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【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第五节一元二次不等式及其解法
课标要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
2.三个“二次”的对应关系
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判别式 Δ＝b2－4ac |
Δ＞0 |
Δ＝0 |
Δ＜0 |
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y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 |
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ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 |
有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） |
有两个相等的实数根x1＝x2＝－ |
没有实数根 |
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ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 |
{x｜x＜x1，或x＞x2} |
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R |
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ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 |
{x｜x1＜x＜x2} |
⌀ |
⌀ |
1.分式不等式的解法
（1）
＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2）
≥0（≤0）⇔
2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法
（1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
（2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（）
（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（）
（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（）
2.（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（）
A.（－2，5）
B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）
C.（－5，2）
D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）
3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－
＜x＜
a－b＝（）
A.－10B.－14
C.10D.14
4.（苏教必修一P70习题15题改编）不等式
≥0的解集为.
5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为.
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不含参数的一元二次不等式的解法 |
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（师生共研过关） |
：
（1）－3x2－2x＋8≥0；
（2）
≤1；
（3）
－x≤1.
解题技法
解一元二次不等式的4个步骤
提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0.
不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是.
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含参数的一元二次不等式的解法 |
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（师生共研过关） |
x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.
解题技法
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）.
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三个“二次”间的关系 |
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（师生共研过关） |
〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（）
A.a＞0
B.bx－c＞0的解集是{x|x＞
}
C.cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－
或x＞1}
D.a＋b＜c
听课记录解题技法
“三个二次”之间的关系及其应用
（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值；
（2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n.
1.已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为.
2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集.
提示：完成课后作业 第一章 第五节
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