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2026全国高中数学联赛二试数论题:约数总能排成等差数列,答案为什么是 4?
2026 年全国高中数学联赛刚结束，二试第一题就拦住了不少人。
题目看起来很短：给你一个正整数 n，它的所有约数从小到大排好，只要任意拿两个较小的约数出来，总能在约数里再找一个，让这三个数排成等差数列。问：这样的 n，到底能有多少个约数？
很多人第一反应是"应该可以有很多个吧"，但真正往下推就会发现，条件比想象中严苛得多。这篇文章把这道题拆成四步：先读懂条件，再找突破口，然后排除错误分支，最后看为什么答案只能是 4。
一道看起来很短的题，往往藏着最紧的约束。
01 先把题目读对：不是随便三个约数
设 n 是正整数，它的全部正约数从小到大排好：
1 = d₁ ＜ d₂ ＜ … ＜ dₘ = n
题目给了两个条件：
第一，约数个数 m 至少是 4。
第二，也是最容易读错的一条：从前 m−1 个约数里，随便挑两个，都能在全部约数里再找一个，让这三个数排成等差数列。
注意两个细节：前两个数必须来自"除了 n 以外"的约数，不能一上来就把最大的 n 拿来配对；第三个数可以是 n，也可以不是。
这个限制看起来不起眼，实际上把"自由度"卡得很死。很多人上来就想"随便凑三个数"，结果越凑越乱，就是因为没抓住这个约束。
读错题是竞赛题第一大杀手。
02 突破口：从最小和最大真约数入手
拿到一道数论题，先找最极端的元素，往往是最快的入口。
这里有两个最极端的约数：最小的是 1，最大的真约数（也就是除了 n 本身以外最大的那个）是 n 除以 n 的最小素因子。
设 p 是 n 的最小素因子，记 t = n/p。
因为 1 和 t 都属于"前 m−1 个约数"，根据题目条件，一定存在第三个约数 u，让 1、t、u 这三个数可以排成等差数列。
三个数能排成等差数列，本质上就是：其中一个数是另外两个数的平均数。所以一共只有三种可能：
第一种：u 是平均数，也就是 u = (1+t)/2
第二种：1 是平均数，也就是 1 = (t+u)/2
第三种：t 是平均数，也就是 t = (1+u)/2
极端值往往就是突破口。
03 排除：另外两种情况为什么走不通
先看第二种：1 = (t+u)/2，也就是 t + u = 2。
但 t 是比 1 大的真约数，u 至少也是 1，加起来至少是 1 + 1 = 2。只有 t=1、u=1 才能满足，但 t 已经大于 1 了，直接矛盾。
再看第三种：t = (1+u)/2，也就是 u = 2t − 1。
因为 t 是 n 的约数，而且 t 本身大于 1，所以 2t−1 肯定比 t 大。但别忘了，t 已经是"除了 n 以外最大的真约数"了——比 t 大的约数只有 n 一个。
所以 u 只能等于 n。
代回去：n = 2t − 1，又因为 t = n/p，所以 n = 2n/p − 1。整理一下就能推出 p = 2，也就是 n 是偶数，t = n/2。但再代回 n = 2t − 1，就会得到 n = n − 1，矛盾。
第二种和第三种都死了。
排除错误路径，往往比直接找对路更快。
04 唯一的路：u = (1+t)/2
排除完剩下的，就是唯一的可能：u = (1+t)/2。
这意味着什么？1+t 必须是偶数，也就是说 1 和 t 得同奇偶。
继续往下推，因为 t = n/p，所以 u = (1 + n/p)/2 也必须是 n 的约数。把约数结构拆开分析，最后能得到 n 必须长这样：
n = p(2p − 1)
这里 p 和 2p − 1 都得是素数。
那 n 的正约数有几个？很简单，1、p、2p−1、p(2p−1)，正好四个。
也就是说 m = 4，而且这个情况是真的能满足题目条件的——随便挑两个真约数，都能找到第三个凑成等差数列。
那 m 能不能更大？比如 5 个、6 个？
如果 m ≥ 5，n 的约数结构就复杂了。约数越多，大小关系越乱，越难保证"任意两个较小约数都能配出第三个等差项"。尤其是当约数里同时有小素因子、大素因子和合数因子的时候，很容易出现某两个约数找不到搭档的情况。
严格分类讨论下来，结论很干脆：m ≥ 5 不可能。
条件越严，答案越紧。
最终答案
m = 4
满足条件的 n 一定形如 n = p(2p − 1)，其中 p 和 2p − 1 都是素数。
留个思考题
如果 n = 21：
第一，它有几个正约数？
第二，它能不能满足本题的等差条件？
本文由作者原创撰写，部分文字与配图经 AI 辅助润色。
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