文档内容
绝密★本科目考试启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D. 1
3. 求圆 的圆心到 的距离（ ）
A. B. 2 C. D.
4. 的二项展开式中 的系数为（ ）
A. 15 B. 6 C. D.
5. 已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 ， ， ， ，则 （ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司7. 记水的质量为 ，并且d越大，水质量越好．若S不变，且 ， ，则 与 的关
系为（ ）
A.
.
B
C. 若 ，则 ；若 ，则 ；
D. 若 ，则 ；若 ，则 ；
8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， ， ，则该四棱锥的高为（
）
A. B. C. D.
9. 已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若集合 表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，
则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线 ，则焦点坐标为________．
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知 ，且α与β的终边关于原点对称，则 的最大值为________．
13. 已知双曲线 ，则过 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
14. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为
325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．
15. 已知 ， ， 不为常数列且各项均不相同，下列正确 的是______.
① ， 均为等差数列，则M中最多一个元素；
② ， 均为等比数列，则M中最多三个元素；
③ 为等差数列， 为等比数列，则M中最多三个元素；
④ 单调递增， 单调递减，则M中最多一个元素.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中， ，A为钝角， ．
（1）求 ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
① ；② ；③ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥 P-ABCD， ， ， ， ，E 是 上一点，
．
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司（1）若F是PE中点，证明： 平面 ．
的
（2）若 平面 ，求平面 与平面 夹角 余弦值．
18. 已知某险种的保费为 万元，前3次出险每次赔付 万元，第4次赔付 万元
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 ，估计 的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 ，已赔偿过的增加 ．估计保单下一保险期毛利润
的数学期望．
19. 已知椭圆方程 C： ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过
的直线l与椭圆交于A，B， ，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
20. 已知 在 处切线为l．
（1）若切线l的斜率 ，求 单调区间；
（2）证明：切线l不经过 ；
（3）已知 ， ， ， ，其中 ，切线l与y轴交于点B时．当
，符合条件的A的个数为？
（参考数据： ， ， ）
21. 设集合 ．对于给定有穷数列
第4页/共5页
学科网（北京）股份有限公司，及序列 ， ，定义变换 ：将数列 的第
项加1，得到数列 ；将数列 的第 列加 ，得到数列 …；重复上述
操作，得到数列 ，记为 ．
（1）给定数列 和序列 ，写出 ；
（2）是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，
写出一个符合条件的 ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 为常数
列”的充要条件为“ ”．
第5页/共5页
学科网（北京）股份有限公司
