文档文本内容
专题 1.6 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:34)(cid:9)(cid:35)(cid:36)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:19)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:44)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:26)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:48)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:22)(cid:3)(cid:26)(cid:49)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:19)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:38)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)12 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:54)(cid:57)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:49)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)13 (cid:49)(cid:32)“24”(cid:58)(cid:19)...........................................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)14 (cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:60)(cid:61)(cid:19)..............................................................................................................................11
知识点1 有理数的乘方
1. (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)n(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:26)(cid:29)(cid:24)ɑ(cid:67)(cid:29)(cid:65)(cid:69) (cid:65)(cid:40)(cid:70) (cid:71)(cid:72)n(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:29)(cid:24)(cid:26)(cid:73)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:74)(cid:70)(cid:29)(cid:30)(cid:65)(cid:29)(cid:30)
(cid:66) 𝑛
𝑎⋅𝑎·⋯·𝑎 𝑎
(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:74)(cid:70)(cid:25)(cid:71) 𝑛
2. (cid:59)(cid:65)a(cid:74)(cid:70)(cid:77)(cid:24)(cid:65)n(cid:74)(cid:70)(cid:78)(cid:24)(cid:65) (cid:79)(cid:70)a(cid:26)n(cid:80)(cid:30)(cid:81)(cid:82)a(cid:26)n(cid:80)(cid:25)(cid:83)(cid:71)
𝑛 𝑛
(cid:78)(cid:24)
𝑎 (cid:25) 𝑎
𝑛
(cid:77)
𝑎
3. (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:34)(cid:9)(cid:26)(cid:35)(cid:36) (cid:24)
正 数：正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数
负数：
负数的偶次幂是正数
0：0的任何正整数次幂都是0
知识点2 科学记数法
(cid:85)(cid:62)(cid:66)(cid:86)(cid:87)10(cid:26)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:88) × (cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:81)(cid:91)(cid:59)a(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:92)(cid:87)1(cid:93)(cid:94)(cid:87)10(cid:65)n(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:83)(cid:65)(cid:98)(cid:99)(cid:40)(cid:24)(cid:30)(cid:41)
𝒏
(cid:74)(cid:70)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:71)(cid:100)(cid:87)(cid:94)(cid:87)𝒂 10𝟏𝟎(cid:26)(cid:24)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:71)(cid:106)(cid:107) 370000= ×10 (cid:71)
5
− − −3.7知识点3 有理数的混合运算顺序
1. (cid:108)(cid:29)(cid:30)(cid:65)(cid:109)(cid:29)(cid:110)(cid:65)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)
2. (cid:68)(cid:116)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:115)
3. (cid:107)(cid:22)(cid:123)(cid:9)(cid:65)(cid:108)(cid:124)(cid:123)(cid:9)(cid:125)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:126)(cid:94)(cid:123)(cid:9)(cid:127)(cid:59)(cid:123)(cid:9)(cid:127)(cid:86)(cid:123)(cid:9)(cid:128)(cid:80)(cid:121)(cid:122)(cid:71)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:129)(cid:130)(cid:116)(cid:65)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:131)(cid:62)(cid:116)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:29)(cid:110)(cid:95)(cid:131)(cid:132)(cid:116)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:131)(cid:130)(cid:116)(cid:31)(cid:32)(cid:71)(cid:31)(cid:32)(cid:133)(cid:55)(cid:95)(cid:108)(cid:32)(cid:134)(cid:116)(cid:65)
(cid:109)(cid:32)(cid:135)(cid:116)(cid:115)(cid:68)(cid:116)(cid:31)(cid:32)(cid:126)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:26)(cid:133)(cid:55)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:100)(cid:87)(cid:136)(cid:22)(cid:137)(cid:138)(cid:123)(cid:9)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:62)(cid:63)(cid:108)(cid:32)(cid:94)(cid:123)(cid:9)(cid:125)(cid:26)(cid:65)(cid:109)(cid:32)(cid:59)(cid:123)
(cid:9)(cid:125)(cid:26)(cid:65)(cid:111)(cid:112)(cid:32)(cid:86)(cid:123)(cid:9)(cid:125)(cid:26)(cid:71)
【题型1 有理数幂的概念】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:81)2024·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:147)2 +2 +2 +....+2 =2 (cid:81) >1(cid:65) (cid:148)(cid:149)(cid:96)(cid:97)(cid:24) (cid:65)(cid:150)m(cid:26)(cid:111)
3 3 (cid:66)23 3 𝑚
3 𝑘 𝑘,𝑚
(cid:94)(cid:151)(cid:149)(cid:81) (cid:83) 𝑘
A(cid:71)3 B(cid:71)4 C(cid:71)6 D(cid:71)9
(cid:15)(cid:45)(cid:90)1-1(cid:19)(cid:81)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)-2 (cid:26)(cid:77)(cid:24)(cid:95) (cid:78)(cid:24)(cid:95) (cid:42)(cid:43) (cid:71)
3
(cid:15)(cid:45)(cid:90)1-2(cid:19)(cid:81)2024(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:163)(cid:164)·(cid:165)(cid:20)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:41)(cid:96)(cid:169)(cid:26)(cid:22)(cid:81)(cid:170)(cid:170)(cid:83)
(cid:171)(cid:22)(cid:172)(cid:30)(cid:173) (cid:26)(cid:24)(cid:115) (cid:95)(cid:174)(cid:24)(cid:115) ( + ) (cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:115) (cid:175)(cid:176)(cid:62)(cid:66)(cid:94)(cid:87)1(cid:26)(cid:24)(cid:148)(cid:86)(cid:87)(cid:177)(cid:26)(cid:172)(cid:30)(cid:71)
2 2
①A(cid:71)1(cid:66) −9 B②(cid:71)2−(cid:66)𝑎 ③ 𝑚C(cid:71)𝑑3(cid:66) ④ D(cid:71)4(cid:66)
(cid:66) (cid:66)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)1-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:139)(cid:140)(cid:178)(cid:179)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)3+3+3+ +3+2×2×2× ×2(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:102)(cid:42)(cid:43)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
𝑚 𝑛
A(cid:71) + B(cid:71) + C(cid:71)3 + ⋅⋅⋅ D(cid:71) +2⋅⋅⋅
3 𝑚 𝑛
【题型
32𝑚
有
2
理
𝑛
数的乘方运
𝑚
算】
2𝑛 2𝑛 3𝑚
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:179)(cid:182)(cid:183)(cid:184)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:185)(cid:186)(cid:86)(cid:94)(cid:10) 2 3 (cid:81)(cid:187)>(cid:82)<(cid:83)(cid:71)
33 2 2
(cid:15)(cid:45)(cid:90)2-1(cid:19)(cid:81)2025·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:142)·(cid:132)(cid:143)(cid:83)(cid:191)(cid:192)( ) +−| +1|=−0(cid:65)(cid:150) (cid:26)(cid:151)(cid:95) (cid:71)
2 𝑥
𝑥−2025 𝑦1 𝑦
(cid:15)(cid:45)(cid:90)2-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:154)(cid:193)(cid:194)(cid:122)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:49)(cid:32)(cid:10) ×16 = (cid:71)
4 11
6
(cid:15)(cid:45)(cid:90)2-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:195)(cid:182)(cid:195)(cid:142)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:196)(cid:38)(cid:132)(cid:121)−(cid:197)(cid:24)(cid:113)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:41)(cid:150)(cid:49)(cid:32)(11010) +(111) (cid:65)(cid:198)(cid:85)
(cid:49)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:199)(cid:200)(cid:149)(cid:201)(cid:121)(cid:197)(cid:24)(cid:95) (cid:71) 2 2
【题型3 有理数乘方的逆运算】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:81)2025·(cid:202)(cid:203)(cid:195)(cid:204)·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)n(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:26)(cid:205)(cid:24)a(cid:67)(cid:29) (cid:40)(cid:70) (cid:65)(cid:107)
𝑛
2×2×2=2 =8(cid:71)(cid:206)(cid:207)(cid:65)3(cid:74)(cid:124)(cid:103)2(cid:149)(cid:77)(cid:26)8(cid:26)“(cid:208)(cid:209)(cid:24)”(cid:65)(cid:40)(cid:149) (𝑎8)⋅(cid:65)𝑎(cid:150)⋅𝑎⋅𝑎(⋯8)⋅=𝑎3(cid:71)(cid:62)𝑎(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:147) =
3 𝑛
𝐿2 𝐿2 𝑎 𝑏(cid:81) >0(cid:93) 1(cid:83)(cid:65)(cid:150)n(cid:74)(cid:124)(cid:103)a(cid:149)(cid:77)(cid:26)b(cid:26)“(cid:208)(cid:209)(cid:24)”(cid:65)(cid:40)(cid:149) ( )= (cid:65)(cid:107)3 =81(cid:65)(cid:150)4(cid:74)(cid:124)(cid:103)3(cid:149)(cid:77)(cid:26)
4
81𝑎(cid:26)“(cid:208)(cid:209)𝑎(cid:24)≠”(cid:65)(cid:40)(cid:149) (81)=4(cid:71)(cid:150) (9), (27), (243)(cid:210)(cid:211)𝐿(cid:3)𝑎 (cid:212)𝑏 (cid:90) 𝑛 (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)3-1(cid:19)(cid:81)22-23𝐿(cid:152)3(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:195)(cid:182)(cid:182)𝐿3(cid:213)·(cid:180)𝐿(cid:59)3 (cid:83)6𝐿=3 36,(2×3) =2 ×3 =4×9=36(cid:65)(cid:214)(cid:206)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:217)
2 2 2 2
2 × 1 =(cid:81) (cid:83)
2 33
36
1
A(cid:71)6 B(cid:71)8 C(cid:71) D(cid:71)(cid:201)(cid:129)(cid:218)(cid:219)
8
(cid:15)(cid:45)(cid:90)3-2(cid:19)(cid:81)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:179)(cid:182)(cid:220)(cid:221)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:191)(cid:192)| |=2, =25,3 =27(cid:65)(cid:93) >0(cid:65)(cid:150) + (cid:26)(cid:151)(cid:149)
2 𝑐
(cid:81)(cid:170)(cid:170)(cid:83) 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑐
A(cid:71)10 B(cid:71)6 C(cid:71)3 D(cid:71)6(cid:82)(cid:222)0
(cid:15)(cid:45)(cid:90)3-3(cid:19)(cid:81)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:188)(cid:189)(cid:223)(cid:224)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:147)126×3 = (cid:65)(cid:150)126×3 (cid:26)(cid:151)(cid:102)(cid:103)(cid:42)(cid:43)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
8 6
1 𝑝 1
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)
6 9
𝑝 𝑝−9 𝑝−6 𝑝
【题型4 乘方运算的符号规律】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:81)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:195)(cid:182)(cid:225)(cid:226)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:49)(cid:32)(cid:10) ( ) +( ) +( ) + +( ) =
1 2 3 10
(cid:15)(cid:45)(cid:90)4-1(cid:19)(cid:81)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:139)(cid:227)(cid:6)(cid:226)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:228)( −)1 (cid:65)−21 (cid:65)( −)1 (cid:65)0⋯(cid:59)(cid:65)−(cid:229)1(cid:174)(cid:24)(cid:22)(cid:81)(cid:170)(cid:170)(cid:83)
2021 3 11
A(cid:71)1(cid:66) B(cid:71)2(cid:66) C(cid:71)3(cid:66)−1 − D−(cid:71)74(cid:66)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)4-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:202)(cid:203)(cid:227)(cid:230)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:191)(cid:192) = +2024(cid:26)(cid:111)(cid:86)(cid:151)(cid:149) (cid:71)
4
(cid:15)(cid:45)(cid:90)4-3(cid:19)(cid:81)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:139)(cid:227)(cid:231)(cid:139)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:232)𝑦 (cid:97)−(cid:24)(𝑥−(cid:149)6 ) (cid:207)(cid:65) = (cid:115)(cid:147) (cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:65)(cid:150)
𝑛
+ = (cid:71) 𝑛 (−1) −1 𝑛
𝑛 𝑛+1
( 【 − 题 1) 型5 ( − 乘 1) 方的应用】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:155)(cid:233)(cid:234)(cid:235)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:164)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:40)(cid:245)(cid:65)(cid:246)(cid:239)(cid:207)(cid:180)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:228)(cid:251)(cid:252)(cid:154)(cid:253)(cid:75)
(cid:254)(cid:40)(cid:255)(cid:24)(cid:256)(cid:65)(cid:69)“(cid:75)(cid:251)(cid:40)(cid:24)”(cid:71)(cid:107)(cid:57)(cid:65)(cid:62)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:228)(cid:117)(cid:120)(cid:119)(cid:118)(cid:128)(cid:80)(cid:260)(cid:167)(cid:26)(cid:251)(cid:252)(cid:154)(cid:253)(cid:75)(cid:65)(cid:210)(cid:152)(cid:121)(cid:62)(cid:65)(cid:38)(cid:254)(cid:40)(cid:255)(cid:261)(cid:262)
(cid:119)(cid:26)(cid:263)(cid:76)(cid:26)(cid:66)(cid:24)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:264)(cid:62)(cid:265)(cid:261)(cid:262)(cid:119)(cid:26)(cid:263)(cid:76)(cid:24)(cid:266)(cid:267)(cid:87)75(cid:66)(cid:65)(cid:150)(cid:264)(cid:228)(cid:131)2(cid:236)(cid:251)(cid:252)(cid:154)(cid:253)(cid:75)(cid:26)(cid:102)(cid:216)(cid:268)(cid:269)(cid:22)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)1(cid:99) B(cid:71)2(cid:99) C(cid:71)3(cid:99) D(cid:71)4(cid:99)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)5-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:155)(cid:233)(cid:234)(cid:235)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:62)(cid:236)1(cid:270)(cid:271)(cid:26)(cid:251)(cid:252)(cid:65)(cid:131)(cid:62)(cid:80)(cid:272)(cid:273)(cid:62)(cid:274)(cid:65)(cid:131)(cid:132)(cid:80)(cid:272)(cid:273)(cid:275)(cid:166)(cid:26)(cid:62)
(cid:274)(cid:65)(cid:107)(cid:206)(cid:166)(cid:273)(cid:65)(cid:131)6(cid:80)(cid:112)(cid:275)(cid:166)(cid:26)(cid:251)(cid:252)(cid:26)(cid:271)(cid:276)(cid:149)(cid:81)(cid:170)(cid:170)(cid:83)1 1 1 1
A(cid:71) (cid:270) B(cid:71) (cid:270) C(cid:71) (cid:270) D(cid:71) (cid:270)
2 3 2 5 2 6 2 12
(cid:15)(cid:45)(cid:90)5-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:277)(cid:227)(cid:278)(cid:279)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:228)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:39)(cid:11)(cid:59)(cid:22)(cid:195)(cid:281)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:65)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:282)(cid:128)(cid:283)(cid:49)(cid:32)(cid:280)
(cid:26)(cid:284)(cid:285)(cid:148)(cid:286)(cid:38)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:254)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:287)(cid:282)(cid:24)(cid:237)(cid:71)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:95)(cid:288)(cid:132)(cid:121)(cid:62)(cid:65)(cid:91)(cid:289)(cid:24)(cid:257)(cid:154)(cid:26)(cid:24)(cid:287)(cid:149)0(cid:82)1(cid:65)(cid:198)(cid:196)(cid:38)(cid:290)(cid:291)(cid:42)(cid:43)
(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:24)(cid:65)(cid:106)(cid:107)(cid:65)(1011) (cid:292)(cid:95)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:24)1011(cid:26)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:41)(cid:71)(cid:228)(cid:11)(cid:162)(cid:17)(cid:39)(cid:296)(cid:241)(cid:121)(cid:257)(cid:197)(cid:26)(cid:297)(cid:298)(cid:48)(cid:60)(cid:61)(cid:244)(cid:103)(cid:112)(cid:65)(cid:94)
(cid:279)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:198)(cid:121)(cid:122)(cid:301)(cid:304)(cid:305)2 (cid:65)(cid:306)(cid:307)(cid:103)(cid:166)(cid:308)(cid:99)(cid:30)(cid:41)(cid:309)(cid:102)(cid:52)(cid:307)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:48)(cid:201)(cid:121)(cid:197)(cid:310)(cid:311)(cid:26)(cid:199)(cid:312)(cid:71)
(cid:103)98(cid:149)(cid:106)(cid:10)
(cid:30)(cid:41)(cid:62)(cid:10)(cid:205)(cid:149)98=64+32+2
=1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +0×2
6 5 4 3 2 1 0
(cid:313)(cid:103)98=(1100010) (cid:71)
(cid:30)(cid:41)(cid:132)(cid:10)(cid:38)(cid:107)(cid:57)(cid:26)(cid:314)(cid:110)2 (cid:41)(cid:32)(cid:90)(cid:42)(cid:43)(cid:10)
(cid:315)(cid:215)(cid:236)(cid:237)(cid:103)(cid:154)(cid:316)(cid:303)(cid:65)(cid:85)123(cid:199)(cid:312)(cid:149)(cid:317)(cid:121)(cid:197)(cid:24)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)(1111011) B(cid:71)(123) C(cid:71)(cid:81)443(cid:83) D(cid:71)(344)
5 5 5
5
(cid:15)(cid:45)(cid:90)5-3(cid:19)(cid:81)2024(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:163)(cid:164)·(cid:165)(cid:20)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:38)(cid:321)(cid:92)(cid:116)(cid:38)(cid:202)(cid:66)(cid:291)(cid:298)(cid:57)(cid:322)(cid:43)(cid:65)(cid:117)(cid:135)(cid:119)(cid:134)(cid:129)(cid:323)(cid:149)(cid:324)(cid:324)(cid:127)
(cid:325)(cid:326)(cid:127)(cid:327)(cid:226)(cid:127)(cid:328)(cid:329)(cid:65)(cid:261)(cid:38)“(cid:210)(cid:202)(cid:121)(cid:62)”(cid:197)(cid:65)(cid:62)(cid:330)(cid:331)(cid:95)(cid:324)(cid:324)(cid:65)1(cid:66)(cid:324)(cid:324)(cid:149)1(cid:116)(cid:65)4(cid:66)(cid:324)(cid:324)(cid:92)(cid:87)1(cid:66)(cid:325)(cid:326)(cid:65)4(cid:66)(cid:325)(cid:326)(cid:92)
(cid:87)1(cid:66)(cid:327)(cid:226)(cid:65)4(cid:66)(cid:327)(cid:226)(cid:92)(cid:87)1(cid:66)(cid:328)(cid:329)(cid:71)(cid:318)(cid:38)(cid:321)(cid:26)(cid:92)(cid:116)(cid:291)(cid:298)(cid:57)(cid:149)(cid:308)(cid:66)(cid:328)(cid:329)(cid:65)(cid:150)(cid:332)(cid:38)(cid:321)(cid:26)(cid:92)(cid:116)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)64 B(cid:71)128 C(cid:71)256 D(cid:71)512
【题型6 用科学记数法表示数】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:81)24-25(cid:333)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:155)(cid:156)(cid:334)(cid:142)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:155)(cid:156)(cid:335)(cid:306)(cid:336)2024(cid:153)10(cid:320)(cid:337)(cid:338)(cid:52)(cid:339)(cid:65)(cid:228)(cid:340)(cid:341)(cid:138)(cid:58)(cid:342)(cid:343)(cid:292)(cid:344)
(cid:345)(cid:344)(cid:30)(cid:346)(cid:65)(cid:347)(cid:97)(cid:348)(cid:349)(cid:345)(cid:344)(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:65)(cid:163)(cid:153)(cid:356)(cid:113)(cid:204)(cid:260)(cid:350)(cid:351)(cid:357)(cid:358)6000(cid:359)(cid:360)(cid:71)(cid:44)6000(cid:359)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)
(cid:149)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)0.6×10 B(cid:71)6×10 C(cid:71)6×10 D(cid:71)6×10
8 7 3 6
(cid:15)(cid:45)(cid:90)6-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:361)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:362)(cid:363)(cid:155)(cid:86)(cid:364)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:238)(cid:164)(cid:164)(cid:365)(cid:346)(cid:73)9600000(cid:172)(cid:30)(cid:366)(cid:270)(cid:65)(cid:98)(cid:66)(cid:24)(cid:287)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)
(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:40)(cid:70) (cid:71)(cid:15)(cid:45)(cid:90)6-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:333)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:184)(cid:367)(cid:368)(cid:369)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:228)2025(cid:153)(cid:370)(cid:26)(cid:39)(cid:371)(cid:372)(cid:65)(cid:62)(cid:353)(cid:373)(cid:149)DeepSeek(cid:26)(cid:247)(cid:374)(cid:375)(cid:216)(cid:37)(cid:38)
(cid:54)(cid:55)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:65)(cid:380)(cid:306)(cid:301)(cid:163)(cid:381)(cid:38)(cid:321)(cid:26)(cid:382)(cid:383)(cid:3)(cid:4)(cid:71)(cid:98)(cid:353)(cid:37)(cid:38)(cid:87)1(cid:325)11(cid:384)(cid:96)(cid:90)(cid:154)(cid:385)(cid:65)(cid:386)(cid:386)(cid:24)(cid:387)(cid:207)(cid:311)(cid:292)(cid:388)(cid:254)(cid:301)(cid:389)(cid:390)
(cid:26)(cid:166)(cid:245)(cid:256)(cid:65)(cid:391)(cid:43)(cid:301)(cid:91)(cid:392)(cid:86)(cid:26)(cid:393)(cid:394)(cid:395)(cid:380)(cid:396)(cid:71)(cid:236)(cid:237)(cid:24)(cid:237)(cid:129)(cid:397)(cid:65)(cid:398)(cid:306)(cid:336)(cid:399)2(cid:325)9(cid:384)(cid:65)DeepSeek(cid:26)(cid:400)(cid:49)(cid:166)(cid:245)(cid:256)(cid:191)(cid:378)
(cid:389)1.1(cid:390)(cid:71)(cid:44)(cid:24)(cid:237)1.1(cid:390)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)0.11×10 B(cid:71)1.1×10 C(cid:71)1.1×10 D(cid:71)11×10
9 8 7 7
(cid:15)(cid:45)(cid:90)6-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:154)(cid:193)(cid:194)(cid:122)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:232)(cid:238)(cid:248)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:207)(cid:65)(cid:197)(cid:405)(cid:406)(cid:249)(cid:407)(cid:261)(cid:38)(cid:201)(cid:121)(cid:197)(cid:294)(cid:257)(cid:291)(cid:4)(cid:408)(cid:409)(cid:410)
(cid:256)(cid:71)(cid:24)(cid:237)(cid:26)(cid:411)(cid:412)(cid:294)(cid:257)(cid:62)(cid:63)(cid:38)KB(cid:127)MB(cid:127)GB(cid:127)TB (cid:254)(cid:42)(cid:43)(cid:65)(cid:91)(cid:59)1MB=2 KB(cid:65)1GB=2 MB(cid:71)(cid:62)(cid:66)(cid:403)(cid:404)(cid:26)
10 10
(cid:410)(cid:256)(cid:95)900GB(cid:65)(cid:102)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:149) M⋯B⋯(cid:71)
【题型7 将用科学记数法表示的数变回原数】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:413)(cid:142)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:166)(cid:167)(cid:202)(cid:66)(cid:24)(cid:59)(cid:65)(cid:151)(cid:111)(cid:86)(cid:26)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)8.2×10 B(cid:71)2.8×10 C(cid:71)8.2×10 D(cid:71)2.8×10
3 3 2 2
(cid:15)(cid:45)(cid:90)7-1(cid:19)(cid:81)2024(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:163)(cid:164)·(cid:165)(cid:20)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:414)(cid:153)“(cid:317)(cid:62)”(cid:415)(cid:180)(cid:65)(cid:416)(cid:227)(cid:335)(cid:417)(cid:418)(cid:393)(cid:394)(cid:341)(cid:419)(cid:420)(cid:421)(cid:65)(cid:417)(cid:418)(cid:243)(cid:183)(cid:392)(cid:422)
(cid:423)(cid:233)(cid:71)(cid:236)(cid:237)(cid:163)(cid:335)(cid:201)(cid:202)(cid:66)(cid:393)(cid:142)(cid:424)(cid:51)(cid:146)(cid:32)(cid:268)(cid:269)(cid:425)(cid:426)(cid:65)(cid:414)(cid:153)“(cid:317)(cid:62)”(cid:415)(cid:180)(cid:163)(cid:335)(cid:265)(cid:427)(cid:428)(cid:429)(cid:430)1.7871×10 (cid:247)(cid:80)(cid:65)(cid:68)(cid:431)(cid:432)
7
(cid:185)(cid:273)(cid:153)“(cid:317)(cid:62)”(cid:415)(cid:180)(cid:356)(cid:271)(cid:301)114.61%(cid:65)(cid:24)(cid:237)1.7871×10 (cid:26)(cid:257)(cid:24)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
7
A(cid:71)6 B(cid:71)7 C(cid:71)8 D(cid:71)9
(cid:15)(cid:45)(cid:90)7-2(cid:19)(cid:81)2025·(cid:155)(cid:233)(cid:433)(cid:142)·(cid:59)(cid:305)(cid:434)(cid:20)(cid:83)2025(cid:153)3(cid:325)30(cid:384)(cid:65)(cid:433)(cid:142)(cid:435)(cid:434)(cid:274)(cid:54)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:439)(cid:86)(cid:31)(cid:139)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:212)(cid:167)(cid:440)
(cid:228)(cid:393)(cid:337)(cid:59)(cid:441)(cid:195)(cid:394)(cid:442)(cid:443)(cid:330)(cid:444)(cid:65)(cid:445)30000(cid:373)(cid:444)(cid:222)(cid:38)(cid:446)(cid:447)(cid:448)(cid:256)(cid:366)(cid:153)(cid:239)(cid:449)(cid:65)(cid:38)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:455)(cid:382)(cid:456)(cid:71)(cid:44)(cid:24)(cid:237)30000(cid:38)
(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:149) (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)7-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:139)(cid:227)(cid:330)(cid:457)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:94)(cid:458)(cid:228)(cid:124)(cid:161)(cid:162)(cid:20)(cid:207)(cid:65)(cid:266)(cid:94)(cid:441)(cid:85)(cid:459)(cid:460)(cid:461)(cid:228)(cid:301)(cid:162)(cid:20)(cid:154)(cid:65)(cid:107)(cid:57)
(cid:313)(cid:43)(cid:65)(cid:462)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:466)(cid:112)(cid:173)(cid:192)(cid:467)(cid:20)(cid:26)(cid:96)(cid:169)(cid:465)(cid:466)(cid:468)B(cid:65)(cid:150)(cid:47)(cid:24)(cid:59)(cid:24)(cid:287)“3”(cid:112)“0”(cid:26)(cid:66)(cid:24)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
(cid:271)(cid:155)(cid:95)(cid:469)(cid:372)(cid:131)(cid:130)(cid:271)(cid:139)(cid:65)(cid:101)(cid:95)(cid:470)(cid:471)(cid:111)(cid:271)(cid:26)(cid:139)(cid:56)(cid:65)(cid:163)(cid:271)(cid:445)63(cid:270)(cid:65)(cid:44)63(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)63×10 B(cid:71)6.3×10 C(cid:71)0.63×10 D(cid:71)6.3×10
5 6 7 7
A(cid:71)3(cid:66) B(cid:71)4(cid:66) C(cid:71)5(cid:66) D(cid:71)6(cid:66)
【题型8 与科学记数法有关的计算】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:81)2025·(cid:140)(cid:472)·(cid:59)(cid:305)(cid:434)(cid:20)(cid:83)2025(cid:153)5(cid:325)29(cid:384)(cid:65)(cid:122)(cid:324)(cid:60)(cid:146)(cid:374)(cid:54)(cid:473)(cid:474)(cid:132)(cid:9)(cid:60)(cid:146)(cid:475)(cid:228)(cid:156)(cid:476)(cid:477)(cid:324)(cid:306)(cid:478)(cid:59)(cid:441)(cid:88)
(cid:479)(cid:306)(cid:478)(cid:65)(cid:330)(cid:480)(cid:100)(cid:481)(cid:64)(cid:94)(cid:122)(cid:324)2016HO3(cid:26)(cid:60)(cid:146)(cid:48)(cid:261)(cid:482)(cid:483)(cid:46)(cid:310)(cid:418)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:332)(cid:94)(cid:122)(cid:324)(cid:48)(cid:64)(cid:381)(cid:26)(cid:111)(cid:481)(cid:484)(cid:485)(cid:445)(cid:149)(cid:325)(cid:381)(cid:246)
(cid:64)(cid:58)(cid:484)(cid:485)(cid:26)45(cid:486)(cid:65)(cid:325)(cid:381)(cid:246)(cid:64)(cid:58)(cid:484)(cid:485)(cid:445)(cid:149)4×10 km(cid:65)(cid:150)(cid:332)(cid:94)(cid:122)(cid:324)(cid:48)(cid:64)(cid:381)(cid:26)(cid:111)(cid:481)(cid:484)(cid:485)(cid:445)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
5
A(cid:71)1.8×10 km B(cid:71)1.8×10 km C(cid:71)1.8×10 km D(cid:71)1.8×10 km
5 6 7 10(cid:15)(cid:45)(cid:90)8-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:154)(cid:193)(cid:487)(cid:488)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:191)(cid:192)(cid:327)(cid:226)(cid:119)(cid:64)(cid:381)(cid:26)(cid:484)(cid:485)(cid:445)(cid:149)1.5×10 (cid:366)(cid:270)(cid:65)(cid:489)(cid:490)(cid:445)(cid:149)3×10
8 5
(cid:366)(cid:270)/(cid:491)(cid:65)(cid:492)(cid:493)(cid:489)(cid:117)(cid:327)(cid:226)(cid:494)(cid:119)(cid:64)(cid:381)(cid:86)(cid:445)(cid:495)(cid:496) (cid:491)(cid:71)(cid:81)(cid:75)(cid:76)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:83)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)8-2(cid:19)(cid:81)2025·(cid:416)(cid:227)(cid:271)(cid:497)·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:228)(cid:62)(cid:80)“(cid:498)(cid:445)(cid:38)(cid:460)(cid:65)(cid:351)(cid:499)(cid:460)(cid:302)(cid:500)”(cid:26)(cid:501)(cid:502)(cid:59)(cid:65)(cid:11)(cid:503)(cid:504)(cid:505)(cid:506)(cid:247)(cid:506)(cid:473)(cid:498)
(cid:445)0.1(cid:420)(cid:460)(cid:65)(cid:107)(cid:76)(cid:332)(cid:393)(cid:445)(cid:22)5(cid:359)(cid:11)(cid:338)(cid:65)(cid:507)(cid:49)(cid:332)(cid:393)(cid:163)(cid:343)(cid:11)(cid:338)(cid:62)(cid:153)(cid:26)(cid:498)(cid:460)(cid:256)(cid:149) (cid:420)(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)8-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:179)(cid:182)(cid:508)(cid:449)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:460)(cid:214)(cid:460)(cid:129)(cid:252)(cid:509)(cid:88)(cid:65)1g(cid:460)(cid:59)(cid:445)(cid:22)3.34×10 (cid:66)(cid:460)(cid:129)(cid:252)(cid:65)(cid:150)2kg
22
(cid:460)(cid:59)(cid:22)(cid:81) (cid:83)(cid:66)(cid:460)(cid:129)(cid:252)(cid:71)
A(cid:71)0.668×10 B(cid:71)6.68×10 C(cid:71)66.8×10 D(cid:71)668×10
26 25 24 23
【题型9 科学记数法的应用】
(cid:15)(cid:106)9(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:155)(cid:233)(cid:407)(cid:142)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:70)(cid:149)(cid:449)(cid:393)(cid:134)(cid:510)(cid:256)(cid:306)(cid:322)“(cid:86)(cid:502)(cid:511)”(cid:26)(cid:407)(cid:142)(cid:64)(cid:512)(cid:65)(cid:481)(cid:153)(cid:254)(cid:149)(cid:449)(cid:393)(cid:306)(cid:322)(cid:282)
(cid:513)(cid:337)(cid:338)(cid:501)(cid:504)(cid:514)(cid:301)(cid:134)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:26)(cid:7)(cid:265)(cid:518)(cid:249)(cid:519)(cid:520)(cid:71)(cid:91)(cid:59)1(cid:9)(cid:385)(cid:95)(cid:407)(cid:142)(cid:393)(cid:131)(cid:62)(cid:521)(cid:330)(cid:374)(cid:189)(cid:284)(cid:26)(cid:64)(cid:512)(cid:385)(cid:522)(cid:65)(cid:87)2019(cid:153)9
(cid:325)21(cid:384)(cid:330)(cid:249)(cid:31)(cid:523)(cid:65)(cid:98)(cid:521)(cid:385)(cid:522)(cid:524)(cid:227)(cid:140)(cid:525)(cid:526)(cid:65)(cid:140)(cid:379)(cid:527)(cid:140)(cid:528)(cid:529)(cid:530)(cid:7)(cid:531)(cid:532)(cid:65)(cid:533)(cid:243)(cid:473)(cid:184)(cid:528)(cid:65)(cid:227)(cid:399)(cid:534)(cid:121)(cid:528)(cid:227)(cid:367)(cid:535)(cid:532)(cid:71)(cid:107)
(cid:57)(cid:149)1(cid:9)(cid:385)(cid:536)(cid:537)(cid:26)(cid:538)(cid:129)(cid:532)(cid:58)(cid:71)(cid:237)(cid:539)(cid:49)(cid:65)2024(cid:153)10(cid:325)1(cid:384)(cid:399)7(cid:384)(cid:65)(cid:407)(cid:142)(cid:64)(cid:512)1(cid:9)(cid:385)(cid:430)(cid:56)(cid:256)(cid:540)135.13(cid:359)(cid:247)(cid:80)(cid:71)
(1)(cid:147)135.13(cid:359)(cid:247)(cid:80)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:149)1.3513×10 (cid:247)(cid:80)(cid:65)(cid:150) =_______(cid:71)
𝑛
(2)(cid:318)(cid:473)(cid:65)(cid:94)(cid:541)(cid:68)(cid:11)(cid:117)(cid:542)(cid:381)(cid:543)(cid:532)(cid:330)(cid:331)(cid:29)(cid:544)(cid:64)(cid:512)1(cid:9)(cid:385)(cid:65)(cid:228)(cid:64)(cid:512)(cid:289)𝑛(cid:532)(cid:58)(cid:124)(cid:545)(cid:546)(cid:222)(cid:519)(cid:520)(cid:65)(cid:119)A(cid:532)(cid:166)(cid:547)(cid:207)(cid:65)(cid:467)(cid:80)(cid:545)
(cid:546)(cid:222)(cid:519)(cid:520)(cid:501)(cid:502)(cid:75)(cid:548)(cid:65)(cid:445)(cid:549)(cid:526)(cid:227)(cid:367)(cid:535)(cid:532)(cid:30)(cid:526)(cid:149)(cid:96)(cid:65)(cid:232)(cid:473)(cid:26)(cid:29)(cid:547)(cid:40)(cid:255)(cid:107)(cid:166)(cid:81)(cid:294)(cid:257)(cid:10)(cid:532)(cid:83)(cid:10)
+ +8,+ +8(cid:71)
5(cid:315),−(cid:249)2,(cid:250)−6(cid:49), (cid:32)(cid:168)(cid:279)3,A−(cid:532)4,−(cid:95)9(cid:550), (cid:62)(cid:532)(cid:551)
①(cid:147)(cid:67)(cid:552)(cid:308)(cid:532)(cid:310)(cid:311)(cid:26)(cid:172)(cid:309)(cid:484)(cid:485)(cid:149)1.2(cid:366)(cid:270)(cid:65)(cid:72)(cid:98)(cid:80)(cid:94)(cid:541)(cid:545)(cid:546)(cid:519)(cid:520)(cid:180)(cid:311)(cid:29)(cid:544)(cid:64)(cid:512)(cid:122)(cid:121)(cid:26)(cid:522)(cid:54)(cid:95)(cid:137)(cid:267)(cid:366)(cid:270)(cid:551)
②(cid:15)(cid:45)(cid:90)9-1(cid:19)(cid:81)2024(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:163)(cid:164)·(cid:165)(cid:20)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:191)(cid:192)1cm (cid:26)(cid:553)(cid:554)(cid:510)(cid:256)(cid:445)(cid:149)0.00009g(cid:65)(cid:315)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:166)
3
(cid:167)(cid:49)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:10)
(1)(cid:72)(cid:62)(cid:66)(cid:410)(cid:73)(cid:149)8000000cm (cid:26)(cid:553)(cid:554)(cid:381)(cid:313)(cid:230)(cid:553)(cid:554)(cid:26)(cid:510)(cid:256)(cid:115)
3
(2)(cid:62)(cid:555)(cid:556)(cid:557)(cid:138)18g(cid:65)(cid:98)(cid:555)(cid:556)(cid:557)(cid:26)(cid:510)(cid:256)(cid:95)1cm (cid:26)(cid:553)(cid:554)(cid:510)(cid:256)(cid:26)(cid:137)(cid:267)(cid:486)(cid:551)
3
(cid:15)(cid:45)(cid:90)9-2(cid:19)(cid:81)2024(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:277)(cid:227)·(cid:165)(cid:20)(cid:161)(cid:162)(cid:83)“(cid:62)(cid:558)(cid:62)(cid:559)(cid:232)(cid:304)(cid:254)(cid:560)(cid:266)(cid:242)”(cid:65)(cid:561)(cid:562)(cid:498)(cid:445)(cid:95)(cid:59)(cid:458)(cid:337)(cid:563)(cid:26)(cid:564)(cid:539)(cid:565)(cid:566)(cid:65)
(cid:62)(cid:567)(cid:86)(cid:270)(cid:568)(cid:569)(cid:5)(cid:266)(cid:211)(cid:570)(cid:65)(cid:571)(cid:572)(cid:267)(cid:88)(cid:137)(cid:65)(cid:24)(cid:256)(cid:86)(cid:301)(cid:101)(cid:95)(cid:229)(cid:407)(cid:102)(cid:573)(cid:26)(cid:71)(cid:149)(cid:301)(cid:574)(cid:68)(cid:11)(cid:248)(cid:343)(cid:575)(cid:119)(cid:498)(cid:445)(cid:456)(cid:499)(cid:506)(cid:62)(cid:567)(cid:576)
(cid:577)(cid:26)(cid:138)(cid:496)(cid:578)(cid:65)(cid:579)(cid:580)(cid:509)(cid:581)(cid:68)(cid:11)(cid:248)(cid:121)(cid:122)(cid:301)(cid:52)(cid:53)(cid:146)(cid:32)(cid:65)(cid:582)(cid:173)500(cid:567)(cid:86)(cid:270)(cid:138)(cid:445)10(cid:583)(cid:71)(1)(cid:62)(cid:567)(cid:86)(cid:270)(cid:138)(cid:445)(cid:137)(cid:267)(cid:583)(cid:551)
(2)(cid:126)14(cid:390)(cid:247)(cid:431)(cid:65)(cid:506)(cid:153)365(cid:473)(cid:65)(cid:506)(cid:247)(cid:506)(cid:473)(cid:130)(cid:584)(cid:49)(cid:32)(cid:65)(cid:147)(cid:506)(cid:247)(cid:506)(cid:584)(cid:498)(cid:445)(cid:62)(cid:567)(cid:86)(cid:270)(cid:65)(cid:150)(cid:62)(cid:153)(cid:86)(cid:445)(cid:216)(cid:498)(cid:445)(cid:86)(cid:270)(cid:137)(cid:267)
(cid:366)(cid:583)(cid:81)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:83)(cid:551)
(3)(cid:147)(cid:85)(cid:81)2(cid:83)(cid:59)(cid:498)(cid:445)(cid:26)(cid:86)(cid:270)(cid:585)(cid:88)(cid:586)(cid:65)(cid:126)5(cid:360)/(cid:366)(cid:583)(cid:49)(cid:32)(cid:65)(cid:150)(cid:86)(cid:445)(cid:102)(cid:585)(cid:173)(cid:137)(cid:267)(cid:360)(cid:81)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:83)(cid:551)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)9-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:362)(cid:363)(cid:155)·(cid:587)(cid:112)(cid:70)(cid:344)(cid:83)(cid:22)(cid:3)(cid:302)(cid:303)(cid:42)(cid:279)(cid:65)(cid:62)(cid:66)(cid:247)(cid:228)(cid:62)(cid:80)(cid:588)(cid:589)(cid:250)(cid:54)(cid:59)(cid:107)(cid:76)(cid:62)(cid:590)(cid:253)(cid:330)(cid:460)
(cid:363)(cid:591)(cid:65)(cid:44)(cid:592)(cid:593)(cid:86)(cid:445)8(cid:594)(cid:460)(cid:81)(cid:506)(cid:594)(cid:460)(cid:445)0.25(cid:420)(cid:83)(cid:71)(cid:318)(cid:64)(cid:528)(cid:426)(cid:247)(cid:431)(cid:445)2000000(cid:247)(cid:65)(cid:107)(cid:76)(cid:332)(cid:64)(cid:528)(cid:313)(cid:22)(cid:26)(cid:247)(cid:228)(cid:588)(cid:589)
(cid:250)(cid:54)(cid:59)(cid:148)(cid:266)(cid:3)(cid:460)(cid:363)(cid:591)(cid:65)(cid:492)(cid:493)(cid:62)(cid:80)(cid:588)(cid:589)(cid:250)(cid:54)(cid:265)(cid:592)(cid:593)(cid:137)(cid:267)(cid:594)(cid:460)(cid:551)(cid:445)(cid:137)(cid:267)(cid:420)(cid:551)(cid:81)(cid:38)(cid:39)(cid:11)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:83)
【题型10 有理数的混合运算】
(cid:15)(cid:106)10(cid:19)(cid:81)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:125)(cid:595)(cid:239)(cid:596)(cid:597)(cid:598)(cid:599)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:94)(cid:600)(cid:196)(cid:38)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:284)(cid:49)(cid:301)(cid:62)(cid:66)(cid:49)(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:65)(cid:601)(cid:602)(cid:282)(cid:601)(cid:217)(cid:26)(cid:24)
(cid:237)(cid:107)(cid:166)(cid:42)(cid:10)
(cid:601)
1 2 3 4 5 …
(cid:602)
(cid:601)
1 2 3 4 5
…
2 5 10 17 26
(cid:217)
(cid:492)(cid:493)(cid:65)(cid:232)(cid:601)(cid:602)(cid:24)(cid:237)(cid:95)8(cid:207)(cid:65)(cid:601)(cid:217)(cid:26)(cid:24)(cid:237)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
8 8 8 8
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)
61 63 65 67
(cid:15)(cid:45)(cid:90)10-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:361)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:179)(cid:182)(cid:603)(cid:604)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:166)(cid:167)(cid:31)(cid:32)(cid:605)(cid:606)(cid:26)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)( )+ (+5)=
B(cid:71)(−1)4 (7−)÷| |−=192+4÷2
2
C(cid:71) −3 ÷2 − × −4 1 = −2 7÷2× 1
2 2
−7 −
D(cid:71) 7 ×( )+( )× 7 7 ×2= 7 ×( +2)
13 13 13 13
(cid:15)(cid:45)(cid:90)10-2(cid:19)−(cid:81)9 24-25 −(cid:152)3(cid:153)(cid:116)−(cid:154)·(cid:204)−(cid:607)(cid:51)(cid:608)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:38)−(cid:62)9−(cid:260)3 6(cid:66)(cid:362)(cid:609)(cid:610)(cid:611)(cid:254)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:65)(cid:107)(cid:57)(cid:129)(cid:323)(cid:42)(cid:43)(cid:24) (cid:65)(cid:150)
(cid:42)(cid:43)(cid:26)(cid:24)(cid:95) (cid:71) 1−5
●○○●●○(cid:15)(cid:45)(cid:90)10-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:612)(cid:155)(cid:604)(cid:142)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:100)(cid:96)(cid:97)(cid:24)n(cid:613)(cid:423)(cid:121)(cid:122)(cid:166)(cid:167)(cid:308)(cid:99)(cid:31)(cid:32)(cid:10) (cid:147)n(cid:95)(cid:614)(cid:24)(cid:65)(cid:292)(cid:110)
(cid:103)2(cid:115) (cid:147)n(cid:95)(cid:615)(cid:24)(cid:65)(cid:292)(cid:29)(cid:103)3(cid:113)1(cid:71)(cid:106)(cid:107)(cid:10)(cid:96)(cid:97)(cid:24)6(cid:243)(cid:250)(cid:62)(cid:80)(cid:616)(cid:70)(cid:112)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:95)3(cid:65)(cid:243)①(cid:250)(cid:308)(cid:80)(cid:616)(cid:70)(cid:112)(cid:26)(cid:75)(cid:76)
(cid:95)10(cid:71)②(cid:147)(cid:318)(cid:96)(cid:97)(cid:24)m(cid:243)(cid:250)4(cid:80)(cid:616)(cid:70)(cid:112)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:95)2(cid:65)(cid:150)(cid:96)(cid:97)(cid:24)m(cid:26)(cid:151)(cid:95) (cid:71)
【题型11 有理数混合运算的实际应用】
(cid:15)(cid:106)11(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:138)(cid:364)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:83)(cid:132)(cid:617)(cid:618)(cid:228)(cid:238)(cid:248)(cid:384)(cid:407)(cid:338)(cid:501)(cid:59)(cid:37)(cid:38)(cid:619)(cid:254)(cid:619)(cid:195)(cid:281)(cid:65)(cid:177)(cid:95)(cid:38)(cid:318)(cid:99)(cid:428)(cid:549)(cid:26)
(cid:620)(cid:176)(cid:57)(cid:89)(cid:126)(cid:494)(cid:62)(cid:549)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:228)(cid:172)(cid:346)(cid:129)(cid:336)(cid:26)(cid:127)(cid:362)(cid:609)(cid:67)(cid:311)(cid:26)(cid:127)(cid:40)(cid:255)(cid:24)(cid:237)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:621)(cid:26)(cid:57)(cid:89)(cid:115)(cid:228)(cid:240)(cid:618)(cid:622)(cid:197)(cid:154)(cid:623)(cid:624)(cid:196)(cid:38)
(cid:625)(cid:88)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:125)(cid:538)(cid:626)(cid:627)(cid:357)(cid:628)(cid:26)“0”(cid:65)“1”(cid:65)(cid:286)(cid:38)(cid:147)(cid:629)(cid:66)(cid:48)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:67)(cid:100)(cid:37)(cid:26)(cid:620)(cid:176)(cid:57)(cid:89)(cid:254)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:151)(cid:81)(cid:362)(cid:630)(cid:240)(cid:42)1(cid:65)(cid:609)
(cid:630)(cid:240)(cid:42)0(cid:83)(cid:71)(cid:107)(cid:57)(cid:95)(cid:318)(cid:80)(cid:305)(cid:631)(cid:59)(cid:308)(cid:257)(cid:68)(cid:11)(cid:26)(cid:632)(cid:305)(cid:633)(cid:9)(cid:26)(cid:132)(cid:617)(cid:618)(cid:26)(cid:293)(cid:242)(cid:622)(cid:618)(cid:65)(cid:107)(cid:57)1(cid:65)(cid:95)(cid:68)(cid:11)“(cid:94)(cid:634)”(cid:26)(cid:632)(cid:305)(cid:633)
(cid:9)(cid:26)(cid:132)(cid:617)(cid:618)(cid:26)(cid:293)(cid:242)(cid:622)(cid:618)(cid:65)(cid:91)(cid:59)(cid:131)(cid:62)(cid:122)(cid:240)(cid:42)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:26)(cid:24)(cid:287)11000(cid:65)(cid:199)(cid:200)(cid:88)10(cid:121)(cid:197)(cid:149)(cid:10)1×2 +1×2 +0×2
4 3 2
+0×2 +0×1=24(cid:65)(cid:68)(cid:23)(cid:65)(cid:131)(cid:132)(cid:122)(cid:399)(cid:131)(cid:317)(cid:122)(cid:240)(cid:42)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:26)(cid:24)(cid:287)(cid:129)(cid:323)(cid:149)1110(cid:65)111(cid:65)11100(cid:65)1101(cid:65)(cid:199)(cid:200)(cid:88)
1
10(cid:121)(cid:197)(cid:149)(cid:10)14(cid:65)07(cid:65)28(cid:65)13(cid:65)(cid:44)(cid:317)(cid:122)(cid:622)(cid:618)(cid:509)(cid:51)(cid:119)(cid:62)(cid:379)(cid:292)(cid:95)“(cid:94)(cid:634)”(cid:26)(cid:632)(cid:305)(cid:633)(cid:9)2414072813(cid:65)(cid:91)(cid:59)(cid:131)(cid:62)(cid:122)(cid:622)(cid:618)
“24”(cid:282)(cid:131)(cid:132)(cid:122)(cid:622)(cid:618)“14”(cid:42)(cid:43)(cid:528)(cid:635)(cid:282)(cid:11)(cid:503)(cid:65)(cid:131)(cid:130)(cid:122)(cid:622)(cid:618)“07”(cid:42)(cid:43)(cid:636)(cid:116)(cid:149)07(cid:636)(cid:65)(cid:131)(cid:202)(cid:122)(cid:622)(cid:618)“28”(cid:42)(cid:43)(cid:305)(cid:394)(cid:9)(cid:149)
28(cid:65)(cid:131)(cid:317)(cid:122)(cid:622)(cid:618)“13”(cid:42)(cid:43)(cid:637)(cid:257)(cid:9)(cid:95)13(cid:115)(cid:147)(cid:57)2(cid:95)(cid:467)(cid:80)(cid:305)(cid:631)“(cid:94)(cid:638)”(cid:68)(cid:11)(cid:26)(cid:632)(cid:305)(cid:633)(cid:9)(cid:26)(cid:132)(cid:617)(cid:618)(cid:26)(cid:293)(cid:242)(cid:622)(cid:618)(cid:65)(cid:150)
(cid:94)(cid:638)(cid:26)(cid:632)(cid:305)(cid:633)(cid:9)(cid:149)(cid:81) (cid:83)
A(cid:71)2410252110 B(cid:71)2010272108 C(cid:71)2212272408 D(cid:71)2410272108
(cid:15)(cid:45)(cid:90)11-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:202)(cid:203)(cid:88)(cid:148)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:318)(cid:503)(cid:62)(cid:639)(cid:17)(cid:11)(cid:640)(cid:265)(cid:22)5(cid:641)(cid:65)(cid:67)(cid:552)(cid:308)(cid:641)(cid:310)(cid:311)(cid:640)(cid:642)(cid:26)(cid:604)(cid:159)(cid:309)(cid:149)
18(cid:116)(cid:65)(cid:117)1(cid:641)(cid:119)5(cid:641)(cid:643)(cid:113)(cid:644)(cid:645)(cid:646)(cid:647)(cid:26)(cid:11)(cid:338)(cid:247)(cid:24)(cid:129)(cid:323)(cid:149)9(cid:65)7(cid:65)5(cid:65)5(cid:65)6(cid:71)(cid:147)(cid:228)(cid:318)(cid:641)(cid:640)(cid:169)(cid:549)(cid:501)(cid:502)(cid:64)(cid:58)(cid:65)(cid:216)(cid:286)(cid:313)
(cid:22)(cid:643)(cid:113)(cid:644)(cid:645)(cid:646)(cid:647)(cid:26)(cid:68)(cid:11)(cid:119)(cid:501)(cid:502)(cid:64)(cid:58)(cid:313)(cid:243)(cid:250)(cid:26)(cid:604)(cid:159)(cid:24)(cid:310)(cid:282)(cid:111)(cid:94)(cid:65)(cid:150)(cid:604)(cid:159)(cid:24)(cid:310)(cid:282)(cid:111)(cid:94)(cid:149) (cid:116)(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)11-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:166)·(cid:138)(cid:364)(cid:497)(cid:648)(cid:649)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)2025(cid:138)(cid:364)(cid:497)(cid:648)(cid:649)(cid:163)(cid:381)(cid:503)(cid:650)(cid:274)(cid:54)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:307)(cid:394)(cid:651)(cid:652)(cid:382)(cid:383)(cid:71)(cid:318)
(cid:11)(cid:503)9(cid:247)(cid:509)(cid:88)(cid:26)(cid:653)(cid:653)(cid:654)(cid:228)(cid:532)(cid:58)(cid:42)(cid:655)(cid:130)(cid:66)(cid:656)(cid:657)(cid:498)(cid:658)(cid:65)(cid:659)(cid:394)(cid:207)(cid:311)(cid:149)(cid:117)(cid:660)(cid:66)(cid:498)(cid:658)(cid:330)(cid:331)(cid:399)(cid:643)(cid:655)(cid:498)(cid:658)(cid:330)(cid:331)(cid:661)(cid:26)(cid:207)(cid:311)(cid:311)(cid:662)(cid:81)(cid:266)(cid:305)(cid:663)(cid:312)(cid:394)(cid:92)(cid:205)(cid:664)(cid:83)(cid:65)(cid:289)(cid:498)(cid:658)(cid:643)(cid:48)(cid:247)(cid:24)(cid:84)(cid:42)(cid:655)(cid:207)(cid:271)(cid:81)(cid:294)(cid:257)(cid:10)min(cid:83)(cid:107)(cid:166)(cid:42)(cid:313)(cid:43)(cid:10)
(cid:498)
(cid:665) (cid:666) (cid:667)
(cid:658)
(cid:247)
3 4 2
(cid:24)
(cid:207)
6 4 2
(cid:271)
(cid:147)(cid:498)(cid:658)(cid:126)(cid:667) (cid:666) (cid:665)(cid:26)(cid:133)(cid:55)(cid:42)(cid:655)(cid:65)(cid:150)9(cid:257)(cid:11)(cid:338)(cid:26)(cid:659)(cid:394)(cid:207)(cid:311)(cid:310)(cid:282)(cid:95)(cid:81)(cid:170)(cid:170)(cid:83)
A(cid:71)6 → → B(cid:71)20 C(cid:71)26 D(cid:71)44
(cid:15)(cid:45)(cid:90)11-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:138)(cid:364)(cid:668)(cid:140)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:96)(cid:313)(cid:669)(cid:10)“(cid:247)(cid:22)(cid:247)(cid:670)(cid:65)(cid:671)(cid:22)(cid:671)(cid:672)”(cid:71)(cid:671)(cid:672)(cid:81)(cid:671)(cid:489)(cid:249)(cid:6)(cid:83)(cid:95)(cid:673)
(cid:674)(cid:310)(cid:311)(cid:249)(cid:6)(cid:26)(cid:62)(cid:99)(cid:249)(cid:38)(cid:200)(cid:672)(cid:670)(cid:65)(cid:228)(cid:164)(cid:53)(cid:154)(cid:26)(cid:286)(cid:38)(cid:201)(cid:129)(cid:195)(cid:281)(cid:71)(cid:196)(cid:38)(cid:671)(cid:489)(cid:65)(cid:103)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:26)(cid:47)(cid:23)(cid:564)(cid:675)(cid:6)(cid:621)(cid:65)(cid:102)(cid:103)(cid:676)
(cid:656)(cid:673)(cid:677)(cid:228)(cid:186)(cid:246)(cid:26)(cid:658)(cid:678)(cid:484)(cid:485)(cid:67)(cid:679)(cid:680)(cid:249)(cid:71)(cid:106)(cid:107)(cid:10)“○”(cid:42)(cid:43)(cid:326)(cid:541)(cid:671)(cid:71)”“●”(cid:42)(cid:43)(cid:326)(cid:681)(cid:671)(cid:71)(cid:308)(cid:674)(cid:246)(cid:682)(cid:683)(cid:122)(cid:26)(cid:673)(cid:674)(cid:38)(cid:326)(cid:541)
(cid:671)(cid:282)(cid:326)(cid:681)(cid:671)(cid:254)(cid:121)(cid:122)(cid:518)(cid:56)(cid:65)(cid:198)(cid:228)(cid:480)(cid:683)(cid:661)(cid:70)(cid:107)(cid:57)(cid:313)(cid:43)(cid:26)(cid:445)(cid:549)(cid:10)
(cid:236)(cid:237)(cid:445)(cid:549)(cid:26)(cid:35)(cid:150)(cid:65)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:41)(cid:96)(cid:169)(cid:26)(cid:22)(cid:81) (cid:83)
“●○○○”(cid:42)(cid:43)(cid:287)(cid:684)H(cid:10)
①(cid:147)(cid:496)(cid:42)(cid:43)26(cid:66)(cid:685)(cid:417)(cid:287)(cid:684)(cid:65)(cid:495)(cid:496)6(cid:686)(cid:671)(cid:115)
②(cid:318)(cid:673)(cid:108)(cid:112)(cid:306)(cid:217)“●○○●●”(cid:127)“●●●●”(cid:127)“●○○●●”(cid:42)(cid:43)(cid:177)(cid:687)(cid:119)(cid:301)(cid:688)(cid:689)(cid:65)(cid:228)(cid:72)(cid:690)(cid:71)
③ A(cid:71)0(cid:66) B(cid:71)1(cid:66) C(cid:71)2(cid:66) D(cid:71)3(cid:66)
【题型12 程序流程图与有理数的计算】
(cid:15)(cid:106)12(cid:19)(cid:81)24-25(cid:691)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:413)(cid:142)(cid:692)(cid:693)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:549)(cid:693)(cid:62)(cid:99)(cid:100)(cid:96)(cid:97)(cid:24) (cid:26)“ ”(cid:31)(cid:32)(cid:65) (cid:232) (cid:149)(cid:615)(cid:24)(cid:207)(cid:65)(cid:75)(cid:76)(cid:149)
𝑛 𝐹 ① 𝑛
+5(cid:115) (cid:232) (cid:149)(cid:614)(cid:24)(cid:207)(cid:65)(cid:75)(cid:76)(cid:149) (cid:81)(cid:91)(cid:59)k(cid:95)(cid:286) (cid:149)(cid:615)(cid:24)(cid:26)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:83)(cid:65)(cid:198)(cid:93)(cid:31)(cid:32)(cid:138)(cid:423)(cid:121)(cid:122)(cid:65)(cid:106)(cid:107)(cid:65)(cid:694)
2 2
𝑘 𝑘
𝑛 𝑛
3𝑛 =26(cid:65)②(cid:107)(cid:57)(cid:313)𝑛 (cid:43)(cid:115)(cid:147) =449(cid:65)(cid:150)(cid:131)“ ”(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
𝑛 𝑛 𝐹④A(cid:71)1 B(cid:71)3 C(cid:71)7 D(cid:71)8
(cid:15)(cid:45)(cid:90)12-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:695)(cid:184)(cid:696)(cid:182)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:107)(cid:57)(cid:95)(cid:62)(cid:66)“(cid:24)(cid:151)(cid:199)(cid:312)(cid:280)”(cid:26)(cid:43)(cid:697)(cid:57)(cid:65)(cid:232) = (cid:65) = (cid:207)(cid:65)
(cid:601)(cid:217)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:95) (cid:71) 𝑥 −1 𝑦 −2
(cid:15)(cid:45)(cid:90)12-2(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:698)(cid:156)(cid:156)(cid:204)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:107)(cid:57)(cid:95)(cid:94)(cid:699)(cid:38)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:284)(cid:49)(cid:26)(cid:62)(cid:66)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:700)(cid:57)(cid:71)(cid:147)
(cid:601)(cid:602)(cid:26)(cid:24) (cid:149)1(cid:65)(cid:150)(cid:601)(cid:217)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:95)(cid:81) (cid:83)
𝑎
A(cid:71) 3 B(cid:71) 3 C(cid:71) 27 D(cid:71) 27
2 2 8 8
(cid:15)(cid:45)(cid:90)1 − 2-3(cid:19)(cid:81)24-25(cid:333)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:138)(cid:364)(cid:155)(cid:140)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:100)−(cid:175)(cid:697)(cid:96)(cid:97)(cid:24)n(cid:65)(cid:147)n(cid:149)(cid:614)(cid:24)(cid:150)(cid:110)(cid:103)2(cid:65)(cid:147)n(cid:149)(cid:615)(cid:24)(cid:150)(cid:29)3
(cid:109)(cid:113)1(cid:65)(cid:228)(cid:98)(cid:482)(cid:62)(cid:80)(cid:45)(cid:200)(cid:166)(cid:65)(cid:238)(cid:248)(cid:173)(cid:119)(cid:62)(cid:66)(cid:527)(cid:26)(cid:398)(cid:569)(cid:24)(cid:65)(cid:228)1937(cid:153)LotharCollatz(cid:504)(cid:217)(cid:301)(cid:62)(cid:66)(cid:474)(cid:20)(cid:10)(cid:107)(cid:206)(cid:613)
(cid:423)(cid:98)(cid:99)(cid:45)(cid:312)(cid:65)(cid:95)(cid:701)(cid:100)(cid:87)(cid:313)(cid:22)(cid:26)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:65)(cid:111)(cid:702)(cid:148)(cid:216)(cid:45)(cid:312)(cid:119)1(cid:703)(cid:551)(cid:98)(cid:292)(cid:95)(cid:24)(cid:11)(cid:59)(cid:704)(cid:373)(cid:26)“(cid:305)(cid:437)(cid:705)(cid:706)(cid:707)”(cid:71)(cid:107)(cid:76)(cid:318)(cid:66)
(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:249)(cid:250)(cid:154)(cid:708)(cid:45)(cid:312)(cid:216)(cid:45)(cid:88)1(cid:65)(cid:238)(cid:248)(cid:292)(cid:85)(cid:131)(cid:62)(cid:80)(cid:45)(cid:88)1(cid:207)(cid:313)(cid:243)(cid:250)(cid:26)(cid:45)(cid:312)(cid:80)(cid:24)(cid:582)(cid:149)(cid:177)(cid:26)(cid:522)(cid:432)(cid:271)(cid:65)(cid:106)(cid:107)5(cid:243)(cid:250)5
(cid:80)(cid:45)(cid:88)1(cid:65)(cid:150)(cid:522)(cid:432)(cid:271) =5(cid:71)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:41)(cid:10)
(cid:454)(cid:709)(cid:601)(cid:602)(cid:26)(cid:96)(cid:97)(cid:24)𝑚n(cid:95)(cid:615)(cid:24)(cid:710)(cid:95)(cid:614)(cid:24)(cid:65)(cid:232)(cid:522)(cid:432)(cid:271) 4(cid:207)(cid:65)(cid:426)(cid:216)(cid:173)(cid:119)(cid:711)(cid:419)(cid:202)(cid:80)(cid:45)(cid:312)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:128)(cid:80)(cid:95)2 (cid:65)2 (cid:65)
4 3
①2 (cid:65)2 (cid:115) 𝑚≥
2 1
(cid:147)(cid:601)(cid:602)(cid:96)(cid:97)(cid:24)n(cid:65)(cid:45)(cid:312)(cid:80)(cid:24)m(cid:65)(cid:232) =8(cid:207)(cid:65)n(cid:26)(cid:313)(cid:22)(cid:102)(cid:216)(cid:151)(cid:674)(cid:22)4(cid:66)(cid:115)
②(cid:147)(cid:601)(cid:602)(cid:96)(cid:97)(cid:24)n(cid:65)(cid:45)(cid:312)(cid:80)(cid:24)m(cid:65)(cid:232)𝑚=9(cid:207)(cid:65)n(cid:26)(cid:313)(cid:22)(cid:102)(cid:216)(cid:151)(cid:59)(cid:111)(cid:86)(cid:95)512(cid:65)(cid:111)(cid:94)(cid:95)13(cid:71)
③(cid:91)(cid:59)(cid:96)(cid:169)(cid:26)(cid:66)(cid:24)(cid:95)(cid:81) (cid:83) 𝑚
A(cid:71)3(cid:66) B(cid:71)2(cid:66) C(cid:71)1(cid:66) D(cid:71)0(cid:66)【题型13 计算“24”点】
(cid:15)(cid:106)13(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:202)(cid:203)(cid:88)(cid:148)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)24(cid:58)(cid:429)(cid:712)(cid:95)(cid:62)(cid:99)(cid:713)(cid:375)(cid:429)(cid:712)(cid:65)24(cid:58)(cid:95)(cid:85)4(cid:66)(cid:97)(cid:24)(cid:81)(cid:62)(cid:63)(cid:95)(cid:96)(cid:97)
(cid:24)(cid:83)(cid:249)(cid:250)(cid:113)(cid:127)(cid:114)(cid:127)(cid:29)(cid:127)(cid:110)(cid:82)(cid:29)(cid:30)(cid:92)(cid:31)(cid:32)(cid:81)(cid:102)(cid:103)(cid:286)(cid:38)(cid:123)(cid:9)(cid:83)(cid:65)(cid:286)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:49)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:95)±24(cid:26)(cid:62)(cid:66)(cid:24)(cid:11)(cid:429)(cid:712)(cid:81)(cid:506)
(cid:66)(cid:24)(cid:287)(cid:309)(cid:286)(cid:38)1(cid:80)(cid:83)(cid:71)(cid:295)(cid:217)1(cid:65)2(cid:65)2(cid:65)3(cid:26)24(cid:58)(cid:429)(cid:712)(cid:26)(cid:62)(cid:99)(cid:49)(cid:32)(cid:90) (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)13-1(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:195)(cid:182)(cid:714)(cid:179)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:429)(cid:712)“24(cid:58)”(cid:35)(cid:150)(cid:107)(cid:166)(cid:10)(cid:117)(cid:62)(cid:715)(cid:716)(cid:583)(cid:717)(cid:81)(cid:273)(cid:718)(cid:86)(cid:600)(cid:127)(cid:94)(cid:600)(cid:83)
(cid:59)(cid:175)(cid:697)(cid:719)(cid:694)4(cid:638)(cid:65)(cid:236)(cid:237)(cid:717)(cid:346)(cid:154)(cid:26)(cid:24)(cid:287)(cid:121)(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:32)(cid:81)(cid:506)(cid:638)(cid:717)(cid:720)(cid:721)(cid:38)(cid:62)(cid:80)(cid:93)(cid:674)(cid:216)(cid:38)(cid:62)(cid:80)(cid:83)(cid:65)(cid:286)(cid:173)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:149)
24(cid:65)(cid:91)(cid:59)(cid:541)(cid:630)(cid:81)(cid:30)(cid:555)(cid:127)(cid:541)(cid:722)(cid:83)(cid:716)(cid:583)(cid:717)(cid:240)(cid:42)(cid:174)(cid:24)(cid:65)(cid:362)(cid:630)(cid:81)(cid:723)(cid:724)(cid:127)(cid:362)(cid:722)(cid:83)(cid:716)(cid:583)(cid:717)(cid:240)(cid:42)(cid:96)(cid:24)(cid:71)(cid:315)(cid:38)(cid:107)(cid:57)(cid:719)(cid:694)(cid:217)(cid:26)4
(cid:638)(cid:717)(cid:65)(cid:295)(cid:217)(cid:62)(cid:66)(cid:34)(cid:51)(cid:35)(cid:150)(cid:26)(cid:32)(cid:90)(cid:10) (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)13-2(cid:19)(cid:81)23-24(cid:361)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:179)(cid:182)(cid:657)(cid:193)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:22)(cid:62)(cid:99)“(cid:132)(cid:201)(cid:202)(cid:58)”(cid:429)(cid:712)(cid:65)(cid:91)(cid:429)(cid:712)(cid:35)(cid:150)(cid:95)(cid:10)(cid:175)(cid:694)1(cid:399)13(cid:310)(cid:311)
(cid:26)(cid:202)(cid:66)(cid:398)(cid:569)(cid:24)(cid:65)(cid:44)(cid:98)(cid:202)(cid:66)(cid:24)(cid:81)(cid:506)(cid:66)(cid:24)(cid:38)(cid:93)(cid:674)(cid:38)(cid:62)(cid:80)(cid:65)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:123)(cid:9)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:286)(cid:91)(cid:75)(cid:76)(cid:92)(cid:87)
24(cid:71)(cid:307)(cid:22)(cid:202)(cid:66)(cid:22)(cid:23)(cid:24)1,2,2,3(cid:65)(cid:315)(cid:725)(cid:494)“(cid:132)(cid:201)(cid:202)(cid:58)”(cid:429)(cid:712)(cid:35)(cid:150)(cid:295)(cid:217)(cid:62)(cid:66)(cid:32)(cid:90) (cid:65)(cid:286)(cid:91)(cid:75)(cid:76)(cid:92)(cid:87)24(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)13-3(cid:19)“24(cid:58)”(cid:429)(cid:712)(cid:35)(cid:150)(cid:95)(cid:10)(cid:117)(cid:62)(cid:715)(cid:717)(cid:59)(cid:81)(cid:273)(cid:718)(cid:86)(cid:127)(cid:94)(cid:600)(cid:83)(cid:175)(cid:697)(cid:719)(cid:694)4(cid:638)(cid:717)(cid:65)(cid:38)(cid:154)(cid:346)(cid:26)(cid:24)(cid:287)(cid:121)(cid:122)(cid:50)(cid:51)
(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:286)(cid:75)(cid:76)(cid:149)24(cid:82)—24.(cid:91)(cid:59)(cid:541)(cid:630)(cid:240)(cid:42)(cid:174)(cid:24)(cid:65)(cid:362)(cid:630)(cid:240)(cid:42)(cid:96)(cid:24)(cid:65)A(cid:65)J(cid:65)Q(cid:65)K(cid:129)(cid:323)(cid:240)(cid:42)1(cid:65)11(cid:65)12(cid:65)13(cid:65)(cid:106)
(cid:107)(cid:638)(cid:726)(cid:68)(cid:11)(cid:719)(cid:694)(cid:26)4(cid:638)(cid:717)(cid:129)(cid:323)(cid:149)(cid:541)(cid:722)4(cid:127)(cid:541)(cid:722)3(cid:127)(cid:723)(cid:724)6(cid:127)(cid:362)(cid:722)2(cid:65)(cid:87)(cid:95)(cid:638)(cid:726)(cid:68)(cid:11)(cid:167)(cid:217)(cid:26)(cid:32)(cid:90)(cid:149)(cid:81)(cid:727)4(cid:83)×(cid:81)(cid:727)
3(cid:727)6÷2(cid:83)(cid:728)24(cid:65)(cid:307)(cid:228)(cid:638)(cid:726)(cid:68)(cid:11)(cid:707)(cid:729)(cid:730)“36(cid:58)”(cid:65)(cid:44)(cid:98)(cid:202)(cid:638)(cid:717)(cid:59)(cid:26)(cid:175)(cid:697)(cid:62)(cid:638)(cid:312)(cid:88)(cid:91)(cid:177)(cid:717)(cid:65)(cid:286)(cid:75)(cid:76)(cid:149)36(cid:82)—36(cid:65)
(cid:166)(cid:167)(cid:30)(cid:41)(cid:102)(cid:122)(cid:26)(cid:22)(cid:620)(cid:99)(cid:10) (cid:44)(cid:541)(cid:722)4(cid:312)(cid:88)(cid:362)(cid:722)6(cid:115) (cid:44)(cid:541)(cid:722)3(cid:312)(cid:88)(cid:541)(cid:722)6(cid:115) (cid:44)(cid:723)(cid:724)6(cid:312)(cid:88)(cid:362)(cid:722)Q(cid:115) (cid:44)
(cid:362)(cid:722)2(cid:312)(cid:88)(cid:362)(cid:722)A(cid:81) (cid:83)① ② ③ ④
A(cid:71)1(cid:99) B(cid:71)2(cid:99) C(cid:71)3(cid:99) D(cid:71)4(cid:99)
【题型14 乘方中的规律探究】
(cid:15)(cid:106)14(cid:19)(cid:81)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:139)(cid:227)(cid:406)(cid:731)·(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:149)(cid:301)(cid:72)1+2+2 +2 + +2 (cid:26)(cid:151)(cid:65)(cid:102)(cid:732) =1+2+2 +
2 3 20 2
2 + +2 (cid:65)(cid:150) =2+2 +2 +2 + +2 (cid:65)(cid:205)(cid:206) = =⋯2 (cid:65)(cid:313)(cid:103)1+2𝐴+2 +2 + +2
3 20 2 3 4 21 21 2 3 20
=2⋯ (cid:71)(cid:725)(cid:494)(cid:103)2(cid:154)𝐴 (cid:733)(cid:23)(cid:65)(cid:49)(cid:32)1+7+7⋯+7 + +7 𝐴 (cid:26)2(cid:75)𝐴−(cid:76)𝐴(cid:149)(cid:81) (cid:83)−1 ⋯
21 2 3 2025
−1 7⋯ 7
A(cid:71)7 B(cid:71)7 C(cid:71) D(cid:71)
20265 20266
2025 2026 −1 −1
(cid:15)(cid:45)(cid:90)14-1(cid:19)−(cid:81)1 24-25(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:166)· −(cid:188)1(cid:189)(cid:734)(cid:142)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:238)(cid:248)(cid:35)(cid:549)(cid:62)(cid:66)(cid:527)(cid:24)“ ”(cid:65)(cid:62)(cid:735)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:48)(cid:527)(cid:24)(cid:121)(cid:122)(cid:202)(cid:150)(cid:31)
(cid:32)(cid:65)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:282)(cid:31)(cid:32)(cid:41)(cid:150)(cid:736)(cid:569)(cid:88)(cid:737)(cid:65) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:65)(cid:492)
1 2 3 2 4 2 2
𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1(cid:493) + + + + + = (cid:71)
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:45)(cid:90)𝑖14-2𝑖(cid:19)(cid:81)⋯24-2𝑖5(cid:152)(cid:153)(cid:116)𝑖(cid:154)·(cid:195)(cid:182)(cid:195)(cid:142)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:573)(cid:738)(cid:166)(cid:57)(cid:130)(cid:122)(cid:24)(cid:10)
(cid:65)4(cid:65) (cid:65)16(cid:65) (cid:65)64(cid:65)...(cid:115)
0−(cid:65)26(cid:65) −(cid:65)818(cid:65) −3(cid:65)266(cid:65)...(cid:115) ①
(cid:65)2(cid:65)−6 (cid:65)8(cid:65)−30 (cid:65)32(cid:65)...(cid:115)②
(cid:694)−1(cid:506)(cid:122)(cid:24)−(cid:26)4(cid:131)9(cid:66)−(cid:24)16(cid:65)(cid:98)(cid:130)(cid:66)(cid:24)(cid:26)③(cid:282)(cid:149) (cid:115)
(cid:15)(cid:45)(cid:90)14-3(cid:19)(cid:81)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:116)(cid:154)·(cid:416)(cid:140)(cid:534)(cid:739)·(cid:180)(cid:59)(cid:83)(cid:49)(cid:32)(cid:280)(cid:196)(cid:38)(cid:26)(cid:95)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:24)(cid:65)(cid:177)(cid:265)(cid:22)(cid:308)(cid:66)(cid:24)(cid:618)0(cid:65)1(cid:65)(cid:44)(cid:62)(cid:66)
(cid:201)(cid:121)(cid:197)(cid:24)(cid:199)(cid:200)(cid:149)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:65)(cid:674)(cid:495)(cid:85)(cid:332)(cid:24)(cid:295)(cid:217)(cid:147)(cid:629)2 (cid:24)(cid:26)(cid:282)(cid:65)(cid:128)(cid:80)(cid:295)(cid:217)1(cid:82)0(cid:69)(cid:102)(cid:71)(cid:107)19 ( ) =16+2+1=1×
𝑛
2 +0×2 +0×2 +1×2 +1=10011 ( ) (cid:149)(cid:132)(cid:121)(cid:197)(cid:166)(cid:26)(cid:317)(cid:257)(cid:24)(cid:65)(cid:150)(cid:201)(cid:121)(cid:197)2022(cid:95)(cid:132) 10 (cid:121)(cid:197)(cid:166)(cid:26)(cid:81) (cid:83)
4 3 2 1
A(cid:71)10(cid:257)(cid:24) B(cid:71)11(cid:257)(cid:24) 2 C(cid:71)12(cid:257)(cid:24) D(cid:71)13(cid:257)(cid:24)
