文档文本内容
专题 2.6 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:20)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:20)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:35)(cid:9)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:20)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:20)................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:39)(cid:20)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:47)(cid:48)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:49)(cid:33)(cid:20)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:49)(cid:33)“24”(cid:50)(cid:20).............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:30)(cid:31)(cid:51)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:20)................................................................................................................................8
知识点1 有理数的乘方 教辅资源，关注公 众号★全科AA+
1. (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)n(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:27)(cid:30)(cid:25)ɑ(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:61) (cid:57)(cid:62)(cid:63) (cid:64)(cid:65)n(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:30)(cid:25)(cid:27)(cid:66)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:67)(cid:63)(cid:30)(cid:31)(cid:57)(cid:30)(cid:31)
(cid:58) 𝑛
𝑎⋅𝑎·⋯·𝑎 𝑎
(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:67)(cid:63)(cid:26)(cid:64) 𝑛
2. (cid:51)(cid:57)a(cid:67)(cid:63)(cid:70)(cid:25)(cid:57)n(cid:67)(cid:63)(cid:71)(cid:25)(cid:57) (cid:72)(cid:63)a(cid:27)n(cid:73)(cid:31)(cid:74)(cid:75)a(cid:27)n(cid:73)(cid:26)(cid:76)(cid:64)
𝑛 𝑛
(cid:71)(cid:25)
𝑎 (cid:26) 𝑎
𝑛
(cid:70)
𝑎
3. (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:77)(cid:35)(cid:9)(cid:27)(cid:36)(cid:37) (cid:25)
正 数：正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数
负数：
负数的偶次幂是正数
0：0的任何正整数次幂都是0
知识点2 有理数的混合运算顺序
1. (cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:57)(cid:79)(cid:30)(cid:80)(cid:57)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)
2. (cid:60)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:85)
3. (cid:93)(cid:23)(cid:94)(cid:9)(cid:57)(cid:78)(cid:95)(cid:94)(cid:9)(cid:96)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:97)(cid:98)(cid:94)(cid:9)(cid:99)(cid:51)(cid:94)(cid:9)(cid:99)(cid:18)(cid:94)(cid:9)(cid:100)(cid:73)(cid:91)(cid:92)(cid:64)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:101)(cid:102)(cid:86)(cid:57)(cid:83)(cid:84)(cid:103)(cid:104)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:30)(cid:80)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:102)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:106)(cid:45)(cid:103)(cid:78)(cid:33)(cid:107)(cid:86)(cid:57)(cid:79)(cid:33)(cid:108)(cid:86)(cid:85)(cid:60)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:27)(cid:106)(cid:45)(cid:91)(cid:92)(cid:85)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:23)(cid:112)(cid:113)(cid:94)(cid:9)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:54)(cid:55)(cid:78)(cid:33)(cid:98)(cid:94)(cid:9)(cid:96)(cid:27)(cid:57)(cid:79)(cid:33)(cid:51)(cid:94)
(cid:9)(cid:96)(cid:27)(cid:57)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:18)(cid:94)(cid:9)(cid:96)(cid:27)(cid:64)
【题型1 有理数幂的概念】
(cid:15)(cid:114)1(cid:20)(cid:74)2024·(cid:115)(cid:16)(cid:116)(cid:117)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:76)(cid:122)2 +2 +2 +....+2 =2 (cid:74) >1(cid:57) (cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:25) (cid:57)(cid:127)m(cid:27)(cid:81)
3 3 (cid:58)23 3 𝑚
3 𝑘 𝑘,𝑚
(cid:98)(cid:128)(cid:124)(cid:74) (cid:76) 𝑘
A(cid:64)3 B(cid:64)4 C(cid:64)6 D(cid:64)9
(cid:15)(cid:129)(cid:130)1-1(cid:20)(cid:74)22-23(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:76)-2 (cid:27)(cid:70)(cid:25)(cid:103) (cid:71)(cid:25)(cid:103) (cid:142)(cid:143) (cid:64)
3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)1-2(cid:20)(cid:74)2024(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:151)(cid:27)(cid:23)(cid:74)(cid:152)(cid:152)(cid:76)
(cid:153)(cid:23)(cid:154)(cid:31)(cid:155) (cid:27)(cid:25)(cid:85) (cid:103)(cid:156)(cid:25)(cid:85) ( + ) (cid:103)(cid:125)(cid:25)(cid:85) (cid:157)(cid:158)(cid:54)(cid:58)(cid:98)(cid:110)1(cid:27)(cid:25)(cid:123)(cid:18)(cid:110)(cid:159)(cid:27)(cid:154)(cid:31)(cid:64)
2 2
①A(cid:64)1(cid:58) −9 B②(cid:64)2−(cid:58)𝑎 ③ 𝑚C(cid:64)𝑑3(cid:58) ④ D(cid:64)4(cid:58)
(cid:58) (cid:58)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)1-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:115)(cid:16)(cid:160)(cid:161)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)3+3+3+ +3+2×2×2× ×2(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:164)(cid:142)(cid:143)(cid:124)(cid:74) (cid:76)
𝑚 𝑛
A(cid:64) + B(cid:64) + C(cid:64)3 + ⋅⋅⋅ D(cid:64) +2⋅⋅⋅
3 𝑚 𝑛
【题型
32𝑚
有
2
理
𝑛
数的乘方运
𝑚
算】
2𝑛 2𝑛 3𝑚
(cid:15)(cid:114)2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:161)(cid:165)(cid:166)(cid:167)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:168)(cid:169)(cid:18)(cid:98)(cid:10) 2 3 (cid:74)(cid:170)>(cid:75)<(cid:76)(cid:64)
33 2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)2-1(cid:20)(cid:74)2025·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:117)·(cid:105)(cid:118)(cid:76)(cid:174)(cid:175)( ) +−| +1|=−0(cid:57)(cid:127) (cid:27)(cid:128)(cid:103) (cid:64)
2 𝑥
𝑥−2025 𝑦1 𝑦
(cid:15)(cid:129)(cid:130)2-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:133)(cid:176)(cid:177)(cid:92)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:49)(cid:33)(cid:10) ×16 = (cid:64)
4 11
6
(cid:15)(cid:129)(cid:130)2-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:178)(cid:165)(cid:178)(cid:117)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:179)(cid:39)(cid:105)(cid:91)−(cid:180)(cid:25)(cid:83)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:150)(cid:127)(cid:49)(cid:33)(11010) +(111) (cid:57)(cid:181)(cid:182)
(cid:49)(cid:33)(cid:68)(cid:69)(cid:183)(cid:184)(cid:124)(cid:185)(cid:91)(cid:180)(cid:25)(cid:103) (cid:64) 2 2
【题型3 有理数乘方的逆运算】教辅资源，关注 公众号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)3(cid:20)(cid:74)2025·(cid:186)(cid:187)(cid:178)(cid:188)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)n(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:27)(cid:189)(cid:25)a(cid:59)(cid:30) (cid:62)(cid:63) (cid:57)(cid:93)
𝑛
2×2×2=2 =8(cid:64)(cid:190)(cid:191)(cid:57)3(cid:67)(cid:95)(cid:192)2(cid:124)(cid:70)(cid:27)8(cid:27)“(cid:193)(cid:194)(cid:25)”(cid:57)(cid:62)(cid:124) (𝑎8)⋅(cid:57)𝑎(cid:127)⋅𝑎⋅𝑎(⋯8)⋅=𝑎3(cid:64)(cid:54)𝑎(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:122) =
3 𝑛
(cid:74) >0(cid:195) 1(cid:76)(cid:57)(cid:127)n(cid:67)(cid:95)(cid:192)a(cid:124)(cid:70)(cid:27)b(cid:27)“(cid:193)(cid:194)(cid:25)”(cid:57)(cid:62)(cid:124) ( )𝐿2= (cid:57)(cid:93)3𝐿2=81(cid:57)(cid:127)4(cid:67)(cid:95)(cid:192)3𝑎(cid:124)(cid:70)(cid:27)𝑏
4
81𝑎(cid:27)“(cid:193)(cid:194)𝑎(cid:25)≠”(cid:57)(cid:62)(cid:124) (81)=4(cid:64)(cid:127) (9), (27), (243)(cid:196)(cid:197)𝐿(cid:3)𝑎 (cid:198)𝑏 (cid:130) 𝑛 (cid:64)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)3-1(cid:20)(cid:74)22-23𝐿(cid:131)3(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:178)(cid:165)(cid:165)𝐿3(cid:199)·(cid:162)𝐿(cid:51)3 (cid:76)6𝐿=3 36,(2×3) =2 ×3 =4×9=36(cid:57)(cid:200)(cid:190)(cid:201)(cid:202)(cid:33)(cid:203)
2 2 2 2
2 × 1 =(cid:74) (cid:76)
2 33
36
1
A(cid:64)6 B(cid:64)8 C(cid:64) D(cid:64)(cid:185)(cid:101)(cid:204)(cid:205)
8(cid:15)(cid:129)(cid:130)3-2(cid:20)(cid:74)22-23(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:161)(cid:165)(cid:206)(cid:207)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:174)(cid:175)| |=2, =25,3 =27(cid:57)(cid:195) >0(cid:57)(cid:127) + (cid:27)(cid:128)(cid:124)
2 𝑐
(cid:74)(cid:152)(cid:152)(cid:76) 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑐
A(cid:64)10 B(cid:64)6 C(cid:64)3 D(cid:64)6(cid:75)(cid:208)0
(cid:15)(cid:129)(cid:130)3-3(cid:20)(cid:74)22-23(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:171)(cid:172)(cid:209)(cid:210)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:122)126×3 = (cid:57)(cid:127)126×3 (cid:27)(cid:128)(cid:164)(cid:192)(cid:142)(cid:143)(cid:124)(cid:74) (cid:76)
8 6
1 𝑝 1
A(cid:64) B(cid:64) C(cid:64) D(cid:64)
6 9
𝑝 𝑝−9 𝑝−6 𝑝
【题型4 乘方运算的符号规律】
(cid:15)(cid:114)4(cid:20)(cid:74)23-24(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:178)(cid:165)(cid:211)(cid:212)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:49)(cid:33)(cid:10) ( ) +( ) +( ) + +( ) =
1 2 3 10
(cid:15)(cid:129)(cid:130)4-1(cid:20)(cid:74)23-24(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:115)(cid:213)(cid:6)(cid:212)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:214)( −)1 (cid:57)−21 (cid:57)( −)1 (cid:57)0⋯(cid:51)(cid:57)−(cid:215)1(cid:156)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:152)(cid:152)(cid:76)
2021 3 11
A(cid:64)1(cid:58) B(cid:64)2(cid:58) C(cid:64)3(cid:58)−1 − D−(cid:64)74(cid:58)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)4-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:186)(cid:187)(cid:213)(cid:216)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:174)(cid:175) = +2024(cid:27)(cid:81)(cid:18)(cid:128)(cid:124) (cid:64)
4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)4-3(cid:20)(cid:74)23-24(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:115)(cid:213)(cid:217)(cid:115)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:218)𝑦 (cid:126)−(cid:25)(𝑥−(cid:124)6 ) (cid:191)(cid:57) = (cid:85)(cid:122) (cid:103)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:57)(cid:127)
𝑛
+ = (cid:64) 𝑛 (−1) −1 𝑛
𝑛 𝑛+1
( 【 − 题 1) 型5 ( − 乘 1) 方的应用】
(cid:15)(cid:114)5(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:134)(cid:219)(cid:220)(cid:221)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:145)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:62)(cid:231)(cid:57)(cid:232)(cid:225)(cid:191)(cid:162)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:214)(cid:237)(cid:238)(cid:133)(cid:239)(cid:68)
(cid:240)(cid:62)(cid:241)(cid:25)(cid:242)(cid:57)(cid:61)“(cid:68)(cid:237)(cid:62)(cid:25)”(cid:64)(cid:93)(cid:47)(cid:57)(cid:54)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:214)(cid:87)(cid:90)(cid:89)(cid:88)(cid:100)(cid:73)(cid:246)(cid:148)(cid:27)(cid:237)(cid:238)(cid:133)(cid:239)(cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:131)(cid:91)(cid:54)(cid:57)(cid:39)(cid:240)(cid:62)(cid:241)(cid:247)(cid:248)
(cid:89)(cid:27)(cid:249)(cid:69)(cid:27)(cid:58)(cid:25)(cid:64)(cid:174)(cid:175)(cid:250)(cid:54)(cid:251)(cid:247)(cid:248)(cid:89)(cid:27)(cid:249)(cid:69)(cid:25)(cid:252)(cid:253)(cid:110)75(cid:58)(cid:57)(cid:127)(cid:250)(cid:214)(cid:104)2(cid:222)(cid:237)(cid:238)(cid:133)(cid:239)(cid:68)(cid:27)(cid:164)(cid:202)(cid:254)(cid:255)(cid:23)(cid:74) (cid:76)
A(cid:64)1(cid:256) B(cid:64)2(cid:256) C(cid:64)3(cid:256) D(cid:64)4(cid:256)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)5-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:134)(cid:219)(cid:220)(cid:221)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:54)(cid:222)1(cid:257)(cid:258)(cid:27)(cid:237)(cid:238)(cid:57)(cid:104)(cid:54)(cid:73)(cid:259)(cid:260)(cid:54)(cid:261)(cid:57)(cid:104)(cid:105)(cid:73)(cid:259)(cid:260)(cid:262)(cid:147)(cid:27)(cid:54)
(cid:261)(cid:57)(cid:93)(cid:190)(cid:147)(cid:260)(cid:57)(cid:104)6(cid:73)(cid:82)(cid:262)(cid:147)(cid:27)(cid:237)(cid:238)(cid:27)(cid:258)(cid:263)(cid:124)(cid:74)(cid:152)(cid:152)(cid:76)
1 1 1 1
A(cid:64) (cid:257) B(cid:64) (cid:257) C(cid:64) (cid:257) D(cid:64) (cid:257)
2 3 2 5 2 6 2 12
(cid:15)(cid:129)(cid:130)5-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:264)(cid:213)(cid:265)(cid:266)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:214)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:268)(cid:11)(cid:51)(cid:23)(cid:178)(cid:269)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:57)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:270)(cid:100)(cid:271)(cid:49)(cid:33)(cid:267)
(cid:27)(cid:272)(cid:273)(cid:123)(cid:274)(cid:39)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:240)(cid:142)(cid:143)(cid:25)(cid:275)(cid:270)(cid:25)(cid:223)(cid:64)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:103)(cid:276)(cid:105)(cid:91)(cid:54)(cid:57)(cid:277)(cid:278)(cid:25)(cid:243)(cid:133)(cid:27)(cid:25)(cid:275)(cid:124)0(cid:75)1(cid:57)(cid:181)(cid:179)(cid:39)(cid:279)(cid:280)(cid:142)(cid:143)
(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:25)(cid:57)(cid:114)(cid:93)(cid:57)(1011) (cid:281)(cid:103)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:25)1011(cid:27)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:150)(cid:64)(cid:214)(cid:11)(cid:141)(cid:285)(cid:268)(cid:286)(cid:227)(cid:91)(cid:243)(cid:180)(cid:27)(cid:287)(cid:288)(cid:48)(cid:52)(cid:53)(cid:230)(cid:192)(cid:82)(cid:57)(cid:98)
(cid:266)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:181)(cid:91)(cid:92)(cid:291)(cid:294)(cid:295)2 (cid:57)(cid:296)(cid:297)(cid:192)(cid:147)(cid:298)(cid:256)(cid:31)(cid:150)(cid:299)(cid:164)(cid:42)(cid:297)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:48)(cid:185)(cid:91)(cid:180)(cid:300)(cid:301)(cid:27)(cid:183)(cid:302)(cid:64)(cid:192)98(cid:124)(cid:114)(cid:10)
(cid:31)(cid:150)(cid:54)(cid:10)(cid:189)(cid:124)98=64+32+2
=1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +0×2
6 5 4 3 2 1 0
(cid:303)(cid:192)98=(1100010) (cid:64)
(cid:31)(cid:150)(cid:105)(cid:10)(cid:39)(cid:93)(cid:47)(cid:27)(cid:304)(cid:80)2 (cid:150)(cid:33)(cid:130)(cid:142)(cid:143)(cid:10)
(cid:305)(cid:201)(cid:222)(cid:223)(cid:192)(cid:133)(cid:306)(cid:293)(cid:57)(cid:182)123(cid:183)(cid:302)(cid:124)(cid:307)(cid:91)(cid:180)(cid:25)(cid:103)(cid:74) (cid:76)
A(cid:64)(1111011) B(cid:64)(123) C(cid:64)(cid:74)443(cid:76) D(cid:64)(344)
5 5 5
5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)5-3(cid:20)(cid:74)2024(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:39)(cid:311)(cid:312)(cid:86)(cid:39)(cid:186)(cid:58)(cid:280)(cid:288)(cid:47)(cid:313)(cid:143)(cid:57)(cid:87)(cid:108)(cid:89)(cid:107)(cid:101)(cid:314)(cid:124)(cid:315)(cid:315)(cid:99)
(cid:316)(cid:317)(cid:99)(cid:318)(cid:212)(cid:99)(cid:319)(cid:320)(cid:57)(cid:247)(cid:39)“(cid:196)(cid:186)(cid:91)(cid:54)”(cid:180)(cid:57)(cid:54)(cid:321)(cid:322)(cid:103)(cid:315)(cid:315)(cid:57)1(cid:58)(cid:315)(cid:315)(cid:124)1(cid:86)(cid:57)4(cid:58)(cid:315)(cid:315)(cid:312)(cid:110)1(cid:58)(cid:316)(cid:317)(cid:57)4(cid:58)(cid:316)(cid:317)(cid:312)
(cid:110)1(cid:58)(cid:318)(cid:212)(cid:57)4(cid:58)(cid:318)(cid:212)(cid:312)(cid:110)1(cid:58)(cid:319)(cid:320)(cid:64)(cid:308)(cid:39)(cid:311)(cid:27)(cid:312)(cid:86)(cid:280)(cid:288)(cid:47)(cid:124)(cid:298)(cid:58)(cid:319)(cid:320)(cid:57)(cid:127)(cid:323)(cid:39)(cid:311)(cid:27)(cid:312)(cid:86)(cid:124)(cid:74) (cid:76)
A(cid:64)64 B(cid:64)128 C(cid:64)256 D(cid:64)512
【题型6 有理数的混合运算】 教辅资源，关注公众 号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)6(cid:20)(cid:74)23-24(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:96)(cid:324)(cid:225)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:98)(cid:329)(cid:179)(cid:39)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:272)(cid:49)(cid:291)(cid:54)(cid:58)(cid:49)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:330)(cid:331)(cid:270)(cid:330)(cid:203)(cid:27)(cid:25)
(cid:223)(cid:93)(cid:147)(cid:142)(cid:10)
(cid:330)
1 2 3 4 5 …
(cid:331)
(cid:330)
1 2 3 4 5
…
2 5 10 17 26
(cid:203)
(cid:332)(cid:333)(cid:57)(cid:218)(cid:330)(cid:331)(cid:25)(cid:223)(cid:103)8(cid:191)(cid:57)(cid:330)(cid:203)(cid:27)(cid:25)(cid:223)(cid:103)(cid:74) (cid:76)
8 8 8 8
A(cid:64) B(cid:64) C(cid:64) D(cid:64)
61 63 65 67
(cid:15)(cid:129)(cid:130)6-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:334)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:161)(cid:165)(cid:335)(cid:336)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:147)(cid:148)(cid:32)(cid:33)(cid:337)(cid:338)(cid:27)(cid:103)(cid:74) (cid:76)
A(cid:64)( )+ (+5)=
−14 7− −12B(cid:64)( ) ( )÷| |=9+4÷2
2
C(cid:64) −3 ÷2 − × −4 1 = −2 7÷2× 1
2 2
−7 −
D(cid:64) 7 ×( )+( )× 7 7 ×2= 7 ×( +2)
13 13 13 13
(cid:15)(cid:129)(cid:130)6-2(cid:20)(cid:74)−294-25(cid:131)−3(cid:132)(cid:86)(cid:133)−·(cid:188)(cid:339)−(cid:41)(cid:340)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:39)(cid:54)−9(cid:246)−36(cid:58)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:240)(cid:142)(cid:143)(cid:25)(cid:57)(cid:93)(cid:47)(cid:101)(cid:314)(cid:142)(cid:143)(cid:25) (cid:57)(cid:127)
(cid:142)(cid:143)(cid:27)(cid:25)(cid:103) (cid:64) 1−5
●○○●●○
(cid:15)(cid:129)(cid:130)6-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:345)(cid:134)(cid:336)(cid:117)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:109)(cid:125)(cid:126)(cid:25)n(cid:346)(cid:347)(cid:91)(cid:92)(cid:147)(cid:148)(cid:298)(cid:256)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:122)n(cid:103)(cid:348)(cid:25)(cid:57)(cid:281)(cid:80)
(cid:192)2(cid:85) (cid:122)n(cid:103)(cid:349)(cid:25)(cid:57)(cid:281)(cid:30)(cid:192)3(cid:83)1(cid:64)(cid:114)(cid:93)(cid:10)(cid:125)(cid:126)(cid:25)6(cid:229)(cid:236)(cid:54)(cid:73)(cid:350)(cid:63)(cid:82)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)3(cid:57)(cid:229)①(cid:236)(cid:298)(cid:73)(cid:350)(cid:63)(cid:82)(cid:27)(cid:68)(cid:69)
(cid:103)10(cid:64)②(cid:122)(cid:308)(cid:125)(cid:126)(cid:25)m(cid:229)(cid:236)4(cid:73)(cid:350)(cid:63)(cid:82)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)2(cid:57)(cid:127)(cid:125)(cid:126)(cid:25)m(cid:27)(cid:128)(cid:103) (cid:64)
【题型7 有理数混合运算的实际应用】 教辅资源，关注公众 号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)7(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:147)·(cid:113)(cid:351)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:105)(cid:352)(cid:353)(cid:214)(cid:224)(cid:234)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:358)(cid:240)(cid:358)(cid:178)(cid:269)(cid:57)(cid:159)(cid:103)(cid:39)(cid:308)(cid:256)(cid:359)(cid:360)(cid:27)
(cid:361)(cid:158)(cid:47)(cid:362)(cid:97)(cid:363)(cid:54)(cid:360)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:214)(cid:154)(cid:364)(cid:101)(cid:365)(cid:27)(cid:99)(cid:341)(cid:342)(cid:59)(cid:301)(cid:27)(cid:99)(cid:62)(cid:241)(cid:25)(cid:223)(cid:35)(cid:9)(cid:6)(cid:366)(cid:27)(cid:47)(cid:362)(cid:85)(cid:214)(cid:226)(cid:353)(cid:367)(cid:180)(cid:133)(cid:368)(cid:369)(cid:179)(cid:39)
(cid:370)(cid:371)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:96)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:27)“0”(cid:57)“1”(cid:57)(cid:274)(cid:39)(cid:122)(cid:377)(cid:58)(cid:48)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:59)(cid:109)(cid:38)(cid:27)(cid:361)(cid:158)(cid:47)(cid:362)(cid:240)(cid:142)(cid:143)(cid:25)(cid:128)(cid:74)(cid:341)(cid:378)(cid:226)(cid:142)1(cid:57)(cid:342)
(cid:378)(cid:226)(cid:142)0(cid:76)(cid:64)(cid:93)(cid:47)(cid:103)(cid:308)(cid:73)(cid:295)(cid:379)(cid:51)(cid:298)(cid:243)(cid:60)(cid:11)(cid:27)(cid:380)(cid:295)(cid:381)(cid:9)(cid:27)(cid:105)(cid:352)(cid:353)(cid:27)(cid:282)(cid:228)(cid:367)(cid:353)(cid:57)(cid:93)(cid:47)1(cid:57)(cid:103)(cid:60)(cid:11)“(cid:98)(cid:382)”(cid:27)(cid:380)(cid:295)(cid:381)
(cid:9)(cid:27)(cid:105)(cid:352)(cid:353)(cid:27)(cid:282)(cid:228)(cid:367)(cid:353)(cid:57)(cid:277)(cid:51)(cid:104)(cid:54)(cid:92)(cid:226)(cid:142)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:27)(cid:25)(cid:275)11000(cid:57)(cid:183)(cid:184)(cid:371)10(cid:91)(cid:180)(cid:124)(cid:10)1×2 +1×2 +0×2
4 3 2
+0×2 +0×1=24(cid:57)(cid:60)(cid:24)(cid:57)(cid:104)(cid:105)(cid:92)(cid:383)(cid:104)(cid:307)(cid:92)(cid:226)(cid:142)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:27)(cid:25)(cid:275)(cid:101)(cid:314)(cid:124)1110(cid:57)111(cid:57)11100(cid:57)1101(cid:57)(cid:183)(cid:184)(cid:371)
1
10(cid:91)(cid:180)(cid:124)(cid:10)14(cid:57)07(cid:57)28(cid:57)13(cid:57)(cid:384)(cid:307)(cid:92)(cid:367)(cid:353)(cid:385)(cid:41)(cid:89)(cid:54)(cid:386)(cid:281)(cid:103)“(cid:98)(cid:382)”(cid:27)(cid:380)(cid:295)(cid:381)(cid:9)2414072813(cid:57)(cid:277)(cid:51)(cid:104)(cid:54)(cid:92)(cid:367)(cid:353)
“24”(cid:270)(cid:104)(cid:105)(cid:92)(cid:367)(cid:353)“14”(cid:142)(cid:143)(cid:387)(cid:388)(cid:270)(cid:11)(cid:389)(cid:57)(cid:104)(cid:102)(cid:92)(cid:367)(cid:353)“07”(cid:142)(cid:143)(cid:390)(cid:86)(cid:124)07(cid:390)(cid:57)(cid:104)(cid:186)(cid:92)(cid:367)(cid:353)“28”(cid:142)(cid:143)(cid:295)(cid:391)(cid:9)(cid:124)
28(cid:57)(cid:104)(cid:307)(cid:92)(cid:367)(cid:353)“13”(cid:142)(cid:143)(cid:392)(cid:243)(cid:9)(cid:103)13(cid:85)(cid:122)(cid:47)2(cid:103)(cid:393)(cid:73)(cid:295)(cid:379)“(cid:98)(cid:394)”(cid:60)(cid:11)(cid:27)(cid:380)(cid:295)(cid:381)(cid:9)(cid:27)(cid:105)(cid:352)(cid:353)(cid:27)(cid:282)(cid:228)(cid:367)(cid:353)(cid:57)(cid:127)
(cid:98)(cid:394)(cid:27)(cid:380)(cid:295)(cid:381)(cid:9)(cid:124)(cid:74) (cid:76)A(cid:64)2410252110 B(cid:64)2010272108 C(cid:64)2212272408 D(cid:64)2410272108
(cid:15)(cid:129)(cid:130)7-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:186)(cid:187)(cid:371)(cid:123)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:308)(cid:389)(cid:54)(cid:395)(cid:285)(cid:11)(cid:396)(cid:251)(cid:23)5(cid:397)(cid:57)(cid:59)(cid:398)(cid:298)(cid:397)(cid:300)(cid:301)(cid:396)(cid:399)(cid:27)(cid:336)(cid:138)(cid:299)(cid:124)
18(cid:86)(cid:57)(cid:87)1(cid:397)(cid:89)5(cid:397)(cid:400)(cid:83)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:27)(cid:11)(cid:356)(cid:233)(cid:25)(cid:101)(cid:314)(cid:124)9(cid:57)7(cid:57)5(cid:57)5(cid:57)6(cid:64)(cid:122)(cid:214)(cid:308)(cid:397)(cid:396)(cid:151)(cid:360)(cid:357)(cid:405)(cid:56)(cid:50)(cid:57)(cid:202)(cid:274)(cid:303)
(cid:23)(cid:400)(cid:83)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:27)(cid:60)(cid:11)(cid:89)(cid:357)(cid:405)(cid:56)(cid:50)(cid:303)(cid:229)(cid:236)(cid:27)(cid:336)(cid:138)(cid:25)(cid:300)(cid:270)(cid:81)(cid:98)(cid:57)(cid:127)(cid:336)(cid:138)(cid:25)(cid:300)(cid:270)(cid:81)(cid:98)(cid:124) (cid:86)(cid:64)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)7-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:147)·(cid:113)(cid:351)(cid:406)(cid:407)(cid:408)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)2025(cid:113)(cid:351)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:144)(cid:409)(cid:389)(cid:410)(cid:261)(cid:44)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:297)(cid:391)(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:64)(cid:308)
(cid:11)(cid:389)9(cid:233)(cid:385)(cid:371)(cid:27)(cid:418)(cid:418)(cid:419)(cid:214)(cid:420)(cid:50)(cid:142)(cid:421)(cid:102)(cid:58)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:425)(cid:57)(cid:426)(cid:391)(cid:191)(cid:301)(cid:124)(cid:87)(cid:427)(cid:58)(cid:424)(cid:425)(cid:321)(cid:322)(cid:383)(cid:400)(cid:421)(cid:424)(cid:425)(cid:321)(cid:322)(cid:428)(cid:27)(cid:191)(cid:301)(cid:301)
(cid:429)(cid:74)(cid:252)(cid:295)(cid:430)(cid:302)(cid:391)(cid:312)(cid:189)(cid:431)(cid:76)(cid:57)(cid:278)(cid:424)(cid:425)(cid:400)(cid:48)(cid:233)(cid:25)(cid:77)(cid:142)(cid:421)(cid:191)(cid:258)(cid:74)(cid:283)(cid:243)(cid:10)min(cid:76)(cid:93)(cid:147)(cid:142)(cid:303)(cid:143)(cid:10)
(cid:424)
(cid:432) (cid:433) (cid:434)
(cid:425)
(cid:233)
3 4 2
(cid:25)
(cid:191)
6 4 2
(cid:258)
(cid:122)(cid:424)(cid:425)(cid:97)(cid:434) (cid:433) (cid:432)(cid:27)(cid:106)(cid:45)(cid:142)(cid:421)(cid:57)(cid:127)9(cid:243)(cid:11)(cid:356)(cid:27)(cid:426)(cid:391)(cid:191)(cid:301)(cid:300)(cid:270)(cid:103)(cid:74)(cid:152)(cid:152)(cid:76)
A(cid:64)6 → → B(cid:64)20 C(cid:64)26 D(cid:64)44
(cid:15)(cid:129)(cid:130)7-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:113)(cid:351)(cid:435)(cid:16)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:125)(cid:303)(cid:436)(cid:10)“(cid:233)(cid:23)(cid:233)(cid:437)(cid:57)(cid:438)(cid:23)(cid:438)(cid:439)”(cid:64)(cid:438)(cid:439)(cid:74)(cid:438)(cid:440)(cid:235)(cid:6)(cid:76)(cid:103)(cid:441)(cid:442)
(cid:300)(cid:301)(cid:235)(cid:6)(cid:27)(cid:54)(cid:256)(cid:235)(cid:39)(cid:184)(cid:439)(cid:437)(cid:57)(cid:214)(cid:145)(cid:43)(cid:133)(cid:27)(cid:274)(cid:39)(cid:185)(cid:101)(cid:178)(cid:269)(cid:64)(cid:179)(cid:39)(cid:438)(cid:440)(cid:57)(cid:192)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:27)(cid:443)(cid:24)(cid:444)(cid:445)(cid:6)(cid:366)(cid:57)(cid:164)(cid:192)(cid:446)(cid:422)
(cid:441)(cid:447)(cid:214)(cid:169)(cid:232)(cid:27)(cid:425)(cid:448)(cid:449)(cid:450)(cid:59)(cid:451)(cid:452)(cid:235)(cid:64)(cid:114)(cid:93)(cid:10)“○”(cid:142)(cid:143)(cid:317)(cid:453)(cid:438)(cid:64)”“●”(cid:142)(cid:143)(cid:317)(cid:454)(cid:438)(cid:64)(cid:298)(cid:442)(cid:232)(cid:455)(cid:456)(cid:92)(cid:27)(cid:441)(cid:442)(cid:39)(cid:317)(cid:453)(cid:438)
(cid:270)(cid:317)(cid:454)(cid:438)(cid:240)(cid:91)(cid:92)(cid:457)(cid:46)(cid:57)(cid:181)(cid:214)(cid:458)(cid:456)(cid:428)(cid:63)(cid:93)(cid:47)(cid:303)(cid:143)(cid:27)(cid:459)(cid:360)(cid:10)
(cid:222)(cid:223)(cid:459)(cid:360)(cid:27)(cid:36)(cid:127)(cid:57)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:125)(cid:151)(cid:27)(cid:23)(cid:74) (cid:76)
“●○○○”(cid:142)(cid:143)(cid:275)(cid:460)H(cid:10)
①(cid:122)(cid:461)(cid:142)(cid:143)26(cid:58)(cid:462)(cid:463)(cid:275)(cid:460)(cid:57)(cid:464)(cid:461)6(cid:465)(cid:438)(cid:85)
②(cid:308)(cid:441)(cid:78)(cid:82)(cid:296)(cid:203)“●○○●●”(cid:99)“●●●●”(cid:99)“●○○●●”(cid:142)(cid:143)(cid:159)(cid:466)(cid:89)(cid:291)(cid:467)(cid:468)(cid:57)(cid:214)(cid:65)(cid:469)(cid:64)
③ A(cid:64)0(cid:58) B(cid:64)1(cid:58) C(cid:64)2(cid:58) D(cid:64)3(cid:58)【题型8 程序流程图与有理数的计算】 教辅资源，关 注公众号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)8(cid:20)(cid:74)24-25(cid:470)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:471)(cid:117)(cid:472)(cid:473)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:360)(cid:473)(cid:54)(cid:256)(cid:109)(cid:125)(cid:126)(cid:25) (cid:27)“ ”(cid:32)(cid:33)(cid:57) (cid:218) (cid:124)(cid:349)(cid:25)(cid:191)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:124)
𝑛 𝐹 ① 𝑛
+5(cid:85) (cid:218) (cid:124)(cid:348)(cid:25)(cid:191)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:124) (cid:74)(cid:277)(cid:51)k(cid:103)(cid:274) (cid:124)(cid:349)(cid:25)(cid:27)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:76)(cid:57)(cid:181)(cid:195)(cid:32)(cid:33)(cid:113)(cid:347)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:114)(cid:93)(cid:57)(cid:474)
2 2
𝑘 𝑘
𝑛 𝑛
3𝑛 =26(cid:57)②(cid:93)(cid:47)(cid:303)𝑛 (cid:143)(cid:85)(cid:122) =449(cid:57)(cid:127)(cid:104)“ ”(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)(cid:74) (cid:76)
𝑛 𝑛 𝐹④
A(cid:64)1 B(cid:64)3 C(cid:64)7 D(cid:64)8
(cid:15)(cid:129)(cid:130)8-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:475)(cid:167)(cid:476)(cid:165)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:93)(cid:47)(cid:103)(cid:54)(cid:58)“(cid:25)(cid:128)(cid:183)(cid:302)(cid:267)”(cid:27)(cid:143)(cid:477)(cid:47)(cid:57)(cid:218) = (cid:57) = (cid:191)(cid:57)
(cid:330)(cid:203)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103) (cid:64) 𝑥 −1 𝑦 −2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)8-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:478)(cid:135)(cid:135)(cid:188)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:93)(cid:47)(cid:103)(cid:98)(cid:479)(cid:39)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:272)(cid:49)(cid:27)(cid:54)(cid:58)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:480)(cid:47)(cid:64)(cid:122)
(cid:330)(cid:331)(cid:27)(cid:25) (cid:124)1(cid:57)(cid:127)(cid:330)(cid:203)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)(cid:74) (cid:76)
𝑎
A(cid:64) 3 B(cid:64) 3 C(cid:64) 27 D(cid:64) 27
2 2 8 8
(cid:15)(cid:129)(cid:130)8 − -3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:481)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:113)(cid:351)(cid:134)(cid:16)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:109)−(cid:157)(cid:477)(cid:125)(cid:126)(cid:25)n(cid:57)(cid:122)n(cid:124)(cid:348)(cid:25)(cid:127)(cid:80)(cid:192)2(cid:57)(cid:122)n(cid:124)(cid:349)(cid:25)(cid:127)(cid:30)3
(cid:79)(cid:83)1(cid:57)(cid:214)(cid:482)(cid:483)(cid:54)(cid:73)(cid:129)(cid:184)(cid:147)(cid:57)(cid:224)(cid:234)(cid:155)(cid:89)(cid:54)(cid:58)(cid:484)(cid:27)(cid:485)(cid:486)(cid:25)(cid:57)(cid:214)1937(cid:132)LotharCollatz(cid:487)(cid:203)(cid:291)(cid:54)(cid:58)(cid:488)(cid:21)(cid:10)(cid:93)(cid:190)(cid:346)
(cid:347)(cid:482)(cid:256)(cid:129)(cid:302)(cid:57)(cid:103)(cid:489)(cid:109)(cid:110)(cid:303)(cid:23)(cid:27)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:57)(cid:81)(cid:490)(cid:123)(cid:202)(cid:129)(cid:302)(cid:89)1(cid:491)(cid:492)(cid:482)(cid:281)(cid:103)(cid:25)(cid:11)(cid:51)(cid:493)(cid:494)(cid:27)“(cid:295)(cid:412)(cid:495)(cid:496)(cid:497)”(cid:64)(cid:93)(cid:69)(cid:308)(cid:58)
(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:235)(cid:236)(cid:133)(cid:498)(cid:129)(cid:302)(cid:202)(cid:129)(cid:371)1(cid:57)(cid:224)(cid:234)(cid:281)(cid:182)(cid:104)(cid:54)(cid:73)(cid:129)(cid:371)1(cid:191)(cid:303)(cid:229)(cid:236)(cid:27)(cid:129)(cid:302)(cid:73)(cid:25)(cid:499)(cid:124)(cid:159)(cid:27)(cid:500)(cid:501)(cid:258)(cid:57)(cid:114)(cid:93)5(cid:229)(cid:236)5
(cid:73)(cid:129)(cid:371)1(cid:57)(cid:127)(cid:500)(cid:501)(cid:258) =5(cid:64)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:10)
(cid:502)(cid:503)(cid:330)(cid:331)(cid:27)(cid:125)(cid:126)(cid:25)𝑚n(cid:103)(cid:349)(cid:25)(cid:504)(cid:103)(cid:348)(cid:25)(cid:57)(cid:218)(cid:500)(cid:501)(cid:258) 4(cid:191)(cid:57)(cid:505)(cid:202)(cid:155)(cid:89)(cid:506)(cid:507)(cid:186)(cid:73)(cid:129)(cid:302)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:100)(cid:73)(cid:103)2 (cid:57)2 (cid:57)
4 3
① 𝑚≥2 (cid:57)2 (cid:85)
2 1
(cid:122)(cid:330)(cid:331)(cid:125)(cid:126)(cid:25)n(cid:57)(cid:129)(cid:302)(cid:73)(cid:25)m(cid:57)(cid:218) =8(cid:191)(cid:57)n(cid:27)(cid:303)(cid:23)(cid:164)(cid:202)(cid:128)(cid:442)(cid:23)4(cid:58)(cid:85)
②(cid:122)(cid:330)(cid:331)(cid:125)(cid:126)(cid:25)n(cid:57)(cid:129)(cid:302)(cid:73)(cid:25)m(cid:57)(cid:218)𝑚=9(cid:191)(cid:57)n(cid:27)(cid:303)(cid:23)(cid:164)(cid:202)(cid:128)(cid:51)(cid:81)(cid:18)(cid:103)512(cid:57)(cid:81)(cid:98)(cid:103)13(cid:64)
③(cid:277)(cid:51)(cid:125)(cid:151)(cid:27)(cid:58)(cid:25)(cid:103)(cid:74) (cid:76) 𝑚
A(cid:64)3(cid:58) B(cid:64)2(cid:58) C(cid:64)1(cid:58) D(cid:64)0(cid:58)
【题型9 计算“24”点】
(cid:15)(cid:114)9(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:186)(cid:187)(cid:371)(cid:123)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)24(cid:50)(cid:508)(cid:509)(cid:103)(cid:54)(cid:256)(cid:510)(cid:511)(cid:508)(cid:509)(cid:57)24(cid:50)(cid:103)(cid:182)4(cid:58)(cid:126)(cid:25)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:103)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:76)
(cid:235)(cid:236)(cid:83)(cid:99)(cid:84)(cid:99)(cid:30)(cid:99)(cid:80)(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:312)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:164)(cid:192)(cid:274)(cid:39)(cid:94)(cid:9)(cid:76)(cid:57)(cid:274)(cid:81)(cid:82)(cid:27)(cid:49)(cid:33)(cid:68)(cid:69)(cid:103)±24(cid:27)(cid:54)(cid:58)(cid:25)(cid:11)(cid:508)(cid:509)(cid:74)(cid:512)(cid:58)(cid:25)
(cid:275)(cid:299)(cid:274)(cid:39)1(cid:73)(cid:76)(cid:64)(cid:284)(cid:203)1(cid:57)2(cid:57)2(cid:57)3(cid:27)24(cid:50)(cid:508)(cid:509)(cid:27)(cid:54)(cid:256)(cid:49)(cid:33)(cid:130) (cid:64)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)9-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:178)(cid:165)(cid:513)(cid:161)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:508)(cid:509)“24(cid:50)”(cid:36)(cid:127)(cid:93)(cid:147)(cid:10)(cid:87)(cid:54)(cid:514)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:74)(cid:260)(cid:518)(cid:18)(cid:329)(cid:99)(cid:98)(cid:329)(cid:76)(cid:51)
(cid:157)(cid:477)(cid:519)(cid:474)4(cid:394)(cid:57)(cid:222)(cid:223)(cid:517)(cid:364)(cid:133)(cid:27)(cid:25)(cid:275)(cid:91)(cid:92)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:512)(cid:394)(cid:517)(cid:520)(cid:521)(cid:39)(cid:54)(cid:73)(cid:195)(cid:442)(cid:202)(cid:39)(cid:54)(cid:73)(cid:76)(cid:57)(cid:274)(cid:155)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:69)(cid:124)24(cid:57)
(cid:277)(cid:51)(cid:453)(cid:378)(cid:74)(cid:31)(cid:522)(cid:99)(cid:453)(cid:523)(cid:76)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:226)(cid:142)(cid:156)(cid:25)(cid:57)(cid:341)(cid:378)(cid:74)(cid:524)(cid:525)(cid:99)(cid:341)(cid:523)(cid:76)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:226)(cid:142)(cid:125)(cid:25)(cid:64)(cid:305)(cid:39)(cid:93)(cid:47)(cid:519)(cid:474)(cid:203)(cid:27)4(cid:394)(cid:517)(cid:57)
(cid:284)(cid:203)(cid:54)(cid:58)(cid:35)(cid:41)(cid:36)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:130)(cid:10) (cid:64)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)9-2(cid:20)(cid:74)23-24(cid:334)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:161)(cid:165)(cid:423)(cid:176)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:23)(cid:54)(cid:256)“(cid:105)(cid:185)(cid:186)(cid:50)”(cid:508)(cid:509)(cid:57)(cid:277)(cid:508)(cid:509)(cid:36)(cid:127)(cid:103)(cid:10)(cid:157)(cid:474)1(cid:383)13(cid:300)(cid:301)
(cid:27)(cid:186)(cid:58)(cid:485)(cid:486)(cid:25)(cid:57)(cid:384)(cid:482)(cid:186)(cid:58)(cid:25)(cid:74)(cid:512)(cid:58)(cid:25)(cid:39)(cid:195)(cid:442)(cid:39)(cid:54)(cid:73)(cid:57)(cid:164)(cid:192)(cid:83)(cid:94)(cid:9)(cid:76)(cid:91)(cid:92)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:274)(cid:277)(cid:68)(cid:69)(cid:312)(cid:110)
24(cid:64)(cid:297)(cid:23)(cid:186)(cid:58)(cid:23)(cid:24)(cid:25)1,2,2,3(cid:57)(cid:305)(cid:526)(cid:363)“(cid:105)(cid:185)(cid:186)(cid:50)”(cid:508)(cid:509)(cid:36)(cid:127)(cid:284)(cid:203)(cid:54)(cid:58)(cid:33)(cid:130) (cid:57)(cid:274)(cid:277)(cid:68)(cid:69)(cid:312)(cid:110)24(cid:64)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)9-3(cid:20)“24(cid:50)”(cid:508)(cid:509)(cid:36)(cid:127)(cid:103)(cid:10)(cid:87)(cid:54)(cid:514)(cid:517)(cid:51)(cid:74)(cid:260)(cid:518)(cid:18)(cid:99)(cid:98)(cid:329)(cid:76)(cid:157)(cid:477)(cid:519)(cid:474)4(cid:394)(cid:517)(cid:57)(cid:39)(cid:133)(cid:364)(cid:27)(cid:25)(cid:275)(cid:91)(cid:92)(cid:40)(cid:41)(cid:32)
(cid:33)(cid:57)(cid:274)(cid:68)(cid:69)(cid:124)24(cid:75)—24.(cid:277)(cid:51)(cid:453)(cid:378)(cid:226)(cid:142)(cid:156)(cid:25)(cid:57)(cid:341)(cid:378)(cid:226)(cid:142)(cid:125)(cid:25)(cid:57)A(cid:57)J(cid:57)Q(cid:57)K(cid:101)(cid:314)(cid:226)(cid:142)1(cid:57)11(cid:57)12(cid:57)13(cid:57)(cid:114)(cid:93)
(cid:394)(cid:527)(cid:60)(cid:11)(cid:519)(cid:474)(cid:27)4(cid:394)(cid:517)(cid:101)(cid:314)(cid:124)(cid:453)(cid:523)4(cid:99)(cid:453)(cid:523)3(cid:99)(cid:524)(cid:525)6(cid:99)(cid:341)(cid:523)2(cid:57)(cid:110)(cid:103)(cid:394)(cid:527)(cid:60)(cid:11)(cid:148)(cid:203)(cid:27)(cid:33)(cid:130)(cid:124)(cid:74)(cid:528)4(cid:76)×(cid:74)(cid:528)3
(cid:528)6÷2(cid:76)(cid:529)24(cid:57)(cid:297)(cid:214)(cid:394)(cid:527)(cid:60)(cid:11)(cid:497)(cid:530)(cid:531)“36(cid:50)”(cid:57)(cid:384)(cid:482)(cid:186)(cid:394)(cid:517)(cid:51)(cid:27)(cid:157)(cid:477)(cid:54)(cid:394)(cid:302)(cid:371)(cid:277)(cid:159)(cid:517)(cid:57)(cid:274)(cid:68)(cid:69)(cid:124)36(cid:75)—36(cid:57)
(cid:147)(cid:148)(cid:31)(cid:150)(cid:164)(cid:92)(cid:27)(cid:23)(cid:361)(cid:256)(cid:10) (cid:384)(cid:453)(cid:523)4(cid:302)(cid:371)(cid:341)(cid:523)6(cid:85) (cid:384)(cid:453)(cid:523)3(cid:302)(cid:371)(cid:453)(cid:523)6(cid:85) (cid:384)(cid:524)(cid:525)6(cid:302)(cid:371)(cid:341)(cid:523)Q(cid:85) (cid:384)
(cid:341)(cid:523)2(cid:302)(cid:371)(cid:341)(cid:523)A(cid:74) (cid:76)① ② ③ ④
A(cid:64)1(cid:256) B(cid:64)2(cid:256) C(cid:64)3(cid:256) D(cid:64)4(cid:256)
【题型10 乘方中的规律探究】 教辅资源，关注 公众号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)10(cid:20)(cid:74)24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:115)(cid:213)(cid:532)(cid:533)·(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:124)(cid:291)(cid:65)1+2+2 +2 + +2 (cid:27)(cid:128)(cid:57)(cid:164)(cid:534) =1+2+2 +
2 3 20 2
⋯ 𝐴2 + +2
3 20
⋯(cid:57)(cid:127) =2+2 +2 +2 + +2 (cid:57)(cid:189)(cid:190) = =2 (cid:57)(cid:303)(cid:192)1+2+2 +2 + +2 =2
2 3 4 21 21 2 3 20 21
(cid:64)2(cid:526)𝐴(cid:363)(cid:192)(cid:133)(cid:535)(cid:24)(cid:57)(cid:49)(cid:33)1+⋯7+7 +7 +𝐴+72𝐴−𝐴(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:124)−1(cid:74) (cid:76) ⋯
2 3 2025
−1 ⋯ 7 7
A(cid:64)7 B(cid:64)7 C(cid:64) D(cid:64)
20265 20266
2025 2026 −1 −1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)10-1(cid:20)−(cid:74)1 24-25(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:147)·−(cid:171)1(cid:172)(cid:536)(cid:117)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:224)(cid:234)(cid:36)(cid:360)(cid:54)(cid:58)(cid:484)(cid:25)“ ”(cid:57)(cid:54)(cid:537)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:164)(cid:192)(cid:48)(cid:484)(cid:25)(cid:91)(cid:92)(cid:186)(cid:127)(cid:32)
(cid:33)(cid:57)(cid:195)(cid:443)(cid:23)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:270)(cid:32)(cid:33)(cid:150)(cid:127)(cid:538)(cid:486)(cid:371)(cid:539)(cid:57) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:57)(cid:332)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:333) + + + + + = (cid:64)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:129)(cid:130)𝑖10-2𝑖(cid:20)(cid:74)⋯24-2𝑖5(cid:131)(cid:132)(cid:86)𝑖(cid:133)·(cid:178)(cid:165)(cid:178)(cid:117)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:540)(cid:541)(cid:147)(cid:47)(cid:102)(cid:92)(cid:25)(cid:10)
(cid:57)4(cid:57) (cid:57)16(cid:57) (cid:57)64(cid:57)...(cid:85)
0−(cid:57)26(cid:57) −(cid:57)818(cid:57) −3(cid:57)266(cid:57)...(cid:85) ①
(cid:57)2(cid:57)−6 (cid:57)8(cid:57)−30 (cid:57)32(cid:57)...(cid:85)②
(cid:474)−1(cid:512)(cid:92)(cid:25)−(cid:27)4(cid:104)9(cid:58)−(cid:25)16(cid:57)(cid:482)(cid:102)(cid:58)(cid:25)(cid:27)③(cid:270)(cid:124) (cid:85)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)10-3(cid:20)(cid:74)22-23(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:133)·(cid:542)(cid:16)(cid:543)(cid:544)·(cid:162)(cid:51)(cid:76)(cid:49)(cid:33)(cid:267)(cid:179)(cid:39)(cid:27)(cid:103)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:25)(cid:57)(cid:159)(cid:251)(cid:23)(cid:298)(cid:58)(cid:25)(cid:353)0(cid:57)1(cid:57)(cid:384)(cid:54)(cid:58)
(cid:185)(cid:91)(cid:180)(cid:25)(cid:183)(cid:184)(cid:124)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:57)(cid:442)(cid:464)(cid:182)(cid:323)(cid:25)(cid:284)(cid:203)(cid:122)(cid:377)2 (cid:25)(cid:27)(cid:270)(cid:57)(cid:100)(cid:73)(cid:284)(cid:203)1(cid:75)0(cid:61)(cid:164)(cid:64)(cid:93)19 ( ) =16+2+1=1×
𝑛
2 +0×2 +0×2 +1×2 +1=10011 ( ) (cid:124)(cid:105)(cid:91)(cid:180)(cid:147)(cid:27)(cid:307)(cid:243)(cid:25)(cid:57)(cid:127)(cid:185)(cid:91)(cid:180)2022(cid:103)(cid:105) 10 (cid:91)(cid:180)(cid:147)(cid:27)(cid:74) (cid:76)
4 3 2 1
A(cid:64)10(cid:243)(cid:25) B(cid:64)11(cid:243)(cid:25) 2 C(cid:64)12(cid:243)(cid:25) D(cid:64)13(cid:243)(cid:25)
