文档文本内容
专题 05 有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:21)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:21)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:21)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:21)................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:25)(cid:21)..............................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:21)..................................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:21)..............................................................................................................................................15
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:49)(cid:50)(cid:45)(cid:21)..................................................................................................................................................16
知识点一 有理数的计算技巧（1）对消与凑整 +
A
A
科
全
★
号
(cid:51)(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:44)(cid:56)(cid:32)(cid:57)(cid:36)(cid:58)(cid:51)(cid:59)(cid:60)(cid:28)(cid:44)(cid:55)(cid:44)(cid:56)(cid:32)(cid:57)(cid:36)(cid:61)众
公
注
关
，
源
知识点二 有理数的计算辅技巧资（2）归类与组合
教
(cid:51)(cid:62)(cid:30)(cid:44)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:44)(cid:66)(cid:67)(cid:44)(cid:68)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:36)(cid:58)(cid:51)(cid:40)(cid:69)(cid:44)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:40)(cid:62)(cid:66)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:55)(cid:44)(cid:56)(cid:32)(cid:57)(cid:36)(cid:61)
知识点三 有理数的计算技巧（3）活用运算律
(cid:35)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:58)(cid:65)(cid:80)(cid:81)(cid:69)(cid:58)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:83)(cid:79)(cid:58)(cid:51)(cid:84)(cid:85)(cid:55)(cid:44)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:36)(cid:61)
知识点四 有理数的计算技巧（4）裂项
(cid:89)(cid:90)(cid:55)(cid:38)(cid:39)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:51)(cid:91)(cid:39)(cid:86)(cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:66)(cid:96)(cid:39)(cid:55)(cid:59)(cid:66)(cid:97)(cid:58)(cid:98)(cid:86)(cid:71)(cid:99)(cid:55)(cid:39)(cid:100)(cid:101)(cid:99)(cid:102)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:103)
(cid:104)(cid:71)(cid:44)(cid:55)(cid:38)(cid:39)(cid:93)(cid:105)(cid:106)(cid:61)
知识点五 相互转化法
根据算式特点，将式子中的分数转化为(cid:107)(cid:44)，或小数转化为(cid:71)(cid:44)，统一后再进行运算(cid:61)
【题型1 对消与凑整】
(cid:15)(cid:108)1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:113)(cid:114)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:36) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1 (cid:119)
4 3 4 3
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−7(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:61)
(cid:129)(cid:51)(cid:130)(cid:45)(cid:47)(cid:48)(cid:60)(cid:52)(cid:45)(cid:58)(cid:131)(cid:99)(cid:35)(cid:34)(cid:52)(cid:45)(cid:55)(cid:132)(cid:133)(cid:37)(cid:59)(cid:56)(cid:32)(cid:37)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:56)(cid:140)(cid:119)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1
4 3 4 3
3 1 2 1
= + − − + − + −1 −(+6)
4 4 3 3
=1+(−2)−6
=−1−6
=−7
| |
(cid:15)(cid:77)(cid:143)1-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:144)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:145)(cid:17)(cid:146)(cid:147)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:57)(cid:36)1 2 + − 1 − − 1 + − 1
3 8 3 8
1
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)2 (cid:119)
4
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:35)(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:153)(cid:154)(cid:52)(cid:130)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:59)(cid:52)(cid:45)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:138)(cid:100)(cid:155)(cid:142).
| |
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)1 2 + − 1 − − 1 + − 1 +
3 8 3 8 A A
科
全
2 1 1 1 号 ★
=1 − + + 公 众
3 8 3 8 注
关
，
源
2 1 1 1 资
辅
= 1 + + − + 教
3 3 8 8
=2+0
=2
(cid:15)(cid:77)(cid:143)1-2(cid:21)(cid:63)23-24(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:147)(cid:156)(cid:157)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:57)(cid:36)(cid:10)−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2
21 21
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−5
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:130)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:37)(cid:59)(cid:56)(cid:32)(cid:37)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:130)(cid:158)(cid:32)
(cid:35)(cid:36)(cid:160)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)(cid:153)(cid:154)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:58)(cid:51)(cid:161)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:44)(cid:129)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:53)(cid:139)
19 2
−3.19+(−6.81) + 2 +2 (cid:58)(cid:162)(cid:134)(cid:91)(cid:163)(cid:57)(cid:36)(cid:58)(cid:138)(cid:53)(cid:120)(cid:121)(cid:61)
21 21
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)=−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2 (cid:61)
21 21
19 2
= −3.19+(−6.81) + 2 +2
21 21
=−10+5
=−5(cid:61)(cid:15)(cid:77)(cid:143)1-3(cid:21)(cid:63)2024(cid:165)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:170)(cid:124)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:36)(cid:10)
−2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1 (cid:119)
8 2 2
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)5
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:129)(cid:153)(cid:154)(cid:171)(cid:172)(cid:9)(cid:45)(cid:81)(cid:171)(cid:172)(cid:9)(cid:58)(cid:162)(cid:153)(cid:154)(cid:52)(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:37)(cid:59)(cid:56)(cid:32)(cid:37)(cid:136)(cid:137)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10) −2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1
8 2 2
1 1 1
= −2 +5−3 +1.125+4
8 2 2
1 1 1 1
= −2 +1 +5− 3 −4
8 8 2 2
=−1+5+1
=5(cid:119)
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:174)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
【题型2 归类与组合】
(cid:15)(cid:108)2(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)
A
+
A
科
全
★
(1) +35 7 + −23 4 (cid:119) 公 众 号
9 9 注
关
，
源
资
(2) −2018 5 + −2017 2 教+ 辅 −1 1 +4036(cid:61)
6 3 2
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)12 1
3
(2)−2
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68) +35 7 + −23 4
9 9
7 4
= (35)+ + (−23)+ −
9 9
7 4
= (35)+(−23) + + −
9 9
1
=12+
3
1
=12 (cid:119)
3
(cid:63)2(cid:68) −2018 5 + −2017 2 + −1 1 +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+ − + (−2017)+ − + (−1)+ − +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+(−2017)+(−1)+4036 + − + − + −
6 3 2=0+(−2)
=−2(cid:61)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)2-1(cid:21)(cid:34)(cid:136)(cid:137)(cid:175)(cid:45)(cid:57)(cid:36)(cid:10)−16+24+6 3 −18+4 4 +18−6.8−3.2(cid:61)
5 5
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)9 2
5
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:130)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:52)(cid:45)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:160)(cid:136)(cid:137)(cid:35)(cid:36)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:119)
(cid:89)(cid:90)(cid:55)(cid:52)(cid:130)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:175)(cid:45)(cid:127)(cid:10)(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:28)(cid:44)(cid:55)(cid:129)(cid:40)(cid:52)(cid:58)(cid:65)(cid:44)(cid:26)(cid:67)(cid:44)(cid:71)(cid:179)(cid:40)(cid:52)(cid:58)(cid:62)(cid:71)(cid:72)(cid:66)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:55)(cid:129)(cid:40)(cid:52)(cid:176)(cid:119)
(cid:46)(cid:60)(cid:40)(cid:69)(cid:44)(cid:55)(cid:95)(cid:180)(cid:44)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:72)(cid:95)(cid:180)(cid:44)(cid:160)(cid:95)(cid:180)(cid:107)(cid:44)(cid:71)(cid:179)(cid:56)(cid:32)(cid:40)(cid:52)(cid:58)(cid:181)(cid:99)(cid:162)(cid:40)(cid:52)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)=8+ 6 3 +4 4 +(18−18)−(6.8+3.2)
5 5
2
=8+11 −10
5
2
=9 (cid:61)
5
(cid:15)(cid:77)(cid:143)2-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:59)(cid:186)(cid:187)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:36)(cid:61) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
+
A
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)− 3 全 科 A
4 号 ★
众
公
注
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:57)(cid:36)(cid:119) 关
，
源
资
辅
(cid:153)(cid:154)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:52)(cid:130)(cid:45)(cid:57)(cid:36)教(cid:45)(cid:81)(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
3 1 1 2
= −3 +2 + −4 +5 −1
4 2 6 3
3 1 1
= −3 +2 +1 −1
4 2 2
3
= −3 +4−1
4
3
= −3 +3
4
3
=−
4
(cid:15)(cid:77)(cid:143)2-3(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )(cid:119)
4 2 8 8
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−7 3
4
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:190)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:93)(cid:150)(cid:151)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:61)
(cid:164)(cid:143)(cid:171)(cid:191)(cid:172)(cid:9)(cid:99)(cid:58)(cid:82)(cid:34)(cid:52)(cid:130)(cid:45)(cid:57)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:56)(cid:140)(cid:119)(cid:142)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2 +4 −4 −5
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2+4−4−5− + − −
4 2 8 8
2 4 1 7
=−7− + − −
8 8 8 8
3
=−7−
4
3
=−7
4
【题型3 活用运算律】
(cid:15)(cid:108)3(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5)(cid:61)
3
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−1000
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:93)(cid:10)
(cid:153)(cid:154)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:192)(cid:45)(cid:55)(cid:132)(cid:133)(cid:37)(cid:59)(cid:56)(cid:32)(cid:37)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:61) +
A
A
科
全
★
号
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5)公 众
3 注
关
，
源
1 资
辅
=(−0.25)×(−40)×(−3)×教− ×8×(−12.5)
3
=10×1×(−100)
=−1000
2 1 2
(cid:15)(cid:77)(cid:143)3-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:193)(cid:167)(cid:194)(cid:195)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:34)(cid:136)(cid:137)(cid:175)(cid:45)(cid:57)(cid:36)(cid:10) − − ×(−27)(cid:61)
9 3 27
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)5
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:93)(cid:142)(cid:120)(cid:149)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:82)(cid:34)(cid:192)(cid:45)(cid:71)(cid:196)(cid:37)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)= 2 ×(−27)− 1 ×(−27)− 2 ×(−27)=−6+9+2=5(cid:61)
9 3 27
(cid:15)(cid:77)(cid:143)3-2(cid:21)(cid:36)(cid:10)−9 12 ×12
13
1
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
4
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:190)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:93)(cid:150)(cid:151)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:61)
(cid:164)(cid:143)(cid:129)(cid:51)(cid:197)(cid:45)(cid:77)(cid:94)(cid:192)(cid:45)(cid:58)(cid:162)(cid:57)(cid:36)(cid:192)(cid:45)(cid:35)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:56)(cid:140)(cid:119)(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(−49)÷ 7 × 4 ÷(−32)
2 7
2 4 1
=(−49)× × ×(− )
7 7 32
1
=(−8)×(− )
32
1
=
4
(cid:15)(cid:77)(cid:143)3-3(cid:21)(cid:63)23-24(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:198)(cid:114)(cid:87)(cid:199)·(cid:87)(cid:11)(cid:124)(cid:200)(cid:68)(cid:201)(cid:202)(cid:136)(cid:137)(cid:201)(cid:202)(cid:36)
(1)2021×20222022−2022×20212021(cid:119)
1 1 1 1 1 1
(2)1 +2 +3 +4 +5 +6
2 4 8 16 32 64
2015 2016×2014
(3)
2016×2015−1
+
9 11 13 15 17 121212
(4) − + − + ×
20 30 42 56 72 131313
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)0
63
(2)21
+
64 A A
科
全
★
(3)1 众 号
公
注
关
，
1 源
(4) 资
3 辅
教
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)20222022=2022×10001(cid:58)20212021=2021×10001(cid:51)(cid:164)(cid:143)(cid:77)(cid:50)(cid:60)
2021×2022×10001−2022×2021×10001(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:120)(cid:121)(cid:119)
1 1
(cid:63)2(cid:68)(cid:51)(cid:164)(cid:143)(cid:129)(cid:52)(cid:112) (cid:58)(cid:162)(cid:130)(cid:171) (cid:58)(cid:153)(cid:154)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:52)(cid:130)(cid:57)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
64 64
(cid:63)3(cid:68)(cid:153)(cid:154)2016×2014=2016×(2015−1)(cid:58)(cid:82)(cid:34)(cid:192)(cid:45)(cid:55)(cid:71)(cid:196)(cid:37)(cid:51)(cid:71)(cid:203)(cid:77)(cid:50)(cid:60)2016×2015−1(cid:58)(cid:204)(cid:123)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:120)(cid:121)(cid:119)
(cid:63)3(cid:68)(cid:153)(cid:154) n n 1 = 1 + 1 (cid:129)(cid:51)(cid:172)(cid:9)(cid:182)(cid:55)(cid:143)(cid:203)(cid:77)(cid:50)(cid:60) 1 − 1 (cid:58)(cid:162)(cid:204)121212=12×10101(cid:58)131313=13×10101(cid:134)(cid:135)(cid:155)(cid:142)
n(n 1) n n 1 4 9
+ +
+ +
(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)2021×20222022−2022×20212021
=2021×2022×10001−2022×2021×10001
=0(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:142)(cid:10)1 1 +2 1 +3 1 +4 1 +5 1 +6 1
2 4 8 16 32 64
1 1 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 + −
2 4 8 16 32 64 64 641 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 −
2 4 8 16 32 32 64
1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +11 −
2 4 8 16 16 64
1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +15 −
2 4 8 8 64
1 1 1 1
=1 +2 +18 −
2 4 4 64
1 1 1
=1 +20 −
2 2 64
1
=22−
64
63
=21 (cid:119)
64
2015 2016×2014
(cid:63)3(cid:68)(cid:142)(cid:10)
2016×2015−1
+
2015+2016×(2015−1)
=
2016×2015−1
2015+2016×2015−2016
=
2016×2015−1
+
A
A
科
2016×2015−1 全
= 号 ★
2016×2015−1
公
众
注
关
，
=1(cid:119) 源
资
辅
教
(cid:63)4(cid:68)(cid:142)(cid:10) 9 − 11 + 13 − 15 + 17 × 121212
20 30 42 56 72 131313
4+5 5+6 6+7 7+8 8+9 121212
= − + − + ×
4×5 5×6 6×7 7×8 8×9 131313
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121212
= + − − + + − − + + ×
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 131313
1 1 121212
= + ×
4 9 131313
1 1 12×10101
= + ×
4 9 13×10101
13 12
= ×
36 13
1
= (cid:61)
3
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:136)(cid:137)(cid:57)(cid:36)(cid:58)(cid:159)(cid:177)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:40)(cid:3)(cid:57)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:59)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
【题型4 裂项相消】
(cid:15)(cid:108)4(cid:21)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:10)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 1 + 1 + 1 +…+ 1
1×2 2×3 3×4 2021×2022
(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)=1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…+ 1 − 1 =1− 1 = 2021
2 2 3 3 4 2021 2022 2022 2022
(cid:211)(cid:212)(cid:155)(cid:59)(cid:175)(cid:45)(cid:213)(cid:60)“(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:45)”(cid:58)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:123)(cid:45)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2 = (cid:61)
22−1 32−1 42−1 1002−1
14949
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
10100
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:129)(cid:57)(cid:36)(cid:71)(cid:72)(cid:58)(cid:162)(cid:153)(cid:154)“(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:45)”(cid:57)(cid:36)(cid:100)(cid:53)(cid:120)(cid:121)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2
22−1 32−1 42−1 1002−1
2 2 2 2
= + + +…+
3 8 15 9999
2 2 2 2
= + + +…+
1×3 2×4 3×5 99×101
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +…+ −
3 2 4 3 5 99 101
1 1 1
=1+ − −
2 100 101
+
A
= 14949 (cid:58) 全 科 A
10100 号 ★
众
公
注
14949 关
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10) (cid:61) ，
10100 资 源
辅
教
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:65)(cid:219)(cid:128)(cid:142)(cid:22)(cid:220)(cid:150)(cid:151)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:93)(cid:142)(cid:123)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)4-1(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +……+ 1 (cid:61)
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
49
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
99
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:45)(cid:138)(cid:100)(cid:142)(cid:120)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:221)(cid:22)(cid:220)(cid:53)(cid:10)
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +……+
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − + − + − + − + + − + − )
2 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 95 97 97 99
1 1 ⋯⋯
= ×(1− )
2 99
1 98
= ×
2 99
49
=
99(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:61)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)4-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:193)(cid:222)(cid:114)(cid:223)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 1 + 1 + 1 +...+ 1 (cid:61)
1×2×3 2×3×4 3×4×5 9×10×11
27
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
110
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:45)(cid:61)
(cid:51)(cid:224)(cid:225)(cid:36)(cid:143)(cid:76)(cid:226)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:95)(cid:180)(cid:227)(cid:228)(cid:28)(cid:44)(cid:229)(cid:55)(cid:50)(cid:143)(cid:58)(cid:162)(cid:134)(cid:135)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)= 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + + 1 × 1 + 1 × 1
1×2 3 2×3 4 3×4 5 8×9 10 9×10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯1 1 1 1 1 1
= 1− × + − × + − × + + − × + − ×
2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋯1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1× − × + × − × + × − × + + × − × + × − ×
3 2 3 2 4 3 4 3 5 4 5 8 10 9 10 9 11 10 11
1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1
= + + +…+ × − + +…+
1×3 2×4 3×5 9 10 2×3 3×4 10×11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= × 1− + − + − +…+ − − − + − +…+ −
2 3 2 4 3 5 9 11 2 3 3 4 10 11
1 1 1 1 1 1
= × 1+ − − − − +
2 2 10 11 2 11 A A
科
全
36 9 号 ★
= − 公 众
55 22 注
关
，
源
资
= 27 (cid:61) 教 辅
110
(cid:15)(cid:77)(cid:143)4-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:230)(cid:110)(cid:111)(cid:207)·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:44)(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)·(cid:239)(cid:240)(cid:74)1808(cid:110)(cid:241)(cid:242)(cid:126)(cid:91)(cid:212)(cid:35)(cid:36)(cid:243)(cid:9)(cid:244)(cid:115)
(cid:192)(cid:58)(cid:34)“!”(cid:245)(cid:246)(cid:61)(cid:247)(cid:55)(cid:220)(cid:248)(cid:93)(cid:10)(cid:91)(cid:180)(cid:65)(cid:28)(cid:44)(cid:55)(cid:115)(cid:192)(cid:93)(cid:224)(cid:127)(cid:107)(cid:74)(cid:160)(cid:176)(cid:74)(cid:190)(cid:44)(cid:55)(cid:65)(cid:28)(cid:44)(cid:55)(cid:229)(cid:58)(cid:64)1!=1(cid:58)
5!=5×4×3×2×1(cid:61)(cid:65)(cid:28)(cid:44)N(cid:55)(cid:115)(cid:192)(cid:249)(cid:250)N!(cid:58)(cid:138)N!=1×2×3× ×N(cid:61)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:45)(cid:100)(cid:251)(cid:59)(cid:115)(cid:192)(cid:56)(cid:32)(cid:252)(cid:88)(cid:253)(cid:254)(cid:58)(cid:108)(cid:64)(cid:58)
(cid:255)(cid:256)(cid:100)(cid:251)(cid:257) 9 (cid:86)(cid:71)(cid:60)(cid:95)(cid:180)(cid:71)(cid:72)(cid:258)(cid:127)(cid:115)(cid:192)(cid:50)(cid:143)(cid:55)(cid:71)(cid:203)(cid:60)1 ⋯ (cid:55)(cid:71)(cid:44)(cid:55)(cid:97)(cid:58)(cid:138) 9 =10−1= 10 − 1 = 1 − 1 (cid:61)
10! 10! 10! 10! 10! 9! 10!
(cid:153)(cid:154)(cid:251)(cid:112)(cid:259)(cid:37)(cid:58)(cid:142)(cid:120)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:261)(cid:262)(cid:10)5!=________(cid:119)
6 7
(2)(cid:51) + (cid:48)(cid:136)(cid:60)(cid:95)(cid:180)(cid:71)(cid:72)(cid:258)(cid:127)(cid:115)(cid:192)(cid:50)(cid:143)(cid:55)(cid:71)(cid:203)(cid:60)1(cid:55)(cid:71)(cid:44)(cid:55)(cid:97)(cid:55)(cid:50)(cid:143)(cid:60)________(cid:119)
7! 8!
(3)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19 (cid:61)
2! 3! 4! 5! 19! 20!
⋯
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)120
1 1
(2) −
6! 8!
1
(3)1−
20!(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:263)(cid:264)(cid:40)(cid:192)(cid:45)(cid:70)(cid:265)(cid:143)(cid:71)(cid:142)(cid:142)(cid:91)(cid:266)(cid:267)(cid:83)(cid:175)(cid:268)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:70)(cid:115)(cid:192)(cid:55)(cid:35)(cid:34)(cid:176)(cid:182)(cid:269)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)
(cid:40)(cid:3)(cid:177)(cid:178)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:115)(cid:192)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:275)(cid:217)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:142)(cid:119)
(cid:63)3(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:63)2(cid:68)(cid:248)(cid:276)(cid:226)(cid:277)(cid:278)(cid:268)(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)5!=5×4×3×2×1=120(cid:58)
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)120(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:142)(cid:10) 6 + 7 =7−1+8−1
7! 8! 7! 8!
7 1 8 1
= − + −
7! 7! 8! 8!
1 1 1 1
= − + −
6! 7! 7! 8!
= 1 − 1 (cid:119)
6! 8!
(cid:63)3(cid:68)(cid:142)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19
+
2! 3! 4! 5! 19! 20! A A
科
全
⋯ ★
2−1 3−1 4−1 5−1 19−1 20−1 号
= + + + + + + 公 众
2! 3! 4! 5! 19! 20! 注
关
，
2 1 3 1 4 1⋯5 资1 源 19 1 20 1
= − + − + −教+辅 − + + − + −
2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 5! 19! 19! 20! 20!
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1
= − + − + − + − + + − + −
1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 18! 19! 19! 20!
1 1 ⋯
= −
1! 20!
1
=1− (cid:61)
20!
【题型5 错位相消】
(cid:15)(cid:108)5(cid:21)(cid:63)2025·(cid:147)(cid:114)(cid:279)(cid:280)·(cid:267)(cid:281)(cid:68)(cid:205)(cid:206)(cid:26)(cid:248)(cid:124)(cid:10)(cid:214)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:58)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:22)(cid:61)
(cid:15)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:21)(cid:285)(cid:217)(cid:91)(cid:270)(cid:78)(cid:79)(cid:286)(cid:208)(cid:287)(cid:55)(cid:91)(cid:208)(cid:44)(cid:213)(cid:60)(cid:44)(cid:208)(cid:58)(cid:44)(cid:208)(cid:55)(cid:91)(cid:92)(cid:50)(cid:143)(cid:100)(cid:251)(cid:226)(cid:94)(cid:10)a ,a ,a , ,a , (cid:58)(cid:91)(cid:92)(cid:288)(cid:58)
1 2 3 n
(cid:64)(cid:140)(cid:91)(cid:180)(cid:44)(cid:208)(cid:289)(cid:290)(cid:267)(cid:39)(cid:252)(cid:58)(cid:291)(cid:91)(cid:39)(cid:26)(cid:247)(cid:101)(cid:91)(cid:39)(cid:55)(cid:284)(cid:292)(cid:176)(cid:74)(cid:62)(cid:91)(cid:180)(cid:89)(cid:44)(cid:58)(cid:293)(cid:294)(cid:211)(cid:180)(cid:44)(cid:208)(cid:244)(cid:295)⋯(cid:176)(cid:284)(cid:44)⋯(cid:208)(cid:58)(cid:211)(cid:180)
(cid:89)(cid:44)(cid:244)(cid:295)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:55)(cid:7)(cid:284)(cid:58)(cid:7)(cid:284)(cid:75)(cid:89)(cid:34)q(cid:245)(cid:246)(cid:61)(cid:64)(cid:10)(cid:44)(cid:208)1,2,4,8, (cid:60)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:58)(cid:103)(cid:104)a =1,a =2(cid:58)(cid:7)(cid:284)(cid:60)q=2(cid:61)
1 2
(cid:153)(cid:154)(cid:251)(cid:112)(cid:209)(cid:210)(cid:58)(cid:142)(cid:120)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:22)(cid:10) ⋯
(cid:63)1(cid:68)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)3,9,27,…(cid:55)(cid:7)(cid:284)q(cid:60)_____(cid:58)(cid:290)5(cid:39)(cid:93)_____(cid:61)
(cid:15)(cid:7)(cid:143)(cid:296)(cid:297)(cid:21)(cid:64)(cid:140)(cid:91)(cid:180)(cid:44)(cid:208)a ,a ,a ,…,a ,…(cid:58)(cid:93)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:58)(cid:298)(cid:7)(cid:284)(cid:60)q(cid:58)(cid:293)(cid:294)(cid:153)(cid:154)(cid:270)(cid:271)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:10) a 2=q, a 3=q, a 4=q, …, a n+1=q.
1 2 3 n a 1 a 2 a 3 a n
(cid:224)(cid:251)a =a q,a =a q=a qq=a q2,a =a q=a q2=a q3,…
2 1 3 2 1 1 4 3 2 1
(cid:63)2(cid:68)(cid:204)(cid:123)⋅(cid:58)(cid:214)(cid:215)(cid:261)⋅ (cid:262)(cid:283)(cid:94)⋅ (cid:176)(cid:284)⋅ (cid:44)(cid:208)(cid:55)(cid:75)⋅ (cid:39)(cid:7)⋅ (cid:143)(cid:10)a⋅ =a _____(cid:61)
n 1
(cid:15)(cid:299)(cid:166)(cid:300)(cid:254)(cid:21)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:155)(cid:59)(cid:7)(cid:143)(cid:282)(cid:301)(cid:84)(cid:85)(cid:58)(cid:302)(cid:93)(cid:103)(cid:296)(cid:297)⋅(cid:278)(cid:268)——(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:130)(cid:45)(cid:58)(cid:303)(cid:248)(cid:304)(cid:305)(cid:70)(cid:50)(cid:143)(cid:306)(cid:187)(cid:61)(cid:207)(cid:307)
(cid:93)(cid:107)(cid:242)(cid:60)(cid:126)(cid:57)(cid:36)1+2+22+…+22019+22020(cid:55)(cid:292)(cid:58)(cid:308)(cid:34)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:10)
(cid:309)S=1+2+22+…+22019+22020 (cid:58)
(cid:81)2S=2+22+…+22020+22021 ①(cid:58)
(cid:310) (cid:53)2S−S=S=22021−1(cid:58)②
②S=1+①2+22+…+22019+22020=22021−1(cid:61)
(cid:15)∴ (cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:21)(cid:63)3(cid:68)(cid:214)(cid:275)(cid:217)(cid:107)(cid:242)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:155)3+32+33+…+32025(cid:55)(cid:292)(cid:61)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)3(cid:58)243(cid:119)(cid:63)2(cid:68)qn−1(cid:119)(cid:63)3(cid:68)
32026−3
2
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:312)(cid:270)(cid:271)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:192)(cid:175)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:128)(cid:142)(cid:22)(cid:220)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:313)(cid:104)(cid:225)(cid:277)(cid:55)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:55)(cid:270)(cid:271)(cid:138)(cid:100)(cid:155)(cid:142)(cid:119)
A
+
A
科
全
★
(cid:63)2(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:7)(cid:143)(cid:296)(cid:297)(cid:278)(cid:268)(cid:138)(cid:100)(cid:155)(cid:142)(cid:119)
众
号
公
注
关
(cid:63)3(cid:68)(cid:309)S=1+3+32+33+…+32025资(cid:153)(cid:154) 源 (cid:108)(cid:22) ， (cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:155)(cid:53) S=1+3+32+33+…+32025= 32026−1 (cid:58)(cid:138)(cid:100)(cid:155)(cid:142)(cid:61)
辅 2
教
∴
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:220)(cid:53)(cid:10)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)3,9,27,…(cid:55)(cid:7)(cid:284)q(cid:60)3(cid:58)(cid:290)5(cid:39)(cid:93)35=243(cid:119)
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)3(cid:58)243(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:220)(cid:53)(cid:10)(cid:176)(cid:284)(cid:44)(cid:208)(cid:55)(cid:75)(cid:39)(cid:7)(cid:143)(cid:10)a =a qn−1(cid:119)
n 1
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)qn−1 ⋅
(cid:63)3(cid:68)(cid:309)S=1+3+32+33+…+32025 (cid:58)
(cid:81)3S=3+32+…+32025+32026 (cid:58)①
− (cid:53)3S−S=2S=32026−1②(cid:58)
②
S=1
①
+3+32+33+…+32025=
32026−1
(cid:61)
2
∴
3+32+33+…+32025=S−1=
32026−3
(cid:61)
2
∴(cid:15)(cid:77)(cid:143)5-1(cid:21)(cid:155)11+112+113+…+112024(cid:55)(cid:292)(cid:61)
112025−11
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(cid:68)
10
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:309)S=11+112+113+…+112024 (cid:58)
①(cid:81)11S=112+113+…+112025 (cid:58)
− (cid:53)11S−S=10S=11202②5−11(cid:58)
②
S=1
①
1+112+113+…+112024=
112025−11
(cid:61)
10
∴
(cid:15)(cid:77)(cid:143)5-2(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
4 42 43 4n
⋅⋅⋅
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21) 1 − 1
3 3×4n
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:309)S= 1 + 1 + 1 +…+1 (cid:58)
4 42 43 4n
①
4S=1+ 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:58)
4 42 43 4n−1
②
− (cid:53)(cid:58)
② ①1
3S=1− (cid:58)
4n
S= 1 − 1 (cid:58)
3 3×4n
∴
(cid:218)(cid:164)(cid:143)= 1 3 − 3× 1 4n (cid:61) A A +
科
全
★
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:259)(cid:37)(cid:23)−(cid:44)(cid:264)(cid:55)(cid:77)(cid:48)(cid:30)(cid:58)(cid:142)(cid:311)(cid:149)(cid:22)(cid:55)众(cid:3)(cid:152)号(cid:93)(cid:314)(cid:219)(cid:134)(cid:135)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:259)(cid:37)(cid:57)(cid:36)(cid:61)
公
注
关
(cid:15)(cid:77)(cid:143)5-3(cid:21)(cid:142)(cid:311)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:22)(cid:10) 源 ，
资
辅
教
(1)(cid:57)(cid:36)(cid:10) 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8
2 2 2 2 2
(2)(cid:48)(cid:136)(cid:10)M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58(cid:61)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)1− 1
28
31×59 5
(2)
16
+
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:82)(cid:34)“(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:130)(cid:45)”(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:82)(cid:34)“(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:130)(cid:45)”(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)(cid:309)S= 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8 (cid:58)
2 2 2 2 2
(cid:81)2S=1+ 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +…+( 1 ) 7 (cid:58) ①
2 2 2 2
②
1
(cid:81) − (cid:58)(cid:53)(cid:10)2S−S=S=1− (cid:119)
28
(cid:63)2 ②(cid:68)(cid:142)①(cid:10) M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58 (cid:58)
5M=1×52+∵2×53+3×54+…+8×59 (cid:58) ①
∴ ②− (cid:58)(cid:53)(cid:10)
∴5M②−M①=(1×52+2×53+3×54+…+8×59)−(5+2×52+3×53+4×54+…+8×58)
=8×59−(5+52+53+…+58)(cid:58)
(cid:309)T=5+52+53+…+58(cid:58)
5T=52+53+…+59(cid:58)
∴5T−T=59−5(cid:58)
∴4T=59−5(cid:58)
∴ 59−5
T= (cid:58)
4
∴
(cid:164)(cid:143)=8×59−
59−5
(cid:58)
4
∴
4M=8×59−
59−5
(cid:58)
4
∴ 8×59 59 −5
M= −
4 16
∴
31×59 5
= (cid:61) +
16 + 科 A A
全
★
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:192)(cid:175)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:44)(cid:264)(cid:30)(cid:259)(cid:37)(cid:260)(cid:22)
众
(cid:58)“号(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:130)(cid:45)”(cid:55)(cid:35)(cid:34)(cid:58)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:93)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)“(cid:41)
公
注
关
(cid:42)(cid:40)(cid:130)(cid:45)”(cid:55)(cid:35)(cid:34)(cid:61) 源 ，
资
辅
教
【题型6 倒数法】
(cid:15)(cid:108)6(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:198)(cid:114)(cid:315)(cid:316)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:214)(cid:215)(cid:129)(cid:317)(cid:318)(cid:205)(cid:206)(cid:209)(cid:210)(cid:10)
1 2 1 1 2
(cid:57)(cid:36)(cid:10) − ÷ − + − (cid:61)
30 3 10 6 5
(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)(cid:55)(cid:43)(cid:44)(cid:93) 2 − 1 + 1 − 2 ÷ − 1
3 10 6 5 30
2 1 1 2
= − + − ×(−30)
3 10 6 5
2 1 1 2
= ×(−30)− ×(−30)+ ×(−30)− ×(−30)
3 10 6 5
=−20−(−3)+(−5)−(−12)
=−20+3−5+12
=−10(cid:61)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:143)=− (cid:61)
10
1 3 5 8 2
(cid:162)(cid:153)(cid:154)(cid:215)(cid:24)(cid:224)(cid:319)(cid:320)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:128)(cid:142)(cid:58)(cid:321)(cid:322)(cid:32)(cid:323)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:57)(cid:36)(cid:10) − ÷ − + − (cid:61)
70 10 14 35 71
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
8
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:55)(cid:270)(cid:271)(cid:142)(cid:120)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:197)(cid:45)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:55)(cid:324)(cid:34)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)(cid:55)(cid:43)(cid:44)(cid:93) 3 − 5 + 8 − 2 ÷ − 1
10 14 35 7 70
3 5 8 2
= − + − ×(−70)
10 14 35 7
3 5 8 2
=− ×70− ×70+ ×70− ×70
10 14 35 7
=−(21−25+16−20) =8(cid:61)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:143)= (cid:61)
8
1 1 3 2 2
(cid:15)(cid:77)(cid:143)6-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:198)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:136)(cid:137)(cid:57)(cid:36)(cid:10) − ÷ − + − (cid:61)
42 6 14 3 7
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)− 1
14
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)(cid:55)(cid:43)(cid:44)= 1 − 3 + 2 − 2 ÷ − 1 +
6 14 3 7 42 A A
科
全
1 3 2 2 号 ★
众
= − + − ×(−42) 公
6 14 3 7 注
关
，
源
资
=−7+9−28+12 辅
教
=−14(cid:58)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:143)=− (cid:61)
14
(cid:15)(cid:77)(cid:143)6-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:328)(cid:329)(cid:328)(cid:195)·(cid:148)(cid:104)(cid:68)(cid:57)(cid:36)(cid:10) − 1 ÷ 1 1 − 7 + 5
36 6 9 12
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)− 1
29
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:143)(cid:55)(cid:43)(cid:44)(cid:60)(cid:10) 1 1 − 7 + 5 ÷ − 1
6 9 12 36
7 7 5
= − + ×(−36)
6 9 12
7 7 5
= ×(−36)− ×(−36)+ ×(−36)
6 9 12
=−42+28−15
=−29(cid:58)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:143)=− (cid:61)
292
1 1 5 9 1
(cid:15)(cid:77)(cid:143)6-3(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10) − ÷ − + − − ×6 (cid:61)
56 8 14 28 4
1
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)
16
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:192)(cid:45)(cid:71)(cid:196)(cid:37)(cid:58)(cid:57)(cid:36)(cid:164)(cid:143)(cid:55)(cid:43)(cid:44)(cid:58)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:120)(cid:121)(cid:61)
2
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10) 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 ÷ − 1
8 14 28 4 56
1 5 9 1
= − + − ×6 ×(−56)
8 14 28 16
1 5 9 1
= ×(−56)− ×(−56)+ ×(−56)− ×6×(−56)
8 14 28 16
=−7+20−18+21
=16(cid:58)
2
− 1 ÷ 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 = 1 (cid:61)
56 8 14 28 4 16
∴
【题型7 相互转化】
(cid:15)(cid:108)7(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)
+
A
A
科
全
(1)(−3)÷ −1 3 ×75%÷ − 3 ×(−6)(cid:119) 号 ★
4 7 公 众
注
关
，
(2) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)(cid:119) 资 源
5 25 教 辅
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)18
(2)−5
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:52)(cid:130)(cid:192)(cid:197)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:160)(cid:35)(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:139)(cid:120)(cid:121)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)(−3)÷ −1 3 ×75%÷ − 3 ×(−6)
4 7
4 3 7
=3× × × ×6
7 4 3
=18(cid:119)
(cid:63)2(cid:68)(cid:142)(cid:10) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)
5 25
1 1
=− × ×25×10
5 10
=−5(cid:119)
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:52)(cid:130)(cid:192)(cid:197)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:160)(cid:35)(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:93)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)7-1(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)(cid:119)
4 8(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−1
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)
4 8
1 3 1 3
= +3 −3 −1
8 4 8 4
1 1 3 3
= −3 + 3 −1
8 8 4 4
=−3+2
=−1
(cid:15)(cid:77)(cid:143)7-2(cid:21)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:136)(cid:137)(cid:35)(cid:36)(cid:10)
−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%(cid:61)
4
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)−2.4
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%
4
=−3.61×0.75+0.61×0.75+(−0.2)×0.75
=0.75×(−3.61+0.61−0.2)
A
+
A
科
全
★
=0.75×(−3.2)
众
号
公
注
关
=−2.4(cid:61) 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:77)(cid:143)7-3(cid:21)(cid:57)(cid:36)(cid:10)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)25
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:159)(cid:117)(cid:150)(cid:151)(cid:40)(cid:3)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:81)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:82)(cid:34)(cid:192)(cid:45)(cid:71)(cid:196)(cid:37)(cid:134)(cid:135)(cid:57)(cid:36)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
1 1 1
=38× +17× +45×
4 4 4
1
= ×(38+17+45)
4
1
= ×100
4
=25(cid:61)
【题型8 图形法】
(cid:15)(cid:108)8(cid:21)(cid:68)(cid:44)(cid:50)(cid:56)(cid:32)(cid:93)(cid:142)(cid:311)(cid:44)(cid:11)(cid:260)(cid:22)(cid:55)(cid:91)(cid:212)(cid:105)(cid:189)(cid:55)(cid:248)(cid:330)(cid:175)(cid:45)(cid:61)(cid:209)(cid:210)(cid:91)(cid:10)(cid:331)(cid:155)1+2+4+8+16+ +230(cid:55)(cid:292)(cid:58)(cid:100)(cid:251)(cid:285)(cid:217)(cid:64)(cid:207)(cid:163)(cid:332)(cid:134)(cid:135)(cid:10)
(cid:333)S=1+2+4+8+16+ +230……⋯
(cid:176)(cid:143)(cid:95)(cid:334)(cid:62)(cid:335)(cid:192)(cid:251)⋯2(cid:58)(cid:53)2S=2①+4+8+16+32+ +231……
(cid:204) (cid:143)(cid:130)(cid:171) (cid:143)(cid:58)(cid:53)S=231−1(cid:58) 1+2+4+8+1⋯6+ +230=②231−1(cid:61)
(cid:209)(cid:210)②(cid:267)(cid:10)(cid:64)(cid:49)①1(cid:58)(cid:51)(cid:91)(cid:180)(cid:334)(cid:336)(cid:60)∴1(cid:55)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:337)(cid:338)⋯(cid:71)(cid:339)(cid:94)7(cid:180)(cid:340)(cid:71)(cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:93)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:340)
(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:93)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:221)(cid:123)(cid:30)(cid:296) 1 = 1 (cid:58) 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = ① 1− 1 (cid:61)
26 64 2 22 23 24 25 26 26
② ① ∴
(cid:205)(cid:206)(cid:209)(cid:210)(cid:58)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:10)
+
A
A
科
(1)(cid:82)(cid:34)(cid:209)(cid:210)(cid:91)(cid:319)(cid:320)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:58)(cid:214)(cid:215)(cid:155)(cid:277)1+5+52+53+54+ +520(cid:55)(cid:292)(cid:61)★ 全
号
众
公
(2)(cid:64)(cid:49)2(cid:58)(cid:342)(cid:285)(cid:211)(cid:202)(cid:55)(cid:175)(cid:143)(cid:343)(cid:228)(cid:71)(cid:339)(cid:207)，(cid:171)(cid:58) 关 (cid:344)(cid:209) 注 (cid:210)(cid:267) ⋯ (cid:55)(cid:345)(cid:241) 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:55)(cid:292)(cid:60)______(cid:61)
资 源 2 22 23 24 22023
辅
教
⋯
(3)(cid:75)(cid:278)(cid:11)(cid:118)(cid:209)(cid:210)(cid:91)(cid:70)(cid:209)(cid:210)(cid:267)(cid:58)(cid:321)(cid:322)(cid:215)(cid:346)(cid:347)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1 ______(cid:61)(cid:63)(cid:34)(cid:258)(cid:127)n(cid:55)(cid:143)(cid:203)(cid:245)(cid:246)(cid:68)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)
521−1
4
1
(2)1−
22023
1 1
(3) 1−
2 3n
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:44)(cid:264)(cid:55)(cid:259)(cid:37)(cid:77)(cid:48)(cid:58)(cid:258)(cid:192)(cid:175)(cid:55)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:128)(cid:142)(cid:22)(cid:220)(cid:58)(cid:219)(cid:270)(cid:44)(cid:264)(cid:55)(cid:77)(cid:48)(cid:187)(cid:106)(cid:93)(cid:142)
(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:348)(cid:177)(cid:129)(cid:155)(cid:277)5S(cid:58)(cid:162)(cid:40)(cid:130)(cid:58)(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:277)(cid:120)(cid:121)(cid:119)
1 1 1 1 1
(cid:63)2(cid:68)(cid:349)(cid:350)(cid:49)(cid:50)(cid:241)(cid:351)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) (cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) = (cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) = (cid:58)…(cid:58)(cid:352)(cid:353)(cid:340)(cid:71)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60)
2 22 4 23 8
① ② ③
1
(cid:58)(cid:154)(cid:123)(cid:259)(cid:37)(cid:142)(cid:120)(cid:138)(cid:100)(cid:119)
2n
(cid:63)3(cid:68)(cid:333)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:58)(cid:162)(cid:155)(cid:277)3T(cid:58)(cid:95)(cid:143)(cid:40)(cid:130)(cid:155)(cid:277)2T(cid:58)(cid:154)(cid:123)(cid:155)(cid:142)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)(cid:333)S=1+5+52+53+54+ +520 (cid:58)
⋯ ①(cid:176)(cid:143)(cid:95)(cid:334)(cid:62)(cid:335)(cid:192)(cid:251)5(cid:58)(cid:53)5S=5+52+53+54+ +521 (cid:58)
(cid:204) (cid:143)(cid:130)(cid:171) (cid:143)(cid:58)(cid:53)4S=521−1(cid:58) ⋯ ②
②521−1 ①
S= (cid:58)
4
∴
1+5+52+53+54+ +520=
521−1
(cid:119)
4
∴(cid:63)2(cid:68)(cid:142)(cid:10) (cid:65)(cid:175)(cid:50) ⋯ (cid:334)(cid:336)(cid:60)1(cid:58)
(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:307)∵(cid:229)(cid:60)1(cid:58)
∴ (cid:93)(cid:334)(cid:336)(cid:60)1(cid:55)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)
∵① 1
(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) (cid:58)
2
∴①
1 1 1 1
(cid:221)(cid:123)(cid:30)(cid:296) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) = (cid:58) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) = (cid:58)…
22 4 23 8
(cid:155) 1 + 1 + 1 ② + + 1 (cid:55)(cid:292)(cid:58)(cid:138) ③ (cid:60)(cid:155)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)(cid:339)(cid:207)(cid:171)(cid:262)(cid:354)(cid:340)(cid:71)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:58)
2 22 23 22023
∴ ⋯
1
(cid:123)(cid:335)(cid:355)(cid:356)(cid:352)(cid:353)(cid:340)(cid:71)(cid:307)(cid:229)(cid:60)(cid:10) (cid:58)
22023
+
∴ 1+ 1 + 1 + + 1 =1− 1 (cid:58) 全 科 A A
2 22 23 22023 22023 号 ★
众
公
∴ ⋯ 注
1 关
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)1− (cid:119) ，
22023
资
源
辅
教
(cid:63)3(cid:68)(cid:142)(cid:10)(cid:333)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:58)
3 32 33 3n
⋯ ①
(cid:176)(cid:143)(cid:95)(cid:334)(cid:62)(cid:335)(cid:192)3(cid:53)(cid:58)3T=1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:58)
3 32 33 3n−1
⋯ ②
1
(cid:204) (cid:143)(cid:130)(cid:171) (cid:143)(cid:58)(cid:53)2T=1− (cid:58)
3n
② ①
T= 1 1− 1 (cid:58)
2 3n
∴
1+ 1 + 1 + + 1 = 1 1− 1 (cid:58)
3 32 33 3n 2 3n
∴ ⋯
1 1
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10) 1− (cid:61)
2 3n
(cid:15)(cid:77)(cid:143)8-1(cid:21)(cid:64)(cid:49)(cid:58)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:55)(cid:334)(cid:336)(cid:60)1(cid:58)(cid:290)(cid:91)(cid:83)(cid:357)(cid:277)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:290)(cid:267)(cid:83)(cid:357)(cid:277)(cid:355)(cid:207)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:91)(cid:341)……(cid:251)(cid:123)(cid:30)
(cid:296)(cid:58)(cid:291)(cid:91)(cid:83)(cid:358)(cid:357)(cid:277)(cid:355)(cid:207)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:359)(cid:134)(cid:135)n(cid:83)(cid:211)(cid:202)(cid:55)(cid:360)(cid:250)(cid:61)(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:83)(cid:44) 1 2 3 n
(cid:355)(cid:207)(cid:49)(cid:50)(cid:55)
1
____ ____ ____
2
(cid:307)(cid:229)
(1)(cid:214)(cid:51)(cid:112)(cid:245)(cid:261)(cid:226)(cid:283)(cid:28)(cid:61)
(2)(cid:214)(cid:82)(cid:34)(cid:211)(cid:180)(cid:361)(cid:362)(cid:49)(cid:50)(cid:155) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:55)(cid:292)(cid:10)(cid:363) (cid:363)(cid:61)((cid:34)(cid:258)n(cid:55)(cid:364)(cid:44)(cid:143)(cid:245)(cid:246))
2 22 23 2n
⋯
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)(cid:90)(cid:141)(cid:142)
1
(2)1−
2n
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:192)(cid:175)(cid:55)(cid:324)(cid:34)(cid:58)(cid:208)(cid:364)(cid:44)(cid:143)(cid:58)(cid:91)(cid:266)(cid:91)(cid:83)(cid:175)(cid:268)(cid:55)(cid:324)(cid:34)(cid:58)(cid:307)(cid:229)(cid:45)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:61)
(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:220)(cid:261)(cid:245)(cid:138)(cid:100)(cid:61)
(cid:63)2(cid:68)(cid:164)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:71)(cid:94)(cid:174)(cid:180)(cid:107)(cid:336)(cid:175)(cid:50)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:365)(cid:59)(cid:60) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:58)(cid:204) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:138)(cid:100)(cid:53)(cid:277) 1 + 1 + 1 + + 1
2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n
⋯
(cid:55)(cid:292)(cid:61)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:142)(cid:10)(cid:112)(cid:245)(cid:261)(cid:226)(cid:64)(cid:207)(cid:10) A +
A
科
全
★
号
(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:83)(cid:44) 1 2 3 … n 公 众
注
关
，
源
资
(cid:355)(cid:207)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:307)(cid:229)
1教1辅1
…
1
2 4 8 2n
(cid:63)2(cid:68)(cid:142)(cid:10)(cid:164)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:71)(cid:94)(cid:174)(cid:180)(cid:107)(cid:336)(cid:175)(cid:50)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:365)(cid:59)(cid:60) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:58)
2 22 23 2n 2n
1+ 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:58)
2 22 23 2n 2n
∴
(cid:81) 1 + 1 + 1 +…+ 1 =1− 1 (cid:58)
2 22 23 2n 2n
1
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)1−
2n
(cid:119)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)8-2(cid:21)(cid:366)(cid:44)(cid:11)(cid:118)(cid:22)(cid:367)(cid:104)(cid:58)(cid:62)(cid:11)(cid:256)(cid:60)(cid:126)(cid:155) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:55)(cid:292)(cid:58)(cid:134)(cid:135)(cid:126)(cid:64)(cid:207)(cid:300)(cid:368)(cid:10)
2 22 23 24 25 2n
(cid:63)1(cid:68)(cid:369)(cid:62)(cid:11)(cid:309)(cid:57)(cid:64)(cid:49)1(cid:224)(cid:246)(cid:55)(cid:361)(cid:362)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:51)(cid:91)(cid:180)(cid:307)(cid:229)(cid:60)1(cid:55)(cid:336)(cid:175)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:24)(cid:370)(cid:61)
(cid:63)I(cid:68)(cid:155)(cid:49)1(cid:104)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:119)
(cid:63)II(cid:68)(cid:214)(cid:215)(cid:82)(cid:34)(cid:49)(cid:50) ④ (cid:155) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:55)(cid:292)(cid:119)
2 22 23 24 25
(cid:63)2(cid:68)(cid:214)(cid:215)(cid:82)(cid:34)(cid:371)(cid:34)(cid:49)(cid:58)(cid:162)(cid:309)(cid:57)(cid:91)(cid:180)(cid:161)(cid:155)(cid:26) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:55)(cid:292)(cid:55)(cid:361)(cid:362)(cid:49)(cid:50)(cid:61)
2 22 23 24 251 31
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:63)I(cid:68) (cid:119)(cid:63)II(cid:68) (cid:119)(cid:63)2(cid:68)(cid:90)(cid:142)(cid:122)(cid:61)
16 32
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:63)ⅰ(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:22)(cid:313)(cid:104)(cid:55)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:22)(cid:220)(cid:58)(cid:57)(cid:36)(cid:277)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:138)(cid:100)(cid:119)(cid:63)ⅱ(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:100)(cid:251)(cid:224)(cid:155)(cid:143)(cid:203)
(cid:55)(cid:292)(cid:138)(cid:100)(cid:119) ④
(cid:63)2(cid:68)(cid:51)(cid:336)(cid:175)(cid:50)(cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:180)(cid:372)(cid:176)(cid:55)(cid:279)(cid:373)(cid:50)(cid:58)(cid:131)(cid:99)(cid:343)(cid:228)(cid:71)(cid:339)(cid:95)(cid:180)(cid:107)(cid:91)(cid:106)(cid:55)(cid:372)(cid:176)(cid:279)(cid:373)(cid:50)(cid:58)(cid:221)(cid:83)(cid:343)(cid:228)(cid:71)(cid:339)(cid:138)(cid:100)(cid:138)(cid:100)(cid:142)
(cid:120)(cid:63)(cid:120)(cid:121)(cid:301)(cid:374)(cid:91)(cid:68)(cid:61)
4
1 1
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:142)(cid:10)(cid:63)1(cid:68)(cid:63)ⅰ(cid:68)(cid:204)(cid:22)(cid:220)(cid:100)(cid:53)(cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:93) = (cid:119)
2 16 +
A
A
科
(cid:63)ⅱ(cid:68)(cid:204)(cid:22)(cid:220)(cid:100)(cid:53)(cid:10) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =1− 1 = 31 (cid:119) ④ 号 ★ 全
2 22 23 24 25 25 32 众
公
注
关
(cid:63)2(cid:68)(cid:100)(cid:309)(cid:57)(cid:64)(cid:49)(cid:224)(cid:246)(cid:10) 源 ，
资
辅
教
(cid:63)(cid:120)(cid:121)(cid:301)(cid:374)(cid:91)(cid:58)(cid:243)(cid:32)(cid:22)(cid:220)(cid:138)(cid:100)(cid:68)(cid:61)
(cid:15)(cid:106)(cid:173)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:188)(cid:189)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:44)(cid:264)(cid:55)(cid:77)(cid:48)(cid:259)(cid:37)(cid:70)(cid:127)(cid:128)(cid:44)(cid:55)(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:106)(cid:58)(cid:242)(cid:219)(cid:22)(cid:220)(cid:282)(cid:375)(cid:33)(cid:82)(cid:34)(cid:44)(cid:50)(cid:56)(cid:32)(cid:55)
(cid:248)(cid:330)(cid:93)(cid:142)(cid:120)(cid:149)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:61)
(cid:15)(cid:77)(cid:143)8-3(cid:21)(cid:44)(cid:59)(cid:50)(cid:93)(cid:44)(cid:11)(cid:55)(cid:95)(cid:180)(cid:188)(cid:189)(cid:253)(cid:254)(cid:24)(cid:376)(cid:58)(cid:255)(cid:256)(cid:377)(cid:89)(cid:35)(cid:34)(cid:44)(cid:50)(cid:56)(cid:32)(cid:70)(cid:44)(cid:50)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:142)(cid:311)(cid:91)(cid:378)(cid:44)(cid:11)(cid:260)
(cid:22)(cid:61)(cid:207)(cid:307)(cid:255)(cid:256)(cid:88)(cid:300)(cid:254)“(cid:204)(cid:44)(cid:248)(cid:50)(cid:58)(cid:251)(cid:50)(cid:379)(cid:44)”(cid:55)(cid:175)(cid:45)(cid:366)(cid:142)(cid:311)(cid:364)(cid:44)(cid:260)(cid:22)(cid:104)(cid:55)(cid:324)(cid:34)(cid:61)
(cid:64)(cid:49)(cid:58)(cid:51)(cid:91)(cid:180)(cid:334)(cid:336)(cid:60)1(cid:55)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:71)(cid:339)(cid:94)7(cid:180)(cid:340)(cid:71)(cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:93)(cid:334)(cid:336)(cid:60)1(cid:55)(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:340)(cid:71)
(cid:93)(cid:340)(cid:71) (cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:340)(cid:71) (cid:93)(cid:340)(cid:71) (cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)(cid:221)(cid:83)(cid:30)①(cid:296)(cid:61) ②
① ③ ②(1)(cid:49)(cid:104)(cid:352)(cid:353)(cid:340)(cid:71)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60)(cid:363)(cid:363)(cid:119)
(2)(cid:344)(cid:123)(cid:345)(cid:241)(cid:58)(cid:53)(cid:139) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:380)(cid:363)(cid:363)(cid:119)
2 4 8 26
⋯
(3)(cid:381)(cid:382)(cid:324)(cid:34)(cid:10)(cid:53)(cid:139) 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + + 1 × 2 (cid:380)(cid:363)(cid:363)(cid:63)(cid:272)(cid:273)(cid:226)(cid:277)(cid:120)(cid:121)(cid:138)(cid:100)(cid:68)(cid:61)
3 3 3 32 3 33 3 32023 3
⋯
1
(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(1)
64
63
(2)
64
1
(3)1−
32024
A
A +
科
全
★
(cid:15)(cid:71)(cid:122)(cid:21)(cid:149)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:49)(cid:50)(cid:77)(cid:48)(cid:55)(cid:259)(cid:37)(cid:58)(cid:44)(cid:50)(cid:56)(cid:32)(cid:248)(cid:330)(cid:55)(cid:305)(cid:383)(cid:35)号(cid:34)(cid:93)(cid:142)(cid:22)(cid:55)(cid:3)(cid:152)(cid:119)
众
公
注
关
(cid:63)1(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:49)(cid:104)(cid:279)(cid:373)(cid:50)(cid:307)(cid:229)(cid:365)(cid:384)(cid:55)(cid:3)源(cid:385)(cid:138)，(cid:100)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:119)
资
辅
教
(cid:63)2(cid:68)(cid:82)(cid:34)(cid:44)(cid:50)(cid:56)(cid:32)(cid:55)(cid:248)(cid:330)(cid:138)(cid:100)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:119)
(cid:63)3(cid:68)(cid:153)(cid:154)(cid:63)3(cid:68)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:386)(cid:138)(cid:100)(cid:142)(cid:311)(cid:260)(cid:22)(cid:119)
(cid:15)(cid:141)(cid:142)(cid:21)(cid:63)1(cid:68)(cid:204)(cid:22)(cid:177)(cid:58)
(cid:65)(cid:175)(cid:50)(cid:291)(cid:83)(cid:387)(cid:71)(cid:339)(cid:55)(cid:340)(cid:71)(cid:93)(cid:101)(cid:91)(cid:340)(cid:71)(cid:307)(cid:229)(cid:55)(cid:91)(cid:341)(cid:58)
(cid:224)(cid:251)(cid:49)(cid:104)(cid:352)(cid:353)(cid:340)(cid:71)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:26)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:40)(cid:176)(cid:61)
1 1 ⑥
(cid:388)(cid:265)(cid:60)(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60)(cid:10) = (cid:58)
2 21
(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307) ① (cid:229)(cid:60)(cid:10) 1 × 1 = 1 = 1 (cid:58)
2 2 4 22
②
(cid:340)(cid:71) (cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60)(cid:10) 1 × 1 × 1 = 1 = 1 (cid:58)
2 2 2 8 23
…(cid:58)③
1
(cid:221)(cid:83)(cid:30)(cid:49)(cid:58)(cid:340)(cid:71)n(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) (cid:61)
2n
(cid:389)n=6(cid:335)(cid:58)
1 = 1 = 1 (cid:61)
2n 26 641
(cid:224)(cid:251)(cid:352)(cid:353)(cid:340)(cid:71)(cid:55)(cid:307)(cid:229)(cid:60) (cid:61)
64
1
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10) (cid:61)
64
(cid:63)2(cid:68)(cid:204)(cid:63)1(cid:68)(cid:177)(cid:58)
1 + 1 + 1 + + 1 + 1 =1(cid:58)
2 22 23 26 26
⋯
(cid:224)(cid:251) 1 + 1 + 1 + + 1 =1− 1 = 63 (cid:61)
2 4 8 26 26 64
⋯
63
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10) (cid:61)
64
(cid:63)3(cid:68)(cid:204)(cid:22)(cid:177)(cid:58)
(cid:164)(cid:143)= 2 × 1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:61)
3 3 32 33 32023
⋯
(cid:333)S=1+ 1 + 1 + + 1 (cid:58)
3 32 32023
⋯ ①
(cid:81) 1 S= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:58)
3 3 32 33 32024
⋯ ②
- (cid:53)(cid:58) A +
A
科
全
★
①2 3 s=1 ② − 32 1 024 (cid:58) 注 公 众 号
关
，
源
(cid:138)S= 3 − 1 (cid:58) 教 辅 资
2 2×32023
(cid:224)(cid:251)(cid:164)(cid:143)= 2 × 3 − 1
3 2 2×32023
1
=1− (cid:61)
32024
1
(cid:218)(cid:120)(cid:121)(cid:60)(cid:10)1− (cid:61)
32024
