(83)-线性代数强化习题1-2（全）_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

线性代数强化小灶课-1 1.设𝑨,𝑩均为𝑛阶矩阵，下列说法正确的有（ ）个 ①若𝑨(cid:2870) = 𝑶,𝑨 ≠ 𝑶,则𝑨必不可相似对角化; ②若𝑨为𝑛阶实对称矩阵，𝑨𝟑 +𝑨𝟐 +𝑨−𝟑𝑬 = 𝑶,则𝑨 = 𝑬; ③若𝑨与𝑩相似，由𝑨𝟐 = 𝑨，可得𝑩𝟐 = 𝑩; ④若𝑨与𝑩合同，由𝑨𝟐 = 𝑨，可得𝑩𝟐 = 𝑩. A. 1 B.2 C. 3 D.42.设𝑨,𝑩为𝑛阶方阵，则下列说法正确的是( ) A.若𝑨可经初等行变换化成𝑩，则𝑨,𝑩的特征值相同 B.若𝑨,𝑩的行列式相等，则𝑨,𝑩等价 C.若𝑨𝒙 = 𝟎与𝑩𝒙 = 𝟎只有零解，则𝑨,𝑩等价 D.若𝑨,𝑩为相似矩阵，则𝑨𝒙 = 𝟎与𝑩𝒙 = 𝟎同解3.设𝑨,𝑩均为𝑛阶矩阵，𝑐为任意常数，下列条件 ①𝑨𝑩 = 𝑐𝑬;②𝑨𝟐 −𝑩𝟐 = (𝑨−𝑩)(𝑨+𝑩);③(𝑨𝑩)𝟐 = 𝑨𝟐𝑩𝟐;④(𝑨𝑩)(cid:2904) = 𝑨(cid:2904)𝑩(cid:2904) 可推出𝑨𝑩 = 𝑩𝑨的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.44.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，交换𝑨的第一行和第二行，再将第三行的 2倍加至第二行得矩阵 𝑩，则( ) A.交换 𝑨∗的第一列和第二列，再将第三列的−2倍加至第二列得矩阵𝑩∗ B.将 𝑨∗第二列的−2倍加至第三列，再交换第一列和第二列得矩阵−𝑩∗ C.将𝑨∗第二列−2倍加至第三列，再交换第一列和第二列得矩阵𝑩∗ D.交换𝑨∗的第一列和第二列，再将第二列的−2倍加至第三列得矩阵−𝑩∗5.设𝑨,𝑩分别为 2阶，3阶矩阵，𝑪是3×2矩阵，𝑨∗,𝑩∗分别为𝑨,𝑩的伴随矩阵， 𝑶 𝑨 若|𝑨| = −1，|𝑩| = 2,则分块矩阵(cid:4672) (cid:4673)的伴随矩阵为( ) 𝑩 𝑪 𝑩∗𝑪𝑨∗ 𝑩∗ −𝑩∗𝑪𝑨∗ −𝑩∗ 𝑶 −𝑩∗ 𝑶 −2𝑨∗ A.(cid:4672) (cid:4673) B.(cid:4672) (cid:4673) C.(cid:4672) (cid:4673) D.(cid:4672) (cid:4673) −2𝑨∗ 𝑶 2𝑨∗ 𝑶 2𝑨∗ −𝑩∗𝑪𝑨∗ 𝑩∗ 𝑩∗𝑪𝑨∗𝑨 𝜶 6.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，𝜶为𝑛维列向量，记分块矩阵𝑷 = (cid:4674) (cid:4675)，则𝑷可逆的充分必要条 𝜶(cid:2904) 1 件为( ) A.𝜶(cid:2904)𝑨𝜶 ≠ 1 B.𝜶(cid:2904)𝑨𝜶 ≠ −1 C.𝜶(cid:2904)𝑨(cid:2879)(cid:2869)𝜶 ≠ 1 D.𝜶(cid:2904)𝑨(cid:2879)(cid:2869)𝜶 ≠ −1𝑨 𝑪 7.设𝑨,𝑩,𝑪为 3阶方阵，𝑟(cid:4672) (cid:4673) = 𝑟(𝑨)+𝑟(𝑩)是𝑪的列可由𝑨的列线性表示的( ) 𝑶 𝑩 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件8.设𝑨是𝑚×𝑛阶矩阵，且𝑚 ≤ 𝑛,𝑟(𝑨) = 𝑟,𝑩是𝑠×𝑚阶矩阵，且𝑟(𝑩) = 𝑚,𝑪是𝑠×𝑚阶矩 阵，且𝑟(𝑪) < 𝑚，则( ) A. 𝑩𝑨𝒙= 𝟎的基础解系由𝑛−𝑚个向量组成 B. 𝑪𝑨𝒙 = 𝟎的基础解系由𝑛−𝑚个向量组成 C. 𝑩𝑨𝒙 = 𝟎的基础解系由𝑛−𝑟个向量组成 D. 𝑪𝑨𝒙= 𝟎的基础解系由𝑛−𝑟个向量组成9.设𝑨为𝑛阶实对称阵，𝑨∗为𝑨的伴随矩阵，𝑟(𝑨)+𝑟(𝑨∗) = 𝑛，𝐴∗的各行元素之和为3， 则𝑨∗𝒙 = 𝟎的通解为________.1 2 3 10.设𝑨 = (cid:3437) 0 1 2 (cid:3441)，且𝑟(𝑨) = 2，则𝑨∗𝒙 = 𝟎的通解为( ) −1 𝑎 4−𝑎 A.𝒙 = 𝑘 (1,0,−1)(cid:2904) +𝑘 (2,1,3)(cid:2904)，𝑘 ,𝑘 为任意常数 (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) B.𝒙 = 𝑘 (1,0,−1)(cid:2904) +𝑘 (5,3,4)(cid:2904)，𝑘 ,𝑘 为任意常数 (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) C.𝒙 = 𝑘 (1,0,−1)(cid:2904) +𝑘 (3,2,1)(cid:2904)，𝑘 ,𝑘 为任意常数 (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) D.𝒙 = 𝑘 (2,1,1)(cid:2904) +𝑘 (3,2,1)(cid:2904)，𝑘 ,𝑘 为任意常数 (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)11.设𝑨,𝑩为𝑛阶矩阵，则下列命题不正确的是( ). A.若𝑨𝒙 = 𝟎的解均是𝑩𝒙 = 𝟎的解，则 r (𝑨) ≥ r (𝑩) B.若 r (𝑨𝑩) = r (𝑩)，则𝑨𝒙 = 𝟎的解均是𝑩𝒙 = 𝟎的解 C.方程组𝑨(cid:2904)𝑨𝒙 = 𝑨(cid:2904)𝒃恒有解（其中𝒃为任意𝑛维列向量） D.若 r (𝑨𝑩) = r (𝑩)，则𝑨𝑩𝒙 = 𝟎与𝑩𝒙 = 𝟎同解12.设𝑨是 4×5 阶矩阵，且𝑟(𝑨) = 4,𝑩是 4×2阶矩阵，则下列命题不正确的是( ). 𝑨(cid:2904) A.(cid:3436) (cid:3440)𝒙 = 𝟎只有零解 𝑩(cid:2904) 𝑨(cid:2904) B.∀𝒃(7维列向量)，(cid:3436) (cid:3440)𝒙 = 𝒃有唯一解 𝑩(cid:2904) C.(𝑨 ⋮ 𝑩)𝒙 = 𝟎必有无穷多解 D.∀𝒃(4维列向量)， (𝑨 ⋮ 𝑩)𝒙 = 𝒃必有无穷多解13.设𝑨是𝑛阶实对称矩阵，且满足2𝑨(cid:2871) −𝑨𝟐 +2𝑨−𝑬 = 𝑶,则𝑨 = .线性代数强化小灶课-2 1.已知𝑛阶矩阵𝑨满足𝑨(cid:2870)+𝑏𝑨+𝑐𝑬 = 𝑶，𝑏,𝑐均为实数.若对于任意实数𝑘，矩阵𝑨−𝑘𝑬均 可逆，则𝑏,𝑐需满足的条件为( ) A.𝑏(cid:2870) −4c > 0 B.𝑏(cid:2870) −4c ≥ 0 C.𝑏(cid:2870) −4c = 0 D.𝑏(cid:2870) −4c < 02.设𝜶 = (𝑎 ,𝑎 ,𝑎 )(cid:2904)，𝜷 = (𝑏 ,𝑏 ,𝑏 )(cid:2904)，𝜶和𝜷线性无关，则二次型 (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) 𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = (𝑎 𝑥 +𝑎 𝑥 +𝑎 𝑥 )(𝑏 𝑥 +𝑏 𝑥 +𝑏 𝑥 ) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2871) 的规范形为( ) A.𝑦(cid:2870) B.𝑦(cid:2870) +𝑦(cid:2870). C.𝑦(cid:2870) −𝑦(cid:2870). D.𝑦(cid:2870) +𝑦(cid:2870) +𝑦(cid:2870). (cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871)3.已知二次型𝒙(cid:2904)𝑨𝒙的正、负惯性指数均为1，且经过合同变换𝒙 = 𝑷𝒚化为𝒚(cid:2904)𝑩𝒚，其中 1 1 −𝑎 𝑩= (cid:3437) 1 𝑎 −1(cid:3441)，则𝑎 = . −𝑎 −1 14.设三元二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 𝑎𝑥(cid:2870) +𝑎𝑥(cid:2870) +(𝑎−1)𝑥(cid:2870) +2𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥 ， (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2871) (cid:2870) (cid:2871) 二次型𝑓的正负惯性指数分别为 2,0. （Ⅰ）求𝑎的值； （Ⅱ）求一个正交变换𝒙 = 𝑸𝒚，将二次型𝑓化为标准形； （Ⅲ）解方程𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 0. (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871)5.已知二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = (𝑥 +𝑎𝑥 )(cid:2870) +(𝑥 +𝑏𝑥 )(cid:2870) +(𝑥 +𝑐𝑥 )(cid:2870)的正惯性指数为2， (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2871) (cid:2869) 其中𝑎,𝑏,𝑐为实数，则𝑎,𝑏,𝑐应满足的关系式为_______.1 0 1 ⎛ 0 1 1 ⎞ 6.设𝑨 = (𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ) = ， (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) ⎜ ⎟ −1 0 𝑎 ⎝ 0 𝑎 −1⎠ (cid:3435)Ⅰ(cid:3439)求解齐次线性方程组(𝑨(cid:2904)𝑨)𝒙 = 𝟎； 𝑥 (cid:2869) (cid:3435)Ⅱ(cid:3439)求二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 𝒙(cid:2904)(𝑨(cid:2904)𝑨)𝒙的规范形，其中𝑥 = (cid:3437)𝑥 (cid:3441). (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2870) 𝑥 (cid:2871)3 3 7.已知二次型 fx x x ijx x . 1 2 3 i j i1 j1 (1)写出 fx x x 对应的矩阵； 1 2 3 (2)求正交变换 x Qy将 fx x x 化为标准形； 1 2 3 (3)求 fx x x 的解. 1 2 38. 设3阶矩阵𝑷 = (𝜶 ,𝜶 ,𝜶 )，其中𝜶 ,𝜶 分别是3阶矩阵𝑨对应的特征值−1和 1的特征向 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 量，且满足(𝑨−𝑬)𝜶 −𝜶 = 𝟎. 𝟑 𝟐 (1)证明𝑷可逆； (2)计算𝑷(cid:2879)(cid:2869)𝑨∗𝑷.9.设𝑨为𝑚阶正定矩阵，𝑩为𝑚×𝑛矩阵，𝑪 = 𝑩(cid:2904)𝑨𝑩，则𝑪与𝑛阶单位矩阵𝑬合同的充分必 要条件为( ) A.方程组𝑩𝒙 = 𝟎只有零解. B.方程组𝑩𝒙 = 𝟎有非零解. C.方程组𝑩𝑩(cid:2904)𝒙 = 𝟎只有零解. D.方程组𝑩𝑩(cid:2904)𝒙 = 𝟎有非零解.