01｜数的认识

自然数：0，1，2，3，4，……

整数：……，−3，−2，−1，0，1，2，3，……

分数：a/b（b≠0）

小数：0.1，1.25，3.14……

奇数：1，3，5，7，9，……

偶数：0，2，4，6，8，……

质数：只有1和它本身两个因数（如2、3、5、7……）

合数：除1和本身外还有其他因数（如4、6、8、9……）

1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2

0是最小的自然数，没有最大的自然数

02｜数位与计数单位

个 → 十 → 百 → 千 → 万

万 → 十万 → 百万 → 千万 → 亿

10个一 = 1个十

10个十 = 1个百

10个百 = 1个千

10个千 = 1个万

10个千万 = 1个亿

每相邻两个计数单位之间的进率都是10

读数和写数都从高位起

03｜近似数（四舍五入）

0，1，2，3，4 → 舍

5，6，7，8，9 → 入

保留整数 → 看十分位

保留一位小数 → 看百分位

保留两位小数 → 看千分位

≈：表示近似数

3.456 ≈ 3.46（保留两位小数）

04｜四则运算定律

a + b = b + a（加法交换律）

a × b = b × a（乘法交换律）

a + b + c = a + (b + c)（加法结合律）

a × b × c = a × (b × c)（乘法结合律）

a × (b + c) = a × b + a × c（乘法分配律）

a × (b − c) = a × b − a × c

减法性质：a − b − c = a − (b + c)

除法性质：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

简便计算的核心是：凑整、交换、结合、分配

05｜运算顺序

（ ） → [ ] → { }

（ ） → × ÷ → + −

同级运算：从左到右

有括号：先小括号，再中括号，最后大括号

先乘除，后加减

例：2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14（不是20）

06｜小数

0.1 = 1/10

0.01 = 1/100

0.001 = 1/1000

1 = 10个0.1 = 100个0.01 = 1000个0.001

小数点左边是整数部分，右边是小数部分

小数末尾添0/去0，大小不变

小数比较：先比整数部分，再比十分位……

小数点对齐才能进行加减运算

07｜小数运算

加减：小数点对齐

×10 → 小数点右移1位

×100 → 右移2位

×1000 → 右移3位

÷10 → 左移1位

÷100 → 左移2位

小数乘法：先按整数算，再数小数位数

小数除法：除数变整数，商的小数点对齐

0.25 × 4 = 1，2.5 × 0.4 = 1

08｜分数

a/b = (a×n)/(b×n)（分数基本性质）

同分母：a/b ± c/b = (a±c)/b

异分母：先通分，再加减

a/b × c/d = ac/bd

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc

真分数：分子 < 分母

假分数：分子 ≥ 分母

带分数：整数 + 真分数

倒数：a/b × b/a = 1（0没有倒数）

除以一个数，等于乘这个数的倒数

09｜分数应用

部分量 = 单位“1” × 分率

单位“1” = 部分量 ÷ 分率

分率 = 部分量 ÷ 单位“1”

例：80的3/4是多少？→ 80 × 3/4 = 60

例：多少的3/4是60？→ 60 ÷ 3/4 = 80

找单位“1”：通常“的”字前面、“比”字后面是单位“1”

10｜百分数

a% = a/100

25% = 1/4 = 0.25

百分率 = 部分量 ÷ 总量 × 100%

部分量 = 总量 × 百分率

总量 = 部分量 ÷ 百分率

增长率 =（现量 − 原量）÷ 原量 × 100%

百分数不能带单位

百分数、小数、分数三者可以互相转化

11｜比

a : b = a ÷ b（b≠0）

比值 = 前项 ÷ 后项

a : b = (a×n) : (b×n)

按比分配：总份数 = 各部分比相加

每份 = 总量 ÷ 总份数

部分量 = 每份 × 对应份数

比的后项不能为0

12 : 18 = 2 : 3（化简比）

12｜正数、0、负数

正数 > 0 > 负数

5 > 2 > 0 > −2 > −5

0 既不是正数，也不是负数

数轴上右边的数总比左边的数大

13｜加减法

和 = 加数 + 加数

加数 = 和 − 另一个加数

差 = 被减数 − 减数

被减数 = 差 + 减数

减数 = 被减数 − 差

14｜乘除法

积 = 因数 × 因数

因数 = 积 ÷ 另一个因数

商 = 被除数 ÷ 除数

被除数 = 商 × 除数 + 余数

余数 < 除数

除数 =（被除数 − 余数）÷ 商

15｜速度、路程、时间

路程 = 速度 × 时间

速度 = 路程 ÷ 时间

时间 = 路程 ÷ 速度

三个量知二求一

16｜单价、数量、总价

总价 = 单价 × 数量

单价 = 总价 ÷ 数量

数量 = 总价 ÷ 单价

17｜工作效率

工作总量 = 工作效率 × 工作时间

工作效率 = 工作总量 ÷ 时间

工作时间 = 工作总量 ÷ 效率

合作效率 = 各效率之和

工程问题：把工作总量看作单位“1”

18｜角

1平角 = 2直角 = 180°

1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°

角的大小与边的长短无关，与两边张开的大小有关

19｜三角形

内角和 = 180°

S = 底 × 高 ÷ 2

周长 = a + b + c

三角形任意两边之和 > 第三边

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分：等腰三角形、等边三角形

20｜平行四边形

S = a × h

周长 = 2(a + b)

同底等高 → 面积相等

易变形（不稳定性）

平行四边形面积 = 底 × 高

21｜梯形

S =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2

周长 = a + b + c + d

等腰梯形：两腰相等

直角梯形：有一个角是直角

22｜长方形

S = 长 × 宽 = ab

C = 2(a + b)

4个角都是直角

对边平行且相等

23｜正方形

S = 边长 × 边长 = a²

C = 4a

4条边相等，4个角都是直角

正方形是特殊的长方形

24｜圆

d = 2r　r = d ÷ 2

C = 2πr = πd

S = πr²

π ≈ 3.14（圆周率）

半圆：C = πr + 2r　S = πr² ÷ 2

圆是轴对称图形，有无数条对称轴

25｜长方体

V = abh

S表 = 2(ab + ah + bh)

棱长总和 = 4(a + b + h)

6个面、12条棱、8个顶点

相对的面相等，相对的棱长度相等

26｜正方体

V = a³

S表 = 6a²

棱长总和 = 12a

12条棱都相等，6个面都相等

正方体是特殊的长方体

27｜圆柱

S侧 = 2πrh = πdh

S表 = 2πr² + 2πrh

V = πr²h

无盖圆柱：S = S侧 + 1个底面

通风管：S = S侧

28｜圆锥

V = 1/3 × S底 × h

V = 1/3πr²h

同底等高：V锥 = 1/3 V柱

V柱 = 3 V锥

等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的三分之一

29｜长度单位

1 km = 1000 m

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

1 dm = 10 cm = 100 mm

1 cm = 10 mm

30｜面积单位

1 m² = 100 dm²

1 dm² = 100 cm²

1 cm² = 100 mm²

1 km² = 1 000 000 m²

1 公顷 = 1 hm² = 10 000 m²

1 km² = 100 公顷

31｜体积单位

1 m³ = 1000 dm³

1 dm³ = 1000 cm³

1 cm³ = 1000 mm³

相邻体积单位进率 = 1000

1 dm³ 的正方体棱长是 1 dm = 10 cm

32｜容积单位

1 L = 1 dm³

1 mL = 1 cm³

1 L = 1000 mL

1 dm³ = 1000 cm³

容积是容器内部空间的大小，要从里面量尺寸

33｜质量单位

1 t = 1000 kg

1 kg = 1000 g

1 g = 1000 mg

34｜时间单位

1世纪 = 100年

1年 = 12个月

1日 = 24时

1时 = 60分

1分 = 60秒

平年365天，闰年366天

大月31天：1、3、5、7、8、10、12

小月30天：4、6、9、11

2月：平年28天，闰年29天

35｜时间计算

经过时间 = 结束时刻 − 开始时刻

结束时刻 = 开始时刻 + 经过时间

开始时刻 = 结束时刻 − 经过时间

例：9:00到10:30 → 经过1时30分

36｜人民币

1元 = 10角

1角 = 10分

1元 = 100分

人民币的单位：元、角、分

37｜长度换算

大单位 → 小单位：× 进率

小单位 → 大单位：÷ 进率

例：5 m = 5 × 100 = 500 cm

例：300 cm = 300 ÷ 100 = 3 m

38｜面积换算

长度进率 = 10

面积进率 = 10² = 100

长度扩大10倍 → 面积扩大100倍

长度缩小10倍 → 面积缩小100倍

1 m² = 100 dm² = 10000 cm²

39｜体积换算

体积进率 = 10³ = 1000

1 m³ = 1000 dm³

1 dm³ = 1000 cm³

长度扩大10倍 → 体积扩大1000倍

容积单位与体积单位可以互化：1 L = 1 dm³

40｜折扣

折扣 = 现价 ÷ 原价 × 100%

现价 = 原价 × 折扣

原价 = 现价 ÷ 折扣

八折 = 80%　九折 = 90%

原价是单位“1”

打折问题中，求现价用乘法，求原价用除法

41｜成数

一成 = 10%

二成 = 20%

五成 = 50%

八成 = 80%

几成 = 百分之几十

42｜税率、利率

税额 = 应纳税收入 × 税率

利息 = 本金 × 利率 × 时间

本息 = 本金 + 利息

例：本金1000元，利率2%，存2年

利息 = 1000 × 2% × 2 = 40元

43｜比例

a : b = c : d

ad = bc（外项积 = 内项积）

x : 6 = 4 : 3 → 3x = 24 → x = 8

44｜比例尺

比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离

图上距离 = 实际距离 × 比例尺

实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺

缩小比例尺：前项是1（1:100）

放大比例尺：后项是1（100:1）

计算前，图上距离和实际距离的单位要统一

45｜正比例

y / x = k（k一定）

y = kx

x扩大n倍，y也扩大n倍

图像是过原点的直线

46｜反比例

x × y = k（k一定）

y = k / x

x扩大n倍，y反而缩小n倍

图像是一条曲线

47｜平均数

平均数 = 总数 ÷ 个数

总数 = 平均数 × 个数

个数 = 总数 ÷ 平均数

平均数介于最大值和最小值之间

平均数容易受极端数据影响

48｜统计图

条形图 → 数量多少

折线图 → 变化趋势

扇形图 → 百分比

扇形圆心角 = 百分率 × 360°

部分量 = 总量 × 百分率

49｜可能性

一定发生 → 1

不可能发生 → 0

可能发生 → 0～1之间

可能性大小 = 所求情况数 ÷ 总情况数

事件结果越多，发生可能性越大

用分数表示可能性的大小

50｜圆柱、圆锥关系

S底 = πr²

V柱 = S底 × h = πr²h

V锥 = 1/3 × S底 × h = 1/3πr²h

同底等高：V柱 = 3V锥，V锥 = 1/3 V柱

51｜分数、百分数、小数互化

小数 → 百分数：小数点右移两位，添%

百分数 → 小数：小数点左移两位，去%

分数 → 小数：分子 ÷ 分母

小数 → 分数：写成分母是10、100……的分数再约分

例：0.25 = 25% = 1/4

例：3/4 = 0.75 = 75%