好像是华师大附中的模拟题的压轴题

直接看第(2)问。此时数列的递推式为 ，进一步可以得到：

基于上式可以得到以下性质：

性质1：无论 无论如何取值  都是一个除4余3的整数（即 ），这个是比较明显的。

性质2：由于 ，从而排列  有  种，下证：不同的排列对应的两两不同。

设  是两个不同的排列，但满足 

只需要考虑集合 的一个子集 ，使得  都有 ，且有：

利用 ，从而得到：

再考虑  的两个子集，于是有：

其中  是  中的最小元素，显然等式两边的奇偶性不一致，矛盾，从而结论得证。

性质3：当所有的 时  取得最大值：

当所有的 时  取得最小值：

而区间  内共有  个除4余3的正整数，与  种排列一一对应。

即所有的除4余3的整数都能被取到，从而  是等差数列得证。

易得  中所有项的和是：

这个第(2)问实际考了一个简单的数论知识：

 是自然数集的两个非空子集，且 ，则对正整数 ，都有：

假设成立，只要取  中的最小元素 ，不妨令 ，则有：

而显然有：

矛盾。