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初中数学学霸秘籍8:中位线逆用 + 共底面积比
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【二日一题261008】中位线逆用 ＋ 共底面积比
【题目】如图，在 △ABC 外有一点 E，连接 EA、EB、EC，D 在 BE 上。已知 BD = DE，AD ∥ CE，S△ABC = 3S△EBC。若 CE = 1，则 AD = ______。
D站在BE的正中间，AD又与CE平行——这两句话里藏着一条中位线
先说答案：5/2。这题是"中点 ＋ 平行"的送分组合：延长 AD 交 BC 于 F，中位线偷来一半（DF = ½CE）；再用"共底三角形面积比 = 高之比"，经一对相似直角三角形把 3 传给 AF——AF = 3CE。相减，AD = 3 − ½ = 5/2。
1第一步：延长 AD 交 BC 于 F——中位线逆用
设直线 AD 与 BC 交于点 F（AD 是斜的，延长下去必与 BC 相遇）。看 △BCE：
① BD = DE，D 是 BE 的中点；
② A、D、F 三点共线，而 AD ∥ CE，所以DF ∥ CE。
"过一边中点、平行于另一边的直线，必平分第三边"——这是中位线定理的逆用，所以 F 是 BC 的中点。并且 DF 恰好是 △BCE 的中位线：
BF = FC，DF = ½CE = ½
于是 AD = AF − DF：DF 已经到手，整道题只剩下求 AF。
2第二步：共底三角形，面积比就是高之比
△ABC 与 △EBC 有同一条底边 BC。作 AH⊥BC 于 H，EM⊥BC 于 M，两个面积都用 BC 当底来算：
S△ABC = ½·BC·AH，S△EBC = ½·BC·EM
底相同，约掉，面积比只剩高之比：
AH / EM = S△ABC / S△EBC = 3
3第三步：相似传话，把 3 送到 AF 身上
高有了，但 AF 是斜线，得找一对相似三角形当"翻译"。看 △AFH 与 △ECM：
① FA ∥ CE，被直线 BC 所截，∠AFH = ∠ECM（同位角）；
② ∠AHF = ∠EMC = 90°。
两角对应相等，△AFH ∽ △ECM。相似三角形对应边成比例，斜边比等于对边（高）之比：
AF/CE=AH/EM=3⟹AF=3CE=3
图 2 延长线搭出 F，两条垂线撑起一对相似直角三角形
4第四步：整体减局部，收口
A、D、F 依次共线（F 在最下、D 居中、A 在上），所以
AD = AF − DF = 3CE − ½CE = (5/2)·CE = 5/2
图 3 AF 里被中位线偷走的那一小段，正好是 ½CE
一句话记住这题的骨架：见"中点 ＋ 平行"先延长造中位线，见"共底面积比"先翻译成高之比，再靠相似把比值送上斜线段。
三句话带走
·中点 ＋ 平行 = 中位线 —— D 平分 BE、DF∥CE，逆用中位线定理：F 平分 BC，DF = ½CE。"一半"先到手。
·共底面积比 = 高之比 —— 同底 BC 一约，S 比 3 就是 AH/EM = 3；再由 △AFH∽△ECM 把 3 传给 AF/CE，得 AF = 3CE。
·整体减局部 —— AD = AF − DF = 3CE − ½CE = (5/2)CE，代 CE = 1 得 5/2。
— END —
答案：5/2。哪一步卡住了，留言说一声。
学习加总结可成学霸。
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