初中数学学霸秘籍4：一条割线牵着两个圆

题目给了个怪条件：AQ·AB = 30，求 CB 的最值。
看到圆里两条动线段乘积是定值，直接上割线定理。算出定点 D、T，由 AD·AT = 30，立刻推出 AB = AI。原来 B 就是 I 的“等长替身”。

再看 ∠QAB = 60°。射线 AB 正好是射线 AI 绕 A 逆时针转 60° 得到的。把 AP 也一起转，手拉手全等送出一个隐藏圆——B 最终锁在以 E 为圆心、半径 √10 的圆上跑。

接下来算 E 坐标，再算 CE ≈ 1.74。这比半径小，说明 C 在圆内。那最值就在连心线上取差和加：最小值约 1.42，最大值约 4.91。

最后拿 Q 在原点代回去验算，CB 约等于 4.90，几乎就是最大值。双向检验一过，稳了。