文档文本内容
专题 1.6 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:21)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:36)(cid:9)(cid:37)(cid:38)(cid:21)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:21)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:40)(cid:21)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:50)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:50)(cid:34)“24”(cid:51)(cid:21).............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:53)(cid:54)(cid:21)................................................................................................................................8
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 有理数的乘方 公 众
注
关
，
源
1. (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)n(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:31)辅(cid:26)ɑ 资 (cid:60)(cid:31)(cid:58)(cid:62) (cid:58)(cid:63)(cid:64) (cid:65)(cid:66)n(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:26)(cid:28)(cid:67)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:68)(cid:64)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:31)(cid:32)
教
(cid:59) 𝑛
𝑎⋅𝑎·⋯·𝑎 𝑎
(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:68)(cid:64)(cid:27)(cid:65) 𝑛
2. (cid:52)(cid:58)a(cid:68)(cid:64)(cid:71)(cid:26)(cid:58)n(cid:68)(cid:64)(cid:72)(cid:26)(cid:58) (cid:73)(cid:64)a(cid:28)n(cid:74)(cid:32)(cid:75)(cid:76)a(cid:28)n(cid:74)(cid:27)(cid:77)(cid:65)
𝑛 𝑛
(cid:72)(cid:26)
𝑎 (cid:27) 𝑎
𝑛
(cid:71)
𝑎
3. (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:78)(cid:36)(cid:9)(cid:28)(cid:37)(cid:38) (cid:26)
正 数：正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数
负数：
负数的偶次幂是正数
0：0的任何正整数次幂都是0
知识点2 有理数的混合运算顺序
1. (cid:79)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:80)(cid:31)(cid:81)(cid:58)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)
2. (cid:61)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:86)
3. (cid:94)(cid:24)(cid:95)(cid:9)(cid:58)(cid:79)(cid:96)(cid:95)(cid:9)(cid:97)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:98)(cid:99)(cid:95)(cid:9)(cid:100)(cid:52)(cid:95)(cid:9)(cid:100)(cid:19)(cid:95)(cid:9)(cid:101)(cid:74)(cid:92)(cid:93)(cid:65)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:102)(cid:103)(cid:87)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:104)(cid:105)(cid:55)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:31)(cid:81)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:105)(cid:103)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:33)(cid:34)(cid:107)(cid:46)(cid:104)(cid:79)(cid:34)(cid:108)(cid:87)(cid:58)(cid:80)(cid:34)(cid:109)(cid:87)(cid:86)(cid:61)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:28)(cid:107)(cid:46)(cid:92)(cid:93)(cid:86)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:9)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:34)(cid:99)(cid:95)(cid:9)(cid:97)(cid:28)(cid:58)(cid:80)(cid:34)(cid:52)(cid:95)
(cid:9)(cid:97)(cid:28)(cid:58)(cid:82)(cid:83)(cid:34)(cid:19)(cid:95)(cid:9)(cid:97)(cid:28)(cid:65)
【题型1 有理数幂的概念】
(cid:15)(cid:115)1(cid:21)(cid:75)2024·(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:77)(cid:124)2 +2 +2 +....+2 =2 (cid:75) >1(cid:58) (cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:26) (cid:58)(cid:129)m(cid:28)(cid:82)
3 3 (cid:59)23 3 𝑚
3 𝑘 𝑘,𝑚
(cid:99)(cid:130)(cid:126)(cid:75) (cid:77) 𝑘
A(cid:65)3 B(cid:65)4 C(cid:65)6 D(cid:65)9
(cid:15)(cid:131)(cid:132)1-1(cid:21)(cid:75)22-23(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)·(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:77)-2 (cid:28)(cid:71)(cid:26)(cid:104) (cid:72)(cid:26)(cid:104) (cid:144)(cid:145) (cid:65)
3
(cid:15)(cid:131)(cid:132)1-2(cid:21)(cid:75)2024(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:146)(cid:147)·(cid:148)(cid:22)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:127)(cid:153)(cid:28)(cid:24)(cid:75)(cid:154)(cid:154)(cid:77)
(cid:155)(cid:24)(cid:156)(cid:32)(cid:157) (cid:28)(cid:26)(cid:86) (cid:104)(cid:158)(cid:26)(cid:86) ( + ) (cid:104)(cid:127)(cid:26)(cid:86) (cid:159)(cid:160)(cid:55)(cid:59)(cid:99)(cid:111)1(cid:28)(cid:26)(cid:125)(cid:19)(cid:111)(cid:161)(cid:28)(cid:156)(cid:32)(cid:65)
2 2
①A(cid:65)1(cid:59) −9 B②(cid:65)2−(cid:59)𝑎 ③ 𝑚C(cid:65)𝑑3(cid:59) ④ D(cid:65)4(cid:59)
(cid:59) (cid:59)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)1-3(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:116)(cid:117)(cid:162)(cid:163)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)3+3+3+ +3+2×2×2× ×2(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:166)(cid:144)(cid:145)(cid:126)(cid:75) (cid:77)
𝑚 𝑛
A(cid:65) + B(cid:65) + C(cid:65)3 + ⋅⋅⋅ D(cid:65) +2⋅⋅⋅
3 𝑚 A 𝑛 +
【题型
32𝑚
有
2
理
𝑛
数的乘方运
𝑚
算】
2𝑛 2𝑛
全
科3𝑚A
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:115)2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:163)(cid:17)(cid:167)(cid:168)
源
·(cid:164)，(cid:52)(cid:77) 关 (cid:169)(cid:170)(cid:19)(cid:99)(cid:10) 2 3 (cid:75)(cid:171)>(cid:76)<(cid:77)(cid:65)
资 33 2 2
辅
教
(cid:15)(cid:131)(cid:132)2-1(cid:21)(cid:75)2025·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:119)·(cid:106)(cid:120)(cid:77)(cid:175)(cid:176)( ) +−| +1|=−0(cid:58)(cid:129) (cid:28)(cid:130)(cid:104) (cid:65)
2 𝑥
𝑥−2025 𝑦1 𝑦
(cid:15)(cid:131)(cid:132)2-2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:135)(cid:177)(cid:178)(cid:93)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:50)(cid:34)(cid:10) ×16 = (cid:65)
4 11
6
(cid:15)(cid:131)(cid:132)2-3(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:179)(cid:17)(cid:179)(cid:119)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:180)(cid:40)(cid:106)(cid:92)−(cid:181)(cid:26)(cid:84)(cid:152)(cid:33)(cid:34)(cid:152)(cid:129)(cid:50)(cid:34)(11010) +(111) (cid:58)(cid:182)(cid:183)
(cid:50)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:184)(cid:185)(cid:126)(cid:186)(cid:92)(cid:181)(cid:26)(cid:104) (cid:65) 2 2
【题型3 有理数乘方的逆运算】
(cid:15)(cid:115)3(cid:21)(cid:75)2025·(cid:187)(cid:188)(cid:179)(cid:189)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:77)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)n(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:190)(cid:26)a(cid:60)(cid:31) (cid:63)(cid:64) (cid:58)(cid:94)
𝑛
2×2×2=2 =8(cid:65)(cid:191)(cid:192)(cid:58)3(cid:68)(cid:96)(cid:193)2(cid:126)(cid:71)(cid:28)8(cid:28)“(cid:194)(cid:195)(cid:26)”(cid:58)(cid:63)(cid:126) (𝑎8)⋅(cid:58)𝑎(cid:129)⋅𝑎⋅𝑎(⋯8)⋅=𝑎3(cid:65)(cid:55)𝑎(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:124) =
3 𝑛
(cid:75) >0(cid:196) 1(cid:77)(cid:58)(cid:129)n(cid:68)(cid:96)(cid:193)a(cid:126)(cid:71)(cid:28)b(cid:28)“(cid:194)(cid:195)(cid:26)”(cid:58)(cid:63)(cid:126) ( )𝐿2= (cid:58)(cid:94)3𝐿2=81(cid:58)(cid:129)4(cid:68)(cid:96)(cid:193)3𝑎(cid:126)(cid:71)(cid:28)𝑏
4
81𝑎(cid:28)“(cid:194)(cid:195)𝑎(cid:26)≠”(cid:58)(cid:63)(cid:126) (81)=4(cid:65)(cid:129) (9), (27), (243)(cid:197)(cid:198)𝐿(cid:3)𝑎 (cid:199)𝑏 (cid:132) 𝑛 (cid:65)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)3-1(cid:21)(cid:75)22-23𝐿(cid:133)3(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:179)(cid:17)(cid:17)𝐿3(cid:200)·(cid:164)𝐿(cid:52)3 (cid:77)6𝐿=3 36,(2×3) =2 ×3 =4×9=36(cid:58)(cid:201)(cid:191)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:204)
2 2 2 2
2 × 1 =(cid:75) (cid:77)
2 33
36
1
A(cid:65)6 B(cid:65)8 C(cid:65) D(cid:65)(cid:186)(cid:102)(cid:205)(cid:206)
8(cid:15)(cid:131)(cid:132)3-2(cid:21)(cid:75)22-23(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:163)(cid:17)(cid:207)(cid:208)·(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:175)(cid:176)| |=2, =25,3 =27(cid:58)(cid:196) >0(cid:58)(cid:129) + (cid:28)(cid:130)(cid:126)
2 𝑐
(cid:75)(cid:154)(cid:154)(cid:77) 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑐
A(cid:65)10 B(cid:65)6 C(cid:65)3 D(cid:65)6(cid:76)(cid:209)0
(cid:15)(cid:131)(cid:132)3-3(cid:21)(cid:75)22-23(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:172)(cid:173)(cid:210)(cid:211)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:124)126×3 = (cid:58)(cid:129)126×3 (cid:28)(cid:130)(cid:166)(cid:193)(cid:144)(cid:145)(cid:126)(cid:75) (cid:77)
8 6
1 𝑝 1
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65)
6 9
𝑝 𝑝−9 𝑝−6 𝑝
【题型4 乘方运算的符号规律】
(cid:15)(cid:115)4(cid:21)(cid:75)23-24(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:179)(cid:17)(cid:212)(cid:213)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:50)(cid:34)(cid:10) ( ) +( ) +( ) + +( ) =
1 2 3 10
(cid:15)(cid:131)(cid:132)4-1(cid:21)(cid:75)23-24(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:116)(cid:214)(cid:6)(cid:213)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:215)( −)1 (cid:58)−21 (cid:58)( −)1 (cid:58)0⋯(cid:52)(cid:58)−(cid:216)1(cid:158)(cid:26)(cid:24)(cid:75)(cid:154)(cid:154)(cid:77)
2021 3 11
A(cid:65)1(cid:59) B(cid:65)2(cid:59) C(cid:65)3(cid:59)−1 − D−(cid:65)74(cid:59)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)4-2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:187)(cid:188)(cid:214)(cid:217)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:175)(cid:176) = +2024(cid:28)(cid:82)(cid:19)(cid:130)(cid:126) (cid:65)
4
(cid:15)(cid:131)(cid:132)4-3(cid:21)(cid:75)23-24(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:116)(cid:214)(cid:218)(cid:116)·(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:219)𝑦 (cid:128)−(cid:26)(𝑥−(cid:126)6 ) (cid:192)(cid:58) = (cid:86)(cid:124) (cid:104)(cid:127)(cid:128)(cid:26)(cid:58)(cid:129)
𝑛
+ = (cid:65) 𝑛 (−1) −1 𝑛
𝑛 𝑛+1
( 【 − 题 1) 型5 ( − 乘 1) 方的应用】 A A +
科
全
★
号
众
(cid:15)(cid:115)5(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:136)(cid:220)(cid:221)(cid:222)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:147)公(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:63)(cid:232)(cid:58)(cid:233)(cid:226)(cid:192)(cid:164)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:215)(cid:238)(cid:239)(cid:135)(cid:240)(cid:69)
注
关
，
源
(cid:241)(cid:63)(cid:242)(cid:26)(cid:243)(cid:58)(cid:62)“(cid:69)(cid:238)(cid:63)(cid:26)辅”(cid:65)(cid:94)资(cid:48)(cid:58)(cid:55)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:215)(cid:88)(cid:91)(cid:90)(cid:89)(cid:101)(cid:74)(cid:247)(cid:150)(cid:28)(cid:238)(cid:239)(cid:135)(cid:240)(cid:69)(cid:58)(cid:197)(cid:133)(cid:92)(cid:55)(cid:58)(cid:40)(cid:241)(cid:63)(cid:242)(cid:248)(cid:249)
教
(cid:90)(cid:28)(cid:250)(cid:70)(cid:28)(cid:59)(cid:26)(cid:65)(cid:175)(cid:176)(cid:251)(cid:55)(cid:252)(cid:248)(cid:249)(cid:90)(cid:28)(cid:250)(cid:70)(cid:26)(cid:253)(cid:254)(cid:111)75(cid:59)(cid:58)(cid:129)(cid:251)(cid:215)(cid:105)2(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:135)(cid:240)(cid:69)(cid:28)(cid:166)(cid:203)(cid:255)(cid:256)(cid:24)(cid:75) (cid:77)
A(cid:65)1(cid:257) B(cid:65)2(cid:257) C(cid:65)3(cid:257) D(cid:65)4(cid:257)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)5-1(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:136)(cid:220)(cid:221)(cid:222)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:55)(cid:223)1(cid:258)(cid:259)(cid:28)(cid:238)(cid:239)(cid:58)(cid:105)(cid:55)(cid:74)(cid:260)(cid:261)(cid:55)(cid:262)(cid:58)(cid:105)(cid:106)(cid:74)(cid:260)(cid:261)(cid:263)(cid:149)(cid:28)(cid:55)
(cid:262)(cid:58)(cid:94)(cid:191)(cid:149)(cid:261)(cid:58)(cid:105)6(cid:74)(cid:83)(cid:263)(cid:149)(cid:28)(cid:238)(cid:239)(cid:28)(cid:259)(cid:264)(cid:126)(cid:75)(cid:154)(cid:154)(cid:77)
1 1 1 1
A(cid:65) (cid:258) B(cid:65) (cid:258) C(cid:65) (cid:258) D(cid:65) (cid:258)
2 3 2 5 2 6 2 12
(cid:15)(cid:131)(cid:132)5-2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:265)(cid:214)(cid:266)(cid:267)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:215)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:269)(cid:11)(cid:52)(cid:24)(cid:179)(cid:270)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:58)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:271)(cid:101)(cid:272)(cid:50)(cid:34)(cid:268)
(cid:28)(cid:273)(cid:274)(cid:125)(cid:275)(cid:40)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:241)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:276)(cid:271)(cid:26)(cid:224)(cid:65)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:104)(cid:277)(cid:106)(cid:92)(cid:55)(cid:58)(cid:278)(cid:279)(cid:26)(cid:244)(cid:135)(cid:28)(cid:26)(cid:276)(cid:126)0(cid:76)1(cid:58)(cid:182)(cid:180)(cid:40)(cid:280)(cid:281)(cid:144)(cid:145)
(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:26)(cid:58)(cid:115)(cid:94)(cid:58)(1011) (cid:282)(cid:104)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:26)1011(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:152)(cid:65)(cid:215)(cid:11)(cid:143)(cid:286)(cid:269)(cid:287)(cid:228)(cid:92)(cid:244)(cid:181)(cid:28)(cid:288)(cid:289)(cid:49)(cid:53)(cid:54)(cid:231)(cid:193)(cid:83)(cid:58)(cid:99)
(cid:267)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:182)(cid:92)(cid:93)(cid:292)(cid:295)(cid:296)2 (cid:58)(cid:297)(cid:298)(cid:193)(cid:149)(cid:299)(cid:257)(cid:32)(cid:152)(cid:300)(cid:166)(cid:43)(cid:298)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:49)(cid:186)(cid:92)(cid:181)(cid:301)(cid:302)(cid:28)(cid:184)(cid:303)(cid:65)(cid:193)98(cid:126)(cid:115)(cid:10)
(cid:32)(cid:152)(cid:55)(cid:10)(cid:190)(cid:126)98=64+32+2
=1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +0×2
6 5 4 3 2 1 0
(cid:304)(cid:193)98=(1100010) (cid:65)
(cid:32)(cid:152)(cid:106)(cid:10)(cid:40)(cid:94)(cid:48)(cid:28)(cid:305)(cid:81)2 (cid:152)(cid:34)(cid:132)(cid:144)(cid:145)(cid:10)
(cid:306)(cid:202)(cid:223)(cid:224)(cid:193)(cid:135)(cid:307)(cid:294)(cid:58)(cid:183)123(cid:184)(cid:303)(cid:126)(cid:308)(cid:92)(cid:181)(cid:26)(cid:104)(cid:75) (cid:77)
A(cid:65)(1111011) B(cid:65)(123) C(cid:65)(cid:75)443(cid:77) D(cid:65)(344)
5 5 5
5
(cid:15)(cid:131)(cid:132)5-3(cid:21)(cid:75)2024(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:146)(cid:147)·(cid:148)(cid:22)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:40)(cid:312)(cid:313)(cid:87)(cid:40)(cid:187)(cid:59)(cid:281)(cid:289)(cid:48)(cid:314)(cid:145)(cid:58)+(cid:88)(cid:109)(cid:90)(cid:108)(cid:102)(cid:315)(cid:126)(cid:316)(cid:316)(cid:100)
A
A
科
全
★
(cid:317)(cid:318)(cid:100)(cid:319)(cid:213)(cid:100)(cid:320)(cid:321)(cid:58)(cid:248)(cid:40)“(cid:197)(cid:187)(cid:92)(cid:55)”(cid:181)(cid:58)(cid:55)(cid:322)(cid:323)(cid:104)(cid:316)(cid:316)(cid:58) 众1(cid:59)号(cid:316)(cid:316)(cid:126)1(cid:87)(cid:58)4(cid:59)(cid:316)(cid:316)(cid:313)(cid:111)1(cid:59)(cid:317)(cid:318)(cid:58)4(cid:59)(cid:317)(cid:318)(cid:313)
公
注
关
(cid:111)1(cid:59)(cid:319)(cid:213)(cid:58)4(cid:59)(cid:319)(cid:213)(cid:313)(cid:111)1(cid:59)(cid:320)(cid:321)(cid:65)源(cid:309)，(cid:40)(cid:312)(cid:28)(cid:313)(cid:87)(cid:281)(cid:289)(cid:48)(cid:126)(cid:299)(cid:59)(cid:320)(cid:321)(cid:58)(cid:129)(cid:324)(cid:40)(cid:312)(cid:28)(cid:313)(cid:87)(cid:126)(cid:75) (cid:77)
资
辅
教
A(cid:65)64 B(cid:65)128 C(cid:65)256 D(cid:65)512
【题型6 有理数的混合运算】
(cid:15)(cid:115)6(cid:21)(cid:75)23-24(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:97)(cid:325)(cid:226)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:99)(cid:330)(cid:180)(cid:40)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:273)(cid:50)(cid:292)(cid:55)(cid:59)(cid:50)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:331)(cid:332)(cid:271)(cid:331)(cid:204)(cid:28)(cid:26)
(cid:224)(cid:94)(cid:149)(cid:144)(cid:10)
(cid:331)
1 2 3 4 5 …
(cid:332)
(cid:331)
1 2 3 4 5
…
2 5 10 17 26
(cid:204)
(cid:333)(cid:334)(cid:58)(cid:219)(cid:331)(cid:332)(cid:26)(cid:224)(cid:104)8(cid:192)(cid:58)(cid:331)(cid:204)(cid:28)(cid:26)(cid:224)(cid:104)(cid:75) (cid:77)
8 8 8 8
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65)
61 63 65 67
(cid:15)(cid:131)(cid:132)6-1(cid:21)(cid:75)24-25(cid:335)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:163)(cid:17)(cid:336)(cid:337)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:338)(cid:339)(cid:28)(cid:104)(cid:75) (cid:77)
A(cid:65)( )+ (+5)=
−14 7− −12B(cid:65)( ) ( )÷| |=9+4÷2
2
C(cid:65) −3 ÷2 − × −4 1 = −2 7÷2× 1
2 2
−7 −
D(cid:65) 7 ×( )+( )× 7 7 ×2= 7 ×( +2)
13 13 13 13
(cid:15)(cid:131)(cid:132)6-2(cid:21)(cid:75)−294-25(cid:133)−3(cid:134)(cid:87)(cid:135)−·(cid:189)(cid:340)−(cid:42)(cid:341)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:40)(cid:55)−9(cid:247)−36(cid:59)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:241)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:58)(cid:94)(cid:48)(cid:102)(cid:315)(cid:144)(cid:145)(cid:26) (cid:58)(cid:129)
(cid:144)(cid:145)(cid:28)(cid:26)(cid:104) (cid:65) 1−5
●○○●●○
(cid:15)(cid:131)(cid:132)6-3(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:346)(cid:136)(cid:337)(cid:119)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:110)(cid:127)(cid:128)(cid:26)n(cid:347)(cid:348)(cid:92)(cid:93)(cid:149)(cid:150)(cid:299)(cid:257)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:124)n(cid:104)(cid:349)(cid:26)(cid:58)(cid:282)(cid:81)
(cid:193)2(cid:86) (cid:124)n(cid:104)(cid:350)(cid:26)(cid:58)(cid:282)(cid:31)(cid:193)3(cid:84)1(cid:65)(cid:115)(cid:94)(cid:10)(cid:127)(cid:128)(cid:26)6(cid:230)(cid:237)(cid:55)(cid:74)(cid:351)(cid:64)(cid:83)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:104)3(cid:58)(cid:230)①(cid:237)(cid:299)(cid:74)(cid:351)(cid:64)(cid:83)(cid:28)(cid:69)(cid:70)
(cid:104)10(cid:65)②(cid:124)(cid:309)(cid:127)(cid:128)(cid:26)m(cid:230)(cid:237)4(cid:74)(cid:351)(cid:64)(cid:83)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:104)2(cid:58)(cid:129)(cid:127)(cid:128)(cid:26)m(cid:28)(cid:130)(cid:104) (cid:65)
+
A
A
科
全
【题型7 有理数混合运算的实际应用】 号 ★
众
公
注
关
(cid:15)(cid:115)7(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:149)·(cid:114)(cid:352)·(cid:140)源(cid:141)(cid:142)，(cid:143)(cid:77)(cid:106)(cid:353)(cid:354)(cid:215)(cid:225)(cid:235)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:52)(cid:39)(cid:40)(cid:359)(cid:241)(cid:359)(cid:179)(cid:270)(cid:58)(cid:161)(cid:104)(cid:40)(cid:309)(cid:257)(cid:360)(cid:361)(cid:28)
资
辅
教
(cid:362)(cid:160)(cid:48)(cid:363)(cid:98)(cid:364)(cid:55)(cid:361)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:215)(cid:156)(cid:365)(cid:102)(cid:366)(cid:28)(cid:100)(cid:342)(cid:343)(cid:60)(cid:302)(cid:28)(cid:100)(cid:63)(cid:242)(cid:26)(cid:224)(cid:36)(cid:9)(cid:6)(cid:367)(cid:28)(cid:48)(cid:363)(cid:86)(cid:215)(cid:227)(cid:354)(cid:368)(cid:181)(cid:135)(cid:369)(cid:370)(cid:180)(cid:40)
(cid:371)(cid:372)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:97)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:377)(cid:28)“0”(cid:58)“1”(cid:58)(cid:275)(cid:40)(cid:124)(cid:378)(cid:59)(cid:49)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:60)(cid:110)(cid:39)(cid:28)(cid:362)(cid:160)(cid:48)(cid:363)(cid:241)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:130)(cid:75)(cid:342)(cid:379)(cid:227)(cid:144)1(cid:58)(cid:343)
(cid:379)(cid:227)(cid:144)0(cid:77)(cid:65)(cid:94)(cid:48)(cid:104)(cid:309)(cid:74)(cid:296)(cid:380)(cid:52)(cid:299)(cid:244)(cid:61)(cid:11)(cid:28)(cid:381)(cid:296)(cid:382)(cid:9)(cid:28)(cid:106)(cid:353)(cid:354)(cid:28)(cid:283)(cid:229)(cid:368)(cid:354)(cid:58)(cid:94)(cid:48)1(cid:58)(cid:104)(cid:61)(cid:11)“(cid:99)(cid:383)”(cid:28)(cid:381)(cid:296)(cid:382)
(cid:9)(cid:28)(cid:106)(cid:353)(cid:354)(cid:28)(cid:283)(cid:229)(cid:368)(cid:354)(cid:58)(cid:278)(cid:52)(cid:105)(cid:55)(cid:93)(cid:227)(cid:144)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:28)(cid:26)(cid:276)11000(cid:58)(cid:184)(cid:185)(cid:372)10(cid:92)(cid:181)(cid:126)(cid:10)1×2 +1×2 +0×2
4 3 2
+0×2 +0×1=24(cid:58)(cid:61)(cid:25)(cid:58)(cid:105)(cid:106)(cid:93)(cid:384)(cid:105)(cid:308)(cid:93)(cid:227)(cid:144)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:28)(cid:26)(cid:276)(cid:102)(cid:315)(cid:126)1110(cid:58)111(cid:58)11100(cid:58)1101(cid:58)(cid:184)(cid:185)(cid:372)
1
10(cid:92)(cid:181)(cid:126)(cid:10)14(cid:58)07(cid:58)28(cid:58)13(cid:58)(cid:385)(cid:308)(cid:93)(cid:368)(cid:354)(cid:386)(cid:42)(cid:90)(cid:55)(cid:387)(cid:282)(cid:104)“(cid:99)(cid:383)”(cid:28)(cid:381)(cid:296)(cid:382)(cid:9)2414072813(cid:58)(cid:278)(cid:52)(cid:105)(cid:55)(cid:93)(cid:368)(cid:354)
“24”(cid:271)(cid:105)(cid:106)(cid:93)(cid:368)(cid:354)“14”(cid:144)(cid:145)(cid:388)(cid:389)(cid:271)(cid:11)(cid:390)(cid:58)(cid:105)(cid:103)(cid:93)(cid:368)(cid:354)“07”(cid:144)(cid:145)(cid:391)(cid:87)(cid:126)07(cid:391)(cid:58)(cid:105)(cid:187)(cid:93)(cid:368)(cid:354)“28”(cid:144)(cid:145)(cid:296)(cid:392)(cid:9)(cid:126)
28(cid:58)(cid:105)(cid:308)(cid:93)(cid:368)(cid:354)“13”(cid:144)(cid:145)(cid:393)(cid:244)(cid:9)(cid:104)13(cid:86)(cid:124)(cid:48)2(cid:104)(cid:394)(cid:74)(cid:296)(cid:380)“(cid:99)(cid:395)”(cid:61)(cid:11)(cid:28)(cid:381)(cid:296)(cid:382)(cid:9)(cid:28)(cid:106)(cid:353)(cid:354)(cid:28)(cid:283)(cid:229)(cid:368)(cid:354)(cid:58)(cid:129)
(cid:99)(cid:395)(cid:28)(cid:381)(cid:296)(cid:382)(cid:9)(cid:126)(cid:75) (cid:77)A(cid:65)2410252110 B(cid:65)2010272108 C(cid:65)2212272408 D(cid:65)2410272108
(cid:15)(cid:131)(cid:132)7-1(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:187)(cid:188)(cid:372)(cid:125)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:309)(cid:390)(cid:55)(cid:396)(cid:286)(cid:11)(cid:397)(cid:252)(cid:24)5(cid:398)(cid:58)(cid:60)(cid:399)(cid:299)(cid:398)(cid:301)(cid:302)(cid:397)(cid:400)(cid:28)(cid:337)(cid:140)(cid:300)(cid:126)
18(cid:87)(cid:58)(cid:88)1(cid:398)(cid:90)5(cid:398)(cid:401)(cid:84)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:28)(cid:11)(cid:357)(cid:234)(cid:26)(cid:102)(cid:315)(cid:126)9(cid:58)7(cid:58)5(cid:58)5(cid:58)6(cid:65)(cid:124)(cid:215)(cid:309)(cid:398)(cid:397)(cid:153)(cid:361)(cid:358)(cid:406)(cid:57)(cid:51)(cid:58)(cid:203)(cid:275)(cid:304)
(cid:24)(cid:401)(cid:84)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:28)(cid:61)(cid:11)(cid:90)(cid:358)(cid:406)(cid:57)(cid:51)(cid:304)(cid:230)(cid:237)(cid:28)(cid:337)(cid:140)(cid:26)(cid:301)(cid:271)(cid:82)(cid:99)(cid:58)(cid:129)(cid:337)(cid:140)(cid:26)(cid:301)(cid:271)(cid:82)(cid:99)(cid:126) (cid:87)(cid:65)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)7-2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:149)·(cid:114)(cid:352)(cid:407)(cid:408)(cid:409)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)2025(cid:114)(cid:352)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:146)(cid:410)(cid:390)(cid:411)(cid:262)(cid:45)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:298)(cid:392)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:418)(cid:65)(cid:309)
(cid:11)(cid:390)9(cid:234)(cid:386)(cid:372)(cid:28)(cid:419)(cid:419)(cid:420)(cid:215)(cid:421)(cid:51)(cid:144)(cid:422)(cid:103)(cid:59)(cid:423)(cid:424)(cid:425)(cid:426)(cid:58)(cid:427)(cid:392)(cid:192)(cid:302)(cid:126)(cid:88)(cid:428)(cid:59)(cid:425)(cid:426)(cid:322)(cid:323)(cid:384)(cid:401)(cid:422)(cid:425)(cid:426)(cid:322)(cid:323)(cid:429)(cid:28)(cid:192)(cid:302)(cid:302)
(cid:430)(cid:75)(cid:253)(cid:296)(cid:431)(cid:303)(cid:392)(cid:313)(cid:190)(cid:432)(cid:77)(cid:58)(cid:279)(cid:425)(cid:426)(cid:401)(cid:49)(cid:234)(cid:26)(cid:78)(cid:144)(cid:422)(cid:192)(cid:259)(cid:75)(cid:284)(cid:244)(cid:10)min(cid:77)(cid:94)(cid:149)(cid:144)(cid:304)(cid:145)(cid:10)
(cid:425)
(cid:433) (cid:434) (cid:435)
(cid:426)
(cid:234)
3 4 2
(cid:26)
(cid:192)
6 4 2
+
(cid:259) A A
科
全
★
号
众
(cid:124)(cid:425)(cid:426)(cid:98)(cid:435) (cid:434) (cid:433)(cid:28)(cid:107)(cid:46)(cid:144)(cid:422)(cid:58)(cid:129)9(cid:244)(cid:11)(cid:357)(cid:28)注(cid:427)(cid:392)公(cid:192)(cid:302)(cid:301)(cid:271)(cid:104)(cid:75)(cid:154)(cid:154)(cid:77)
关
，
源
资
A(cid:65)6 → → B(cid:65)辅20 C(cid:65)26 D(cid:65)44
教
(cid:15)(cid:131)(cid:132)7-3(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:114)(cid:352)(cid:436)(cid:117)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:127)(cid:304)(cid:437)(cid:10)“(cid:234)(cid:24)(cid:234)(cid:438)(cid:58)(cid:439)(cid:24)(cid:439)(cid:440)”(cid:65)(cid:439)(cid:440)(cid:75)(cid:439)(cid:441)(cid:236)(cid:6)(cid:77)(cid:104)(cid:442)(cid:443)
(cid:301)(cid:302)(cid:236)(cid:6)(cid:28)(cid:55)(cid:257)(cid:236)(cid:40)(cid:185)(cid:440)(cid:438)(cid:58)(cid:215)(cid:147)(cid:44)(cid:135)(cid:28)(cid:275)(cid:40)(cid:186)(cid:102)(cid:179)(cid:270)(cid:65)(cid:180)(cid:40)(cid:439)(cid:441)(cid:58)(cid:193)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:28)(cid:444)(cid:25)(cid:445)(cid:446)(cid:6)(cid:367)(cid:58)(cid:166)(cid:193)(cid:447)(cid:423)
(cid:442)(cid:448)(cid:215)(cid:170)(cid:233)(cid:28)(cid:426)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:60)(cid:452)(cid:453)(cid:236)(cid:65)(cid:115)(cid:94)(cid:10)“○”(cid:144)(cid:145)(cid:318)(cid:454)(cid:439)(cid:65)”“●”(cid:144)(cid:145)(cid:318)(cid:455)(cid:439)(cid:65)(cid:299)(cid:443)(cid:233)(cid:456)(cid:457)(cid:93)(cid:28)(cid:442)(cid:443)(cid:40)(cid:318)(cid:454)(cid:439)
(cid:271)(cid:318)(cid:455)(cid:439)(cid:241)(cid:92)(cid:93)(cid:458)(cid:47)(cid:58)(cid:182)(cid:215)(cid:459)(cid:457)(cid:429)(cid:64)(cid:94)(cid:48)(cid:304)(cid:145)(cid:28)(cid:460)(cid:361)(cid:10)
(cid:223)(cid:224)(cid:460)(cid:361)(cid:28)(cid:37)(cid:129)(cid:58)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:127)(cid:153)(cid:28)(cid:24)(cid:75) (cid:77)
“●○○○”(cid:144)(cid:145)(cid:276)(cid:461)H(cid:10)
①(cid:124)(cid:462)(cid:144)(cid:145)26(cid:59)(cid:463)(cid:464)(cid:276)(cid:461)(cid:58)(cid:465)(cid:462)6(cid:466)(cid:439)(cid:86)
②(cid:309)(cid:442)(cid:79)(cid:83)(cid:297)(cid:204)“●○○●●”(cid:100)“●●●●”(cid:100)“●○○●●”(cid:144)(cid:145)(cid:161)(cid:467)(cid:90)(cid:292)(cid:468)(cid:469)(cid:58)(cid:215)(cid:66)(cid:470)(cid:65)
③ A(cid:65)0(cid:59) B(cid:65)1(cid:59) C(cid:65)2(cid:59) D(cid:65)3(cid:59)【题型8 程序流程图与有理数的计算】
(cid:15)(cid:115)8(cid:21)(cid:75)24-25(cid:471)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:472)(cid:119)(cid:473)(cid:474)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:361)(cid:474)(cid:55)(cid:257)(cid:110)(cid:127)(cid:128)(cid:26) (cid:28)“ ”(cid:33)(cid:34)(cid:58) (cid:219) (cid:126)(cid:350)(cid:26)(cid:192)(cid:58)(cid:69)(cid:70)(cid:126)
𝑛 𝐹 ① 𝑛
+5(cid:86) (cid:219) (cid:126)(cid:349)(cid:26)(cid:192)(cid:58)(cid:69)(cid:70)(cid:126) (cid:75)(cid:278)(cid:52)k(cid:104)(cid:275) (cid:126)(cid:350)(cid:26)(cid:28)(cid:127)(cid:128)(cid:26)(cid:77)(cid:58)(cid:182)(cid:196)(cid:33)(cid:34)(cid:114)(cid:348)(cid:92)(cid:93)(cid:58)(cid:115)(cid:94)(cid:58)(cid:475)
2 2
𝑘 𝑘
𝑛 𝑛
3𝑛 =26(cid:58)②(cid:94)(cid:48)(cid:304)𝑛 (cid:145)(cid:86)(cid:124) =449(cid:58)(cid:129)(cid:105)“ ”(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:104)(cid:75) (cid:77)
𝑛 𝑛 𝐹④
A(cid:65)1 B(cid:65)3 C(cid:65)7 D(cid:65)8
(cid:15)(cid:131)(cid:132)8-1(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:476)(cid:168)(cid:477)(cid:17)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:94)(cid:48)(cid:104)(cid:55)(cid:59)“(cid:26)(cid:130)(cid:184)(cid:303)(cid:268)”(cid:28)(cid:145)(cid:478)(cid:48)(cid:58)(cid:219) = (cid:58) = (cid:192)(cid:58)
(cid:331)(cid:204)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:104) (cid:65) 𝑥 −1 𝑦 −2
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:131)(cid:132)8-2(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:479)(cid:137)(cid:137)(cid:189)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:94)(cid:48)(cid:104)(cid:99)(cid:480)(cid:40)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:273)(cid:50)(cid:28)(cid:55)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:481)(cid:48)(cid:65)(cid:124)
(cid:331)(cid:332)(cid:28)(cid:26) (cid:126)1(cid:58)(cid:129)(cid:331)(cid:204)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:104)(cid:75) (cid:77)
𝑎
A(cid:65) 3 B(cid:65) 3 C(cid:65) 27 D(cid:65) 27
2 2 8 8
(cid:15)(cid:131)(cid:132)8 − -3(cid:21)(cid:75)24-25(cid:482)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:114)(cid:352)(cid:136)(cid:117)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:110)−(cid:159)(cid:478)(cid:127)(cid:128)(cid:26)n(cid:58)(cid:124)n(cid:126)(cid:349)(cid:26)(cid:129)(cid:81)(cid:193)2(cid:58)(cid:124)n(cid:126)(cid:350)(cid:26)(cid:129)(cid:31)3
(cid:80)(cid:84)1(cid:58)(cid:215)(cid:483)(cid:484)(cid:55)(cid:74)(cid:131)(cid:185)(cid:149)(cid:58)(cid:225)(cid:235)(cid:157)(cid:90)(cid:55)(cid:59)(cid:485)(cid:28)(cid:486)(cid:487)(cid:26)(cid:58)(cid:215)1937(cid:134)LotharCollatz(cid:488)(cid:204)(cid:292)(cid:55)(cid:59)(cid:489)(cid:22)(cid:10)(cid:94)(cid:191)(cid:347)
(cid:348)(cid:483)(cid:257)(cid:131)(cid:303)(cid:58)(cid:104)(cid:490)(cid:110)(cid:111)(cid:304)(cid:24)(cid:28)(cid:127)(cid:128)(cid:26)(cid:58)(cid:82)(cid:491)(cid:125)(cid:203)(cid:131)(cid:303)(cid:90)1(cid:492)(cid:493)(cid:483)(cid:282)(cid:104)(cid:26)(cid:11)(cid:52)(cid:494)(cid:495)(cid:28)“(cid:296)(cid:413)(cid:496)(cid:497)(cid:498)”(cid:65)(cid:94)(cid:70)(cid:309)(cid:59)
(cid:127)(cid:128)(cid:26)(cid:236)(cid:237)(cid:135)(cid:499)(cid:131)(cid:303)(cid:203)(cid:131)(cid:372)1(cid:58)(cid:225)(cid:235)(cid:282)(cid:183)(cid:105)(cid:55)(cid:74)(cid:131)(cid:372)1(cid:192)(cid:304)(cid:230)(cid:237)(cid:28)(cid:131)(cid:303)(cid:74)(cid:26)(cid:500)(cid:126)(cid:161)(cid:28)(cid:501)(cid:502)(cid:259)(cid:58)(cid:115)(cid:94)5(cid:230)(cid:237)5
(cid:74)(cid:131)(cid:372)1(cid:58)(cid:129)(cid:501)(cid:502)(cid:259) =5(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:10)
(cid:503)(cid:504)(cid:331)(cid:332)(cid:28)(cid:127)(cid:128)(cid:26)𝑚n(cid:104)(cid:350)(cid:26)(cid:505)(cid:104)(cid:349)(cid:26)(cid:58)(cid:219)(cid:501)(cid:502)(cid:259) 4(cid:192)(cid:58)(cid:506)(cid:203)(cid:157)(cid:90)(cid:507)(cid:508)(cid:187)(cid:74)(cid:131)(cid:303)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:101)(cid:74)(cid:104)2 (cid:58)2 (cid:58)
4 3
① 𝑚≥2 (cid:58)2 (cid:86)
2 1
(cid:124)(cid:331)(cid:332)(cid:127)(cid:128)(cid:26)n(cid:58)(cid:131)(cid:303)(cid:74)(cid:26)m(cid:58)(cid:219) =8(cid:192)(cid:58)n(cid:28)(cid:304)(cid:24)(cid:166)(cid:203)(cid:130)(cid:443)(cid:24)4(cid:59)(cid:86)
②(cid:124)(cid:331)(cid:332)(cid:127)(cid:128)(cid:26)n(cid:58)(cid:131)(cid:303)(cid:74)(cid:26)m(cid:58)(cid:219)𝑚=9(cid:192)(cid:58)n(cid:28)(cid:304)(cid:24)(cid:166)(cid:203)(cid:130)(cid:52)(cid:82)(cid:19)(cid:104)512(cid:58)(cid:82)(cid:99)(cid:104)13(cid:65)
③(cid:278)(cid:52)(cid:127)(cid:153)(cid:28)(cid:59)(cid:26)(cid:104)(cid:75) (cid:77) 𝑚
A(cid:65)3(cid:59) B(cid:65)2(cid:59) C(cid:65)1(cid:59) D(cid:65)0(cid:59)
【题型9 计算“24”点】
(cid:15)(cid:115)9(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:187)(cid:188)(cid:372)(cid:125)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)24(cid:51)(cid:509)(cid:510)(cid:104)(cid:55)(cid:257)(cid:511)(cid:512)(cid:509)(cid:510)(cid:58)24(cid:51)(cid:104)(cid:183)4(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:104)(cid:127)(cid:128)(cid:26)(cid:77)
(cid:236)(cid:237)(cid:84)(cid:100)(cid:85)(cid:100)(cid:31)(cid:100)(cid:81)(cid:76)(cid:31)(cid:32)(cid:313)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:166)(cid:193)(cid:275)(cid:40)(cid:95)(cid:9)(cid:77)(cid:58)(cid:275)(cid:82)(cid:83)(cid:28)(cid:50)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:104)±24(cid:28)(cid:55)(cid:59)(cid:26)(cid:11)(cid:509)(cid:510)(cid:75)(cid:513)(cid:59)(cid:26)
(cid:276)(cid:300)(cid:275)(cid:40)1(cid:74)(cid:77)(cid:65)(cid:285)(cid:204)1(cid:58)2(cid:58)2(cid:58)3(cid:28)24(cid:51)(cid:509)(cid:510)(cid:28)(cid:55)(cid:257)(cid:50)(cid:34)(cid:132) (cid:65)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)9-1(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:179)(cid:17)(cid:514)(cid:163)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:509)(cid:510)“24(cid:51)”(cid:37)(cid:129)(cid:94)(cid:149)(cid:10)(cid:88)(cid:55)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:518)(cid:75)(cid:261)(cid:519)(cid:19)(cid:330)(cid:100)(cid:99)(cid:330)(cid:77)(cid:52)
(cid:159)(cid:478)(cid:520)(cid:475)4(cid:395)(cid:58)(cid:223)(cid:224)(cid:518)(cid:365)(cid:135)(cid:28)(cid:26)(cid:276)(cid:92)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:513)(cid:395)(cid:518)(cid:521)(cid:522)(cid:40)(cid:55)(cid:74)(cid:196)(cid:443)(cid:203)(cid:40)(cid:55)(cid:74)(cid:77)(cid:58)(cid:275)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:126)24(cid:58)
(cid:278)(cid:52)(cid:454)(cid:379)(cid:75)(cid:32)(cid:523)(cid:100)(cid:454)(cid:524)(cid:77)(cid:516)(cid:517)(cid:518)(cid:227)(cid:144)(cid:158)(cid:26)(cid:58)(cid:342)(cid:379)(cid:75)(cid:525)(cid:526)(cid:100)(cid:342)(cid:524)(cid:77)(cid:516)(cid:517)(cid:518)(cid:227)(cid:144)(cid:127)(cid:26)(cid:65)(cid:306)(cid:40)(cid:94)(cid:48)(cid:520)(cid:475)(cid:204)(cid:28)4(cid:395)(cid:518)(cid:58)
(cid:285)(cid:204)(cid:55)(cid:59)(cid:36)(cid:42)(cid:37)(cid:129)(cid:28)(cid:34)(cid:132)(cid:10) (cid:65)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:131)(cid:132)9-2(cid:21)(cid:75)23-24(cid:335)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:163)(cid:17)(cid:424)(cid:177)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:24)(cid:55)(cid:257)“(cid:106)(cid:186)(cid:187)(cid:51)”(cid:509)(cid:510)(cid:58)(cid:278)(cid:509)(cid:510)(cid:37)(cid:129)(cid:104)(cid:10)(cid:159)(cid:475)1(cid:384)13(cid:301)(cid:302)
(cid:28)(cid:187)(cid:59)(cid:486)(cid:487)(cid:26)(cid:58)(cid:385)(cid:483)(cid:187)(cid:59)(cid:26)(cid:75)(cid:513)(cid:59)(cid:26)(cid:40)(cid:196)(cid:443)(cid:40)(cid:55)(cid:74)(cid:58)(cid:166)(cid:193)(cid:84)(cid:95)(cid:9)(cid:77)(cid:92)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:275)(cid:278)(cid:69)(cid:70)(cid:313)(cid:111)
24(cid:65)(cid:298)(cid:24)(cid:187)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)1,2,2,3(cid:58)(cid:306)(cid:527)(cid:364)“(cid:106)(cid:186)(cid:187)(cid:51)”(cid:509)(cid:510)(cid:37)(cid:129)(cid:285)(cid:204)(cid:55)(cid:59)(cid:34)(cid:132) (cid:58)(cid:275)(cid:278)(cid:69)(cid:70)(cid:313)(cid:111)24(cid:65)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)9-3(cid:21)“24(cid:51)”(cid:509)(cid:510)(cid:37)(cid:129)(cid:104)(cid:10)(cid:88)(cid:55)(cid:515)(cid:518)(cid:52)(cid:75)(cid:261)(cid:519)(cid:19)(cid:100)(cid:99)(cid:330)(cid:77)(cid:159)(cid:478)(cid:520)(cid:475)4(cid:395)(cid:518)(cid:58)(cid:40)(cid:135)(cid:365)(cid:28)(cid:26)(cid:276)(cid:92)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:33)
(cid:34)(cid:58)(cid:275)(cid:69)(cid:70)(cid:126)24(cid:76)—24.(cid:278)(cid:52)(cid:454)(cid:379)(cid:227)(cid:144)(cid:158)(cid:26)(cid:58)(cid:342)(cid:379)(cid:227)(cid:144)(cid:127)(cid:26)(cid:58)A(cid:58)J(cid:58)Q(cid:58)K(cid:102)(cid:315)(cid:227)(cid:144)1(cid:58)11(cid:58)12(cid:58)13(cid:58)(cid:115)(cid:94)
(cid:395)(cid:528)(cid:61)(cid:11)(cid:520)(cid:475)(cid:28)4(cid:395)(cid:518)(cid:102)(cid:315)(cid:126)(cid:454)(cid:524)4(cid:100)(cid:454)(cid:524)3(cid:100)(cid:525)(cid:526)6(cid:100)(cid:342)(cid:524)2(cid:58)(cid:111)(cid:104)(cid:395)(cid:528)(cid:61)(cid:11)(cid:150)(cid:204)(cid:28)(cid:34)(cid:132)(cid:126)(cid:75)(cid:529)4(cid:77)×(cid:75)(cid:529)3
(cid:529)6÷2(cid:77)(cid:530)24(cid:58)(cid:298)(cid:215)(cid:395)(cid:528)(cid:61)(cid:11)(cid:498)(cid:531)(cid:532)“36(cid:51)”(cid:58)(cid:385)(cid:483)(cid:187)(cid:395)(cid:518)(cid:52)(cid:28)(cid:159)(cid:478)(cid:55)(cid:395)(cid:303)(cid:372)(cid:278)(cid:161)(cid:518)(cid:58)(cid:275)(cid:69)(cid:70)(cid:126)36(cid:76)—36(cid:58)
(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:152)(cid:166)(cid:93)(cid:28)(cid:24)(cid:362)(cid:257)(cid:10) (cid:385)(cid:454)(cid:524)4(cid:303)(cid:372)(cid:342)(cid:524)6(cid:86) (cid:385)(cid:454)(cid:524)3(cid:303)(cid:372)(cid:454)(cid:524)6(cid:86) (cid:385)(cid:525)(cid:526)6(cid:303)(cid:372)(cid:342)(cid:524)Q(cid:86) (cid:385)
(cid:342)(cid:524)2(cid:303)(cid:372)(cid:342)(cid:524)A(cid:75) (cid:77)① ② ③ ④
A(cid:65)1(cid:257) B(cid:65)2(cid:257) C(cid:65)3(cid:257) D(cid:65)4(cid:257)
【题型10 乘方中的规律探究】
(cid:15)(cid:115)10(cid:21)(cid:75)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:116)(cid:214)(cid:533)(cid:534)·(cid:164)(cid:165)(cid:77)(cid:126)(cid:292)(cid:66)1+2+2 +2 + +2 (cid:28)(cid:130)(cid:58)(cid:166)(cid:535) =1+2+2 +
2 3 20 2
⋯ 𝐴2 + +2
3 20
⋯
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教(cid:58)(cid:129) =2+2 +2 +2 + +2 (cid:58)(cid:190)(cid:191) = =2 (cid:58)(cid:304)(cid:193)1+2+2 +2 + +2 =2
2 3 4 21 21 2 3 20 21
(cid:65)2(cid:527)𝐴(cid:364)(cid:193)(cid:135)(cid:536)(cid:25)(cid:58)(cid:50)(cid:34)1+⋯7+7 +7 +𝐴+72𝐴−𝐴(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:126)−1(cid:75) (cid:77) ⋯
2 3 2025
−1 ⋯ 7 7
A(cid:65)7 B(cid:65)7 C(cid:65) D(cid:65)
20265 20266
2025 2026 −1 −1
(cid:15)(cid:131)(cid:132)10-1(cid:21)−(cid:75)1 24-25(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:149)·−(cid:172)1(cid:173)(cid:537)(cid:119)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:225)(cid:235)(cid:37)(cid:361)(cid:55)(cid:59)(cid:485)(cid:26)“ ”(cid:58)(cid:55)(cid:538)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:166)(cid:193)(cid:49)(cid:485)(cid:26)(cid:92)(cid:93)(cid:187)(cid:129)(cid:33)
(cid:34)(cid:58)(cid:196)(cid:444)(cid:24)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:271)(cid:33)(cid:34)(cid:152)(cid:129)(cid:539)(cid:487)(cid:372)(cid:540)(cid:58) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:58)(cid:333)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:334) + + + + + = (cid:65)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:131)(cid:132)𝑖10-2𝑖(cid:21)(cid:75)⋯24-2𝑖5(cid:133)(cid:134)(cid:87)𝑖(cid:135)·(cid:179)(cid:17)(cid:179)(cid:119)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:541)(cid:542)(cid:149)(cid:48)(cid:103)(cid:93)(cid:26)(cid:10)
(cid:58)4(cid:58) (cid:58)16(cid:58) (cid:58)64(cid:58)...(cid:86)
−0(cid:58)26(cid:58) −(cid:58)818(cid:58) −3(cid:58)266(cid:58)...(cid:86) ①
(cid:58)2(cid:58)−6 (cid:58)8(cid:58)−30 (cid:58)32(cid:58)...(cid:86)②
−(cid:475)1(cid:513)(cid:93)(cid:26)−(cid:28)4(cid:105)9(cid:59)−(cid:26)16(cid:58)(cid:483)(cid:103)(cid:59)(cid:26)(cid:28)③(cid:271)(cid:126) (cid:86)
(cid:15)(cid:131)(cid:132)10-3(cid:21)(cid:75)22-23(cid:133)(cid:134)(cid:87)(cid:135)·(cid:543)(cid:117)(cid:544)(cid:545)·(cid:164)(cid:52)(cid:77)(cid:50)(cid:34)(cid:268)(cid:180)(cid:40)(cid:28)(cid:104)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:26)(cid:58)(cid:161)(cid:252)(cid:24)(cid:299)(cid:59)(cid:26)(cid:354)0(cid:58)1(cid:58)(cid:385)(cid:55)(cid:59)
(cid:186)(cid:92)(cid:181)(cid:26)(cid:184)(cid:185)(cid:126)(cid:106)(cid:92)(cid:181)(cid:58)(cid:443)(cid:465)(cid:183)(cid:324)(cid:26)(cid:285)(cid:204)(cid:124)(cid:378)2 (cid:26)(cid:28)(cid:271)(cid:58)(cid:101)(cid:74)(cid:285)(cid:204)1(cid:76)0(cid:62)(cid:166)(cid:65)(cid:94)19 ( ) =16+2+1=1×
+
A
2 +0×2 +0×2 +1×2 +1=10011 ( ) (cid:126)(cid:106) 𝑛 (cid:92)(cid:181)(cid:149)(cid:28)(cid:308) 号 (cid:244)(cid:26)★(cid:58)(cid:129)全(cid:186) 科 (cid:92)(cid:181) A 2022(cid:104)(cid:106) 10 (cid:92)(cid:181)(cid:149)(cid:28)(cid:75) (cid:77)
众
4 3 2 1 公
A(cid:65)10(cid:244)(cid:26) B(cid:65)11(cid:244)(cid:26) 2 关C 注 (cid:65)12(cid:244)(cid:26) D(cid:65)13(cid:244)(cid:26)
，
源
资
辅
教
