文档文本内容
专题 2.3 有理数的乘方（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:34)(cid:9)(cid:35)(cid:36)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:19)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:48)(cid:32)“24”(cid:49)(cid:19).............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:19)................................................................................................................................8
知识点1 有理数的乘方 教辅资源，关注 公众号★全科AA+
1. (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)n(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:29)(cid:24)ɑ(cid:58)(cid:29)(cid:56)(cid:60) (cid:56)(cid:61)(cid:62) (cid:63)(cid:64)n(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:24)(cid:26)(cid:65)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:66)(cid:62)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:29)(cid:30)
(cid:57) 𝑛
𝑎⋅𝑎·⋯·𝑎 𝑎
(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:66)(cid:62)(cid:25)(cid:63) 𝑛
2. (cid:50)(cid:56)a(cid:66)(cid:62)(cid:69)(cid:24)(cid:56)n(cid:66)(cid:62)(cid:70)(cid:24)(cid:56) (cid:71)(cid:62)a(cid:26)n(cid:72)(cid:30)(cid:73)(cid:74)a(cid:26)n(cid:72)(cid:25)(cid:75)(cid:63)
𝑛 𝑛
(cid:70)(cid:24)
𝑎 (cid:25) 𝑎
𝑛
(cid:69)
𝑎
3. (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:76)(cid:34)(cid:9)(cid:26)(cid:35)(cid:36) (cid:24)
正 数：正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数
负数：
负数的偶次幂是正数
0：0的任何正整数次幂都是0
知识点2 有理数的混合运算顺序
1. (cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:78)(cid:29)(cid:79)(cid:56)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)
2. (cid:59)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:84)
3. (cid:92)(cid:22)(cid:93)(cid:9)(cid:56)(cid:77)(cid:94)(cid:93)(cid:9)(cid:95)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:96)(cid:97)(cid:93)(cid:9)(cid:98)(cid:50)(cid:93)(cid:9)(cid:98)(cid:99)(cid:93)(cid:9)(cid:100)(cid:72)(cid:90)(cid:91)(cid:63)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:85)(cid:56)(cid:82)(cid:83)(cid:103)(cid:104)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:29)(cid:79)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:103)(cid:104)(cid:102)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:106)(cid:44)(cid:103)(cid:77)(cid:32)(cid:107)(cid:85)(cid:56)(cid:78)(cid:32)(cid:108)(cid:85)(cid:84)(cid:59)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:26)(cid:106)(cid:44)(cid:90)(cid:91)(cid:84)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:112)(cid:113)(cid:93)(cid:9)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:53)(cid:54)(cid:77)(cid:32)(cid:97)(cid:93)(cid:9)(cid:95)(cid:26)(cid:56)(cid:78)(cid:32)(cid:50)(cid:93)
(cid:9)(cid:95)(cid:26)(cid:56)(cid:80)(cid:81)(cid:32)(cid:99)(cid:93)(cid:9)(cid:95)(cid:26)(cid:63)
【题型1 有理数幂的概念】
(cid:15)(cid:114)1(cid:19)(cid:73)2024·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:75)(cid:123)2 +2 +2 +....+2 =2 (cid:73) >1(cid:56) (cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:24) (cid:56)(cid:128)m(cid:26)(cid:80)
3 3 (cid:57)23 3 𝑚
3 𝑘 𝑘,𝑚
(cid:97)(cid:129)(cid:125)(cid:73) (cid:75) 𝑘
A(cid:63)3 B(cid:63)4 C(cid:63)6 D(cid:63)9
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-1(cid:19)(cid:73)22-23(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:75)-2 (cid:26)(cid:69)(cid:24)(cid:103) (cid:70)(cid:24)(cid:103) (cid:143)(cid:144) (cid:63)
3
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-2(cid:19)(cid:73)2024(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:145)(cid:146)·(cid:147)(cid:20)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:152)(cid:26)(cid:22)(cid:73)(cid:153)(cid:153)(cid:75)
(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:30)(cid:156) (cid:26)(cid:24)(cid:84) (cid:103)(cid:157)(cid:24)(cid:84) ( + ) (cid:103)(cid:126)(cid:24)(cid:84) (cid:158)(cid:159)(cid:53)(cid:57)(cid:97)(cid:110)1(cid:26)(cid:24)(cid:124)(cid:99)(cid:110)(cid:160)(cid:26)(cid:155)(cid:30)(cid:63)
2 2
①A(cid:63)1(cid:57) −9 B②(cid:63)2−(cid:57)𝑎 ③ 𝑚C(cid:63)𝑑3(cid:57) ④ D(cid:63)4(cid:57)
(cid:57) (cid:57)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:115)(cid:116)(cid:161)(cid:162)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)3+3+3+ +3+2×2×2× ×2(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:165)(cid:143)(cid:144)(cid:125)(cid:73) (cid:75)
𝑚 𝑛
A(cid:63) + B(cid:63) + C(cid:63)3 + ⋅⋅⋅ D(cid:63) +2⋅⋅⋅
3 𝑚 𝑛
【题型
32𝑚
有
2
理
𝑛
数的乘方运
𝑚
算】
2𝑛 2𝑛 3𝑚
(cid:15)(cid:114)2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:162)(cid:166)(cid:167)(cid:168)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:169)(cid:170)(cid:99)(cid:97)(cid:10) 2 3 (cid:73)(cid:171)>(cid:74)<(cid:75)(cid:63)
33 2 2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:118)·(cid:105)(cid:119)(cid:75)(cid:175)(cid:176)( ) +−| +1|=−0(cid:56)(cid:128) (cid:26)(cid:129)(cid:103) (cid:63)
2 𝑥
𝑥−2025 𝑦1 𝑦
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:134)(cid:177)(cid:178)(cid:91)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:48)(cid:32)(cid:10) ×16 = (cid:63)
4 11
6
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:179)(cid:166)(cid:179)(cid:118)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:180)(cid:38)(cid:105)(cid:90)−(cid:181)(cid:24)(cid:82)(cid:151)(cid:31)(cid:32)(cid:151)(cid:128)(cid:48)(cid:32)(11010) +(111) (cid:56)(cid:182)(cid:183)
(cid:48)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:184)(cid:185)(cid:125)(cid:186)(cid:90)(cid:181)(cid:24)(cid:103) (cid:63) 2 2
【题型3 有理数乘方的逆运算】
(cid:15)(cid:114)3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:187)(cid:188)(cid:179)(cid:189)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:75)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)n(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:190)(cid:24)a(cid:58)(cid:29) (cid:61)(cid:62) (cid:56)(cid:92)
𝑛
2×2×2=2 =8(cid:63)(cid:191)(cid:192)(cid:56)3(cid:66)(cid:94)(cid:193)2(cid:125)(cid:69)(cid:26)8(cid:26)“(cid:194)(cid:195)(cid:24)”(cid:56)(cid:61)(cid:125) (𝑎8)⋅(cid:56)𝑎(cid:128)⋅𝑎⋅𝑎(⋯8)⋅=𝑎3(cid:63)(cid:53)𝑎(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:123) =
3 𝑛
(cid:73) >0(cid:196) 1(cid:75)(cid:56)(cid:128)n(cid:66)(cid:94)(cid:193)a(cid:125)(cid:69)(cid:26)b(cid:26)“(cid:194)(cid:195)(cid:24)”(cid:56)(cid:61)(cid:125) ( )𝐿2= (cid:56)(cid:92)3𝐿2=81(cid:56)(cid:128)4(cid:66)(cid:94)(cid:193)3𝑎(cid:125)(cid:69)(cid:26)𝑏
4
81𝑎(cid:26)“(cid:194)(cid:195)𝑎(cid:24)≠”(cid:56)(cid:61)(cid:125) (81)=4(cid:63)(cid:128) (9), (27), (243)(cid:197)(cid:198)𝐿(cid:3)𝑎 (cid:199)𝑏 (cid:131) 𝑛 (cid:63)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-1(cid:19)(cid:73)22-23𝐿(cid:132)3(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:179)(cid:166)(cid:166)𝐿3(cid:200)·(cid:163)𝐿(cid:50)3 (cid:75)6𝐿=3 36,(2×3) =2 ×3 =4×9=36(cid:56)(cid:201)(cid:191)(cid:202)(cid:203)(cid:32)(cid:204)
2 2 2 2
2 × 1 =(cid:73) (cid:75)
2 33
36
1
A(cid:63)6 B(cid:63)8 C(cid:63) D(cid:63)(cid:186)(cid:101)(cid:205)(cid:206)
8(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-2(cid:19)(cid:73)22-23(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:162)(cid:166)(cid:207)(cid:208)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:175)(cid:176)| |=2, =25,3 =27(cid:56)(cid:196) >0(cid:56)(cid:128) + (cid:26)(cid:129)(cid:125)
2 𝑐
(cid:73)(cid:153)(cid:153)(cid:75) 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑐
A(cid:63)10 B(cid:63)6 C(cid:63)3 D(cid:63)6(cid:74)(cid:209)0
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-3(cid:19)(cid:73)22-23(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:172)(cid:173)(cid:210)(cid:211)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:123)126×3 = (cid:56)(cid:128)126×3 (cid:26)(cid:129)(cid:165)(cid:193)(cid:143)(cid:144)(cid:125)(cid:73) (cid:75)
8 6
1 𝑝 1
A(cid:63) B(cid:63) C(cid:63) D(cid:63)
6 9
𝑝 𝑝−9 𝑝−6 𝑝
【题型4 乘方运算的符号规律】
(cid:15)(cid:114)4(cid:19)(cid:73)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:179)(cid:166)(cid:212)(cid:213)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:48)(cid:32)(cid:10) ( ) +( ) +( ) + +( ) =
1 2 3 10
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-1(cid:19)(cid:73)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:115)(cid:214)(cid:6)(cid:213)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:215)( −)1 (cid:56)−21 (cid:56)( −)1 (cid:56)0⋯(cid:50)(cid:56)−(cid:216)1(cid:157)(cid:24)(cid:22)(cid:73)(cid:153)(cid:153)(cid:75)
2021 3 11
A(cid:63)1(cid:57) B(cid:63)2(cid:57) C(cid:63)3(cid:57)−1 − D−(cid:63)74(cid:57)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:187)(cid:188)(cid:214)(cid:217)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:175)(cid:176) = +2024(cid:26)(cid:80)(cid:99)(cid:129)(cid:125) (cid:63)
4
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:115)(cid:214)(cid:218)(cid:115)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:219)𝑦 (cid:127)−(cid:24)(𝑥−(cid:125)6 ) (cid:192)(cid:56) = (cid:84)(cid:123) (cid:103)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:56)(cid:128)
𝑛
+ = (cid:63) 𝑛 (−1) −1 𝑛
𝑛 𝑛+1
( 【 − 题 1) 型5 ( − 乘 1) 方的应用】
(cid:15)(cid:114)5(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:135)(cid:220)(cid:221)(cid:222)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:146)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:61)(cid:232)(cid:56)(cid:233)(cid:226)(cid:192)(cid:163)(cid:16)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:215)(cid:237)(cid:238)(cid:134)(cid:239)(cid:67)
(cid:240)(cid:61)(cid:241)(cid:24)(cid:242)(cid:56)(cid:60)“(cid:67)(cid:237)(cid:61)(cid:24)”(cid:63)(cid:92)(cid:46)(cid:56)(cid:53)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:215)(cid:86)(cid:89)(cid:88)(cid:87)(cid:100)(cid:72)(cid:246)(cid:149)(cid:26)(cid:237)(cid:238)(cid:134)(cid:239)(cid:67)(cid:56)(cid:197)(cid:132)(cid:90)(cid:53)(cid:56)(cid:38)(cid:240)(cid:61)(cid:241)(cid:247)(cid:248)
(cid:88)(cid:26)(cid:249)(cid:68)(cid:26)(cid:57)(cid:24)(cid:63)(cid:175)(cid:176)(cid:250)(cid:53)(cid:251)(cid:247)(cid:248)(cid:88)(cid:26)(cid:249)(cid:68)(cid:24)(cid:252)(cid:253)(cid:110)75(cid:57)(cid:56)(cid:128)(cid:250)(cid:215)(cid:104)2(cid:223)(cid:237)(cid:238)(cid:134)(cid:239)(cid:67)(cid:26)(cid:165)(cid:203)(cid:254)(cid:255)(cid:22)(cid:73) (cid:75)
A(cid:63)1(cid:256) B(cid:63)2(cid:256) C(cid:63)3(cid:256) D(cid:63)4(cid:256)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:135)(cid:220)(cid:221)(cid:222)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:53)(cid:223)1(cid:257)(cid:258)(cid:26)(cid:237)(cid:238)(cid:56)(cid:104)(cid:53)(cid:72)(cid:259)(cid:260)(cid:53)(cid:261)(cid:56)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:259)(cid:260)(cid:262)(cid:148)(cid:26)(cid:53)
(cid:261)(cid:56)(cid:92)(cid:191)(cid:148)(cid:260)(cid:56)(cid:104)6(cid:72)(cid:81)(cid:262)(cid:148)(cid:26)(cid:237)(cid:238)(cid:26)(cid:258)(cid:263)(cid:125)(cid:73)(cid:153)(cid:153)(cid:75)
1 1 1 1
A(cid:63) (cid:257) B(cid:63) (cid:257) C(cid:63) (cid:257) D(cid:63) (cid:257)
2 3 2 5 2 6 2 12
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:264)(cid:214)(cid:265)(cid:266)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:215)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:268)(cid:11)(cid:50)(cid:22)(cid:179)(cid:269)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:56)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:270)(cid:100)(cid:271)(cid:48)(cid:32)(cid:267)
(cid:26)(cid:272)(cid:273)(cid:124)(cid:274)(cid:38)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:240)(cid:143)(cid:144)(cid:24)(cid:275)(cid:270)(cid:24)(cid:224)(cid:63)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:103)(cid:276)(cid:105)(cid:90)(cid:53)(cid:56)(cid:277)(cid:278)(cid:24)(cid:243)(cid:134)(cid:26)(cid:24)(cid:275)(cid:125)0(cid:74)1(cid:56)(cid:182)(cid:180)(cid:38)(cid:279)(cid:280)(cid:143)(cid:144)
(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:24)(cid:56)(cid:114)(cid:92)(cid:56)(1011) (cid:281)(cid:103)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:24)1011(cid:26)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:151)(cid:63)(cid:215)(cid:11)(cid:142)(cid:17)(cid:268)(cid:285)(cid:228)(cid:90)(cid:243)(cid:181)(cid:26)(cid:286)(cid:287)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:231)(cid:193)(cid:81)(cid:56)(cid:97)
(cid:266)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:182)(cid:90)(cid:91)(cid:290)(cid:293)(cid:294)2 (cid:56)(cid:295)(cid:296)(cid:193)(cid:148)(cid:297)(cid:256)(cid:30)(cid:151)(cid:298)(cid:165)(cid:41)(cid:296)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:47)(cid:186)(cid:90)(cid:181)(cid:299)(cid:300)(cid:26)(cid:184)(cid:301)(cid:63)(cid:193)98(cid:125)(cid:114)(cid:10)
(cid:30)(cid:151)(cid:53)(cid:10)(cid:190)(cid:125)98=64+32+2
=1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +0×2
6 5 4 3 2 1 0
(cid:302)(cid:193)98=(1100010) (cid:63)
(cid:30)(cid:151)(cid:105)(cid:10)(cid:38)(cid:92)(cid:46)(cid:26)(cid:303)(cid:79)2 (cid:151)(cid:32)(cid:131)(cid:143)(cid:144)(cid:10)
(cid:304)(cid:202)(cid:223)(cid:224)(cid:193)(cid:134)(cid:305)(cid:292)(cid:56)(cid:183)123(cid:184)(cid:301)(cid:125)(cid:306)(cid:90)(cid:181)(cid:24)(cid:103)(cid:73) (cid:75)
A(cid:63)(1111011) B(cid:63)(123) C(cid:63)(cid:73)443(cid:75) D(cid:63)(344)
5 5 5
5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-3(cid:19)(cid:73)2024(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:145)(cid:146)·(cid:147)(cid:20)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:38)(cid:310)(cid:311)(cid:85)(cid:38)(cid:187)(cid:57)(cid:280)(cid:287)(cid:46)(cid:312)(cid:144)(cid:56)(cid:86)(cid:108)(cid:88)(cid:107)(cid:101)(cid:313)(cid:125)(cid:314)(cid:314)(cid:98)
(cid:315)(cid:316)(cid:98)(cid:317)(cid:213)(cid:98)(cid:318)(cid:319)(cid:56)(cid:247)(cid:38)“(cid:197)(cid:187)(cid:90)(cid:53)”(cid:181)(cid:56)(cid:53)(cid:320)(cid:321)(cid:103)(cid:314)(cid:314)(cid:56)1(cid:57)(cid:314)(cid:314)(cid:125)1(cid:85)(cid:56)4(cid:57)(cid:314)(cid:314)(cid:311)(cid:110)1(cid:57)(cid:315)(cid:316)(cid:56)4(cid:57)(cid:315)(cid:316)(cid:311)
(cid:110)1(cid:57)(cid:317)(cid:213)(cid:56)4(cid:57)(cid:317)(cid:213)(cid:311)(cid:110)1(cid:57)(cid:318)(cid:319)(cid:63)(cid:307)(cid:38)(cid:310)(cid:26)(cid:311)(cid:85)(cid:280)(cid:287)(cid:46)(cid:125)(cid:297)(cid:57)(cid:318)(cid:319)(cid:56)(cid:128)(cid:322)(cid:38)(cid:310)(cid:26)(cid:311)(cid:85)(cid:125)(cid:73) (cid:75)
A(cid:63)64 B(cid:63)128 C(cid:63)256 D(cid:63)512
【题型6 有理数的混合运算】 教辅资源，关注公众号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)6(cid:19)(cid:73)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:95)(cid:323)(cid:226)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:97)(cid:328)(cid:180)(cid:38)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:272)(cid:48)(cid:290)(cid:53)(cid:57)(cid:48)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:56)(cid:329)(cid:330)(cid:270)(cid:329)(cid:204)(cid:26)(cid:24)
(cid:224)(cid:92)(cid:148)(cid:143)(cid:10)
(cid:329)
1 2 3 4 5 …
(cid:330)
(cid:329)
1 2 3 4 5
…
2 5 10 17 26
(cid:204)
(cid:331)(cid:332)(cid:56)(cid:219)(cid:329)(cid:330)(cid:24)(cid:224)(cid:103)8(cid:192)(cid:56)(cid:329)(cid:204)(cid:26)(cid:24)(cid:224)(cid:103)(cid:73) (cid:75)
8 8 8 8
A(cid:63) B(cid:63) C(cid:63) D(cid:63)
61 63 65 67
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:333)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:162)(cid:166)(cid:334)(cid:335)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:148)(cid:149)(cid:31)(cid:32)(cid:336)(cid:337)(cid:26)(cid:103)(cid:73) (cid:75)
A(cid:63)( )+ (+5)=
−14 7− −12B(cid:63)( ) ( )÷| |=9+4÷2
2
C(cid:63) −3 ÷2 − × −4 1 = −2 7÷2× 1
2 2
−7 −
D(cid:63) 7 ×( )+( )× 7 7 ×2= 7 ×( +2)
13 13 13 13
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-2(cid:19)(cid:73)−294-25(cid:132)−3(cid:133)(cid:85)(cid:134)−·(cid:189)(cid:338)−(cid:40)(cid:339)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:38)(cid:53)−9(cid:246)−36(cid:57)(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:240)(cid:143)(cid:144)(cid:24)(cid:56)(cid:92)(cid:46)(cid:101)(cid:313)(cid:143)(cid:144)(cid:24) (cid:56)(cid:128)
(cid:143)(cid:144)(cid:26)(cid:24)(cid:103) (cid:63) 1−5
●○○●●○
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:344)(cid:135)(cid:335)(cid:118)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:109)(cid:126)(cid:127)(cid:24)n(cid:345)(cid:346)(cid:90)(cid:91)(cid:148)(cid:149)(cid:297)(cid:256)(cid:31)(cid:32)(cid:10) (cid:123)n(cid:103)(cid:347)(cid:24)(cid:56)(cid:281)(cid:79)
(cid:193)2(cid:84) (cid:123)n(cid:103)(cid:348)(cid:24)(cid:56)(cid:281)(cid:29)(cid:193)3(cid:82)1(cid:63)(cid:114)(cid:92)(cid:10)(cid:126)(cid:127)(cid:24)6(cid:230)(cid:236)(cid:53)(cid:72)(cid:349)(cid:62)(cid:81)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:103)3(cid:56)(cid:230)①(cid:236)(cid:297)(cid:72)(cid:349)(cid:62)(cid:81)(cid:26)(cid:67)(cid:68)
(cid:103)10(cid:63)②(cid:123)(cid:307)(cid:126)(cid:127)(cid:24)m(cid:230)(cid:236)4(cid:72)(cid:349)(cid:62)(cid:81)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:103)2(cid:56)(cid:128)(cid:126)(cid:127)(cid:24)m(cid:26)(cid:129)(cid:103) (cid:63)
【题型7 有理数混合运算的实际应用】
(cid:15)(cid:114)7(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:148)·(cid:113)(cid:350)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:105)(cid:351)(cid:352)(cid:215)(cid:225)(cid:234)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:50)(cid:37)(cid:38)(cid:357)(cid:240)(cid:357)(cid:179)(cid:269)(cid:56)(cid:160)(cid:103)(cid:38)(cid:307)(cid:256)(cid:358)(cid:359)(cid:26)
(cid:360)(cid:159)(cid:46)(cid:361)(cid:96)(cid:362)(cid:53)(cid:359)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:215)(cid:155)(cid:363)(cid:101)(cid:364)(cid:26)(cid:98)(cid:340)(cid:341)(cid:58)(cid:300)(cid:26)(cid:98)(cid:61)(cid:241)(cid:24)(cid:224)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:365)(cid:26)(cid:46)(cid:361)(cid:84)(cid:215)(cid:227)(cid:352)(cid:366)(cid:181)(cid:134)(cid:367)(cid:368)(cid:180)(cid:38)
(cid:369)(cid:370)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:95)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:26)“0”(cid:56)“1”(cid:56)(cid:274)(cid:38)(cid:123)(cid:376)(cid:57)(cid:47)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:58)(cid:109)(cid:37)(cid:26)(cid:360)(cid:159)(cid:46)(cid:361)(cid:240)(cid:143)(cid:144)(cid:24)(cid:129)(cid:73)(cid:340)(cid:377)(cid:227)(cid:143)1(cid:56)(cid:341)
(cid:377)(cid:227)(cid:143)0(cid:75)(cid:63)(cid:92)(cid:46)(cid:103)(cid:307)(cid:72)(cid:294)(cid:378)(cid:50)(cid:297)(cid:243)(cid:59)(cid:11)(cid:26)(cid:379)(cid:294)(cid:380)(cid:9)(cid:26)(cid:105)(cid:351)(cid:352)(cid:26)(cid:282)(cid:229)(cid:366)(cid:352)(cid:56)(cid:92)(cid:46)1(cid:56)(cid:103)(cid:59)(cid:11)“(cid:97)(cid:381)”(cid:26)(cid:379)(cid:294)(cid:380)
(cid:9)(cid:26)(cid:105)(cid:351)(cid:352)(cid:26)(cid:282)(cid:229)(cid:366)(cid:352)(cid:56)(cid:277)(cid:50)(cid:104)(cid:53)(cid:91)(cid:227)(cid:143)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:26)(cid:24)(cid:275)11000(cid:56)(cid:184)(cid:185)(cid:370)10(cid:90)(cid:181)(cid:125)(cid:10)1×2 +1×2 +0×2
4 3 2
+0×2 +0×1=24(cid:56)(cid:59)(cid:23)(cid:56)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:382)(cid:104)(cid:306)(cid:91)(cid:227)(cid:143)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:26)(cid:24)(cid:275)(cid:101)(cid:313)(cid:125)1110(cid:56)111(cid:56)11100(cid:56)1101(cid:56)(cid:184)(cid:185)(cid:370)
1
10(cid:90)(cid:181)(cid:125)(cid:10)14(cid:56)07(cid:56)28(cid:56)13(cid:56)(cid:383)(cid:306)(cid:91)(cid:366)(cid:352)(cid:384)(cid:40)(cid:88)(cid:53)(cid:385)(cid:281)(cid:103)“(cid:97)(cid:381)”(cid:26)(cid:379)(cid:294)(cid:380)(cid:9)2414072813(cid:56)(cid:277)(cid:50)(cid:104)(cid:53)(cid:91)(cid:366)(cid:352)
“24”(cid:270)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:366)(cid:352)“14”(cid:143)(cid:144)(cid:386)(cid:387)(cid:270)(cid:11)(cid:388)(cid:56)(cid:104)(cid:102)(cid:91)(cid:366)(cid:352)“07”(cid:143)(cid:144)(cid:389)(cid:85)(cid:125)07(cid:389)(cid:56)(cid:104)(cid:187)(cid:91)(cid:366)(cid:352)“28”(cid:143)(cid:144)(cid:294)(cid:390)(cid:9)(cid:125)
28(cid:56)(cid:104)(cid:306)(cid:91)(cid:366)(cid:352)“13”(cid:143)(cid:144)(cid:391)(cid:243)(cid:9)(cid:103)13(cid:84)(cid:123)(cid:46)2(cid:103)(cid:392)(cid:72)(cid:294)(cid:378)“(cid:97)(cid:393)”(cid:59)(cid:11)(cid:26)(cid:379)(cid:294)(cid:380)(cid:9)(cid:26)(cid:105)(cid:351)(cid:352)(cid:26)(cid:282)(cid:229)(cid:366)(cid:352)(cid:56)(cid:128)
(cid:97)(cid:393)(cid:26)(cid:379)(cid:294)(cid:380)(cid:9)(cid:125)(cid:73) (cid:75)A(cid:63)2410252110 B(cid:63)2010272108 C(cid:63)2212272408 D(cid:63)2410272108
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:187)(cid:188)(cid:370)(cid:124)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:307)(cid:388)(cid:53)(cid:394)(cid:17)(cid:11)(cid:395)(cid:251)(cid:22)5(cid:396)(cid:56)(cid:58)(cid:397)(cid:297)(cid:396)(cid:299)(cid:300)(cid:395)(cid:398)(cid:26)(cid:335)(cid:139)(cid:298)(cid:125)
18(cid:85)(cid:56)(cid:86)1(cid:396)(cid:88)5(cid:396)(cid:399)(cid:82)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:26)(cid:11)(cid:355)(cid:16)(cid:24)(cid:101)(cid:313)(cid:125)9(cid:56)7(cid:56)5(cid:56)5(cid:56)6(cid:63)(cid:123)(cid:215)(cid:307)(cid:396)(cid:395)(cid:152)(cid:359)(cid:356)(cid:404)(cid:55)(cid:49)(cid:56)(cid:203)(cid:274)(cid:302)
(cid:22)(cid:399)(cid:82)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:26)(cid:59)(cid:11)(cid:88)(cid:356)(cid:404)(cid:55)(cid:49)(cid:302)(cid:230)(cid:236)(cid:26)(cid:335)(cid:139)(cid:24)(cid:299)(cid:270)(cid:80)(cid:97)(cid:56)(cid:128)(cid:335)(cid:139)(cid:24)(cid:299)(cid:270)(cid:80)(cid:97)(cid:125) (cid:85)(cid:63)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:148)·(cid:113)(cid:350)(cid:405)(cid:406)(cid:407)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)2025(cid:113)(cid:350)(cid:405)(cid:406)(cid:407)(cid:145)(cid:408)(cid:388)(cid:409)(cid:261)(cid:43)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:296)(cid:390)(cid:413)(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:63)(cid:307)
(cid:11)(cid:388)9(cid:16)(cid:384)(cid:370)(cid:26)(cid:417)(cid:417)(cid:418)(cid:215)(cid:419)(cid:49)(cid:143)(cid:420)(cid:102)(cid:57)(cid:421)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:56)(cid:425)(cid:390)(cid:192)(cid:300)(cid:125)(cid:86)(cid:426)(cid:57)(cid:423)(cid:424)(cid:320)(cid:321)(cid:382)(cid:399)(cid:420)(cid:423)(cid:424)(cid:320)(cid:321)(cid:427)(cid:26)(cid:192)(cid:300)(cid:300)
(cid:428)(cid:73)(cid:252)(cid:294)(cid:429)(cid:301)(cid:390)(cid:311)(cid:190)(cid:430)(cid:75)(cid:56)(cid:278)(cid:423)(cid:424)(cid:399)(cid:47)(cid:16)(cid:24)(cid:76)(cid:143)(cid:420)(cid:192)(cid:258)(cid:73)(cid:283)(cid:243)(cid:10)min(cid:75)(cid:92)(cid:148)(cid:143)(cid:302)(cid:144)(cid:10)
(cid:423)
(cid:431) (cid:432) (cid:433)
(cid:424)
(cid:16)
3 4 2
(cid:24)
(cid:192)
6 4 2
(cid:258)
(cid:123)(cid:423)(cid:424)(cid:96)(cid:433) (cid:432) (cid:431)(cid:26)(cid:106)(cid:44)(cid:143)(cid:420)(cid:56)(cid:128)9(cid:243)(cid:11)(cid:355)(cid:26)(cid:425)(cid:390)(cid:192)(cid:300)(cid:299)(cid:270)(cid:103)(cid:73)(cid:153)(cid:153)(cid:75)
A(cid:63)6 → → B(cid:63)20 C(cid:63)26 D(cid:63)44
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:113)(cid:350)(cid:434)(cid:116)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:126)(cid:302)(cid:435)(cid:10)“(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:436)(cid:56)(cid:437)(cid:22)(cid:437)(cid:438)”(cid:63)(cid:437)(cid:438)(cid:73)(cid:437)(cid:439)(cid:235)(cid:6)(cid:75)(cid:103)(cid:440)(cid:441)
(cid:299)(cid:300)(cid:235)(cid:6)(cid:26)(cid:53)(cid:256)(cid:235)(cid:38)(cid:185)(cid:438)(cid:436)(cid:56)(cid:215)(cid:146)(cid:42)(cid:134)(cid:26)(cid:274)(cid:38)(cid:186)(cid:101)(cid:179)(cid:269)(cid:63)(cid:180)(cid:38)(cid:437)(cid:439)(cid:56)(cid:193)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:26)(cid:442)(cid:23)(cid:443)(cid:444)(cid:6)(cid:365)(cid:56)(cid:165)(cid:193)(cid:445)(cid:421)
(cid:440)(cid:446)(cid:215)(cid:170)(cid:233)(cid:26)(cid:424)(cid:447)(cid:448)(cid:449)(cid:58)(cid:450)(cid:451)(cid:235)(cid:63)(cid:114)(cid:92)(cid:10)“○”(cid:143)(cid:144)(cid:316)(cid:452)(cid:437)(cid:63)”“●”(cid:143)(cid:144)(cid:316)(cid:453)(cid:437)(cid:63)(cid:297)(cid:441)(cid:233)(cid:454)(cid:455)(cid:91)(cid:26)(cid:440)(cid:441)(cid:38)(cid:316)(cid:452)(cid:437)
(cid:270)(cid:316)(cid:453)(cid:437)(cid:240)(cid:90)(cid:91)(cid:456)(cid:45)(cid:56)(cid:182)(cid:215)(cid:457)(cid:455)(cid:427)(cid:62)(cid:92)(cid:46)(cid:302)(cid:144)(cid:26)(cid:458)(cid:359)(cid:10)
(cid:223)(cid:224)(cid:458)(cid:359)(cid:26)(cid:35)(cid:128)(cid:56)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:152)(cid:26)(cid:22)(cid:73) (cid:75)
“●○○○”(cid:143)(cid:144)(cid:275)(cid:459)H(cid:10)
①(cid:123)(cid:460)(cid:143)(cid:144)26(cid:57)(cid:461)(cid:462)(cid:275)(cid:459)(cid:56)(cid:463)(cid:460)6(cid:464)(cid:437)(cid:84)
②(cid:307)(cid:440)(cid:77)(cid:81)(cid:295)(cid:204)“●○○●●”(cid:98)“●●●●”(cid:98)“●○○●●”(cid:143)(cid:144)(cid:160)(cid:465)(cid:88)(cid:290)(cid:466)(cid:467)(cid:56)(cid:215)(cid:64)(cid:468)(cid:63)
③ A(cid:63)0(cid:57) B(cid:63)1(cid:57) C(cid:63)2(cid:57) D(cid:63)3(cid:57)【题型8 程序流程图与有理数的计算】 教辅资源，关注公 众号★全科AA+
(cid:15)(cid:114)8(cid:19)(cid:73)24-25(cid:469)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:470)(cid:118)(cid:471)(cid:472)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:359)(cid:472)(cid:53)(cid:256)(cid:109)(cid:126)(cid:127)(cid:24) (cid:26)“ ”(cid:31)(cid:32)(cid:56) (cid:219) (cid:125)(cid:348)(cid:24)(cid:192)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:125)
𝑛 𝐹 ① 𝑛
+5(cid:84) (cid:219) (cid:125)(cid:347)(cid:24)(cid:192)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:125) (cid:73)(cid:277)(cid:50)k(cid:103)(cid:274) (cid:125)(cid:348)(cid:24)(cid:26)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:75)(cid:56)(cid:182)(cid:196)(cid:31)(cid:32)(cid:113)(cid:346)(cid:90)(cid:91)(cid:56)(cid:114)(cid:92)(cid:56)(cid:473)
2 2
𝑘 𝑘
𝑛 𝑛
3𝑛 =26(cid:56)②(cid:92)(cid:46)(cid:302)𝑛 (cid:144)(cid:84)(cid:123) =449(cid:56)(cid:128)(cid:104)“ ”(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:103)(cid:73) (cid:75)
𝑛 𝑛 𝐹④
A(cid:63)1 B(cid:63)3 C(cid:63)7 D(cid:63)8
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:474)(cid:168)(cid:475)(cid:166)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:92)(cid:46)(cid:103)(cid:53)(cid:57)“(cid:24)(cid:129)(cid:184)(cid:301)(cid:267)”(cid:26)(cid:144)(cid:476)(cid:46)(cid:56)(cid:219) = (cid:56) = (cid:192)(cid:56)
(cid:329)(cid:204)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:103) (cid:63) 𝑥 −1 𝑦 −2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:477)(cid:136)(cid:136)(cid:189)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:92)(cid:46)(cid:103)(cid:97)(cid:478)(cid:38)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:272)(cid:48)(cid:26)(cid:53)(cid:57)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:479)(cid:46)(cid:63)(cid:123)
(cid:329)(cid:330)(cid:26)(cid:24) (cid:125)1(cid:56)(cid:128)(cid:329)(cid:204)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:103)(cid:73) (cid:75)
𝑎
A(cid:63) 3 B(cid:63) 3 C(cid:63) 27 D(cid:63) 27
2 2 8 8
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8 − -3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:480)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:113)(cid:350)(cid:135)(cid:116)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:109)−(cid:158)(cid:476)(cid:126)(cid:127)(cid:24)n(cid:56)(cid:123)n(cid:125)(cid:347)(cid:24)(cid:128)(cid:79)(cid:193)2(cid:56)(cid:123)n(cid:125)(cid:348)(cid:24)(cid:128)(cid:29)3
(cid:78)(cid:82)1(cid:56)(cid:215)(cid:481)(cid:482)(cid:53)(cid:72)(cid:130)(cid:185)(cid:148)(cid:56)(cid:225)(cid:234)(cid:156)(cid:88)(cid:53)(cid:57)(cid:483)(cid:26)(cid:484)(cid:485)(cid:24)(cid:56)(cid:215)1937(cid:133)LotharCollatz(cid:486)(cid:204)(cid:290)(cid:53)(cid:57)(cid:487)(cid:20)(cid:10)(cid:92)(cid:191)(cid:345)
(cid:346)(cid:481)(cid:256)(cid:130)(cid:301)(cid:56)(cid:103)(cid:488)(cid:109)(cid:110)(cid:302)(cid:22)(cid:26)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:56)(cid:80)(cid:489)(cid:124)(cid:203)(cid:130)(cid:301)(cid:88)1(cid:490)(cid:491)(cid:481)(cid:281)(cid:103)(cid:24)(cid:11)(cid:50)(cid:492)(cid:493)(cid:26)“(cid:294)(cid:411)(cid:494)(cid:495)(cid:496)”(cid:63)(cid:92)(cid:68)(cid:307)(cid:57)
(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:235)(cid:236)(cid:134)(cid:497)(cid:130)(cid:301)(cid:203)(cid:130)(cid:370)1(cid:56)(cid:225)(cid:234)(cid:281)(cid:183)(cid:104)(cid:53)(cid:72)(cid:130)(cid:370)1(cid:192)(cid:302)(cid:230)(cid:236)(cid:26)(cid:130)(cid:301)(cid:72)(cid:24)(cid:498)(cid:125)(cid:160)(cid:26)(cid:499)(cid:500)(cid:258)(cid:56)(cid:114)(cid:92)5(cid:230)(cid:236)5
(cid:72)(cid:130)(cid:370)1(cid:56)(cid:128)(cid:499)(cid:500)(cid:258) =5(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:10)
(cid:501)(cid:502)(cid:329)(cid:330)(cid:26)(cid:126)(cid:127)(cid:24)𝑚n(cid:103)(cid:348)(cid:24)(cid:503)(cid:103)(cid:347)(cid:24)(cid:56)(cid:219)(cid:499)(cid:500)(cid:258) 4(cid:192)(cid:56)(cid:504)(cid:203)(cid:156)(cid:88)(cid:505)(cid:506)(cid:187)(cid:72)(cid:130)(cid:301)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:100)(cid:72)(cid:103)2 (cid:56)2 (cid:56)
4 3
① 𝑚≥2 (cid:56)2 (cid:84)
2 1
(cid:123)(cid:329)(cid:330)(cid:126)(cid:127)(cid:24)n(cid:56)(cid:130)(cid:301)(cid:72)(cid:24)m(cid:56)(cid:219) =8(cid:192)(cid:56)n(cid:26)(cid:302)(cid:22)(cid:165)(cid:203)(cid:129)(cid:441)(cid:22)4(cid:57)(cid:84)
②(cid:123)(cid:329)(cid:330)(cid:126)(cid:127)(cid:24)n(cid:56)(cid:130)(cid:301)(cid:72)(cid:24)m(cid:56)(cid:219)𝑚=9(cid:192)(cid:56)n(cid:26)(cid:302)(cid:22)(cid:165)(cid:203)(cid:129)(cid:50)(cid:80)(cid:99)(cid:103)512(cid:56)(cid:80)(cid:97)(cid:103)13(cid:63)
③(cid:277)(cid:50)(cid:126)(cid:152)(cid:26)(cid:57)(cid:24)(cid:103)(cid:73) (cid:75) 𝑚
A(cid:63)3(cid:57) B(cid:63)2(cid:57) C(cid:63)1(cid:57) D(cid:63)0(cid:57)
【题型9 计算“24”点】
(cid:15)(cid:114)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:187)(cid:188)(cid:370)(cid:124)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)24(cid:49)(cid:507)(cid:508)(cid:103)(cid:53)(cid:256)(cid:509)(cid:510)(cid:507)(cid:508)(cid:56)24(cid:49)(cid:103)(cid:183)4(cid:57)(cid:127)(cid:24)(cid:73)(cid:53)(cid:54)(cid:103)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:75)
(cid:235)(cid:236)(cid:82)(cid:98)(cid:83)(cid:98)(cid:29)(cid:98)(cid:79)(cid:74)(cid:29)(cid:30)(cid:311)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:165)(cid:193)(cid:274)(cid:38)(cid:93)(cid:9)(cid:75)(cid:56)(cid:274)(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:48)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:103)±24(cid:26)(cid:53)(cid:57)(cid:24)(cid:11)(cid:507)(cid:508)(cid:73)(cid:511)(cid:57)(cid:24)
(cid:275)(cid:298)(cid:274)(cid:38)1(cid:72)(cid:75)(cid:63)(cid:284)(cid:204)1(cid:56)2(cid:56)2(cid:56)3(cid:26)24(cid:49)(cid:507)(cid:508)(cid:26)(cid:53)(cid:256)(cid:48)(cid:32)(cid:131) (cid:63)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:179)(cid:166)(cid:512)(cid:162)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:507)(cid:508)“24(cid:49)”(cid:35)(cid:128)(cid:92)(cid:148)(cid:10)(cid:86)(cid:53)(cid:513)(cid:514)(cid:515)(cid:516)(cid:73)(cid:260)(cid:517)(cid:99)(cid:328)(cid:98)(cid:97)(cid:328)(cid:75)(cid:50)
(cid:158)(cid:476)(cid:518)(cid:473)4(cid:393)(cid:56)(cid:223)(cid:224)(cid:516)(cid:363)(cid:134)(cid:26)(cid:24)(cid:275)(cid:90)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:511)(cid:393)(cid:516)(cid:519)(cid:520)(cid:38)(cid:53)(cid:72)(cid:196)(cid:441)(cid:203)(cid:38)(cid:53)(cid:72)(cid:75)(cid:56)(cid:274)(cid:156)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:125)24(cid:56)
(cid:277)(cid:50)(cid:452)(cid:377)(cid:73)(cid:30)(cid:521)(cid:98)(cid:452)(cid:522)(cid:75)(cid:514)(cid:515)(cid:516)(cid:227)(cid:143)(cid:157)(cid:24)(cid:56)(cid:340)(cid:377)(cid:73)(cid:523)(cid:524)(cid:98)(cid:340)(cid:522)(cid:75)(cid:514)(cid:515)(cid:516)(cid:227)(cid:143)(cid:126)(cid:24)(cid:63)(cid:304)(cid:38)(cid:92)(cid:46)(cid:518)(cid:473)(cid:204)(cid:26)4(cid:393)(cid:516)(cid:56)
(cid:284)(cid:204)(cid:53)(cid:57)(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:128)(cid:26)(cid:32)(cid:131)(cid:10) (cid:63)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-2(cid:19)(cid:73)23-24(cid:333)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:162)(cid:166)(cid:422)(cid:177)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:22)(cid:53)(cid:256)“(cid:105)(cid:186)(cid:187)(cid:49)”(cid:507)(cid:508)(cid:56)(cid:277)(cid:507)(cid:508)(cid:35)(cid:128)(cid:103)(cid:10)(cid:158)(cid:473)1(cid:382)13(cid:299)(cid:300)
(cid:26)(cid:187)(cid:57)(cid:484)(cid:485)(cid:24)(cid:56)(cid:383)(cid:481)(cid:187)(cid:57)(cid:24)(cid:73)(cid:511)(cid:57)(cid:24)(cid:38)(cid:196)(cid:441)(cid:38)(cid:53)(cid:72)(cid:56)(cid:165)(cid:193)(cid:82)(cid:93)(cid:9)(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:274)(cid:277)(cid:67)(cid:68)(cid:311)(cid:110)
24(cid:63)(cid:296)(cid:22)(cid:187)(cid:57)(cid:22)(cid:23)(cid:24)1,2,2,3(cid:56)(cid:304)(cid:525)(cid:362)“(cid:105)(cid:186)(cid:187)(cid:49)”(cid:507)(cid:508)(cid:35)(cid:128)(cid:284)(cid:204)(cid:53)(cid:57)(cid:32)(cid:131) (cid:56)(cid:274)(cid:277)(cid:67)(cid:68)(cid:311)(cid:110)24(cid:63)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-3(cid:19)“24(cid:49)”(cid:507)(cid:508)(cid:35)(cid:128)(cid:103)(cid:10)(cid:86)(cid:53)(cid:513)(cid:516)(cid:50)(cid:73)(cid:260)(cid:517)(cid:99)(cid:98)(cid:97)(cid:328)(cid:75)(cid:158)(cid:476)(cid:518)(cid:473)4(cid:393)(cid:516)(cid:56)(cid:38)(cid:134)(cid:363)(cid:26)(cid:24)(cid:275)(cid:90)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:31)
(cid:32)(cid:56)(cid:274)(cid:67)(cid:68)(cid:125)24(cid:74)—24.(cid:277)(cid:50)(cid:452)(cid:377)(cid:227)(cid:143)(cid:157)(cid:24)(cid:56)(cid:340)(cid:377)(cid:227)(cid:143)(cid:126)(cid:24)(cid:56)A(cid:56)J(cid:56)Q(cid:56)K(cid:101)(cid:313)(cid:227)(cid:143)1(cid:56)11(cid:56)12(cid:56)13(cid:56)(cid:114)(cid:92)
(cid:393)(cid:526)(cid:59)(cid:11)(cid:518)(cid:473)(cid:26)4(cid:393)(cid:516)(cid:101)(cid:313)(cid:125)(cid:452)(cid:522)4(cid:98)(cid:452)(cid:522)3(cid:98)(cid:523)(cid:524)6(cid:98)(cid:340)(cid:522)2(cid:56)(cid:110)(cid:103)(cid:393)(cid:526)(cid:59)(cid:11)(cid:149)(cid:204)(cid:26)(cid:32)(cid:131)(cid:125)(cid:73)(cid:527)4(cid:75)×(cid:73)(cid:527)3
(cid:527)6÷2(cid:75)(cid:528)24(cid:56)(cid:296)(cid:215)(cid:393)(cid:526)(cid:59)(cid:11)(cid:496)(cid:529)(cid:530)“36(cid:49)”(cid:56)(cid:383)(cid:481)(cid:187)(cid:393)(cid:516)(cid:50)(cid:26)(cid:158)(cid:476)(cid:53)(cid:393)(cid:301)(cid:370)(cid:277)(cid:160)(cid:516)(cid:56)(cid:274)(cid:67)(cid:68)(cid:125)36(cid:74)—36(cid:56)
(cid:148)(cid:149)(cid:30)(cid:151)(cid:165)(cid:91)(cid:26)(cid:22)(cid:360)(cid:256)(cid:10) (cid:383)(cid:452)(cid:522)4(cid:301)(cid:370)(cid:340)(cid:522)6(cid:84) (cid:383)(cid:452)(cid:522)3(cid:301)(cid:370)(cid:452)(cid:522)6(cid:84) (cid:383)(cid:523)(cid:524)6(cid:301)(cid:370)(cid:340)(cid:522)Q(cid:84) (cid:383)
(cid:340)(cid:522)2(cid:301)(cid:370)(cid:340)(cid:522)A(cid:73) (cid:75)① ② ③ ④
A(cid:63)1(cid:256) B(cid:63)2(cid:256) C(cid:63)3(cid:256) D(cid:63)4(cid:256)
【题型10 乘方中的规律探究】
(cid:15)(cid:114)10(cid:19)(cid:73)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:115)(cid:214)(cid:531)(cid:532)·(cid:163)(cid:164)(cid:75)(cid:125)(cid:290)(cid:64)1+2+2 +2 + +2 (cid:26)(cid:129)(cid:56)(cid:165)(cid:533) =1+2+2 +
2 3 20 2
⋯ 𝐴2 + +2
3 20
⋯(cid:56)(cid:128) =2+2 +2 +2 + +2 (cid:56)(cid:190)(cid:191) = =2 (cid:56)(cid:302)(cid:193)1+2+2 +2 + +2 =2
2 3 4 21 21 2 3 20 21
(cid:63)2(cid:525)𝐴(cid:362)(cid:193)(cid:134)(cid:534)(cid:23)(cid:56)(cid:48)(cid:32)1+⋯7+7 +7 +𝐴+72𝐴−𝐴(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:125)−1(cid:73) (cid:75) ⋯
2 3 2025
−1 ⋯ 7 7
A(cid:63)7 B(cid:63)7 C(cid:63) D(cid:63)
20265 20266
2025 2026 −1 −1
(cid:15)(cid:130)(cid:131)10-1(cid:19)−(cid:73)1 24-25(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:148)·−(cid:172)1(cid:173)(cid:535)(cid:118)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:225)(cid:234)(cid:35)(cid:359)(cid:53)(cid:57)(cid:483)(cid:24)“ ”(cid:56)(cid:53)(cid:536)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:165)(cid:193)(cid:47)(cid:483)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:187)(cid:128)(cid:31)
(cid:32)(cid:56)(cid:196)(cid:442)(cid:22)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:270)(cid:31)(cid:32)(cid:151)(cid:128)(cid:537)(cid:485)(cid:370)(cid:538)(cid:56) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:56)(cid:331)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:332) + + + + + = (cid:63)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:130)(cid:131)𝑖10-2𝑖(cid:19)(cid:73)⋯24-2𝑖5(cid:132)(cid:133)(cid:85)𝑖(cid:134)·(cid:179)(cid:166)(cid:179)(cid:118)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:539)(cid:540)(cid:148)(cid:46)(cid:102)(cid:91)(cid:24)(cid:10)
(cid:56)4(cid:56) (cid:56)16(cid:56) (cid:56)64(cid:56)...(cid:84)
0−(cid:56)26(cid:56) −(cid:56)818(cid:56) −3(cid:56)266(cid:56)...(cid:84) ①
(cid:56)2(cid:56)−6 (cid:56)8(cid:56)−30 (cid:56)32(cid:56)...(cid:84)②
(cid:473)−1(cid:511)(cid:91)(cid:24)−(cid:26)4(cid:104)9(cid:57)−(cid:24)16(cid:56)(cid:481)(cid:102)(cid:57)(cid:24)(cid:26)③(cid:270)(cid:125) (cid:84)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)10-3(cid:19)(cid:73)22-23(cid:132)(cid:133)(cid:85)(cid:134)·(cid:541)(cid:116)(cid:542)(cid:543)·(cid:163)(cid:50)(cid:75)(cid:48)(cid:32)(cid:267)(cid:180)(cid:38)(cid:26)(cid:103)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:24)(cid:56)(cid:160)(cid:251)(cid:22)(cid:297)(cid:57)(cid:24)(cid:352)0(cid:56)1(cid:56)(cid:383)(cid:53)(cid:57)
(cid:186)(cid:90)(cid:181)(cid:24)(cid:184)(cid:185)(cid:125)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:56)(cid:441)(cid:463)(cid:183)(cid:322)(cid:24)(cid:284)(cid:204)(cid:123)(cid:376)2 (cid:24)(cid:26)(cid:270)(cid:56)(cid:100)(cid:72)(cid:284)(cid:204)1(cid:74)0(cid:60)(cid:165)(cid:63)(cid:92)19 ( ) =16+2+1=1×
𝑛
2 +0×2 +0×2 +1×2 +1=10011 ( ) (cid:125)(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:148)(cid:26)(cid:306)(cid:243)(cid:24)(cid:56)(cid:128)(cid:186)(cid:90)(cid:181)2022(cid:103)(cid:105) 10 (cid:90)(cid:181)(cid:148)(cid:26)(cid:73) (cid:75)
4 3 2 1
A(cid:63)10(cid:243)(cid:24) B(cid:63)11(cid:243)(cid:24) 2 C(cid:63)12(cid:243)(cid:24) D(cid:63)13(cid:243)(cid:24)
