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专题 27.2 平行线分线段成比例【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别相似图形】..........................................................................................................................................1
【题型2 相似多边形的性质运用】..........................................................................................................................3
【题型3 “A”模型中的平行线分线段成比例】.......................................................................................................6
【题型4 “8”模型中的平行线分线段成比例】........................................................................................................9
【题型5 “X”模型中的平行线分线段成比例】.....................................................................................................12
【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】......................................................................................................15
【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】...............................................................................................18
【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】...........................................................................21
【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】...................................................................................................26
【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】.......................................................................................................31
知识点1：相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多
边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【题型1 辨别相似图形】
【例1】（23-24九年级·山东聊城·开学考试）下面各组图形中，不是相似形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；
B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；
C、两个五角星相似，故不符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似
图形的定义得出．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形
C．两个正五边形 D．两个六边形
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相
等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．
根据相似三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不
正确；
B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；
C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；
D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．
故选C．
【变式1-2】（23-24九年级·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱
上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外
边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图形相似的概念进行解答即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，
故选：A．【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相
等，对应边成比例）是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都
相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为②③．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
【题型2 相似多边形的性质运用】
【例2】（23-24九年级·河北邢台·期中）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3，下面四个矩形中与矩形
ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】验证对应边是否成比例即可判断．
4 3
【详解】解：A： = ，符合题意；
2 1.5
4 3
B： ≠ ，不符合题意；
3 2
4 3
C： ≠ ，不符合题意；
2 1.2
4 3
D： ≠ ，不符合题意；
2.5 2
故选：A
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．
【变式2-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（ ）
40 32 16
A．16 B． C． D．
3 3 3
【答案】C
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明
S
矩形ABEF =
(AB) 2
=
(4) 2
=
4
，从而可得答案．
S BC 6 9
矩形BCDA
【详解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，AB=4，BC=6，
∴
S
矩形ABEF =
(AB) 2
=
(4) 2
=
4
，S =4×6=24，
S BC 6 9 矩形ABCD
矩形BCDA
32
∴S = ，
矩形ABEF 3
故选：C．
【变式2-2】（23-24九年级·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ．
【答案】22.5
【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，
对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
30:20=x:15∴x=22.5．
故答案为：22.5．
【变式2-3】（23-24九年级·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使
AB边落在AD边上，点B的对应点为点F，折痕为AE，展平后连接EF；继续折叠该纸片，使FD落在FE
上，点D的对应点为点H，折痕为FG，展平后连接HG．若矩形HECG∽矩形ABCD，AD=1，则CD
的长为（ ）．
❑√5−1 ❑√5+1
A．0.5 B．❑√3−1 C． D．
2 2
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解
题关键，设CD=x，则EC=1−x,CG=x−(1−x)，根据两矩形相似求出即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，设CD=x，
则AB=CD=x，AD=BC=1，
由翻折得AB=AF=x,∠AFE=∠B=∠BAF=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
同理，四边形DFHG是正方形，
∴BE=AB=x,DF=DG=1−x，
∴CE=1−x,CG=x−(1−x)=2x−1，
∵矩形HECG∽矩形ABCD，
EC CG 1−x 2x−1
∴ = ，即 = ，
BC CD 1 x
❑√5−1
解得：x= （负值舍去），
2
❑√5−1
经检验，x= 是原方程的解，
2
❑√5−1
∴CD=
2故选：C．
知识点2：平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图：如果 ，则 ， ， ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
【题型3 “A”模型中的平行线分线段成比例】
【例3】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若
PQ∥MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点
P表示的数是（ ）
5 10
A． B．3 C． D．5
2 3
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵PQ∥MN，
OP OQ 1
∴ = = ，
ON OM 3
∵ON=10，
10
∴OP= ．
3
故选：C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例
定理．【变式3-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下
列比例式中正确的是（ ）
BD DF BF AE BF DF BF CE
A． = B． = C． = D． =
AD AC FC EC FC AC FC AE
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
BD DF
【详解】解：A．由DF∥AC，得 = ，故A选项错误；
BA AC
BF BD BD CE BF CE
B．由DF∥AC，得 = ，又由DE∥BC，得 = ，则 = ，故B选项错误，D选项
FC DA DA EA FC EA
正确；
BF DF
C．由DF∥AC，得 = ，故C选项错误；
BC AC
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于
三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连
接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）
AN 1 DN 2 AD 1 NE 1
A． = B． = C． = D． =
AF 2 DE 3 AC 2 FC 2
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN=NF,根据中位线定理分析求解．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE∥BC.
AD AN
∴ = =1
DB NF
AN 1 1 1
∴ = ,NE= CF,DN= BF .
AF 2 2 2
NE 1
∴ = .
FC 2
∵BF=2FC，
∴DN=2NE.
DN 2
∴ = .
DE 3
所以，A,B,D正确，C错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解
题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l ，l ，l ，l
1 3 4 2
上，若直线l ∥l ∥l 且相邻两直线间距离相等．若AB=6，BC=4，则l ，l 之间的距离为（ ）．
1 2 3 2 3
6 12 24
A．5 B． C． D．
5 5 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌
握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键．
过A点作AN⊥l 于点N，交l 于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得
3 2
AE AM 1
= =1，进而可得AE=EB= AB=3，再利用勾股定理可得ED=❑√AE2+AD2=5，结合三角形
EB NM 2的面积即可求解．
【详解】过A点作AN⊥l 于点N，交l 于点M，如图，
3 2
∵在矩形ABCD中，BC=4，
∴AD=BC=4，∠BAD=90°，
∵直线l ∥l ∥l 且相邻两直线间距离相等，AN⊥l ，
1 2 3 3
∴AM=NM，
AE AM
∴ = =1，
EB NM
∵AB=6，
1
∴AE=EB= AB=3，
2
∴在Rt△EAD中，ED=❑√AE2+AD2=5，
1 1
∵S = ×AE×AD= ×AM×ED，
△EAD 2 2
AE×AD 12
∴AM= = ，
ED 5
12
∴MN=AM= ，
5
故选：C．
【题型4 “8”模型中的平行线分线段成比例】
【例4】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，DE∥BC，则下列比例式错误的是（ ）AD DE AE AD
A． = B． =
BD BC EC BD
AB AC AD AE
C． = D． =
BD EC AB AC
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE//BC，
AD AE AB AC AD AE
∴ = , = , = ；
BD EC BD EC AB AC
∴A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对
应关系，避免错选其他答案．
【变式4-1】（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．
【详解】∵ax=bc，
a c a b
∴ = 或 = ．
b x c x
a a+x
A．作出的为 = ，故不符合题意；
b b+cB．该情况无法作图，故不符合题意；
a c
C．作出的为 = ，故符合题意；
b x
a c
D．作出的为 = ，故不符合题意；
x b
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．
【变式4-2】（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC
EF
的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则 的值为（ ）
FB
2 3 3 3
A． B． C． D．
5 8 7 5
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角
对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
EF AF 3
∴ = = ，
BE BC 5EF 3
∴ = ，
FB 8
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线
段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式4-3】（2024春·全国·九年级专题练习）如图，l ∥l ，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：
1 2
EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【答案】C
AG AF 2 AE AG 2
【分析】根据l ∥l ，可得△AFG∽△BFD，进而得出 ＝ ＝ ， ＝ ，求出AG＝ BD，
1 2 BD BF 5 EC CD 5
1 AG
CD＝ BD，再求出 即可．
5 CD
【详解】解：∵l ∥l ，
1 2
∴△AFG∽△BFD
AG AF
∴ ＝ ，
BD BF
∵AF：BF＝2：5，
AG 2
∴ ＝ ，
BD 5
2
即AG＝ BD，
5
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
1
∴CD＝ BD，
5
2
BD
AG 5 2
∴ ＝ ＝ ，
CD 1 1
BD
5
∵l ∥l ，
1 2∴△AGE∽△CDE，
AE AG 2
∴ ＝ ＝ ，
EC CD 1
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型5 “X”模型中的平行线分线段成比例】
【例5】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，l ∥l ∥l ，两条直线与这三条平行线分别交于点
1 2 3
AB 3
A、B、C和D、E、F，已知 = ，若DF=10，则DE的长为（ ）
BC 2
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
AB DE
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得 = ，设DE=x，则EF=10−x，由此
BC EF
即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键．
AB DE 3
【详解】解：根据题意可得， = = ，设DE=x，则EF=10−x，
BC EF 2
3 x
∴ = ，
2 10−x
解得，x=6，
∴DE的长为6，
故选：D．
【变式5-1】（23-24九年级·山西晋中·期中）如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC和DF被直线l 、l 、l 所
1 2 3 1 2 3
截，AB=2，BC=5，EF=6，则DE的长为（ ）12 15 24
A．7 B． C． D．
5 2 5
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．
【详解】解：∵ l ∥l ∥l ，
1 2 3
AB DE
∴ = ，
BC EF
2 DE
∴ = ，
5 6
12
∴DE= ．
5
故选B．
【变式5-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，l ∥l ∥l ，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分
1 2 3
别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
AB DE AG DG
A． = B． =
BG EG GC GF
BE BG AD AG
C． = D． =
FC BC BE BG
【答案】C
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上
内容判断即可．
【详解】解：A、∵l ∥l ∥l ，
1 2 3AB DE
∴ = ，结果正确，故本选项不符合题意；
BG EG
B、∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AG DG
∴ = ，结果正确，故本选项不符合题意；
GC GF
C、∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
BE BG
∴ = ，结果错误，故本选项符合题意；
FC GC
D、∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AD AG
∴ = ，结果正确，故本选项不符合题意；
BE BG
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应
成比例．
【变式5-3】（2024春·吉林长春·九年级统考期末）如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝
BC
4，GD＝2，DF＝8，那么 的值等于 ．
CE
3
【答案】
4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
BC AD AG+GD
∴ = = ,
CE DF DF
∵AG=4,GD=2,DF=8,
BC AD AG+GD 4+2 3
∴ = = = = ,
CE DF DF 8 4
3
故答案为： .
4
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】
【例6】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，l ∥l ∥l ，则下列比例式成立的是（ ）
1 2 3
AB DE AB DE AB BE AB AD
A． = B． = C． = D． =
AC EF AC DF AC CF AC CF
【答案】B
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．
【详解】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AB DE
∴ = ，
AC DF
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段
成比例．
【变式6-1】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）如图，AB∥CD∥EF，BF=20．
(1)若AC=3，CE=5，求DF的长；
(2)若AC:CE=2:3，求DF的长．
【答案】(1)DF=12.5
(2)DF=12
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
AC BD
（1）由平行分线段成比例得出 = ，再代入数值计算；
CE DFBD 2
（2）由平行线分线段成比例的性质得出 = ，再代入计算．
DF 3
【详解】（1）∵AB∥CD∥EF，
AC BD
∴ = ，
CE DF
∵AC=3，CE=5，BF=20，
3 20−DF
∴ = ，
5 DF
解得DF=12.5；
（2）∵AB∥CD∥EF，AC:CE=2:3，
AC BD 2
∴ = = .
CE DF 3
∵BF=20，
20−DF 2
∴ = ，
DF 3
解得DF=12．
【变式6-2】（23-24九年级·贵州铜仁·期末）如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，
AC=16m，当DF:DE=4:3时，则AB的长是（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【答案】C
AC DF 4
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，再
AB DE 3
由AC=16m可得结果．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
AC DF 4
∴ = = ，
AB DE 3
∵AC=16m，
∴AB=12m，故选C．
【变式6-3】（23-24九年级·海南海口·期末）如图，l ∥l ∥l ，若2AB=3BC，DF=6，则DE等于
1 2 3
（ ）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到DE,EF的关系，再
根据DF=6可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵l ∥l ∥l ，2AB=3BC，
1 2 3
AB DE 3
∴ = = ，
BC EF 2
DE 3
∴ = ，
DF 5
∵DF=6，
3 18
∴DE= ×6= =3.6，
5 5
故选：C．
【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】
【例7】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一
条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
A． + = B． + = C． + = D． + =
r q p p q r p q r q r p
【答案】CEF BF EF CF
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得 = ， = ，两式相加即可得出结论．
AC BC BD BC
【详解】解：∵AC//EF，
EF BF
∴ = ，
AC BC
∵EF//DB，
EF CF
∴ = ，
BD BC
EF EF BF CF BF+CF BC r r
∴ + = + = = =1，即 + =1，
AC BD BC BC BC BC p q
1 1 1
∴ + = ．
p q r
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是
解题的关键．
【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D
作DG//BC，交AC于点G，过点E作EH//AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则
下列式子一定正确的是（ ）
AD DG GF HC FH GH HE EC
A． = B． = C． = D． =
DB BC EC GH AD AG AB BE
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵DG//BC，
AD DG
∴ = ，故A选项错误；
AB BC
∵DG//BC，
GF GH
∴ = ，故B选项错误；
EC HC
∵EH//AB，FH GH
∴ = ，故C选项正确；
AD AG
∵EH//AB，
HE EC
∴ = ，故D选项错误．
AB BC
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在▱ABCD中，E，F，G依次是对角线BD上的四等
分点，连结CG并延长交AD于点M，连结MF并延长交BC于点H．若MF=MC,MG=1，MH的长为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
MD MG DG
【分析】根据AD∥BC，得到 = = ，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明
BC CG BG
DF MF
= =1可得HF，可得MH．
BF FH
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
MD MG DG
∴ = = ，
BC CG BG
∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1，
1 DG 1
∴ = = ，
CG BG 3
∴CG=3，
∴MF=MC=MG+CG=4，
∵AD∥BC，
DF MF
∴ = =1，
BF FH∴HF=4，
∴MH=MF+HF=8，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例
式．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图， 点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB
和BC的平行线交平行四边 形ABCD的四边于E，F，G，H． 连结AC分别交EG，FH于M和N．
`
若四边形FBGP~四边形EPHD，且四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍． 下列选项正确的是（
）
A．EP=PH B．AN=EP C．AN=2MN D．AM=2CM
【答案】D
【分析】设EP=x，PH= y，BF=kx，BG=ky，利用平行线分线段成比例定理求得
GM=x，FN= y，EM=kx，NH=ky，再利用已知条件求得k=2，据此即可求解．
【详解】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD
的四边于E，F，G，H．四边形FBGP~四边形EPHD，
∴四边形PFBG，DEPH都是平行四边形，且相似，
设EP=x，PH= y，BF=kx，BG=ky，
∵FN∥BC，
FN AF GM GC FN x GM y
∴ = ， = ，即 = ， = ，
BC AB AB BC (k+1)y (k+1)x (k+1)x (k+1)y
∴GM=x，FN= y，EM=kx，NH=ky，
∴△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，
∴S =S ，
四边形PGCH 四边形AFPE
`
∵四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍．(k+1)y
∴ =3，
y
∴k=2，
∴EP=PH、AN=EP、AN=2MN都不成立，
AM=2CM成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是
解题的关键
【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东枣庄·期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连
接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形
中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
【详解】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AO=OC，菱形ABCD的面积为： AC•BD，
2∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
1
∴EF∥BD，EF= BD，
2
CF CG
∴AC⊥EF， = ，
DF OG
∴OG=CG，
∴AG=3CG，
设AC=a，BD=b，
1
∴ ab=16，即ab=32，
2
1 1 1 3 3
S AEF= EF•AG= × b× a= ab=6．
△ 2 2 2 4 16
故选：D．
【点睛】此题考查的是菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，能够利用三角形面积
公式得到答案是解决此题关键．
【变式8-1】（23-24九年级·上海·期中）△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么
AG= ．
【答案】4
AG AF
【分析】过点D作DE//BF交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出 = =2
GD EF
，然后代入计算即可．
【详解】如图，过点D作DE//BF交AC于点E，
∵G是△ABC重心，
∴AD，BF都是△ABC的中线，
∴AF=CF,BD=DC．
∵DE//BF，1
∴CE=EF= CF，
2
∴AF=2EF ．
∵DE//BF，
AG AF
∴ = =2．
GD EF
∵GD=2，
∴AG=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关
键．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽宿州·期末）如图，∠AOB=60°，C、D是边OA上的两点，且
OD=8,CD=2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为
（ ）
❑√3
A．1 B．❑√3 C． D．2
2
【答案】B
【分析】取OD的中点M，连接MQ，过点C作CQ′⊥MQ于点Q′，得MQ是△DOP的中位线，连接DQ′
并延长交OB于点P′，可得Q点的运动轨迹是射线MQ，所以得CQ的最小值为CQ'的长，然后利用含30度
角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨
迹，解决本题的关键是得到Q点的运动轨迹是射线MQ．
【详解】解：如图，取OD的中点M，连接MQ，过点C作CQ′⊥MQ于点Q′，∵ Q PD
点 是 的中点，
∴MQ是△DOP的中位线，MQ始终与OB平行，
连接DQ′并延长交OB于点P′，
DM DQ'
∴ = =1
OM Q'P'
∴DQ′=Q′P′，
∴Q点的运动轨迹是射线MQ，
∴CQ的最小值为CQ′的长，
∵∠CMQ′=∠AOB=60°，OD=8，M是OD的中点，
1
∴MD= OD=4，
2
∵CD=2，
∴MC=MD−CD=2，
1
∴MQ′= MC=1，
2
∴CQ'=❑√3MQ'=❑√3，
∴CQ的最小值为❑√3．
故选：B
【变式8-3】（2024·福建泉州·模拟预测）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ
三线共点．
【答案】见解析
【分析】令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD，证明四边形BDCE是平行四边形，则BE∥CD，BD∥CE，再证明ZE为△ABD中位线，则点E为AD中点，最后证明EY为△ABD中
位线，得出EY∥CD，即可根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求证．
【详解】解：令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD．
∵AX是△ABC的中线，
∴BX=CX，
∵XE=XD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BE∥CD，BD∥CE，
∵CZ是△ABC的中线，
∴点Z为AB中点，BD∥CE
AE AZ 1
∴ = = ，
AD AB 2
∴ZE为△ABD中位线，即点E为AD中点，
∵BY是△ABC的中线，
∴点Y为AC中点，BE∥CD
AE AY 1
∴ = = ，
AD AC 2
∴EY为△ABD中位线，
∴EY∥CD，
∵EY∥CD，BE∥CD，
∴点B、E、Y在同一条直线上，
∴AX，BY，CZ三线共点．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的证明，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，平行线分线段
成比例定理，三角形中位线的判定和性质，以及在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行．【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】
1
【例9】（23-24九年级·广东河源·期末）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE= AD，BE的延长
4
AF
线交AC于F，则 的值为（ ）
FC
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 5 6 7
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作DH∥BF
交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
1
∵DH∥BF，且AE= AD
4
AF AE 1
∴ = = ，
HF ED 3
∴AF：FC=1：6，
故选：C
【变式9-1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上
DF 4
一点，连接AE，DG，相交于点F．若 = ，则FE的长度是（ ）
FG 52❑√5 2❑√3 1 4
A． B． C． D．
9 7 2 7
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作
DH DF 4 HE 1
FH∥BC交CD于H，则 = = ，根据E为CD边中点，得 = ，再根据FH∥AD，得
HC FG 5 ED 9
FE HE 1 2❑√5
= = ，根据勾股定理得AE=2❑√5，所以FE= ．
AE DE 9 9
【详解】解：如图，作FH∥BC交CD于H，
DH DF 4
则 = = ，
HC FG 5
∵E为CD边中点，
HE 1
∴ = ，
ED 9
∵FH∥AD，
FE HE 1
∴ = = ，
AE DE 9
∵AE=❑√42+22=2❑√5，2❑√5
∴FE= ．
9
故选：A．
【变式9-2】（23-24九年级·浙江湖州·期末）如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分
∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E． 记△AGO的面积为S，△AEB的面积为
1
S 2 OG
S，当
1
＝ 时，则 的值是（ ）
2 S 5 BC
2
2 1 4 3
A． B． C． D．
5 3 11 8
【答案】D
AG 4
【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明 = ，再利用平行线分线段成比例求解即
EG 1
可．
【详解】解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，
∵点O是AB的中点，
∴AO=OB，
∴S =S ，
∆AOG ∆OBGS 2
∵
∆AOG=
，
S 5
∆ABE
S 4
∴
∆ABG=
，
S 1
∆BEG
AG 4
∴ = ，
EG 1
∵OT∥AE，AO=BO，
∴ET=TB，
1
∴OT= AE，
2
GE 2
∴ = ，
OT 5
∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，
∴∠DCG=∠DCE，
∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE，
∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，
∴∠COT=∠CTD，
∴CO=CT，
∴OG=ET，
∵GE∥OT，
CE GE 2
∴ = = ，
CT OT 5
CE 2
∴ = ，
ET 3
OG 3
∴ = ，
BC 8
故选：D．
【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加
辅助线，构造平行线是解题关键．
【变式9-3】（23-24九年级·广西·期中）如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于（ ）
A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1
【答案】C
【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a，则BP=PQ=QC=a；根据平行线间的线段对应成比
例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a，
则BP=PQ=QC=a；
∵AM=CM，AF∥BC，
AF AM
∴ = =1，
BC CM
∴AF=BC=3a，
∵AF∥BP，
BD BP a 1
∴ = = = ，
DF AF 3a 3
DF BF
∴BD= = ，
3 4
∵AF∥BQ，
BE BQ 2a 2
∴ = = = ，
EF AF 3a 3
2EF 2BF
∴BE= ，即BE= ，
3 5∵AF∥BC，
BM BC 3a
∴ = = =1，
MF AF 3a
BF
∴BM=MF，即BM= ，
2
2BF BF 3BF BF 2BF BF
∴DE=BE−BD= − = ，EM=BM−BE= − = ，
5 4 20 2 5 10
BF 3BF BF
∴BD:DE:EM= : : =5：3：2．
4 20 10
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】
【例10】（2024·浙江绍兴·一模）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开
始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一
水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C
的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）
12 12 24 24
A． B． ❑√2 C． D． ❑√2
5 5 5 5
【答案】A
【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分
线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．
【详解】解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，
因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,设OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
BE CE
∴ = ,
OB OA
6−x x
∴ = ，
6 4
12
∴x= ，
5
∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,
12
∴点C处的标度等于CD的长，即为 ，
5
故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，
解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角
形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．
【变式10-1】（23-24九年级·浙江·周测）如图，在ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平
分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，则BD:DE为（ ）
A．3:2 B．5:3 C．4:3 D．2:1
【答案】A
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理得AC=8，再由角平分线的性质得DA=DF，进而由面
积法求出DF=3，则CD=AC−DA=5，然后由勾股定理得CF=4，则BF=6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴DA⊥BA，AC=❑√BC2−AB2=❑√102−62=8，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DA=DF，
∵S =S +S ，
△ABC △ABD △BCD
1 1 1
∴ AB⋅AC= AB⋅DA+ BC⋅DF，
2 2 2
∴6×8=6DF+10DF，
解得：DF=3，
∴DA=3，
∴CD=AC−DA=8−3=5，
∴CF=❑√CD2−DF2=❑√52−32=4，
∴BF=BC−CF=10−4=6，
∵DF⊥BC，CE⊥BC，
∴DF∥CE，
BD BF 6 3
∴ = = = ，
DE CF 4 2
即BD:DE=3:2．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等
知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键
【变式10-2】（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，正方形ABCD边长为3，G，F是对角线BD的三等分
点，点E在边AB上，EG∥AD，连接FC．(1)求EF的长．
(2)试判断EF与FC之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)❑√5
(2)EF⊥FC，理由见解析
【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等：
（1）过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，先证四边形MBNF为正方形，根据EG∥AD得出
BE BG
= =1，最后由勾股定理解Rt△MFE即可求解；
ME GF
（2）利用勾股定理的逆定理证明△EFC为直角三角形，即可得出EF⊥FC．
【详解】（1）解：过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴FM=FN
又∵∠ABC=∠BMF=∠BNF=90°，
∴四边形MBNF为正方形，
∴BD=❑√32+32=3❑√2，
∵点F为三等分点，
∴BF=2❑√2，
∴MF=MB=BN=2，又∵G为FB中点，EG∥AD，
BE BG
∴ = =1，
ME GF
1
∴ME=BE= MB=1，
2
在Rt△MFE中，EF=❑√M E2+M F2=❑√12+22=❑√5．
（2）解：EF⊥FC，
理由：连接EC，
在Rt△BEC中，EC2=EB2+BC2=12+32=10，
由（1）知EF=❑√5，
∴EF2=5，
在Rt△FNC中，FC2=NC2+FN2=1+4=5，
∴EC2=EF2+FC2，
∴△EFC为直角三角形，
∴EF⊥FC．
【变式10-3】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在四边形ACBD中，对角线AB，CD相交于点O，
AD
∠ACB=90°，BD=CD=10，BC=16，若∠DAB=2∠ABC，则 的值为 ．
AB
1
【答案】 /0.5
2
【分析】过D作DE⊥BC于E，交AB于F，设∠ABC=α，∠ABD=β，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ADC=β=∠FBD，∠ACD=90°−(α+β)=∠FDB，再证△DAC≌△BFD(ASA)
BE BF AD BF 1
，推出BF=AD，根据AC∥DE推出 = =1，进而可证 = = ．
CE FA AB AB 2
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，交AB于F，
设∠ABC=α，∠ABD=β，
∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，
∵BD=CD，DE⊥BC，
∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，
在△DAO和△BCO中，由三角形内角和定理可知∠ADO+2α=(α+β)+α，
∴∠ADC=β=∠FBD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+(α+β)=90°，
∴∠ACD=90°−(α+β)=∠FDB，
在△DAC和△BFD中，
{∠ACD=∠FDB
)
BD=CD ，
∠ADC=∠FBD
∴△DAC≌△BFD(ASA)，
∴BF=AD，
∵AC⊥CB，DE⊥CB，
BE BF
∴AC∥DE，则 = =1，
CE FA
∴F是AB的中点，
AD BF 1
∴ = = ，
AB AB 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等，正确作出辅助线，证明是解题的关键．
