2026全国高中数学联赛二试数论题

2026 年全国高中数学联赛二试第一题，看着短，考场上拦下一片人。

题目就一句话：正整数 n 的约数从小到大排好。从前 m-1 个里随便挑两个，总能再找一个凑成等差数列。问 n 最多有几个约数？很多人第一反应是“应该能有很多吧”，但真往下推，条件卡得死死的。

突破口在最极端的那两个数上。最小的是 1，最大真约数是 n 除以它的最小素因子 p，记作 t。1 和 t 都在前 m-1 个里，所以一定有个 u 跟它俩凑成等差。三种情况一排除，只有 u = (1+t)/2 走得通。

这就逼出了 n 的形状：n = p(2p-1)，而且 p 和 2p-1 都得是素数。它的正约数正好四个：1、p、2p-1、p(2p-1)。要是约数再多一个，大小关系一乱，根本凑不齐等差。所以答案只能是 4。

留个思考题：n=21 的时候，它有几个正约数？能不能满足这题的等差条件？