专题23.2平行线分线段成比例(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(华东师大)

专题 23.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 “#”(cid:31)(cid:23)(cid:21)...................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 “X”(cid:31)(cid:23)(cid:21)..................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 “A”(cid:31)(cid:23)(cid:21)..................................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 “8”(cid:31)(cid:23)(cid:21).................................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:21)..............................................................................16
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:21)..................................................................................20
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:21)..................................................................................................25
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:55)(cid:56)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:21)......................................................................................................31
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:55)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..................................................................................................37
知识点 平行线分线段成比例
1. (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)
2. (cid:76)(cid:11)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:34) (cid:85) (cid:85) (cid:71)(cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:65)(cid:34)m(cid:71)n(cid:88)(cid:89)A(cid:71)B(cid:71)C(cid:71)D(cid:71)E(cid:71)F(cid:71)(cid:90) = (cid:71) =
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶
(cid:71) = (cid:71) (cid:75)
𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹
𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 ⋯
3. (cid:91)(cid:92)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:67)(cid:93)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:70)(cid:94)(cid:95)(cid:63)(cid:93)((cid:96)(cid:63)(cid:93)(cid:97)(cid:98)(cid:34))(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)
(cid:81)(cid:82)(cid:99)1(cid:100)(cid:101)(cid:82)(cid:99)2(cid:100)(cid:69)(cid:102)(cid:71) (cid:85) (cid:71)(cid:90)(cid:103) = (cid:71) = (cid:71) (cid:75)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 ⋯【题型1 判断比例式正误】
(cid:15)(cid:27)1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:117) (cid:42)(cid:93) (cid:101) (cid:101) (cid:118)(cid:71)
(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:101) (cid:71) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:28)(cid:124)(cid:67)△(cid:125)𝐴(cid:29)𝐵(cid:126)𝐶 (cid:42)(cid:127)𝐴(cid:99)𝐵(cid:128)𝐴(cid:128)𝐶(cid:100)𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐷𝐸 𝐺 𝐵𝐹𝐸𝐷
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 𝐵𝐷 A 𝐶𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐺 𝐹𝐺 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:139)(cid:72) = (cid:71)
(cid:71) (cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:143)(cid:144)(cid:35)(cid:131)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:54)(cid:75) 𝐷𝐸 𝐵𝐹
𝐸(cid:15)𝐹(cid:146)∥(cid:54)𝐴𝐵(cid:21)(cid:54)𝐷(cid:10)𝐸∥(cid:121)𝐵𝐶(cid:93)(cid:41) (cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)
= (cid:71) ∵ (cid:71)𝐵𝐹𝐸𝐷 (cid:71)
∴𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹∥𝐴𝐵 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= = = = (cid:71)(cid:147)A(cid:148)(cid:144)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐷𝐸
(cid:152)∴𝐵(cid:122)𝐷 𝐹𝐺 𝐶𝐸(cid:71)(cid:147)𝐶𝐹D(cid:148) 𝐶 (cid:144) 𝐹 (cid:153)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
𝐶𝐹≠𝐵𝐶
= (cid:71)(cid:147)B(cid:148)(cid:144)(cid:153)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
𝐴𝐸 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐵𝐶
= = = (cid:71)(cid:154) (cid:153)(cid:67)(cid:125)(cid:155)(cid:88) (cid:71)(cid:147)C(cid:148)(cid:144)(cid:153)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
𝐷𝐺 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐷
(cid:147)𝐸𝐺(cid:148)(cid:10)𝐹𝐶A(cid:75)𝐹𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:156)(cid:28)1-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:38) (cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:164)
= = =3(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:165)(cid:92)(cid:43)(cid:166)(cid:30)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100)𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹,𝐴𝐹 𝐵𝐸
𝐴𝐺 1,𝐺𝐷 2,𝐷𝐹
1 1 1 1
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
2 5 2 5
𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐺𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:125)(cid:137)(cid:172)(cid:173)(cid:127)(cid:54)(cid:129)(cid:60)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:71)(cid:39)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)
1
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)A(cid:75) (cid:71)(cid:90) = = (cid:71)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:147)(cid:60)(cid:148)(cid:144)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
2
𝐵𝐺 𝐴𝐺
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐺𝐶 𝐺𝐷 1 1
B(cid:75) (cid:71)(cid:90) = = = = (cid:71)(cid:166)(cid:30)(cid:71)(cid:147)(cid:60)(cid:148)(cid:144)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
1 2 3 6
𝐵𝐺 𝐴𝐺 𝐴𝐺
𝐴𝐵∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐺+𝐺𝐷+𝐷𝐹 + 1 + 2 1
C(cid:75) (cid:71)(cid:90) = = = = (cid:71)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:147)(cid:60)(cid:148)(cid:144)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
1 2 3 2
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐺+𝐺𝐷 +
𝐴𝐵∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐺+𝐺𝐷+𝐷𝐹
1
+1+
D(cid:75) (cid:71)(cid:90) = = = = (cid:71)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:147)(cid:60)(cid:148)(cid:144)(cid:153)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
2 3 5
𝐴𝐵 𝐴𝐺 𝐴𝐺
(cid:147)(cid:148)𝐴(cid:10)𝐵∥B𝐸(cid:75)𝐹 𝐸𝐹 𝐺𝐹 𝐺𝐷+𝐷𝐹 +
(cid:15)(cid:156)(cid:28)1-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:110)(cid:175)(cid:158)(cid:176)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71)(cid:89)D(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:89)E(cid:71)F(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:177)
(cid:71) (cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:165)(cid:92)(cid:43)(cid:71)(cid:166)(cid:30)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐹∥𝐵𝐸
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐷 𝐹𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 𝐴𝐸 D 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐸𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:163)(cid:178)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:180)(cid:181)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:163)(cid:178)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:139)(cid:72) = (cid:71) = (cid:71)(cid:182)(cid:183)(cid:180)(cid:181) (cid:71)(cid:139)(cid:72) = = (cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) 𝐴𝐸 𝐴𝐶 (cid:71) 𝐵𝐶 𝐵𝐸 △𝐷𝐹𝐸 ∽△𝐵𝐸𝐶 𝐸𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐹∥𝐵𝐸
= = (cid:71) = = (cid:71) = (cid:71) = (cid:71)
𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐴 𝐴𝐹
∴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸
= (cid:71) = (cid:71) (cid:71)
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∴𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐸 △𝐷𝐹𝐸∽ △𝐵𝐸𝐶
= (cid:71)
𝐸𝐹 𝐷𝐸
∴𝐸𝐶 𝐵𝐶
= (cid:71)
𝐴𝐷 𝐸𝐹
(cid:147)∴(cid:148)𝐴𝐵(cid:10)D 𝐸
.
𝐶
(cid:15)(cid:156)(cid:28)1-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:101) (cid:35)(cid:86)(cid:122) (cid:101) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:89) (cid:71)(cid:89) (cid:122) (cid:93)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87)
(cid:88)(cid:89) (cid:75)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:165)(cid:92)(cid:43)(cid:67)△(cid:125)𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:126)(cid:42)(cid:127)𝐷(cid:99)𝐸 (cid:100) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝐷𝐸
𝐺A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 𝐴𝐵 C 𝐸𝐶 𝐺𝐹 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐺𝐹 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:42)(cid:91)(cid:92)(cid:71)(cid:91)(cid:92)1(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:67)(cid:93)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:70)(cid:94)(cid:184)(cid:63)(cid:93)(cid:99)(cid:96)(cid:63)
(cid:93)(cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:100)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:151)(cid:91)(cid:92)2(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:67)(cid:93)(cid:71)(cid:185)(cid:177)(cid:179)(cid:94)(cid:184)(cid:63)(cid:93)(cid:163)(cid:87)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:70)
(cid:72)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:93)(cid:38)(cid:186)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:93)(cid:73)(cid:74)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:138)(cid:187)(cid:143)(cid:144)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:188)(cid:129)(cid:130)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= (cid:71)
𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:147)∴(cid:148)𝐴(cid:144)𝐵 A 𝐴 (cid:165) 𝐶 (cid:92)(cid:166)(cid:30)(cid:71)(cid:153)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71)
∵ △𝐴𝐹𝐶 𝐸𝐺∥𝐶𝐹
= (cid:71)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
∴ 𝐺𝐹(cid:153)(cid:67) 𝐸𝐶 (cid:125)(cid:155)(cid:88) (cid:71)
∵ 𝐸𝐶 𝐵𝐷
= (cid:153)(cid:67)(cid:125)(cid:29)(cid:126)(cid:71)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
(cid:147)∴(cid:148)𝐺(cid:144)𝐹 B 𝐵 (cid:165) 𝐷 (cid:92)(cid:166)(cid:30)(cid:71)(cid:153)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= (cid:71)
𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:147)∴(cid:148)𝐴(cid:144)𝐷 C 𝐴 (cid:165) 𝐸 (cid:92)(cid:29)(cid:126)(cid:71)(cid:149)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71)
∵ △𝐴𝐹𝐶 𝐸𝐺∥𝐶𝐹
= (cid:71)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
(cid:147)∴(cid:148)𝐺(cid:144)𝐹 D 𝐸 (cid:165) 𝐶 (cid:92)(cid:166)(cid:30)(cid:71)(cid:153)(cid:46)(cid:22)(cid:150)(cid:151)
(cid:147)(cid:148)C(cid:75)
【题型2 “#”字型】
(cid:15)(cid:27)2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:189)(cid:110)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) (cid:71)(cid:89)E(cid:117) (cid:118)(cid:71) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
F(cid:71)(cid:164) =1:3(cid:71) =3(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸𝐹∥𝐴𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐸:𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐹𝐶A(cid:75)6 B(cid:75)4 C(cid:75)5 D(cid:75)4.5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:129)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) =1:3(cid:71)
=1:2∵(cid:71)𝐴𝐸:𝐴𝐵
∴(cid:117)𝐴𝐸(cid:121):𝐸(cid:93)𝐵(cid:41) (cid:43)(cid:71) (cid:71) (cid:71)
∵ 𝐴𝐵𝐶(cid:71)𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸𝐹∥𝐴𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶∥1𝐸𝐹 3
= (cid:145) = (cid:71)
2
𝐴𝐸 𝐷𝐹
(cid:54)∴𝐸(cid:72)𝐵 𝐹𝐶 =6(cid:75) 𝐹𝐶
(cid:147)(cid:148)𝐹(cid:10)𝐶A(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)2-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:197)(cid:198)(cid:98)(cid:199)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71)(cid:164) =2(cid:71)(cid:90) (cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐹
2 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75)2 D(cid:75)3
3 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:200)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:201) = =2(cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) =2(cid:71)
𝐴𝐵
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐵𝐶
= =2(cid:71)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐸𝐹
2
𝐵𝐶
= (cid:71)
3
𝐷𝐸
∴(cid:147)𝐷(cid:148)𝐹 (cid:10)A(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)2-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:34)a b c(cid:71)(cid:89)A(cid:71)B(cid:117)(cid:65)(cid:34)a(cid:118)(cid:71)(cid:89)C(cid:71)D(cid:117)(cid:65)(cid:34)c(cid:118)(cid:71)(cid:34)(cid:36)AC(cid:71)BD(cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:65)(cid:34)b
∥ ∥
(cid:88)(cid:89)E(cid:71)F(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:34)(cid:36)(cid:42)(cid:26)(cid:38) (cid:67)(cid:125)(cid:163)(cid:155)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100)
𝐴𝐸
𝐴𝐶A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
𝐶𝐸 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)𝐴𝐶
B
𝐵𝐷 𝐹𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:201) = .
𝐵𝐹 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) a b c(cid:71) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
∵ ∥ ∥
= (cid:71)
𝐵𝐹 𝐴𝐸
∴𝐹𝐷 𝐸𝐶
= (cid:151)
𝐵𝐹 𝐴𝐸
∴ (cid:147)𝐵(cid:148)𝐷 (cid:203) 𝐴 (cid:10) 𝐶 B.
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:54)
(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)2-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:110)(cid:175)(cid:205)(cid:191)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:71)(cid:164) =3(cid:71) =4(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:206)
𝐵𝐷
(cid:127)(cid:99) (cid:100) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐹
4 4 3 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
7 3 7 4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)C
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:42)(cid:74)(cid:52)(cid:71)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:86)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)
(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:208)(cid:188)(cid:34)(cid:36) (cid:101) (cid:38) (cid:101) (cid:42)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:209)(cid:71)(cid:140)(cid:182)(cid:183)(cid:83)(cid:84)(cid:34)(cid:36)(cid:98)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:26)(cid:206)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) 𝐵𝐷 (cid:71)𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐸
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹
= (cid:71)
𝐵𝐷 𝐴𝐶
∴𝐵𝐹 = 𝐴 3 𝐸 (cid:71) =4(cid:71) = + =7(cid:71)
∵𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐸3
= (cid:71)
7
𝐵𝐷
(cid:147)∴(cid:148)𝐵𝐹(cid:10)C(cid:75)
【题型3 “X”字型】
(cid:15)(cid:27)3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:197)(cid:198)(cid:98)(cid:199)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:101) (cid:88)(cid:89) (cid:101) (cid:101) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:101)
(cid:88)(cid:89) (cid:101) (cid:101) (cid:71)(cid:164) =6(cid:71) =4(cid:71) =3(cid:71)(cid:90)(cid:34)𝑎(cid:36)∥𝑏∥𝑐 (cid:42)𝑚(cid:98)(cid:122)(cid:99) 𝑎 (cid:100)𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐
𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐷𝐸
A(cid:75)1.5 B(cid:75)4.5 C(cid:75)7.5 D(cid:75)10.5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:213)(cid:212)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:84)(cid:207)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)
(cid:174)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) =6(cid:71) =4(cid:71) =3(cid:71)
6∵𝑎∥𝑏∥𝑐 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹
= (cid:71)(cid:145) = (cid:71)
4 3
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 𝐸
1
𝐹
8 9
= = =4.5(cid:71)
4 2
(cid:147)∴𝐷(cid:148)𝐸(cid:10)B(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)3-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:47)(cid:214)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71) (cid:38) (cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:164) = =3(cid:71)
𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐵𝐸 𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐹
=1(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:206)(cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐵𝐶
𝐺𝐷 𝐵𝐸
3 2 3 4
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
4 3 7 7
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:141)(cid:142) (cid:71)(cid:72)(cid:201) = (cid:71)(cid:140)(cid:215)(cid:216)(cid:76)(cid:142)(cid:211)(cid:212)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹
3∵𝐴1𝐵∥𝐶4𝐷∥𝐸𝐹
= = = (cid:71)
3 1 3 7
𝐵𝐶 𝐴𝐷 +
(cid:147)∴𝐵(cid:148)𝐸 (cid:10)𝐴D𝐹(cid:75) + +
(cid:15)(cid:156)(cid:28)3-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:34) (cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:38)(cid:65)(cid:34) (cid:101) (cid:101)
(cid:87)(cid:88)A(cid:101)B(cid:101)C(cid:39)(cid:89)(cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:38)(cid:65)(cid:34) (cid:101) (cid:101) (cid:87)(cid:88)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:39)𝑙(cid:89) 1 ∥(cid:71)𝑙2∥(cid:38)𝑙3 (cid:87)(cid:88)𝐴𝐶(cid:89)O(cid:71)(cid:164) =𝑙1 𝑙2 (cid:71)𝑙3
=3(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127) 𝐷(cid:75)𝐹 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)6
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:151)(cid:169)(cid:217)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:127)(cid:54)(cid:218)(cid:219)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:72)(cid:188)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:188)(cid:165)(cid:220)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:65)(cid:34) (cid:71)
∵
𝑙1 ∥𝑙2∥𝑙3
= (cid:71)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 (cid:71) =3(cid:71)
∵𝐵𝐶=3𝐴(cid:71)𝐵 𝐷𝐸
∴𝐸𝐹 = + =3+3=6(cid:71)
∴(cid:147)𝐷(cid:129)𝐹(cid:130)(cid:122)𝐸𝐷(cid:10)6(cid:75)𝐸𝐹
(cid:15)(cid:156)(cid:28)3-3(cid:21)(cid:83)(cid:84)(cid:39)(cid:64)(cid:221)(cid:163)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:65)(cid:34) (cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:70)(cid:65)(cid:34)l (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:70)(cid:65)(cid:34) (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:65)(cid:34)
4
(cid:38) (cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)(cid:177) =3 2(cid:71) =𝑙1 50𝑙2(cid:71) 𝑙3 =8(cid:71) =2(cid:75) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑙5 𝐷 𝐸 𝐹 𝑙4
𝑙5 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝑂
(1)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:151)
𝐷𝐸(2)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:75)
𝑂𝐵 24
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)
5
5 2
(2)
4
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:99)1(cid:100)(cid:138) (cid:71)(cid:91)(cid:188) = (cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:151)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝑙1∥𝑙2∥𝑙3 𝐸𝐹 𝐶𝐵
(cid:99)2(cid:100)(cid:138) (cid:71)(cid:91)(cid:188) = (cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
𝑂𝐵 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)𝐵(cid:99)𝐸
1
∥(cid:100)𝐴𝐷(cid:54)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐷𝐸(cid:71)
∵𝑙1∥𝑙2∥𝑙3
= (cid:71)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐸𝐹 𝐶𝐵
3 2
= (cid:71)
8 50
𝐷𝐸
∴
24
= (cid:151)
5
∴(cid:99)𝐷 2 𝐸(cid:100)(cid:54)(cid:10) (cid:71)
∵𝐵𝐸∥𝐴𝐷
= (cid:71)
𝑂𝐵 𝑂𝐸
∴𝐴𝐵 𝐷2𝐸
= (cid:71)
24
3 𝑂𝐵 2 5
∴
5 2
= (cid:75)
4
∴(cid:15)𝑂(cid:89)𝐵(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:127)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:222)(cid:88)(cid:43)(cid:132)(cid:223)(cid:132)
(cid:22)(cid:23)(cid:75)
【题型4 “A”字型】
(cid:15)(cid:27)4(cid:21)(cid:99)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:158)(cid:224)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:225) (cid:93)(cid:226)(cid:227)(cid:32)(cid:228)(cid:72)(cid:201) (cid:71)(cid:164) = =6(cid:71)
=4(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐸𝐶 2𝐵𝐸
𝐶𝐺 𝐷𝐹
A(cid:75)6 B(cid:75)8 C(cid:75)9 D(cid:75)10
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:228)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)
(cid:200)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:228)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:72) (cid:71) = (cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:188) (cid:71)(cid:187)(cid:22)(cid:139)(cid:54)(cid:75)
𝐴𝐵∥𝐸𝐺 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐺(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:229) (cid:225)(cid:230) (cid:93)(cid:226)(cid:227)(cid:32)(cid:228)(cid:72)(cid:201) (cid:71)
(cid:71) ∵= △𝐴(cid:71)𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐺 𝐴𝐶 𝐷𝐹
= =2.
𝐶𝐸 𝐶𝐺
∴𝐵𝐸
=
𝐴
4
𝐺(cid:71)
∵𝐶𝐺 =2(cid:71)
∴𝐴𝐺 = = + =6(cid:75)
∴(cid:147)𝐷(cid:148)𝐹(cid:10)A𝐴(cid:75)𝐶 𝐴𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:156)(cid:28)4-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:231)(cid:17)(cid:232)(cid:233)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:127)(cid:93) (cid:71) (cid:118)(cid:42)(cid:89)(cid:71)(cid:177)
(cid:75)(cid:164) =2(cid:71) =4(cid:71) =1(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸𝐹∥
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶
1
A(cid:75) B(cid:75)1 C(cid:75)2 D(cid:75)3
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)C
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:213)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:54)(cid:22)(cid:3)(cid:174)(cid:127)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:201)(cid:73)(cid:74)(cid:93)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:93)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:123)(cid:188)(cid:155)(cid:28)(cid:71)(cid:215)(cid:216)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:42)(cid:98)(cid:210)(cid:71)(cid:53)(cid:188) (cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) 𝐹𝐶
∵2𝐸𝐹∥1𝐵𝐶
= (cid:71)(cid:145) = (cid:71)
4
𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:54)∴(cid:72)𝐸𝐵(cid:10) 𝐹𝐶 =2(cid:71) 𝐹𝐶
(cid:147)(cid:148)(cid:10)𝐹C(cid:75)𝐶
(cid:15)(cid:156)(cid:28)4-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:157)(cid:158)·(cid:43)(cid:132)(cid:234)(cid:22)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:102)(cid:42)(cid:235)(cid:236)(cid:43)(cid:71)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:29)(cid:240)(cid:41)(cid:42)(cid:93)(cid:98)(cid:241)(cid:122)1(cid:71) (cid:42)(cid:39)(cid:238)(cid:242)(cid:89)(cid:241)
(cid:117)(cid:235)(cid:236)(cid:34)(cid:42)(cid:87)(cid:89)(cid:118)(cid:71)(cid:89)D(cid:101)E(cid:35)(cid:86)(cid:127)(cid:93) (cid:101) (cid:38)(cid:235)(cid:236)(cid:34)(cid:42)(cid:87)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)△(cid:99)𝐴 𝐵 (cid:100)𝐶
𝐵𝐴 𝐶𝐴 𝐷𝐸 𝐷𝐸
1
A(cid:75) B(cid:75)1 C(cid:75) 2 D(cid:75) 3
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:180)(cid:181)(cid:188) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:3)
1 𝐷𝐸1 △𝐴𝐵𝐶
(cid:174)(cid:75)(cid:243)(cid:236)(cid:89) (cid:101) (cid:71)(cid:138)(cid:235)(cid:236)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:139)(cid:84)(cid:71) (cid:71)(cid:72)(cid:201) = = (cid:71) = = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:180)(cid:181) (cid:127) (cid:42)
2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺
(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:145)𝐺(cid:139)(cid:53)𝐻(cid:54)(cid:75) 𝐸𝐺∥𝐶𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝐻 𝐴𝐶 𝐴𝐻 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:243)(cid:236)(cid:89) (cid:101) (cid:71)
𝐺 𝐻
(cid:138)(cid:235)(cid:236)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:139)(cid:84)(cid:71) (cid:71)
2 1 𝐸𝐺∥𝐶𝐻 2 1
= = = (cid:71) = = = (cid:71)
4 2 4 2
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺
∴𝐴𝐵(cid:101) (cid:35)𝐴𝐻(cid:86)(cid:127) (cid:101) 𝐴𝐶 (cid:42)(cid:43)𝐴𝐻(cid:89)(cid:71)
∴𝐷 (cid:127)𝐸 𝐴(cid:42)𝐵(cid:43)(cid:44)𝐴𝐶(cid:34)(cid:71)
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝐶
= =1(cid:71)
2
(cid:147)∴(cid:148)𝐷𝐸(cid:10)B(cid:75)𝐵𝐶
(cid:15)(cid:156)(cid:28)4-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:231)(cid:17)(cid:232)(cid:233)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)3×4(cid:42)(cid:29)(cid:240)(cid:41)(cid:235)(cid:236)(cid:43)(cid:71) (cid:101) (cid:101) (cid:122)(cid:236)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)
(cid:87)(cid:183)(cid:89) (cid:42)(cid:244)(cid:32)(cid:236)(cid:34)(cid:88)(cid:89) (cid:75)(cid:164)(cid:239)(cid:29)(cid:240)(cid:41)(cid:93)(cid:98)(cid:122)1(cid:71)(cid:90) = (cid:75)𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷
𝐴 𝐸 𝐶𝐸
61
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)
3
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:53)(cid:188) (cid:42)(cid:98)(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)
(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:188)(cid:155)(cid:28)(cid:53)(cid:188) (cid:42)(cid:98)(cid:145)(cid:139)(cid:75) 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:102)𝐶(cid:71)𝐸1 1
(cid:138) (cid:117)(cid:235)(cid:236)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:247)(cid:71)(cid:139)(cid:84) = = = (cid:71)
2 2
𝐴𝐵 5 𝑀𝐷 𝑁𝐷 𝑀𝑁
= + = (cid:71)
2
∴𝐷𝐹 𝐷𝑁 𝐹𝑁
5 61
(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71) = + = 3 + = (cid:71)
2 2 2
2 2 2
△𝐶𝐷(cid:71)𝐹 𝐶𝐷 𝐷𝐹 𝐶𝐹
∵𝐸𝐺∥𝐷𝐹 2
= = (cid:71)
3
𝐶𝐸 𝐶𝐺
∴𝐶𝐷 𝐶2𝐹
= (cid:71)
61 3
𝐶𝐸
2
∴
61
(cid:54)(cid:72)(cid:10) = (cid:75)
3
𝐶𝐸 61
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10) (cid:75)
3
【题型5 “8”字型】
(cid:15)(cid:27)5(cid:21)(cid:99)2025·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:191)·(cid:39)(cid:192)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:43)(cid:71)E(cid:122)(cid:73)(cid:40)(cid:34) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:183)(cid:89)E(cid:42)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:93) (cid:71)
(cid:88)(cid:89)F(cid:71)G(cid:71)(cid:87)(cid:251)(cid:34) (cid:71) (cid:88)(cid:89)M(cid:71)▱N(cid:75)𝐴𝐵(cid:164)𝐶𝐷 =3(cid:71) =2(cid:71)𝐵𝐷(cid:90) (cid:42)(cid:206)(cid:122)(cid:99) (cid:100)𝑀𝑁 𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝑀𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐺⋅𝐸𝑁
A(cid:75)6 B(cid:75)8 C(cid:75)10 D(cid:75)15
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)C
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:139)(cid:72)
(cid:71)(cid:140)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:139)(cid:72) = (cid:71) = (cid:71)(cid:252)(cid:154)(cid:72)(cid:201) = (cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
𝐸𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐸𝐺 𝐸𝐹
𝐴(cid:15)𝐷(cid:146)∥(cid:54)𝐵𝐶(cid:21),𝐴(cid:54)𝐵(cid:10)∥𝐶𝐷(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71) 𝑀𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝑀𝐸 𝐸𝑁
∵ (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:71) = (cid:71)
𝐸𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐸
∴𝑀𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝑁 𝐷𝐸
= (cid:71)
𝐸𝐺 𝐸𝐹
∴𝑀𝐸 = 𝐸 3 𝑁 (cid:71) =2(cid:71)
∵𝑀𝐹 2 𝐸𝐹
= (cid:71)
3 2
𝐸𝐺
∴ + 𝐸𝑁 =10(cid:75)
∴(cid:147)𝐸(cid:148)𝐺(cid:10)⋅𝐸C𝑁
(cid:15)(cid:156)(cid:28)5-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) (cid:42)(cid:32)(cid:35)(cid:34)BF(cid:35)(cid:86)(cid:38)AC(cid:101)AD(cid:87)(cid:88)(cid:89)E(cid:101)F(cid:71) =3(cid:71)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
=2(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:206)(cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐸𝐹
𝐹𝐷 𝐹𝐵
2 3 3 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
5 8 7 5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:180)(cid:72)AD BC(cid:71)AD=BC(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:179)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:254)(cid:255)(cid:155)(cid:40)(cid:73)
(cid:155)(cid:93)(cid:180)(cid:72)AF=AB=3(cid:71)BC=5(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)∥(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:179)(cid:26)(cid:27)(cid:135)(cid:136)(cid:53)(cid:54)(cid:145)(cid:139)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:121)(cid:93)(cid:41)ABCD(cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)
AD BC(cid:71)AD=∵BC(cid:71)
∴ AF∥B= CBF(cid:71)
∴B∠F(cid:32)(cid:35)∠ ABC(cid:71)
∵ ABF= ∠CBF(cid:71)
∴∠ABF=∠AFB(cid:71)
∴A∠F=AB=∠3(cid:71)(cid:256)FD=2(cid:71)
∴BC=AD=AF+FD=5(cid:71)
∴AD BC(cid:71)
∵ ∥ 3
= = (cid:71)
5
𝐸𝐹 𝐴𝐹
∴𝐵𝐸 𝐵𝐶3
= (cid:71)
8
𝐸𝐹
∴ (cid:147)𝐹(cid:148)𝐵 (cid:10)B(cid:75)
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:101)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)
(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:135)(cid:136)(cid:155)(cid:84)(cid:207)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:163)(cid:3)(cid:84)(cid:207)(cid:42)(cid:258)(cid:209)(cid:38)(cid:213)(cid:52)(cid:127)(cid:54)(cid:129)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)5-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)AB(cid:71)CD(cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89)E(cid:71)(cid:177)AC EF DB(cid:71)(cid:89)C(cid:71)F(cid:71)B(cid:117)(cid:259)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:118)(cid:71)(cid:83)(cid:84)AC(cid:260)p(cid:71)EF(cid:260)
r(cid:71)DB(cid:260)q(cid:71)(cid:90)p(cid:71)q(cid:71)r(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:42)(cid:76)(cid:265)(cid:3)(cid:209)(cid:28)(cid:127)∥(cid:99)(cid:128)∥(cid:128)(cid:100)
A(cid:75) 1 + 1 = 1 B(cid:75) 1 + 1 = 2 C(cid:75) 1 + 1 = 1 D(cid:75) 1 + 1 = 2
𝑟 𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 𝑟 𝑝
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)C
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:139)(cid:180)(cid:72) = (cid:71) = (cid:71)(cid:63)(cid:28)(cid:163)(cid:266)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:188)(cid:165)(cid:92)(cid:75)
𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) // (cid:71) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶
∵𝐴𝐶 𝐸𝐹
= (cid:71)
𝐸𝐹 𝐵𝐹
∴ 𝐴𝐶 // 𝐵𝐶 (cid:71)
∵𝐸𝐹 𝐷𝐵
= (cid:71)
𝐸𝐹 𝐶𝐹
∴ 𝐵𝐷 𝐵𝐶
+ = + = = =1(cid:71)(cid:145) + =1(cid:71)
𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝐹+𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝑟 𝑟
∴ 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑝 𝑞
1 + 1 = 1 (cid:75)
∴ 𝑝 𝑞 𝑟
(cid:147)(cid:148)(cid:10)C(cid:75)
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:42)(cid:213)(cid:52)(cid:71)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:72)(cid:188)(cid:34)(cid:36)(cid:42)(cid:26)(cid:127)
(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)5-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71)E(cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)F(cid:122) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71) (cid:38) (cid:87)(cid:88)(cid:89)H(cid:71) =3cm(cid:71)
=6cm(cid:71) =4cm(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)𝐴𝐵(cid:122)𝐶(cid:99)𝐷(cid:128)(cid:128)(cid:100) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐻
𝐸𝐻 𝐴𝐻 𝐻𝐶A(cid:75)22cm B(cid:75)20cm C(cid:75)18cm D(cid:75)16cm
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:57)(cid:58)(cid:268)(cid:269)
(cid:34)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:238)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:267)(cid:155)(cid:127)(cid:3)(cid:174)(cid:151)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:255)(cid:43)(cid:89)(cid:64)(cid:270)(cid:139)(cid:180)(cid:181)
(cid:71)(cid:72) = (cid:151)(cid:140)(cid:138)(cid:32)𝐹𝐸(cid:33)(cid:34)𝐶𝐵(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:72)(cid:165)(cid:220)(cid:75)
(cid:15)△(cid:146)𝐴𝐹(cid:54)𝐸(cid:21)≌(cid:54)△(cid:10)𝐵𝐺(cid:97)𝐸(cid:98) 𝐸(cid:87)𝐺 (cid:42)𝐸𝐹(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:102)(cid:10)
(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:127)(cid:32)𝐹(cid:33)𝐸(cid:121)(cid:93)𝐶𝐵(cid:41)(cid:71)
∵ 𝐴(cid:71)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:71) = (cid:71)
∴E∠𝐸(cid:122)𝐴𝐹 (cid:42)∠(cid:43)𝐸𝐵(cid:89)𝐺(cid:71)∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐵𝐺𝐸
∵ =𝐴𝐵 (cid:71)
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 (AAS)(cid:71)
∴△𝐴=𝐹𝐸≌(cid:71)△𝐵𝐺𝐸
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐹 + =3+6=9(cm)(cid:71)
∵𝐸𝐹 =𝐸9c𝐻m(cid:71)𝐹𝐻
∴𝐸𝐺 = + =9+6=15(cm)(cid:71)
∴𝐺𝐻 𝐺𝐸(cid:71) 𝐸𝐻
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶
= (cid:71)
𝐴𝐻 𝐹𝐻
∴𝐶𝐻
4
𝐺𝐻
3
(cid:145) = (cid:71)
15
𝐶𝐻
(cid:54)(cid:72)(cid:10) =20cm(cid:75)
(cid:147)(cid:148)(cid:10)𝐶B(cid:75)𝐻【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
(cid:15)(cid:27)6(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:271)(cid:191)(cid:272)(cid:273)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:155)(cid:257)Rt (cid:43)(cid:71) = = (cid:127)(cid:34)(cid:36) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)
(cid:119)(cid:120) =15°(cid:71)(cid:229)(cid:34)(cid:36) (cid:274)(cid:89) (cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)90°(cid:72)(cid:201) (cid:71)(cid:119)△(cid:120)𝐴𝐵𝐶(cid:87) 𝐴(cid:88)𝐶(cid:89) 𝐵(cid:71)𝐶(cid:90) 3(cid:42),𝐷(cid:98)(cid:210)(cid:122)𝐵 𝐶 (cid:75)
𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝐹
3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)
2
3−
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:278)(cid:279)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:38)(cid:24)(cid:125)(cid:71)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:54)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:151)(cid:97)(cid:98) (cid:280)(cid:89)
(cid:71)(cid:281) = (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:278)(cid:279)(cid:254)(cid:255)(cid:155)(cid:257)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:180)(cid:181) (SAS)(cid:71)(cid:202)(cid:154)𝐵𝐶(cid:72)(cid:188)
𝐶 = 𝐶𝐺 𝐵𝐶 = 𝐴𝐺,=𝐸𝐺45°(cid:71)(cid:180)(cid:181) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:54)Rt △(cid:72)𝐴(cid:188)𝐵𝐷≌(cid:71)△(cid:202)𝐴(cid:154)𝐺𝐸(cid:141)(cid:142)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)
𝐸(cid:145)𝐺(cid:139)(cid:53)𝐵(cid:54)𝐷,(cid:75)∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐹 △𝐵𝐺𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:280)(cid:89) (cid:71)(cid:281) = (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)
𝐵𝐶 𝐶 𝐶𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐺,𝐸𝐺
= = =90°(cid:71)
(cid:122)(cid:155)(cid:257)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)∵(cid:41)𝐶(cid:71)𝐴 𝐶=𝐵 𝐶(cid:71)𝐺,∠𝐴𝐶𝐵
(cid:256)∴△𝐴𝐵𝐺 = =90°(cid:71) 𝐴𝐵 𝐴𝐺
∵∠𝐵𝐴=𝐺 ∠𝐷𝐴𝐸
∴∠𝐵𝐴(cid:278)𝐷(cid:279)(cid:72)∠(cid:201)𝐺𝐴𝐸 (cid:71)
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴𝐴𝐷 𝐴𝐸 (SAS)(cid:71)
∴△𝐴𝐵=𝐷≌△𝐴𝐺𝐸= =45°(cid:71)
∴𝐸𝐺 𝐵𝐷,∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶=45°
∵∠𝐴𝐺𝐶 =90°(cid:71)
∴∠𝐶𝐺𝐸 =90°
∵∠𝐴𝐶𝐵
∴𝐶𝐹∥𝐸𝐺
= =1
𝐵𝐹 𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 = 𝐶𝐺 (cid:71)
∴𝐵𝐹 (cid:127)𝐸𝐹 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴𝐶𝐹 1△𝐵𝐺𝐸
=
2
∴𝐶𝐹 = 𝐸𝐺 4 . 5°(cid:71) =15°(cid:71)
∵∠𝐵𝐴𝐶=30° ∠𝐵𝐴𝐷
∴(cid:117)∠R𝐷t𝐴𝐶 (cid:43)(cid:71) = 3(cid:71)
△=𝐴𝐶𝐷3 𝐶𝐷
∴𝐵𝐷 31− 1 3
= = = (cid:71)
2 2 2
3−
(cid:147) ∴ (cid:129) 𝐶𝐹 (cid:130)(cid:122) 𝐸 (cid:10) 𝐺 3− 3 (cid:75) 𝐵𝐷
2
(cid:15)(cid:156)(cid:28)6-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:282)(cid:158)(cid:283)(cid:191)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71)(cid:73)(cid:40)(cid:34) (cid:71) (cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)
(cid:75)(cid:164) =4(cid:71)(cid:90)(cid:34)(cid:36) (cid:42)(cid:98)(cid:122) (cid:75) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝑂𝐸∥𝐶𝐷 𝑂𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)8
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:180)(cid:181) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)
(cid:125)(cid:137)(cid:53)(cid:54)(cid:75) 𝑂𝐸 △𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)
= (cid:71) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐵(cid:122) 𝑂𝐷(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∴𝑂 𝐵𝐷(cid:71)
∵𝑂𝐸∥𝐶𝐷
= (cid:71)
𝐵𝑂 𝐵𝐸
∴𝑂𝐷 𝐶𝐸= (cid:71)
∴𝐵(cid:122)𝐸 𝐸(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∴𝐸 (cid:122)𝐵𝐶 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴𝑂𝐸=△𝐵𝐶=𝐷8(cid:75)
∴(cid:147)𝐶(cid:129)𝐷(cid:130)(cid:122)2𝑂(cid:10)𝐸8(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)6-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:172)(cid:284)(cid:285)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:71)E(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
F(cid:71)(cid:164) (cid:71) = =8(cid:71)(cid:90)(cid:34)(cid:36) (cid:42)(cid:98)𝐵𝐷(cid:122) △ 𝐴(cid:75)𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐵𝐷
𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 𝐶𝐸 2𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)10
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:200)(cid:180)(cid:181) (ASA)(cid:71)(cid:243) (cid:42)(cid:43)(cid:89)G(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:90) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:145) =
𝐶𝐷 𝐶𝐹
=1(cid:71)(cid:180)(cid:181) (cid:127)△𝐵𝐸𝐹≌(cid:42)△(cid:43)𝐵(cid:44)𝐶(cid:34)𝐹(cid:71)(cid:286)(cid:287)(cid:141)(cid:142)𝐴𝐷(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:211)(cid:212)(cid:145)(cid:139)𝐸.𝐺 𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐷 𝐷𝐺 𝐹𝐸
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21) E𝐷(cid:127)𝐹 △(cid:42)𝐶(cid:43)𝐸𝐺(cid:89)(cid:71)
∵ 1𝐴𝐵
= = (cid:75)
2
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸(cid:71) 𝐴𝐵
∵𝐶𝐸⊥𝐵=𝐷 =90°(cid:75)
∴∠𝐵𝐹(cid:127)𝐸 ∠𝐵𝐹(cid:42)𝐶(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:71)
∵𝐵𝐷 △=𝐴𝐵𝐶 (cid:75)
∴(cid:256)∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐶(cid:71)𝐵𝐹
∵𝐵𝐹 𝐵𝐹 (ASA)(cid:71)
∴△𝐵=𝐸𝐹≌(cid:75)△𝐵𝐶𝐹
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹 =8(cid:71)
∵𝐶𝐸 =2𝐵𝐷= =4(cid:75)
(cid:81)∴𝐸(cid:82)𝐹(cid:71)(cid:243)𝐶𝐹 (cid:42)𝐵𝐷(cid:43)(cid:89)G(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)
(cid:127) 𝐴𝐷 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71) 𝐸𝐺
∴𝐸𝐺 △1 𝐴𝐵𝐷1
= = ×4=2(cid:71) (cid:71)
2 2
∴𝐸𝐺 𝐵𝐷 𝐸𝐺∥𝐵𝐷= =1(cid:71)
𝐶𝐷 𝐶𝐹
∴𝐷𝐺 = 𝐹𝐸 (cid:75)
(cid:256)∴𝐷𝐺 =𝐶𝐷 (cid:71)
∵𝐸(cid:127)𝐹 𝐶𝐹 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴𝐷𝐹 △1 𝐶𝐸𝐺1
= = ×2=1(cid:71)
2 2
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐺 = =3(cid:75)
∴𝐵𝐹 𝐵𝐷−𝐷𝐹 4−1
(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71) = + = 3 +4 =5(cid:71)
2 2 2 2
=△𝐵𝐸𝐹=2×𝐵𝐸5=10𝐵(cid:75)𝐹 𝐸𝐹
∴𝐴𝐵 2𝐵𝐸
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10)10.
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)
(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:288)(cid:84)(cid:207)(cid:89)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174).
(cid:15)(cid:156)(cid:28)6-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)DE(cid:101)NM(cid:35)(cid:86)(cid:127) ABC(cid:101) ADE(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)NM(cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:87)BC(cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:90) (cid:10)S
(cid:121)(cid:93)(cid:41)
(cid:155)(cid:88)(cid:99) (cid:100) △ △ 𝑆△𝐷𝑀𝑁
MFCE
A(cid:75)1(cid:10)5 B(cid:75)1(cid:10)4 C(cid:75)2(cid:10)5 D(cid:75)2(cid:10)7
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:183)N(cid:55)NH DE(cid:88)H(cid:71)(cid:183)A(cid:55)AP BC(cid:88)P(cid:87)DE(cid:88)G(cid:71)(cid:72)(cid:201)NM AG(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:72)(cid:201)
⊥ 1 1⊥ ∥
DE BC(cid:71)(cid:72)(cid:201)AG(cid:260)PG(cid:71)(cid:53)(cid:72)NM(cid:260) AG(cid:260) PG(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:201)(cid:165)(cid:92)(cid:75)
2 2
(cid:15)(cid:146)∥ (cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)(cid:183)N(cid:55)NH DE(cid:88)H(cid:71)(cid:183)A(cid:55)AP BC(cid:88)P(cid:87)DE(cid:88)G(cid:71)
NM AG(cid:71) ⊥ ⊥
∴ ∥DE(cid:127) ABC(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∵DE BC△(cid:71)
∴AG∥(cid:260)PG(cid:71)
∴M(cid:127)DE(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∵ 1
DM(cid:260)ME(cid:260) DE(cid:71)
2
∴NM AG(cid:71)AN(cid:260)DN(cid:71)
∵NM ∥ 1
(cid:260) (cid:260) (cid:71)
AG 2
𝐷𝑁
∴ 𝐴 1 𝐷 1
NM(cid:260) AG(cid:260) PG(cid:71)
2 2
∴DM(cid:260)ME(cid:71)
∵ 1 1
S (cid:10)S (cid:260)2 (cid:260)2 (cid:260)1(cid:10)4(cid:75)
DMN (cid:121)(cid:93)(cid:41)MFCE
𝐷𝑀⋅𝑁𝐻 𝐷𝑀⋅𝑁𝐻
(cid:147)∴ (cid:148)△ (cid:10)B(cid:75) 𝐸𝑀⋅𝑃𝐺 2𝐷𝑀⋅𝑁𝑀
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:255)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:75)(cid:60)(cid:22)(cid:3)(cid:174)(cid:127)(cid:208)(cid:291)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:209)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
(cid:15)(cid:27)7(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:127) (cid:179)
(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71) (cid:98)(cid:122)𝐺12(cid:71)△(cid:90)𝐴𝐵𝐶(cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100)𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐸 𝑃 𝑄 △𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 𝑃𝑄
A(cid:75)2 B(cid:75)2(cid:75)5 C(cid:75)3 D(cid:75)4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
1
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71)(cid:185)(cid:97)(cid:98)(cid:71)(cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:88)(cid:67)(cid:89) (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71)(cid:138)(cid:22)(cid:150)(cid:292)(cid:72) (cid:71) = (cid:71)
2
𝐸𝑃 𝐷𝑄 𝐵𝐶 𝐹 𝐸𝐷 𝑃𝑄 𝐸𝐷∥𝐵𝐶 𝐸𝐷 𝐵𝐶 𝑃𝑄∥1
(cid:71) = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
3
𝐸(cid:15)𝐷(cid:146)(cid:54)𝑃𝑄(cid:21)(cid:54)(cid:10)𝐸𝐷(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71)(cid:185)(cid:97)(cid:98)(cid:71)(cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:88)(cid:67)(cid:89) (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:102)(cid:10)
𝐸𝑃 𝐷𝑄 𝐵𝐶 𝐹 𝐸𝐷 𝑃𝑄
(cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)
∵𝐺 =△𝐴𝐵(cid:71)𝐶 = (cid:71) 𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐸
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 1 𝐷𝐶
(cid:71) = (cid:71)
2
∴(cid:256)𝐸𝐷∥𝐵𝐶(cid:35)(cid:86)𝐸(cid:127)𝐷 𝐵𝐶 (cid:179) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)
∵𝑃,𝑄 △𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
= =2(cid:71)
𝐸𝑃 𝐷𝑄
∴𝑃𝐹 𝑄𝐹
1
(cid:71) = (cid:71)
3
∴𝑃𝑄∥𝐸𝐷 𝑃𝑄 𝐸𝐷
1 1 1
= × = (cid:71)
3 2 6
∴𝑃𝑄 𝐵𝐶 𝐵𝐶
=12
∵𝐵𝐶 =2
∴(cid:147)𝑃(cid:148)𝑄(cid:10)A(cid:75)
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:255)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:255)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:36)
(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)7-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71) =90°(cid:71) =30°(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:185)(cid:97)(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:55) (cid:88)
𝐺 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐵 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐷 𝐷𝐸⊥𝐶𝐵
(cid:89) (cid:71)(cid:183)(cid:89) (cid:55) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:206)(cid:122)(cid:99)(cid:128)(cid:128)(cid:100)
𝐺𝐹
𝐸 𝐺 𝐺𝐹∥𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐹 𝐷𝐸
4 3 2 3
A(cid:75)1 B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
3 2 3(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
1
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:293)(cid:200)(cid:141)(cid:142)30(cid:210)(cid:69)(cid:73)(cid:42)(cid:65)(cid:40)(cid:93)(cid:155)(cid:88)(cid:294)(cid:93)(cid:42)(cid:67)(cid:295)(cid:72)(cid:188) = (cid:75)(cid:296) = (cid:71)(cid:90) = (cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:47)(cid:48)
2
𝐷𝐸 𝐵𝐷2 𝐷𝐸 𝑎 𝐵𝐷 2𝑎
(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:254)(cid:255)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:72)(cid:188) = = = (cid:71) = (cid:71)(cid:297)(cid:287)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)
CD 3
𝐶𝐺
2 4 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 2𝑎
(cid:72)(cid:188) = = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:53)(cid:188) = (cid:75)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:127)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:93)
3 3 3
4𝑎 𝐺𝐹
(cid:43)(cid:34)𝐺(cid:42)𝐹(cid:87)(cid:89)𝐴(cid:71)𝐷(cid:47)(cid:48)(cid:201)(cid:242)(cid:89)(cid:42)(cid:298)(cid:299) 𝐷𝐸 (cid:38)(cid:47)(cid:48)(cid:201)(cid:73)(cid:93)(cid:43)(cid:89)(cid:42)(cid:298)(cid:299)(cid:261)(cid:26)(cid:122)2(cid:10)1(cid:71)(cid:300)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)
(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:301)(cid:210)(cid:302)(cid:43)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:71) =30°(cid:71)
1 ∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐵 ∠𝐵
= (cid:75)
2
∴(cid:296)𝐷𝐸 =𝐵(cid:71)𝐷(cid:90) = (cid:75)
(cid:89)𝐷𝐸(cid:122) 𝑎 𝐵(cid:42)𝐷(cid:47)(cid:48)2(cid:71)𝑎 =90°(cid:71)
∵(cid:119)(cid:120)𝐺 (cid:185)△(cid:97)𝐴𝐵(cid:98)𝐶(cid:87) (cid:88)(cid:89)∠𝐶(cid:71)
𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐷 2
= = = (cid:71) = (cid:71)
3
𝐶𝐺
∴𝐶𝐷 𝐴𝐷(cid:71) 𝐵𝐷 2𝑎 𝐶𝐷
∵𝐺𝐹∥𝐴𝐷 2
= = (cid:71)
3
𝐺𝐹 𝐶𝐺
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷
2
= = (cid:71)
3 3
4𝑎
∴𝐺𝐹 4𝐴𝐷
= (cid:75)
3
𝐺𝐹
∴(cid:147)𝐷(cid:148)𝐸 (cid:10)B(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)7-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:127) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)(cid:89)G(cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:183)(cid:89)G(cid:55) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐺𝐹∥𝐴𝐵 𝐵𝐶
F(cid:71)(cid:303)(cid:304) =(cid:99) (cid:100)
𝐸𝐹
𝐸𝐶
1 1 1 1
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
3 2 4 5(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
1
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:138)(cid:22)(cid:150)(cid:292)(cid:72) = (cid:71) = (cid:71)(cid:297)(cid:287)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:139)(cid:202)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
2
𝐸𝐺
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10) (cid:127)𝐵𝐸(cid:93)(cid:118)𝐸(cid:42)𝐶(cid:43) 𝐴 (cid:34) 𝐺 (cid:71)
= (cid:71) ∵𝐴𝐸 𝐵𝐶
∴(cid:89)𝐵𝐸G(cid:127)𝐸𝐶 (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)
∵ 1 △𝐴𝐵𝐶
= (cid:71)
2
𝐸𝐺
∴𝐴𝐺 (cid:71)
∵𝐺𝐹∥𝐴𝐵 1
= = (cid:71)
2
𝐸𝐹 𝐸𝐺
∴𝐵𝐹 𝐴1𝐺 1
= (cid:71)(cid:145) = (cid:151)
3 3
𝐸𝐹 𝐸𝐹
∴(cid:147)𝐵(cid:148)𝐸 A(cid:75) 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:255)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)7-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:305)(cid:41) (cid:43)(cid:71) =6(cid:71)P(cid:127) (cid:93)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:229) (cid:225) (cid:306)(cid:307)(cid:71)(cid:164)(cid:89)D(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:89)E
(cid:308)(cid:309)(cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:90) 𝐴𝐵(cid:42)𝐶𝐷(cid:98)(cid:122) 𝐴 𝐵 (cid:75) 𝐴𝐷 △𝑃𝐶𝐷 𝐶𝑃
△𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)3 2
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:187)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:305)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:82)(cid:41)(cid:42)(cid:306)(cid:307)(cid:156)(cid:310)(cid:255)(cid:94)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87)
(cid:88)F(cid:71)(cid:117) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:118)(cid:243)(cid:67)(cid:89)H(cid:71)(cid:281) = (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:185)(cid:97)(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89)T(cid:71)(cid:119)𝐶(cid:120)𝐸 𝐴(cid:71)𝐵
(cid:138)(cid:306)(cid:307)(cid:42)𝐸(cid:135)𝐹(cid:136)(cid:72)P = (cid:71) = 𝐹𝐻=6(cid:71)𝐹(cid:141)𝐸 (cid:142)(cid:89)E𝐴(cid:127)𝐻 𝐵𝐻 (cid:42)𝑃𝐹(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐸 (cid:127) (cid:93)(cid:118)𝐵𝐶(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71) (cid:127)𝐵𝐸(cid:93)
𝑃𝐷 𝑃𝐸1 𝐶𝐸 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑇 𝐵𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)(cid:90) = = =3(cid:71) = (cid:71)(cid:200)(cid:180)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:72) (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:72) (cid:127)
2
𝐴𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝑇 𝐵𝑇 𝐴𝐸𝐵𝐻 𝐵𝐻∥𝐴𝐸 𝐸𝑇 △𝐶𝐵𝐻
(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)(cid:90) = =6(cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:72) = =3(cid:71)(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71)(cid:138)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:72) = =6 2(cid:71)
2 2
𝐸𝐻 𝐶𝐸 𝐹𝐻 𝐹𝐸 △𝐵𝐶𝐹 1 𝐵𝐶 𝐶𝐹 −𝐵𝐹
(cid:140)(cid:24)(cid:125)Rt Rt (HL)(cid:71)(cid:72) = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:72) = = =3 2(cid:71)(cid:142)(cid:187)(cid:139)(cid:72)(cid:188)(cid:129)(cid:130)(cid:75)
2
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)△(cid:10)𝑃𝐴(cid:97)𝐹(cid:98)≌ △(cid:87)𝑃𝐸𝐹(cid:88)F(cid:71)(cid:117) 𝑃(cid:42)𝐴 (cid:97)𝑃(cid:98)𝐸(cid:34)(cid:118)(cid:243)(cid:67)(cid:89)𝑃𝐷H(cid:71)𝑃(cid:281)𝐴 =𝐴𝐷 (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:185)(cid:97)
(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89)T(cid:71)(cid:119)𝐶(cid:120)𝐸 𝐴(cid:71)𝐵(cid:81)(cid:107)(cid:82)(cid:69)(cid:102)𝐸𝐹(cid:10) 𝐹𝐻 𝐹𝐸 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝑃𝐹 𝐴𝐸
𝐵𝐶 𝐵𝐸(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:122)(cid:305)(cid:41)(cid:71) =6(cid:71)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷=90°(cid:71) 𝐴𝐵= =6(cid:71) = (cid:71)
∴(cid:138)∠(cid:306)𝐵𝐴(cid:307)𝐷(cid:42)(cid:135)∠(cid:136)𝐷(cid:72)(cid:10) =𝐶𝐷 (cid:71)𝐴𝐵 = 𝐴=𝐷6(cid:71)𝐵𝐶 = =90°(cid:71)
(cid:89)E(cid:127) (cid:42)(cid:47)𝑃𝐷(cid:48)(cid:71)𝑃𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐷 ∠𝑃𝐸𝐶 ∠𝐷
∵ (cid:127) △(cid:93)𝐴(cid:118)𝐵(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:34)(cid:71) (cid:127) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)
∴𝐴𝑇 𝐵𝐶 1 𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:145) = = =3(cid:71) = (cid:71)
2
(cid:256)𝐴𝐹 =𝐵𝐹 (cid:71)𝐴𝐵 𝐶𝑇 𝐵𝑇
(cid:121)∵(cid:93)𝐹𝐻(cid:41) 𝐹𝐸 (cid:127)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)
∴ 𝐴(cid:71)𝐸𝐵𝐻
(cid:145)∴𝐵𝐻∥𝐴𝐸 (cid:71)
𝐵𝐻∥𝐸𝑇
= (cid:71)
𝐶𝑇 𝐶𝐸
∴𝐵𝑇 = 𝐸𝐻 (cid:71)
∵𝐶𝑇 =𝐵𝑇(cid:71)
∴𝐶𝐸(cid:127) 𝐸𝐻 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴𝐸𝑇 =△𝐶𝐵=𝐻6(cid:71)
∴𝐸𝐻= 𝐶𝐸=3(cid:71)
∴𝐹𝐻= 𝐹𝐸+ =6+3=9(cid:71)
∴𝐶𝐹 𝐶𝐸 𝐹𝐸
(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71)(cid:138)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:72)(cid:10) = =6 2(cid:71)
2 2
= △𝐵𝐶𝐹 =6 2(cid:71) 𝐵𝐶 𝐶𝐹 −𝐵𝐹
∴𝐴𝐷=3𝐵(cid:71)𝐶 =3(cid:71)
∵𝐹𝐸 = (cid:71)𝐴𝐹
∴𝐴𝐹 𝐹=𝐸90°(cid:71) =90°(cid:71)
∵∠𝑃𝐸𝐶 = ∠=𝐵𝐴9𝐷0°(cid:71)
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝑃𝐸𝐹(cid:117)Rt (cid:179)Rt (cid:43)(cid:71)
=△𝑃𝐴𝐹 △𝑃𝐸𝐹
= (cid:71)
𝐴𝐹 𝐹𝐸
𝑃R𝐹t 𝑃𝐹 Rt (HL)(cid:71)
∴ △=𝑃𝐴𝐹(cid:71)≌ △𝑃𝐸𝐹
∴𝑃𝐴 𝑃𝐸 1
= = =3 2(cid:71)
2
∴(cid:147)𝑃(cid:129)𝐷(cid:130)(cid:122)𝑃𝐴(cid:10)3 𝐴 2(cid:75)𝐷
【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】
(cid:15)(cid:27)8(cid:21)(cid:99)2025(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:267)(cid:311)·(cid:312)(cid:22)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84) (cid:71) (cid:71) (cid:127)(cid:39)(cid:238)(cid:267)(cid:155)(cid:42)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
(cid:313)(cid:93) (cid:71) (cid:71) (cid:117)(cid:259)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:118)(cid:71)(cid:177) =3(cid:71) = △3(cid:71)𝐴𝐵𝐶(cid:35)△(cid:86)𝐷(cid:87)𝐶𝐸 (cid:71)△𝐹(cid:71)𝐸𝐺 (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:75)(cid:54)(cid:129)(cid:107)
(cid:123)(cid:219)𝐵(cid:22)𝐶(cid:10)𝐶𝐸 𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝑀 𝑁 𝐻
(1) (cid:42)(cid:206)(cid:122)__________(cid:151)
𝐹𝐺
𝐵𝐺
3
(2)(cid:53)(cid:180)(cid:10) = = (cid:151)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
(3)(cid:53)(cid:10) 𝐵𝐺 𝐹𝐺 (cid:42)(cid:206)(cid:75)
𝐵𝑀:𝑀3𝑁:𝑁𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)
3
(2)(cid:180)(cid:181)(cid:314)(cid:54)(cid:131)
(3) =2:1:3
(cid:15)(cid:35)𝐵𝑀(cid:131):𝑀(cid:21)𝑁(cid:99):𝑁1𝐹(cid:100)(cid:138)(cid:22)(cid:150)(cid:139)(cid:72) = = = = = =3(cid:71) = = = 3(cid:71)(cid:252)(cid:154)(cid:139)(cid:72)
= =3 3(cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:54)𝐴𝐵(cid:151) 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺
𝐵(cid:99)𝐺2(cid:100)(cid:138)3𝐵(cid:22)𝐶(cid:150)(cid:139)(cid:72) = = = 3(cid:71) = = = = = =3(cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:180)(cid:151)
(cid:99)3(cid:100)(cid:138)(cid:22)(cid:150)(cid:139)(cid:72)𝐵𝐶 𝐶=𝐸 𝐸𝐺= 𝐺(cid:71)𝐹 𝐸𝐹 =𝐷𝐸 𝐷=𝐶 𝐴𝐶(cid:71)(cid:252)𝐴(cid:154)𝐵 (cid:139)(cid:72) (cid:71) (cid:71)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐹𝐸𝐺3 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐹𝐺𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶∥𝐷𝐸∥𝐹𝐺
(cid:140)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:139)(cid:72) = =1(cid:71) = 3: 3: 3=1:1:1(cid:71)(cid:53)(cid:188) = (cid:71)
𝐵𝑁 3
= (cid:71)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:54)(cid:75) 𝑁𝐹 𝐵𝑀:𝑀𝐻:𝐻𝐹 𝐵𝑀 2𝑀𝑁
𝑁(cid:15)𝐹(cid:146)(cid:54)3(cid:21)𝑀(cid:99)𝑁1(cid:100)(cid:54)(cid:10) (cid:71) (cid:71) (cid:127)(cid:39)(cid:238)(cid:267)(cid:155)(cid:42)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71) =3(cid:71) = 3(cid:71)
∵△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 △𝐹𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶= = = = = =3(cid:71) = = = 3(cid:71)
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶 =𝐷3𝐶 3(cid:71)𝐷𝐸 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺
∴𝐵𝐺 33𝐵𝐶 3
= = (cid:71)
3
3 3
𝐹𝐺
∴𝐵𝐺
3
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10) (cid:151)
3
(cid:99)2(cid:100)(cid:54)(cid:10) (cid:71) (cid:71) (cid:127)(cid:39)(cid:238)(cid:267)(cid:155)(cid:42)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
= =∵△𝐴𝐵=𝐶 3(cid:71)△𝐷𝐶𝐸= △=𝐹𝐸𝐺 = = = =3(cid:71)
∴𝐵𝐶 𝐶𝐸 3𝐸𝐺 𝐺𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵
= = (cid:71)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
∴(cid:99)𝐵3𝐺(cid:100)(cid:54)𝐹𝐺(cid:10) (cid:71) (cid:71) (cid:127)(cid:39)(cid:238)(cid:267)(cid:155)(cid:42)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
= ∵△𝐴𝐵=𝐶 △𝐷(cid:71)𝐶𝐸 △=𝐹𝐸𝐺 = (cid:71)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶(cid:71)𝐸 ∠𝐹𝐸𝐺 ∠𝐴(cid:71)𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐹𝐺𝐸
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶∥𝐷𝐸∥𝐹𝐺
= (cid:71) = (cid:71)
𝐵𝑁 𝐵𝐶
∴𝑁𝐹
=
𝐶𝐸
=
𝐵𝑀:𝑀
=
𝐻:𝐻
3
𝐹(cid:71) 𝐵𝐶:𝐶𝐸:𝐸𝐺
∵𝐵𝐶 𝐶3𝐸 𝐸𝐺
= =1(cid:71) = 3: 3: 3=1:1:1(cid:71)
3
𝐵𝑁
∴𝑁𝐹 = (cid:71) 𝐵𝑀 = :𝑀𝐻:𝐻 = 𝐹 (cid:71)
∴𝐵𝑁 𝑁𝐹 𝐵𝑀 𝑀𝐻 𝐻𝐹 1
= (cid:71)(cid:145) = = (cid:71)
2
∴𝐵𝑁−=𝐵𝑀 𝑁(cid:71)𝐹−𝐻=𝐹 𝑀(cid:71)𝑁 𝑁𝐻 𝑀𝐻
∴𝐵𝑀 2𝑀𝑁 =𝑁2𝐹:1:3(cid:75)3𝑀𝑁
∴(cid:15)𝐵(cid:89)𝑀(cid:204):𝑀(cid:21)𝑁:(cid:60)𝑁𝐹(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:213)(cid:52)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:155)(cid:257)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:211)(cid:212)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)8-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:179) (cid:43)(cid:71)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:117)(cid:34)(cid:36) (cid:101) (cid:101) (cid:118)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71) (cid:71)
(cid:71) = 1 = △ 3(cid:71) 𝐴 (cid:53) 𝐵𝐶 (cid:42) △ (cid:98) 𝐴𝐶 (cid:75) 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐺 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
3
𝐴𝐷
𝐸𝐹∥𝐶𝐺 𝐴𝐵 ,𝐴𝐹 𝐴𝐺
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)9(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:138) (cid:139)(cid:72) = , = ,(cid:252)(cid:154)(cid:139)(cid:72) = ,(cid:140)(cid:138) = 1 =3(cid:139)(cid:72)(cid:165)(cid:220)(cid:75)
3
𝐴𝐷 𝐴𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)𝐷
:
𝐸∥𝐵𝐶,𝐸𝐹∥𝐶𝐺
,
𝐴𝐵 𝐴𝐶𝐴𝐺 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ,𝐴𝐹
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐸𝐹∥𝐶𝐺
= , = ,
𝐴𝐷 𝐴𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶𝐴𝐺 𝐴𝐶
= ,
𝐴𝐷 𝐴𝐹
∴𝐴𝐵 𝐴𝐺
1
= =3
3
𝐴𝐷
∵𝐴𝐵 ,𝐴𝐹
=9
∴(cid:15)𝐴(cid:89)𝐺(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:54)(cid:218)(cid:60)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:127)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)8-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89)D(cid:127) (cid:93) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:183) (cid:118)(cid:89)E(cid:55) (cid:71)(cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:183)(cid:89)F(cid:55)
△𝐴𝐵𝐶3 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:87)BC(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:83)(cid:84) = (cid:71) =4(cid:75)
2
𝐴𝐸
𝐹𝐺∥𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐵𝐺
(1)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:151)
(2)(cid:164)𝐶𝐺 =2(cid:71)(cid:117)(cid:118)(cid:80)(cid:64)(cid:270)(cid:179)(cid:165)(cid:92)(cid:107)(cid:71)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:75)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)𝐶𝐷(cid:21)(1)6 𝐸𝐹
24
(2)
5
3 2
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:99)1(cid:100)(cid:138) (cid:71)(cid:91)(cid:188) = = (cid:71)(cid:138) // (cid:71)(cid:91)(cid:188) = = (cid:71)(cid:139)(cid:72)(cid:165)(cid:92)(cid:75)
2 3
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐺 𝐵𝐹
𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐹𝐵 𝐸𝐷 𝐹𝐺 𝐴𝐶 𝐶𝐺 𝐴𝐹
(cid:99)2(cid:100)(cid:138) (cid:71)(cid:91)(cid:188) = (cid:71)(cid:139)(cid:72)(cid:165)(cid:92)(cid:75)
𝐸𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)𝐸(cid:99)𝐹∥ 1(cid:100)𝐵𝐷 𝐵𝐷(cid:71) 𝐴𝐵
3 ∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷
= = (cid:71)
2
𝐴𝐹 𝐴𝐸
∴𝐹𝐵 𝐸𝐷(cid:71)
∵𝐹𝐺∥𝐴𝐶 2
= = (cid:71)
3
𝐵𝐺 𝐵𝐹
∴𝐶𝐺
=
𝐴
4
𝐹(cid:71)
∵𝐵𝐺= 3 = 3 ×4=6(cid:75)
2 2
∴𝐶𝐺 𝐵𝐺
(cid:99)2(cid:100) =2(cid:71) =6(cid:71)
=∵𝐶𝐷 =𝐶4𝐺(cid:71)
∴𝐷𝐺=4𝐶(cid:71)𝐺−𝐶𝐷
∵𝐵𝐺 = + =8(cid:71)
∴𝐵𝐷 3𝐵𝐺 𝐷𝐺
= (cid:71)
2
𝐴𝐹
∵𝐵𝐹
3
= (cid:71)
5
𝐴𝐹
∴𝐴𝐵
(cid:71)
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷
= (cid:71)
𝐸𝐹 𝐴𝐹
∴𝐵𝐷
3
𝐴𝐵
= (cid:71)
8 5
𝐸𝐹
∴
24
= (cid:75)
5
∴(cid:15)𝐸(cid:89)𝐹(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:315)(cid:238)(cid:125)(cid:137)(cid:127)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)8-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:197)(cid:198)(cid:98)(cid:199)·(cid:161)(cid:43)(cid:100)(cid:239)(cid:181)(cid:259)(cid:11)(cid:117)(cid:11)(cid:116)(cid:163)(cid:178)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:276)(cid:316)(cid:201)(cid:315)(cid:317)(cid:67)(cid:238)(cid:219)(cid:22)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)
(cid:43)(cid:71)(cid:89)D(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:89)E(cid:127) (cid:43)(cid:89)(cid:75)(cid:119)(cid:165) (cid:71) (cid:87)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:53) (cid:42)(cid:206)(cid:75)
𝐴𝐺
Δ𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐺
(cid:99)1(cid:100)(cid:239)(cid:181)(cid:318)(cid:319)(cid:71)(cid:183)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)H(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:145)(cid:139)(cid:72)(cid:201)(cid:219)(cid:22)(cid:42)(cid:129)(cid:130)(cid:75)(cid:107)(cid:289)(cid:127)(cid:239)(cid:181)
(cid:42)(cid:320)(cid:35)(cid:54)(cid:22)(cid:183)(cid:321)(cid:10) 𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:54)(cid:10)(cid:81)(cid:82)1(cid:71)(cid:183)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)H(cid:71)
𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∵𝐷 𝐵𝐶= (cid:71)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷
= =1(cid:71)
𝐶𝐷 𝐶𝐻
(cid:322)∴(cid:323)𝐵𝐷(cid:324)(cid:267)𝐸𝐻(cid:325)(cid:107)(cid:42)(cid:54)(cid:22)(cid:183)(cid:321)(cid:75)
(cid:15)(cid:326)(cid:327)(cid:74)(cid:52)(cid:21)
(cid:99)2(cid:100)(cid:81)(cid:82)2(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:127) (cid:101) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:88)M(cid:101)N(cid:71)(cid:90) =_______(cid:75)
𝑀𝑁
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:21)
(cid:99)3(cid:100)(cid:81)(cid:82)3(cid:71)(cid:89)E(cid:127) (cid:93)(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71) = (cid:101) (cid:87)(cid:88) =10(cid:71) =6, (cid:71)(cid:65)(cid:120)(cid:332)(cid:188)(cid:121)(cid:93)(cid:41)
(cid:42)(cid:289)(cid:290)(cid:75) 𝐴𝐶 𝐷𝐶 2𝐵𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐹,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐷⊥𝐵𝐸
𝐶𝐷𝐹𝐸
1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(cid:99)1(cid:100)(cid:314)(cid:54)(cid:131)(cid:151)(cid:99)2(cid:100) (cid:151)(cid:99)3(cid:100)18.75
3
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:187)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:155)(cid:84)(cid:207)(cid:71)(cid:137)(cid:54)(cid:22)(cid:150)(cid:71)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)
(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:99)1(cid:100)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:179)(cid:43)(cid:89)(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:202)(cid:33)(cid:54)(cid:129)(cid:145)(cid:139)(cid:151)
(cid:99)2(cid:100)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:90)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:75)(cid:141)(cid:142)(cid:99)1(cid:100)(cid:219)(cid:139)(cid:72) =2(cid:75)(cid:259)(cid:137)(cid:139)(cid:72)
𝐴𝑀 𝐶𝑁
=2,(cid:138)(cid:89) 𝐵(cid:122)𝐷 𝐴(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:89)(cid:72)𝑂(cid:201) =𝑂 𝐵(cid:71)𝐷(cid:145)(cid:139)(cid:180)(cid:181)(cid:165)𝑂(cid:92)(cid:37)𝐴(cid:333)𝐶(cid:151) 𝑀𝑂 𝑁𝑂
𝑂 𝐴𝐶 𝐴𝑂 𝑂𝐶 1
(cid:99)3(cid:100)(cid:183)(cid:89)E(cid:55) (cid:87) (cid:88)G(cid:71)(cid:138)(cid:99)1(cid:100)(cid:259)(cid:137)(cid:72)(cid:188) = = = (cid:71)(cid:126)(cid:125) = = (cid:71)(cid:259)(cid:137)(cid:126)(cid:125) = =
2
𝐶𝐺 𝐸𝐺 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐷
1 𝐸𝐺∥𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐷 𝐺𝐸 𝐵𝐺
= (cid:71) =7.5(cid:71) =2.5(cid:71) =3(cid:71) =3(cid:71)(cid:165)(cid:46)(cid:82)(cid:41)(cid:51)(cid:52) = (cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:54)(cid:75)
2 四边形
𝐵𝐹
(cid:15)𝐵𝐸(cid:146)(cid:54)(cid:21)𝐴(cid:99)𝐹1(cid:100)(cid:54)(cid:10)(cid:81)𝐹𝐷(cid:82)1(cid:71)(cid:183)(cid:89)𝐵𝐹D(cid:55) 𝐸𝐹 (cid:87) (cid:88)H(cid:71) 𝑆 𝐶𝐷𝐹𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐸𝐹
𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∵𝐷 =𝐵𝐶 (cid:71)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷
= =1(cid:71)
𝐶𝐷 𝐶𝐻
∴𝐵𝐷(cid:127) 𝐸𝐻(cid:42)(cid:43)(cid:89)
∵𝐸 =𝐴𝐶
∴𝐴𝐸 𝐸𝐶
=2(cid:75)
𝐴𝐸
(cid:256)∴𝐸𝐻
∵𝐷𝐻∥𝐺𝐸
= =2
𝐴𝐺 𝐴𝐸
∴(cid:99)2(cid:100)(cid:180)(cid:181)(cid:10)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:90)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:75)
𝐺𝐷 𝐸𝐻
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝑂 𝑂 𝐵𝐷 𝑂 𝐴𝐶
(cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:99)1(cid:100)(cid:219)(cid:139)(cid:72)
∵𝐸 𝐴𝐵
=2(cid:75)
𝐴𝑀
∴𝑀𝑂
(cid:259)(cid:137)(cid:139)(cid:72) =2
𝐶𝑁
𝑁𝑂
(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)
∵ 𝑂= 𝐴𝐶
∴𝐴𝑂 =𝑂𝐶 = (cid:71)
∴𝐴𝑀 1𝑀𝑁 𝑁𝐶
= (cid:75)
3
𝑀𝑁
(cid:99)∴3𝐴(cid:100)𝐶 (cid:183)(cid:89)E(cid:55) (cid:87) (cid:88)G(cid:71)
𝐸𝐺∥𝐴𝐷 𝐵𝐶1
(cid:259)(cid:137)(cid:72)(cid:10) = = = (cid:71)
2
𝐶𝐺 𝐸𝐺 𝐶𝐸
= 𝐶 (cid:71) 𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶
∴𝐶𝐺 =𝐷𝐺 (cid:71)
∵𝐷𝐶= 2𝐵𝐷= (cid:71)
∴𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐷 1
(cid:259)(cid:137)(cid:72)(cid:10) = = = (cid:71)
2
𝐷𝐹 𝐵𝐷 𝐵𝐹
𝐺𝐸 𝐵𝐺 𝐵𝐸
=4(cid:71) =10
𝐷𝐹
∴𝐴𝐷 𝐴𝐷
=3(cid:71)
𝐴𝐹
∴𝐹𝐷 =7.5(cid:71) =2.5(cid:71)
∴𝐴𝐹 𝐹𝐷
(cid:259)(cid:137)(cid:72)(cid:10) =2(cid:71) =6(cid:71)
𝐵𝐸
=3(cid:71) 𝐵𝐹 =3(cid:71)𝐵𝐸
∴𝐵𝐹 𝐸1𝐹 1
= = ×6×7.5=22.5(cid:71)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝐵𝐸⋅𝐴𝐹
1
= =22.5= (cid:71)
2
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶 =4 𝑆 5 △ (cid:71) 𝐴𝐵𝐸 𝑆
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆 = (cid:71)
∵𝐷𝐶 2𝐵𝐷2
= =30(cid:71)
3
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆
1 1
= = ×7.5×3=11.25(cid:75)
2 2
𝑆△𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐹=⋅𝐸𝐹
四边形
∵=𝑆 𝐶𝐷𝐹𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐸𝐹
=3108−.7151(cid:75).25
【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:27)9(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:231)(cid:17)(cid:334)(cid:335)·(cid:161)(cid:162)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:305)(cid:41) (cid:43)(cid:71) =3(cid:71) =4(cid:71) (cid:163)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)E
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐶,𝐵𝐷(cid:122) (cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:164) =1(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:210)(cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐵𝐴 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝑂𝐸
41 27 26 5
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:187)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:305)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:137)(cid:54)(cid:305)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:169)
(cid:115)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:127)(cid:54)(cid:218)(cid:219)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
1
(cid:183)(cid:89)O(cid:55) (cid:88)(cid:89)H(cid:71)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:180)(cid:181) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:72) = =2(cid:71)
2
𝑂𝐻 1 ⊥𝐴𝐵 3 5 𝑂𝐻 △𝐴𝐵𝐷 𝑂𝐻 𝐴𝐷
= = = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:72) = + = (cid:71)(cid:297)(cid:287)(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71)(cid:138)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:145)(cid:139)(cid:53)(cid:188) (cid:42)(cid:98)(cid:75)
2 2 2
𝐴(cid:15)𝐻(cid:146)(cid:54)𝐵(cid:21)𝐻(cid:54)(cid:10)𝐴(cid:183)𝐵(cid:89)O(cid:55) 𝐸𝐻(cid:88)(cid:89)𝐴𝐸H(cid:71)𝐴(cid:81)𝐻(cid:82)(cid:69)(cid:102)(cid:10) △𝑂𝐸𝐻 𝑂𝐸
𝑂𝐻⊥𝐴𝐵
(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:127)(cid:305)(cid:41)(cid:71) =3(cid:71) =4(cid:71)
= (cid:71) ∵=90°(cid:71)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∴𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:71)∠𝐷𝐴𝐵
∵𝑂𝐻⊥𝐴=𝐵 = =90°(cid:71)
∴∠𝑂𝐻𝐵 (cid:71)∠𝑂𝐻𝐸 ∠𝐷𝐴𝐵
∴𝑂𝐻∥𝐴𝐷
=
𝑂𝐷 𝐴𝐻
(cid:256)∴𝑂𝐵 𝐵𝐻 = (cid:71)
∵𝑂𝐵 𝑂𝐷
=1(cid:71)
𝐴𝐻
∴𝐵𝐻 = (cid:71)
∴𝐻𝐴 (cid:127)𝐻𝐵 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴𝑂𝐻 △1 𝐴𝐵𝐷 1 3
= =2(cid:71) = = = (cid:71)
2 2 2
∴𝑂𝐻 𝐴𝐷 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐵(cid:89)E(cid:122) (cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:177) =1(cid:71)
∵ 𝐵𝐴 3 5 𝐴𝐸
= + =1+ = (cid:71)
2 2
∴𝐸𝐻 𝐴𝐸 𝐴𝐻
5 41
(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71)(cid:138)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:137)(cid:72)(cid:10) = + = 2 +( ) = (cid:75)
2 2
2
2 2 2
(cid:147)(cid:148)(cid:10)△A𝑂(cid:75)𝐸𝐻 𝑂𝐸 𝑂𝐻 𝐸𝐻
(cid:15)(cid:156)(cid:28)9-1(cid:21)(cid:99)2025·(cid:189)(cid:110)(cid:336)(cid:337)·(cid:39)(cid:192)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:280)(cid:89) (cid:71)(cid:281)
= (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:164) = =45°(cid:71)△𝐴𝐵=𝐶6 2𝐶(cid:71)𝐷(cid:90) △(cid:42)𝐴𝐵(cid:98)𝐶(cid:122)(cid:99) (cid:100) 𝐶𝐵 𝐸
𝐵𝐸 3𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
5 2
A(cid:75)2 3 B(cid:75)3 C(cid:75) D(cid:75) 13
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:155)(cid:257)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:155)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:125)(cid:137)(cid:155)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:183)(cid:89) (cid:55)
(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:139)(cid:72) =90°(cid:71) = (cid:71) = (cid:71)(cid:145)(cid:72) (cid:71)(cid:297)(cid:287)(cid:53)(cid:72) 𝐶(cid:71)𝐷 𝐴(cid:71)𝐸(cid:140)(cid:138)𝐺(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:155)𝐵(cid:35)
𝐵(cid:34)𝐹(cid:36)⊥(cid:125)𝐴(cid:137)𝐸 (cid:179) 𝐹 = ∠(cid:139)𝐴(cid:72)𝐺𝐷 =9(cid:71)(cid:286)𝐴𝐺(cid:287)(cid:51)𝐷(cid:52)𝐺(cid:245)(cid:246)𝐴𝐹(cid:125)(cid:137)𝐵(cid:53)𝐹(cid:72) (cid:71)𝐵(cid:145)𝐹∥(cid:139)𝐶𝐺(cid:53)(cid:54)(cid:71)(cid:29)(cid:126)(cid:55)𝐴(cid:188)𝐹(cid:268)𝐴(cid:269)𝐺(cid:34)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)𝐵(cid:10)𝐸(cid:81)(cid:82)3(cid:71)𝐵𝐶(cid:97)(cid:98) 𝐸𝐹(cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:183)(cid:89) (cid:55) (cid:88)𝐵𝐸(cid:89) (cid:71)
𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐺 𝐵 𝐵𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹
(cid:90) =90°(cid:71)
∠𝐴𝐹𝐵= =45°(cid:71)
∵∠𝐸𝐴𝐵 =∠𝐵𝐷𝐶 =45°= (cid:71) = =45°(cid:71)
∴∠𝐴𝐷𝐺=∠90𝐵°𝐷(cid:71)𝐶 = (cid:71)∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐴(cid:71)𝐵𝐹 90°−∠𝐸𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐺𝐷 (cid:71) 𝐴𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐹 𝐵𝐹
∴𝐵𝐹∥(cid:127)𝐶𝐺 (cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71) =6 2(cid:71)
∵𝐶𝐷 △1 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 2
= =3 2(cid:71) = =6 2× =6(cid:71)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐹2
= =3 2× =3(cid:71)
2
∴𝐴𝐺= 𝐷𝐺 = =3(cid:71)
∴𝐹𝐺 𝐴(cid:71)𝐹−𝐴𝐺 6−3
∵𝐵𝐹∥𝐶𝐺
= (cid:71)
𝐸𝐹 𝐵𝐸
∴𝐹𝐺 = 𝐵𝐶 (cid:71)
∵𝐵𝐸 33𝐵𝐶
= (cid:71)
3 1
𝐸𝐹
∴ =9(cid:71)
∴𝐸𝐹
(cid:117)Rt (cid:43)(cid:71) = + = 9 +6 =3 13(cid:71)
2 2 2 2
∴ △1𝐸𝐹𝐵 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐹
= = 13(cid:71)
3
∴(cid:147)𝐵(cid:148)𝐶(cid:10)D𝐵(cid:75)𝐸
(cid:15)(cid:156)(cid:28)9-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:338)(cid:17)(cid:339)(cid:340)·(cid:341)(cid:192)(cid:100)(cid:81)(cid:82)1(cid:71)(cid:229)(cid:93)(cid:98)(cid:122)4(cid:42)(cid:155)(cid:93) (cid:225)(cid:94) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:331) (cid:342)(cid:343)(cid:71)(cid:140)(cid:344)
(cid:226)(cid:345)(cid:32)(cid:228)(cid:72)(cid:201) (cid:71)(cid:346) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:276)(cid:71)(cid:81)(cid:82)2(cid:71)(cid:63)(cid:238)(cid:39)(cid:40)△(cid:41)𝐴(cid:47)𝐵𝐶(cid:307)(cid:320)(cid:35)𝐵(cid:289)𝐶 (cid:290)(cid:122) 𝐴 𝐷 (cid:75) △𝐴𝐷𝐶
′ ′ ′ ′
△𝐴 𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐷
5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 3
4
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:228)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:155)(cid:93)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:347)30°(cid:40)(cid:42)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:228)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:179)(cid:155)(cid:93)(cid:39)(cid:40)
(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:183) (cid:89)(cid:55) (cid:71)(cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:138)(cid:155)(cid:93)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:179)(cid:347)30°(cid:40)(cid:42)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)(cid:139)(cid:72) = =2(cid:71)
′ ′
𝐺=2 𝐺3𝐻(cid:71)⊥(cid:348)𝐵(cid:154)𝐶(cid:139)(cid:53)(cid:188)𝐵𝐶 =𝐻 = =1(cid:71)(cid:145) =3(cid:71)(cid:140)(cid:138) = =60°(cid:24)(cid:125)𝐵𝐷 𝐶𝐷(cid:127)(cid:155)(cid:93)(cid:39)(cid:40)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐴𝐷 3 𝐵𝐷 𝐷𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐶 1 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐵𝐶 𝐺
(cid:41)(cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:53)(cid:188) = 3(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:43)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:72)(cid:188) = = 3(cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:238)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:47)(cid:307)(cid:320)(cid:35)(cid:289)(cid:290)(cid:122)
2 2
′
𝐺𝐻 (cid:72)(cid:188)(cid:165)(cid:220)(cid:75) 𝐸𝐷 𝐴𝐷
′ ′ ′
𝑆(cid:15)△(cid:146)𝐵𝐶(cid:54)𝐺−(cid:21)𝑆(cid:54)△𝐵(cid:10)𝐷𝐸(cid:81)−(cid:82)𝑆△
(cid:71)
𝐶
(cid:183)
𝐷𝐹
(cid:89)(cid:55) (cid:71)(cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)
′ ′
𝐺 𝐺𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐻(cid:127)(cid:93)(cid:98)(cid:122)4(cid:42)(cid:155)(cid:93) (cid:118)(cid:42)(cid:331)(cid:71)
∵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 3
= =60°(cid:71) = =2(cid:71) = =2 3(cid:71)
2
∴∠𝐵(cid:127) ∠𝐶(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
′
∵𝐷 𝐵𝐷 1
= = = =1(cid:71)
2
′ ′ ′
∴𝐵𝐷 =3𝐷(cid:71)𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐷
′
∴𝐵𝐶 = =60°(cid:71)
′
∵∠𝐵 ∠=𝐶 60°(cid:71)
′
∴∠𝐵𝐺𝐶 (cid:127)(cid:155)(cid:93)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
′
∴△𝐵=𝐶 𝐺 = =3(cid:71)
′ ′
∴𝐵𝐺 𝐵3𝐶 𝐶3𝐺
= = 3(cid:71)
2 2
∴𝐺𝐻(cid:127)(cid:155)(cid:93)𝐵𝐺 (cid:118)(cid:42)(cid:331)(cid:71)
∵𝐴𝐷 (cid:71)△𝐴𝐵𝐶 (cid:71)
′
∴𝐸𝐷 ⊥𝐵𝐷(cid:71)𝐴𝐷⊥𝐵𝐷
′
∴𝐸𝐷 ∥𝐴𝐷
= ,
′
𝐵𝐸 𝐵𝐷
′
(cid:256)∴𝐸𝐺 (cid:89) 𝐷(cid:127)𝐷 (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
′
(cid:89)∵ (cid:127)𝐷 (cid:42)𝐵𝐷(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∴ 𝐸 𝐴1𝐵
= = 3(cid:71)(cid:259)(cid:137) = 3(cid:71)
2
′
∴𝐸𝐷 𝐴𝐷 𝐹𝐷
1 3 1 1 5
(cid:63)(cid:238)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:47)(cid:307)(cid:320)(cid:35)(cid:289)(cid:290)(cid:122) = ×3× 3 ×1× 3 ×1× 3= 3(cid:71)
2 2 2 2 4
′ ′ ′
∴ 5 𝑆△𝐵𝐶𝐺 −𝑆△𝐵𝐷𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐹 − −
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10) 3(cid:75)
4
(cid:15)(cid:156)(cid:28)9-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) = =90°(cid:71)(cid:89)C(cid:127)(cid:93) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:177) = (cid:71) (cid:71)(cid:243)
(cid:42)(cid:39)(cid:155)(cid:35)(cid:89)F( < )(cid:71)(cid:119)(cid:120)𝐴𝐵𝐷𝐸(cid:71)(cid:183)(cid:89)∠𝐵C(cid:55)∠𝐷 (cid:87) (cid:88)(cid:89)G(cid:71)𝐵(cid:97)𝐷(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89)𝐴𝐶H(cid:71)(cid:164)𝐶𝐸 𝐴=𝐶6⊥(cid:71)𝐶𝐸 𝐶𝐸
=30°(cid:71)𝐶(cid:90)𝐹 (cid:42)𝐸𝐹(cid:98)(cid:122) (cid:75)𝐴𝐹 𝐶𝐺⊥𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐻(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)9 2
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:127)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:46)(cid:22)(cid:71)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:163)(cid:178)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:155)(cid:257)(cid:65)(cid:40)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:180)(cid:181)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:163)(cid:178)(cid:127)(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)(cid:183)(cid:89)E(cid:55) (cid:87) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:88)(cid:89)M(cid:71)(cid:200)(cid:180)(cid:181)
AAS)(cid:71)(cid:140)(cid:53)(cid:188) = = =12 2(cid:71)(cid:141)(cid:142)𝐸𝑀(cid:89)⊥(cid:122)𝐶𝐻 (cid:42)𝐶𝐻(cid:39)(cid:155)(cid:35)(cid:89)(cid:99) < (cid:100)(cid:71)(cid:139)(cid:72)
△𝐴=𝐶𝐵≌△=𝐶𝐸8(cid:71)𝐷((cid:140)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)𝐴𝐶(cid:34)(cid:36)𝐶(cid:37)𝐸(cid:26)(cid:27)12(cid:53),𝐴(cid:54)𝐸(cid:145)(cid:139)(cid:75) 𝐹 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹
𝐶(cid:15)𝐹(cid:146)(cid:54)4(cid:21),𝐸𝐹(cid:81)(cid:54)(cid:82)①(cid:71)(cid:183)(cid:89)E(cid:55) (cid:87) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:88)(cid:89)M(cid:75)
𝐸𝑀⊥𝐶𝐸 𝐶𝐻
=90°(cid:71) = =90°(cid:71)
∵∠𝐴𝐶𝐸+ ∠=𝐵 ∠𝐷+ =90°(cid:71)
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵(cid:71)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸
∴∠𝐵𝐴=𝐶 (cid:71)∠𝐷𝐶𝐸
∵𝐴𝐶 𝐶𝐸 (cid:71)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐶𝐷𝐸=30°(cid:71) = =6(cid:71)
∴∠𝐵𝐴=𝐶 ∠𝐷=𝐶1𝐸2(cid:71) 𝐵𝐶 𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 2𝐷(cid:127)𝐸(cid:155)(cid:257)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
∵△𝐴=𝐶𝐸12 2(cid:75)
∴F𝐴𝐸(cid:127) (cid:42)(cid:39)(cid:155)(cid:35)(cid:89)(cid:71)(cid:177) < (cid:71)
∵ =𝐶𝐸 (cid:71) 𝐶𝐹 𝐸𝐹
∴𝐸𝐹=42(cid:71)𝐶𝐹
∴𝐶𝐹 (cid:71)
∵𝐸𝑀⊥𝐶=𝐸90°(cid:71)
∴∠𝐶𝐸𝑀= (cid:71)
∴∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐶𝐸𝑀(cid:71)
∵𝐶𝑀⊥𝐴+𝐹 =90°(cid:71)
∴∠𝐸𝐶𝑀+ ∠𝐶𝐹𝐴=90°(cid:71)
∵∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐹𝐴 (cid:71)
∴∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐸𝐶𝑀 (cid:71)
∴△𝐴=𝐶𝐹≌△=𝐶4𝐸(cid:71)𝑀
∴𝐸𝑀 +𝐶𝐹 =180°(cid:71)
∵∠𝐴𝐶𝐹 (cid:71)∠𝐶𝐸𝑀
∴𝐴𝐶∥𝑀𝐸
= =3(cid:71)
𝐴𝐻 𝐴𝐶
∴𝐻𝐸 = 𝐸𝑀 (cid:71)
∴𝐴𝐻 33𝐻𝐸 3
= = ×12 2 =9 2(cid:75)
4 4
(cid:147)∴𝐴(cid:129)𝐻(cid:130)(cid:122)𝐴9𝐸 2(cid:75)
【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:27)10(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:267)(cid:311)·(cid:161)(cid:43)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) = (cid:71) (cid:32)(cid:35) (cid:71)(cid:89)E(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:251)(cid:34)
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷
(cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:164) = (cid:71) =10(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127) (cid:75)
2
𝐴𝐸
𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)2
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:163)(cid:178)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:55)
(cid:87) (cid:88) (cid:71)(cid:138)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:139)(cid:72) = (cid:71)(cid:180)(cid:181) (cid:72)(cid:188) = (cid:71)(cid:140)(cid:138)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)𝐷(cid:34)𝐻(cid:36)∥(cid:37)𝐵𝐹
(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶(cid:125)(cid:137)𝐻(cid:139)(cid:72) = = (cid:71)(cid:138)(cid:187)𝐵(cid:211)𝐷(cid:212)(cid:145)𝐶(cid:139)𝐷(cid:72)(cid:54)(cid:71)(cid:169)△(cid:115)𝐶𝐷(cid:170)𝐻(cid:171)∽(cid:254)△(cid:118)𝐶𝐵(cid:84)𝐹(cid:207)(cid:89)𝐹(cid:185)𝐻(cid:349)(cid:350)𝐶(cid:213)𝐻(cid:52)(cid:127)(cid:54)(cid:187)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)𝐶(cid:81)𝐻(cid:82)(cid:71)𝐹(cid:55)𝐻 2𝐴𝐹 (cid:87) (cid:88) (cid:71)
𝐷𝐻∥𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐻(cid:71)
= (cid:71) (cid:32)(cid:35) (cid:71)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:71)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷(cid:71)
∵𝐷𝐻∥𝐵𝐹 (cid:71)
∴△𝐶𝐷𝐻∽△𝐶𝐵𝐹
= =1(cid:71)
𝐶𝐻 𝐶𝐷
∴𝐹𝐻 = 𝐵𝐷 (cid:71)
∴𝐹𝐻 𝐶𝐻(cid:71)
∵𝐷𝐻∥𝐵𝐹
= (cid:71)
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∴𝐸𝐷 𝐹 1 𝐻
= (cid:71)
2
𝐴𝐸
∵𝐸𝐷 1
= (cid:71)
2
𝐴𝐹
∴𝐹𝐻 = (cid:71)
∴𝐹𝐻= 2𝐴𝐹= (cid:71)
∴𝐶𝐻= 𝐹𝐻+ 2𝐴𝐹+ = = =10(cid:71)
∵𝐴𝐶 =𝐴2(cid:71)𝐹 𝐹𝐻 𝐶𝐻 5𝐴𝐹 𝐴𝐵
∴(cid:147)𝐴(cid:129)𝐹(cid:130)(cid:122)(cid:10)2(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)10-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)AG(cid:10)GD4 1(cid:71) BD (cid:10)DC2 3(cid:71)(cid:90) AE EC(cid:42)(cid:206)(cid:122) (cid:75)
∶ ∶ ∶
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)8:5
2
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:183)(cid:89)D(cid:55)DF CA(cid:87)BE(cid:88)F(cid:71)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:138)DF CE(cid:72)(cid:201) = = (cid:71)
5
𝐷𝐹 𝐵𝐷
∥ ∥ 𝐶𝐸 𝐵𝐶5 1
(cid:90)CE= DF(cid:71)(cid:138)DF AE(cid:72)(cid:201) = = = (cid:71)(cid:90)AE=4DF(cid:71)(cid:297)(cid:287)(cid:211)(cid:212) (cid:42)(cid:206)(cid:75)
2 4
𝐷𝐹 𝐷𝐺 𝐷𝐹 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:183)(cid:89)D(cid:55)∥ DF CA(cid:87) 𝐴𝐸 BE(cid:88)𝐴𝐺 F(cid:71)𝐴(cid:81)𝐸 (cid:82)(cid:71) 𝐸𝐶
∥
DF CE(cid:71)
∵ ∥
= (cid:71)
𝐷𝐹 𝐵𝐷
∴ (cid:154)𝐶𝐸BD(cid:10) 𝐵𝐶 DC=2(cid:10)3(cid:71)
2 5
= (cid:71)(cid:90)CE= DF(cid:71)
5 2
𝐷𝐹
∴ D𝐶𝐸F AE(cid:71)
∵ ∥
= (cid:71)
𝐷𝐹 𝐷𝐺
∴ A𝐴𝐸G(cid:10) 𝐴 G 𝐺 D=4(cid:10)1(cid:71)
∵ 1
= (cid:71)(cid:90)AE=4DF(cid:71)
4
𝐷𝐹
∴𝐴𝐸 8
= = (cid:75)
5 5
𝐴𝐸 24𝐷𝐹
∴𝐸𝐶 𝐷𝐹
8
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122) (cid:75)
5
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:39)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:39)(cid:40)
(cid:41)(cid:67)(cid:93)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:70)(cid:94)(cid:95)(cid:63)(cid:93)(cid:99)(cid:96)(cid:63)(cid:93)(cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:100)(cid:71)(cid:69)(cid:70)(cid:72)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:93)(cid:38)(cid:186)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:93)(cid:73)(cid:74)(cid:37)(cid:26)(cid:27).
(cid:15)(cid:156)(cid:28)10-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:189)(cid:110)(cid:336)(cid:337)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) =90°(cid:71)(cid:89)D(cid:117)(cid:93) (cid:118)(cid:71)(cid:177)(cid:263)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶
(cid:264) = (cid:71)(cid:119)(cid:165) (cid:75) (cid:55) (cid:42)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:88)(cid:89)E(cid:71)(cid:89)F(cid:75)(cid:164) = (cid:71)(cid:90) = (cid:71)
𝐴𝐵
∠𝐴𝐵𝐶 2∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐹 2𝐷𝐹 𝐵𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐸
𝐶𝐸
4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 2
3(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:183)(cid:89) (cid:55) (cid:42)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:87) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:280)(cid:89) (cid:71)(cid:281) = (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐷𝐶 𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐴𝐺
(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:179)(cid:40)(cid:32)(cid:34)(cid:139)(cid:72)(cid:201) = =2(cid:71)(cid:296) = (cid:71)(cid:90) = (cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
𝐻 𝐵𝐷 𝐷𝐹 3 𝐵𝐷 𝑎 𝐴𝐵 2𝑎
(cid:24)(cid:125)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:72)(cid:201) = = (cid:71)(cid:202)(cid:154)(cid:53)(cid:72) = + = (cid:71)(cid:286)(cid:287)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:125)(cid:137)(cid:54)(cid:129)(cid:145)(cid:139)(cid:72)
2
(cid:188)(cid:165)(cid:92)(cid:75) 𝐵𝐺 𝐴𝐵 2𝑎 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝑎
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)(cid:54)(cid:10)(cid:183)(cid:89) (cid:55) (cid:42)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:87) (cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:280)(cid:89) (cid:71)(cid:281) = (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87)
(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:81)(cid:82)(cid:71) 𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐷𝐶 𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐴𝐺
𝐻
= (cid:71) = (cid:71) = (cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
∴𝐵𝑃 (cid:127) 𝐷𝐹 ∠(cid:42)𝐴𝐵(cid:32)𝐹(cid:35)(cid:34)∠𝑃(cid:71) ∠𝐵𝐷𝑃 ∠𝐷𝐵𝐹
∵𝐵𝐹 ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:71)
∴∠ 𝐴𝐵𝐹 =∠𝐷𝐵(cid:71)𝐹
∴ ∠𝐵=𝐷𝑃 (cid:71)∠𝑃
∴𝐵𝐷 𝐷𝑃
= (cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
∴𝐵𝐷
=
𝐷𝐹
∵𝐴𝐹 2𝐷𝐹
=2(cid:71)
𝐴𝐵
(cid:296)∴𝐵𝐷 = (cid:71)(cid:90) = (cid:71)
𝐵𝐷= 𝑎 (cid:101) 𝐴𝐵 =2𝑎90°(cid:71)
∵𝐶𝐺(cid:122) 𝐶𝐷(cid:42)(cid:56)∠𝐴(cid:65)𝐶(cid:32)𝐵(cid:35)(cid:34)(cid:71)
∴𝐴𝐶 =𝐷𝐺 (cid:71)
∴𝐴𝐷 𝐴𝐺= (cid:71)
∴∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐺𝐴𝐶 (cid:71) =2 (cid:71)
∵∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐷(cid:71) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐸
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸=90°(cid:71) = (cid:71)
∵∠𝐶𝐵𝐸 +∠𝐶𝐸𝐵 =90°(cid:71)∠𝐶𝐸𝐵 ∠𝐻𝐸𝐴
∴∠𝐻𝐸𝐴 =∠𝐺𝐴𝐶 =90°(cid:71)
(cid:117)∴∠𝐴𝐻𝐵 (cid:179)∠𝐺𝐻𝐵 (cid:43)(cid:71)
△𝐺𝐻=𝐵 △𝐴𝐻𝐵
=
∠𝐺𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐻
𝐵𝐻 𝐵𝐻
∠𝐺𝐻𝐵 ∠𝐴𝐻𝐵 (ASA)(cid:71)
∴△𝐺𝐻=𝐵≌△=𝐴𝐻𝐵(cid:71)
∴𝐵𝐺 =𝐴𝐵 2𝑎= (cid:71)
∴𝐺𝐷 𝐺𝐵−𝐷1𝐵 𝑎 1
= = = (cid:71)
2 2
∴𝐶𝐷 𝐶𝐺 𝐺𝐷 𝑎
3
= + = (cid:71)
2
∴𝐵𝐶(cid:127) 𝐵𝐷 (cid:42)𝐶𝐷(cid:32)(cid:35)(cid:34)𝑎(cid:71)
4
∵𝐵 𝐹 = ∠𝐵𝐴 = 𝐶 = (cid:71)
3 3
𝐴𝐸 𝐴𝐵 22𝑎
∴ 𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝑎4
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10)2(cid:71) (cid:75)
3
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:125)(cid:137)(cid:71)(cid:65)(cid:40)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:125)(cid:253)(cid:71)(cid:155)(cid:257)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
(cid:24)(cid:125)(cid:179)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:125)(cid:38)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:34)(cid:36)(cid:42)(cid:56)(cid:65)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:351)(cid:266)(cid:302)(cid:346)(cid:42)(cid:268)(cid:269)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:267)(cid:155)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:127)
(cid:54)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)
(cid:15)(cid:156)(cid:28)10-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:38) (cid:87)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:89)G(cid:122) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:89)M(cid:101)N(cid:35)(cid:86)(cid:117)(cid:93) (cid:101)
(cid:118)(cid:71)(cid:164) =3:4(cid:71)(cid:90)△𝐴𝐵𝐶 (cid:42)(cid:206)𝐴(cid:122)𝐷 𝑀 𝑁(cid:75) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴𝑀:𝐴𝐵 𝐴𝑁:𝐴𝐶3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) /0.6
5
(cid:15)(cid:35)(cid:131)(cid:21)(cid:183)(cid:89)B(cid:55) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:71) (cid:88)(cid:89)E(cid:71)F(cid:89)(cid:71)(cid:183)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)P(cid:89)(cid:71)(cid:182)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:71)
(cid:349)(cid:350)(cid:213)(cid:52) =𝐵3𝐹:4∥(cid:179)𝑀𝑁 (cid:315)(cid:64)(cid:43)𝐴(cid:34)𝐷 (cid:71)𝐴(cid:143)𝐵(cid:352)(cid:53)(cid:54)(cid:145)(cid:139)(cid:75) 𝐷𝑃∥𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:146)(cid:54)(cid:21)𝐴(cid:81)𝑀(cid:82):𝐴(cid:71)𝐵(cid:183)(cid:89)B(cid:55)𝐴𝐷 (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:71) (cid:88)(cid:89)E(cid:71)F(cid:89)(cid:71)(cid:183)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)P(cid:89)(cid:71)
𝐵𝐹∥𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝑃∥𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)
∴(cid:89)𝐷𝑃P(cid:122)△𝐵𝐹(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∴ 𝐶=𝐹3:4(cid:71)(cid:177) (cid:71)
∵𝐴𝑀:𝐴𝐵= =𝐵3𝐹:∥1𝑀(cid:71)𝑁
∴(cid:89)𝐴𝐺G:𝐺𝐸(cid:122) 𝐴𝑁:𝑁(cid:42)𝐹 (cid:47)(cid:48)(cid:71)
∵ =△2𝐴:1𝐵(cid:71)𝐶
∴𝐴𝐺:𝐺𝐷 =6:2:1(cid:71)
∴𝐴𝐺:𝐺𝐸:𝐸=𝐷8:1(cid:71)
∴𝐴𝐸:𝐸𝐷 (cid:71)
∵𝐷𝑃∥𝐵𝐹=∥𝑀8𝑁:1(cid:71)
∴𝐴𝐹:𝐹𝑃 =6:2:1:1(cid:71)
∴𝐴𝑁:𝑁𝐹:𝐹𝑃:𝑃𝐶 3
=6:10= (cid:75)
5
∴𝐴𝑁:𝐴𝐶 3
(cid:147)(cid:129)(cid:130)(cid:122)(cid:10) (cid:75)
5
(cid:15)(cid:89)(cid:204)(cid:21)(cid:60)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:47)(cid:48)(cid:179)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:93)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:353)(cid:354)(cid:213)(cid:52)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:229)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:69)(cid:117)(cid:42)(cid:34)
(cid:36)(cid:35)(cid:122)2:1(cid:63)(cid:320)(cid:35)(cid:127)(cid:54)(cid:129)(cid:60)(cid:22)(cid:42)(cid:3)(cid:174)(cid:75)