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【初中数学】解题:哈尔滨虹桥中学2026九年级上学期开学测9.8
【初中数学】解题:哈尔滨虹桥中学2026九年级上学期开学测9.8
题目来源：公众号-采芑薄言 --------我是解题分割线-------- 第一问证明是平行四边形，送分的。 第二问给的条件是角度，既然∠CED等于另外两个角的和的两倍，我就把∠CED拆开，做它的角分线，不就是一倍了吗？然后再切成两份，另其中的一份等于∠1，另一份就等于角2了呗。要我证等腰，就是证三线合一。 
我做了∠CED的角平分线EF，交CD于F，所以∠FED=∠BAH+∠ADE，再过E做EG 平行 AD，交CD于G，同位角∠ADC=∠EGC，内错角∠ADE=∠GED，所以等量代换∠FEG=∠BAH，由（1）可知∠ABC=∠ADC，且∠ABC+∠BAH=90°，所以∠EGC+∠FEG=90°，即EF⊥CD，EF既是角分线又是高，原式得证。 第三问，想求△ECQ的面积，并且给了EQ的长度，有了底，要求出高来，即过C做一条垂线，垂直于ED。就是求等腰△ECD腰上的高，要是能把△ECD的三边都求出来就好办了。 题里还有PD：QD=5:8，并且有EQ=2，所以设一个参数x，把PD、EQ、QD、EC都能表示出来，CD还悬着呢。 剩下的条件是角度，一个特殊角，一个两角和是特殊角，怎样利用起来来呢？先走走试试吧。 M是AB边的中点，现成的线段是CM，这算是“假”中线倍长类型吗？不是三角形，但是有平行四边形的框架，延长CM，与DA延长线交于点K。这样△AMK全等△BMC，KA=BC=AD，△HKD是等腰三角形。 光得出一个全等，我还不知道我接下来要干什么呢。题里给了∠MCE+∠ADE=30°，第二问的结论是EC=ED，我现在得到了△HKD是等腰三角形，HA是高，对称原理，连接EK，自然有EK=ED=EC，这样就有∠MCE=∠EKC、∠ADE=∠EKD，即∠DKC=30° 
接下来其实是倒角的飞镖模型，△KCD和△ECD，能得出∠DEC=60°，即△ECD是等边三角形。 我开始没有并想到，居然用七年级的知识倒角即可得到等边的结论，我用了特别笨的办法。我先是得到了∠DKC=∠MCB=30°，又有AH⊥BC，顺势过M也向BC做垂线，这样很容易和平面直角坐标系联系起来，或者说高中的向量知识。设BH=2b，AH=2a，则CH=√3a-b，AD=BC=√3a+b，且DE=CE，由Rt△DAE和Rt△CHE可得，设AE=x，HE=2a-x，利用ED=EC，可以由勾股定理用含a、b的代数式解出x，也表示出线段AB、EC的长，证明了CD=AB=ED=EC。 高中思维耽误了倒角，可是下一段我觉得有点取巧。 在等边△CDE中，∠QCP=30°，那么初中思维这是半角旋转类型，延长PD至S，使得DS=QE=2，这样易证△QEC全等△SDC（边角边），下一步顺势连接PQ，易证△PCQ全等△PCS，设PD=5x，QD=8x，则PQ=5x+2，再利用∠PDQ=∠DEC=60°，在△PDQ中，三边都有未知数，∠PDQ是特殊角，保留特殊角做高，解勾股定理，可以求x，即△EDC的边长可求，高可求，△ECQ的面积可求。 
用高中思维来看，我现在有了PD=5x，QD=8x，QE=2，EC=EC=8x+2，∠QCP=30°，∠PDQ=∠EDC=60°，我也不旋转了，直接连接PQ，在△PDQ中，上余弦定理（也是保留特殊角做高），可知PQ=7x，在△PCQ当中，∠PCQ=30°，PC在△PDC当中，PD、CD用含x代数式表示，∠PDC=120°，上余弦定理表示PC，同理CQ在△CEQ当中，CE=8x+2、QE=2，∠CEQ=60°，上余弦定理表示CQ，最后在△PCQ当中，上余弦定理表示PQ，联立解方程，求x。 用高中办法，就是解方程的思路，思考过程省了，解题的准确性要求高了。尤其是这道题有标准的垂直（AH⊥BC），我容易往建系的方向思考，但是题里给的条件是特殊角，还是几何法较好。 --------我是招生分割线-------- 初中八年级、九年级数学超前班 【初中招生】新八年级、新九年级超前学习培训班招生 招生：八年级、九年级学生，校排名前15%吧，省重点一批次配额一般是各校学生的11%左右，前15%即基本上能进省重点中学。 学习内容：略讲初中数学，高中数学一轮、二轮。 时间：即日起，秋季学期、寒假、春季学期、暑假。九年级下学期备战中考。 目标：保证初中校内成绩的前提下，提前布局高中学习，若有可能，高一高二冲击数学联赛、西交中科大少年班、高三冲击强基计划；若力所不及，至少高中数学学习较为轻松吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 --------我是另一个招生分割线-------- 高中六实一数学培优班 【高中招生】新高一六实一数学特优培训班开始招生啦 招生：高一学生，喜欢数学有一定特长，能考上六中、省实验、一中或意外落入强市重点的学生。 学习内容：高中数学一轮（顺序有调整），略超高考难度，内容略多高考。 时间：即日起，暑假、秋季学期、寒假、春季学期。 目标：保证高中校内成绩的前提下，若有可能，高二高三冲击数学联赛、升学多一个选择（强基计划）；若力所不及，转为普通班学习正常高考内容吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 --------我是加好友分割线-------- 冰城数理思维，致力于培养学生数学逻辑思维能力，学习演绎、归纳、类比等推理方式，让孩子爱上数学，让天赋得以发挥。关注我公众号，加我微信。 
我的微信虽然挂着，但是也不怎么说话，也不发朋友圈，也不拉群，不会整天广告营销骚扰你，有几个朋友加了我，我也没吭声，有事儿说事儿，力所能及的我肯定上，收费的，不便宜，这是阳谋，包括写公众号文章。