专题23.6中位线(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(华东师大)_专题23.6中位线(讲义)

专题 23.6 中位线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:21)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)..................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:21)..........................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)——(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:41)(cid:21)..................................................................................................19
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)——(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:21)......................................................................................................24
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:24)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:59)(cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)..............................................................................31
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:41)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)..................................................................................36
知识点 三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．
（3）三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行．
数量关系：可以证明线段的倍分关系．
（4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
【题型1 与三角形中位线有关的求解】
(cid:15)(cid:63)1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:43) (cid:32)(cid:43)(cid:51)(cid:82)4(cid:80)(cid:41) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:80) (cid:43)(cid:28)
(cid:41)(cid:80)(cid:41) (cid:82) (cid:43)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:41)(cid:64)(cid:88)(cid:24) (cid:80) (cid:89)(cid:90)(cid:77)(cid:80)(cid:91) (cid:80) (cid:92)△(cid:93)𝐴𝐵(cid:56)𝐶(cid:94)①(cid:80)②(cid:80)③𝐷(cid:25)(cid:95)𝐸(cid:96)(cid:80)(cid:97)②𝐴𝐵(cid:80)③𝐴𝐶(cid:56)(cid:83)
𝐹 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹(cid:98)(cid:41) (cid:80) (cid:99)(cid:100)180°(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:24)①(cid:104)(cid:94) (cid:80)(cid:105) (cid:106)(cid:51)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:82)(cid:64) (cid:77)
𝐷 𝐸 ▱𝐷𝐼𝐻𝐺 ▱𝐷𝐼𝐻𝐺
A(cid:110)8+2 3 B(cid:110)4+2 3 C(cid:110)16 D(cid:110)8 3
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)A
1
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:114)(cid:81)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) = = =4(cid:80)(cid:35)(cid:36) (cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80) = =2(cid:80)(cid:117)(cid:118)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵
1
= =2(cid:80)(cid:114)(cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:119) (cid:120)(cid:117) = = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:27)
2
𝐷𝐸 𝐵𝐶 ▱𝐷𝐼𝐻𝐺 𝐷𝐹 𝐺𝐷 𝐻𝐼 𝐺𝐴 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐸𝐼 𝐶𝐹 𝐴𝐻 𝐺𝐷𝐼𝐻
(cid:106)(cid:51)=8+ (cid:80)(cid:121) (cid:122)(cid:80)(cid:123)(cid:122) (cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:33)(cid:124) = = 3(cid:80)(cid:125) (cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:82) 3(cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:117)
2 2
(cid:118) (cid:106)2(cid:51)𝐷𝐹(cid:32)(cid:107)(cid:108)𝐷(cid:109)𝐹(cid:110)⊥𝐵𝐶 𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐵𝐷 −𝐵𝐹 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:126)▱𝐷(cid:34)𝐼(cid:21)𝐻𝐺(cid:34)(cid:10) (cid:81)(cid:43) (cid:32)(cid:43)(cid:51)(cid:82)4(cid:80)
= = ∵ =4△(cid:80)𝐴𝐵𝐶
∴(cid:41)𝐴𝐵 (cid:80)𝐴𝐶(cid:56)(cid:83)𝐵(cid:82)𝐶 (cid:80) (cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 1
(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80) = =2(cid:80)
2
∴𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵
1
= =2(cid:80)
2
∴(cid:114)𝐷(cid:99)𝐸(cid:100)(cid:32)𝐵(cid:115)𝐶(cid:116)(cid:119) (cid:120)(cid:117)(cid:10) = = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)
+ = ▱+𝐷𝐼𝐻=𝐺 =4𝐷(cid:80)𝐹 𝐺=𝐷 𝐻+𝐼 𝐺=𝐴 𝐵𝐹= 𝐷𝐸=4𝐸(cid:80)𝐼 𝐶𝐹 𝐴𝐻
∴(cid:42)𝐺𝐴(cid:43)(cid:27)𝐴𝐻 𝐵(cid:106)𝐹(cid:51)𝐶=𝐹2( 𝐵𝐶+ )=𝐷𝐼 𝐷+𝐸 𝐸𝐼=82+𝐷𝐸 𝐵(cid:80)𝐶
∴(cid:121) 𝐺𝐷(cid:122)𝐼𝐻(cid:80)(cid:123)(cid:122) (cid:107)𝐷(cid:108)𝐼 (cid:80)𝐷𝐺 2𝐵𝐶 2𝐷𝐹 2𝐷𝐹
𝐷𝐹⊥1𝐵𝐶 𝐷𝐹
= =2(cid:80) = =30°(cid:80)
2
∵𝐵𝐷 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐷𝐹 90°−∠𝐵
1
= =1(cid:80)
2
∴𝐵𝐹 𝐷𝐵
= = 3(cid:80) (cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:82) 3(cid:80)
2 2
∴𝐷𝐹 𝐵(cid:106)𝐷(cid:51)−(cid:32)𝐵(cid:107)𝐹(cid:108)(cid:109)(cid:82)8+𝐷𝐹2 3(cid:80)
∴(cid:127)▱(cid:128)𝐷(cid:10)𝐼𝐻A𝐺(cid:110)
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:81)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:84)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:149)(cid:34)(cid:123)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:36)·(cid:157)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80) =8cm(cid:80) =12cm(cid:80)(cid:41)D(cid:134)E(cid:56)
(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:159)(cid:41)F(cid:80)(cid:105)(cid:30)(cid:74) (cid:32)(cid:51)(cid:82) △ 𝐴c𝐵m𝐶(cid:110) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐹⊥𝐵𝐹 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)2
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:160)(cid:161)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:28)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:81)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:80)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:149)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:110)
(cid:163)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:124) =6cm(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:28)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:124) =4cm(cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:124)(cid:164)(cid:165)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10) (cid:41) (cid:134) (cid:56)(cid:83)𝐷(cid:149)𝐸 (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) 𝐷𝐹
(cid:149) ∵(cid:32)(cid:28)𝐷(cid:29)(cid:30)𝐸(cid:80) 𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝐶
= (cid:80)
2
∴𝐷𝐸=1𝐵2c𝐶m(cid:80)
∵𝐵𝐶 =6cm(cid:80)
∴𝐷𝐸 (cid:80)
∵𝐴𝐹⊥𝐵=𝐹90°(cid:80)
(cid:158)∴R∠t𝐴𝐹𝐵 (cid:28)(cid:80)(cid:41) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) =8cm(cid:80)
△𝐴1𝐹𝐵 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:105) = =4cm(cid:80)
2
𝐷𝐹= 𝐴𝐵 = =2cm(cid:80)
(cid:127)∴(cid:111)𝐸𝐹(cid:112)(cid:82)𝐷(cid:10)𝐸−2(cid:110)𝐷𝐹 6−4
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-2(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:166)(cid:167)(cid:70)(cid:168)(cid:169)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)O(cid:149)(cid:171)(cid:27) (cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
=0.5(cid:80) =2(cid:80)(cid:105) (cid:32)(cid:51)(cid:82)(cid:64) (cid:77) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐷
𝑂𝑀 𝐵𝐶 𝐵𝑂5
A(cid:110) B(cid:110) 5 C(cid:110)1 D(cid:110)2
2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)A
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:148)(cid:40)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:84)(cid:28)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:143)(cid:173)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)
(cid:39)(cid:40)(cid:80)(cid:114)(cid:53)(cid:54)(cid:174)(cid:124) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:175)(cid:164)(cid:90)(cid:53)(cid:54)(cid:176)(cid:177)(cid:105) (cid:32)(cid:51)(cid:120)(cid:33)(cid:124)(cid:80)(cid:178)(cid:143)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:120)(cid:33)(cid:124)
(cid:32)(cid:51)(cid:80)(cid:114)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)𝑂(cid:27)𝑀(cid:162)(cid:43)△(cid:84)𝐴(cid:28)𝐷(cid:30)𝐶(cid:32)(cid:115)(cid:116) (cid:32)(cid:51)(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:124)(cid:110) 𝐷𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10) (cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:80) 𝐵𝑂
=90°(cid:80)∵ = 𝐴=𝐵𝐶2𝐷(cid:80)
∴O∠𝐷(cid:149)(cid:171)(cid:27) 𝐴𝐷(cid:32)(cid:172)𝐵𝐶(cid:26)(cid:30) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ (cid:149) 𝐴𝐵𝐶(cid:32)𝐷(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐷
∴𝑂𝑀=△0.5𝐴(cid:80)𝐷𝐶
∵𝑂𝑀=1(cid:80)
∴𝐷𝐶
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) = + = 2 +1 = 5(cid:80)
2 2 2 2
△𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐶
1 5
= = (cid:80)
2 2
∴(cid:127)𝐵(cid:128)𝑂(cid:10)A(cid:110)𝐴𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-3(cid:21) (cid:32)(cid:25)(cid:43)(cid:51)(cid:56)(cid:83)(cid:82)7(cid:80)24(cid:80)25(cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:47)(cid:48)(cid:25)(cid:43)(cid:32)(cid:28)(cid:41)D(cid:134)E(cid:134)F(cid:110)(cid:117) (cid:32)(cid:181)(cid:182)(cid:149)(cid:64) (cid:77)
A(cid:110)7 △𝐴𝐵𝐶 B(cid:110)21 C(cid:110)28 D(cid:110)56 △𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)B
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:183)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:81)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:80)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:149)(cid:185)(cid:186)(cid:135)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:183)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:124) =90°(cid:110)
(cid:187)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:183)(cid:137)∠(cid:138)𝐶(cid:184)(cid:137) =90°(cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:184)(cid:137)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:188)(cid:33)(cid:124) (cid:134) (cid:32)(cid:51)(cid:80)(cid:107)
(cid:96)(cid:185)(cid:186)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:181)(cid:182)(cid:7)∠(cid:152)𝐶(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:117)(cid:111)(cid:112)(cid:110) 𝐶𝐸𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:178)(cid:189)(cid:110)(cid:88)(cid:190)(cid:191) (cid:28)(cid:80) = = =25(cid:80)(cid:41) (cid:134)(cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:110)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 7,𝐴𝐶 24,𝐴𝐵 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
7 +24 =25 (cid:80)
2 2 2
∵ (cid:149)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)
∴△𝐴𝐵𝐶=90°(cid:110)
∴(cid:41)∠𝐶 (cid:134)(cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:110)
∵ 𝐷 𝐸 𝐹 (cid:80)𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
∴(cid:42)𝐷𝐹(cid:43)∥(cid:27)𝐵𝐶,𝐷𝐸∥(cid:149)𝐴𝐶(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:192) =90°(cid:80)
∴(cid:42)(cid:43)(cid:27)𝐶𝐸𝐷𝐹(cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:110)(cid:105) =∠𝐶90°(cid:80)
∴DE(cid:134)D𝐶F𝐸(cid:56)𝐷𝐹(cid:83)(cid:149) ABC(cid:32)∠(cid:28)𝐸𝐷(cid:29)𝐹(cid:30)(cid:80)
∵ = 1 = △ = 1 = 7 (cid:80)
2 2 2
∴𝐷𝐸 𝐴𝐶 12,𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:159)(cid:149)(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) = 1 × × = 1 ×12× 7 =21(cid:110)
2 2 2
△𝐸𝐷𝐹 𝑆△𝐷𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:127)(cid:128)(cid:10)B(cid:110)
【题型2 与三角形中位线有关的证明】
(cid:15)(cid:63)2(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:193)(cid:155)(cid:194)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80) (cid:82)(cid:43) (cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:80)E
(cid:82) (cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)F(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:188) (cid:55)(cid:56) △(cid:110)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶
𝐵𝐷 𝐴𝐸,𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹
(1)(cid:33)(cid:35)(cid:10) = (cid:195)
(2)(cid:196) =𝐴2𝐸(cid:80)(cid:33)𝐴𝐷 (cid:32)(cid:51)(cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)𝐷𝐹(cid:21)(1)(cid:197)(cid:34)(cid:113)𝐵𝐷
(2)4
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:84)(cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:55)
(cid:139)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:81)(cid:54)(cid:144)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:149)(cid:34)(cid:111)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) (cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:139)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:119)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:125)(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:195)
(cid:64)2(cid:77)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) 𝐷𝐹=∥𝐴𝐸 =4(cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:162)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:120)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:82)(cid:43) (cid:32)𝐴(cid:28)𝐸 (cid:30)2(cid:80)𝐷𝐹
D(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) ∵𝐵𝐷 𝐴𝐶
∴F(cid:82)𝐴𝐶(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ (cid:149)𝐶𝐸 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐹 △𝐶𝐴𝐸(cid:80)
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐸= (cid:80)
∴∠𝐹𝐷(cid:55)𝐸(cid:56) ∠𝐴𝐸𝐷(cid:80)
∵𝐷𝐸 =∠𝐴𝐷𝐹 (cid:80)
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹𝐷𝐸(cid:80)
∴∠𝐴𝐷=𝐸 (cid:195)∠𝐴𝐸𝐷
(cid:64)∴𝐴2𝐸(cid:77)(cid:34)𝐴(cid:10)𝐷(cid:114)(cid:64)1(cid:77)(cid:54) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
= =4(cid:80) 𝐹𝐷 △𝐶𝐴𝐸
∴𝐴𝐸 =2𝐷𝐹=4(cid:80)
∴D𝐴𝐷(cid:149)(cid:162)𝐴(cid:43)𝐸 (cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:149)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)
∵ 1 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
= (cid:80)
2
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐶=4(cid:110)
(cid:15)∴𝐵(cid:151)𝐷(cid:152)𝐴2-𝐷1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:193)(cid:155)(cid:201)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80)D(cid:134)E(cid:134)F(cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:134) (cid:32)(cid:28)
(cid:41)(cid:80) (cid:149)(cid:43) (cid:84)(cid:32)(cid:202)(cid:110) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴
𝐴𝐻 𝐵𝐶
(1)(cid:33)(cid:35)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:195)
(2)(cid:33)(cid:35)(cid:10) + 𝐴𝐷+𝐸𝐹 =180°(cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(∠1𝐵)(cid:197)(cid:34)∠(cid:113)𝐶 ∠𝐷𝐻𝐹
(2)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:160)(cid:161)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:203)(cid:26)(cid:119)(cid:137)(cid:138)(cid:80)
(cid:81)(cid:43)(cid:172)(cid:81)(cid:26)(cid:81)(cid:81)(cid:80)(cid:140)(cid:54)(cid:204)(cid:3)(cid:54)(cid:144)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:120)(cid:117) (cid:80) (cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:137)(cid:138)(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:164)(cid:205)(cid:195)
(cid:64)2(cid:77)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:202)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:119)(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:27)𝐸(cid:203)∥(cid:26)𝐴𝐶(cid:119)(cid:137)𝐸(cid:138)𝐹∥(cid:120)𝐴(cid:117)𝐵 + = + =90°(cid:80)(cid:175)(cid:114)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:84)
1 ∠𝐵 ∠𝐵1𝐴𝐻 ∠𝐶 ∠𝐶𝐴𝐻
(cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:162)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)(cid:117)(cid:118) = = (cid:80) = = (cid:80)(cid:105) = (cid:80) = (cid:80)(cid:186)(cid:123)
2 2
(cid:120)(cid:35)(cid:36) + + + 𝐴𝐷 𝐻=𝐷180°𝐴(cid:80)𝐵(cid:105)(cid:120)𝐴𝐹(cid:35)(cid:36)𝐻𝐹 + 𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐻=𝐴180∠°𝐷(cid:110)𝐴𝐻 ∠𝐹𝐴𝐻 ∠𝐹𝐻𝐴
(cid:15)(cid:126)(cid:34)∠(cid:21)𝐵(cid:64)1∠(cid:77)𝐷(cid:35)𝐻(cid:36)𝐴 (cid:10)∠𝐶(cid:158) ∠𝐹𝐻𝐴(cid:28)(cid:80)D(cid:134)E(cid:134)F(cid:56)(cid:83)(cid:149)∠𝐵 (cid:134)∠𝐶 (cid:134)∠𝐷𝐻(cid:32)𝐹(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴(cid:80) (cid:206)(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐸 𝐸𝐹(cid:80) △𝐴𝐵(cid:80)𝐶
∴(cid:42)𝐷𝐸(cid:43)∥(cid:27)𝐴𝐶 𝐸𝐹(cid:149)∥(cid:55)𝐴𝐵(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:195)
(cid:64)∴ 2(cid:77)(cid:35)(cid:36)𝐴𝐷(cid:10)𝐸𝐹 (cid:149)(cid:43) (cid:84)(cid:32)(cid:202)(cid:80)
= ∵𝐴𝐻=90𝐵°(cid:80)𝐶
∴∠𝐴𝐻+𝐵 ∠𝐴𝐻=𝐶 + =90°(cid:80)
∴∠(cid:134)𝐵 (cid:56)∠𝐵(cid:83)𝐴(cid:149)𝐻 ∠(cid:80)𝐶 (cid:32)∠𝐶(cid:28)𝐴𝐻(cid:41)(cid:80)
∵𝐷 𝐹 𝐴1𝐵 𝐴𝐶 1
= = (cid:80) = = (cid:80)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐻=𝐷 𝐴𝐵
(cid:80)
𝐴𝐹 𝐻=𝐹 𝐴(cid:80)𝐶
∴∠𝐷𝐻+𝐴 ∠𝐷𝐴=𝐻 ∠+𝐹𝐴𝐻 ∠=𝐹9𝐻0𝐴°(cid:80)
∴∠𝐵+∠𝐷𝐻𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐹𝐻𝐴=180°(cid:80)
∴∠𝐵 ∠=𝐷𝐻𝐴 ∠+𝐶 ∠𝐹𝐻(cid:80)𝐴
∵∠𝐷𝐻+𝐹 +∠𝐷𝐻𝐴 ∠=𝐹1𝐻8𝐴0°(cid:110)
∴(cid:15)∠(cid:151)𝐵(cid:152)∠2𝐶-2(cid:21)∠(cid:64)𝐷2𝐻4𝐹-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:207)(cid:17)(cid:208)(cid:209)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:158) (cid:28)(cid:80)(cid:41)E(cid:80)G(cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:55)(cid:56)
(cid:80) (cid:159)(cid:41) (cid:80)(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159)(cid:41) (cid:80)(cid:47)(cid:48)△𝐴(cid:110)𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐹
∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝐹 𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐷 𝐹𝐺
(1)(cid:196) =6(cid:80) =9(cid:80) =2(cid:110)(cid:33) (cid:32)(cid:106)(cid:51)(cid:195)
(2)(cid:196)(cid:41)𝐴𝐵 (cid:101)(cid:102)(cid:149)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:41)𝐹𝐺(cid:80) (cid:82) △𝐴𝐵(cid:212)𝐶(cid:26)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:80)(cid:211) (cid:32)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:159)(cid:41) (cid:80)(cid:33)(cid:35)(cid:10) (cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)𝐷(1)25 𝐴𝐶 𝐵𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐻 𝐴𝐻⊥𝐵𝑀
(2)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:32)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:140)(cid:214)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:55)(cid:139)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:145)(cid:188)(cid:81)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:35)(cid:36) (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) = = = (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:33)
(cid:124) (cid:80)(cid:216)(cid:217)△(cid:33)𝐴(cid:124)𝐹𝐵≌(cid:80)△(cid:185)𝐴𝐹(cid:186)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:51)(cid:7)(cid:152)(cid:218)(cid:219)(cid:80)(cid:117)(cid:118)(cid:111)(cid:112)𝐴𝐷(cid:195) 𝐴𝐵 6,𝐵𝐹 𝐹𝐷
(cid:64)𝐶2(cid:77)𝐷(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:118) (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:139)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:134)(cid:81)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:117)(cid:118)
= (cid:80)(cid:117)(cid:118) = =𝐷𝐸∥(cid:80)𝐵𝐶(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:203)(cid:26)(cid:119)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:35)(cid:36)(cid:110)
∠𝐴𝐵𝐻 ∠𝐸𝐻𝐵 𝐻𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐸(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:34)(cid:10) (cid:55)(cid:56) (cid:80)
= ∵𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶=,𝐵9𝐹0°⊥(cid:80)𝐴𝐹
(cid:192)∴∠𝐵𝐴=𝐹 (cid:80)∠𝐷𝐴𝐹,∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐷𝐹𝐴
𝐴𝐹 𝐴𝐹 ASA)(cid:80)
∴△𝐴𝐹=𝐵≌△=𝐴𝐹𝐷( = (cid:80)
∴𝐴(cid:149)𝐷 𝐴(cid:32)𝐵(cid:28)(cid:41)6,(cid:80)𝐵𝐹 =𝐹𝐷 (cid:80)
∵𝐺 (cid:149)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:28)𝐵(cid:29)𝐹 (cid:30)𝐹(cid:80)𝐷
∴𝐹𝐺 =△𝐵𝐶=𝐷4(cid:80)
∴𝐷𝐶= 2𝐹𝐺+ =6+4=10(cid:80)
∴𝐴𝐶 𝐴(cid:32)𝐷(cid:106)(cid:51)𝐷𝐶= + + =6+9+10=25(cid:110)
(cid:64)∴△2(cid:77)𝐴𝐵(cid:35)𝐶(cid:36)(cid:10)(cid:114)(cid:22)(cid:86)𝐴(cid:120)𝐵(cid:54)(cid:80)𝐴𝐶 (cid:82)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
(cid:80) 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:80)
∴∠𝐵𝐻(cid:55)𝐸(cid:56) ∠𝑁𝐵𝐻(cid:80)
∵𝐵𝑀 =∠𝐴𝐵𝑁 (cid:80)
∴∠𝐴𝐵𝐻=∠𝑁𝐵𝐻(cid:80)
∴∠𝐴𝐵=𝐻 ∠=𝐸𝐻𝐵(cid:80)
∴𝐻𝐸 𝐵=𝐸 𝐴𝐸(cid:80)
∴∠𝐸𝐻𝐴+ ∠𝐸𝐴𝐻+ + =180°(cid:80)
∵∠𝐸𝐻𝐴+∠𝐸𝐴𝐻 =∠9𝐸0°𝐻(cid:80)𝐵 ∠𝐴𝐵𝐻
∴∠A𝐸H𝐻𝐴BM∠(cid:110)𝐸𝐻𝐵
(cid:15)∴(cid:151)(cid:152)⊥2-3(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:207)(cid:17)(cid:223)(cid:72)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:224)(cid:27) (cid:32)(cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:80) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41) (cid:80) (cid:149) (cid:32)(cid:28)
(cid:41)(cid:80) (cid:211) (cid:159)(cid:41) (cid:80) (cid:211) (cid:159)(cid:41) (cid:110) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐸 𝐴𝐷
𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐹 𝑂𝐺⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:33)(cid:35)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:195)
(2)(cid:196) =20(cid:80) 𝑂𝐸=𝐹𝐺8(cid:80)(cid:33) (cid:32)(cid:51)(cid:110)
𝐴𝐵 𝑂𝐺 𝐵𝐺(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(1)(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(2)4
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:185)(cid:186)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:117)(cid:118) = (cid:80)(cid:216)(cid:217)(cid:117)(cid:118) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:174)(cid:124) (cid:80)(cid:35)(cid:42)(cid:43)(cid:27)
(cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186) (cid:80)(cid:125)(cid:120)𝑂(cid:35)𝐵(cid:36)(cid:42)𝑂(cid:43)𝐷(cid:27) (cid:149)(cid:171)𝑂𝐸(cid:27)(cid:195)△𝐴𝐵𝐷 𝑂𝐸∥𝐹𝐺 𝑂𝐸𝐹𝐺
(cid:64)2(cid:77)(cid:185)(cid:186)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)𝐸(cid:117)𝐹⊥(cid:118)𝐴𝐵 (cid:80) = =𝑂𝐸2𝐹0(cid:80)𝐺 (cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:28)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:162)(cid:43)(cid:87)(cid:200)(cid:80)(cid:117)(cid:118)
= =10(cid:80)(cid:114)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)𝐵𝐷(cid:115)⊥(cid:116)𝐴(cid:120)𝐶(cid:54)𝐴(cid:80)𝐵 𝐴=𝐷 =10(cid:80)(cid:225)(cid:96)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) =6(cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:118)(cid:111)(cid:112)(cid:110)
𝑂(cid:15)𝐸(cid:126)(cid:34)𝐴(cid:21)𝐸(cid:64)1(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:82)(cid:224)(cid:27)𝐹𝐺(cid:80) 𝑂𝐸 𝐴𝐹
(cid:41) (cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴(cid:41)𝑂(cid:82)𝐵𝐷(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝐸(cid:82) 𝐴𝐷 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝑂𝐸 △(cid:80)𝐴𝐵𝐷
∴𝑂𝐸∥𝐹𝐺 (cid:80) (cid:80)
∵𝐸𝐹⊥𝐴=𝐵90𝑂°𝐺(cid:80)⊥𝐴𝐵 =90°(cid:80)
∴∠𝐸𝐹𝐺= ∠(cid:80)𝑂𝐺𝐵
∴∠ 𝐸𝐹𝐺 (cid:80)∠𝑂𝐺𝐵
∴(cid:42)𝑂(cid:43)𝐺∥(cid:27)𝐸𝐹 (cid:82)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)
(cid:192)∴ =𝑂𝐸9𝐹0𝐺°(cid:80)
∠𝐸𝐹𝐺 (cid:82)(cid:171)(cid:27)(cid:110)
(cid:64)∴2▱(cid:77)𝑂𝐸𝐹(cid:42)𝐺(cid:43)(cid:27) (cid:82)(cid:224)(cid:27)(cid:80)
=∵ =2𝐴0𝐵(cid:80)𝐶𝐷 (cid:80)
∴𝐴𝐷 𝐴=𝐵90°(cid:80) 𝐴𝐶⊥𝐷𝐵
(cid:192)∴(cid:41)∠𝐴𝑂(cid:82)𝐷 (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
𝐸= 𝐴𝐷=10(cid:80)
∴𝐴(cid:42)𝐸(cid:43)(cid:27)𝑂𝐸 (cid:82)(cid:171)(cid:27)(cid:80) =8(cid:80)
∵ = 𝑂𝐸=𝐹𝐺10(cid:80) =𝑂𝐺 =8(cid:80)
∴𝐹𝐺 𝑂=𝐸90°(cid:80) 𝐸𝐹 𝑂𝐺
∵∠𝐸𝐹𝐺=90°(cid:80)
∴∠𝐸𝐹𝐴
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) = = 10 8 =6(cid:110)
2 2 2 2
∴ =△𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐹= 𝐴𝐸 −𝐸𝐹=4(cid:110) −
∴𝐵𝐺 𝐴𝐵−𝐴𝐹−𝐹𝐺 20−6−10(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:81)(cid:54)
(cid:144)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:226)(cid:227)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
【题型3 三角形中位线的实际应用】
(cid:15)(cid:63)3(cid:21)(cid:78)(cid:79)1(cid:149)(cid:228)(cid:229)(cid:32)(cid:164)(cid:44)(cid:189)(cid:86)(cid:79)(cid:110) (cid:149)(cid:229)(cid:230)(cid:80) (cid:80) (cid:80) (cid:149)(cid:229)(cid:231)(cid:110)(cid:53)(cid:54)(cid:41)A(cid:80)C(cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:80) (cid:32)(cid:28)
(cid:41)(cid:110) = 7(dm)(cid:110)(cid:41)B(cid:80)D(cid:158) (cid:84)(cid:232)𝑂(cid:233)𝑃(cid:122)(cid:80)(cid:120)(cid:97)𝑂(cid:228)𝑀(cid:229)(cid:234)𝐴(cid:93)𝐵(cid:235)𝐶(cid:236)𝐷(cid:237)(cid:110)(cid:121) (cid:24)(cid:238)(cid:55)(cid:181)(cid:57)(cid:58)(cid:122)(cid:234)(cid:93)𝑂(cid:228)𝑀(cid:229)(cid:80)𝐴𝐵(cid:228)(cid:229)
(cid:103)(cid:239)𝐶(cid:240)𝐷(cid:32)(cid:238)(cid:55)(cid:181)(cid:19)(cid:108)(cid:120)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)𝑂(cid:94)𝑃(cid:87)(cid:245)(cid:246)(cid:110)(cid:78)(cid:79)2(cid:80)(cid:121)(cid:228)(cid:229)(cid:247)(cid:213)(cid:234)(cid:93)(cid:122)(cid:80)𝑂𝑃 =90°(cid:195)(cid:175)(cid:97)(cid:228)(cid:229)(cid:236)(cid:237)(cid:118)(cid:78)
(cid:79)3(cid:80)(cid:123)(cid:122) =1(dm)(cid:80)(cid:188)(cid:41) (cid:118) (cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:101)(cid:102)(cid:81)(cid:159)(cid:79)2(cid:28) (cid:32)(cid:51)(cid:110)(cid:105)∠𝐴(cid:229)𝐵(cid:231)𝐷 (cid:32)(cid:51)(cid:82) (dm)(cid:80)(cid:191)
′ ′ ′
𝐵 𝐷 𝐶 𝑂𝑃 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:79)2(cid:28)(cid:103)(cid:239)(cid:240)(cid:32)(cid:238)(cid:55)(cid:181)(cid:181)(cid:182)(cid:149) (cid:80)(cid:79)3(cid:28)(cid:103)(cid:239)(cid:240)(cid:32)(cid:238)(cid:55)(cid:181)(cid:181)(cid:182)(cid:149) (cid:80)(cid:105) = (cid:110)
𝑆1
𝑆1 𝑆2 𝑆2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21) 2 6 6
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:117) = 6(cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:117) (cid:119) (cid:32)(cid:51)(cid:195)(cid:175)(cid:187)(cid:96)(cid:33)(cid:117) =1(cid:80)
′ ′
= =4(cid:80) = 𝐵𝐶 =4(cid:80)(cid:225)(cid:96)(cid:163)(cid:40)(cid:246)(cid:32)(cid:181)(cid:182)(cid:7)(cid:152)(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:34)𝐴𝐵. 𝑀𝑁 𝐶 𝐹
′ ′ ′ ′
𝑀(cid:15)𝑁(cid:126)(cid:34)(cid:21)2𝐴(cid:34)𝐸(cid:10)(cid:250) 𝑀𝑁 (cid:159)2(cid:41)𝐴𝐸N(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)
𝑀𝑁⊥𝑂𝑃 𝐴𝑁
=90°(cid:80)
∵∠𝐴𝐵𝐷 (cid:80)
∴(cid:41)𝐴𝐵A∥𝑀(cid:149)𝑁(cid:30)(cid:74) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ = =𝑂𝑀(cid:80)
∴𝐴𝑁 𝑂𝐴(cid:80) 𝐴𝑀
∵(cid:41)𝐴𝐵B⊥(cid:149)𝑂𝑃 (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∴ 𝑂𝑁(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐴𝐵 △𝑂𝑀𝑁
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) = = 6(cid:80)
2 2
(cid:41)C△(cid:149)𝐵(cid:30)𝐶𝐷(cid:74) (cid:32)𝐵𝐶(cid:28)(cid:41)(cid:80)𝐶𝐷 −𝐵𝐷
∵ = =𝐴2𝐵 6(cid:80)
∴𝐴𝐵 =2𝐵𝐶 =4 6(cid:80)
(cid:251)∴𝑀(cid:41)𝑁A(cid:119)2𝐴𝐵(cid:250) (cid:32)(cid:57)(cid:30)(cid:80)(cid:57)(cid:252)(cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:119) (cid:80)
′ ′ ′
𝐶 𝑂𝑃 𝐸 𝐹
(cid:114)(cid:22)(cid:86)(cid:117) =1(cid:80)(cid:253)(cid:138) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
′ ′ ′ ′ ′ ′
=2𝐶 𝐹 =2(cid:80) 𝐶 𝐹 △𝐴𝐵 𝐸
′ ′ ′
(cid:253)∴𝐴(cid:138)𝐸 𝐶=𝐹 =4(cid:80)
′ ′
𝑀𝑁(4 6)2𝐴𝐸
= =6(cid:80)
2
4
𝑆1 𝜋⋅
2
(cid:127)∴𝑆2 (cid:111)(cid:112)(cid:82)𝜋⋅(cid:10)2 6(cid:80)6.
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:162)(cid:43)(cid:28)(cid:30)(cid:84)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)
(cid:81)(cid:80)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:149)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:178)(cid:11)(cid:54)(cid:144)(cid:34)(cid:254)(cid:255)(cid:22)(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)3-1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:84)·(cid:207)(cid:256)(cid:257)(cid:258)·(cid:157)(cid:28)(cid:77)2023(cid:66)7(cid:259)28(cid:260)(cid:215)31(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:19)(cid:11)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:148)(cid:233)(cid:267)(cid:158)(cid:94)(cid:206)(cid:17)
(cid:268)(cid:71)(cid:269)(cid:270)(cid:7)(cid:271)(cid:93)(cid:272)(cid:110)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:273)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:220)(cid:17)(cid:268)(cid:71)A(cid:80)B(cid:49)(cid:41)(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:80)(cid:62)(cid:158)(cid:17)(cid:268)(cid:71)(cid:32)(cid:87)(cid:277)(cid:128)(cid:60)(cid:87)(cid:41)O(cid:80)(cid:56)(cid:83)(cid:60)
(cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)M(cid:80)N(cid:80)(cid:278)M(cid:80)N(cid:279)(cid:276)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:80)(cid:127)(cid:286)(cid:52)(cid:275)(cid:220)(cid:30)(cid:74) (cid:32)(cid:51)(cid:80)(cid:159)(cid:149)(cid:273)(cid:273)(cid:158) (cid:80) (cid:210)(cid:51)(cid:30)
𝑂(cid:84)𝐴(cid:56)(cid:83)𝑂𝐵(cid:128)(cid:60)P(cid:80)Q(cid:49)(cid:41)(cid:80)(cid:188)(cid:287)(cid:252) = (cid:80) = (cid:80)(cid:273)(cid:273)(cid:275)(cid:117)(cid:30)(cid:74) 𝑀𝑁=90(cid:288)(cid:80)(cid:105)A(cid:80)B(cid:49)𝐴(cid:41)𝑂(cid:276)𝐵(cid:32)𝑂(cid:248)(cid:249)(cid:149)
(cid:64) (cid:77)(cid:288)(cid:110) 𝑂𝑃 𝑂𝑁 𝑂𝑄 𝑂𝑀 𝑃𝑄A(cid:110)120 B(cid:110)140 C(cid:110)160 D(cid:110)180
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)D
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:32)
(cid:87)(cid:200)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)(cid:35)(cid:36) (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:33)(cid:124) (cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:218)
(cid:219)(cid:125)(cid:120)(cid:110) △𝑂𝑀𝑁≌△𝑂𝑄𝑃 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:158) (cid:119) (cid:28)(cid:80)
= △𝑂𝑀𝑁 △𝑂𝑄𝑃
= (cid:80)
𝑂𝑁 =𝑂𝑃
∠𝑀𝑂𝑁 ∠𝑄𝑂𝑃
𝑂𝑀 𝑂𝑄 (SAS)(cid:80)
∴△𝑂𝑀=𝑁≌△=𝑂9𝑄0𝑃(cid:288)(cid:80)
∴𝑀(cid:41)𝑁(cid:80)𝑃𝑄(cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝑀(cid:149)𝑁 (cid:32)𝑂(cid:28)𝐴(cid:29)(cid:30)𝑂𝐵(cid:80)
∴𝑀𝑁= △𝑂𝐴=𝐵180(cid:288)(cid:80)
(cid:127)∴(cid:128)𝐴𝐵(cid:10)D2(cid:110)𝑀𝑁
(cid:15)(cid:151)(cid:152)3-2(cid:21)(cid:15)(cid:289)(cid:90)(cid:24)(cid:37)(cid:290)(cid:21)
(cid:78)(cid:79)1(cid:80) (cid:275)(cid:124)(cid:238)(cid:292)A(cid:80) B(cid:49)(cid:41)(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:64)(cid:238)(cid:292)(cid:31)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:88)(cid:103)(cid:58)(cid:48)(cid:275)(cid:220)(cid:77)(cid:110)
(cid:85)(cid:291)
(cid:293)(cid:294)
(cid:293)(cid:294)(cid:32)(cid:295)(cid:103)(cid:10) (cid:58)(cid:48)(cid:275)(cid:220)(cid:85)(cid:86)(cid:120)(cid:118)(cid:296)(cid:32)(cid:49)(cid:41)(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:64)(cid:297)(cid:49)(cid:41)(cid:276)
(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:88)(cid:19)(cid:159)(cid:293)(cid:294)(cid:32)(cid:275)(cid:220)(cid:51)(cid:298)(cid:80)(cid:51)(cid:298)(cid:299)(cid:29)(cid:10)m(cid:77)(cid:195)
(cid:275)(cid:220)
(cid:300)(cid:301)
(cid:275)(cid:26)(cid:302)(cid:32)(cid:295)(cid:103)(cid:149)(cid:275)(cid:220)(cid:26)(cid:32)(cid:19)(cid:108)(cid:80)(cid:125)(cid:158)(cid:85)(cid:87)(cid:41)O(cid:303)(cid:80)(cid:172)(cid:61)(cid:304)(cid:30)(cid:120)
(cid:275)(cid:26)(cid:302)
(cid:173)(cid:32)P(cid:80) Q(cid:49)(cid:41)(cid:80)(cid:120)(cid:275)(cid:117) (cid:32)(cid:19)(cid:108)(cid:110)
∠𝑃𝑂𝑄(cid:108)(cid:36)(cid:32)(cid:275)(cid:220)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:251)(cid:305)
(cid:64)1(cid:77)(cid:78)(cid:79)2(cid:80) (cid:238)(cid:292)(cid:212)(cid:128)(cid:41) C(cid:80) (cid:40)(cid:293)(cid:294)(cid:275)(cid:117) = m, = m(cid:195)
𝐴𝐶 𝑎 𝐵𝐶 𝑏
(cid:64)2(cid:77)(cid:56)(cid:83)(cid:158) (cid:80) (cid:84)(cid:40)(cid:293)(cid:294)(cid:275)(cid:117) = = (cid:80)(cid:275)(cid:117) = m(cid:110)
2 2
𝑎 𝑏
(cid:275)(cid:220) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝑀 𝑚,𝐶𝑁 𝑚 𝑀𝑁 𝑐
(cid:251)(cid:305)
(cid:114)(cid:275)(cid:220)(cid:120)(cid:54)(cid:10)
= m = m(cid:80) = = (cid:80)
2 2
𝑎 𝑏
(cid:33)(cid:34) ∵(cid:41)𝐴𝐶M(cid:149)𝑎 ,𝐵(cid:32)𝐶(cid:28)(cid:41)𝑏 (cid:80) (cid:41)𝐶𝑀N(cid:149)𝑚,𝐶(cid:32)𝑁(cid:28)(cid:41)𝑚(cid:80)
(cid:251)(cid:305)
∴ (cid:149) 𝐴𝐶 (cid:32)______ 𝐵𝐶
∴𝑀𝑁=△m𝐴(cid:80)𝐵𝐶
∵𝑀𝑁=_𝑐_____m(cid:110)
∴𝐴𝐵
(1)(cid:306)(cid:108)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:251)(cid:305)(cid:307)(cid:308)(cid:247)(cid:309)(cid:195)
(2)(cid:108)(cid:36)(cid:275)(cid:124)(cid:238)(cid:292)A(cid:80)B(cid:49)(cid:41)(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:80)(cid:310)(cid:186)(cid:149) (cid:195)
(3)(cid:311)(cid:312)(cid:253)(cid:122)(cid:163)(cid:40)(cid:293)(cid:294)(cid:119)(cid:275)(cid:26)(cid:302)(cid:80)(cid:194)(cid:251)(cid:275)(cid:220)(cid:51)(cid:298)(cid:134)(cid:26)(cid:298)(cid:81)(cid:313)(cid:314)(cid:220)(cid:80)(cid:145)(cid:163)(cid:40)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:54)(cid:144)(cid:33)(cid:238)(cid:292)A(cid:80)B(cid:49)(cid:41)
(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:80)(cid:311)(cid:312)(cid:315)(cid:124)(cid:189)(cid:86)(cid:79)(cid:145)(cid:316)(cid:124)(cid:275)(cid:220)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:251)(cid:305)(cid:64)(cid:161)(cid:33)(cid:275)(cid:220)(cid:117)(cid:118)(cid:32)(cid:30)(cid:74)(cid:51)(cid:298)(cid:40)(cid:317)(cid:318)a(cid:80)b(cid:80)c(cid:80)…(cid:319)(cid:189)(cid:80)(cid:275)
(cid:220)(cid:180)(cid:320)(cid:88)(cid:321)(cid:251)3(cid:180)(cid:77)(cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(1)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(2)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)
(3)(cid:189)(cid:86)(cid:79)(cid:197)(cid:34)(cid:113)(cid:80) = m
2
𝑐
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:25)𝐴𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:322)30(cid:298)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:226)(cid:323)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:125)(cid:120)(cid:34)(cid:111)(cid:195)
(cid:64)2(cid:77)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)(cid:195)
(cid:64)3(cid:77)(cid:40)(cid:275)(cid:26)(cid:302)(cid:158)(cid:41)A(cid:303)(cid:275)(cid:124) =90°(cid:80)(cid:158)(cid:324)(cid:30) (cid:84)(cid:325)(cid:87)(cid:41)G(cid:80)(cid:40)(cid:275)(cid:26)(cid:302)(cid:275)(cid:124) =30°(cid:80)(cid:225)(cid:96)(cid:40)(cid:293)(cid:294)
∠𝐵𝐴𝑃 𝐴𝑃 ∠𝐴𝐺𝐵(cid:275)(cid:220)(cid:124) = m(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:322)30(cid:298)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:226)(cid:323)(cid:125)(cid:120)(cid:34)(cid:111)(cid:110)
𝐵𝐺 𝑐
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:34)(cid:10) = m = m(cid:80) = = (cid:80)
2 2
𝑎 𝑏
(cid:41)M(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)∵𝐴 (cid:41)𝐶 N𝑎(cid:149),𝐵𝐶(cid:32)(cid:28)𝑏(cid:41)(cid:80)𝐶𝑀 𝑚,𝐶𝑁 𝑚
∴ (cid:149) 𝐴𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80) 𝐵𝐶
∴𝑀𝑁=△m𝐴(cid:80)𝐵𝐶
∵𝑀𝑁= 𝑐m(cid:110)
∴(cid:64)𝐴2𝐵(cid:77)(cid:34)2(cid:10)𝑐 (cid:114)(cid:64)1(cid:77)(cid:120)(cid:54)(cid:108)(cid:36)(cid:275)(cid:124)(cid:238)(cid:292)A(cid:80)B(cid:49)(cid:41)(cid:276)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:80)
(cid:310)(cid:186)(cid:149)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:159)(cid:215)(cid:25)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:200)(cid:195)
(cid:64)3(cid:77)(cid:34)(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:80)
= = = m(cid:80)
∵∠𝐵𝐴𝑃1 90°,∠𝐴𝐺𝐵 30°,𝐵𝐺 𝑐
= = m(cid:110)
2 2
𝑐
(cid:15)∴(cid:151)𝐴𝐵(cid:152)3-𝐵3(cid:21)𝐺(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:31)(cid:87)(cid:95)(cid:78)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:27)(cid:330)(cid:32)(cid:331)(cid:243)(cid:80)(cid:61)(cid:28) // = (cid:80)(cid:61)(cid:332)(cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:56)
(cid:83)(cid:149)E(cid:134)F(cid:134)G(cid:134)H(cid:80)(cid:275)(cid:117)(cid:172)(cid:26)(cid:30) =10m(cid:80)(cid:333)𝐴𝐵(cid:274)𝐶(cid:163)𝐷(cid:40)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:27)𝐴𝐷 𝐵(cid:329)𝐶,∠(cid:243)𝐵(cid:80)(cid:105)∠(cid:337)𝐵𝐶(cid:334)𝐷(cid:335)(cid:32)(cid:338)(cid:51)(cid:298)(cid:149)
(cid:64) (cid:77) 𝐴𝐶 𝐸𝐹𝐺𝐻
A(cid:110)40m B(cid:110)30m C(cid:110)20m D(cid:110)10m
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)C(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:251)(cid:41)A(cid:250)AM DC(cid:211)BC(cid:159)(cid:41)M(cid:80)(cid:47)(cid:48)BD(cid:80)(cid:105)(cid:120)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:27)AMCD(cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:339)(cid:217)
AB=AM=DC(cid:195)(cid:120)(cid:35) AB∥C DCB(cid:80)(cid:105)(cid:120)(cid:117)BD=AC=10m(cid:195)(cid:175)(cid:114)E(cid:134)F(cid:134)G(cid:134)H(cid:56)(cid:83)(cid:82)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:120)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:27)△EFGH≌(cid:149)△(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:105)(cid:120)(cid:33)(cid:117)(cid:334)(cid:335)(cid:32)(cid:338)(cid:51)(cid:298)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:251)(cid:41)A(cid:250)AM DC(cid:211)BC(cid:159)(cid:41)M(cid:80)(cid:47)(cid:48)BD
(cid:105) DCB= AMB ∥
∠DCB= ∠ABC
∵∠AMB=∠ABC
∴A∠M=AB ∠
∴AD BC(cid:80)AM DC
∵(cid:42)(cid:43)∥(cid:27)AMCD∥ (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)
∴AM=DC
∴AB=DC
∴(cid:158) ABC(cid:24) DCB(cid:28)
△ = △
=
𝐴𝐵=𝐷𝐶
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵
A𝐵B𝐶C 𝐶D𝐵CB(SAS)
∴B△D=AC≌=△10m
∴E(cid:134)F(cid:134)G(cid:134)H(cid:56)(cid:83)(cid:82)AB(cid:134)BC(cid:134)CD(cid:134)AD(cid:32)(cid:28)(cid:41)
∵ 1 1
GH=EF= =5m(cid:80)EH=FG= =5m
2 2
∴(cid:42)(cid:43)(cid:27)EF 𝐴 G 𝐶 H(cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27) 𝐵𝐷
∴(cid:105)(cid:334)(cid:335)(cid:32)(cid:338)(cid:51)(cid:298)(cid:82)2(GH+EH)=20(m)
(cid:127)(cid:128)(cid:10)C(cid:110)
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:340)(cid:173)(cid:32)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:341)(cid:342)(cid:80)(cid:141)(cid:142)(cid:343)(cid:344)(cid:149)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
【题型4 中点四边形】
(cid:15)(cid:63)4(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:166)(cid:167)(cid:70)(cid:345)(cid:346)(cid:223)·(cid:157)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:171)(cid:27) (cid:28)(cid:80) =8(cid:80) =6(cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:47)(cid:48)(cid:332)(cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
(cid:117)(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:47)(cid:48) (cid:332)(cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:43)𝐷(cid:27) 𝐴𝐷 (cid:80)𝐴…𝐵…(cid:80)(cid:143)(cid:123)(cid:347)(cid:174)(cid:80)(cid:105)
= (cid:110) 𝐴1 𝐵1𝐶1𝐷1 𝐴1 𝐵1𝐶1𝐷1 𝐴2 𝐵2𝐶2𝐷2 𝐴11 𝐵11
5
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)
32
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:187)(cid:185)(cid:186)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) =10(cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:25)
1 𝐴𝐶
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:117) = =5(cid:80)(cid:348)(cid:349)(cid:79)(cid:27)(cid:325)(cid:124) (cid:151)(cid:169)(cid:350)(cid:351)(cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:34)(cid:110)
2
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:48) 𝐴1 𝐵1 (cid:110)𝐴𝐶 𝐴2𝑛+1𝐵2𝑛+1
𝐴𝐶,𝐵𝐷
(cid:171)(cid:27) (cid:28)(cid:80) =8(cid:80) =6(cid:80)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
= 6 +8 =10(cid:80)
2 2
∴ 𝐴𝐶, (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:119) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵
𝐴1𝐵1
1 𝐴𝐵1 𝐵𝐶
= = ×10=5(cid:80)
2 2
∴ 𝐴1𝐵1 𝐴𝐶
1 1 1 5 1
(cid:143)(cid:123)(cid:347)(cid:174)(cid:80) = = ×5(cid:80) = = = ×5(cid:80)
2 2 2 4 2 2
…… 𝐴3 𝐵3 𝐴1𝐵1 𝐴5 𝐵5 𝐴3𝐵3
1
= ×5(cid:80)
2 𝑛
∴ 𝐴2𝑛+1𝐵2𝑛+11 5
= = ×5= (cid:80)
× × 2 5 32
∴ 𝐴11𝐵11 5 𝐴2 5+1𝐵2 5+1
(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:82)(cid:10) (cid:110)
32
(cid:15)(cid:151)(cid:152)4-1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:70)(cid:352)(cid:72)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:28)(cid:80) (cid:82)(cid:61)(cid:172)(cid:26)(cid:30)(cid:80)(cid:47)(cid:164)(cid:332)(cid:43)(cid:28)
(cid:41)(cid:117)(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:80)(cid:105)(cid:68)(cid:353)(cid:184)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:32)(cid:149)(cid:64) (cid:77) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶,𝐵𝐷
𝐸𝐹𝐺𝐻
A(cid:110)(cid:196) = (cid:80)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:224)(cid:27)
B(cid:110)(cid:196)𝐴𝐵= 𝐶𝐷(cid:80)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:27)𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:224)(cid:27)
C(cid:110)(cid:196)𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:80)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:27)𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:82)(cid:224)(cid:27)
D(cid:110)(cid:196)𝐴𝐵⊥𝐶𝐷(cid:80)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:27)𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:82)(cid:224)(cid:27)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)B𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
1
(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:35)(cid:36) = = (cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:82)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:175)(cid:114)(cid:357)
2
(cid:43)(cid:204)(cid:81)(cid:125)(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:82)(cid:224)(cid:27)(cid:110) 𝐸𝐻 𝐹𝐺 𝐵𝐷,𝐸𝐻∥𝐹𝐺∥𝐵𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10) (cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:28)(cid:41)(cid:80)
1 ∵𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 1 𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐷𝐴
= = (cid:80)
2 2
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐷,𝐸𝐻∥𝐵𝐷(cid:80),𝐹𝐺 𝐵𝐷,𝐹𝐺∥𝐵𝐷
∴(cid:42)𝐸𝐻(cid:43)(cid:27)𝐹𝐺,𝐸𝐻(cid:82)∥𝐹(cid:55)𝐺(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)
∴ 𝐸𝐹𝐺𝐻 1
(cid:253)(cid:138)(cid:120)(cid:117)(cid:10) = (cid:80)
2
(cid:121) = 𝐸(cid:122)𝐹(cid:80) 𝐴𝐶= (cid:80)
∴(cid:42)(cid:43)𝐴𝐶(cid:27) 𝐵𝐷 (cid:224)(cid:27)𝐸𝐻(cid:80) 𝐸𝐹
∴(cid:127)B(cid:358)(cid:90)𝐸(cid:22)𝐹𝐺(cid:86)𝐻(cid:80)A(cid:134)C(cid:134)D(cid:359)(cid:88)(cid:358)(cid:90)(cid:22)(cid:86)(cid:80)
(cid:127)(cid:128)(cid:10)B(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)4-2(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:256)(cid:84)(cid:360)·(cid:157)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80) (cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:134) (cid:84)(cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:80)
(cid:24) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41) (cid:80) (cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:27) △𝐴𝐵(cid:149)𝐶(cid:361)(cid:362)𝐵(cid:42)𝐷(cid:43)(cid:27)𝐶𝐸(cid:363) (cid:24) 𝐴(cid:32)𝐶(cid:51)𝐴(cid:298)𝐵(cid:31)(cid:361)(cid:362)(cid:3)(cid:59)(cid:363)𝐵𝐷
𝐶𝐸 𝑂 𝑀 𝑁 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑀𝑁𝐷𝐸 𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80) = (cid:80)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:160)𝑀(cid:161)𝑁(cid:131)𝐷(cid:132)𝐸(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:89)(cid:364)𝑂(cid:173)𝐵(cid:25)(cid:26)2(cid:27)𝑂𝐷(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:140)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:364)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:173)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)
(cid:138)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)(cid:185)(cid:186)(cid:22)(cid:86)(cid:80)(cid:117)(cid:124)(cid:41) (cid:82)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:32)(cid:89)(cid:364)(cid:80)(cid:186)(cid:123)(cid:117)(cid:124) (cid:24) (cid:32)(cid:51)(cid:298)(cid:3)(cid:59)(cid:80)(cid:175)(cid:164)(cid:90)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:124)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:32)(cid:27)(cid:330)(cid:125)𝑂(cid:120)(cid:110) 𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:27) 𝑀𝑁𝐷(cid:149)𝐸(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80) = (cid:195)
(cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) 𝑀(cid:134)𝑁𝐷𝐸(cid:84)(cid:32)(cid:28)(cid:30)(cid:80) 𝑂𝐵 2𝑂𝐷
∵𝐵(cid:41)𝐷 (cid:149)𝐶𝐸 (cid:32)(cid:89)𝐴(cid:364)𝐶(cid:80)𝐴𝐵
∴ 𝑂= △𝐴(cid:80)𝐵𝐶
∴𝑂(cid:41)𝐵 (cid:80)2𝑂(cid:56)𝐷(cid:83)(cid:149) (cid:119) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝐷(cid:149) 𝐸 (cid:32)𝐴(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:30)𝐴𝐵(cid:80)
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝐶
= (cid:80) (cid:80)
2
∴𝐷(cid:134)𝐸 (cid:56)𝐵(cid:83)𝐶(cid:149)𝐷𝐸(cid:134)∥𝐵𝐶(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝑀 𝑁 1 𝑂𝐵 𝑂𝐶
= (cid:80) (cid:80)
2
∴𝑀𝑁 𝐵𝐶(cid:80) 𝑀𝑁=∥𝐵𝐶(cid:80)
∴𝐷(cid:42)𝐸(cid:43)∥(cid:27)𝑀𝑁 𝐷𝐸(cid:149)(cid:55)𝑀(cid:139)𝑁(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:110)
(cid:15)∴(cid:151)(cid:152)4-𝑀3(cid:21)𝑁(cid:64)𝐷𝐸24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:193)(cid:365)(cid:72)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:41) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:41) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:149)
(cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:47)(cid:48) (cid:80) (cid:80) (cid:80) (cid:80)(cid:196)(cid:42)(cid:43)(cid:27) 𝐸 (cid:149)𝐹(cid:171)(cid:27)(cid:80)𝐴(cid:105)𝐷 𝐵(cid:24)𝐶 (cid:287)(cid:252)(cid:32)(cid:176)𝑀(cid:177)(cid:149)𝑁 (cid:110)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐸𝑀 𝑀𝐹 𝐹𝑁 𝑁𝐸 𝐸𝑁𝐹𝑀 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)𝐴(cid:130)𝐵(cid:22)⊥(cid:131)𝐶𝐷(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:84)(cid:54)(cid:144)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)(cid:185)(cid:186)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:117) (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:117) (cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:124) (cid:110)
(cid:15)(cid:126)𝑀(cid:34)𝐹(cid:21)⊥(cid:34)𝑀(cid:10)𝐸 (cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:80) 𝑀𝐹∥𝐴𝐵,𝑀𝐸∥𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
(cid:80) ∵ 𝐸𝑁𝐹𝑀
∴(cid:41)𝑀𝐹(cid:80)⊥𝑀(cid:56)𝐸(cid:83)(cid:149) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:41) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝐸 𝐹 𝐴(cid:80)𝐷 𝐵𝐶 𝑀 𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝐷
∴𝑀𝐹∥𝐴𝐵,𝑀(cid:80)𝐸∥𝐶𝐷
∴𝐴𝐵⊥𝑀(cid:80)𝐸
∵𝑀AB𝐸∥𝐶C𝐷D(cid:80)
(cid:127)∴ (cid:111)(cid:112)⊥(cid:82)(cid:10)AB CD(cid:110)
⊥
【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】
(cid:15)(cid:63)5(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:193)(cid:286)(cid:366)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:171)(cid:27) (cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41)O(cid:80)E(cid:82) (cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:80)
(cid:47)(cid:48) (cid:80)F(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) =90°(cid:80)(cid:196) = =2(cid:80)𝐴(cid:105)𝐵𝐶𝐷 (cid:32)(cid:51)(cid:82)𝐴(cid:64)𝐶,(cid:367)𝐵𝐷(cid:367) (cid:77) 𝑂𝐵
𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐸𝑂𝐹 𝑂𝐸 3,𝑂𝐹 𝐵𝐸
5
A(cid:110)1 B(cid:110)2 C(cid:110) 2 D(cid:110)
3
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)B
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:158)(cid:159)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:30)(cid:80)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:110)
1
(cid:187)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:124) (cid:80) = (cid:80)(cid:339)(cid:217)(cid:120)(cid:33)(cid:117) (cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33) (cid:32)
2
(cid:109)(cid:80)(cid:114)(cid:171)(cid:27)(cid:32)𝑂(cid:115)𝐹(cid:116)(cid:120)(cid:117) = (cid:80)(cid:185)(cid:186) =𝑂𝐹∥𝐴𝐸 (cid:33)𝑂(cid:117)𝐹 (cid:110)𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝑂
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:48) 𝑂(cid:80)𝐵 𝑂𝐴 𝐵𝐸 𝑂𝐵−𝑂𝐸 𝐵𝐸
𝐴𝐸
(cid:171)(cid:27) (cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41)O(cid:80)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶,𝐵𝐷(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) = (cid:80)
∴(cid:192)𝑂F(cid:82)𝐴𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)𝑂𝐵 𝑂𝐴
(cid:149)𝐶𝐸 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝑂𝐹 △𝐴𝐶𝐸 1
(cid:80) = (cid:80)
2
∴𝑂𝐹∥=𝐴𝐸2(cid:80)𝑂𝐹 𝐴𝐸
∵𝑂𝐹=4(cid:80)
∴𝐴𝐸 =90°(cid:80)
∵∠𝐸𝑂𝐹 = =90°(cid:80)
∴∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐸𝑂𝐹
= + = 4 +3 =5(cid:80)
2 2 2 2
∴𝐴𝑂 = 𝐴𝐸=5(cid:80)𝑂𝐸
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐴 =2(cid:80)
(cid:127)∴𝐵(cid:128)𝐸(cid:10)B𝑂(cid:110)𝐵−𝑂𝐸
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-1(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80) = =4(cid:80) (cid:149)(cid:162)(cid:43) (cid:84)(cid:32)(cid:87)(cid:245)(cid:233)(cid:41)(cid:80)(cid:188) (cid:158) (cid:84)(cid:64)(cid:88)
(cid:372)(cid:322)(cid:373)(cid:41)(cid:77)(cid:148)(cid:233)(cid:32)(cid:251)(cid:305)(cid:28)△(cid:80)𝐴(cid:374)𝐶(cid:375)𝐵(cid:376)(cid:377)∠𝐶 𝐴𝐶(cid:80)3(cid:134),𝐵𝐶(cid:56)(cid:83)(cid:149)𝑃 (cid:134) 𝐴(cid:32)𝐵(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:105)𝑃 (cid:32)𝐴𝐵(cid:107)(cid:108)(cid:109)
(cid:149)(cid:64) (cid:77) 𝑃𝐷∥𝐵𝐶,𝑃𝐸∥𝐶𝐷 𝐺 𝐻 𝐷𝑃 𝑃𝐸 𝐺𝐻 𝐺𝐻
3 6 12 24
A(cid:110) B(cid:110) C(cid:110) D(cid:110)
5 5 5 5
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)B
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:184)(cid:137)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:80)(cid:174)(cid:124) = (cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:118) = 1 (cid:80)(cid:378)(cid:123)
2
𝐷𝐸,𝑃𝐶 𝑃𝐸𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐷𝐸 𝐺𝐻 𝐷𝐸
= 1 (cid:80)(cid:121) (cid:122)(cid:80) (cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) (cid:32)(cid:51)(cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:181)(cid:182)(cid:7)(cid:152)(cid:80)(cid:117)(cid:118) (cid:32)(cid:181)(cid:182)= 1
2 2
𝐺𝐻 𝑃𝐶 𝑃𝐶⊥𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐵 △𝐴𝐶𝐵
= 1 (cid:80)(cid:33)(cid:124) = 12 (cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:118) (cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:149) 6 (cid:110)
2 5 5
𝐴(cid:15)𝐵(cid:126)·𝑃(cid:34)𝐶(cid:21)(cid:34)𝐴(cid:10)𝐶·(cid:47)𝐵𝐶(cid:48) 𝑃(cid:80)𝐶 𝐺𝐻
𝐷𝐸,𝑃𝐶=90°(cid:80)
∵(cid:42)𝑃𝐷(cid:43)∥(cid:27)𝐵𝐶,𝑃𝐸∥(cid:149)𝐶𝐷(cid:171),∠(cid:27)𝐴(cid:80)𝐶𝐵
∴ = 𝑃𝐸(cid:80)𝐶𝐷
∴𝑃(cid:134)𝐶 (cid:56)𝐷𝐸(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝐺 (cid:149)𝐻 𝐷(cid:32)𝑃(cid:28)(cid:29)𝑃𝐸(cid:30)(cid:80)
∴𝐺𝐻
=
△1 𝑃𝐷
(cid:80)
𝐸
2
∴𝐺𝐻 𝐷𝐸
= 1 (cid:80)
2
∴𝐺𝐻 𝑃𝐶
(cid:121) (cid:107)(cid:108)(cid:122)(cid:80) (cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:121) (cid:122)(cid:80) (cid:107)(cid:108)(cid:80)
∴ (cid:123)(cid:122) 𝑃𝐶 (cid:32)(cid:181) 𝐺 (cid:182) 𝐻 = 1 𝑃𝐶 = ⊥1𝐴𝐵 (cid:80) 𝑃𝐶
2 2
△𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵·𝑃𝐶 𝐴𝐶·𝐵𝐶
= = =4(cid:80)
∵∠𝐶 =90°,𝐴𝐶+ 3,𝐵𝐶=5(cid:80)
2 2
∴𝐴𝐵 =3𝐴×𝐶 4(cid:80)𝐵𝐶
∴5𝑃𝐶 12
= (cid:80)
5
∴𝑃𝐶 = 1 = 1 × 12 = 6 (cid:80)
2 2 5 5
∴𝐺𝐻 𝑃𝐶
6
(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:149) (cid:80)
5
∴(cid:127)𝐺(cid:128)𝐻(cid:10)B(cid:110)
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:3)(cid:150)(cid:149)(cid:184)(cid:137)(cid:42)
(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:80)(cid:117)(cid:118) = (cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:118) = 1 (cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:181)(cid:182)(cid:7)(cid:152)(cid:33)(cid:124) (cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)
2
𝑃𝐸𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐷𝐸 𝐺𝐻 𝑃𝐶 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-2(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:166)(cid:167)(cid:70)(cid:345)(cid:346)(cid:223)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:171)(cid:27) (cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:134) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41)O(cid:80)E(cid:82)
(cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)F(cid:80)(cid:196) =90°(cid:80) =6(cid:80) 𝐴𝐵=𝐶4𝐷(cid:80)(cid:105) 𝐴(cid:32)𝐶(cid:51)(cid:82)𝐵𝐷(cid:64)(cid:367)(cid:367)(cid:77) 𝑂𝐷
𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐸𝑂𝐹 𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝐷𝐸8 10
A(cid:110)2 B(cid:110) C(cid:110) D(cid:110)4
3 3
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)D
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:84)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:149)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:114)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:117) = = = (cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:117) =8(cid:80) =90 (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:135)(cid:136)(cid:137)
∘
(cid:138)(cid:218)𝐴(cid:219)𝐸(cid:124) =10(cid:80)(cid:120)(cid:117) 𝑂𝐴= 𝑂𝐶=1𝑂0(cid:80)𝐵 (cid:163)𝑂(cid:40)𝐷(cid:30)(cid:74)(cid:119)(cid:379)(cid:33)(cid:124) (cid:51)(cid:125)(cid:120)(cid:110)𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝑂
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)𝑂(cid:34)𝐴(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:48)𝑂𝐷(cid:80)𝑂𝐴 𝐷𝐸
𝐴𝐸
(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:171)(cid:27)(cid:80)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = (cid:110)
∴F𝑂𝐴(cid:149) 𝑂(cid:32)𝐶(cid:28)(cid:41)𝑂𝐵(cid:80) 𝑂𝐷
∵OF(cid:149)𝐶𝐸 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴ △1 𝐴𝐶𝐸
= (cid:80) (cid:80)
2
∴𝑂𝐹=8𝐴 (cid:80) 𝐸 𝑂𝐹∥=𝐴𝐸 =90°(cid:80)
∴𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐸𝑂𝐹
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:10) = + = 8 +6 =10(cid:80)
2 2 2 2
△=𝐴𝐸𝑂 = =4(cid:110) 𝐴𝑂 𝐴𝐸 𝑂𝐸
∴(cid:127)𝐷(cid:128)𝐸(cid:10)D𝑂(cid:110)𝐷−𝑂𝐸 10−6
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-3(cid:21)(cid:64)2025·(cid:380)(cid:381)(cid:155)(cid:55)·(cid:25)(cid:382)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:149)(cid:30)(cid:74) (cid:178)(cid:158)(cid:58)(cid:30)(cid:84)(cid:32)(cid:87)(cid:233)(cid:41)(cid:80)(cid:41) (cid:134) (cid:158) (cid:32)(cid:49)(cid:277)(cid:80)
(cid:80) (cid:80) =4(cid:80) =3(cid:80) 𝑃=2(cid:80)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵 (cid:134) (cid:80)(cid:56)(cid:83)(cid:60) (cid:134) (cid:32)𝐶(cid:28)𝐷(cid:41) 𝐴(cid:134)𝐵 (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:110)(cid:383)
𝐶𝐴⊥𝐴𝐵 𝐷𝐵⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝑀 𝑁 𝑀𝑁(cid:384)(cid:41) (cid:32)(cid:148)(cid:233)(cid:80)(cid:30)(cid:74) (cid:32)(cid:51)(cid:64) (cid:77)
𝑃 𝑀𝑁
5
A(cid:110)(cid:383)(cid:384)(cid:41) (cid:32)(cid:29)(cid:385)(cid:151)(cid:169)(cid:217)(cid:151)(cid:169) B(cid:110)(cid:376)(cid:377)(cid:88)(cid:151)(cid:80)(cid:51)(cid:82)
2
𝑃
41
C(cid:110)(cid:376)(cid:377)(cid:88)(cid:151)(cid:80)(cid:51)(cid:82)2 D(cid:110)(cid:376)(cid:377)(cid:88)(cid:151)(cid:80)(cid:51)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)D
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:251)(cid:41) (cid:250) (cid:80)(cid:211)
(cid:32)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:159) (cid:80)(cid:120)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:82)(cid:171)(cid:27)(cid:80)(cid:125)(cid:117) = =3(cid:80) = =4(cid:80)(cid:117)𝐶𝐷(cid:118) =𝐶 𝐶+𝐸⊥𝐷=𝐵5(cid:80)
𝐷𝐵 𝐸 𝐴𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐷1𝐸 𝐷𝐵41 𝐵𝐸
(cid:216)(cid:217)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:117) = + = 41(cid:80)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) = = (cid:80)(cid:186)(cid:123)(cid:125)(cid:120)
2 2
2 2
(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:355)(cid:356)(cid:250)(cid:124)(cid:370)𝐶(cid:371)𝐷(cid:30)(cid:149)(cid:34)𝐷(cid:22)𝐸 (cid:32)(cid:3)𝐶𝐸(cid:150)(cid:110) 𝑀𝑁 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:251)(cid:41) (cid:250) (cid:80)(cid:211) (cid:32)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:159) (cid:80)
𝐶𝐷 𝐶 𝐶𝐸⊥𝐷𝐵 𝐷𝐵 𝐸
(cid:80) (cid:80)
∵𝐶𝐴⊥𝐴=𝐵 𝐷𝐵⊥=𝐴𝐵 =90°(cid:80)
∴(cid:42)∠𝐶(cid:43)𝐴𝐵(cid:27) ∠𝐴𝐵(cid:82)𝐸(cid:171)(cid:27)∠𝐸(cid:80)
∴ = 𝐴𝐵=𝐸𝐶3(cid:80) = =4(cid:80)
∴𝐵𝐸 =𝐴𝐶 + 𝐶=𝐸2+𝐴3𝐵=5(cid:80)
∴𝐷𝐸 𝐷𝐵 𝐵𝐸
= + = 5 +4 = 41(cid:80)
2 2 2 2
∴(cid:41)𝐶𝐷 (cid:134)𝐷(cid:56)𝐸(cid:83)(cid:82)𝐶𝐸(cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝑀(cid:82)𝑁 (cid:32)𝑃(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:30)𝑃𝐷(cid:80)
∴𝑀𝑁 △1 𝑃𝐶𝐷 41
= = (cid:80)
2 2
∴𝑀𝑁 𝐶𝐷
41
(cid:125) (cid:32)(cid:51)(cid:376)(cid:377)(cid:88)(cid:151)(cid:80) (cid:51)(cid:82) (cid:80)
2
(cid:127)𝑀(cid:128)𝑁(cid:10)D(cid:110)【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】
(cid:15)(cid:63)6(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:207)(cid:17)(cid:223)(cid:72)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:224)(cid:27)(cid:80)(cid:172)(cid:26)(cid:30) (cid:80) (cid:211)(cid:159)(cid:41)O(cid:80)(cid:41)E(cid:149)
(cid:58)(cid:30) (cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:110)(cid:196) =8(cid:80) =6(cid:80)(cid:41)E(cid:149)(cid:30)(cid:74) (cid:28)(cid:41)𝐴(cid:80)𝐵(cid:47)𝐶𝐷(cid:48) (cid:80)(cid:33) (cid:32)(cid:51)𝐴(cid:110)𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐸
97
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)
2
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:32)(cid:149)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:80)(cid:224)(cid:27)(cid:149)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:78)(cid:79)(cid:178)(cid:189)(cid:80)(cid:210)(cid:51) (cid:118) (cid:80)
𝐵𝐷 𝑇
(cid:386)(cid:117) = (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:224)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:33)(cid:34) = + = 4 +9 = 97(cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)
2 2 2 2
(cid:30)(cid:32)𝐷(cid:115)𝑇(cid:116)(cid:120)𝐷(cid:117)𝐵(cid:111)(cid:112)(cid:110)𝐴𝑇 𝐴𝑇 𝑂𝐴 𝑂𝑇
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:178)(cid:189)(cid:80)(cid:210)(cid:51) (cid:118) (cid:80)(cid:386)(cid:117) = (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)
(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:224)(cid:27)(cid:80)(cid:172)(cid:26)(cid:30)𝐵𝐷 𝑇 (cid:211)(cid:159)(cid:41)𝐷𝑇(cid:80) 𝐷𝐵 𝐴𝑇
∵ 1𝐴𝐵𝐶𝐷 1 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑂
= = = =3(cid:80)
2 2
∴𝑂𝐴 (cid:80)𝐴𝐶 4,𝑂𝐷 𝐵𝐷
𝐴𝐶⊥𝐵=𝐷 + =9(cid:80)
∴𝑂𝑇 𝑂𝐷 𝐷𝑇
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:117)
△𝐴𝑂𝑇
= + = 4 +9 = 97(cid:80)
2 2 2 2
𝐴𝑇(cid:41) (cid:149)𝑂(cid:30)𝐴(cid:74) 𝑂(cid:28)𝑇 (cid:41)(cid:80) = (cid:80)
∵ 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝑇 𝐷𝐵(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝑇 97
= = (cid:110)
2 2
(cid:15)∴(cid:151)𝐷𝐸(cid:152)6-𝐴1(cid:21)𝑇 (cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80) =60°(cid:80) =2(cid:80) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:149) (cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:80)(cid:196) (cid:55)(cid:56)
(cid:32)(cid:106)(cid:51)(cid:80)(cid:105) (cid:32)(cid:51)(cid:81)(cid:159)△ 𝐴 𝐵𝐶(cid:110) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐸
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21) 3
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:34)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:54)(cid:144)(cid:41)(cid:195)(cid:210)(cid:51) (cid:387)(cid:41) (cid:386)(cid:117)
= (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:250) (cid:159)(cid:41) (cid:80)(cid:105) = = 1 =30°(cid:80)(cid:388)(cid:117) =2 3(cid:80)(cid:192) 𝐴𝐶 (cid:114)(cid:53)(cid:54) 𝐹 (cid:117)
2
𝐶𝐹 𝐶𝐵 𝐵𝐹 𝐶𝐺⊥𝐵𝐹 𝐺 ∠𝐹 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐹
+ = + + = + (cid:80)(cid:105) = (cid:80)(cid:127) (cid:82) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:339)(cid:217)(cid:117) = 1 = 3(cid:110)
2
𝐷𝐴 𝐴𝐸 𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐷𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:210)(cid:51) (cid:387)(cid:41) (cid:386)(cid:117) = (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:250) (cid:159)(cid:41) (cid:80)
𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐵 𝐵𝐹 𝐶𝐺⊥𝐵𝐹 𝐺
(cid:105) = = 1 =30°(cid:80)
2
∠𝐹 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
= = cos30°= 3(cid:80)
∴𝐵𝐺=2𝐹𝐺3(cid:80)𝐵𝐶·
∴𝐵𝐹(cid:55)(cid:56) (cid:32)(cid:106)(cid:51)
∵𝐷𝐸+ △=𝐴𝐵𝐶+ + = + (cid:80)
∴𝐷𝐴(cid:149) 𝐴(cid:28)𝐸(cid:41)(cid:80)𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐷𝐵 𝐸𝐹
∵𝐷 =𝐴𝐵 (cid:80)
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵(cid:80)
∴𝐴𝐸(cid:82)𝐸𝐹 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐸
=
△1 𝐴𝐵
=
𝐹
3(cid:110)
2
∴𝐷𝐸 𝐵𝐹(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:82)(cid:10) 3(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)6-2(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:268)(cid:389)(cid:390)(cid:391)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:119)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:206)(cid:149)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:110)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸𝐹𝐺
(1)(cid:78)(cid:79)1(cid:80)(cid:41) (cid:158)(cid:87)(cid:176)(cid:58)(cid:30)(cid:84)(cid:80)(cid:41) (cid:158)(cid:43) (cid:84)(cid:80)(cid:158) (cid:32)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:84)(cid:60)(cid:87)(cid:41) (cid:80)(cid:188) = (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:110)
(cid:64)i(cid:77)(cid:33)(cid:35)(cid:10) 𝐵, 𝐸, 𝐹 (cid:195) 𝐷 𝐹𝐺 𝐺𝐹 𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝐺 𝐴𝑃, 𝑃𝐸
(cid:64)ii(cid:77)(cid:33)(cid:35)(cid:10)△𝐵=𝐶𝐸≅2△𝐷(cid:195)𝐶𝐺
(2)(cid:78)(cid:79)2(cid:80)(cid:41)𝑃𝐸(cid:158) (cid:32)𝑃(cid:210)𝐴(cid:51)(cid:30)(cid:84)(cid:80)(cid:41) (cid:158) (cid:43)(cid:84)(cid:80) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:196)(cid:355)(cid:392)(cid:27) (cid:119)(cid:355)(cid:392)(cid:27) (cid:32)(cid:43)(cid:51)(cid:56)(cid:83)
(cid:82)6(cid:119)4(cid:80)(cid:33)𝐺 (cid:32)𝐵𝐶(cid:51)(cid:110) 𝐸 𝐶𝐷 𝑀 𝐴𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸𝐹𝐺
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(1)(cid:64)𝐷i(cid:77)𝑀(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:34)(cid:113)(cid:195)(cid:64)ii(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:34)(cid:113)(cid:195)
(2) = 2
(cid:15)(cid:56)𝐷𝑀(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:213)(cid:81)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)
(cid:142)(cid:204)(cid:3)(cid:54)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:163)(cid:40)(cid:49)(cid:245)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:174)(cid:124) (cid:195)
(cid:64)ii(cid:77)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:163)(cid:40) △(cid:119)𝐵(cid:355)𝐶(cid:392)𝐸≅(cid:27)△(cid:32)𝐷(cid:115)𝐶(cid:116)𝐺(cid:35)(cid:36) (cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:34)(cid:195)
(cid:64)2(cid:77)(cid:210)(cid:51)𝐴𝐸(cid:387)(cid:41)H(cid:80)△(cid:386)𝐵𝐶(cid:117)𝐸≅△=𝐷𝐶𝐺(cid:80)(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159)I(cid:80)△(cid:187)𝐴(cid:35)𝐵(cid:36)𝐸≅(cid:42)△(cid:43)𝐴(cid:27)𝐷𝑃 (cid:82)(cid:171)(cid:27)(cid:80)
(cid:174)(cid:124) = 𝐴𝐷 = =𝐴9𝐷0°(cid:80)(cid:163)𝐷𝐻(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)𝐺(cid:138)𝐹 (cid:119)𝐷(cid:25)𝐻(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:33) 𝐷𝐸(cid:32)𝐹(cid:51)𝐼 (cid:110)
(cid:15)(cid:126)𝐹(cid:34)𝐼(cid:21)(cid:64)2,1𝐻(cid:77)𝐼 (cid:64)2i(cid:77),∠𝐹𝐼(cid:42)𝐻(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:80) 𝐷𝑀
= =∵90°(cid:80) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐵𝐶 𝐶+𝐷,∠𝐵𝐶𝐷=90°(cid:80)
∴∠(cid:42)𝐵(cid:43)𝐶𝐸(cid:27) ∠𝐷𝐶(cid:149)𝐸(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:80)
∵ = 𝐶𝐸𝐹𝐺 =90°(cid:80)
∴𝐶𝐸 𝐶+𝐺,∠𝐸𝐶𝐺=90°(cid:80)
∴∠𝐷𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸(cid:80)
∴∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐺(SAS)(cid:110)
∴△𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐶𝐺(cid:64)ii(cid:77)(cid:78)(cid:79)3(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)
𝐴𝐸
(cid:114)(cid:64)i(cid:77)(cid:54) (cid:80)(cid:120)(cid:117) = = (cid:80)
(cid:192) = △(cid:80)𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐶𝐺 𝐵𝐸 𝐷𝐺,∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶𝐷𝐺
𝐷𝑃= 𝐷𝐺(cid:80)
∴𝐵(cid:42)𝐸(cid:43)(cid:27)𝐷𝑃 (cid:149)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:80)
∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 = = =90°(cid:80)
∴𝐴𝐵 𝐴+𝐷,∠𝐷𝐴𝐵=9∠0°𝐴(cid:80)𝐵𝐶 ∠𝐴+𝐷𝐶 =90°(cid:80)
∴∠𝐶𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐸(cid:80) ∠𝐶𝐷𝐺 ∠𝐴𝐷𝑃
∴∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐷𝑃(SAS)(cid:80)
∴△𝐴𝐵=𝐸≅△𝐴𝐷𝑃= (cid:80)
(cid:192)∴𝐴𝐸 𝐴+𝑃,∠𝐵𝐴𝐸=9∠0𝐷°(cid:80)𝐴𝑃
∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐸 =90°(cid:80)(cid:125) =90°(cid:80)
∴∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐷+𝐴𝐸 = ∠(cid:80)𝑃𝐴𝐸
2 2 2 2
∴𝑃𝐸= 𝑃2𝐴 (cid:110)𝐴𝐸 2𝑃𝐴
(cid:64)∴2𝑃(cid:77)𝐸(cid:78)(cid:79)4𝑃(cid:80)𝐴(cid:210)(cid:51) (cid:387)(cid:41)H(cid:80)(cid:386)(cid:117) = (cid:80)(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159)I(cid:80)
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐻 𝐺𝐹 𝐷𝐻
(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:80)(cid:188)(cid:43)(cid:51)(cid:82)6(cid:80)
∵ = 𝐴𝐵𝐶=𝐷 = =6(cid:80)
∴𝐷𝐻 =𝐴𝐷90°(cid:80)6,∠𝐴𝐷𝐶 90°,𝐶𝐷
∴∠𝐸𝐷𝐼(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:355)(cid:392)(cid:27)(cid:80)
∵ = 𝐶𝐸=𝐹𝐺 = =90°(cid:80)
∴𝐶𝐸 𝐸=𝐹 4,∠𝐶𝐸𝐹=9∠0°𝐸(cid:80)𝐹𝐺
∴∠𝐷𝐸=𝐹 90°,∠=𝐸𝐹2𝐼(cid:80)
∴𝐷𝐸 𝐶=𝐷−𝐶𝐸 = =90°(cid:80)
∵∠(cid:42)𝐸(cid:43)𝐷𝐼(cid:27) ∠𝐷𝐸(cid:82)𝐹(cid:171)(cid:27)∠𝐸(cid:80)𝐹𝐼
∴ =𝐷𝐸𝐹𝐼 = = = =2(cid:80)
∴∠𝐷𝐼𝐹 =9900°°,(cid:80)𝐷𝐼 =𝐸𝐹 4,𝐹𝐼=2𝐷(cid:80)𝐸
∴∠𝐹𝐼𝐻 𝐻𝐼 𝐷𝐻−𝐷𝐼
= + = 2 +2 =2 2(cid:80)
2 2 2 2
∴M𝐹𝐻(cid:149) (cid:32)𝐹𝐼(cid:28)(cid:41)𝐻(cid:80)𝐼 = (cid:80)
∵ (cid:149)𝐴𝐹 (cid:32)(cid:28)𝐴(cid:29)𝐷(cid:30)(cid:80)𝐷𝐻
∴𝐷𝑀 △1 𝐴𝐹𝐻
= = 2(cid:110)
2
(cid:15)∴(cid:151)𝐷𝑀(cid:152)6-3𝐹(cid:21)𝐻(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:70)(cid:256)(cid:393)(cid:72)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:15)(cid:394)(cid:130)(cid:175)(cid:333)(cid:21)(cid:47)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:43)(cid:28)(cid:41)(cid:32)(cid:30)(cid:74)(cid:395)(cid:396)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:110)
1
(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:78)(cid:79)1(cid:80) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:32) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:110)(cid:33)(cid:35)(cid:10) (cid:188) = (cid:110)
2
(cid:64)1(cid:77)(cid:108)(cid:36)(cid:274)(cid:118)(cid:133)𝐷“(cid:210)𝐸(cid:51) (cid:387)△(cid:41)𝐴𝐵(cid:80)𝐶(cid:386)𝐴𝐵=𝐴𝐶(cid:80)(cid:47)(cid:48) ”(cid:80)(cid:78)(cid:79)𝐷𝐸2(cid:110)∥𝐵(cid:311)𝐶(cid:397)(cid:398)𝐷𝐸(cid:108)(cid:36)(cid:32)𝐵𝐶(cid:399)(cid:189)(cid:247)(cid:94)(cid:35)(cid:36)(cid:110)
𝐷𝐸 𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:400)(cid:401)(cid:39)(cid:40)(cid:21)
(cid:64)2(cid:77)(cid:78)(cid:79)3(cid:80)(cid:158)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:28)(cid:80) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:80) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:402)(cid:184)(cid:354)(cid:30)(cid:74) (cid:80) (cid:80)
(cid:279)(cid:276)(cid:31)(cid:314)(cid:320)(cid:220)(cid:3)(cid:59)(cid:80)(cid:145)(cid:403)𝐴𝐵(cid:36)𝐶(cid:138)𝐷(cid:114)(cid:110)𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐷≠𝐵𝐶,𝐸,𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:404)(cid:405)(cid:39)(cid:40)(cid:21)
(cid:64)3(cid:77)(cid:78)(cid:79)4(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80) = = (cid:149)(cid:43) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:149)(cid:43) (cid:84)(cid:87)(cid:41)(cid:110)(cid:196) (cid:55)(cid:56) (cid:32)(cid:106)
(cid:51)(cid:80)(cid:105) (cid:32)(cid:51)(cid:149)_△__𝐴_𝐵__𝐶_____∠_𝐴_𝐶_(cid:110)𝐵 60°,𝐴𝐶 2,𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)𝐷(cid:21)𝐸(cid:64)1(cid:77)(cid:197)(cid:34)(cid:113)(cid:195)(cid:64)2(cid:77) + = (cid:80)(cid:138)(cid:114)(cid:197)(cid:34)(cid:113)(cid:195)(cid:64)3(cid:77) 3
𝐵𝐶 𝐴𝐷 2𝐸𝐹(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:194)(cid:251)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:74)(cid:44)(cid:45)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:119)(cid:26)(cid:32)(cid:3)(cid:59)(cid:80)(cid:175)(cid:164)(cid:90)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)
(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:110)
(cid:64)2(cid:77)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:74)(cid:44)(cid:45)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)(cid:97) (cid:100)(cid:169)(cid:82) (cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:325)(cid:124) (cid:24) (cid:134) (cid:32)(cid:320)(cid:220)(cid:3)(cid:59)(cid:110)
(cid:64)3(cid:77)(cid:210)(cid:51)(cid:30)(cid:74)(cid:44)(cid:45)(cid:226)(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)(cid:164)𝐴(cid:90)𝐷(cid:106)(cid:51)(cid:55)𝐶(cid:56)𝐺(cid:176)(cid:177)(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:226)𝐸(cid:227)𝐹(cid:25)(cid:26)𝐵𝐶(cid:27)(cid:64)𝐴𝐷(cid:322)30 (cid:26)(cid:32)(cid:58)
∘
(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:134)(cid:81)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:204)(cid:3)(cid:115)(cid:116) (cid:77)(cid:80)(cid:218)(cid:219) (cid:32)(cid:51)(cid:298)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:210)(cid:51) (cid:387)(cid:41) (cid:80)(cid:386) 𝐷=𝐸 (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)
𝐷𝐸 𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐹
1
= =
2
∴𝐷𝐸(cid:149) 𝐸𝐹(cid:32)(cid:28)(cid:41)𝐷𝐹(cid:80)
∵𝐸 =𝐴𝐶 (cid:80)
(cid:158)∴𝐴𝐸 𝐸𝐶(cid:119) (cid:28)(cid:80)
△𝐴𝐷=𝐸 △𝐶𝐹𝐸
= ,
𝐴𝐸= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶𝐸𝐹
𝐸𝐹 𝐷𝐸 SAS)(cid:80)
∴△𝐴𝐷=𝐸≌△ 𝐶𝐹𝐸=( (cid:80)
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:80)𝐹, ∠𝐴 ∠𝐸𝐶𝐹
∴𝐴𝐵(cid:149)∥𝐶𝐹(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝐷 =𝐴𝐵 (cid:80)
∴𝐵𝐷=𝐴𝐷(cid:80)
∴𝐵(cid:42)𝐷(cid:43)(cid:27)𝐶𝐹 (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)
∴ 𝐷𝐵𝐶𝐹= (cid:80)
∴𝐷𝐹∥𝐵𝐶, 𝐷𝐹 1𝐵𝐶
= (cid:195)
2
(cid:64)∴2𝐷(cid:77)𝐸(cid:34)∥𝐵(cid:10)𝐶,𝐷𝐸+ 𝐵𝐶= (cid:80) (cid:138)(cid:114)(cid:78)(cid:68)(cid:10)
(cid:47)(cid:48) (cid:145)(cid:210)𝐵𝐶(cid:51)(cid:211)𝐴𝐷(cid:32)(cid:210)2𝐸(cid:51)𝐹(cid:30)(cid:159)(cid:41) (cid:80)(cid:78)(cid:79)(cid:10)
𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐺(cid:80)
∵𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 = (cid:80)
∴∠(cid:149)𝐷𝐴𝐹 (cid:32)(cid:28)∠𝐶(cid:41)𝐺𝐹(cid:80),∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐺𝐶𝐹
∵𝐹 =𝐶𝐷 (cid:80)
∴𝐹𝐷 𝐹𝐶 (cid:80)
∴△𝐷𝐴=𝐹≌△𝐶𝐺=𝐹 (cid:80)
∴𝐴(cid:149)𝐷 𝐶(cid:32)𝐺,(cid:28)𝐴𝐹(cid:41)(cid:80)𝐹𝐺(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝐸 𝐴𝐵1 1 𝐹 𝐴𝐺 1
= = + = + (cid:80)
2 2 2
∴𝐸𝐹+ 𝐵𝐺= (𝐵(cid:110)𝐶 𝐶𝐺) (𝐵𝐶 𝐴𝐷)
(cid:64)∴3𝐵(cid:77)𝐶(cid:34)𝐴(cid:10)𝐷(cid:210)(cid:51)2𝐸𝐹(cid:387) (cid:80)(cid:386) = (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:250) (cid:159) (cid:80)
𝐵𝐶 𝑀 𝐶𝑀 𝐶𝐴 𝐴𝑀 𝐶𝑁⊥𝐴𝑀 𝑁
(cid:55)(cid:56) (cid:32)(cid:106)(cid:51)(cid:80)
∵𝐷𝐸 = △(cid:80)𝐴(cid:192)𝐵𝐶 = (cid:80)
∴𝑀𝐸 1𝐸𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐵
= (cid:80)
2
∴𝐷𝐸 =𝐴𝑀60,𝐷°(cid:80)𝐸∥𝐴𝑀
∵∠𝐴𝐶𝐵 =120°(cid:80)
∴∠𝐴𝐶=𝑀 (cid:80)
∵𝐶𝑀 𝐶=𝐴 = (cid:80)
∴∠𝐴𝐶=𝑁1(cid:80)60°,𝐴𝑁 𝑀𝑁
∴𝐶𝑁= 2 1 = 3
2 2
∴𝐴𝑁
=2 3
−(cid:80)
∴𝐴𝑀= = (cid:80)
∵𝐵𝐷 2𝐷𝐴3,𝐵𝐸 𝐸𝑀
= = 3(cid:80)
2
(cid:127)∴(cid:111)𝐷𝐸(cid:112)(cid:82)(cid:10) 3(cid:110)
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:160)(cid:161)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:134)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:24)(cid:115)(cid:116)(cid:143)(cid:173)(cid:226)
(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:140)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:134)(cid:226)(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:392)(cid:52)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)
(cid:150)(cid:110)
【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】
(cid:15)(cid:63)7(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80)(cid:41)D(cid:149)(cid:43) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:41)E(cid:158) (cid:203)(cid:80) (cid:55)(cid:56) (cid:80) (cid:80)(cid:41)F(cid:158)(cid:43)
(cid:84)(cid:80) (cid:110) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐸⊥𝐴𝐸 𝐴𝐵
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
(1)(cid:33)(cid:35)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:195)
(2)(cid:33)(cid:35)(cid:10) 𝐵=𝐷𝐸𝐹 (cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(𝐴1𝐵)(cid:35)−(cid:36)𝐴𝐶(cid:197)(cid:34)2(cid:113)𝐵𝐹
(2)(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:213)(cid:81)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:80)(cid:140)
(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:115)(cid:116)(cid:119)(cid:184)(cid:137)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:64)1(cid:77)(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159)(cid:41)G(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:137)(cid:199)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:195)
𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷𝐸𝐹 1
(cid:64)2(cid:77)(cid:114)(cid:64)1(cid:77)(cid:120)(cid:54)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)(cid:120)(cid:117) = (cid:110)(cid:35)(cid:36) = = (cid:110)(cid:164)(cid:90)
2
(cid:80)(cid:120)(cid:117) = (cid:80)(cid:216)(cid:87)𝐵𝐷(cid:406)𝐸(cid:120)𝐹 (cid:117)(cid:164)(cid:205)(cid:110) 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐺 △𝐴𝐺𝐸≌
(cid:15)△(cid:126)𝐴𝐶(cid:34)𝐸(cid:21)(cid:64)1(cid:77)𝐴(cid:35)𝐺(cid:36)(cid:10)𝐴𝐶(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159)(cid:41)G(cid:80)
(cid:80) (cid:55)(cid:56) (cid:80)𝐶𝐸 𝐴𝐵
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐸 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶= =90°(cid:80) = (cid:80)
∴(cid:158)∠𝐴𝐸𝐺 (cid:119)∠𝐴𝐸𝐶 (cid:28)(cid:80) ∠𝐺𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
△𝐴𝐸=𝐺 △𝐴𝐸𝐶
= (cid:80)
∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸
∠𝐴𝐸𝐺 ∠𝐴𝐸𝐶 (ASA)(cid:110)
∴△𝐴=𝐺𝐸≌(cid:110)△𝐴𝐶𝐸
∴𝐺𝐸 =𝐸𝐶(cid:80)
∵𝐵𝐷(cid:82) 𝐶𝐷 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐸 △(cid:110)𝐶𝐺𝐵
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐵(cid:80)
∵(cid:42)𝐸𝐹(cid:43)∥𝐵(cid:27)𝐶 (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:110)
(cid:64)∴ 2(cid:77)(cid:35)(cid:36)𝐵𝐷(cid:10)𝐸(cid:114)𝐹 (cid:64)1(cid:77)(cid:120)(cid:54)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:149)(cid:55)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:80)
= (cid:110) 𝐵𝐷𝐸𝐹
∴D𝐵𝐹(cid:134)E𝐷(cid:56)𝐸(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 1𝐵𝐶 𝐺𝐶
= = (cid:110)
2
∴𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐺(cid:80)
∵△𝐴=𝐺𝐸≌(cid:80)△𝐴𝐶𝐸
∴𝐴𝐺 𝐴1𝐶 1
= ( )= ( )(cid:80)
2 2
∴𝐵𝐹 𝐴 = 𝐵−𝐴𝐺(cid:110) 𝐴𝐵−𝐴𝐶
∴(cid:15)𝐴(cid:151)𝐵−(cid:152)𝐴𝐶7-1(cid:21)2(cid:158)𝐵𝐹 (cid:28)(cid:80)(cid:41) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:55)(cid:56) (cid:80) (cid:159)(cid:41) (cid:110)
△𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐸⊥𝐶𝐸 𝐸(1)(cid:33)(cid:35)(cid:10) (cid:195)
(2)(cid:196) =𝐷5𝐸(cid:80)∥𝐵𝐶 =7(cid:80)(cid:33) (cid:32)(cid:51)(cid:110)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)𝐴𝐶(cid:21)(1)(cid:197)(cid:34)𝐵𝐶(cid:113) 𝐷𝐸
(2)1
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:185)(cid:186) (cid:55)(cid:56) (cid:80) (cid:80)(cid:148)(cid:40)ASA(cid:388)(cid:35)(cid:36) (cid:110)(cid:185)(cid:186)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:117)
= (cid:80) = 𝐶(cid:80)𝐸(cid:185)(cid:186)(cid:25)∠𝐴(cid:26)𝐶(cid:27)𝐵 (cid:32)𝐴(cid:28)𝐸(cid:29)⊥(cid:30)𝐶𝐸(cid:137)(cid:138)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:118)(cid:164)(cid:205)(cid:195)△𝐴𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸
(cid:64)𝐴𝐸2(cid:77)(cid:185)𝐸𝐹(cid:186)(cid:25)𝐶𝐹(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:32)𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:34)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:64)1(cid:77)(cid:34)(cid:10)(cid:210)(cid:51) (cid:211) (cid:159) (cid:80)
𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐹
(cid:55)(cid:56) (cid:80) (cid:159)(cid:41) (cid:80)
∵𝐶𝐸 =∠𝐴𝐶𝐵 (cid:80)𝐴𝐸⊥𝐶𝐸= 𝐸 =90°(cid:80)
(cid:158)∴∠𝐴𝐶𝐸 (cid:119)∠𝐹𝐶𝐸 (cid:28)∠𝐴(cid:80)𝐸𝐶 ∠𝐹𝐸𝐶
△𝐴𝐶𝐸 =△𝐹𝐶𝐸
= (cid:80)
∠𝐴𝐶=𝐸 ∠𝐹𝐶=𝐸90°
𝐶𝐸 𝐸𝐶
∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐹𝐸𝐶 (cid:110)
∴△𝐴𝐶=𝐸≌△(cid:80)𝐹𝐶𝐸
∴𝐴(cid:41)𝐸 (cid:149)𝐸𝐹(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 𝐷= 𝐴𝐵(cid:80)
∴𝐴𝐷(cid:149) 𝐵𝐷 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:110)
∴𝐷𝐸 △(cid:195)𝐴𝐵𝐹
(cid:64)∴2𝐷(cid:77)𝐸∥𝐵𝐶 (cid:80)
=∵△𝐴𝐶=𝐸5≌(cid:80)△𝐹𝐶𝐸
∴𝐶𝐹(cid:149)𝐴𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:110)
∵𝐷𝐸 = △1 𝐴𝐵 = 𝐹1 = 1 =1(cid:80)
2 2 2
∴𝐷𝐸 𝐵𝐹 (𝐵𝐶−𝐴𝐶) (7−5)(cid:127) (cid:32)(cid:51)(cid:82)1(cid:110)
(cid:15)𝐷(cid:41)𝐸(cid:129)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:143)(cid:173)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:355)(cid:356)(cid:243)(cid:250)(cid:124)(cid:370)(cid:371)(cid:30)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)7-2(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80)BD(cid:55)(cid:56) ABC(cid:80)(cid:251)(cid:41)C(cid:250) (cid:159)(cid:41)D(cid:80)E(cid:149)(cid:43)AC(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:47)(cid:48)DE(cid:80)
(cid:196) =2(cid:80) =10(cid:80)△(cid:105)𝐴A𝐵B𝐶(cid:32)(cid:51)(cid:82)(cid:64) (cid:77)∠ 𝐶𝐷⊥𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐵𝐶
A(cid:110)6 B(cid:110)8 C(cid:110)7 D(cid:110)9
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)A
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:210)(cid:51)BA(cid:80)CD(cid:211)(cid:159)(cid:41)F(cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:119)(cid:57)(cid:30)(cid:35)(cid:117)BF=BC(cid:80)DF=CD(cid:80)(cid:175)(cid:163)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)
(cid:117)(cid:118)AF=2DE(cid:80)(cid:125)(cid:120)(cid:218)(cid:219)AB=BF-AF(cid:80)(cid:33)(cid:117)(cid:111)(cid:112)(cid:110)
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:210)(cid:51)BA(cid:80)CD(cid:211)(cid:159)(cid:41)F(cid:80)
BD(cid:55)(cid:56) ABC(cid:80)
∵ =∠ (cid:80)
∴∠𝐹𝐵𝐷 (cid:80)∠𝐶𝐵𝐷
∵𝐶𝐷FB⊥C𝐵(cid:149)𝐷(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:25)(cid:30)(cid:90)(cid:87)(cid:77)(cid:80)
∴△ = =10(cid:80) = (cid:80)
∴D𝐵𝐹(cid:149)C𝐵F𝐶(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)𝐷𝐹 𝐷𝐶
∴E(cid:149)(cid:43)AC(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵DE(cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
∴ = △𝐶𝐴=𝐹4(cid:80)
∴𝐴𝐹 =2𝐷𝐸 =6(cid:195)
(cid:127)∴𝐴(cid:128)𝐵(cid:10)A𝐵(cid:110)𝐹−𝐴𝐹(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:30)(cid:90)(cid:87)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:149)(cid:396)(cid:124)(cid:370)(cid:371)(cid:30)(cid:80)(cid:163)(cid:40)(cid:81)(cid:198)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:119)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:111)(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)7-3(cid:21)(cid:78)(cid:79)(cid:80)Rt (cid:28) =90°(cid:80) =13(cid:80) =5(cid:80) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:55)(cid:56) (cid:134) (cid:80)
= =90°(cid:80)△(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵𝐶 (cid:80)∠𝐴(cid:105)𝐶𝐵 = 𝐴 𝐵 (cid:110) 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)2
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:163)(cid:40)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:117) =12(cid:80)(cid:56)(cid:83)(cid:210)(cid:51) (cid:134) (cid:211) (cid:159)(cid:41)F(cid:134)G(cid:80)(cid:35)(cid:36) (cid:119)
(cid:80)(cid:174)(cid:124) =𝐴𝐶 (cid:80) = =12𝐶(cid:80)𝐷 𝐶𝐸= 𝐴𝐵(cid:80) = =5(cid:80)(cid:117)△(cid:118)𝐴𝐷𝐶(cid:149)≌△𝐴𝐷𝐹(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
(cid:186)△(cid:123)𝐵𝐸(cid:33)𝐶(cid:34)≌(cid:125)△(cid:120)𝐵𝐸(cid:110)𝐺 𝐶𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐹 𝐶𝐸 𝐸𝐺 𝐵𝐶 𝐵𝐺 𝐷𝐸 △𝐴𝐹𝐺
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10) =90°(cid:80) =13(cid:80) =5(cid:80)
= 13 ∵5∠𝐴=𝐶𝐵12(cid:80) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
2 2
∴(cid:56)𝐴(cid:83)𝐶(cid:210)(cid:51) (cid:134)− (cid:211) (cid:159)(cid:41)F(cid:134)G(cid:80)
𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐵
(cid:56)(cid:83)(cid:55)(cid:56) (cid:80) = =90°(cid:80)(cid:192) = (cid:80)
∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴(𝐶ASA∠)𝐴(cid:80)𝐷𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴=𝐷𝐶≌(cid:80)△𝐴𝐷=𝐹 =12(cid:80)
∴(cid:253)𝐶(cid:138)𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐹(ASA)(cid:80)
=△𝐵𝐸(cid:80)𝐶≌△=𝐵𝐸𝐺 =5(cid:80)
∴𝐶𝐸(cid:149)𝐸𝐺 𝐵𝐶(cid:32)(cid:28)𝐵(cid:29)𝐺(cid:30)(cid:80)
∴𝐷𝐸
=
△1 𝐴𝐹
(cid:80)
𝐺
2
∴𝐷𝐸 𝐹𝐺
= + =12+ =4(cid:80)
∵𝐹𝐺
=
𝐴1𝐹
×4
𝐵
=
𝐺
2
−
(cid:80)
𝐴𝐵 5−13
2
∴𝐷𝐸(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:82)(cid:10)2(cid:110)
(cid:15)(cid:41)(cid:129)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:35)(cid:36) (cid:149) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110) 𝐷𝐸 △𝐴𝐹𝐺
【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】
(cid:15)(cid:63)8(cid:21)(cid:64)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:179)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80) =3(cid:80) =6(cid:80)(cid:55)
△𝐴𝐵1𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
(cid:181)(cid:203)(cid:31)(cid:87)(cid:41)D(cid:80) =2(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:56)(cid:83)(cid:143)(cid:41)C(cid:80)D(cid:82)(cid:246)(cid:364)(cid:80)(cid:19)(cid:159) (cid:32)(cid:51)(cid:82)(cid:200)(cid:410)(cid:250)(cid:411)(cid:80)(cid:49)(cid:411)(cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41)E(cid:119)
2
F(cid:80)(cid:250)(cid:58)(cid:30) (cid:211)𝐴𝐷(cid:159)(cid:41)P(cid:80)(cid:47)(cid:48)𝐶𝐷 (cid:110)(cid:97)(cid:30)(cid:74) (cid:98)(cid:41)A(cid:99)(cid:100)(cid:80)(cid:105)(cid:158)(cid:30)𝐶𝐷(cid:74) (cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:251)(cid:305)(cid:28)(cid:80)(cid:30)(cid:74) (cid:32)(cid:107)(cid:19)(cid:109)
(cid:149) (cid:110)𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐵𝑃 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝑃
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)3 2+1
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:294)(cid:350)(cid:250)(cid:79)---(cid:57)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:43)(cid:3)(cid:59)(cid:33)(cid:107)(cid:109)(cid:81)(cid:54)
(cid:144)(cid:41)(cid:80)(cid:355)(cid:356)(cid:250)(cid:124)(cid:370)(cid:371)(cid:30)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)M(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80) (cid:80)(cid:187)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) (cid:80)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) (cid:80)(cid:158) (cid:28)(cid:80)(cid:114)(cid:25)
(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶(cid:25)(cid:43)(cid:3)(cid:59)(cid:125)(cid:120)(cid:33)(cid:34)𝑃𝑀(cid:107)(cid:109)𝐵(cid:110)𝑀 𝐵𝑀 𝑃𝑀 △𝐵𝑃𝑀
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:114)(cid:250)(cid:79)(cid:120)(cid:54) (cid:57)(cid:58)(cid:55)(cid:56) (cid:110)(cid:78)(cid:79)1(cid:80)(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)M(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80) (cid:110)
=90°(cid:80) =3(cid:80)𝐸𝐹 =6(cid:80) 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝑃𝑀 𝐵𝑀
∵∠𝐴𝐶𝐵 1 𝐵𝐶 𝐴𝐶
= = =3(cid:80)
2
∴𝐴𝑀 𝐶𝑀 𝐴𝐶
= + = 3 +3 =3 2(cid:110)
2 2 2 2
∴P𝐵(cid:80)𝑀M(cid:56)𝐶(cid:83)𝑀(cid:149) 𝐵(cid:80)𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ 1 𝐶𝐷 𝐴𝐶
= =1(cid:110)
2
∴𝑃𝑀 𝐴𝐷
+ =3 2+1
∵(cid:78)𝐵𝑃(cid:79)≤2𝐵(cid:80)𝑀(cid:121) 𝑃𝑀(cid:158) (cid:68)(cid:392)(cid:80)(cid:188)B(cid:80)M(cid:80)P(cid:25)(cid:41)(cid:412)(cid:30)(cid:122)(cid:80) (cid:31)(cid:107)(cid:19)(cid:109)(cid:80)(cid:107)(cid:19)(cid:109)(cid:82) + =3 2+1(cid:110)
∴(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:82)(cid:10)3𝐴𝐷2+𝐴1(cid:110)𝐶 𝐵𝑃 𝐵𝑀 𝑀𝑃(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-1(cid:21)(cid:64)24-25(cid:153)(cid:66)(cid:67)·(cid:207)(cid:256)(cid:413)(cid:414)·(cid:157)(cid:170)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80) = =12cm(cid:80)(cid:41)D(cid:82)
(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:97)(cid:87)(cid:245)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:415)(cid:32)(cid:58)(cid:26)(cid:416)(cid:41)(cid:417)(cid:158)(cid:41)D(cid:303)(cid:80)△(cid:58)𝐴(cid:26)𝐵(cid:43)𝐶 (cid:32)∠(cid:41)𝐴𝐶E𝐵(cid:158)(cid:43) (cid:84)𝐶𝐴(cid:80) 𝐶𝐵=7cm(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:105)𝐶𝐵
(cid:32)(cid:51)(cid:82) cm(cid:110) 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹
𝐵𝐹
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(6 2 )
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)−7(cid:132)(cid:133)(cid:81)(cid:198)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:213)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:184)(cid:137)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:110)(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)K(cid:80)(cid:47)
(cid:48) (cid:80)(cid:35)(cid:36) (SAS)(cid:80)(cid:117)(cid:118) = (cid:80)(cid:33)(cid:124) (cid:32)(cid:51)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:118) (cid:110) 𝐴𝐵
(cid:15)𝐷(cid:126)𝐾(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)△(cid:60)𝐸𝐷𝐾(cid:32)≌(cid:28)△(cid:41)𝐹𝐷K𝐵(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80) 𝐾𝐸 𝐵𝐹 𝐾𝐸 𝐵𝐹
𝐴𝐵 𝐷𝐾
(cid:41)D(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:41)K(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵ (cid:149) 𝐵𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80) 𝐴𝐵
∴𝐷𝐾
=
△1 𝐴𝐵
(cid:80)
𝐶
(cid:80)
2
∴𝐷𝐾 𝐶𝐴 𝐷𝐾∥𝐴𝐶
= (cid:80)(cid:41)D(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝐶𝐴 = 𝐶1𝐵 = 1 (cid:80) 𝐵𝐶
2 2
∴𝐵𝐷 𝐶𝐵 𝐶𝐴
= (cid:80)
∴𝐷𝐾 𝐵=𝐷90°(cid:80) (cid:80)
∵∠𝐴𝐶𝐵 =90°(cid:80)𝐷𝐾∥𝐴𝐶
∴∠𝐾𝐷𝐵+ = + =90°(cid:80)
∵∠𝐸𝐷𝐾=∠𝐾𝐷𝐹(cid:80)∠𝐹𝐷𝐵 ∠𝐾𝐷𝐹
∴∠𝐸𝐷𝐾 (cid:82)∠(cid:81)𝐹(cid:198)𝐷𝐵(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)
∵△𝐸=𝐷𝐹 (cid:80)
∴𝐷𝐸 𝐷𝐹 (SAS)(cid:80)
∴△𝐸=𝐷𝐾≌(cid:80)△𝐹𝐷𝐵
∴𝐾𝐸 𝐵=𝐹90°(cid:80) = =12cm(cid:80)
∵∠𝐴𝐶=𝐵12 2cm(cid:80)𝐶𝐴 𝐶𝐵
∴𝐴𝐵 =6 2cm(cid:80)
∴𝐴𝐾 = =6 2 (cm)(cid:80)
∴.𝐾𝐸=6𝐴𝐾2−𝐴𝐸(cm)(cid:80) −7
(cid:127)∴𝐵(cid:111)𝐹(cid:112)(cid:82)(cid:10)−(67 2 )(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-2(cid:21)(cid:78)(cid:79)−(cid:80)7(cid:53)(cid:54) (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80) = =4(cid:80)(cid:97)(cid:58)(cid:26)(cid:43) (cid:98)A(cid:41)(cid:183)(cid:122)(cid:418)(cid:99)(cid:100)(cid:387) (cid:80)(cid:47)
′
(cid:48) (cid:80)E(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)△(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵𝐶 (cid:80)(cid:105)∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵 (cid:107)(cid:19)(cid:109)(cid:82)𝐵(cid:64)𝐶 (cid:77)𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶
′ ′
𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐶𝐸
A(cid:110)4 2 B(cid:110)2 2+1 C(cid:110)2 2+2 D(cid:110)2 5+2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)C
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:58)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:134)(cid:143)(cid:173)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:54)(cid:144)(cid:80)(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)F(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80)
(cid:80)(cid:114)(cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:173)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) =2(cid:80)(cid:114)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:124) (cid:32)(cid:51)(cid:80)(cid:114)(cid:58)(cid:26)𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:33)(cid:124)𝐶𝐹
𝐸(cid:32)𝐹(cid:51)(cid:80)(cid:105)(cid:120)(cid:33)(cid:124)(cid:111)(cid:112)(cid:110) 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)(cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41)F(cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:80) (cid:80)
𝐴𝐵 𝐶𝐹 𝐸𝐹(cid:97)(cid:58)(cid:26)(cid:43) (cid:98)A(cid:41)(cid:183)(cid:122)(cid:418)(cid:99)(cid:100)(cid:387) (cid:80)
′
∵ = 𝐴=𝐶4(cid:80) 𝐴𝐶
′
∴E𝐴𝐶(cid:149) 𝐴𝐶(cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
′
∵ (cid:149)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)
′
∴𝐸𝐹
=
△1 𝐴𝐵𝐶
=2(cid:80)
2
′
∴𝐸𝐹 𝐴𝐶
(cid:158)Rt (cid:28)(cid:80) =90°(cid:80)
=△𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶=𝐵 4 +4 =4 2(cid:80)
2 2 2 2
∴F𝐴𝐵(cid:82) (cid:28)𝐴𝐶(cid:41)(cid:80)𝐵𝐶
∵
=
𝐴𝐵1
=2 2(cid:80)
2
∴𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:158) (cid:28)(cid:80)
△𝐸𝐹𝐶 + (cid:80)
∵𝐶𝐸≤𝐸2𝐹+2𝐶2𝐹(cid:80)
∴𝐶𝐸(cid:32)≤(cid:107)(cid:19)(cid:109)(cid:82)2+2 2(cid:80)
∴(cid:127)𝐶(cid:128)𝐸(cid:10)C(cid:110)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-3(cid:21)(cid:15)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:158) (cid:28)(cid:80)(cid:41)D(cid:80)E(cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:110)(cid:58)(cid:48)(cid:316)(cid:124) (cid:119) (cid:32)(cid:3)(cid:59)(cid:195)
(cid:15)(cid:39)(cid:40)(cid:21)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:28)(cid:80)(cid:41)E(cid:80)F(cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)(cid:196) =5(cid:80) =3(cid:80) =2(cid:80) =45°(cid:110)(cid:33)
(cid:32)(cid:298)(cid:320)(cid:195) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸
∠(cid:15)𝐴(cid:404)𝐷𝐶(cid:405)(cid:21)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:158)(cid:42)(cid:43)(cid:27) (cid:28)(cid:80) (cid:24) (cid:204)(cid:211)(cid:159)(cid:41)E(cid:80)(cid:41)M(cid:80)N(cid:56)(cid:83)(cid:82) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:211) (cid:134) (cid:159)(cid:41)F(cid:134)
G(cid:80) = (cid:110) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷,𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:33)(cid:35)𝐸(cid:10)𝐹 𝐸=𝐺 (cid:110)
𝐵𝐷 𝐴𝐶1
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(cid:15)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:21) (cid:80) = (cid:195)(cid:15)(cid:39)(cid:40)(cid:21)135°(cid:195)(cid:15)(cid:404)(cid:405)(cid:21)(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:34)(cid:113)
2
(cid:15)(cid:56)(cid:113)(cid:21)(cid:130)(cid:22)(cid:160)(cid:161)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐷(cid:28)𝐸(cid:29)∥𝐵(cid:30)𝐶(cid:137)(cid:138)𝐷𝐸(cid:80)(cid:135)(cid:136)𝐵𝐶(cid:137)(cid:138)(cid:183)(cid:137)(cid:138)(cid:80)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:184)(cid:137)(cid:119)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:149)(cid:34)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:110)
[(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)](cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:118)(cid:164)(cid:205)(cid:195)
[(cid:39)(cid:40)](cid:47)(cid:48) (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:118) (cid:80) = =4(cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:32)(cid:183)(cid:137)(cid:138)(cid:117)(cid:118) =90
°(cid:80)(cid:218)(cid:219)(cid:125)(cid:120)𝐵𝐷(cid:195) 𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐵𝐷 2𝐸𝐹 ∠𝐵𝐷𝐶
[(cid:404)(cid:405)](cid:60) (cid:32)(cid:28)(cid:41) (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:134) (cid:80)(cid:105) (cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:114)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:137)(cid:138)
𝐷𝐶 𝐻 1 𝑀𝐻 𝑁𝐻 𝑀𝐻 1𝑁𝐻 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷
(cid:120)(cid:117) (cid:188) = (cid:80) (cid:188) = (cid:80)(cid:185)(cid:186)(cid:81)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:115)(cid:116)(cid:125)(cid:120)(cid:117)(cid:164)(cid:205)(cid:110)
2 2
𝑀𝐻∥𝐴𝐶 𝑀𝐻 𝐴𝐶 𝑁𝐻∥𝐵𝐷 𝑁𝐻 𝐵𝐷
1
(cid:15)(cid:126)(cid:34)(cid:21)(cid:34)(cid:10)[(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:137)(cid:138)] (cid:80) = (cid:195)
2
(cid:138)(cid:114)(cid:10) (cid:41) (cid:80) (cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:80) 𝐷(cid:32)𝐸(cid:28)∥𝐵(cid:41)𝐶(cid:80)𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:149)∵ 𝐷 (cid:32)𝐸(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶 1
(cid:80) = (cid:195)
2
[∴(cid:39)𝐷(cid:40)𝐸]∥(cid:47)𝐵(cid:48)𝐶 𝐷(cid:80)𝐸(cid:78)(cid:79)𝐵(cid:178)𝐶(cid:189)(cid:80)
𝐵𝐷
(cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149)(cid:43) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝐸 𝐹 (cid:80) =𝐴𝐵 𝐴𝐷=4(cid:80)
∴𝐸𝐹∥𝐵𝐷= 𝐵𝐷 =2𝐸4𝐹5°(cid:80)
∴∠𝐴𝐷=𝐵5(cid:80)∠𝐴𝐹=𝐸3(cid:80)
∵𝐵𝐶 + 𝐶𝐷=25(cid:80) =25(cid:80)
2 2 2
∴𝐵𝐷 +𝐶𝐷 = (cid:80)𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐵𝐷 𝐶=𝐷90°(cid:80)𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐷𝐶= + =135°(cid:195)
[∴(cid:404)∠(cid:405)𝐴𝐷](cid:35)𝐶(cid:36)(cid:10)∠𝐴(cid:60)𝐷𝐵 (cid:32)∠(cid:28)𝐵(cid:41)𝐷𝐶 (cid:80)(cid:47)(cid:48) (cid:134) (cid:110)
𝐷𝐶 𝐻 𝑀𝐻 𝑁𝐻(cid:134) (cid:56)(cid:83)(cid:149) (cid:134) (cid:32)(cid:28)(cid:41)(cid:80)
∵𝑀 (cid:149)𝐻 𝐴(cid:32)𝐷(cid:28)(cid:29)𝐷𝐶(cid:30)(cid:80)
∴𝑀𝐻 △𝐴𝐷𝐶 1
(cid:188) = (cid:80)
2
∴𝑀𝐻∥𝐴𝐶 𝑀𝐻 𝐴𝐶
1
(cid:253)(cid:138)(cid:120)(cid:117) (cid:188) = (cid:110)
2
= 𝑁𝐻(cid:80)∥𝐵𝐷 𝑁𝐻 𝐵𝐷
∵𝐸𝐹 𝐸=𝐺 (cid:80)
∴∠𝐸𝐹𝐺 (cid:80)∠𝐸𝐺𝐹 (cid:80)
∵𝑀𝐻∥𝐴=𝐶 𝑁𝐻∥(cid:80)𝐵𝐷 = (cid:80)
∴∠𝐸𝐹𝐺 =∠𝐻𝑀𝑁 (cid:80)∠𝐸𝐺𝐹 ∠𝐻𝑁𝑀
∴∠𝐻𝑀=𝑁 ∠(cid:80)𝐻𝑁𝑀
∴𝑀𝐻= 𝑁𝐻(cid:110)
∴𝐴𝐶 𝐵𝐷