文档文本内容
专题 05 有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:20)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:20)................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:24)(cid:20)..............................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)..................................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:39)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:20)..............................................................................................................................................15
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:20)..................................................................................................................................................16
知识点一 有理数的计算技巧（1）对消与凑整
科AA+
全
(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:43)(cid:55)(cid:31)(cid:56)(cid:35)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:43)(cid:54)(cid:43)(cid:55)(cid:31)(cid:56)(cid:35)(cid:60) 号★
众
公
注
关
，
源
知识点二 有理数的计算技教巧（辅2） 资 归类与组合
(cid:50)(cid:61)(cid:29)(cid:43)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:43)(cid:65)(cid:66)(cid:43)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:35)(cid:57)(cid:50)(cid:39)(cid:68)(cid:43)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:39)(cid:61)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:70)(cid:54)(cid:43)(cid:55)(cid:31)(cid:56)(cid:35)(cid:60)
知识点三 有理数的计算技巧（3）活用运算律
(cid:34)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:75)(cid:76)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:57)(cid:64)(cid:79)(cid:80)(cid:68)(cid:57)(cid:81)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:75)(cid:76)(cid:82)(cid:78)(cid:57)(cid:50)(cid:83)(cid:84)(cid:54)(cid:43)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:60)
知识点四 有理数的计算技巧（4）裂项
(cid:88)(cid:89)(cid:54)(cid:37)(cid:38)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:50)(cid:90)(cid:38)(cid:85)(cid:70)(cid:93)(cid:94)(cid:38)(cid:65)(cid:95)(cid:38)(cid:54)(cid:58)(cid:65)(cid:96)(cid:57)(cid:97)(cid:85)(cid:70)(cid:98)(cid:54)(cid:38)(cid:99)(cid:100)(cid:98)(cid:101)(cid:24)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:102)
(cid:103)(cid:70)(cid:43)(cid:54)(cid:37)(cid:38)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:60)
知识点五 相互转化法
根据算式特点，将式子中的分数转化为(cid:106)(cid:43)，或小数转化为(cid:70)(cid:43)，统一后再进行运算(cid:60)
【题型1 对消与凑整】
(cid:15)(cid:107)1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:56)(cid:35) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1 (cid:118)
4 3 4 3
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−7(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:60)
(cid:128)(cid:50)(cid:129)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:59)(cid:51)(cid:44)(cid:57)(cid:130)(cid:98)(cid:34)(cid:33)(cid:51)(cid:44)(cid:54)(cid:131)(cid:132)(cid:36)(cid:58)(cid:55)(cid:31)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:55)(cid:139)(cid:118)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10) + 3 −(+6)+ − 2 − − 1 + −1 1
4 3 4 3
3 1 2 1
= + − − + − + −1 −(+6)
4 4 3 3
=1+(−2)−6
=−1−6
=−7
| |
(cid:15)(cid:76)(cid:142)1-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:143)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:56)(cid:35)1 2 + − 1 − − 1 + − 1
3 8 3 8
1
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)2 (cid:118)
4
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:150)(cid:151)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:57)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:153)(cid:154)(cid:51)(cid:129)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:58)(cid:51)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:137)(cid:99)(cid:155)(cid:141).
| |
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)1 2 + − 1 − − 1 + − 1
3 8 3 8 科AA+
2 1 1 1 号★ 全
=1 3 − 8 + 3 + 8 注 公 众
关
，
源
2 1 1 1 辅 资
教
= 1 + + − +
3 3 8 8
=2+0
=2
(cid:15)(cid:76)(cid:142)1-2(cid:20)(cid:62)23-24(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:147)(cid:156)(cid:157)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:56)(cid:35)(cid:10)−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2
21 21
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−5
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:129)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:131)(cid:132)(cid:36)(cid:58)(cid:55)(cid:31)(cid:36)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:129)(cid:158)(cid:31)
(cid:34)(cid:35)(cid:160)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)(cid:153)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:51)(cid:44)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:50)(cid:161)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:43)(cid:128)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:52)(cid:138)
19 2
−3.19+(−6.81) + 2 +2 (cid:57)(cid:162)(cid:133)(cid:90)(cid:163)(cid:56)(cid:35)(cid:57)(cid:137)(cid:52)(cid:119)(cid:120)(cid:60)
21 21
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)=−3.19+2 19 +(−6.81)− −2 2 (cid:60)
21 21
19 2
= −3.19+(−6.81) + 2 +2
21 21
=−10+5
=−5(cid:60)(cid:15)(cid:76)(cid:142)1-3(cid:20)(cid:62)2024(cid:165)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:170)(cid:123)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:56)(cid:35)(cid:10)
−2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1 (cid:118)
8 2 2
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)5
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:128)(cid:153)(cid:154)(cid:171)(cid:172)(cid:9)(cid:44)(cid:80)(cid:171)(cid:172)(cid:9)(cid:57)(cid:162)(cid:153)(cid:154)(cid:51)(cid:44)(cid:131)(cid:132)(cid:36)(cid:58)(cid:55)(cid:31)(cid:36)(cid:135)(cid:136)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10) −2 1 +(+5)+ −3 1 +(+1.125)+ +4 1
8 2 2
1 1 1
= −2 +5−3 +1.125+4
8 2 2
1 1 1 1
= −2 +1 +5− 3 −4
8 8 2 2
=−1+5+1
=5(cid:118)
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:150)(cid:151)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
【题型2 归类与组合】
(cid:15)(cid:107)2(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)
科AA+
全
(1) +35
7
+ −23
4
(cid:118) 众
号★
9 9 注 公
关
，
源
资
(2) −2018 5 + −2017 2 + −1 教1 + 辅 4036(cid:60)
6 3 2
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)12 1
3
(2)−2
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67) +35 7 + −23 4
9 9
7 4
= (35)+ + (−23)+ −
9 9
7 4
= (35)+(−23) + + −
9 9
1
=12+
3
1
=12 (cid:118)
3
(cid:62)2(cid:67) −2018 5 + −2017 2 + −1 1 +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+ − + (−2017)+ − + (−1)+ − +4036
6 3 2
5 2 1
= (−2018)+(−2017)+(−1)+4036 + − + − + −
6 3 2=0+(−2)
=−2(cid:60)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)2-1(cid:20)(cid:33)(cid:135)(cid:136)(cid:175)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:10)−16+24+6 3 −18+4 4 +18−6.8−3.2(cid:60)
5 5
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)9 2
5
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:129)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:51)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:160)(cid:135)(cid:136)(cid:34)(cid:35)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:57)(cid:150)(cid:151)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:118)
(cid:88)(cid:89)(cid:54)(cid:51)(cid:129)(cid:44)(cid:135)(cid:136)(cid:175)(cid:44)(cid:126)(cid:10)(cid:39)(cid:51)(cid:52)(cid:27)(cid:43)(cid:54)(cid:128)(cid:39)(cid:51)(cid:57)(cid:64)(cid:43)(cid:25)(cid:66)(cid:43)(cid:70)(cid:179)(cid:39)(cid:51)(cid:57)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:70)(cid:54)(cid:128)(cid:39)(cid:51)(cid:176)(cid:118)
(cid:45)(cid:59)(cid:39)(cid:68)(cid:43)(cid:54)(cid:94)(cid:180)(cid:43)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:94)(cid:180)(cid:43)(cid:160)(cid:94)(cid:180)(cid:106)(cid:43)(cid:70)(cid:179)(cid:55)(cid:31)(cid:39)(cid:51)(cid:57)(cid:181)(cid:98)(cid:162)(cid:39)(cid:51)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)=8+ 6 3 +4 4 +(18−18)−(6.8+3.2)
5 5
2
=8+11 −10
5
2
=9 (cid:60)
5
(cid:15)(cid:76)(cid:142)2-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:58)(cid:186)(cid:187)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:56)(cid:35)(cid:60) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)− 3 科AA+
4 全
号★
众
公
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:56)(cid:35)(cid:118) 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:153)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:51)(cid:129)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10) −3 3 − −2 1 + −4 1 − −5 2 −1
4 2 6 3
3 1 1 2
= −3 +2 + −4 +5 −1
4 2 6 3
3 1 1
= −3 +2 +1 −1
4 2 2
3
= −3 +4−1
4
3
= −3 +3
4
3
=−
4
(cid:15)(cid:76)(cid:142)2-3(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )(cid:118)
4 2 8 8
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−7 3
4
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:190)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:92)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:60)
(cid:164)(cid:142)(cid:171)(cid:191)(cid:172)(cid:9)(cid:98)(cid:57)(cid:81)(cid:33)(cid:51)(cid:129)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:55)(cid:139)(cid:118)(cid:141)(cid:10)(−2 1 )−(−4 1 )−(+4 1 )+(−5 7 )
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2 +4 −4 −5
4 2 8 8
1 1 1 7
=−2+4−4−5− + − −
4 2 8 8
2 4 1 7
=−7− + − −
8 8 8 8
3
=−7−
4
3
=−7
4
【题型3 活用运算律】
(cid:15)(cid:107)3(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5)(cid:60)
3
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−1000
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:92)(cid:10)
(cid:153)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:192)(cid:44)(cid:54)(cid:131)(cid:132)(cid:36)(cid:58)(cid:55)(cid:31)(cid:36)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
科AA+
全
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(−0.25)×(−3)×8×(−40)× − 1 ×(−12.5) 众 号★
公
3 注
关
，
源
1 辅 资
教
=(−0.25)×(−40)×(−3)× − ×8×(−12.5)
3
=10×1×(−100)
=−1000
2 1 2
(cid:15)(cid:76)(cid:142)3-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:193)(cid:167)(cid:194)(cid:195)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:33)(cid:135)(cid:136)(cid:175)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:10) − − ×(−27)(cid:60)
9 3 27
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)5
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:92)(cid:141)(cid:119)(cid:149)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:81)(cid:33)(cid:192)(cid:44)(cid:70)(cid:196)(cid:36)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)= 2 ×(−27)− 1 ×(−27)− 2 ×(−27)=−6+9+2=5(cid:60)
9 3 27
(cid:15)(cid:76)(cid:142)3-2(cid:20)(cid:35)(cid:10)−9 12 ×12
13
1
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
4
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:190)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:92)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:60)
(cid:164)(cid:142)(cid:128)(cid:50)(cid:197)(cid:44)(cid:76)(cid:93)(cid:192)(cid:44)(cid:57)(cid:162)(cid:56)(cid:35)(cid:192)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:55)(cid:139)(cid:118)(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(−49)÷ 7 × 4 ÷(−32)
2 7
2 4 1
=(−49)× × ×(− )
7 7 32
1
=(−8)×(− )
32
1
=
4
(cid:15)(cid:76)(cid:142)3-3(cid:20)(cid:62)23-24(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:198)(cid:113)(cid:86)(cid:199)·(cid:86)(cid:11)(cid:123)(cid:200)(cid:67)(cid:201)(cid:202)(cid:135)(cid:136)(cid:201)(cid:202)(cid:35)
(1)2021×20222022−2022×20212021(cid:118)
1 1 1 1 1 1
(2)1 +2 +3 +4 +5 +6
2 4 8 16 32 64
2015 2016×2014
(3)
2016×2015−1
+
9 11 13 15 17 121212
(4) − + − + ×
20 30 42 56 72 131313
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)0
63
(2)21
64
科AA+
全
(3)1 号★
众
公
注
关
，
(4) 1 辅 资 源
3 教
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)20222022=2022×10001(cid:57)20212021=2021×10001(cid:50)(cid:164)(cid:142)(cid:76)(cid:49)(cid:59)
2021×2022×10001−2022×2021×10001(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:119)(cid:120)(cid:118)
1 1
(cid:62)2(cid:67)(cid:50)(cid:164)(cid:142)(cid:128)(cid:51)(cid:111) (cid:57)(cid:162)(cid:129)(cid:171) (cid:57)(cid:153)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:51)(cid:129)(cid:56)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
64 64
(cid:62)3(cid:67)(cid:153)(cid:154)2016×2014=2016×(2015−1)(cid:57)(cid:81)(cid:33)(cid:192)(cid:44)(cid:54)(cid:70)(cid:196)(cid:36)(cid:50)(cid:70)(cid:203)(cid:76)(cid:49)(cid:59)2016×2015−1(cid:57)(cid:204)(cid:122)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:119)(cid:120)(cid:118)
(cid:62)3(cid:67)(cid:153)(cid:154) n n 1 = 1 + 1 (cid:128)(cid:50)(cid:172)(cid:9)(cid:182)(cid:54)(cid:142)(cid:203)(cid:76)(cid:49)(cid:59) 1 − 1 (cid:57)(cid:162)(cid:204)121212=12×10101(cid:57)131313=13×10101(cid:133)(cid:134)(cid:155)(cid:141)
n(n 1) n n 1 4 9
+ +
+ +
(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)2021×20222022−2022×20212021
=2021×2022×10001−2022×2021×10001
=0(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:141)(cid:10)1 1 +2 1 +3 1 +4 1 +5 1 +6 1
2 4 8 16 32 64
1 1 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 + −
2 4 8 16 32 64 64 641 1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +5 +6 −
2 4 8 16 32 32 64
1 1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +4 +11 −
2 4 8 16 16 64
1 1 1 1 1
=1 +2 +3 +15 −
2 4 8 8 64
1 1 1 1
=1 +2 +18 −
2 4 4 64
1 1 1
=1 +20 −
2 2 64
1
=22−
64
63
=21 (cid:118)
64
2015 2016×2014
(cid:62)3(cid:67)(cid:141)(cid:10)
2016×2015−1
+
2015+2016×(2015−1)
=
2016×2015−1
2015+2016×2015−2016
=
2016×2015−1
2016×2015−1
科AA+
=
2016×2015−1 众
号★ 全
公
注
关
，
=1(cid:118) 源
资
辅
教
(cid:62)4(cid:67)(cid:141)(cid:10) 9 − 11 + 13 − 15 + 17 × 121212
20 30 42 56 72 131313
4+5 5+6 6+7 7+8 8+9 121212
= − + − + ×
4×5 5×6 6×7 7×8 8×9 131313
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121212
= + − − + + − − + + ×
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 131313
1 1 121212
= + ×
4 9 131313
1 1 12×10101
= + ×
4 9 13×10101
13 12
= ×
36 13
1
= (cid:60)
3
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:135)(cid:136)(cid:56)(cid:35)(cid:57)(cid:159)(cid:177)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:39)(cid:3)(cid:56)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:58)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
【题型4 裂项相消】
(cid:15)(cid:107)4(cid:20)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:10)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 1 + 1 + 1 +…+ 1
1×2 2×3 3×4 2021×2022
(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)=1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…+ 1 − 1 =1− 1 = 2021
2 2 3 3 4 2021 2022 2022 2022
(cid:211)(cid:212)(cid:155)(cid:58)(cid:175)(cid:44)(cid:213)(cid:59)“(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:44)”(cid:57)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:122)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2 = (cid:60)
22−1 32−1 42−1 1002−1
14949
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
10100
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:128)(cid:56)(cid:35)(cid:70)(cid:71)(cid:57)(cid:162)(cid:153)(cid:154)“(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:44)”(cid:56)(cid:35)(cid:99)(cid:52)(cid:119)(cid:120)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10) 2 + 2 + 2 +…+ 2
22−1 32−1 42−1 1002−1
2 2 2 2
= + + +…+
3 8 15 9999
2 2 2 2
= + + +…+
1×3 2×4 3×5 99×101
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +…+ −
3 2 4 3 5 99 101
1 1 1
=1+ − −
2 100 101
=
14949
(cid:57)
科AA+
10100 全
号★
众
公
注
14949 关
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10) (cid:60) ，
源
10100 资
辅
教
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:64)(cid:219)(cid:127)(cid:141)(cid:21)(cid:220)(cid:150)(cid:151)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:92)(cid:141)(cid:122)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)4-1(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +……+ 1 (cid:60)
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
49
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
99
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:153)(cid:154)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:44)(cid:137)(cid:99)(cid:141)(cid:119)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:221)(cid:21)(cid:220)(cid:52)(cid:10)
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +……+
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 97×99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − + − + − + − + + − + − )
2 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 95 97 97 99
1 1 ⋯⋯
= ×(1− )
2 99
1 98
= ×
2 99
49
=
99(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:60)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)4-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:193)(cid:222)(cid:113)(cid:223)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 1 + 1 + 1 +...+ 1 (cid:60)
1×2×3 2×3×4 3×4×5 9×10×11
27
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
110
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:44)(cid:60)
(cid:50)(cid:224)(cid:225)(cid:35)(cid:142)(cid:75)(cid:226)(cid:93)(cid:70)(cid:71)(cid:59)(cid:94)(cid:180)(cid:227)(cid:228)(cid:27)(cid:43)(cid:229)(cid:54)(cid:49)(cid:142)(cid:57)(cid:162)(cid:133)(cid:134)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)= 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + + 1 × 1 + 1 × 1
1×2 3 2×3 4 3×4 5 8×9 10 9×10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯1 1 1 1 1 1
= 1− × + − × + − × + + − × + − ×
2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋯1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1× − × + × − × + × − × + + × − × + × − ×
3 2 3 2 4 3 4 3 5 4 5 8 10 9 10 9 11 10 11
1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1
= + + +…+ × − + +…+
1×3 2×4 3×5 9 10 2×3 3×4 10×11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= × 1− + − + − +…+ − − − + − +…+ −
2 3 2 4 3 5 9 11 2 3 3 4 10 11
1 1 1 1 1 1
= × 1+ − − − −
2 2 10 11 2 11
科AA+
36 9 号★ 全
= 55 − 22 注 公 众
关
，
源
资
= 27 (cid:60) 教 辅
110
(cid:15)(cid:76)(cid:142)4-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:230)(cid:109)(cid:110)(cid:207)·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:43)(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)·(cid:239)(cid:240)(cid:73)1808(cid:109)(cid:241)(cid:242)(cid:125)(cid:90)(cid:212)(cid:34)(cid:35)(cid:243)(cid:9)(cid:244)(cid:114)
(cid:192)(cid:57)(cid:33)“!”(cid:245)(cid:246)(cid:60)(cid:247)(cid:54)(cid:220)(cid:248)(cid:92)(cid:10)(cid:90)(cid:180)(cid:64)(cid:27)(cid:43)(cid:54)(cid:114)(cid:192)(cid:92)(cid:224)(cid:126)(cid:106)(cid:73)(cid:160)(cid:176)(cid:73)(cid:190)(cid:43)(cid:54)(cid:64)(cid:27)(cid:43)(cid:54)(cid:229)(cid:57)(cid:63)1!=1(cid:57)
5!=5×4×3×2×1(cid:60)(cid:64)(cid:27)(cid:43)N(cid:54)(cid:114)(cid:192)(cid:249)(cid:250)N!(cid:57)(cid:137)N!=1×2×3× ×N(cid:60)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:44)(cid:99)(cid:251)(cid:58)(cid:114)(cid:192)(cid:55)(cid:31)(cid:252)(cid:87)(cid:253)(cid:254)(cid:57)(cid:107)(cid:63)(cid:57)
(cid:255)(cid:256)(cid:99)(cid:251)(cid:257) 9 (cid:85)(cid:70)(cid:59)(cid:94)(cid:180)(cid:70)(cid:71)(cid:258)(cid:126)(cid:114)(cid:192)(cid:49)(cid:142)(cid:54)(cid:70)(cid:203)(cid:59)1 ⋯ (cid:54)(cid:70)(cid:43)(cid:54)(cid:96)(cid:57)(cid:137) 9 =10−1= 10 − 1 = 1 − 1 (cid:60)
10! 10! 10! 10! 10! 9! 10!
(cid:153)(cid:154)(cid:251)(cid:111)(cid:259)(cid:36)(cid:57)(cid:141)(cid:119)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:261)(cid:262)(cid:10)5!=________(cid:118)
6 7
(2)(cid:50) + (cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:94)(cid:180)(cid:70)(cid:71)(cid:258)(cid:126)(cid:114)(cid:192)(cid:49)(cid:142)(cid:54)(cid:70)(cid:203)(cid:59)1(cid:54)(cid:70)(cid:43)(cid:54)(cid:96)(cid:54)(cid:49)(cid:142)(cid:59)________(cid:118)
7! 8!
(3)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19 (cid:60)
2! 3! 4! 5! 19! 20!
⋯
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)120
1 1
(2) −
6! 8!
1
(3)1−
20!(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:263)(cid:264)(cid:39)(cid:192)(cid:44)(cid:69)(cid:265)(cid:142)(cid:70)(cid:141)(cid:141)(cid:90)(cid:266)(cid:267)(cid:82)(cid:175)(cid:268)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:69)(cid:114)(cid:192)(cid:54)(cid:34)(cid:33)(cid:176)(cid:182)(cid:269)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)
(cid:39)(cid:3)(cid:177)(cid:178)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:114)(cid:192)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:275)(cid:217)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:141)(cid:118)
(cid:62)3(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:62)2(cid:67)(cid:248)(cid:276)(cid:226)(cid:277)(cid:278)(cid:268)(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)5!=5×4×3×2×1=120(cid:57)
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)120(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:141)(cid:10) 6 + 7 =7−1+8−1
7! 8! 7! 8!
7 1 8 1
= − + −
7! 7! 8! 8!
1 1 1 1
= − + −
6! 7! 7! 8!
= 1 − 1 (cid:118)
6! 8!
(cid:62)3(cid:67)(cid:141)(cid:10) 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19
2! 3! 4! 5! 19! 20!
2−1 3−1 4−1 5− ⋯ 1 19−1 20−1 号★ 全
科AA+
= + + + + + + 众
2! 3! 4! 5! 19! 20! 注 公
关
，
源
2 1 3 1 4 1⋯5 辅1 资19 1 20 1
= − + − + − + 教 − + + − + −
2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 5! 19! 19! 20! 20!
1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1
= − + − + − + − + + − + −
1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! 5! 18! 19! 19! 20!
1 1 ⋯
= −
1! 20!
1
=1− (cid:60)
20!
【题型5 错位相消】
(cid:15)(cid:107)5(cid:20)(cid:62)2025·(cid:147)(cid:113)(cid:279)(cid:280)·(cid:267)(cid:281)(cid:67)(cid:205)(cid:206)(cid:25)(cid:248)(cid:123)(cid:10)(cid:214)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:57)(cid:282)(cid:283)(cid:93)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:21)(cid:60)
(cid:15)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:20)(cid:285)(cid:217)(cid:90)(cid:270)(cid:77)(cid:78)(cid:286)(cid:208)(cid:287)(cid:54)(cid:90)(cid:208)(cid:43)(cid:213)(cid:59)(cid:43)(cid:208)(cid:57)(cid:43)(cid:208)(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:49)(cid:142)(cid:99)(cid:251)(cid:226)(cid:93)(cid:10)a ,a ,a , ,a , (cid:57)(cid:90)(cid:91)(cid:288)(cid:57)
1 2 3 n
(cid:63)(cid:139)(cid:90)(cid:180)(cid:43)(cid:208)(cid:289)(cid:290)(cid:267)(cid:38)(cid:252)(cid:57)(cid:291)(cid:90)(cid:38)(cid:25)(cid:247)(cid:100)(cid:90)(cid:38)(cid:54)(cid:284)(cid:292)(cid:176)(cid:73)(cid:61)(cid:90)(cid:180)(cid:88)(cid:43)(cid:57)(cid:293)(cid:294)(cid:211)(cid:180)(cid:43)(cid:208)(cid:244)(cid:295)⋯(cid:176)(cid:284)(cid:43)⋯(cid:208)(cid:57)(cid:211)(cid:180)
(cid:88)(cid:43)(cid:244)(cid:295)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:54)(cid:7)(cid:284)(cid:57)(cid:7)(cid:284)(cid:74)(cid:88)(cid:33)q(cid:245)(cid:246)(cid:60)(cid:63)(cid:10)(cid:43)(cid:208)1,2,4,8, (cid:59)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:57)(cid:102)(cid:103)a =1,a =2(cid:57)(cid:7)(cid:284)(cid:59)q=2(cid:60)
1 2
(cid:153)(cid:154)(cid:251)(cid:111)(cid:209)(cid:210)(cid:57)(cid:141)(cid:119)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:21)(cid:10) ⋯
(cid:62)1(cid:67)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)3,9,27,…(cid:54)(cid:7)(cid:284)q(cid:59)_____(cid:57)(cid:290)5(cid:38)(cid:92)_____(cid:60)
(cid:15)(cid:7)(cid:142)(cid:296)(cid:297)(cid:20)(cid:63)(cid:139)(cid:90)(cid:180)(cid:43)(cid:208)a ,a ,a ,…,a ,…(cid:57)(cid:92)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:57)(cid:298)(cid:7)(cid:284)(cid:59)q(cid:57)(cid:293)(cid:294)(cid:153)(cid:154)(cid:270)(cid:271)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:10) a 2=q, a 3=q, a 4=q, …, a n+1=q.
1 2 3 n a 1 a 2 a 3 a n
(cid:224)(cid:251)a =a q,a =a q=a qq=a q2,a =a q=a q2=a q3,…
2 1 3 2 1 1 4 3 2 1
(cid:62)2(cid:67)(cid:204)(cid:122)⋅(cid:57)(cid:214)(cid:215)(cid:261)⋅ (cid:262)(cid:283)(cid:93)⋅ (cid:176)(cid:284)⋅ (cid:43)(cid:208)(cid:54)(cid:74)⋅ (cid:38)(cid:7)⋅ (cid:142)(cid:10)a⋅ =a _____(cid:60)
n 1
(cid:15)(cid:299)(cid:166)(cid:300)(cid:254)(cid:20)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:155)(cid:58)(cid:7)(cid:142)(cid:282)(cid:301)(cid:83)(cid:84)(cid:57)(cid:302)(cid:92)(cid:102)(cid:296)(cid:297)⋅(cid:278)(cid:268)——(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:129)(cid:44)(cid:57)(cid:303)(cid:248)(cid:304)(cid:305)(cid:69)(cid:49)(cid:142)(cid:306)(cid:187)(cid:60)(cid:207)(cid:307)
(cid:92)(cid:106)(cid:242)(cid:59)(cid:125)(cid:56)(cid:35)1+2+22+…+22019+22020(cid:54)(cid:292)(cid:57)(cid:308)(cid:33)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:10)
(cid:309)S=1+2+22+…+22019+22020 (cid:57)
(cid:80)2S=2+22+…+22020+22021 ①(cid:57)
(cid:310) (cid:52)2S−S=S=22021−1(cid:57)②
②S=1+①2+22+…+22019+22020=22021−1(cid:60)
(cid:15)∴ (cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:20)(cid:62)3(cid:67)(cid:214)(cid:275)(cid:217)(cid:106)(cid:242)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:155)3+32+33+…+32025(cid:54)(cid:292)(cid:60)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)3(cid:57)243(cid:118)(cid:62)2(cid:67)qn−1(cid:118)(cid:62)3(cid:67)
32026−3
2
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:312)(cid:270)(cid:271)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:192)(cid:175)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:127)(cid:141)(cid:21)(cid:220)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:313)(cid:103)(cid:225)(cid:277)(cid:54)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:54)(cid:270)(cid:271)(cid:137)(cid:99)(cid:155)(cid:141)(cid:118)
科AA+
全
(cid:62)2(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:7)(cid:142)(cid:296)(cid:297)(cid:278)(cid:268)(cid:137)(cid:99)(cid:155)(cid:141)(cid:118) 号★
众
公
注
关
，
(cid:62)3(cid:67)(cid:309)S=1+3+32+33+…+32025(cid:153)辅(cid:154)资(cid:107)(cid:21)
源
(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:155)(cid:52) S=1+3+32+33+…+32025=
32026−1
(cid:57)(cid:137)(cid:99)(cid:155)(cid:141)(cid:60)
教 2
∴
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:220)(cid:52)(cid:10)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)3,9,27,…(cid:54)(cid:7)(cid:284)q(cid:59)3(cid:57)(cid:290)5(cid:38)(cid:92)35=243(cid:118)
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)3(cid:57)243(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:220)(cid:52)(cid:10)(cid:176)(cid:284)(cid:43)(cid:208)(cid:54)(cid:74)(cid:38)(cid:7)(cid:142)(cid:10)a =a qn−1(cid:118)
n 1
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)qn−1 ⋅
(cid:62)3(cid:67)(cid:309)S=1+3+32+33+…+32025 (cid:57)
(cid:80)3S=3+32+…+32025+32026 (cid:57)①
− (cid:52)3S−S=2S=32026−1②(cid:57)
②
S=1
①
+3+32+33+…+32025=
32026−1
(cid:60)
2
∴
3+32+33+…+32025=S−1=
32026−3
(cid:60)
2
∴(cid:15)(cid:76)(cid:142)5-1(cid:20)(cid:155)11+112+113+…+112024(cid:54)(cid:292)(cid:60)
112025−11
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:67)
10
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:309)S=11+112+113+…+112024 (cid:57)
①(cid:80)11S=112+113+…+112025 (cid:57)
− (cid:52)11S−S=10S=11202②5−11(cid:57)
②
S=1
①
1+112+113+…+112024=
112025−11
(cid:60)
10
∴
(cid:15)(cid:76)(cid:142)5-2(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
4 42 43 4n
⋅⋅⋅
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20) 1 − 1
3 3×4n
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:309)S= 1 + 1 + 1 +…+1 (cid:57)
4 42 43 4n
①
4S=1+ 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:57)
4 42 43 4n−1
②
− (cid:52)(cid:57)
② ①1
3S=1− (cid:57)
4n
S= 1 − 1 (cid:57)
3 3×4n
∴
(cid:218)(cid:164)(cid:142)= 1 − 1 (cid:60)
3 3×4n
科AA+
全
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:259)(cid:36)(cid:22)−(cid:43)(cid:264)(cid:54)(cid:76)(cid:47)(cid:29)(cid:57)(cid:141)(cid:311)(cid:149)(cid:21)(cid:54)(cid:3)号(cid:152)(cid:92)★(cid:314)(cid:219)(cid:133)(cid:134)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:259)(cid:36)(cid:56)(cid:35)(cid:60)
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:76)(cid:142)5-3(cid:20)(cid:141)(cid:311)(cid:207)(cid:208)(cid:260)(cid:21)(cid:10)
资
源
辅
教
(1)(cid:56)(cid:35)(cid:10) 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8
2 2 2 2 2
(2)(cid:47)(cid:135)(cid:10)M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58(cid:60)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)1− 1
28
31×59 5
(2)
16
+
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:81)(cid:33)“(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:129)(cid:44)”(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:81)(cid:33)“(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:129)(cid:44)”(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)(cid:309)S= 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +( 1 ) 4 +…+( 1 ) 8 (cid:57)
2 2 2 2 2
(cid:80)2S=1+ 1 +( 1 ) 2 +( 1 ) 3 +…+( 1 ) 7 (cid:57) ①
2 2 2 2
②
1
(cid:80) − (cid:57)(cid:52)(cid:10)2S−S=S=1− (cid:118)
28
(cid:62)2 ②(cid:67)(cid:141)①(cid:10) M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58 (cid:57)
5M=1×52+∵2×53+3×54+…+8×59 (cid:57) ①
∴ ②− (cid:57)(cid:52)(cid:10)
∴5M②−M①=(1×52+2×53+3×54+…+8×59)−(5+2×52+3×53+4×54+…+8×58)
=8×59−(5+52+53+…+58)(cid:57)
(cid:309)T=5+52+53+…+58(cid:57)
5T=52+53+…+59(cid:57)
∴5T−T=59−5(cid:57)
∴4T=59−5(cid:57)
∴ 59−5
T= (cid:57)
4
∴
(cid:164)(cid:142)=8×59−
59−5
(cid:57)
4
∴
4M=8×59−
59−5
(cid:57)
4
∴ 8×59 59 −5
M= −
4 16
∴
31×59 5
= (cid:60)
16
+ 科AA+
全
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:192)(cid:175)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:43)(cid:264)(cid:29)(cid:259)(cid:36)(cid:260)(cid:21)(cid:57)号“(cid:40)★(cid:41)(cid:39)(cid:129)(cid:44)”(cid:54)(cid:34)(cid:33)(cid:57)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:92)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)“(cid:40)
众
公
注
关
，
(cid:41)(cid:39)(cid:129)(cid:44)”(cid:54)(cid:34)(cid:33)(cid:60)
资
源
辅
教
【题型6 倒数法】
(cid:15)(cid:107)6(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:198)(cid:113)(cid:315)(cid:316)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:214)(cid:215)(cid:128)(cid:317)(cid:318)(cid:205)(cid:206)(cid:209)(cid:210)(cid:10)
1 2 1 1 2
(cid:56)(cid:35)(cid:10) − ÷ − + − (cid:60)
30 3 10 6 5
(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)(cid:54)(cid:42)(cid:43)(cid:92) 2 − 1 + 1 − 2 ÷ − 1
3 10 6 5 30
2 1 1 2
= − + − ×(−30)
3 10 6 5
2 1 1 2
= ×(−30)− ×(−30)+ ×(−30)− ×(−30)
3 10 6 5
=−20−(−3)+(−5)−(−12)
=−20+3−5+12
=−10(cid:60)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:142)=− (cid:60)
10
1 3 5 8 2
(cid:162)(cid:153)(cid:154)(cid:215)(cid:23)(cid:224)(cid:319)(cid:320)(cid:209)(cid:210)(cid:54)(cid:127)(cid:141)(cid:57)(cid:321)(cid:322)(cid:31)(cid:323)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:56)(cid:35)(cid:10) − ÷ − + − (cid:60)
70 10 14 35 71
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
8
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:153)(cid:154)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:54)(cid:270)(cid:271)(cid:141)(cid:119)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:197)(cid:44)(cid:57)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:324)(cid:33)(cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)(cid:54)(cid:42)(cid:43)(cid:92) 3 − 5 + 8 − 2 ÷ − 1
10 14 35 7 70
3 5 8 2
= − + − ×(−70)
10 14 35 7
3 5 8 2
=− ×70− ×70+ ×70− ×70
10 14 35 7
=−(21−25+16−20) =8(cid:60)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:142)= (cid:60)
8
1 1 3 2 2
(cid:15)(cid:76)(cid:142)6-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:198)(cid:16)(cid:325)(cid:326)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:135)(cid:136)(cid:56)(cid:35)(cid:10) − ÷ − + − (cid:60)
42 6 14 3 7
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)− 1
14
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)(cid:54)(cid:42)(cid:43)= 1 − 3 + 2 − 2 ÷ − 1
6 14 3 7 42
科AA+
1 3 2 2 号★ 全
= 6 − 14 + 3 − 7 ×(−42) 注 公 众
关
，
源
资
=−7+9−28+12 教 辅
=−14(cid:57)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:142)=− (cid:60)
14
(cid:15)(cid:76)(cid:142)6-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:327)(cid:328)(cid:327)(cid:195)·(cid:148)(cid:103)(cid:67)(cid:56)(cid:35)(cid:10) − 1 ÷ 1 1 − 7 + 5
36 6 9 12
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)− 1
29
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:142)(cid:54)(cid:42)(cid:43)(cid:59)(cid:10) 1 1 − 7 + 5 ÷ − 1
6 9 12 36
7 7 5
= − + ×(−36)
6 9 12
7 7 5
= ×(−36)− ×(−36)+ ×(−36)
6 9 12
=−42+28−15
=−29(cid:57)
1
(cid:218)(cid:164)(cid:142)=− (cid:60)
292
1 1 5 9 1
(cid:15)(cid:76)(cid:142)6-3(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10) − ÷ − + − − ×6 (cid:60)
56 8 14 28 4
1
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)
16
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:192)(cid:44)(cid:70)(cid:196)(cid:36)(cid:57)(cid:56)(cid:35)(cid:164)(cid:142)(cid:54)(cid:42)(cid:43)(cid:57)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:119)(cid:120)(cid:60)
2
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10) 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 ÷ − 1
8 14 28 4 56
1 5 9 1
= − + − ×6 ×(−56)
8 14 28 16
1 5 9 1
= ×(−56)− ×(−56)+ ×(−56)− ×6×(−56)
8 14 28 16
=−7+20−18+21
=16(cid:57)
2
− 1 ÷ 1 − 5 + 9 − − 1 ×6 = 1 (cid:60)
56 8 14 28 4 16
∴
【题型7 相互转化】
(cid:15)(cid:107)7(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)
(1)(−3)÷ −1 3
4
×75%÷ − 3
7
×(−6)(cid:118)
众
号★ 全
科AA+
公
注
关
，
(2) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)(cid:118) 辅 资 源
5 25 教
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)18
(2)−5
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:153)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:129)(cid:192)(cid:197)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:160)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:138)(cid:119)(cid:120)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)(−3)÷ −1 3 ×75%÷ − 3 ×(−6)
4 7
4 3 7
=3× × × ×6
7 4 3
=18(cid:118)
(cid:62)2(cid:67)(cid:141)(cid:10) − 1 ×(−0.1)÷ 1 ×(−10)
5 25
1 1
=− × ×25×10
5 10
=−5(cid:118)
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:51)(cid:129)(cid:192)(cid:197)(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:160)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:92)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)7-1(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)(cid:118)
4 8(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(+0.125)− −3 3 + −3 1 −(+1.75)
4 8
1 3 1 3
= +3 −3 −1
8 4 8 4
1 1 3 3
= −3 + 3 −1
8 8 4 4
=−3+2
=−1
(cid:15)(cid:76)(cid:142)7-2(cid:20)(cid:81)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:135)(cid:136)(cid:34)(cid:35)(cid:10)
−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%(cid:60)
4
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)−2.4
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)−3.61×0.75+0.61× 3 +(−0.2)×75%
4
=−3.61×0.75+0.61×0.75+(−0.2)×0.75
=0.75×(−3.61+0.61−0.2)
科AA+
全
=0.75×(−3.2) 号★
众
公
注
关
，
=−2.4(cid:60)
资
源
辅
教
(cid:15)(cid:76)(cid:142)7-3(cid:20)(cid:56)(cid:35)(cid:10)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)25
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:159)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:39)(cid:3)(cid:34)(cid:35)(cid:44)(cid:80)(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:81)(cid:33)(cid:192)(cid:44)(cid:70)(cid:196)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:56)(cid:35)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)38× 1 +17×0.25+45×25%
4
1 1 1
=38× +17× +45×
4 4 4
1
= ×(38+17+45)
4
1
= ×100
4
=25(cid:60)
【题型8 图形法】
(cid:15)(cid:107)8(cid:20)(cid:67)(cid:43)(cid:49)(cid:55)(cid:31)(cid:92)(cid:141)(cid:311)(cid:43)(cid:11)(cid:260)(cid:21)(cid:54)(cid:90)(cid:212)(cid:104)(cid:189)(cid:54)(cid:248)(cid:329)(cid:175)(cid:44)(cid:60)(cid:209)(cid:210)(cid:90)(cid:10)(cid:330)(cid:155)1+2+4+8+16+ +230(cid:54)(cid:292)(cid:57)(cid:99)(cid:251)(cid:285)(cid:217)(cid:63)(cid:207)(cid:163)(cid:331)(cid:133)(cid:134)(cid:10)
(cid:332)S=1+2+4+8+16+ +230……⋯
(cid:176)(cid:142)(cid:94)(cid:333)(cid:61)(cid:334)(cid:192)(cid:251)⋯2(cid:57)(cid:52)2S=2①+4+8+16+32+ +231……
(cid:204) (cid:142)(cid:129)(cid:171) (cid:142)(cid:57)(cid:52)S=231−1(cid:57) 1+2+4+8+1⋯6+ +230=②231−1(cid:60)
(cid:209)(cid:210)②(cid:267)(cid:10)(cid:63)(cid:48)①1(cid:57)(cid:50)(cid:90)(cid:180)(cid:333)(cid:335)(cid:59)∴1(cid:54)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:336)(cid:337)⋯(cid:70)(cid:338)(cid:93)7(cid:180)(cid:339)(cid:70)(cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:92)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:339)
(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:92)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:221)(cid:122)(cid:29)(cid:296) 1 = 1 (cid:57) 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = ① 1− 1 (cid:60)
26 64 2 22 23 24 25 26 26
② ① ∴
(cid:205)(cid:206)(cid:209)(cid:210)(cid:57)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:81)(cid:33)(cid:209)(cid:210)(cid:90)(cid:319)(cid:320)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:57)(cid:214)(cid:215)(cid:155)(cid:277)1+5+52+53+54+ +520(cid:54)(cid:292)(cid:60)
全
科AA+
号★
众
公
(2)(cid:63)(cid:48)2(cid:57)(cid:341)(cid:285)(cid:211)(cid:202)(cid:54)(cid:175)(cid:142)(cid:342)(cid:228)
辅
(cid:70)
资
(cid:338)(cid:207)
源
(cid:171)，(cid:57)(cid:343) 关 (cid:209) 注 (cid:210)(cid:267) ⋯ (cid:54)(cid:344)(cid:241) 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+ +
22
1
023
(cid:54)(cid:292)(cid:59)______(cid:60)
教
⋯
(3)(cid:74)(cid:278)(cid:11)(cid:117)(cid:209)(cid:210)(cid:90)(cid:69)(cid:209)(cid:210)(cid:267)(cid:57)(cid:321)(cid:322)(cid:215)(cid:345)(cid:346)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1 ______(cid:60)(cid:62)(cid:33)(cid:258)(cid:126)n(cid:54)(cid:142)(cid:203)(cid:245)(cid:246)(cid:67)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)
521−1
4
1
(2)1−
22023
1 1
(3) 1−
2 3n
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:43)(cid:264)(cid:54)(cid:259)(cid:36)(cid:76)(cid:47)(cid:57)(cid:258)(cid:192)(cid:175)(cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:127)(cid:141)(cid:21)(cid:220)(cid:57)(cid:219)(cid:270)(cid:43)(cid:264)(cid:54)(cid:76)(cid:47)(cid:187)(cid:105)(cid:92)(cid:141)
(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:347)(cid:177)(cid:128)(cid:155)(cid:277)5S(cid:57)(cid:162)(cid:39)(cid:129)(cid:57)(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:277)(cid:119)(cid:120)(cid:118)
1 1 1 1 1
(cid:62)2(cid:67)(cid:348)(cid:349)(cid:48)(cid:49)(cid:241)(cid:350)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) (cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) = (cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) = (cid:57)…(cid:57)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:70)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59)
2 22 4 23 8
① ② ③
1
(cid:57)(cid:154)(cid:122)(cid:259)(cid:36)(cid:141)(cid:119)(cid:137)(cid:99)(cid:118)
2n
(cid:62)3(cid:67)(cid:332)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:57)(cid:162)(cid:155)(cid:277)3T(cid:57)(cid:94)(cid:142)(cid:39)(cid:129)(cid:155)(cid:277)2T(cid:57)(cid:154)(cid:122)(cid:155)(cid:141)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
3 32 33 3n
⋯
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)(cid:332)S=1+5+52+53+54+ +520 (cid:57)
⋯ ①(cid:176)(cid:142)(cid:94)(cid:333)(cid:61)(cid:334)(cid:192)(cid:251)5(cid:57)(cid:52)5S=5+52+53+54+ +521 (cid:57)
(cid:204) (cid:142)(cid:129)(cid:171) (cid:142)(cid:57)(cid:52)4S=521−1(cid:57) ⋯ ②
②521−1 ①
S= (cid:57)
4
∴
1+5+52+53+54+ +520=
521−1
(cid:118)
4
∴(cid:62)2(cid:67)(cid:141)(cid:10) (cid:64)(cid:175)(cid:49) ⋯ (cid:333)(cid:335)(cid:59)1(cid:57)
(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:307)∵(cid:229)(cid:59)1(cid:57)
∴ (cid:92)(cid:333)(cid:335)(cid:59)1(cid:54)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:336)(cid:337)(cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)
∵① 1
(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) (cid:57)
2
∴①
1 1 1 1
(cid:221)(cid:122)(cid:29)(cid:296) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) = (cid:57) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) = (cid:57)…
22 4 23 8
(cid:155) 1 + 1 + 1 ② + + 1 (cid:54)(cid:292)(cid:57)(cid:137) ③ (cid:59)(cid:155)(cid:50)(cid:48)(cid:49)(cid:70)(cid:338)(cid:207)(cid:171)(cid:262)(cid:353)(cid:339)(cid:70)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:57)
2 22 23 22023
∴ ⋯
1
(cid:122)(cid:334)(cid:354)(cid:355)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:70)(cid:307)(cid:229)(cid:59)(cid:10) (cid:57)
22023
∴ 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+ +
22
1
023
=1−
22
1
023
(cid:57)
号★ 全
科AA+
众
∴ ⋯ 注 公
1 关
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)1−
22023
(cid:118)
资 源
，
辅
教
(cid:62)3(cid:67)(cid:141)(cid:10)(cid:332)T= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:57)
3 32 33 3n
⋯ ①
(cid:176)(cid:142)(cid:94)(cid:333)(cid:61)(cid:334)(cid:192)3(cid:52)(cid:57)3T=1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:57)
3 32 33 3n−1
⋯ ②
1
(cid:204) (cid:142)(cid:129)(cid:171) (cid:142)(cid:57)(cid:52)2T=1− (cid:57)
3n
② ①
T= 1 1− 1 (cid:57)
2 3n
∴
1+ 1 + 1 + + 1 = 1 1− 1 (cid:57)
3 32 33 3n 2 3n
∴ ⋯
1 1
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10) 1− (cid:60)
2 3n
(cid:15)(cid:76)(cid:142)8-1(cid:20)(cid:63)(cid:48)(cid:57)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:54)(cid:333)(cid:335)(cid:59)1(cid:57)(cid:290)(cid:90)(cid:82)(cid:356)(cid:277)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:290)(cid:267)(cid:82)(cid:356)(cid:277)(cid:354)(cid:207)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:90)(cid:340)……(cid:251)(cid:122)(cid:29)
(cid:296)(cid:57)(cid:291)(cid:90)(cid:82)(cid:357)(cid:356)(cid:277)(cid:354)(cid:207)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:358)(cid:133)(cid:134)n(cid:82)(cid:211)(cid:202)(cid:54)(cid:359)(cid:250)(cid:60)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:82)(cid:43) 1 2 3 n
(cid:354)(cid:207)(cid:48)(cid:49)(cid:54)
1
____ ____ ____
2
(cid:307)(cid:229)
(1)(cid:214)(cid:50)(cid:111)(cid:245)(cid:261)(cid:226)(cid:283)(cid:27)(cid:60)
(2)(cid:214)(cid:81)(cid:33)(cid:211)(cid:180)(cid:360)(cid:361)(cid:48)(cid:49)(cid:155) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:54)(cid:292)(cid:10)(cid:362) (cid:362)(cid:60)((cid:33)(cid:258)n(cid:54)(cid:363)(cid:43)(cid:142)(cid:245)(cid:246))
2 22 23 2n
⋯
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)(cid:89)(cid:140)(cid:141)
1
(2)1−
2n
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:192)(cid:175)(cid:54)(cid:324)(cid:33)(cid:57)(cid:208)(cid:363)(cid:43)(cid:142)(cid:57)(cid:90)(cid:266)(cid:90)(cid:82)(cid:175)(cid:268)(cid:54)(cid:324)(cid:33)(cid:57)(cid:307)(cid:229)(cid:44)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:60)
(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:220)(cid:261)(cid:245)(cid:137)(cid:99)(cid:60)
(cid:62)2(cid:67)(cid:164)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:70)(cid:93)(cid:174)(cid:180)(cid:106)(cid:335)(cid:175)(cid:49)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:364)(cid:58)(cid:59) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:57)(cid:204) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:137)(cid:99)(cid:52)(cid:277) 1 + 1 + 1 + + 1
2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n 2n 2 22 23 2n
⋯
(cid:54)(cid:292)(cid:60)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:141)(cid:10)(cid:111)(cid:245)(cid:261)(cid:226)(cid:63)(cid:207)(cid:10)
科AA+
全
号★
(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:82)(cid:43) 1 2 3 … n 公 众
注
关
，
源
资
辅
1 1 教1 1
(cid:354)(cid:207)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:307)(cid:229) …
2 4 8 2n
(cid:62)2(cid:67)(cid:141)(cid:10)(cid:164)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:70)(cid:93)(cid:174)(cid:180)(cid:106)(cid:335)(cid:175)(cid:49)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:364)(cid:58)(cid:59) 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 (cid:57)
2 22 23 2n 2n
1+ 1 + 1 +…+ 1 + 1 =1(cid:57)
2 22 23 2n 2n
∴
(cid:80) 1 + 1 + 1 +…+ 1 =1− 1 (cid:57)
2 22 23 2n 2n
1
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)1−
2n
(cid:118)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)8-2(cid:20)(cid:365)(cid:43)(cid:11)(cid:117)(cid:21)(cid:366)(cid:103)(cid:57)(cid:61)(cid:11)(cid:256)(cid:59)(cid:125)(cid:155) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 (cid:54)(cid:292)(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:125)(cid:63)(cid:207)(cid:300)(cid:367)(cid:10)
2 22 23 24 25 2n
(cid:62)1(cid:67)(cid:368)(cid:61)(cid:11)(cid:309)(cid:56)(cid:63)(cid:48)1(cid:224)(cid:246)(cid:54)(cid:360)(cid:361)(cid:48)(cid:49)(cid:57)(cid:50)(cid:90)(cid:180)(cid:307)(cid:229)(cid:59)1(cid:54)(cid:335)(cid:175)(cid:49)(cid:336)(cid:337)(cid:23)(cid:369)(cid:60)
(cid:62)I(cid:67)(cid:155)(cid:48)1(cid:103)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:118)
(cid:62)II(cid:67)(cid:214)(cid:215)(cid:81)(cid:33)(cid:48)(cid:49) ④ (cid:155) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:54)(cid:292)(cid:118)
2 22 23 24 25
(cid:62)2(cid:67)(cid:214)(cid:215)(cid:81)(cid:33)(cid:370)(cid:33)(cid:48)(cid:57)(cid:162)(cid:309)(cid:56)(cid:90)(cid:180)(cid:161)(cid:155)(cid:25) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (cid:54)(cid:292)(cid:54)(cid:360)(cid:361)(cid:48)(cid:49)(cid:60)
2 22 23 24 251 31
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:62)I(cid:67) (cid:118)(cid:62)II(cid:67) (cid:118)(cid:62)2(cid:67)(cid:89)(cid:141)(cid:121)(cid:60)
16 32
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:62)ⅰ(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:21)(cid:313)(cid:103)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:58)(cid:21)(cid:220)(cid:57)(cid:56)(cid:35)(cid:277)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:137)(cid:99)(cid:118)(cid:62)ⅱ(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:48)(cid:49)(cid:57)(cid:99)(cid:251)(cid:224)(cid:155)(cid:142)(cid:203)
(cid:54)(cid:292)(cid:137)(cid:99)(cid:118) ④
(cid:62)2(cid:67)(cid:50)(cid:335)(cid:175)(cid:49)(cid:70)(cid:93)(cid:94)(cid:180)(cid:371)(cid:176)(cid:54)(cid:279)(cid:372)(cid:49)(cid:57)(cid:130)(cid:98)(cid:342)(cid:228)(cid:70)(cid:338)(cid:94)(cid:180)(cid:106)(cid:90)(cid:105)(cid:54)(cid:371)(cid:176)(cid:279)(cid:372)(cid:49)(cid:57)(cid:221)(cid:82)(cid:342)(cid:228)(cid:70)(cid:338)(cid:137)(cid:99)(cid:137)(cid:99)(cid:141)
(cid:119)(cid:62)(cid:119)(cid:120)(cid:301)(cid:373)(cid:90)(cid:67)(cid:60)
4
1 1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:141)(cid:10)(cid:62)1(cid:67)(cid:62)ⅰ(cid:67)(cid:204)(cid:21)(cid:220)(cid:99)(cid:52)(cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:92) = (cid:118)
2 16
(cid:62)ⅱ(cid:67)(cid:204)(cid:21)(cid:220)(cid:99)(cid:52)(cid:10) 1
2
+
2
1
2
+
2
1
3
+
2
1
4
+
2
1
5
=1−
2
1
5
= 3
3
1
2
(cid:118) ④
众
号★ 全
科AA+
公
注
关
，
(cid:62)2(cid:67)(cid:99)(cid:309)(cid:56)(cid:63)(cid:48)(cid:224)(cid:246)(cid:10)
资
源
辅
教
(cid:62)(cid:119)(cid:120)(cid:301)(cid:373)(cid:90)(cid:57)(cid:243)(cid:31)(cid:21)(cid:220)(cid:137)(cid:99)(cid:67)(cid:60)
(cid:15)(cid:105)(cid:173)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:188)(cid:189)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:43)(cid:264)(cid:54)(cid:76)(cid:47)(cid:259)(cid:36)(cid:69)(cid:126)(cid:127)(cid:43)(cid:54)(cid:158)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:105)(cid:57)(cid:242)(cid:219)(cid:21)(cid:220)(cid:282)(cid:374)(cid:32)(cid:81)(cid:33)(cid:43)(cid:49)(cid:55)(cid:31)(cid:54)
(cid:248)(cid:329)(cid:92)(cid:141)(cid:119)(cid:149)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:60)
(cid:15)(cid:76)(cid:142)8-3(cid:20)(cid:43)(cid:58)(cid:49)(cid:92)(cid:43)(cid:11)(cid:54)(cid:94)(cid:180)(cid:188)(cid:189)(cid:253)(cid:254)(cid:23)(cid:375)(cid:57)(cid:255)(cid:256)(cid:376)(cid:88)(cid:34)(cid:33)(cid:43)(cid:49)(cid:55)(cid:31)(cid:69)(cid:43)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:141)(cid:311)(cid:90)(cid:377)(cid:43)(cid:11)(cid:260)
(cid:21)(cid:60)(cid:207)(cid:307)(cid:255)(cid:256)(cid:87)(cid:300)(cid:254)“(cid:204)(cid:43)(cid:248)(cid:49)(cid:57)(cid:251)(cid:49)(cid:378)(cid:43)”(cid:54)(cid:175)(cid:44)(cid:365)(cid:141)(cid:311)(cid:363)(cid:43)(cid:260)(cid:21)(cid:103)(cid:54)(cid:324)(cid:33)(cid:60)
(cid:63)(cid:48)(cid:57)(cid:50)(cid:90)(cid:180)(cid:333)(cid:335)(cid:59)1(cid:54)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:336)(cid:337)(cid:70)(cid:338)(cid:93)7(cid:180)(cid:339)(cid:70)(cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:92)(cid:333)(cid:335)(cid:59)1(cid:54)(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:336)(cid:337)(cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:339)(cid:70)
(cid:92)(cid:339)(cid:70) (cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:339)(cid:70) (cid:92)(cid:339)(cid:70) (cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)(cid:221)(cid:82)(cid:29)①(cid:296)(cid:60) ②
① ③ ②(1)(cid:48)(cid:103)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:70)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59)(cid:362)(cid:362)(cid:118)
(2)(cid:343)(cid:122)(cid:344)(cid:241)(cid:57)(cid:52)(cid:138) 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:379)(cid:362)(cid:362)(cid:118)
2 4 8 26
⋯
(3)(cid:380)(cid:381)(cid:324)(cid:33)(cid:10)(cid:52)(cid:138) 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + + 1 × 2 (cid:379)(cid:362)(cid:362)(cid:62)(cid:272)(cid:273)(cid:226)(cid:277)(cid:119)(cid:120)(cid:137)(cid:99)(cid:67)(cid:60)
3 3 3 32 3 33 3 32023 3
⋯
1
(cid:15)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(1)
64
63
(2)
64
1
(3)1−
32024
科AA+
全
(cid:15)(cid:70)(cid:121)(cid:20)(cid:149)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:48)(cid:49)(cid:76)(cid:47)(cid:54)(cid:259)(cid:36)(cid:57)(cid:43)(cid:49)(cid:55)(cid:31)(cid:248)(cid:329)(cid:54)(cid:305)(cid:382)(cid:34)号(cid:33)★(cid:92)(cid:141)(cid:21)(cid:54)(cid:3)(cid:152)(cid:118)
众
公
注
关
，
(cid:62)1(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:48)(cid:103)(cid:279)(cid:372)(cid:49)(cid:307)(cid:229)(cid:364)(cid:383)(cid:54)(cid:3)
资
(cid:384)源(cid:137)(cid:99)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:118)
辅
教
(cid:62)2(cid:67)(cid:81)(cid:33)(cid:43)(cid:49)(cid:55)(cid:31)(cid:54)(cid:248)(cid:329)(cid:137)(cid:99)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:118)
(cid:62)3(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:62)3(cid:67)(cid:103)(cid:54)(cid:55)(cid:385)(cid:137)(cid:99)(cid:141)(cid:311)(cid:260)(cid:21)(cid:118)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:20)(cid:62)1(cid:67)(cid:204)(cid:21)(cid:177)(cid:57)
(cid:64)(cid:175)(cid:49)(cid:291)(cid:82)(cid:386)(cid:70)(cid:338)(cid:54)(cid:339)(cid:70)(cid:92)(cid:100)(cid:90)(cid:339)(cid:70)(cid:307)(cid:229)(cid:54)(cid:90)(cid:340)(cid:57)
(cid:224)(cid:251)(cid:48)(cid:103)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:70)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:25)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:39)(cid:176)(cid:60)
1 1 ⑥
(cid:387)(cid:265)(cid:59)(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59)(cid:10) = (cid:57)
2 21
(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307) ① (cid:229)(cid:59)(cid:10) 1 × 1 = 1 = 1 (cid:57)
2 2 4 22
②
(cid:339)(cid:70) (cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59)(cid:10) 1 × 1 × 1 = 1 = 1 (cid:57)
2 2 2 8 23
…(cid:57)③
1
(cid:221)(cid:82)(cid:29)(cid:48)(cid:57)(cid:339)(cid:70)n(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) (cid:60)
2n
(cid:388)n=6(cid:334)(cid:57)
1 = 1 = 1 (cid:60)
2n 26 641
(cid:224)(cid:251)(cid:351)(cid:352)(cid:339)(cid:70)(cid:54)(cid:307)(cid:229)(cid:59) (cid:60)
64
1
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10) (cid:60)
64
(cid:62)2(cid:67)(cid:204)(cid:62)1(cid:67)(cid:177)(cid:57)
1 + 1 + 1 + + 1 + 1 =1(cid:57)
2 22 23 26 26
⋯
(cid:224)(cid:251) 1 + 1 + 1 + + 1 =1− 1 = 63 (cid:60)
2 4 8 26 26 64
⋯
63
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10) (cid:60)
64
(cid:62)3(cid:67)(cid:204)(cid:21)(cid:177)(cid:57)
(cid:164)(cid:142)= 2 × 1+ 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:60)
3 3 32 33 32023
⋯
(cid:332)S=1+ 1 + 1 + + 1 (cid:57)
3 32 32023
⋯ ①
(cid:80) 1 S= 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:57)
3 3 32 33 32024
⋯ ②
- (cid:52)(cid:57)
科AA+
全
①2
s=1
②
−
1
(cid:57) 众
号★
3 32024 注 公
关
，
源
资
(cid:137)S= 3 − 1 (cid:57) 教 辅
2 2×32023
(cid:224)(cid:251)(cid:164)(cid:142)= 2 × 3 − 1
3 2 2×32023
1
=1− (cid:60)
32024
1
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:59)(cid:10)1− (cid:60)
32024
