文档文本内容
专题 05 有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:19)................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:23)(cid:19)..............................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:19)..................................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..............................................................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:47)(cid:48)(cid:43)(cid:19)..................................................................................................................................................16
知识点一 有理数的计算技巧（1）对消与凑整
科AA+
全
(cid:49)(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:54)(cid:30)(cid:55)(cid:34)(cid:56)(cid:49)(cid:57)(cid:58)(cid:26)(cid:42)(cid:53)(cid:42)(cid:54)(cid:30)(cid:55)(cid:34)(cid:59) 号★
众
公
注
关
，
源
知识点二 有理数的计算技教巧（辅2） 资 归类与组合
(cid:49)(cid:60)(cid:28)(cid:42)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:42)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:34)(cid:56)(cid:49)(cid:38)(cid:67)(cid:42)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:60)(cid:64)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:69)(cid:53)(cid:42)(cid:54)(cid:30)(cid:55)(cid:34)(cid:59)
知识点三 有理数的计算技巧（3）活用运算律
(cid:33)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:33)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:56)(cid:63)(cid:78)(cid:79)(cid:67)(cid:56)(cid:80)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:81)(cid:77)(cid:56)(cid:49)(cid:82)(cid:83)(cid:53)(cid:42)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:34)(cid:59)
知识点四 有理数的计算技巧（4）裂项
(cid:87)(cid:88)(cid:53)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:49)(cid:89)(cid:37)(cid:84)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:64)(cid:94)(cid:37)(cid:53)(cid:57)(cid:64)(cid:95)(cid:56)(cid:96)(cid:84)(cid:69)(cid:97)(cid:53)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:97)(cid:100)(cid:23)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:101)
(cid:102)(cid:69)(cid:42)(cid:53)(cid:36)(cid:37)(cid:91)(cid:103)(cid:104)(cid:59)
知识点五 相互转化法
根据算式特点，将式子中的分数转化为(cid:105)(cid:42)，或小数转化为(cid:69)(cid:42)，统一后再进行运算(cid:59)
【题型1 对消与凑整】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:55)(cid:34) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1 (cid:117)
4 3 4 3
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−7(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:59)
(cid:127)(cid:49)(cid:128)(cid:43)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:50)(cid:43)(cid:56)(cid:129)(cid:97)(cid:33)(cid:32)(cid:50)(cid:43)(cid:53)(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:57)(cid:54)(cid:30)(cid:35)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:54)(cid:138)(cid:117)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1
4 3 4 3
3 1 2 1
= + − − + − + −1 −(+6)
4 4 3 3
=1+(−2)−6
=−1−6
=−7
| |
(cid:15)(cid:75)(cid:141)1-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:142)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:55)(cid:34)1 2 + − 1 − − 1 + − 1
3 8 3 8
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)2 (cid:117)
4
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:56)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:33)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:152)(cid:153)(cid:50)(cid:128)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:57)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:136)(cid:98)(cid:154)(cid:140).
| |
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)1 2 + − 1 − − 1 + − 1
3 8 3 8 科AA+
2 1 1 1 号★ 全
=1 3 − 8 + 3 + 8 注 公 众
关
，
源
2 1 1 1 辅 资
教
= 1 + + − +
3 3 8 8
=2+0
=2
(cid:15)(cid:75)(cid:141)1-2(cid:19)(cid:61)23-24(cid:107)(cid:108)(cid:109)·(cid:110)(cid:146)(cid:155)(cid:156)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:55)(cid:34)(cid:10)−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2
21 21
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−5
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:128)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:43)(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:57)(cid:54)(cid:30)(cid:35)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:128)(cid:157)(cid:30)
(cid:33)(cid:34)(cid:159)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:43)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)(cid:152)(cid:153)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:50)(cid:43)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:49)(cid:160)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:42)(cid:127)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:51)(cid:137)
19 2
−3.19+(−6.81) + 2 +2 (cid:56)(cid:161)(cid:132)(cid:89)(cid:162)(cid:55)(cid:34)(cid:56)(cid:136)(cid:51)(cid:118)(cid:119)(cid:59)
21 21
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)=−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2 (cid:59)
21 21
19 2
= −3.19+(−6.81) + 2 +2
21 21
=−10+5
=−5(cid:59)(cid:15)(cid:75)(cid:141)1-3(cid:19)(cid:61)2024(cid:164)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)·(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:169)(cid:122)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:55)(cid:34)(cid:10)
−2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1 (cid:117)
8 2 2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)5
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:127)(cid:152)(cid:153)(cid:170)(cid:171)(cid:9)(cid:43)(cid:79)(cid:170)(cid:171)(cid:9)(cid:56)(cid:161)(cid:152)(cid:153)(cid:50)(cid:43)(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:57)(cid:54)(cid:30)(cid:35)(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10) −2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1
8 2 2
1 1 1
= −2 +5−3 +1.125+4
8 2 2
1 1 1 1
= −2 +1 +5− 3 −4
8 8 2 2
=−1+5+1
=5(cid:117)
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
【题型2 归类与组合】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)
科AA+
全
(1) +35
7
+ −23
4
(cid:117) 众
号★
9 9 注 公
关
，
源
资
(2) −2018 5 + −2017 2 + −1 教1 + 辅 4036(cid:59)
6 3 2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)12 1
3
(2)−2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66) +35 7 + −23 4
9 9
7 4
= (35)+ + (−23)+ −
9 9
7 4
= (35)+(−23) + + −
9 9
1
=12+
3
1
=12 (cid:117)
3
(cid:61)2(cid:66) −2018 5 + −2017 2 + −1 1 +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+ − + (−2017)+ − + (−1)+ − +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+(−2017)+(−1)+4036 + − + − + −
6 3 2=0+(−2)
=−2(cid:59)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)2-1(cid:19)(cid:32)(cid:134)(cid:135)(cid:174)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:10)−16+24+6 3 −18+4 4 +18−6.8−3.2(cid:59)
5 5
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)9 2
5
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:128)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:159)(cid:134)(cid:135)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:117)
(cid:87)(cid:88)(cid:53)(cid:50)(cid:128)(cid:43)(cid:134)(cid:135)(cid:174)(cid:43)(cid:125)(cid:10)(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:26)(cid:42)(cid:53)(cid:127)(cid:38)(cid:50)(cid:56)(cid:63)(cid:42)(cid:24)(cid:65)(cid:42)(cid:69)(cid:178)(cid:38)(cid:50)(cid:56)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:64)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:69)(cid:53)(cid:127)(cid:38)(cid:50)(cid:175)(cid:117)
(cid:44)(cid:58)(cid:38)(cid:67)(cid:42)(cid:53)(cid:93)(cid:179)(cid:42)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:93)(cid:179)(cid:42)(cid:159)(cid:93)(cid:179)(cid:105)(cid:42)(cid:69)(cid:178)(cid:54)(cid:30)(cid:38)(cid:50)(cid:56)(cid:180)(cid:97)(cid:161)(cid:38)(cid:50)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)=8+ 6 3 +4 4 +(18−18)−(6.8+3.2)
5 5
2
=8+11 −10
5
2
=9 (cid:59)
5
(cid:15)(cid:75)(cid:141)2-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:57)(cid:185)(cid:186)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:55)(cid:34)(cid:59) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)− 3 科AA+
4 全
号★
众
公
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:55)(cid:34)(cid:117) 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:152)(cid:153)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:50)(cid:128)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
3 1 1 2
= −3 +2 + −4 +5 −1
4 2 6 3
3 1 1
= −3 +2 +1 −1
4 2 2
3
= −3 +4−1
4
3
= −3 +3
4
3
=−
4
(cid:15)(cid:75)(cid:141)2-3(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )(cid:117)
4 2 8 8
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−7 3
4
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:91)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:59)
(cid:163)(cid:141)(cid:170)(cid:190)(cid:171)(cid:9)(cid:97)(cid:56)(cid:80)(cid:32)(cid:50)(cid:128)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:54)(cid:138)(cid:117)(cid:140)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2 +4 −4 −5
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2+4−4−5− + − −
4 2 8 8
2 4 1 7
=−7− + − −
8 8 8 8
3
=−7−
4
3
=−7
4
【题型3 活用运算律】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5)(cid:59)
3
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−1000
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:91)(cid:10)
(cid:152)(cid:153)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:191)(cid:43)(cid:53)(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:57)(cid:54)(cid:30)(cid:35)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
科AA+
全
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5) 众 号★
公
3 注
关
，
源
1 辅 资
教
=(−0.25)×(−40)×(−3)× − ×8×(−12.5)
3
=10×1×(−100)
=−1000
2 1 2
(cid:15)(cid:75)(cid:141)3-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:192)(cid:166)(cid:193)(cid:194)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:32)(cid:134)(cid:135)(cid:174)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:10) − − ×(−27)(cid:59)
9 3 27
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)5
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:91)(cid:140)(cid:118)(cid:148)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:80)(cid:32)(cid:191)(cid:43)(cid:69)(cid:195)(cid:35)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)= 2 ×(−27)− 1 ×(−27)− 2 ×(−27)=−6+9+2=5(cid:59)
9 3 27
(cid:15)(cid:75)(cid:141)3-2(cid:19)(cid:34)(cid:10)−9 12 ×12
13
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
4
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:91)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:59)
(cid:163)(cid:141)(cid:127)(cid:49)(cid:196)(cid:43)(cid:75)(cid:92)(cid:191)(cid:43)(cid:56)(cid:161)(cid:55)(cid:34)(cid:191)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:54)(cid:138)(cid:117)(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(−49)÷ 7 × 4 ÷(−32)
2 7
2 4 1
=(−49)× × ×(− )
7 7 32
1
=(−8)×(− )
32
1
=
4
(cid:15)(cid:75)(cid:141)3-3(cid:19)(cid:61)23-24(cid:107)(cid:108)(cid:109)·(cid:197)(cid:112)(cid:85)(cid:198)·(cid:85)(cid:11)(cid:122)(cid:199)(cid:66)(cid:200)(cid:201)(cid:134)(cid:135)(cid:200)(cid:201)(cid:34)
(1)2021×20222022−2022×20212021(cid:117)
1 1 1 1 1 1
(2)1 +2 +3 +4 +5 +6
2 4 8 16 32 64
2015 2016×2014
(3)
2016×2015−1
+
9 11 13 15 17 121212
(4) − + − + ×
20 30 42 56 72 131313
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)0
63
(2)21
64
科AA+
全
(3)1 号★
众
公
注
关
，
(4) 1 辅 资 源
3 教
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)20222022=2022×10001(cid:56)20212021=2021×10001(cid:49)(cid:163)(cid:141)(cid:75)(cid:48)(cid:58)
2021×2022×10001−2022×2021×10001(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:118)(cid:119)(cid:117)
1 1
(cid:61)2(cid:66)(cid:49)(cid:163)(cid:141)(cid:127)(cid:50)(cid:110) (cid:56)(cid:161)(cid:128)(cid:170) (cid:56)(cid:152)(cid:153)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:50)(cid:128)(cid:55)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
64 64
(cid:61)3(cid:66)(cid:152)(cid:153)2016×2014=2016×(2015−1)(cid:56)(cid:80)(cid:32)(cid:191)(cid:43)(cid:53)(cid:69)(cid:195)(cid:35)(cid:49)(cid:69)(cid:202)(cid:75)(cid:48)(cid:58)2016×2015−1(cid:56)(cid:203)(cid:121)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:118)(cid:119)(cid:117)
(cid:61)3(cid:66)(cid:152)(cid:153) n n 1 = 1 + 1 (cid:127)(cid:49)(cid:171)(cid:9)(cid:181)(cid:53)(cid:141)(cid:202)(cid:75)(cid:48)(cid:58) 1 − 1 (cid:56)(cid:161)(cid:203)121212=12×10101(cid:56)131313=13×10101(cid:132)(cid:133)(cid:154)(cid:140)
n(n 1) n n 1 4 9
+ +
+ +
(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)2021×20222022−2022×20212021
=2021×2022×10001−2022×2021×10001
=0(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:140)(cid:10)1 1 +2 1 +3 1 +4 1 +5 1 +6 1
2 4 8 16 32 64
1 1 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 + −
2 4 8 16 32 64 64 641 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 −
2 4 8 16 32 32 64
1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +11 −
2 4 8 16 16 64
1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +15 −
2 4 8 8 64
1 1 1 1
=1 +2 +18 −
2 4 4 64
1 1 1
=1 +20 −
2 2 64
1
=22−
64
63
=21 (cid:117)
64
2015 2016×2014
(cid:61)3(cid:66)(cid:140)(cid:10)
2016×2015−1
+
2015+2016×(2015−1)
=
2016×2015−1
2015+2016×2015−2016
=
2016×2015−1
2016×2015−1
科AA+
=
2016×2015−1 众
号★ 全
公
注
关
，
=1(cid:117) 源
资
辅
教
(cid:61)4(cid:66)(cid:140)(cid:10) 9 − 11 + 13 − 15 + 17 × 121212
20 30 42 56 72 131313
4+5 5+6 6+7 7+8 8+9 121212
= − + − + ×
4×5 5×6 6×7 7×8 8×9 131313
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121212
= + − − + + − − + + ×
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 131313
1 1 121212
= + ×
4 9 131313
1 1 12×10101
= + ×
4 9 13×10101
13 12
= ×
36 13
1
= (cid:59)
3
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:34)(cid:56)(cid:158)(cid:176)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:38)(cid:3)(cid:55)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:57)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
【题型4 裂项相消】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:10)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 1 + 1 + 1 +…+ 1
1×2 2×3 3×4 2021×2022
(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)=1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…+ 1 − 1 =1− 1 = 2021
2 2 3 3 4 2021 2022 2022 2022
(cid:210)(cid:211)(cid:154)(cid:57)(cid:174)(cid:43)(cid:212)(cid:58)“(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:43)”(cid:56)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:121)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2 = (cid:59)
22−1 32−1 42−1 1002−1
14949
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
10100
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:127)(cid:55)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:56)(cid:161)(cid:152)(cid:153)“(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:43)”(cid:55)(cid:34)(cid:98)(cid:51)(cid:118)(cid:119)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2
22−1 32−1 42−1 1002−1
2 2 2 2
= + + +…+
3 8 15 9999
2 2 2 2
= + + +…+
1×3 2×4 3×5 99×101
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +…+ −
3 2 4 3 5 99 101
1 1 1
=1+ − −
2 100 101
=
14949
(cid:56)
科AA+
10100 全
号★
众
公
注
14949 关
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10) (cid:59) ，
源
10100 资
辅
教
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:63)(cid:218)(cid:126)(cid:140)(cid:20)(cid:219)(cid:149)(cid:150)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:91)(cid:140)(cid:121)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)4-1(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +……+ 1 (cid:59)
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
49
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
99
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:152)(cid:153)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:43)(cid:136)(cid:98)(cid:140)(cid:118)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:220)(cid:20)(cid:219)(cid:51)(cid:10)
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +……+
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − + − + − + − + + − + − )
2 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 95 97 97 99
1 1 ⋯⋯
= ×(1− )
2 99
1 98
= ×
2 99
49
=
99(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:59)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)4-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:192)(cid:221)(cid:112)(cid:222)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 1 + 1 + 1 +...+ 1 (cid:59)
1×2×3 2×3×4 3×4×5 9×10×11
27
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
110
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:43)(cid:59)
(cid:49)(cid:223)(cid:224)(cid:34)(cid:141)(cid:74)(cid:225)(cid:92)(cid:69)(cid:70)(cid:58)(cid:93)(cid:179)(cid:226)(cid:227)(cid:26)(cid:42)(cid:228)(cid:53)(cid:48)(cid:141)(cid:56)(cid:161)(cid:132)(cid:133)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)= 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + + 1 × 1 + 1 × 1
1×2 3 2×3 4 3×4 5 8×9 10 9×10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯1 1 1 1 1 1
= 1− × + − × + − × + + − × + − ×
2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋯1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1× − × + × − × + × − × + + × − × + × − ×
3 2 3 2 4 3 4 3 5 4 5 8 10 9 10 9 11 10 11
1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1
= + + +…+ × − + +…+
1×3 2×4 3×5 9 10 2×3 3×4 10×11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= × 1− + − + − +…+ − − − + − +…+ −
2 3 2 4 3 5 9 11 2 3 3 4 10 11
1 1 1 1 1 1
= × 1+ − − − −
2 2 10 11 2 11
科AA+
36 9 号★ 全
= 55 − 22 注 公 众
关
，
源
资
= 27 (cid:59) 教 辅
110
(cid:15)(cid:75)(cid:141)4-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:229)(cid:108)(cid:109)(cid:206)·(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:42)(cid:11)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)·(cid:238)(cid:239)(cid:72)1808(cid:108)(cid:240)(cid:241)(cid:124)(cid:89)(cid:211)(cid:33)(cid:34)(cid:242)(cid:9)(cid:243)(cid:113)
(cid:191)(cid:56)(cid:32)“!”(cid:244)(cid:245)(cid:59)(cid:246)(cid:53)(cid:219)(cid:247)(cid:91)(cid:10)(cid:89)(cid:179)(cid:63)(cid:26)(cid:42)(cid:53)(cid:113)(cid:191)(cid:91)(cid:223)(cid:125)(cid:105)(cid:72)(cid:159)(cid:175)(cid:72)(cid:189)(cid:42)(cid:53)(cid:63)(cid:26)(cid:42)(cid:53)(cid:228)(cid:56)(cid:62)1!=1(cid:56)
5!=5×4×3×2×1(cid:59)(cid:63)(cid:26)(cid:42)N(cid:53)(cid:113)(cid:191)(cid:248)(cid:249)N!(cid:56)(cid:136)N!=1×2×3× ×N(cid:59)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:43)(cid:98)(cid:250)(cid:57)(cid:113)(cid:191)(cid:54)(cid:30)(cid:251)(cid:86)(cid:252)(cid:253)(cid:56)(cid:106)(cid:62)(cid:56)
(cid:254)(cid:255)(cid:98)(cid:250)(cid:256) 9 (cid:84)(cid:69)(cid:58)(cid:93)(cid:179)(cid:69)(cid:70)(cid:257)(cid:125)(cid:113)(cid:191)(cid:48)(cid:141)(cid:53)(cid:69)(cid:202)(cid:58)1 ⋯ (cid:53)(cid:69)(cid:42)(cid:53)(cid:95)(cid:56)(cid:136) 9 =10−1= 10 − 1 = 1 − 1 (cid:59)
10! 10! 10! 10! 10! 9! 10!
(cid:152)(cid:153)(cid:250)(cid:110)(cid:258)(cid:35)(cid:56)(cid:140)(cid:118)(cid:206)(cid:207)(cid:259)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:260)(cid:261)(cid:10)5!=________(cid:117)
6 7
(2)(cid:49) + (cid:46)(cid:134)(cid:58)(cid:93)(cid:179)(cid:69)(cid:70)(cid:257)(cid:125)(cid:113)(cid:191)(cid:48)(cid:141)(cid:53)(cid:69)(cid:202)(cid:58)1(cid:53)(cid:69)(cid:42)(cid:53)(cid:95)(cid:53)(cid:48)(cid:141)(cid:58)________(cid:117)
7! 8!
(3)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19 (cid:59)
2! 3! 4! 5! 19! 20!
⋯
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)120
1 1
(2) −
6! 8!
1
(3)1−
20!(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:262)(cid:263)(cid:38)(cid:191)(cid:43)(cid:68)(cid:264)(cid:141)(cid:69)(cid:140)(cid:140)(cid:89)(cid:265)(cid:266)(cid:81)(cid:174)(cid:267)(cid:68)(cid:36)(cid:37)(cid:43)(cid:68)(cid:113)(cid:191)(cid:53)(cid:33)(cid:32)(cid:175)(cid:181)(cid:268)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)
(cid:38)(cid:3)(cid:176)(cid:177)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:113)(cid:191)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:274)(cid:216)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:140)(cid:117)
(cid:61)3(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:61)2(cid:66)(cid:247)(cid:275)(cid:225)(cid:276)(cid:277)(cid:267)(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)5!=5×4×3×2×1=120(cid:56)
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)120(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:140)(cid:10) 6 + 7 =7−1+8−1
7! 8! 7! 8!
7 1 8 1
= − + −
7! 7! 8! 8!
1 1 1 1
= − + −
6! 7! 7! 8!
= 1 − 1 (cid:117)
6! 8!
(cid:61)3(cid:66)(cid:140)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19
2! 3! 4! 5! 19! 20!
2−1 3−1 4−1 5− ⋯ 1 19−1 20−1 号★ 全
科AA+
= + + + + + + 众
2! 3! 4! 5! 19! 20! 注 公
关
，
源
2 1 3 1 4 1⋯5 辅1 资19 1 20 1
= − + − + − + 教 − + + − + −
2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 5! 19! 19! 20! 20!
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1
= − + − + − + − + + − + −
1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 18! 19! 19! 20!
1 1 ⋯
= −
1! 20!
1
=1− (cid:59)
20!
【题型5 错位相消】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:61)2025·(cid:146)(cid:112)(cid:278)(cid:279)·(cid:266)(cid:280)(cid:66)(cid:204)(cid:205)(cid:24)(cid:247)(cid:122)(cid:10)(cid:213)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:56)(cid:281)(cid:282)(cid:92)(cid:206)(cid:207)(cid:259)(cid:20)(cid:59)
(cid:15)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:19)(cid:284)(cid:216)(cid:89)(cid:269)(cid:76)(cid:77)(cid:285)(cid:207)(cid:286)(cid:53)(cid:89)(cid:207)(cid:42)(cid:212)(cid:58)(cid:42)(cid:207)(cid:56)(cid:42)(cid:207)(cid:53)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:141)(cid:98)(cid:250)(cid:225)(cid:92)(cid:10)a ,a ,a , ,a , (cid:56)(cid:89)(cid:90)(cid:287)(cid:56)
1 2 3 n
(cid:62)(cid:138)(cid:89)(cid:179)(cid:42)(cid:207)(cid:288)(cid:289)(cid:266)(cid:37)(cid:251)(cid:56)(cid:290)(cid:89)(cid:37)(cid:24)(cid:246)(cid:99)(cid:89)(cid:37)(cid:53)(cid:283)(cid:291)(cid:175)(cid:72)(cid:60)(cid:89)(cid:179)(cid:87)(cid:42)(cid:56)(cid:292)(cid:293)(cid:210)(cid:179)(cid:42)(cid:207)(cid:243)(cid:294)⋯(cid:175)(cid:283)(cid:42)⋯(cid:207)(cid:56)(cid:210)(cid:179)
(cid:87)(cid:42)(cid:243)(cid:294)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:53)(cid:7)(cid:283)(cid:56)(cid:7)(cid:283)(cid:73)(cid:87)(cid:32)q(cid:244)(cid:245)(cid:59)(cid:62)(cid:10)(cid:42)(cid:207)1,2,4,8, (cid:58)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:56)(cid:101)(cid:102)a =1,a =2(cid:56)(cid:7)(cid:283)(cid:58)q=2(cid:59)
1 2
(cid:152)(cid:153)(cid:250)(cid:110)(cid:208)(cid:209)(cid:56)(cid:140)(cid:118)(cid:206)(cid:207)(cid:259)(cid:20)(cid:10) ⋯
(cid:61)1(cid:66)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)3,9,27,…(cid:53)(cid:7)(cid:283)q(cid:58)_____(cid:56)(cid:289)5(cid:37)(cid:91)_____(cid:59)
(cid:15)(cid:7)(cid:141)(cid:295)(cid:296)(cid:19)(cid:62)(cid:138)(cid:89)(cid:179)(cid:42)(cid:207)a ,a ,a ,…,a ,…(cid:56)(cid:91)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:56)(cid:297)(cid:7)(cid:283)(cid:58)q(cid:56)(cid:292)(cid:293)(cid:152)(cid:153)(cid:269)(cid:270)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:10) a 2=q, a 3=q, a 4=q, …, a n+1=q.
1 2 3 n a 1 a 2 a 3 a n
(cid:223)(cid:250)a =a q,a =a q=a qq=a q2,a =a q=a q2=a q3,…
2 1 3 2 1 1 4 3 2 1
(cid:61)2(cid:66)(cid:203)(cid:121)⋅(cid:56)(cid:213)(cid:214)(cid:260)⋅ (cid:261)(cid:282)(cid:92)⋅ (cid:175)(cid:283)⋅ (cid:42)(cid:207)(cid:53)(cid:73)⋅ (cid:37)(cid:7)⋅ (cid:141)(cid:10)a⋅ =a _____(cid:59)
n 1
(cid:15)(cid:298)(cid:165)(cid:299)(cid:253)(cid:19)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:154)(cid:57)(cid:7)(cid:141)(cid:281)(cid:300)(cid:82)(cid:83)(cid:56)(cid:301)(cid:91)(cid:101)(cid:295)(cid:296)⋅(cid:277)(cid:267)——(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:128)(cid:43)(cid:56)(cid:302)(cid:247)(cid:303)(cid:304)(cid:68)(cid:48)(cid:141)(cid:305)(cid:186)(cid:59)(cid:206)(cid:306)
(cid:91)(cid:105)(cid:241)(cid:58)(cid:124)(cid:55)(cid:34)1+2+22+…+22019+22020(cid:53)(cid:291)(cid:56)(cid:307)(cid:32)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:10)
(cid:308)S=1+2+22+…+22019+22020 (cid:56)
(cid:79)2S=2+22+…+22020+22021 ①(cid:56)
(cid:309) (cid:51)2S−S=S=22021−1(cid:56)②
②S=1+①2+22+…+22019+22020=22021−1(cid:59)
(cid:15)∴ (cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:19)(cid:61)3(cid:66)(cid:213)(cid:274)(cid:216)(cid:105)(cid:241)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:154)3+32+33+…+32025(cid:53)(cid:291)(cid:59)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)3(cid:56)243(cid:117)(cid:61)2(cid:66)qn−1(cid:117)(cid:61)3(cid:66)
32026−3
2
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:311)(cid:269)(cid:270)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:191)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:126)(cid:140)(cid:20)(cid:219)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:312)(cid:102)(cid:224)(cid:276)(cid:53)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:53)(cid:269)(cid:270)(cid:136)(cid:98)(cid:154)(cid:140)(cid:117)
科AA+
全
(cid:61)2(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:7)(cid:141)(cid:295)(cid:296)(cid:277)(cid:267)(cid:136)(cid:98)(cid:154)(cid:140)(cid:117) 号★
众
公
注
关
，
(cid:61)3(cid:66)(cid:308)S=1+3+32+33+…+32025(cid:152)辅(cid:153)资(cid:106)(cid:20)
源
(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:154)(cid:51) S=1+3+32+33+…+32025=
32026−1
(cid:56)(cid:136)(cid:98)(cid:154)(cid:140)(cid:59)
教 2
∴
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:219)(cid:51)(cid:10)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)3,9,27,…(cid:53)(cid:7)(cid:283)q(cid:58)3(cid:56)(cid:289)5(cid:37)(cid:91)35=243(cid:117)
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)3(cid:56)243(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:219)(cid:51)(cid:10)(cid:175)(cid:283)(cid:42)(cid:207)(cid:53)(cid:73)(cid:37)(cid:7)(cid:141)(cid:10)a =a qn−1(cid:117)
n 1
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)qn−1 ⋅
(cid:61)3(cid:66)(cid:308)S=1+3+32+33+…+32025 (cid:56)
(cid:79)3S=3+32+…+32025+32026 (cid:56)①
− (cid:51)3S−S=2S=32026−1②(cid:56)
②
S=1
①
+3+32+33+…+32025=
32026−1
(cid:59)
2
∴
3+32+33+…+32025=S−1=
32026−3
(cid:59)
2
∴(cid:15)(cid:75)(cid:141)5-1(cid:19)(cid:154)11+112+113+…+112024(cid:53)(cid:291)(cid:59)
112025−11
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:66)
10
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:308)S=11+112+113+…+112024 (cid:56)
①(cid:79)11S=112+113+…+112025 (cid:56)
− (cid:51)11S−S=10S=11202②5−11(cid:56)
②
S=1
①
1+112+113+…+112024=
112025−11
(cid:59)
10
∴
(cid:15)(cid:75)(cid:141)5-2(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
4 42 43 4n
⋅⋅⋅
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19) 1 − 1
3 3×4n
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:308)S= 1 + 1 + 1 +…+1 (cid:56)
4 42 43 4n
①
4S=1+ 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:56)
4 42 43 4n−1
②
− (cid:51)(cid:56)
② ①1
3S=1− (cid:56)
4n
S= 1 − 1 (cid:56)
3 3×4n
∴
(cid:217)(cid:163)(cid:141)= 1 − 1 (cid:59)
3 3×4n
科AA+
全
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:258)(cid:35)(cid:21)−(cid:42)(cid:263)(cid:53)(cid:75)(cid:46)(cid:28)(cid:56)(cid:140)(cid:310)(cid:148)(cid:20)(cid:53)(cid:3)号(cid:151)(cid:91)★(cid:313)(cid:218)(cid:132)(cid:133)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:258)(cid:35)(cid:55)(cid:34)(cid:59)
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:75)(cid:141)5-3(cid:19)(cid:140)(cid:310)(cid:206)(cid:207)(cid:259)(cid:20)(cid:10)
资
源
辅
教
(1)(cid:55)(cid:34)(cid:10) 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8
2 2 2 2 2
(2)(cid:46)(cid:134)(cid:10)M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58(cid:59)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)1− 1
28
31×59 5
(2)
16
+
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:80)(cid:32)“(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:128)(cid:43)”(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:80)(cid:32)“(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:128)(cid:43)”(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)(cid:308)S= 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8 (cid:56)
2 2 2 2 2
(cid:79)2S=1+ 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +…+( 1 ) 7 (cid:56) ①
2 2 2 2
②
1
(cid:79) − (cid:56)(cid:51)(cid:10)2S−S=S=1− (cid:117)
28
(cid:61)2 ②(cid:66)(cid:140)①(cid:10) M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58 (cid:56)
5M=1×52+∵2×53+3×54+…+8×59 (cid:56) ①
∴ ②− (cid:56)(cid:51)(cid:10)
∴5M②−M①=(1×52+2×53+3×54+…+8×59)−(5+2×52+3×53+4×54+…+8×58)
=8×59−(5+52+53+…+58)(cid:56)
(cid:308)T=5+52+53+…+58(cid:56)
5T=52+53+…+59(cid:56)
∴5T−T=59−5(cid:56)
∴4T=59−5(cid:56)
∴ 59−5
T= (cid:56)
4
∴
(cid:163)(cid:141)=8×59−
59−5
(cid:56)
4
∴
4M=8×59−
59−5
(cid:56)
4
∴ 8×59 59 −5
M= −
4 16
∴
31×59 5
= (cid:59)
16
+ 科AA+
全
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:191)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:42)(cid:263)(cid:28)(cid:258)(cid:35)(cid:259)(cid:20)(cid:56)号“(cid:39)★(cid:40)(cid:38)(cid:128)(cid:43)”(cid:53)(cid:33)(cid:32)(cid:56)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:91)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)“(cid:39)
众
公
注
关
，
(cid:40)(cid:38)(cid:128)(cid:43)”(cid:53)(cid:33)(cid:32)(cid:59)
资
源
辅
教
【题型6 倒数法】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:197)(cid:112)(cid:314)(cid:315)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:213)(cid:214)(cid:127)(cid:316)(cid:317)(cid:204)(cid:205)(cid:208)(cid:209)(cid:10)
1 2 1 1 2
(cid:55)(cid:34)(cid:10) − ÷ − + − (cid:59)
30 3 10 6 5
(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)(cid:53)(cid:41)(cid:42)(cid:91) 2 − 1 + 1 − 2 ÷ − 1
3 10 6 5 30
2 1 1 2
= − + − ×(−30)
3 10 6 5
2 1 1 2
= ×(−30)− ×(−30)+ ×(−30)− ×(−30)
3 10 6 5
=−20−(−3)+(−5)−(−12)
=−20+3−5+12
=−10(cid:59)
1
(cid:217)(cid:163)(cid:141)=− (cid:59)
10
1 3 5 8 2
(cid:161)(cid:152)(cid:153)(cid:214)(cid:22)(cid:223)(cid:318)(cid:319)(cid:208)(cid:209)(cid:53)(cid:126)(cid:140)(cid:56)(cid:320)(cid:321)(cid:30)(cid:322)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:55)(cid:34)(cid:10) − ÷ − + − (cid:59)
70 10 14 35 71
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
8
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:152)(cid:153)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:269)(cid:270)(cid:140)(cid:118)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:196)(cid:43)(cid:56)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:323)(cid:32)(cid:56)(cid:41)(cid:42)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)(cid:53)(cid:41)(cid:42)(cid:91) 3 − 5 + 8 − 2 ÷ − 1
10 14 35 7 70
3 5 8 2
= − + − ×(−70)
10 14 35 7
3 5 8 2
=− ×70− ×70+ ×70− ×70
10 14 35 7
=−(21−25+16−20) =8(cid:59)
1
(cid:217)(cid:163)(cid:141)= (cid:59)
8
1 1 3 2 2
(cid:15)(cid:75)(cid:141)6-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:197)(cid:324)(cid:325)(cid:326)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:134)(cid:135)(cid:55)(cid:34)(cid:10) − ÷ − + − (cid:59)
42 6 14 3 7
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)− 1
14
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)(cid:53)(cid:41)(cid:42)= 1 − 3 + 2 − 2 ÷ − 1
6 14 3 7 42
科AA+
1 3 2 2 号★ 全
= 6 − 14 + 3 − 7 ×(−42) 注 公 众
关
，
源
资
=−7+9−28+12 教 辅
=−14(cid:56)
1
(cid:217)(cid:163)(cid:141)=− (cid:59)
14
(cid:15)(cid:75)(cid:141)6-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:327)(cid:328)(cid:327)(cid:194)·(cid:147)(cid:102)(cid:66)(cid:55)(cid:34)(cid:10) − 1 ÷ 1 1 − 7 + 5
36 6 9 12
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)− 1
29
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:141)(cid:53)(cid:41)(cid:42)(cid:58)(cid:10) 1 1 − 7 + 5 ÷ − 1
6 9 12 36
7 7 5
= − + ×(−36)
6 9 12
7 7 5
= ×(−36)− ×(−36)+ ×(−36)
6 9 12
=−42+28−15
=−29(cid:56)
1
(cid:217)(cid:163)(cid:141)=− (cid:59)
292
1 1 5 9 1
(cid:15)(cid:75)(cid:141)6-3(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10) − ÷ − + − − ×6 (cid:59)
56 8 14 28 4
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)
16
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:191)(cid:43)(cid:69)(cid:195)(cid:35)(cid:56)(cid:55)(cid:34)(cid:163)(cid:141)(cid:53)(cid:41)(cid:42)(cid:56)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:118)(cid:119)(cid:59)
2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10) 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 ÷ − 1
8 14 28 4 56
1 5 9 1
= − + − ×6 ×(−56)
8 14 28 16
1 5 9 1
= ×(−56)− ×(−56)+ ×(−56)− ×6×(−56)
8 14 28 16
=−7+20−18+21
=16(cid:56)
2
− 1 ÷ 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 = 1 (cid:59)
56 8 14 28 4 16
∴
【题型7 相互转化】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)
(1)(−3)÷ −1 3
4
×75%÷ − 3
7
×(−6)(cid:117)
众
号★ 全
科AA+
公
注
关
，
(2) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)(cid:117) 辅 资 源
5 25 教
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)18
(2)−5
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:152)(cid:153)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:50)(cid:128)(cid:191)(cid:196)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:159)(cid:33)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:137)(cid:118)(cid:119)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)(−3)÷ −1 3 ×75%÷ − 3 ×(−6)
4 7
4 3 7
=3× × × ×6
7 4 3
=18(cid:117)
(cid:61)2(cid:66)(cid:140)(cid:10) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)
5 25
1 1
=− × ×25×10
5 10
=−5(cid:117)
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:50)(cid:128)(cid:191)(cid:196)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:159)(cid:33)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:91)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)7-1(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)(cid:117)
4 8(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)
4 8
1 3 1 3
= +3 −3 −1
8 4 8 4
1 1 3 3
= −3 + 3 −1
8 8 4 4
=−3+2
=−1
(cid:15)(cid:75)(cid:141)7-2(cid:19)(cid:80)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:134)(cid:135)(cid:33)(cid:34)(cid:10)
−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%(cid:59)
4
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)−2.4
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%
4
=−3.61×0.75+0.61×0.75+(−0.2)×0.75
=0.75×(−3.61+0.61−0.2)
科AA+
全
=0.75×(−3.2) 号★
众
公
注
关
，
=−2.4(cid:59)
资
源
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:141)7-3(cid:19)(cid:55)(cid:34)(cid:10)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)25
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:158)(cid:115)(cid:149)(cid:150)(cid:38)(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:79)(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:80)(cid:32)(cid:191)(cid:43)(cid:69)(cid:195)(cid:35)(cid:132)(cid:133)(cid:55)(cid:34)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
1 1 1
=38× +17× +45×
4 4 4
1
= ×(38+17+45)
4
1
= ×100
4
=25(cid:59)
【题型8 图形法】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:66)(cid:42)(cid:48)(cid:54)(cid:30)(cid:91)(cid:140)(cid:310)(cid:42)(cid:11)(cid:259)(cid:20)(cid:53)(cid:89)(cid:211)(cid:103)(cid:188)(cid:53)(cid:247)(cid:329)(cid:174)(cid:43)(cid:59)(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:10)(cid:330)(cid:154)1+2+4+8+16+ +230(cid:53)(cid:291)(cid:56)(cid:98)(cid:250)(cid:284)(cid:216)(cid:62)(cid:206)(cid:162)(cid:331)(cid:132)(cid:133)(cid:10)
(cid:332)S=1+2+4+8+16+ +230……⋯
(cid:175)(cid:141)(cid:93)(cid:333)(cid:60)(cid:334)(cid:191)(cid:250)⋯2(cid:56)(cid:51)2S=2①+4+8+16+32+ +231……
(cid:203) (cid:141)(cid:128)(cid:170) (cid:141)(cid:56)(cid:51)S=231−1(cid:56) 1+2+4+8+1⋯6+ +230=②231−1(cid:59)
(cid:208)(cid:209)②(cid:266)(cid:10)(cid:62)(cid:47)①1(cid:56)(cid:49)(cid:89)(cid:179)(cid:333)(cid:335)(cid:58)∴1(cid:53)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:336)(cid:337)⋯(cid:69)(cid:338)(cid:92)7(cid:179)(cid:339)(cid:69)(cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:91)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:339)
(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:91)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:220)(cid:121)(cid:28)(cid:295) 1 = 1 (cid:56) 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = ① 1− 1 (cid:59)
26 64 2 22 23 24 25 26 26
② ① ∴
(cid:204)(cid:205)(cid:208)(cid:209)(cid:56)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:80)(cid:32)(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:318)(cid:319)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:56)(cid:213)(cid:214)(cid:154)(cid:276)1+5+52+53+54+ +520(cid:53)(cid:291)(cid:59)
全
科AA+
号★
众
公
(2)(cid:62)(cid:47)2(cid:56)(cid:341)(cid:284)(cid:210)(cid:201)(cid:53)(cid:174)(cid:141)(cid:342)(cid:227)
辅
(cid:69)
资
(cid:338)(cid:206)
源
(cid:170)，(cid:56)(cid:343) 关 (cid:208) 注 (cid:209)(cid:266) ⋯ (cid:53)(cid:344)(cid:240) 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+ +
22
1
023
(cid:53)(cid:291)(cid:58)______(cid:59)
教
⋯
(3)(cid:73)(cid:277)(cid:11)(cid:116)(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:68)(cid:208)(cid:209)(cid:266)(cid:56)(cid:320)(cid:321)(cid:214)(cid:345)(cid:346)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1 ______(cid:59)(cid:61)(cid:32)(cid:257)(cid:125)n(cid:53)(cid:141)(cid:202)(cid:244)(cid:245)(cid:66)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)
521−1
4
1
(2)1−
22023
1 1
(3) 1−
2 3n
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:42)(cid:263)(cid:53)(cid:258)(cid:35)(cid:75)(cid:46)(cid:56)(cid:257)(cid:191)(cid:174)(cid:53)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:126)(cid:140)(cid:20)(cid:219)(cid:56)(cid:218)(cid:269)(cid:42)(cid:263)(cid:53)(cid:75)(cid:46)(cid:186)(cid:104)(cid:91)(cid:140)
(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:347)(cid:176)(cid:127)(cid:154)(cid:276)5S(cid:56)(cid:161)(cid:38)(cid:128)(cid:56)(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:276)(cid:118)(cid:119)(cid:117)
1 1 1 1 1
(cid:61)2(cid:66)(cid:348)(cid:349)(cid:47)(cid:48)(cid:240)(cid:350)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) (cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) = (cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) = (cid:56)…(cid:56)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:69)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58)
2 22 4 23 8
① ② ③
1
(cid:56)(cid:153)(cid:121)(cid:258)(cid:35)(cid:140)(cid:118)(cid:136)(cid:98)(cid:117)
2n
(cid:61)3(cid:66)(cid:332)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:56)(cid:161)(cid:154)(cid:276)3T(cid:56)(cid:93)(cid:141)(cid:38)(cid:128)(cid:154)(cid:276)2T(cid:56)(cid:153)(cid:121)(cid:154)(cid:140)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)(cid:332)S=1+5+52+53+54+ +520 (cid:56)
⋯ ①(cid:175)(cid:141)(cid:93)(cid:333)(cid:60)(cid:334)(cid:191)(cid:250)5(cid:56)(cid:51)5S=5+52+53+54+ +521 (cid:56)
(cid:203) (cid:141)(cid:128)(cid:170) (cid:141)(cid:56)(cid:51)4S=521−1(cid:56) ⋯ ②
②521−1 ①
S= (cid:56)
4
∴
1+5+52+53+54+ +520=
521−1
(cid:117)
4
∴(cid:61)2(cid:66)(cid:140)(cid:10) (cid:63)(cid:174)(cid:48) ⋯ (cid:333)(cid:335)(cid:58)1(cid:56)
(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:306)∵(cid:228)(cid:58)1(cid:56)
∴ (cid:91)(cid:333)(cid:335)(cid:58)1(cid:53)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:336)(cid:337)(cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)
∵① 1
(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) (cid:56)
2
∴①
1 1 1 1
(cid:220)(cid:121)(cid:28)(cid:295) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) = (cid:56) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) = (cid:56)…
22 4 23 8
(cid:154) 1 + 1 + 1 ② + + 1 (cid:53)(cid:291)(cid:56)(cid:136) ③ (cid:58)(cid:154)(cid:49)(cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:338)(cid:206)(cid:170)(cid:261)(cid:353)(cid:339)(cid:69)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:56)
2 22 23 22023
∴ ⋯
1
(cid:121)(cid:334)(cid:354)(cid:355)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:69)(cid:306)(cid:228)(cid:58)(cid:10) (cid:56)
22023
∴ 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+ +
22
1
023
=1−
22
1
023
(cid:56)
号★ 全
科AA+
众
∴ ⋯ 注 公
1 关
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)1−
22023
(cid:117)
资 源
，
辅
教
(cid:61)3(cid:66)(cid:140)(cid:10)(cid:332)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:56)
3 32 33 3n
⋯ ①
(cid:175)(cid:141)(cid:93)(cid:333)(cid:60)(cid:334)(cid:191)3(cid:51)(cid:56)3T=1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:56)
3 32 33 3n−1
⋯ ②
1
(cid:203) (cid:141)(cid:128)(cid:170) (cid:141)(cid:56)(cid:51)2T=1− (cid:56)
3n
② ①
T= 1 1− 1 (cid:56)
2 3n
∴
1+ 1 + 1 + + 1 = 1 1− 1 (cid:56)
3 32 33 3n 2 3n
∴ ⋯
1 1
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10) 1− (cid:59)
2 3n
(cid:15)(cid:75)(cid:141)8-1(cid:19)(cid:62)(cid:47)(cid:56)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:53)(cid:333)(cid:335)(cid:58)1(cid:56)(cid:289)(cid:89)(cid:81)(cid:356)(cid:276)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:289)(cid:266)(cid:81)(cid:356)(cid:276)(cid:354)(cid:206)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:89)(cid:340)……(cid:250)(cid:121)(cid:28)
(cid:295)(cid:56)(cid:290)(cid:89)(cid:81)(cid:357)(cid:356)(cid:276)(cid:354)(cid:206)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:358)(cid:132)(cid:133)n(cid:81)(cid:210)(cid:201)(cid:53)(cid:359)(cid:249)(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:53)(cid:81)(cid:42) 1 2 3 n
(cid:354)(cid:206)(cid:47)(cid:48)(cid:53)
1
____ ____ ____
2
(cid:306)(cid:228)
(1)(cid:213)(cid:49)(cid:110)(cid:244)(cid:260)(cid:225)(cid:282)(cid:26)(cid:59)
(2)(cid:213)(cid:80)(cid:32)(cid:210)(cid:179)(cid:360)(cid:361)(cid:47)(cid:48)(cid:154) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:53)(cid:291)(cid:10)(cid:362) (cid:362)(cid:59)((cid:32)(cid:257)n(cid:53)(cid:363)(cid:42)(cid:141)(cid:244)(cid:245))
2 22 23 2n
⋯
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)(cid:88)(cid:139)(cid:140)
1
(2)1−
2n
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:191)(cid:174)(cid:53)(cid:323)(cid:32)(cid:56)(cid:207)(cid:363)(cid:42)(cid:141)(cid:56)(cid:89)(cid:265)(cid:89)(cid:81)(cid:174)(cid:267)(cid:53)(cid:323)(cid:32)(cid:56)(cid:306)(cid:228)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:59)
(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:219)(cid:260)(cid:244)(cid:136)(cid:98)(cid:59)
(cid:61)2(cid:66)(cid:163)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:69)(cid:92)(cid:173)(cid:179)(cid:105)(cid:335)(cid:174)(cid:48)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:364)(cid:57)(cid:58) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:56)(cid:203) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:136)(cid:98)(cid:51)(cid:276) 1 + 1 + 1 + + 1
2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n
⋯
(cid:53)(cid:291)(cid:59)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:140)(cid:10)(cid:110)(cid:244)(cid:260)(cid:225)(cid:62)(cid:206)(cid:10)
科AA+
全
号★
(cid:132)(cid:133)(cid:53)(cid:81)(cid:42) 1 2 3 … n 公 众
注
关
，
源
资
辅
1 1 教1 1
(cid:354)(cid:206)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:306)(cid:228) …
2 4 8 2n
(cid:61)2(cid:66)(cid:140)(cid:10)(cid:163)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:69)(cid:92)(cid:173)(cid:179)(cid:105)(cid:335)(cid:174)(cid:48)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:364)(cid:57)(cid:58) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:56)
2 22 23 2n 2n
1+ 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:56)
2 22 23 2n 2n
∴
(cid:79) 1 + 1 + 1 +…+ 1 =1− 1 (cid:56)
2 22 23 2n 2n
1
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)1−
2n
(cid:117)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)8-2(cid:19)(cid:365)(cid:42)(cid:11)(cid:116)(cid:20)(cid:366)(cid:102)(cid:56)(cid:60)(cid:11)(cid:255)(cid:58)(cid:124)(cid:154) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:53)(cid:291)(cid:56)(cid:132)(cid:133)(cid:124)(cid:62)(cid:206)(cid:299)(cid:367)(cid:10)
2 22 23 24 25 2n
(cid:61)1(cid:66)(cid:368)(cid:60)(cid:11)(cid:308)(cid:55)(cid:62)(cid:47)1(cid:223)(cid:245)(cid:53)(cid:360)(cid:361)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:49)(cid:89)(cid:179)(cid:306)(cid:228)(cid:58)1(cid:53)(cid:335)(cid:174)(cid:48)(cid:336)(cid:337)(cid:22)(cid:369)(cid:59)
(cid:61)I(cid:66)(cid:154)(cid:47)1(cid:102)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:117)
(cid:61)II(cid:66)(cid:213)(cid:214)(cid:80)(cid:32)(cid:47)(cid:48) ④ (cid:154) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:53)(cid:291)(cid:117)
2 22 23 24 25
(cid:61)2(cid:66)(cid:213)(cid:214)(cid:80)(cid:32)(cid:370)(cid:32)(cid:47)(cid:56)(cid:161)(cid:308)(cid:55)(cid:89)(cid:179)(cid:160)(cid:154)(cid:24) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:53)(cid:291)(cid:53)(cid:360)(cid:361)(cid:47)(cid:48)(cid:59)
2 22 23 24 251 31
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:61)I(cid:66) (cid:117)(cid:61)II(cid:66) (cid:117)(cid:61)2(cid:66)(cid:88)(cid:140)(cid:120)(cid:59)
16 32
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:61)ⅰ(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:20)(cid:312)(cid:102)(cid:53)(cid:47)(cid:48)(cid:57)(cid:20)(cid:219)(cid:56)(cid:55)(cid:34)(cid:276)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:136)(cid:98)(cid:117)(cid:61)ⅱ(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:98)(cid:250)(cid:223)(cid:154)(cid:141)(cid:202)
(cid:53)(cid:291)(cid:136)(cid:98)(cid:117) ④
(cid:61)2(cid:66)(cid:49)(cid:335)(cid:174)(cid:48)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:179)(cid:371)(cid:175)(cid:53)(cid:278)(cid:372)(cid:48)(cid:56)(cid:129)(cid:97)(cid:342)(cid:227)(cid:69)(cid:338)(cid:93)(cid:179)(cid:105)(cid:89)(cid:104)(cid:53)(cid:371)(cid:175)(cid:278)(cid:372)(cid:48)(cid:56)(cid:220)(cid:81)(cid:342)(cid:227)(cid:69)(cid:338)(cid:136)(cid:98)(cid:136)(cid:98)(cid:140)
(cid:118)(cid:61)(cid:118)(cid:119)(cid:300)(cid:373)(cid:89)(cid:66)(cid:59)
4
1 1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:140)(cid:10)(cid:61)1(cid:66)(cid:61)ⅰ(cid:66)(cid:203)(cid:20)(cid:219)(cid:98)(cid:51)(cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:91) = (cid:117)
2 16
(cid:61)ⅱ(cid:66)(cid:203)(cid:20)(cid:219)(cid:98)(cid:51)(cid:10) 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+
2
1
5
=1−
2
1
5
= 3
3
1
2
(cid:117) ④
众
号★ 全
科AA+
公
注
关
，
(cid:61)2(cid:66)(cid:98)(cid:308)(cid:55)(cid:62)(cid:47)(cid:223)(cid:245)(cid:10)
资
源
辅
教
(cid:61)(cid:118)(cid:119)(cid:300)(cid:373)(cid:89)(cid:56)(cid:242)(cid:30)(cid:20)(cid:219)(cid:136)(cid:98)(cid:66)(cid:59)
(cid:15)(cid:104)(cid:172)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:42)(cid:263)(cid:53)(cid:75)(cid:46)(cid:258)(cid:35)(cid:68)(cid:125)(cid:126)(cid:42)(cid:53)(cid:157)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:104)(cid:56)(cid:241)(cid:218)(cid:20)(cid:219)(cid:281)(cid:374)(cid:31)(cid:80)(cid:32)(cid:42)(cid:48)(cid:54)(cid:30)(cid:53)
(cid:247)(cid:329)(cid:91)(cid:140)(cid:118)(cid:148)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:59)
(cid:15)(cid:75)(cid:141)8-3(cid:19)(cid:42)(cid:57)(cid:48)(cid:91)(cid:42)(cid:11)(cid:53)(cid:93)(cid:179)(cid:187)(cid:188)(cid:252)(cid:253)(cid:22)(cid:375)(cid:56)(cid:254)(cid:255)(cid:376)(cid:87)(cid:33)(cid:32)(cid:42)(cid:48)(cid:54)(cid:30)(cid:68)(cid:42)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:140)(cid:310)(cid:89)(cid:377)(cid:42)(cid:11)(cid:259)
(cid:20)(cid:59)(cid:206)(cid:306)(cid:254)(cid:255)(cid:86)(cid:299)(cid:253)“(cid:203)(cid:42)(cid:247)(cid:48)(cid:56)(cid:250)(cid:48)(cid:378)(cid:42)”(cid:53)(cid:174)(cid:43)(cid:365)(cid:140)(cid:310)(cid:363)(cid:42)(cid:259)(cid:20)(cid:102)(cid:53)(cid:323)(cid:32)(cid:59)
(cid:62)(cid:47)(cid:56)(cid:49)(cid:89)(cid:179)(cid:333)(cid:335)(cid:58)1(cid:53)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:336)(cid:337)(cid:69)(cid:338)(cid:92)7(cid:179)(cid:339)(cid:69)(cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:91)(cid:333)(cid:335)(cid:58)1(cid:53)(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:336)(cid:337)(cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:339)(cid:69)
(cid:91)(cid:339)(cid:69) (cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:339)(cid:69) (cid:91)(cid:339)(cid:69) (cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)(cid:220)(cid:81)(cid:28)①(cid:295)(cid:59) ②
① ③ ②(1)(cid:47)(cid:102)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:69)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58)(cid:362)(cid:362)(cid:117)
(2)(cid:343)(cid:121)(cid:344)(cid:240)(cid:56)(cid:51)(cid:137) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:379)(cid:362)(cid:362)(cid:117)
2 4 8 26
⋯
(3)(cid:380)(cid:381)(cid:323)(cid:32)(cid:10)(cid:51)(cid:137) 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + + 1 × 2 (cid:379)(cid:362)(cid:362)(cid:61)(cid:271)(cid:272)(cid:225)(cid:276)(cid:118)(cid:119)(cid:136)(cid:98)(cid:66)(cid:59)
3 3 3 32 3 33 3 32023 3
⋯
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(1)
64
63
(2)
64
1
(3)1−
32024
科AA+
全
(cid:15)(cid:69)(cid:120)(cid:19)(cid:148)(cid:20)(cid:122)(cid:123)(cid:47)(cid:48)(cid:75)(cid:46)(cid:53)(cid:258)(cid:35)(cid:56)(cid:42)(cid:48)(cid:54)(cid:30)(cid:247)(cid:329)(cid:53)(cid:304)(cid:382)(cid:33)号(cid:32)★(cid:91)(cid:140)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:151)(cid:117)
众
公
注
关
，
(cid:61)1(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:47)(cid:102)(cid:278)(cid:372)(cid:48)(cid:306)(cid:228)(cid:364)(cid:383)(cid:53)(cid:3)
资
(cid:384)源(cid:136)(cid:98)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:117)
辅
教
(cid:61)2(cid:66)(cid:80)(cid:32)(cid:42)(cid:48)(cid:54)(cid:30)(cid:53)(cid:247)(cid:329)(cid:136)(cid:98)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:117)
(cid:61)3(cid:66)(cid:152)(cid:153)(cid:61)3(cid:66)(cid:102)(cid:53)(cid:54)(cid:385)(cid:136)(cid:98)(cid:140)(cid:310)(cid:259)(cid:20)(cid:117)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:19)(cid:61)1(cid:66)(cid:203)(cid:20)(cid:176)(cid:56)
(cid:63)(cid:174)(cid:48)(cid:290)(cid:81)(cid:386)(cid:69)(cid:338)(cid:53)(cid:339)(cid:69)(cid:91)(cid:99)(cid:89)(cid:339)(cid:69)(cid:306)(cid:228)(cid:53)(cid:89)(cid:340)(cid:56)
(cid:223)(cid:250)(cid:47)(cid:102)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:69)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:24)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:38)(cid:175)(cid:59)
1 1 ⑥
(cid:387)(cid:264)(cid:58)(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58)(cid:10) = (cid:56)
2 21
(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306) ① (cid:228)(cid:58)(cid:10) 1 × 1 = 1 = 1 (cid:56)
2 2 4 22
②
(cid:339)(cid:69) (cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58)(cid:10) 1 × 1 × 1 = 1 = 1 (cid:56)
2 2 2 8 23
…(cid:56)③
1
(cid:220)(cid:81)(cid:28)(cid:47)(cid:56)(cid:339)(cid:69)n(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) (cid:59)
2n
(cid:388)n=6(cid:334)(cid:56)
1 = 1 = 1 (cid:59)
2n 26 641
(cid:223)(cid:250)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:69)(cid:53)(cid:306)(cid:228)(cid:58) (cid:59)
64
1
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10) (cid:59)
64
(cid:61)2(cid:66)(cid:203)(cid:61)1(cid:66)(cid:176)(cid:56)
1 + 1 + 1 + + 1 + 1 =1(cid:56)
2 22 23 26 26
⋯
(cid:223)(cid:250) 1 + 1 + 1 + + 1 =1− 1 = 63 (cid:59)
2 4 8 26 26 64
⋯
63
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10) (cid:59)
64
(cid:61)3(cid:66)(cid:203)(cid:20)(cid:176)(cid:56)
(cid:163)(cid:141)= 2 × 1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:59)
3 3 32 33 32023
⋯
(cid:332)S=1+ 1 + 1 + + 1 (cid:56)
3 32 32023
⋯ ①
(cid:79) 1 S= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:56)
3 3 32 33 32024
⋯ ②
- (cid:51)(cid:56)
科AA+
全
①2
s=1
②
−
1
(cid:56) 众
号★
3 32024 注 公
关
，
源
资
(cid:136)S= 3 − 1 (cid:56) 教 辅
2 2×32023
(cid:223)(cid:250)(cid:163)(cid:141)= 2 × 3 − 1
3 2 2×32023
1
=1− (cid:59)
32024
1
(cid:217)(cid:118)(cid:119)(cid:58)(cid:10)1− (cid:59)
32024
