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高等数学强化小灶课-1
tan3𝑥+𝑥𝑓(𝑥)
1.设𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处二阶可导，且lim = 0，则( )
(cid:3051)→(cid:2868)
𝑥(cid:2871)
A.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）是拐点
B.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）不是拐点
C.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）是拐点
D.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）不是拐点2.设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)二阶可导，且𝑓(0) = 𝑓(cid:4593)(0) = 0，𝑓(cid:4593)(cid:4593)(0) ≠ 0，记𝑢为曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点
𝑢
𝑃(𝑥,𝑦)处的切线在𝑥轴上的截距，求lim .
(cid:3051)→(cid:2868)𝑥1 (cid:3051)
3. lim (cid:3505) |sin𝑡|d𝑡 = _________.
(cid:3051)→(cid:2878)(cid:2998)𝑥
(cid:2868)(cid:2869) (cid:3051)(cid:3118) 𝐹′(𝑥)
4.设𝐹(𝑥) = (cid:3505) d𝑣(cid:3505) 𝑓(𝑢)d𝑢，其中𝑓(𝑥)为连续函数，则lim = _______.
(cid:3032)(cid:3127)(cid:3299)(cid:3118)
(cid:2879)(cid:2922)(cid:2924)(cid:3049)
(cid:3051)→(cid:2868)
𝑥(cid:2871)5.设𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0的某邻域内有定义，则𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)|sin𝑥|在𝑥 = 0处
可导的充要条件为( )。
A.lim𝑓(𝑥)存在 B. lim 𝑓(𝑥)+ lim 𝑓(𝑥) = 0
(cid:3051)→(cid:2868) (cid:3051)→(cid:2868)(cid:3126) (cid:3051)→(cid:2868)(cid:3127)
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0 处可导 D.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处连续6.设数列{𝑥 }满足𝑥 = (cid:3493)6+𝑥 (𝑛 = 1,2,⋯)，𝑥 > −6，证明{𝑥 }收敛，并求该极限.
(cid:3041) (cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) (cid:3041) (cid:2869) (cid:3041)7.下列说法不正确的是( ).
𝑓(𝑎+ℎ)
①设𝑓(𝑎) = 0，则“极限lim 存在”是“𝑓(𝑥)在𝑥 = 𝑎处可导”的充要条件；
(cid:3035)→(cid:2868) 𝑒(cid:3035) −1
②若函数𝑓(𝑥)二阶可导，且在𝑥 = 𝑎处取得极小值，则𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝑎) > 0；
③若𝑓(𝑥)可导且在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内单调递增(δ > 0)，则在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内,𝑓(cid:4593)(𝑥) > 0；
④设𝑓(cid:4593)(𝑎) = 0,𝑓′′(𝑎) = 1，则存在 δ > 0，当𝑥 ∈ (𝑎−𝛿,𝑎)∪(𝑎,𝑎+𝛿)时，𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎).
A. ①③ B.②③ C. ①④ D.②④(cid:2870)
ln(1+𝑒(cid:3051))
−2[𝑥],𝑥 ≠ 0
8.设𝑓(𝑥) = (cid:3422) (cid:2869) ,[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，则( ).
ln(1+𝑒(cid:3051))
2,𝑥 = 0
A.点𝑥 = 0是跳跃间断点 B.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处连续但不可导
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0 处可导，且𝑓′(0) = 0 D.𝑥 = 0是极小值点1 1 1
, < 𝑥 ≤ ,𝑛 = 0,1,⋯
9.定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥) = (cid:4688)2(cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) 2(cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) 2(cid:3041) ，则( )
0, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
1
A.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2(cid:3041)
1
B.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2(cid:3041)
1
C.𝑥 = 0，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯均为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2(cid:3041)
1
D.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的第一类间断点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2(cid:3041)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3051)
10.设𝜑(𝑥) = (cid:3505) 𝑓(𝑡𝑥(cid:2870))d𝑡，其中函数𝑓(𝑥)连续.
(cid:2868)
(1)求𝜑(cid:4593)(𝑥)；
(2)讨论𝜑(cid:4593)(𝑥)的连续性.高等数学强化小灶课-2
𝑥 (cid:3051)(cid:3047) (cid:3051)
1.设𝑥 ≥ 0,𝑓(𝑥) = lim (cid:4672)1− (cid:4673) ,𝑔(𝑥) = (cid:3505) 𝑓(𝑢)d𝑢,
(cid:3047)→(cid:2878)(cid:2998) 𝑡
(cid:2868)
（Ⅰ）求𝑦 = 𝑔(𝑥)在𝑥 ≥ 0部分的水平渐近线;
（Ⅱ）求𝑦 = 𝑔(𝑥)与其水平渐近线及𝑦轴在𝑥 ≥ 0部分所围成图形的面积𝐴.2.设𝑓(𝑥)在(0,+∞)二阶可导，且𝑓(0) = 0,𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝑥) < 0，则当 0 < 𝑎 < 𝑥 < 𝑏时恒有( )
A.𝑎𝑓(𝑥) > 𝑥𝑓(𝑎) B.𝑥𝑓(𝑥) > 𝑎𝑓(𝑎) C.𝑏𝑓(𝑥) > 𝑥𝑓(𝑏) D.𝑥𝑓(𝑥) > 𝑏𝑓(𝑏)3.如果𝑓′(𝑥 ) = 0，𝑓′′(𝑥 ) > 0,则必定存在一个正数𝛿，使得( )
(cid:2868) (cid:2868)
A.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凹的
(cid:2868) (cid:2868)
B.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凸的
(cid:2868) (cid:2868)
C.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调减少，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调增加
(cid:2868) (cid:2868) (cid:2868) (cid:2868)
D.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调增加，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调减少
(cid:2868) (cid:2868) (cid:2868) (cid:2868)(cid:3051)
4.设函数𝑓(𝑥)在[0,2]上连续，且𝑓(𝑥) ≤ (cid:3505) 𝑓(𝑡)d𝑡，𝑥 ∈ [0,2],则( ).
(cid:2868)
(cid:2869) (cid:2870)
A.(cid:3505) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 0 B.(cid:3505) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≥ 0 C.𝑓(1) ≥ 0 D.𝑓(2) ≥ 0
(cid:2868) (cid:2868)5.方程𝑥−𝑒ln|𝑥| = 1的实根个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.36.设𝑦(𝑥)满足微分方程𝑦(cid:4593)(cid:4593) −6𝑦(cid:4593) +9𝑦 = 𝑒(cid:2871)(cid:3051)，且曲线𝑦 = 𝑦(𝑥)在(0,0)处有水平切线，
(𝑒 +tan𝑥)(cid:3051) −𝑒(cid:3051)
求𝑦(𝑥)表达式，并计算lim .
(cid:3051)→(cid:2868) 𝑦(𝑥)1
7.函数𝑦(𝑥)是微分方程𝑦"+𝑦′−2𝑦 = min{𝑒(cid:3051),1}满足 lim 𝑦(𝑥) = − , lim 𝑦(𝑥) = 0
(cid:3051)→(cid:2878)(cid:2998) 2 (cid:3051)→(cid:2879)(cid:2998)
的解，则当𝑥 > 0时,𝑦(𝑥) = ________.(cid:2869)
8.设𝑓(𝑥)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 0.
(cid:2868)
(1)证明：存在 𝜉 ∈ (0,1)，使得𝜉𝑓(cid:4593)(𝜉)+2𝑓(𝜉) = 0；
(cid:3086)
(2)若𝑓(0) = 0，证明存在𝜂 ∈ (0,1)，使得(cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 𝜂𝑓(𝜂).
(cid:2868)9.设函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)内二阶可导，且满足
(cid:3029)
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = (cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 0，证明：
(cid:3028)
(1)存在𝜂 ∈ (𝑎,𝑏)，使得𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝜂) = 𝑓(𝜂)；
(2)存在𝜉 ∈ (𝑎,𝑏)，使得𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝜉)−5𝑓(cid:4593)(𝜉)+6𝑓(𝜉) = 0.高等数学强化小灶课-3
1.设𝑓(𝑥)为单调的连续函数，且有可导的反函数𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)，若(cid:3505)𝑓(𝑥)d𝑥 = 𝐹(𝑥)+𝐶，则
(cid:3505)𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)d𝑥 = ( )
A.𝑥𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)−𝐹[𝑓(𝑥)]+𝐶 B.𝑥𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)−𝐹[𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)]+𝐶
C.𝑥𝑓(𝑥)−𝐹[𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)]+𝐶 D.𝑥𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)+𝐹[𝑓(cid:2879)(cid:2869)(𝑥)]+𝐶(cid:3051)(cid:2878)(cid:2870)(cid:3095)
2.设𝐹(𝑥) = (cid:3505) 𝑒(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3047) ∙sin𝑡d𝑡，则𝐹(𝑥)( )
(cid:3051)
(A)为正常数. (B)为负常数.
(C)为 0. (D)不是常数.(cid:2869)
3.设连续函数𝑓(𝑥) = 2𝑥(cid:2870)ln𝑥−(cid:3505) 𝑓(𝑒(cid:3051))d𝑥，则𝑓(𝑥) = .
(cid:2868)(cid:3095) (cid:3095)
(cid:2870) (cid:2870)
4.设𝑓(𝑥)为非负连续函数且满足：(cid:3505) 𝑓(𝑡−𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡 = cos(cid:2872)𝑥，求(cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥.
(cid:3051) (cid:2868)5.设函数𝑓(𝑥) = sin𝑥(cid:2871)，𝑎为常数，则下列说法正确的是( )
(cid:3051) (cid:3048) (cid:3051) (cid:3048)
A.(cid:3505) d𝑢(cid:3505) 𝑓(𝑡)d𝑡一定是奇函数 B.(cid:3505) d𝑢(cid:3505) 𝑓(𝑓(𝑡))d𝑡一定是偶函数
(cid:3028) (cid:3028) (cid:2868) (cid:2868)
(cid:3051) (cid:3048) (cid:3051) (cid:3048)
C.(cid:3505) d𝑢(cid:3505) 𝑡(cid:2870) ∙𝑓′(𝑡)d𝑡一定是偶函数 D.(cid:3505) d𝑢(cid:3505) 𝑓′(𝑓(𝑡))d𝑡一定是偶函数
(cid:3028) (cid:3028) (cid:2868) (cid:2868)6.设𝑓(𝑥,𝑦)连续且满足lim
𝑓(𝑥,𝑦)−2𝑥 −𝑦
= 0，求lim(cid:3435)1+𝑓(cid:3435)1−cos𝑥,𝑒(cid:3051)(cid:3118) −1(cid:3439)(cid:3439)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)
(cid:2869)
(cid:3051)(cid:3118).
(cid:3051)→(cid:2868) (cid:3493)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) (cid:3051)→(cid:2868)
(cid:3052)→(cid:2868)𝑥(cid:2870) −𝑦(cid:2870)
𝑥𝑦 ,(𝑥,𝑦) ≠ (0,0)，
7.设𝑓(𝑥,𝑦) = (cid:4688) 𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) 则𝑓(cid:4593)(cid:4593)(0,0) = .
(cid:3051)(cid:3052)
0, (𝑥,𝑦) = (0,0)，8.设𝑧 = 𝑧(𝑥,𝑦)由方程𝑧 = 𝑥 +𝑦𝜑(𝑧)确定，𝑢 = 𝑓(𝑧)，其中𝑓,𝜑连续可导，𝑦𝜑(cid:4593)(𝑧) ≠ 1，
𝜕𝑢 𝜕𝑢
则𝜑(𝑧) − = ( )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
A.𝑧 B.𝑢 C.1 D.0𝑥
9.设函数𝑓(𝑥𝑦, ) = 𝑥(cid:2870)𝑦(cid:2870)𝑒(cid:3051)(cid:3118)，则𝑓(cid:4593)(1,1) = .
𝑦 (cid:3051)10.设𝑦 = 𝑦(𝑥)由方程𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)和𝑥(cid:2870)+𝑦(cid:2870)+𝑧(cid:2870) = 1 确定，其中𝑓(𝑥,𝑦)有连续偏导数，
d𝑦
且𝑧𝑓(cid:4593) ≠ −𝑦，则 = ________.
(cid:3052) d𝑥(cid:2869)
11.设𝑢(𝑥,𝑦) = (cid:3505) 𝑓(𝑡)|𝑥𝑦 −𝑡|d𝑡，其中𝑓(𝑡)在[0,1]连续，0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1，
(cid:2868)
𝜕(cid:2870)𝑢 𝜕(cid:2870)𝑢
求 ， .
𝜕𝑥(cid:2870) 𝜕𝑦(cid:2870)高等数学强化小灶课-4
𝑓(𝑥,𝑦)−𝑥𝑦(cid:2870)
1.设𝑓(𝑥,𝑦)在点(0,0)的某邻域内连续，且lim = 1，则下列关于𝑓(𝑥,𝑦)
(cid:3051)→(cid:2868) sin(𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870))
(cid:3052)→(cid:2868)
在点(0,0)处说法不正确的是( )
𝑓(𝑥,𝑦)
A.极限lim = 0 B.偏导数存在，且𝑓 ′(0,0) = 𝑓 ′(0,0) = 0
(cid:3051)→(cid:2868)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) (cid:3051) (cid:3052)
(cid:3052)→(cid:2868)
C.可微，且 d𝑓(0,0) = 0 D.取极小值𝑓(0,0) = 02.设函数𝑓(𝑥,𝑦)有二阶连续偏导数，𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑓(𝑒(cid:3051)(cid:3052),𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870))，且有
𝑓(𝑥,𝑦)+𝑥 +𝑦−1
lim = 0.
(cid:3051)→(cid:2869) (cid:3493)(𝑥−1)(cid:2870) +𝑦(cid:2870)
(cid:3052)→(cid:2868)
试问𝑔(𝑥,𝑦)在(0,0)是否取得极值？若取得极值判断是极大值还是极小值，并求出该极值.𝑦 8
3.求函数𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥 + + 在第一象限内的极值，并证明该极值为最值.
𝑥 𝑦(cid:2868) (cid:2870)(cid:2878)(cid:3493)(cid:2872)(cid:2879)(cid:3052)(cid:3118) (cid:2870) (cid:2872)
4.(cid:3505) d𝑦(cid:3505) 𝑥(cid:2870)𝑦d𝑥+(cid:3505) d𝑦(cid:3505) 𝑥(cid:2870)𝑦d𝑥 = .
(cid:2879)(cid:2870) (cid:2870)(cid:2879)(cid:3493)(cid:2872)(cid:2879)(cid:3052)(cid:3118) (cid:2868) (cid:3052)(cid:3118)5.设𝐹(𝑡) = (cid:3509) 𝑓(𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870)) d𝑥d𝑦,其中𝑡 > 0，𝑓为连续函数,且𝑓(0) = 0，𝑓(cid:4593)(0) = 2,
(cid:3051)(cid:3118)(cid:2878)(cid:3052)(cid:3118)(cid:3000)(cid:3047)(cid:3118)
𝐹(𝑡)
则 lim = _________.
(cid:3047)→(cid:2868)(cid:3126) 𝑡(cid:2872)(𝑥+𝑦)𝑦(cid:2870) (cid:2871)
6.计算二重积分𝐼 = (cid:3509) d𝜎，其中𝐷:(cid:3420)(𝑥,𝑦)(cid:3628)𝑥 ≤ (𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870))(cid:2870) ≤ 1,𝑥 ≥ 0(cid:3424).
(cid:3493)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870)
(cid:3005)7.设𝐷 = {(𝑥,𝑦)|𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ 1,𝑦 ≥ 0},计算二重积分I = (cid:3509)(𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870))[|𝑥|+𝑦+1]d𝜎，
(cid:3005)
其中[∙]为取整函数.8.计算二重积分(cid:3509)min{𝑥,𝑦}𝑒(cid:2879)((cid:3051)(cid:3118)(cid:2878)(cid:3052)(cid:3118))d𝜎，其中𝐷为全平面.
(cid:3005)9.设平面区域𝐷由曲线𝑦 = (cid:3493)3(1−𝑥(cid:2870))与直线𝑦 = √3𝑥及𝑦轴围成，计算(cid:3509)𝑥(cid:2870)d𝑥d𝑦.
(cid:3005)𝟑.二重积分换元法*
𝜕(𝑥,𝑦)
若𝑥 = 𝑥(𝑢,𝑣)，𝑦 = 𝑦(𝑢,𝑣)有连续一阶偏导数，且𝐽(𝑢,𝑣) = ≠ 0，则
𝜕(𝑢,𝑣)
(cid:3509)𝑓(𝑥,𝑦)d𝑥d𝑦 = (cid:3509)𝑓[𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣)]|𝐽(𝑢,𝑣)|d𝑢d𝑣.
(cid:3005) (cid:3005)
(cid:3299)(cid:3300) (cid:3296)(cid:3297)
类似于定积分换元，需注意“三换”：
①积分区域：𝐷 → 𝐷 （一一对应）；
(cid:3051)(cid:3052) (cid:3048)(cid:3049)
②被积函数：𝑓(𝑥,𝑦) → 𝑓[𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣)]；
③积分变量：d𝑥d𝑦 → |𝐽(𝑢,𝑣)|d𝑢d𝑣.
【注】此内容非考试大纲要求，但有时该方法会把问题简化，考试可直接使用.10.设𝑓(𝑥,𝑦)在区域𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ 1上有连续一阶偏导数，且在区域边界上𝑓(𝑥,𝑦) ≡ 0.
𝑥𝑓(cid:4593) +𝑦𝑓(cid:4593)
证明： lim (cid:3509) (cid:3051) (cid:3052) d𝑥d𝑦 = −2𝜋𝑓(0,0)，其中𝐷 = {(𝑥,𝑦)|𝑡(cid:2870) ≤ 𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ 1}.
(cid:3047)→(cid:2868)(cid:3126) 𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870)
(cid:3005)
