AI聊数学:习题1-9函数连续性习题4-6 同济大学《高等数学》第8版上册)

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今天做习题1-9的第4到第6题。第4题是10个极限计算，第5题是间断点理论判断，第6题是分段函数选参数使连续。内容很扎实，我们逐题推进。

先看第4题，10个极限。第（1）小题：当埃克斯趋于无穷大时，伊的埃克斯分之1次方的极限。

用连续性。伊的某次方是连续函数，极限号可以移到指数上：等于伊的当埃克斯趋于无穷大时埃克斯分之1的极限，等于伊的0次方等于1。

第（2）小题：当埃克斯趋于0时，伦正弦埃克斯除以埃克斯的极限。

伦是连续函数，极限号移入：等于伦当埃克斯趋于0时正弦埃克斯除以埃克斯的极限。正弦埃克斯除以埃克斯趋于1，所以极限等于伦1等于0。

第（3）小题：当埃克斯趋于无穷大时，1加埃克斯分之1的2分之埃克斯次方的极限。

这是重要极限的变形。1加埃克斯分之1的埃克斯次方趋于伊，所以1加埃克斯分之1的2分之埃克斯次方等于1加埃克斯分之1的埃克斯次方的2分之1次方，极限等于伊的2分之1次方等于根号伊。

第（4）小题：当埃克斯趋于0时，1加3坦特平方埃克斯的阔特平方埃克斯次方的极限。

这是1的无穷大型。关键观察：3坦特平方埃克斯乘阔特平方埃克斯等于3，所以令3坦特平方埃克斯为新变量，它趋于0，而阔特平方埃克斯等于3坦特平方埃克斯分之3，趋于无穷大。

具体写：1加3坦特平方埃克斯的阔特平方埃克斯次方，等于1加3坦特平方埃克斯的3分之1阔特平方埃克斯次方再整体3次方。而3分之1阔特平方埃克斯等于3坦特平方埃克斯分之1，当埃克斯趋于0时3坦特平方埃克斯趋于0，所以底数部分趋于伊。整体极限等于伊的3次方等于伊的立方。

第（5）小题：当埃克斯趋于无穷大时，6加埃克斯分之3加埃克斯的2分之埃克斯减1次方的极限。

先把底数变形：6加埃克斯分之3加埃克斯等于1减6加埃克斯分之3。令6加埃克斯分之3为新变量替，当埃克斯趋于无穷大时替趋于0。底数等于1减替，指数等于2分之埃克斯减1。

关键是把指数和底数配合起来。埃克斯等于3替分之1减6，所以2分之埃克斯减1等于6替分之1减7再除以2，等于负2替分之3加负2分之7。底数1减替的负替分之1次方趋于伊。剩余部分1减替的负2分之7次方趋于1。所以极限等于伊的负2分之3次方。

第（6）小题：当埃克斯趋于0时，根号1加坦特埃克斯减根号1加正弦埃克斯，除以埃克斯乘根号1加正弦平方埃克斯减埃克斯的极限。

这题步骤比较多。先分子有理化：分子根号1加坦特减根号1加正弦，乘以共轭根号1加坦特加根号1加正弦，分子变成坦特减正弦。分母也有理化：根号1加正弦平方减1，乘以根号1加正弦平方加1，分母变成正弦平方。

所以原式等于坦特减正弦除以埃克斯乘正弦平方乘根号1加坦特加根号1加正弦分之1乘根号1加正弦平方加1分之1。坦特减正弦等于正弦乘阔特减1除以阔斯。阔特减1等于阔斯分之1减阔斯等于阔斯分之2阔斯平方分之1减阔斯，用等价无穷小阔特减1等价于2分之1埃克斯的平方。

综合起来，正弦除以埃克斯极限等于1，阔特减1等价于2分之1埃克斯的平方，正弦平方等价于埃克斯的平方，根号部分的极限都等于2分之1。所以极限等于1乘2分之1乘2分之1等于2分之1。

第（7）小题：当埃克斯趋于伊时，伦埃克斯减1除以埃克斯减伊的极限。

令替等于埃克斯减伊，当埃克斯趋于伊时替趋于0。原式变成伦伊加替减伦伊除以替，等于伦1加替分之伊除以替，等于伦1加伊分之替除以替。由等价无穷小伦1加某量等价于某量，伦1加伊分之替等价于伊分之替，所以极限等于伊分之1。

第（8）小题：当埃克斯趋于0时，伊的3埃克斯次方减伊的2埃克斯次方减伊的埃克斯次方加1，除以1减埃克斯乘1加埃克斯的3分之1次方减1的极限。

分子先因式分解：伊的3埃克斯次方减伊的2埃克斯次方减伊的埃克斯次方加1等于伊的2埃克斯次方减1乘伊的埃克斯次方减1。用等价无穷小，伊的2埃克斯次方减1等价于2埃克斯，伊的埃克斯次方减1等价于埃克斯。分子等价于2埃克斯的平方。

分母1减埃克斯平方的3分之1次方减1，由1加某量的阿尔法次方减1等价于阿尔法乘某量，这里某量是负埃克斯的平方，阿尔法是3分之1，所以等价于3分之1乘负埃克斯的平方，即负3分之1埃克斯的平方。极限等于2埃克斯的平方除以负3分之1埃克斯的平方等于负6。

第（9）小题：当埃克斯趋于无穷大时，埃克斯乘伊的2埃克斯分之1次方减1的极限。

当埃克斯趋于无穷大时，2埃克斯分之1趋于0。由等价无穷小伊的某量减1等价于某量，伊的2埃克斯分之1次方减1等价于2埃克斯分之1。所以埃克斯乘2埃克斯分之1等于2分之1。极限等于2分之1。

第（10）小题：当埃克斯趋于1时，埃克斯的平方减1除以埃克斯减1乘伊的埃克斯减1分之1次方的极限。

埃克斯的平方减1除以埃克斯减1约分后等于埃克斯加1。所以原式等于埃克斯加1乘伊的埃克斯减1分之1次方。关键看埃克斯趋于1时伊的埃克斯减1分之1次方的行为。

分左右极限。埃克斯从右侧趋于1时，埃克斯减1大于0，埃克斯减1分之1趋于正无穷大，伊的正无穷大次方趋于正无穷大，乘以埃克斯加1趋于2，整体为正无穷大。

埃克斯从左侧趋于1时，埃克斯减1小于0，埃克斯减1分之1趋于负无穷大，伊的负无穷大次方趋于0，乘以埃克斯加1趋于2，整体趋于0。

左极限0，右极限正无穷大，左右极限不相等，所以极限不存在。

第5题：设埃夫埃克斯在全体实数上连续且不等于0，斐埃克斯在全体实数上有定义且有间断点。判断四个陈述的对错。

第（1）个：斐埃夫埃克斯必有间断点。这个是错的。反例：斐埃克斯等于符号函数诶格恩埃克斯，埃夫埃克斯等于伊的埃克斯次方。斐埃夫埃克斯等于符号函数作用于伊的埃克斯次方，而伊的埃克斯次方恒正，所以斐埃夫埃克斯恒等于1，处处连续。斐的间断点被埃夫的值域给绕过去了。

第（2）个：斐埃克斯的平方必有间断点。也是错的。反例：斐埃克斯在有理数上等于1，在无理数上等于负1，这就是狄利克雷型函数。斐的平方恒等于1，处处连续。

第（3）个：埃夫斐埃克斯未必有间断点。这个是对的。反例用同样的斐埃克斯，再取埃夫埃克斯等于埃克斯的绝对值加1。埃夫斐埃克斯恒等于2，处处连续。所以埃夫斐埃克斯确实未必有间断点。

第（4）个：斐埃克斯除以埃夫埃克斯必有间断点。这个是对的。用反证法：如果斐除以埃夫处处连续，而埃夫本身处处连续且不等于0，那么斐等于斐除以埃夫乘以埃夫，即两个连续函数的乘积，斐也处处连续，与已知矛盾。所以斐除以埃夫必有间断点。

总结：第1和第2是错的，第3和第4是对的。核心思路是：间断点经过某些运算可能被消除，但除以非零连续函数不会消除间断点。

第6题：分段函数埃夫埃克斯，当埃克斯小于0时等于伊的埃克斯次方，当埃克斯大于等于0时等于诶加埃克斯。选择诶使埃夫埃克斯在全体实数上连续。

由初等函数的连续性，埃夫埃克斯在负无穷大到0和0到正无穷大上都连续，只需要在埃克斯等于0处连续就行。

左极限：当埃克斯从左侧趋于0时，伊的埃克斯次方趋于1。右极限：当埃克斯从右侧趋于0时，诶加埃克斯趋于诶。函数值：埃夫0等于诶。要连续需要左极限等于右极限等于函数值，所以诶等于1。

选择诶等于1，埃夫埃克斯就在全体实数上连续了。这道题的方法很典型：分段函数在分段点处的连续性，就是让左右极限和函数值三者相等。