【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第八节对数函数-4570de7840b7

课标要求

1.通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

2.知道对数函数y＝log_ax与指数函数y＝a^x互为反函数（a＞0，且a≠1）.

1.对数函数

（1）定义：函数y＝（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是.

提醒 对数函数y＝log_ax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1.

（2）图象与性质

提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.

2.反函数

指数函数y＝a^x（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝log_ax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

1.函数y＝log_ax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称.

2.对数函数y＝log_ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，－1），函数图象只在第一、四象限.

3.对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数y＝log₂（x＋1）是对数函数.（）

（2）对数函数y＝log_ax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数.（）

（3）函数y＝log_ax²与函数y＝2log_ax是同一个函数.（）

（4）函数y＝log₂x与y＝lo的图象重合.（）

2.（人A必修一 P133例3改编）已知实数a＝log₃2，b＝log₂π，c＝log₂（）

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

3.（苏教必修一P159习题11题改编）若log_a2＜log_b2＜0，则（）

A.0＜a＜b＜1B.0＜b＜a＜1

C.a＞b＞1D.b＞a＞1

4.函数y＝log_a（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点.

5.（人A必修一 P140习题1题改编）函数f（x）＝的定义域为.

（1）已知lg a＋lg b＝0（a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1），则函数f（x）＝a^x与g（x）＝lox的图象可能是（）

（2）已知函数f（x）＝｜log₂x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a^2，b]上的最大值为2，则＋b＝.

听课记录用结论

互为反函数的常用结论

（1）同底的指数函数、对数函数互为反函数；

（2）若f（x）与g（x）互为反函数，则f（x）的定义域、值域分别为g（x）的值域、定义域；

（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.

（1）设函数f（x）与g（x）互为反函数，若f（x）＝3^x（x＜0），则函数g（x）的定义域为；

（2）若关于x的方程x＋log₅x＝4与x＋5^x＝4的根分别为m，n，则m＋n的值为.

解题技法

对数函数图象的识别及应用

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

1.已知函数f（x）＝log_a（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.a＞0，b＜－1B.a＞0，－1＜b＜0

C.0＜a＜1，b＜－1D.0＜a＜1，－1＜b＜0

2.方程（）^x－＝0的解的个数为.

考向1比较对数值的大小

（1）（2025·赤峰阶段练习）设a＝2^1.2，b＝lg 3，c＝ln a，b，c的大小顺序为（）

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.b＞a＞cD.c＞a＞b

（2）〔多选〕（2025·驻马店模拟）若实数a，b，c满足log_a2＜log_b2＜log_c2，则下列关系中可能成立的是（）

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.c＜b＜aD.a＜c＜b

听课记录解题技法

比较对数值大小的方法

考向2解对数方程或不等式

（1）方程log₂（x－1）＝2－log₂（x＋1）的解为；

（2）已知函数f（x）＝则不等式f（（log₂x）²－3）＜4f（log₂x）的解集为.

听课记录

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