的斜率为2 的切线方程；
(2)若
是
的极小值点，求b 的取值范围.
17．（15 分）如图（1）五边形
中，
，将
沿
折
4
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到
的位置，得到四棱锥
，如图（2），点
为线段
的中点，且
平面
.
(1)求证：
；
(2)若直线
与
所成角的正切值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
18．（17 分）定义若椭圆
（
）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完
美曲线”．已知
：
（
）为“完美曲线”，且
和：
，：
均相切．
(1)求
的表达式和离心率
(2)已知动点
在
的第一象限上运动，
和
相切，和交于
，和交于
．设
右焦点为
，证明
是定值，并求其正切值．
19．（17 分）对于给定的数列
以及正整数
，若
，使得
成立，则称
为“
阶可分拆数列”.
(1)设
，证明：
为“3 阶可分拆数列”；
(2)设
的前项和为
，若
为“1 阶可分拆数列”，求实数的值；
(3)设
，是否存在
，使得
为“
阶可分拆数列”？若存在，请求出所有
的值；若不
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存在，请说明理由.
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