Excel 单因素方差分析

比较两种审核流程的平均耗时，常用的方法之一是 t 检验。流程增加到三种、四种，要把多组均值放在一起做整体比较，就可以考虑单因素方差分析（ANOVA）。

平均数不同，差异就有统计意义吗？

假设我们要比较三种订单审核流程。把条件相近的不同订单随机分配给流程 A、B、C，每笔订单只接受一种流程处理，各记录 6 笔耗时，单位都是分钟。

下面是专门设计的虚构演示数据，在 Excel 中放入 A1:C7：

每列是一组，第 2 到第 7 行是数值。同一行的三笔订单没有配对关系，只是为了方便放在表里。

分别用 =AVERAGE(A2:A7)、=AVERAGE(B2:B7)、=AVERAGE(C2:C7)，算出的平均耗时是 15、13、11 分钟。

这批数据里，C 的平均耗时最低，A 与 C 相差 4 分钟。但换一批订单，各组平均数也可能变化。眼前的差别，是足以支持总体均值不同，还是在抽样波动中也可能出现？只列出三个平均数，还回答不了这个问题。

这里按“审核流程”分组，只有一个因素；A、B、C 是它的三个“水平”。所以，“单因素”指一个分组因素，三组数据也可以做单因素分析。因素与水平的说明[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc43.htm]

耗时的差异，先拆成两部分看

先看同一种流程内部。

流程 A 的平均耗时是 15 分钟，但 6 笔订单分别用了 12、14、15、16、18、15 分钟。同一种流程，也不会让每笔订单都恰好花 15 分钟。

每笔耗时相对本组均值的偏离，反映了组内的波动。把各组内部的这部分波动合起来，就是组内变异。它可能包含订单之间的差别、处理过程中的随机波动等。

再把三个流程放在一起看。

全部 18 笔订单的总均值是 13 分钟。A 组均值为 15，比总均值高 2；B 组为 13；C 组为 11，比总均值低 2。各组均值相对总均值的差异，形成了组间变异，计算时还会考虑每组有多少笔观测。

方差分析把全部数据的总变异，分解为这两部分。用“偏差平方后相加”的平方和来衡量，有：

总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和

这条分解关系，是单因素方差分析的基础。平方和的分解[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc431.htm]

组间变异仍会受到抽样波动影响，不能把它全部当作流程造成的差异。我们还要判断：它相对于组内波动，到底有多突出。

用 F 值衡量“相对有多大”

同样是 A 与 C 相差 4 分钟，如果每组数据都很集中，这个差距会比较突出；如果每组内部的耗时本来就差很多，同样的 4 分钟差距，证据就可能弱得多。

F 统计量把这层比较写成一个比值：

F = 组间均方 ÷ 组内均方

“均方”是平方和除以各自的自由度。Excel 输出表里的 SS、df、MS，依次就是平方和、自由度和均方。

如果各组总体均值相等，而且模型条件满足，两个均方都在估计共同的误差方差。固定自由度后，F 越大，数据与“总体均值都相等”的假设就越不相符；是否达到显著性标准，还需与预先设定的阈值对应。F 检验的计算原理[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc433.htm]

上半部分是本文数据。下半部分保持三组均值和每组样本量不变，只把各笔数据相对本组均值的偏差扩大到原来的 3 倍。组内波动变大，F 就从 6 降到了约 0.667。

这也解释了它为什么叫“方差分析”：借助波动的相对大小，检验各组的总体均值是否相同。 它并不是在检验各组方差是否相等。

计算前，先确定假设和数据条件

本例先提出一个“总体均值没有差别”的原假设：

• **H₀：**流程 A、B、C 的总体平均审核耗时相等。
• **H₁：**三个总体均值不全相等，至少有一对不同。

检验针对的是总体平均耗时。15、13、11 这三个样本均值已经算出来了，我们要判断的是它们提供了多强的总体差异证据。

“不全相等”也不等于“每一对都不同”。即使整体检验达到显著水平，也不能直接给三个流程排出有统计依据的快慢名次。

显著性水平应在分析前确定，本例采用 α=0.05。

普通的独立样本单因素方差分析，还需要相应的数据条件：

• 观测之间独立。 同一笔订单分别用三种流程重复测量，会产生配对关系，不能直接按本文方法处理。
• 各组误差近似正态。 可结合各组数据或残差图检查；每组只有少量数据时，要留意明显偏斜与极端值。
• 各组总体方差相同。 样本的波动大小可以帮助检查，但不能只凭几个数就认定这一前提成立。

这些是模型条件，并不是 Excel 会替我们自动核查的事项。模型与假设[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc432.htm]

本文数据用于演示计算，不能据此验证真实业务的抽样条件与分布。正式分析时，要先了解订单怎样抽取、分配和记录，再选择合适的方法。

在 Excel 中怎么做？

以下按 Windows 桌面版 Excel 操作。

准备数据并选中区域

新建一个空白工作簿，把前面的三组数据分别填入 A、B、C 列。第 1 行填组名，第 2 到第 7 行填耗时数值，然后选中 A1:C7，把表头一起包含进去。

找到“数据分析”入口

打开“数据”选项卡，在右侧的“分析”分组里点击 “数据分析”。

如果没有这个按钮，进入：

文件 → 选项 → 加载项。

在窗口底部的“管理”里选择“Excel 加载项”，点击“转到”，勾选“分析工具库”，再点击“确定”。返回“数据”选项卡，就可以找到“数据分析”入口。微软的加载说明[https://support.microsoft.com/zh-cn/excel/load-the-analysis-toolpak-in-excel]

选择工具并设置区域

点击“数据分析”，在工具列表里选择 “方差分析：单因素方差分析”（部分界面简写为“方差分析：单因素”），点击“确定”。

这里不要选成“F-检验：双样本方差”，它比较的是两组总体方差。

在单因素方差分析窗口中，按本文表格设置：

选择“列”，是因为每种流程的数据各占一列；勾选首行标志，是因为 A1:C1 放的是组名。

输入区域只选到第 7 行。 如果你在第 8 行另外算了平均数，不要把这一行一起选进去，否则平均数也会被当作一笔新观测。

运行计算，查看新工作表

点击“确定”，Excel 会新增一张工作表，本次自动命名为 Sheet2。上半部分 SUMMARY 是各组数据的摘要，下半部分是方差分析表。

这张输出表记录的是本次分析结果。如果之后修改了原始数据，需要重新运行“数据分析”，已经生成的结果不会自动跟着重算。

输出表里，哪些数要看？

先核对上方的摘要。三组的观测数、均值和样本方差应与原始数据对应：

再看方差分析表。“组间”和“组内”对应前面拆开的两类波动，SS、df、MS 则把它们一步步变成 F 值。

SS：这些平方和从哪里来？

组间平方和，看的是各组均值与总均值的差距。

本例总均值为 13，三组均值相对它的偏差是 2、0、−2。各组都有 6 笔，因此：

组间 SS = 6×(15−13)² + 6×(13−13)² + 6×(11−13)² = 48

组内平方和，则回到每一笔订单，计算它相对本组均值的偏差。

流程 A 相对均值 15 的偏差为 −3、−1、0、1、3、0，平方后相加是 20。B、C 两组各自的组内平方和也都是 20，合计为 60。

偏差有正有负，先平方再相加，就不会因为正负抵消而把波动抹掉。总平方和为 48+60=108，正好对应表里的“总计”。

df 和 MS：把两类波动放到可比较的口径

平方和还要分别除以自由度，得到均方。

组间有 3 个组均值，要考虑总均值带来的一项约束，自由度是 3−1=2。组内共有 18 笔观测，各组都估计了自己的均值，因此自由度是 18−3=15。

对应的两个均方是：

• **组间 MS：**48÷2=24。
• **组内 MS：**60÷15=4。

再用两个均方相除，得到 F=24÷4=6。也就是本例的组间均方为组内均方的 6 倍。

F=6，够不够大？

先假设三个总体均值确实相等，而且模型条件满足。此时，得到 F≥6 这样大或更大统计量的概率是多少？这个右尾概率，就是本次检验的 P 值。

Excel 显示 P-value=0.012175，约为 1.22%。这个数描述的是上述假设条件下出现当前或更极端结果的概率，不是“总体均值相等的概率”，也不是“流程造成差异的概率”。

按预先选定的 α=0.05，P≤0.05 时拒绝原假设。本例 0.012175<0.05，所以拒绝“三个总体均值相等”，认为有证据支持至少一对总体均值不同。

旁边的 F crit=3.68232 是同一个检验的另一种判定方式。它对应 α=0.05，以及组间自由度 2、组内自由度 15；本例 F=6>3.68232，同样达到拒绝原假设的标准。

因此，拿 P 值与 α 比较，或者拿 F 值与对应临界值比较，本例会得到同一个结论。它们表达的是同一条检验标准。

想单独核对 P 值，可以在空白单元格输入 =F.DIST.RT(6,2,15)。三个参数依次为 F 值、分子自由度、分母自由度，结果约为 0.01217464。F.DIST.RT 函数说明[https://support.microsoft.com/zh-tw/excel/functions/f-dist-rt-function]

在 Minitab 中复核同一组数据

在 Minitab 22 中，把三组数据分别放进 C1、C2、C3，列名填“流程 A”“流程 B”“流程 C”。列名写在专门的列名行，6 笔数值从第 1 行开始录入，不要把 Excel 表格里的行号和 A、B、C 列标一起复制进去。

选择 统计 → 方差分析 → 单因子。在窗口顶部选择“每个因子水平的响应数据单独一列”，再把这三列选入“响应”。

点击“选项”，勾选 “假定等于方差”，使本次分析与前面的普通单因素方差分析使用相同模型。这里的勾选是指定模型假设，并不代表软件已经验证了方差相等；取消勾选时，Minitab 会改用 Welch 方差分析。Minitab 分析选项说明[https://support.minitab.com/zh-cn/minitab/help-and-how-to/statistical-modeling/anova/how-to/one-way-anova/perform-the-analysis/select-the-analysis-options/]

置信水平保留 95，置信区间类型保留“双侧”。这个置信水平用于均值表和区间图；检验的 P 值仍按前面预先确定的 α=0.05 判断。

点击“确定”返回主窗口，再点击“确定”运行。实际输出中的“因子”对应前文的组间，“误差”对应组内，平方和、自由度和均方都能逐项对上。

这里的 F=6.00，P=0.012。Minitab 当前把 P 值显示到小数点后 3 位，与前面算出的 0.01217464 是同一个结果。

有了显著差异，就能选流程 C 吗？

流程 C 的样本平均耗时最低，这可以直接从数据里看出来。但整体检验并没有告诉我们，C 与 A、C 与 B 是否分别存在显著差异。

如果要进一步比较具体哪两组，应采用考虑多重比较的方法，例如在相应条件下使用 Tukey 比较。直接把三对数据各做一次未校正的 t 检验，会增加整体误判的机会。整体检验与两两比较的区别[https://online.stat.psu.edu/stat200/Lesson10]

在 Minitab 中再次进入“统计 → 方差分析 → 单因子”，保持刚才的响应列和等方差设置，点击“比较”。勾选 Tukey，比较误差率保留 5，并勾选结果中的 “检验”，便能输出调整后的 P 值。这里的 5 表示 5%，对于 Tukey 方法控制的是这一组比较的全族误差率。Minitab 组比较说明[https://support.minitab.com/zh-cn/minitab/help-and-how-to/statistical-modeling/anova/how-to/one-way-anova/perform-the-analysis/select-the-group-comparisons/]

点击“确定”返回，再点击“确定”运行。本例实际得到：

C 与 A 的样本均值相差 −4 分钟，调整后的 P 值约为 0.009，小于 0.05。 在模型条件满足的前提下，这支持流程 C 的总体平均耗时低于 A。

A 与 B、B 与 C 两对比较的调整后 P 值都约为 0.226，尚不足以认为它们各自的总体均值有差异。因此，不能只凭 C 的样本均值最低，就写成“C 显著快于另外两种流程”。

我更愿意在报表里把结论写到检验已经支持的位置：

在本次演示数据中，三种流程各记录 6 笔订单，样本平均审核耗时分别为 15、13、11 分钟。单因素方差分析得到 F(2,15)=6.00，P≈0.0122。在模型条件满足的前提下，总体均值不全相等。进一步的 Tukey 比较显示，C 的平均耗时低于 A（调整后 P≈0.009）；A 与 B、B 与 C 的差异证据不足。

如果另一批数据得到 P 大于 0.05，应该写“目前证据不足以认为总体均值有差异”，不能写成“三种流程一样快”。

而在实际业务里，哪怕均值差异有统计意义，还要看这几分钟是否足以影响处理能力，以及审核质量有没有变化。只比较不同团队留下的历史记录，也可能混入订单难度、人员熟练程度等差别，不能直接把耗时差异都归因于流程。

用「知数」小程序算一遍

这组数据也可以在「知数」小程序里计算。打开“计算”页，点击顶部的 “切换方法”，搜索“方差分析”，选择 “单因素方差分析（Welch / 经典）”。

设计类型选择“多组独立（单因素）”。如果只有两组输入卡，点击“＋ 添加一组”，再把三组分别命名为“流程 A”“流程 B”“流程 C”，各自输入：

• 流程 A：12 14 15 16 18 15
• 流程 B：10 12 13 14 16 13
• 流程 C：8 10 11 12 14 11

每组的数字用空格分开，三组分别填在各自的输入卡里。

在“模型选择”中确认选中 “经典单因素 ANOVA”，保留 “事后比较（整族）”，显著性水平 α 填 0.05。这里使用经典模型，是为了与前面的等方差分析保持一致；实际分析仍需按数据条件选择模型。

点击“计算”，再点“查看结果”。小程序显示 P=0.012175、F=6，自由度为 2 和 15，与前面的计算一致，只是显示的小数位数不同。

继续向下看 “Tukey–Kramer 多重比较”。本例 A 与 C 的调整后 P 值为 0.009147，标示为显著；另外两对都是 0.226057，未达到 0.05 的阈值，与 Minitab 的判断一致。

小程序按前组减后组显示差值，所以 A−C 是 4 分钟；前面 Minitab 列出的是 C−A，显示 −4 分钟。两者都表示：这批样本中，A 的平均耗时比 C 多 4 分钟。