2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（吉林）数学高考真题

2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷） 数学 本试卷共 10页，19小题，满分 150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. z = 1. 已知z =-1-i，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若z =-1-i，则 z = -12 +-12 = 2. 故选：C. 2. 已知命题p："xÎR，|x+1|>1；命题q：$x>0，x3 = x，则（ ） A. p和q都是真命题 B. Øp和q都是真命题 C. p和Øq都是真命题 D. Øp和Øq都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于 p而言，取x=-1，则有 x+1 =0<1，故 p是假命题，Øp是真命题， 对于 q 而言，取x=1，则有x3 =13 =1= x，故 q 是真命题，Øq是假命题， 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司综上，Øp和 q 都是真命题. 故选：B. r r r r r r r r r 3. 已知向量a,b满足 a =1, a+2b =2，且 b-2a ^b，则 b =（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 1 2 2 2 【答案】B 【解析】 【分析】由  b r -2a r ^b r 得b r2 =2a r ×b r，结合 a r =1, a r +2b r =2，得1+4a r ×b r +4b r2 =1+6b r2 =4，由此即 可得解. r r r r r r 【详解】因为 b-2a ^b，所以 b-2a ×b=0，即b r2 =2a r ×b r， r r r 又因为 a =1, a+2b =2， 所以1+4a r ×b r +4b r2 =1+6b r2 =4， r 2 从而 b = . 2 故选：B. 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并 部分整理下表 亩产 [900， [950， [1000， [1100， [1150， 量 950） 1000） 1050） 1150） 1200） 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计 第2页/共25页 学科网（北京）股份有限公司算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 6+12+18=36<50, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg, 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34， 100-34 所以低于1100kg的稻田占比为 =66%，故B错误； 100 对于C，稻田亩产量的极差最大为1200-900=300，最小为1150-950=200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30， 1 所以平均值为 ´(6´925+12´975+18´1025+30´1075+24´1125+10´1175)=1067，故D错 100 误. 故选；C. 5. 已知曲线C：x2 + y2 =16（ y >0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP¢，P¢为垂足，则线段PP¢ 的中点M的轨迹方程为（ ） x2 y2 x2 y2 A. + =1（ y >0） B. + =1（ y >0） 16 4 16 8 y2 x2 y2 x2 C. + =1（ y >0） D. + =1（ y >0） 16 4 16 8 【答案】A 【解析】 【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点M(x,y)，则P(x,y ),P¢(x,0)， 0 因为M 为PP¢的中点，所以y =2y，即P(x,2y)， 0 又P在圆x2+y2 =16(y>0)上， x2 y2 所以x2+4y2 =16(y>0)，即 + =1(y>0)， 16 4 x2 y2 即点M 的轨迹方程为 + =1(y>0). 16 4 故选：A 6. 设函数 f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当xÎ(-1,1)时，曲线y= f(x)与y = g(x)恰有一个 交点，则a =（ ） 第3页/共25页 学科网（北京）股份有限公司1 A. -1 B. C. 1 D. 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令Fx=ax2 +a-1,Gx=cosx，分析可知曲线y=F(x)与y =G(x)恰有一个交 点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令 hx = f(x) - gx,x Î-1,1 ，可知hx 为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx 的零点只能为 0，即可得a=2，并代入检验即可. 【详解】解法一：令 f(x) = gx ，即a(x+1)2 -1=cosx+2ax，可得ax2 +a-1=cosx， 令Fx=ax2 +a-1,Gx=cosx， 原题意等价于当xÎ(-1,1)时，曲线y=F(x)与y =G(x)恰有一个交点， 注意到Fx,Gx 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F0=G0 ，即a-1=1，解得a=2， 若a=2，令Fx=Gx ，可得2x2 +1-cosx=0 因为xÎ-1,1 ，则2x2 ³0,1-cosx³0，当且仅当x=0时，等号成立， 可得2x2 +1-cosx³0，当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2 +1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y =G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意； 综上所述：a=2. 解法二：令hx = f(x) - gx = ax2 + a -1- cos x,x Î-1,1 ， 原题意等价于hx 有且仅有一个零点， 因为h-x = a-x2 + a -1- cos-x = ax2 + a -1- cos x = hx， 则hx 为偶函数， 根据偶函数的对称性可知hx 的零点只能为0， 即h0 = a - 2 = 0，解得a=2， 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司若a=2，则hx = 2x2 +1- cos x,x Î-1,1 ， 又因为2x2 ³0,1-cosx³0当且仅当x=0时，等号成立， 可得hx³0，当且仅当x=0时，等号成立， 即hx 有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意； 故选：D. 52 7. 已知正三棱台ABC- ABC 的体积为 ，AB=6，AB =2，则AA与平面ABC所成角的正切值为 1 1 1 3 1 1 1 （ ） 1 A. B. 1 C. 2 D. 3 2 【答案】B 【解析】 4 3 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h= ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求 3 4 3 得 AM = ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 ABC- ABC 补成正三棱锥 1 1 1 3 P-ABC ，AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得V =18，进而可 1 P-ABC 求正三棱锥P-ABC 的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取BC,BC 的中点D,D ，则AD=3 3,AD = 3， 1 1 1 1 1 1 3 1 可知S = ´6´6´ =9 3,S = ´2´ 3 = 3， VABC 2 2 VA 1 B 1 C 1 2 设正三棱台ABC- ABC 的为h， 1 1 1 1  52 4 3 则V = 9 3+ 3+ 9 3´ 3 h= ，解得h= ， ABC-A 1 B 1 C 1 3 3 3 如图，分别过A,D 作底面垂线，垂足为M,N ，设AM = x， 1 1 第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司16 则AA = AM2 +AM2 = x2 + ，DN =AD- AM - MN =2 3- x， 1 1 3  2 16 可得DD = DN2 +DN2 = 2 3-x + ， 1 1 3 2 æ6-2ö 结合等腰梯形BCC 1 B 1 可得BB 1 2 = ç è 2 ÷ ø +DD 1 2, 16  2 16 4 3 即x2 + = 2 3-x + +4，解得x= ， 3 3 3 AM 所以AA与平面ABC所成角的正切值为tanÐAAD= 1 =1； 1 1 AM 解法二：将正三棱台ABC- ABC 补成正三棱锥P-ABC ， 1 1 1 则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角， 1 PA AB 1 V 1 因为 1 = 1 1 = ，则 P-A 1 B 1 C 1 = ， PA AB 3 V 27 P-ABC 26 52 可知V = V = ，则V =18， ABC-A 1 B 1 C 1 27 P-ABC 3 P-ABC 1 1 3 设正三棱锥P-ABC 的高为d，则V = d´ ´6´6´ =18，解得d =2 3， P-ABC 3 2 2 取底面ABC的中心为O，则PO^底面ABC，且AO=2 3， PO 所以PA与平面ABC所成角的正切值tanÐPAO= =1. AO 故选：B. 8. 设函数 f(x)=(x+a)ln(x+b)，若 f(x)³0，则a2 +b2的最小值为（ ） 1 1 1 A. B. C. D. 1 8 4 2 【答案】C 第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】解法一：由题意可知： f(x)的定义域为 -b,+¥ ，分类讨论-a与-b,1-b的大小关系，结合符 号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而 可得x+a的符号，即可得b=a+1，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知： f(x)的定义域为 -b,+¥ ， 令x+a =0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b； 若-a£-b，当xÎ-b,1-b 时，可知x+a >0,lnx+b<0， 此时 f(x)<0，不合题意； 若-b<-a<1-b，当xÎ-a,1-b 时，可知x+a >0,lnx+b<0， 此时 f(x)<0，不合题意； 若-a=1-b，当xÎ-b,1-b 时，可知x+a<0,lnx+b<0，此时 f(x)>0； 当xÎ1-b,+¥ 时，可知x+a³0,lnx+b³0，此时 f(x)³0； 可知若-a=1-b，符合题意； 若-a>1-b，当xÎ1-b,-a 时，可知x+a 0,lnx+b 0， 此时 f(x)<0，不合题意； 综上所述：-a=1-b，即b=a+1， æ 1ö 2 1 1 1 1 则a2 +b2 =a2 +a+12 =2 a+ + ³ ，当且仅当a=- ,b= 时，等号成立， ç ÷ è 2ø 2 2 2 2 1 所以a2 +b2的最小值为 ； 2 解法二：由题意可知： f(x)的定义域为 -b,+¥ ， 令x+a =0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b； 则当xÎ-b,1-b 时，lnx+b<0，故x+a£0，所以1-b+a£0； xÎ1-b,+¥ 时，lnx+b>0，故x+a³0，所以1-b+a³0； 2 æ 1ö 1 1 故1-b+a =0， 则a2 +b2 =a2 +a+12 =2 ç a+ ÷ + ³ ， è 2ø 2 2 第7页/共25页 学科网（北京）股份有限公司1 1 当且仅当a=- ,b= 时，等号成立， 2 2 1 所以a2 +b2的最小值为 . 2 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求x+a =0、ln(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨 论，结合符号性分析判断. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分. π 9. 对于函数 f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x- )，下列正确的有（ ） 4 A. f(x)与g(x)有相同零点 B. f(x)与g(x)有相同最大值 C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D. f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. kπ 【详解】A选项，令 f(x)=sin2x=0，解得x= ,kÎZ，即为 f(x)零点， 2 π kπ π 令g(x)=sin(2x- )=0，解得x= + ,kÎZ，即为g(x)零点， 4 2 8 显然 f(x),g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然 f(x) = g(x) =1，B选项正确； max max 2π C选项，根据周期公式， f(x),g(x)的周期均为 =π，C选项正确； 2 π kπ π D选项，根据正弦函数的性质 f(x)的对称轴满足2x=kπ+ Û x= + ,kÎZ， 2 2 4 π π kπ 3π g(x)的对称轴满足2x- =kπ+ Û x= + ,kÎZ， 4 2 2 8 显然 f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10. 抛物线C：y2 =4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2 +(y-4)2 =1的一条切线，Q为切点， 过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与 e A相切 第8页/共25页 学科网（北京）股份有限公司B. 当P，A，B三点共线时，|PQ|= 15 C. 当|PB|=2时，PA^ AB D. 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先 求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 PB =2先算出P的坐标，然后验证k k =-1是否成立； PA AB D选项，根据抛物线的定义，PB = PF ，于是问题转化成 PA = PF 的P点的存在性问题，此时考察 AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线y2 =4x的准线为x=-1， A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径， e 故准线l和 e A相切，A选项正确； B选项，P,A,B三点共线时，即PA^l ，则P的纵坐标y =4， P 由y2 =4x ，得到x =4，故P(4,4)， P P P 此时切线长 PQ = PA 2 -r2 = 42 -12 = 15 ，B选项正确； C选项，当 PB =2时，x =1，此时y2 =4x =4，故P(1,2)或P(1,-2)， P P P 4-2 4-2 当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k = =-2，k = =2， PA 0-1 AB 0-(-1) 不满足k k =-1； PA AB 4-(-2) 4-(-2) 当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k = =-6，k = =6， PA 0-1 AB 0-(-1) 不满足k k =-1； PA AB 于是PA^ AB不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义， PB = PF ，这里F(1,0)， 于是 PA = PB 时P点的存在性问题转化成 PA = PF 时P点的存在性问题， 第9页/共25页 学科网（北京）股份有限公司æ1 ö 1 1 A(0,4),F(1,0)， AF 中点ç ,2 ÷， AF 中垂线的斜率为- = ， è2 ø k 4 AF 2x+15 于是 AF 的中垂线方程为：y = ，与抛物线y2 =4x联立可得y2 -16y+30=0， 8 D=162 -4´30=136>0，即 AF 的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得 PA = PF ，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） æt2 ö 设Pç ,t÷，由PB^l可得B-1,t ，又A(0,4)，又 PA = PB ， 4 è ø t4 t2 根据两点间的距离公式， +(t-4)2 = +1，整理得t2 -16t+30=0， 16 4 D=162 -4´30=136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确. 故选：ABD 11. 设函数 f(x)=2x3-3ax2 +1，则（ ） A. 当a >1时， f(x)有三个零点 B. 当a<0时，x=0是 f(x)的极大值点 C. 存在a，b，使得x=b为曲线y= f(x)的对称轴 D. 存在a，使得点  1, f 1 为曲线y= f(x)的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a，根据零点存在定理和极值的符号判断出 f(x)在 (-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存 第10页/共25页 学科网（北京）股份有限公司在这样的a,b，使得x=b为 f(x)的对称轴，则 f(x)= f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存 在这样的a，使得(1,3-3a)为 f(x)的对称中心，则 f(x)+ f(2-x)=6-6a，据此进行计算判断，亦可利 用拐点结论直接求解. 【详解】A选项， f¢(x)=6x2 -6ax=6x(x-a)，由于a >1， 故xÎ-¥,0Èa,+¥ 时 f¢(x)>0，故 f(x)在 -¥,0,a,+¥ 上单调递增， xÎ(0,a)时， f¢(x)<0， f(x)单调递减， 则 f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值， 由 f(0)=1>0， f(a)=1-a3 <0，则 f(0)f(a)<0， 根据零点存在定理 f(x)在(0,a)上有一个零点， 又 f(-1)=-1-3a<0， f(2a)=4a3+1>0，则 f(-1)f(0)<0, f(a)f(2a)<0， 则 f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a >1时， f(x)有三个零点，A选项正确； B选项， f¢(x)=6x(x-a)，a<0时，xÎ(a,0), f¢(x)<0， f(x)单调递减， xÎ(0,+¥)时 f¢(x)>0， f(x)单调递增， 此时 f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为 f(x)的对称轴， 即存在这样的a,b使得 f(x)= f(2b-x)， 即2x3-3ax2 +1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2 +1， 根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C3(2b)0(-x)3 =-2x3， 3 于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的a,b，使得x=b为 f(x)的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为 f(x)的对称中心， 则 f(x)+ f(2-x)=6-6a，事实上， f(x)+ f(2-x)=2x3 -3ax2 +1+2(2-x)3 -3a(2-x)2 +1=(12-6a)x2 +(12a-24)x+18-12a， 第11页/共25页 学科网（北京）股份有限公司于是6-6a =(12-6a)x2 +(12a-24)x+18-12a ì12-6a =0 ï 即í12a-24=0 ，解得a=2，即存在a=2使得(1, f(1))是 f(x)的对称中心，D选项正确. ï 18-12a =6-6a î 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， f(x)=2x3-3ax2 +1， f¢(x)=6x2 -6ax， f¢¢(x)=12x-6a， a æa æaöö 由 f¢¢(x)=0Û x= ，于是该三次函数的对称中心为ç , f ç ÷÷， 2 è2 è2øø a 由题意(1, f(1))也是对称中心，故 =1Û a=2， 2 即存在a=2使得(1, f(1))是 f(x)的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1） f(x)的对称轴为 x=bÛ f(x)= f(2b-x)；（2） f(x)关于 (a,b)对称 Û f(x)+ f(2a-x)=2b；（3）任何三次函数 f(x)=ax3 +bx2 +cx+d 都有对称中心，对称中心是三次 æ b æ b öö 函数的拐点，对称中心的横坐标是 f¢¢(x)=0的解，即ç - , f ç - ÷÷是三次函数的对称中心 è 3a è 3aøø 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a =7，3a +a =5，则S =________. n n 3 4 2 5 10 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a ,d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 1 ì a +2d +a +3d =7 ìa =-4 【详解】因为数列a 为等差数列，则由题意得í 1 1 ，解得í 1 ， n î 3a 1 +d+a 1 +4d =5 î d =3 10´9 则S =10a + d =10´-4+45´3=95. 10 1 2 故答案为：95. 13. 已知a为第一象限角，b为第三象限角，tana+tanb=4，tanatanb= 2+1，则sin(a+b)= _______. 第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司2 2 【答案】- 3 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tana+b=-2 2 ，再缩小a+b的范围，最后结合同角 的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. tana+tanb 4 tana+b= = =-2 2 【详解】法一：由题意得   ， 1-tanatanb 1- 2+1 æ πö æ 3πö 因为aÎ ç 2kπ,2kπ+ ÷ ,bÎ ç 2mπ+π,2mπ+ ÷，k,mÎZ， è 2ø è 2 ø 则a+bÎ 2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π  ，k,mÎZ， 又因为tana+b=-2 2 <0， æ 3π ö 则a+bÎ ç 2m+2kπ+ ,2m+2kπ+2π ÷，k,mÎZ，则sina+b<0， è 2 ø sina+b 2 2 则 =-2 2，联立 sin2a+b+cos2a+b=1，解得sina+b=- . cosa+b 3 法二： 因为a为第一象限角，b为第三象限角，则cosa>0,cosb<0, cosa 1 cosb -1 cosa= = ， cosb= = ， sin2a+cos2a 1+tan2a sin2b+cos2b 1+tan2b 则sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=cosacosb(tana+tanb) -4 -4 -4 2 2 =4cosacosb= = = =- 1+tan2a 1+tan2b (tana+tanb)2 +(tanatanb-1)2 42 +2 3 2 2 故答案为：- . 3 14. 在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法， 在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 24 ②. 112 【解析】 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果， 即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有4´3´2´1=24种选法； 每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d 分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)， 所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用 列举法写出所有的可能结果. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3cosA=2． V （1）求A． （2）若a=2， 2bsinC =csin2B，求 V ABC的周长． π 【答案】（1）A= 6 （2）2+ 6+3 2 第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件sinA+ 3cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角 三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 1 3 π 由sinA+ 3cosA=2可得 sinA+ cosA=1，即sin(A+ )=1， 2 2 3 π π 4π π π π 由于AÎ(0,π)Þ A+ Î( , )，故A+ = ，解得A= 3 3 3 3 2 6 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sinA+ 3cosA=2，又sin2 A+cos2 A=1，消去sin A 得到： 3 4cos2 A-4 3cosA+3=0Û(2cosA- 3)2 =0，解得cosA= ， 2 π 又AÎ(0,π)，故A= 6 方法三：利用极值点求解 æ πö 设 f(x)=sinx+ 3cosx(0< x<π)，则 f(x)=2sin ç x+ ÷ (0< x<π)， è 3ø π π 显然x= 时， f(x) =2，注意到 f(A)=sinA+ 3cosA=2=2sin(A+ )， 6 max 3 f(x) = f(A)，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x = A必定是极值点， max 3 即 f¢(A)=0=cosA- 3sinA，即tanA= ， 3 π 又AÎ(0,π)，故A= 6 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） r r r r 设a=(1, 3),b=(sinA,cosA)，由题意，a×b=sin A+ 3cosA=2， r r r r r r r r 根据向量的数量积公式，a×b = a b cos a,b =2cos a,b ， 则2cosa r ,b r =2Ûcosa r ,b r =1，此时a r ,b r =0，即a r ,b r 同向共线， 第15页/共25页 学科网（北京）股份有限公司3 根据向量共线条件，1×cosA= 3×sinAÛ tanA= ， 3 π 又AÎ(0,π)，故A= 6 方法五：利用万能公式求解 A 2t 3(1-t2) 设t = tan ，根据万能公式，sinA+ 3cosA=2= + ， 2 1+t2 1+t2 整理可得，t2 -2(2- 3)t+(2- 3)2 =0=(t-(2- 3))2， A 2t 3 解得tan =t =2- 3，根据二倍角公式，tanA= = ， 2 1-t2 3 π 又AÎ(0,π)，故A= 6 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 2bsinC =csin2BÛ 2sinBsinC =2sinCsinBcosB， 2 π 又B,CÎ(0,π)，则sinBsinC ¹0，进而cosB= ，得到B= ， 2 4 7π 于是C =π-A-B= ， 12 2+ 6 sinC =sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin AcosB+sinBcosA= ， 4 2 b c a b c = = 由正弦定理可得， = = ，即 π π 7π ， sinA sinB sinC sin sin sin 6 4 12 解得b=2 2,c= 6+ 2， 故 ABC的周长为2+ 6+3 2 V 16. 已知函数 f(x)=ex -ax-a3． （1）当a =1时，求曲线y= f(x)在点 1, f(1) 处的切线方程； （2）若 f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） e-1x- y-1=0 （2） 1,+¥ 第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析 a£0和 a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 a2 +lna-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 f¢(x)=ex -a有零点，可得a>0，进而 利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得a2 +lna-1>0，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当a =1时，则 f(x)=ex -x-1， f¢(x)=ex -1， 可得 f(1)=e-2， f¢(1)=e-1， 即切点坐标为 1,e-2 ，切线斜率k =e-1， 所以切线方程为y-e-2=e-1x-1 ，即 e-1x- y-1=0. 【小问2详解】 解法一：因为 f(x)的定义域为R，且 f¢(x)=ex -a， 若a£0，则 f¢(x)³0对任意xÎR恒成立， 可知 f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令 f¢(x)>0，解得x>lna；令 f¢(x)<0，解得x0， 1 构建ga=a2 +lna-1,a >0，则g¢a=2a+ >0， a 可知ga 在 0,+¥ 内单调递增，且g1=0， 不等式a2 +lna-1>0等价于ga> g1 ，解得a >1， 所以a的取值范围为 1,+¥ ； 解法二：因为 f(x)的定义域为R，且 f¢(x)=ex -a， 若 f(x)有极小值，则 f¢(x)=ex -a有零点， 第17页/共25页 学科网（北京）股份有限公司令 f¢(x)=ex -a =0，可得ex =a， 可知y=ex与y =a有交点，则a>0， 若a>0，令 f¢(x)>0，解得x>lna；令 f¢(x)<0，解得x0， 构建ga=a2 +lna-1,a >0， 因为则y =a2,y =lna-1在 0,+¥ 内单调递增， 可知ga 在 0,+¥ 内单调递增，且g1=0， 不等式a2 +lna-1>0等价于ga> g1 ，解得a >1， 所以a的取值范围为 1,+¥ . 17. 如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5 3，ÐADC =90°，ÐBAD=30°，点E， r 2r r 1r F满足AE = AD，AF = AB，将△AEF 沿EF对折至! PEF ，使得PC =4 3． 5 2 （1）证明：EF ^ PD； （2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 8 65 （2） 65 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 EF =2，利用勾股定理的逆定理可证得 EF ^AD，则 EF ^PE,EF ^DE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ^ ED，建立如图空间直角坐标系E-xyz，利 第18页/共25页 学科网（北京）股份有限公司用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 r 2r r 1r 由AB=8,AD=5 3,AE= AD,AF = AB， 5 2 得AE=2 3,AF =4，又ÐBAD=30°，在△AEF 中， 3 由余弦定理得EF = AE2+AF2-2AE×AFcosÐBAD = 16+12-2×4×2 3× =2, 2 所以AE2 +EF2 = AF2，则AE ^EF ，即EF ^AD， 所以EF ^PE,EF ^DE，又PE DE=E,PE、DEÌ平面PDE， I 所以EF^平面PDE，又PDÌ平面PDE， 故EF^PD； 【小问2详解】 连接CE，由ÐADC =90°,ED=3 3,CD=3，则CE2 =ED2+CD2 =36， 在 V PEC中，PC =4 3,PE=2 3,EC =6，得EC2 +PE2 = PC2， 所以PE ^ EC，由（1）知PE ^ EF ，又EC EF =E,EC、EF Ì平面ABCD， I 所以PE ^平面ABCD，又EDÌ平面ABCD， 所以PE ^ ED，则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz， 则E(0,0,0),P(0,0,2 3),D(0,3 3,0),C(3,3 3,0),F(2,0,0),A(0,-2 3,0)， 由F 是AB的中点，得B(4,2 3,0)， r r r r 所以PC =(3,3 3,-2 3),PD=(0,3 3,-2 3),PB=(4,2 3,-2 3),PF =(2,0,-2 3)， r r 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(x ,y ,z ),m=(x ,y ,z )， 1 1 1 2 2 2 r r ì ïn r ×PC =3x +3 3y -2 3z =0 ì ïm r ×PB=4x +2 3y -2 3z =0 1 1 1 2 2 2 则í ，í ， r r r r ïî n×PD=3 3y -2 3z =0 ïî m×PF =2x -2 3z =0 1 1 2 2 令y =2,x = 3，得x =0,z =3,y =-1,z =1， 1 2 1 1 2 2 r r 所以n=(0,2,3),m=( 3,-1,1)， r r m×n 1 65 r r 所以 cosm,n = = = ， r r m n 5× 13 65 第19页/共25页 学科网（北京）股份有限公司8 65 设平面PCD和平面PBF所成角为q，则sinq= 1-cos2q= ， 65 8 65 即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为 . 65 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名 队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶 段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总 和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相 互独立． （1）若 p =0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设0< p0， \P > P ，应该由甲参加第一阶段比赛. 甲 乙 (ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15， P(X =0)=(1- p)3+é1-(1- p)3ù×(1-q)3， ë û PX =5=é1-1- p3ùC1q×1-q2 ， ë û 3 P(X =10)=é1-(1- p)3ù×C2q2(1-q)， ë û 3 P(X =15)=é1-(1- p)3ù×q3， ë û \E(X)=15é1-(1- p)3ùq=15  p3 -3p2 +3p  ×q ë û 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)=15  q3-3q2 +3q  ×p \E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)] =15(p-q)pq(p+q-3)， 因为0< p0， \应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大 小关系，最后得到结论. 19. 已知双曲线C:x2 - y2 =mm>0 ，点P5,4 在C上，k为常数，0