高中物理「专题系列」(5)通解传送带问题

     高中物理「专题系列」（5）传送带专题

传送带模型是高中物理牛顿运动定律、运动学规律、功能关系综合应用的核心经典模型，是高中物理动力学重难点内容，也是高考高频考点。同时，传送带问题融合了多个核心知识点，题型灵活、情境多变，学生极易出现思维误区。

本文系统阐述传送带的基本工作原理、常见类型，归纳传送带问题的解题关键、通用解题步骤与实战技巧，为高中物理传送带专题教学与学生解题备考提供参考。

一、传送带的基本工作原理与模型特点

1.工作原理与命题价值

传送带是依靠摩擦力输送物体的机械装置，从物理本质来看，传送带的核心工作原理为：电机带动传送带匀速或变速运动，当物体轻放或以一定速度滑上传送带上时，物体与传送带之间的静摩擦力或滑动摩擦力为物体提供动力，使物体速度逐渐趋近传送带速度，最终实现物体随传送带同步运动。

我们发现有些问题中，传送带实际并没有给物体提供动力，如物体反方向滑上传送带的情况，对此，有同学对命题产生质疑：逆向传送带命题有实际意义吗？实际上逆向传送带命题不仅有实际意义，而且有很高的教学价值。

（1）逆向运动是真实会发生的故障、意外工况。

（2）逆向传送带问题更能全面考查学生处理问题的能力。传送带模型的考查核心，从来不是“传送带机器如何干活”，而是考查摩擦力方向由相对运动方向或相对运动趋势方向决定这个核心的物理概念。

2.物理模型

在高中物理理想化模型中，默认传送带轻质、无形变、不计自身动能损耗。

二、传送带试题要解决的热点问题

传送带类试题要解决的问题主要集中为以下几类

求物体在传送带上运动的总时间、末速度、最大位移、摩擦生热、电动机多消耗电能、传送带平均输出功率、物体在传送带上留下痕迹长度以及物体运动图像的判断等。

三、求解传送带问题的关键点和注意点

本文仅分析传送带匀速运行，物体只受到重力和传送带作用力情况

1.关键点：物体与传送带共速后运动性质分析

物体与传送带共速后的运动性质取决于两者共速后是否发生相对滑动和相对滑动的方向。

（1）物体在水平传送带上与传送带共速后摩擦力消失，物体与传送带不发生相对滑动而依靠惯性随传送带匀速运动。

（2）物体在倾斜传送带上与传送带共速后，由于重力沿传送带向下的分力（F=mgsinθ）会使物体有向下滑动的趋势.物体是否与传送带相对运动，需具体分析F与最大静摩擦力f_m(一般认为等于滑动摩擦力f_m=μmgcos θ)的大小关系。

①mgsin θ≤μmgcos θ（即μ≥tanθ）时，共速后物体与传送带不发生相对滑动，随传送带一起运动。

②mgsin θ＞μmgcos θ（即μ＜tanθ）时，共速后物体相对传送带下滑。

若传送带向下运动，则之后物体做加速运动；

若传送带向上运动，则之后物体做减速运动。

2.注意点：运动的相对性

物体在传送带上运动过程中与传送带会发生相对运动，应注意物体的速度、加速度和位移一般指的是对地矢量。

四、求解传送带问题的思路—通解方法

物体在传送带上可能的运动情况

以上可能情况居然有21种之多！这还不包括传送带做变速运动和物体另受其他力的情况。

我们不必要把每一种情况都分析一遍，需要的是找到解答传送带问题的通解方法—程序法

①根据初始时刻物体与传送带速度关系判断摩擦力的有无及方向

②分析物体受力，判断物体初始阶段运动性质，根据需要进行有关计算。

③若物体运动过程中有转折点（与传送带共速、速度减为0等）出现，分析摩擦力是否发生突变及变化后的方向和大小。

④根据第二阶段物体的受力分析其运动情况，进行有关计算。

⑤重复以上分析、计算，直至物体离开传送带。

例1 如图所示，皮带始终保持v =3 m/s的速度顺时针运转，一个质量为m =1.0 kg，初速度为零的小物体（视为质点）放在传送带的左端，若物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.15 ，传送带左右两端的距离s = 4.5 m 。求物体从左端运动到右端的时间和物体离开传送带时的速度。（g = 10 m/s²）

【解析】：物体刚放上传送带时相对传送带向左滑动受到向右摩擦力做加速运动，据牛顿第二定律有

μmg=ma, a=1.5m/s².

假设物体的速度能达到传送带速度v =3 m/s，此过程位移为x₁.

V²=2ax₁x₁= 3m

x₁＜s,之后摩擦力消失物体匀速运动.

加速时间t₁=v/a=2s

匀速时间t₁=（s-x₁)/v=0.5s

物体从左端运动到右端的时间t=t₁+t₂=3.5s

物体离开传送带时的速度与传送带速度相同v =3 m/s

点评：本题在传送带问题中属于最简单问题，依据程序的①②③问题得以解决。

拓展：计算（1）物体在传送带上滑动的距离；（2）若物体在传送带上能留下痕迹，计算痕迹长度；（3）因传送物体，带动传送带的电动机多消耗的电能.

【解析】（1）物体在传送带上滑动的距离即相对传送带运动的距离

△x=vt₁-x₁=3m.

(2)摩擦生热Q=μmg△x=4.5J

(3)计算电动机多消耗的电能有两种基本方法。

方法一（能量守恒法）根据能量守恒，电动机多消耗的电能等于物体动能的增加量与摩擦生热之和

方法二（功能关系法）电动机多消耗的电能等于传送带克服物体摩擦力做的功

例2 (2026·甘肃模拟)如图所示，绷紧的水平传送带足够长，始终以恒定速率v₁＝2 m/s沿顺时针方向运行.初速度为v₂＝4 m/s的小物块(可视为质点)从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带，小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，g＝10 m/s²，若从小物块滑上传送带开始计时，求：

(1)小物块在传送带上滑行的最远距离；

(2)小物块从A处出发到再回到A处所用的时间.

【解析】(1)小物块滑上传送带后相对传送带向左滑动受到向右摩擦力开始做匀减速运动，设小物块的质量为m，由牛顿第二定律得μmg＝ma

解得a＝2 m/s²

因小物块在传送带上滑行至最远距离时速度为0，小物块在传送带上滑行的最远距离

(2)小物块从A出发至速度减为0经历的时间

小物块速度减为0后，仍相对传送带向左滑动受到向右摩擦力，之后向右做匀加速运动，加速度大小为

设小物块与传送带共速所需时间为t₂，则

t₂时间内小物块向右运动的距离

x′＜x,此后摩擦力消失随传送带匀速运动

所以小物块从A处出发到再回到A处所用的时间

t_总＝t₁＋t₂＋t₃＝4.5 s.

全过程物体的v-t图像如图所示

例3(2025·河南模拟)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的传送带以速度v₁＝2 m/s顺时针匀速转动.一物块以v₂＝8 m/s的速度从传送带的底端滑上传送带.已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带足够长，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s²，求：

(1)小物块向上滑行的最远距离；

(2)小物块在传送带上留下的痕迹长度. 

【解析】(1)物块刚滑上传送带时相对传送带向上滑动，受到沿斜面向下的摩擦力，根据牛顿第二定律可得

mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma₁

解得a₁＝10 m/s²

物块与传送带共速后，由于

mgsin 37°＞μmgcos 37°

物块相对传送带下滑，受到沿斜面向上的摩擦力.根据牛顿第二定律可得

mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma₂

解得a₂＝2 m/s²

设上升的两个阶段运动时间分别为t₁、t₂，

则v₁＝v₂－a₁t₁

解得t₁＝0.6 s

又有v₁＝a₂t₂

解得t₂＝1 s

两段过程物块运动的位移分别为

小物块向上滑行的最远距离为x＝x₁＋x₂＝4 m.

(2)上升的第一个阶段，物块相对传送带向上滑动，与传送带的

相对位移大小为

物块由最高点下滑到底端时根据

可得t₃＝2 s

上升的第二个阶段与下降阶段，物块相对传送带一直向下运动，物块与传送带的相对位移大小为

Δx₂＝v₁t₂－x₂＋v₁t₃＋x＝9 m

往返滑动产生的痕迹有覆盖，所以痕迹长度为9 m.

全过程物体v-t图像如图所示

拓展：设物体质量为2kg,计算物体从滑上传送带到离开传送带过程中

（1）摩擦力对物体做的功；

（2）摩擦生的热.

【解析】（1）求摩擦力做的功可用不同方法

方法一（分段法）

t₁时间内摩擦力做负功，

W_f1=-μmgx₁cos 37°=-24J

t₂时间内摩擦力做正功，

W_f2=μmgx₂cos 37°=8J

t₃时间内摩擦力做负功，

W_f3=-μmg（x₁₊x₂）cos 37°=-32J

摩擦力做的总功

W_f=W_f1+W_f2+W_f3=-48J

方法二（全程法）

物体离开传送带时速度大小为

v=a₂t₃=4m/s

全过程对物体由动能定理得

(2)摩擦产生的热量等于摩擦力的大小与物体与传送带相对滑动路程的乘积

Q=μmg(Δx₁+Δx₂)cos 37°=6.4J

★注意：①计算力做的功要用对地位移，计算摩擦生热要用相对路程（不同于相对位移）！

如：本题中物体与传送带间相对路程为

s_相=(x₁-v₁t₁)+(v₁t₂-x₂)+(x₁+x₂+v₁t₃)

相对位移为(以沿传送带向上为正方向)

x_相=(x₁-v₁t₁)-(v₁t₂-x₂)-(x₁+x₂+v₁t₃)

②求解多过程传送带问题，v-t图像是一种很好的辅助工具。

例4 倾斜传送带与水平地面夹角为30⁰，，以速度v₀匀速运行。若以相同的时间间隔将散货以几乎为0的速度放置在倾斜传送带底端A，从放置某个散货时开始计数，当放置第10个散货时，第1个散货恰好被抛出。每个散货的质量均为m,散货与倾斜传送带间的动摩擦因数

到达顶端前已与传送带共速。求:

(1 ) 两轮间传送带的长度L

（2）倾斜传送带的平均输出功率。

(1)水平传送带的平均传送速度大小。

(2)倾斜传送带的平均输出功率。

【解析】（1）设倾斜传送带的长度为L，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律

(2)在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为

在∆t时间内传送带额外多做的功等于传送带因传送一个散货多消耗的能量

其中

联立可得倾斜传送带的平均输出功率为

第（2）问另解

散货在加速阶段，由牛顿第二定律

传送带受到所有散货摩擦力之和

传送带的平均输出功率为

【针对练习】1   如图，传送带与水平面倾角θ=37°，以10m/s的速率逆时针转动，在传送带上端A处轻轻放一质量m=2kg的物块，它与传送带间的摩擦系数μ=0.5。若两轮间传送带的长度L=29m。（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：（1）物块从传送带上端A运动到 B处所用时间和到B处时的速度大小。（2）物块从传送带上端A运动到 B处的过程中摩擦力对物块所做的功。(3) 物块从传送带上端A运动到 B处的过程中物块和传送带所产生的总热量。　

【针对练习】2 .一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列．相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率

【针对练习】答案：1.(1) 3s  14m/s   (2)-152J     (3)72J  

五、结语

传送带模型作为高中物理动力学的综合性核心模型，看似题型繁杂、变化多样，但其物理规律、临界条件、解题逻辑高度统一。解决传送带问题的核心不在于海量刷题，而在于吃透相对运动本质、掌握临界分析方法、建立标准化、程序化解题思维。

在教学过程中，教师应摒弃题海式教学，以模型建构为核心，引导学生透过表象看透物理本质，总结通用解题规律；学生应主动归纳模型特点、梳理解题步骤、突破思维误区，实现从“会做一道题” 到 “会解一类题” 的提升，从容应对各类考试变式题型。

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下个专题：高中物理[专题系列]（6） 牛顿定律应用之“板-块模型”，敬请期待！