【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第40讲第2课时空间距离的计算

研题型　能力养成

举题固法

点线距

例1　在矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则点P到BC的距离为__55__．

【解析】　方法一：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB．因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB．因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以PB为点P到BC的距离．在矩形ABCD中，因为∠BCA＝30°，AC＝20，所以AB＝10．在Rt△PAB中，由勾股定理得PB＝PA2＋AB2＝25＋100＝55，所以点P到BC的距离为55．

方法二：建立如图所示空间直角坐标系，在矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，所以AB＝10，AD＝103，所以P(0,0,5)，B(10,0,0)，C(10，103，0)，→＝(10,0，－5)，→＝(0，103，0)，所以→·→＝0，所以PB为点P到BC的距离．|→|＝100＋0＋25＝55，所以点P到BC的距离为55．

求点到直线的距离的两种方法：

(1) 设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，则点A到直线l的距离的平方d²＝|→|²－(→·n)²．

(2) 若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．

变式1　如图(1)，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝22，AD＝DC＝2．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P－AC－B，如图(2)，点M在线段BP上．

图(1)

图(2)

(1) 求证：AP⊥CM；

【解答】由题知AC＝2＋2＝2，∠CAB＝∠ACD＝45°，BC²＝4＋8－2×2×22×22＝4，故BC＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥CB．又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB⊂平面ACB，所以CB⊥平面PAC，又AP⊂平面PAC，则CB⊥AP．又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB．又CM⊂平面PCB，故AP⊥CM．

(2) 若点M到直线AC的距离为55，求BMBP的值．

【解答】设AC中点为O，AB中点为D，以OA，OD，OP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0,0)，C(－1,0,0)，P(0，0,1)，B(－1,2,0)．设BMBP＝λ，则→＝λ→，设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝λ(1，－2,1)，则M(λ－1,2－2λ，λ)，→＝(2,0,0)，→＝(λ，2－2λ，λ)，又点M到直线AC的距离为55，则CM²＝45＋\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA→)→)CA→))|)²，即λ²＋(2－2λ)²＋λ²＝45＋\a\vs4\al\co1(\f(2λ2))²，即25λ²－40λ＋16＝0，解得λ＝45，所以BMBP＝45．

点面距

视角1　等积法

例 2－1(2024·广东大湾区二模)如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧面ACC₁A₁为菱形，∠A₁AC＝60°，AC＝2，平面ABC⊥平面ACC₁A₁．

(1) 求证：A₁C⊥AB₁；

【解答】如图，连接AC_{1，由四边形}ACC₁A₁为菱形，得AC₁⊥A₁C．由∠ACB＝90°，得BC⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC₁A_1，平面ABC∩平面ACC₁A₁＝AC，BC⊂平面ABC，则BC⊥平面ACC₁A₁．因为A₁C⊂平面ACC₁A_1，所以BC⊥A₁C，又BC∥B₁C_1，则B₁C₁⊥A₁C．又AC₁∩B₁C₁＝C_1，AC1，B1C₁⊂平面AB₁C_1，因此A₁C⊥平面AB₁C₁．又AB₁⊂平面AB₁C_1，所以A₁C⊥AB₁．

(2) 求点C₁到平面ABB₁A₁的距离．

【解答】点C₁到平面ABB₁A₁的距离，即三棱锥C₁－AA₁B₁的底面AA₁B₁上的高．由(1)知B₁C₁⊥平面ACC₁A_{1，则三棱锥}B₁－AA₁C₁的底面AA₁C₁的高为B₁C₁．设点C₁到平面ABB₁A₁的距离为d，由VB₁－AA₁C₁＝VC₁－AA₁B_1，得13S△AA₁C₁·B₁C₁＝13S△AA₁B₁·d，而BC＝AA₁＝AC＝2，∠A₁AC＝60°，则△AA₁C₁的面积S△AA₁C₁＝3．由AA₁＝A₁C₁＝2，∠AA₁C₁＝120°，得AC₁＝23．又B₁C₁＝2，B₁C₁⊥AC_1，则AB₁＝4．又AA₁＝2，A₁B₁＝22，由余弦定理得cos∠A₁AB₁＝22×2×4＝34，则sin∠A₁AB₁＝74，△A₁AB₁的面积S△A₁AB₁＝

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