【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第六节余弦定理和正弦定理

课标要求

借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.

1.余弦定理、正弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

2.在△ABC中，已知a，b和A时解的情况

3.三角形的面积公式

（1）S_△ABC＝ah_a（h_a为边a上的高）；

（2）S_△ABC＝absin C＝＝；

（3）S_△ABC＝r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）；

（4）S_△ABC＝＝2R²sin Asin Bsin C（R为△ABC外接圆半径）.

1.三角形中的三角函数关系：（1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C；（3）sin＝cos；（4）cos＝sin.

2.在△ABC中，海伦公式：

S＝（其中p＝（a＋b＋c））.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（）

（2）当b²＋c²－a²＞0时，△ABC为锐角三角形.（）

（3）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解.（）

（4）在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.（）

2.（人A必修二P47例8改编）已知△ABC中，a＝1，b＝＝45°，则A＝（）

A.150°　 　B.90°　 　C.60°　 　D.30°

3.（人A必修二P44练习1（2）题改编）在△ABC中，b＝＝1，B＝c＝.

4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝.

（2024·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝＝5，＝.

（1）求a的值；

（2）求sin A的值.

解题技法

利用正弦、余弦定理解题的技巧

（1）求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA等求解；

（2）求角：利用正弦定理变形公式sinA＝等或余弦定理推论公式cosA＝等求解.

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝＝30°，则B＝（）

A.30°B.45°

C.30°或150°D.45°或135°

2.（2024·安康模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos（B＋）＝bsin A，若a＝＝2，则b＝（）

A.1B.2C.2D.4

△ABC中，已知＝且a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B），试判断△ABC的形状.

解题技法

判定三角形形状的两种常用途径

提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝△ABC的形状为（）

A.等腰三角形或直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.直角三角形

（2024·北京高考16题改编）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B.

（1）求∠A；

（2）若csin A＝△ABC的面积.

解题技法

三角形面积问题的常见类型

（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；

（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；

（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.

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