专题 11.1 幂的运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:26)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:21)....................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:47)(cid:21)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:3)(cid:52)(cid:21)..................................................................................................12
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:19)(cid:55)(cid:21)......................................................................................................................15
知识点1 同底数幂的乘法
科AA+
全
1. (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)a(cid:64)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:66)(cid:26)m(cid:59)n(cid:59) 号★
众
公
注
关
，
=( ) ( 资)源=( )=
辅
教
𝑚 𝑛 个 个 + 个 𝑚+𝑛
𝑎 ⋅𝑎 𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎 ⋅ 𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎 𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎 𝑎
(cid:67)(cid:68)(cid:59)(cid:69)(cid:70)(cid:71) 𝑚 𝑎 = 𝑛 𝑎 ， 都是正 ( 整 𝑚 数 𝑛 ) )(cid:72)𝑎
𝑚 𝑛 𝒎+𝒏
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:29)(cid:30)⋅𝑎(cid:30)(cid:73)(cid:10)𝒂(cid:24)(cid:25)(𝑚(cid:26)(cid:27)𝑛(cid:74)(cid:29)(cid:59)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:78)(cid:72)
3. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:28)(cid:79)(cid:80)(cid:64)(cid:33)(cid:39)(cid:34)(cid:10) = ， ，p都是正整数)(cid:81) =
𝑚 𝑛 𝑝 𝑚+𝑛+𝑝 𝑚+𝑛 𝑚 𝑛
， 都是正整数)(cid:72)(cid:82)2 2 2 =2 =𝑎 2⋅𝑎(cid:81)⋅2𝑎 =2𝑎 2 (cid:72)(𝑚 𝑛 𝑎 𝑎 ⋅𝑎 (𝑚
3 4 5 3+4+5 12 8 3 5
知识 𝑛 点2 幂的乘方 ⋅ ⋅ ⋅
1. (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)a(cid:64)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:66)(cid:26)m(cid:59)n(cid:59)
个 个
( ) = 𝑚 = = (cid:72)
𝑛 𝑎 𝑛 𝑚
𝑚 𝑛 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚+𝑚+⋯+𝑚 𝑚𝑛
(cid:67)𝑎(cid:68)(cid:59)(cid:69)(cid:70)𝑎 (cid:71)⋅(𝑎 ⋅)⋯=⋅𝑎 𝑎， 都是正整𝑎数)(cid:72)
𝑚 𝑛 𝒎𝒏
(cid:25)(cid:26)a(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:86) 𝑎 (cid:59) 𝒂 ) = (𝑚 𝑛 ， 为偶数，
， 为奇数(cid:72)
𝑚𝑛
𝑚 𝑛 𝑎 𝑚𝑛 𝑛
2. (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:10)((cid:27)−𝑎(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)−(cid:25)𝑎(cid:26)(cid:75)(cid:76)𝑛(cid:59)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:29)(cid:72)
3. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:64)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:28)(cid:87)(cid:24)(cid:88)
(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73) (cid:25)(cid:26) (cid:75) (cid:76) (cid:59) (cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)
= (cid:32)(cid:89)m(cid:59)n ( ) =
𝑎 𝑚 ⋅𝑎 𝑛 𝑎 𝑚+𝑛 (cid:90) (cid:91) (cid:65) (cid:66) (cid:26) (cid:77) 𝑎 (cid:26) 𝑚 (cid:74) 𝑛 (cid:29) 𝑎 𝑚𝑛知识点3 积的乘方
1. (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)a(cid:59)b(cid:64)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:66)(cid:26)n(cid:59)
= =( ) ( )= (cid:72)
𝑛 个 个 个 𝑛 𝑛
(𝑎𝑏) (𝑎𝑏)⋅(𝑎𝑏)⋅⋯⋅(𝑎𝑏) 𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎 ⋅ 𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏 𝑎 𝑏
(cid:67)(cid:68)(cid:59)(cid:69)(cid:70)(cid:71) 𝑛 𝑎𝑏 = 为正整 𝑛 数 𝑎 )(cid:72) 𝑛 𝑏
𝑛 𝒏 𝒏
2. (cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:30)((cid:73)𝑎𝑏(cid:10)) (cid:36)(cid:28)𝒂(cid:29)𝒃(cid:35)((cid:59)𝑛(cid:92)(cid:61)(cid:93)(cid:36)(cid:28)(cid:94)(cid:56)(cid:95)(cid:67)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:98)(cid:93)(cid:99)(cid:100)(cid:28)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:72)
知识点4同底数幂的除法
(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:69)(cid:70)(cid:71) ÷ = 0， ， 都是正整数，并且 > (cid:72)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:37)(cid:59)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)
𝑚 𝑛 𝒎−𝒏
(cid:26)(cid:74)(cid:102)(cid:72) 𝑎 𝑎 𝒂 (𝑎≠ 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛)
【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】
(cid:15)(cid:103)1(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)|3 |+|3 |=全0(cid:59)科(cid:73) A3
A+
= (cid:72)
号★
𝑥
公
众𝑦 𝑥+𝑦+2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)72 关 注−2 −4
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:68)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:123)(cid:60)(cid:47)(cid:28)(cid:124)(cid:85)(cid:125)(cid:59)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:91)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:108)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:72)(cid:131)(cid:132)
(cid:100)(cid:133)3 =2(cid:59)3 =4(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:126)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21) |3 |+|3 |=0(cid:59)
𝑥 𝑦
3 =2(cid:59)∵3 =−24(cid:59) −4
𝑥 𝑦
∴3 =3 ×3 ×3 =2×4×9=72(cid:72)
𝑥+𝑦+2 𝑥 𝑦 2
(cid:140)∴ (cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)72(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)1-1(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:143)(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:150)(cid:40)3 3 (cid:28)(cid:151)(cid:152)(cid:91)(cid:104) (cid:115)
𝑚 𝑛
A(cid:72)3 B(cid:72)9 C(cid:72)3 ⋅ D(cid:72)6
𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑚+𝑛 𝑚+𝑛
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)C
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:28)(cid:154)(cid:155)(cid:59)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:108)(cid:154)(cid:155)(cid:91)(cid:126)(cid:117)(cid:153)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:81)
(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:117)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:41)(cid:126)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:73)(cid:59)(cid:159)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:24)(cid:86)(cid:59)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:78)(cid:59)(cid:101)(cid:10)3 3 =3 (cid:59)
𝑚 𝑛 𝑚+𝑛
(cid:160)(cid:161)A(cid:84)3 (cid:59)(cid:60)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:104)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:29)(cid:115)(cid:59)(cid:163)(cid:22)(cid:164)(cid:89)(cid:91)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:140)(cid:165)⋅(cid:166)(cid:81)
𝑚𝑛
(cid:160)(cid:161)B(cid:84)9 (cid:59)(cid:165)(cid:166)(cid:58)(cid:167)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:29)(cid:59)(cid:75)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:73)(cid:81)
𝑚𝑛(cid:160)(cid:161)D(cid:84)6 (cid:59)(cid:25)(cid:26)(cid:170)(cid:165)(cid:166)(cid:58)(cid:74)(cid:78)(cid:59)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:134)(cid:75)(cid:172)(cid:173)(cid:81)
𝑚+𝑛
(cid:160)(cid:161)C(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:73)(cid:59)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:48)(cid:117)(cid:118)(cid:84)C(cid:81)
(cid:140)(cid:160)(cid:10)C(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)1-2(cid:21)(cid:104)23-24(cid:174)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:175)(cid:17)(cid:176)(cid:143)·(cid:177)(cid:178)(cid:115)(cid:179)(cid:154) + +3=0(cid:59)(cid:73)2 2 (cid:28)(cid:47)(cid:91) (cid:72)
𝑦 𝑥
1 𝑥 𝑦 ⋅
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)
8
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:68)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:132)(cid:41)(cid:180) + = (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)2 2 =2 (cid:59)(cid:66)(cid:181)(cid:45)(cid:182)(cid:41)(cid:126)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
𝑦 𝑥 𝑥+𝑦
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) + +3=0(cid:59) 𝑥 𝑦 −3 ⋅
+ = (cid:59)∵𝑥 𝑦
∴𝑥 𝑦 −3 1
2 2 =2 =2 = (cid:59)
8
𝑦 𝑥 𝑥+𝑦 −3
∴ ⋅ 1
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10) (cid:72)
8
(cid:15)(cid:76)(cid:46)1-3(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:116)(cid:66)(cid:26) =2 ×5 (cid:91)(cid:56)(cid:95)10(cid:187)(cid:26)(cid:59)(cid:73) (cid:28)(cid:99)(cid:71)(cid:138)(cid:188)(cid:47)(cid:91)
𝑛 8
(cid:104) (cid:115) 𝑚 𝑛
A(cid:72)11(cid:59)12(cid:59)13 B(cid:72)10(cid:59)12(cid:59)14 C(cid:72)12(cid:59)13(cid:59)14
科
D(cid:72)
A
13A(cid:59)+14(cid:59)15
全
号★
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)C 公 众
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)教(cid:29)(cid:30)辅(cid:30)(cid:73)(cid:189)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:130)(cid:31)(cid:60)(cid:66)(cid:26)(cid:187)(cid:26)(cid:28)(cid:190)(cid:126)(cid:72)(cid:126)(cid:22)(cid:3)(cid:127)(cid:91)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:72)
(cid:131)(cid:132)(cid:38)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:167) =2 ×5 (cid:76)(cid:192)(cid:84) =2 ×5 ×2 =10 ×2 (cid:59)(cid:67)(cid:84)2 ×5 =
𝑛 8 8 8 𝑛−8 8 𝑛−8 8 8
(2×5) =10 (cid:91)9(cid:187)(cid:26)(cid:72)(cid:136)(cid:137)𝑚(cid:91)10(cid:187)(cid:26)(cid:59)(cid:100) 1𝑚0 (cid:29)(cid:56)(cid:95)(cid:26)(cid:135)(cid:76)(cid:84)10(cid:187)(cid:26)(cid:59)(cid:193)(cid:95)(cid:26)2 (cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:91)10 2
8 8 8 𝑛−8 𝑛−8
<100 (cid:72)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:137)2 (cid:28)(cid:197)(cid:47)𝑚(cid:194)(cid:195)(cid:59)(cid:156)(cid:198)(cid:100)(cid:180) (cid:28)(cid:138)(cid:188)(cid:47)(cid:72) ≤
𝑛−8
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21) =2 ×5 =2 ×5 ×2 (cid:59) 𝑛
𝑛 8 8 8 𝑛−8
2 ×5 =∵1𝑚0 (cid:91)(cid:56)(cid:95)9(cid:187)(cid:26)(cid:59)
8 8 8
(cid:66)(cid:26) =2 ×5 (cid:91)(cid:56)(cid:95)10(cid:187)(cid:26)(cid:59)
𝑛 8
10𝑚 2 <100(cid:59)
𝑛−8
∴ ≤(cid:138)(cid:188)(cid:91)4(cid:59)5(cid:59)6(cid:59)
∴𝑛(cid:138)−8(cid:188)(cid:91)12(cid:59)13(cid:59)14(cid:72)
(cid:140)∴(cid:160)𝑛 (cid:10)C(cid:72)
【题型2 幂的乘方及其逆用】
(cid:15)(cid:103)2(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:49)·(cid:177)(cid:178)(cid:115)(cid:116)x(cid:59)y(cid:202)(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:26)(cid:59)(cid:203)2 8 =32(cid:59)(cid:73) + (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
𝑥 𝑦
⋅ 𝑥 3𝑦(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)5
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:41)(cid:45)(cid:26)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:59)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126) 2 8 =32(cid:59)
𝑥 𝑦
∶∵ ⋅
2 (2 ) =2 (cid:59)
𝑥 3 𝑦 5
∴ ⋅
2 2 =2 (cid:59)
𝑥 3𝑦 5
∴ ⋅
2 =2 (cid:59)
𝑥+3𝑦 5
∴ + =5(cid:59)
(cid:140)∴𝑥(cid:117)(cid:118)3𝑦(cid:84) 5(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)2-∶1(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:204)(cid:205)(cid:172)(cid:90)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:116)( ) = (cid:59)(cid:73) = (cid:72)
2 3 𝑚
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)5 𝑎 𝑎 ·𝑎 𝑚
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:56)(cid:112)(cid:56)(cid:206)(cid:35)(cid:207)(cid:28)(cid:126)(cid:30)(cid:126)(cid:117)(cid:101)(cid:138)(cid:72)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:126)(cid:35)(cid:207)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:7)(cid:46)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(cid:208)( ) = (cid:59) 科AA+
2 3 𝑚 号★ 全
(cid:100) = (cid:59) 𝑎 𝑎 ·𝑎 公 众
注
关
6 𝑚+1 源 ，
资
(cid:140)𝑎 +1𝑎=6(cid:59) 教 辅
(cid:126)𝑚(cid:100) =5(cid:59)
(cid:140)(cid:117)𝑚(cid:118)(cid:84)(cid:10)5(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)2-2(cid:21)(cid:116) + =0(cid:59)(cid:73)3 27 = (cid:72)
𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)9 𝑎 3𝑏−2 ⋅
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:91)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:108)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:72)
(cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:212)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:76)(cid:192)(cid:100)3 27 =3 (cid:59)(cid:167) + =2(cid:45)(cid:182)(cid:41)(cid:47)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑎+3𝑏
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(cid:208) + =0(cid:100) + =2(cid:59) ⋅ 𝑎 3𝑏
3 27 =3 (3𝑎 ) 3=𝑏−32 3 =𝑎3 3𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 3 𝑏 𝑎 3𝑏 𝑎+3𝑏
(cid:167) ⋅+ =2(cid:45)⋅ (cid:182)(cid:108)(cid:46)(cid:100)(cid:59)⋅
(cid:212)𝑎(cid:46)=3𝑏3 =9(cid:59)
2
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)9(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)2-3(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:183)(cid:184)(cid:176)(cid:213)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:69)(cid:70)(cid:49)(cid:214)(cid:10)(cid:215)(cid:216)(cid:192) = (cid:59)(cid:204)(cid:217)(cid:192) =
𝑏+𝑐
𝑎· (cid:81)(cid:116) =9(cid:59)(cid:73) = (cid:72)
𝑚 𝑛
𝑝(cid:15)(cid:117) 𝑞 (cid:118)(cid:21)16
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:218)(cid:39)(cid:40)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:189)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:189)(cid:66)(cid:181)(cid:45)(cid:182)(cid:30)(cid:41)(cid:45)(cid:26)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:72)(cid:131)(cid:132)(cid:136)(cid:137)(cid:219)
(cid:49)(cid:28)(cid:218)(cid:39)(cid:40)(cid:138)(cid:100)3 =9(cid:59)(cid:41)(cid:180) + =2(cid:59)(cid:220)(cid:198)(cid:138)(cid:100)(cid:10) =16 ·4 (cid:59)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)
𝑥+2𝑦 𝑦 𝑥
(cid:211)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:66)(cid:190) 𝑥 (cid:138)(cid:100) 2𝑦 (cid:10)4 (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:98)(cid:66)(cid:181)(cid:45)(cid:182)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
𝑥+2𝑦
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)
(cid:126)(cid:10) =9(cid:59) 3 =9(cid:59)
𝑥+2𝑦
+ ∵ =2(cid:59) ∴
∴𝑥 2𝑦 科AA+
全
号★
众
公
注
关
=16 ·4 (cid:59)=4 ·4 源 ，
资
辅
𝑦 𝑥 教2𝑦 𝑥
=∴4
𝑥+2𝑦
=4
2
=16(cid:72)
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10) 16(cid:72)
【题型3 积的乘方及其逆用】
(cid:15)(cid:103)3(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:183)(cid:184)(cid:221)(cid:143)·(cid:177)(cid:178)(cid:115)(cid:179)(cid:154) =2 +2 (cid:59)(cid:73)(cid:65)(cid:66)(cid:26)m(cid:28)(cid:47)(cid:84)(cid:104) (cid:115)
2 10 13
A(cid:72)84 B(cid:72)86 C(cid:72)𝑚94 D(cid:72)96
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)D
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:92)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:169)(cid:222)(cid:24)(cid:223)(cid:161)(cid:72)(cid:167)(cid:92)(cid:46)(cid:224)(cid:217)(cid:28)(cid:225)(cid:95)(cid:27)
(cid:206)(cid:161)(cid:226)(cid:197)(cid:7)(cid:67)(cid:26)(cid:59)(cid:227)(cid:228)(cid:84)(cid:229)(cid:35)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:36)(cid:192)(cid:46)(cid:59)(cid:156)(cid:198)(cid:230)(cid:229)(cid:35)(cid:100)(cid:133)m(cid:28)(cid:47)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:126)(cid:117)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) =2 +2 =2 +2 ×2
2 10 13 10 3 10
∵𝑚
=2 +8×2 =9×2 =(cid:104)3×2 (cid:115) (cid:59)
10 10 10 5 2
=3×2 =96(cid:72)
5
∴𝑚(cid:140)(cid:160)D(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)3-1(cid:21)(cid:104)2025(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:235)(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:115)( ) ( ) ( ) = (cid:72)
2 2 3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) −𝑥 ⋅ −𝑥 ⋅ −𝑥
7
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)𝑥(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:29)(cid:35)(cid:189)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:108)(cid:154)(cid:155)(cid:88)(cid:91)(cid:126)(cid:117)(cid:153)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:136)(cid:137)(cid:29)(cid:35)(cid:130)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(cid:212)(cid:46)=( ) ( )
2 2 3
= −𝑥 ⋅𝑥 ⋅ −𝑥
2 2 3
=𝑥 ⋅𝑥 ⋅𝑥
7
(cid:140)𝑥(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10) (cid:72)
7
(cid:15)(cid:76)(cid:46)3-2(cid:21)𝑥(cid:104)2025·(cid:204)(cid:205)(cid:236)(cid:213)·(cid:237)(cid:238)(cid:115)(cid:179)(cid:154) =8 (cid:59) =9 (cid:59)(cid:73)72 (cid:138)(cid:130)(cid:239)(cid:240)(cid:84)(cid:104) (cid:115)
9 8 72
A(cid:72) B(cid:72) 𝑚 C(cid:72) 𝑛 D(cid:72)
8 9 8 8 9 9 9 8
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)𝑚A𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:167)(cid:212)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:65)(cid:48)(cid:58)(cid:76)(cid:192)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)
(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:167)(cid:212)(cid:46)(cid:76)(cid:192)(cid:135)(cid:101)(cid:138)(cid:126)(cid:117)(cid:72) 科AA+
全
号★
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) =8 (cid:59) =9 (cid:59) 公 众
注
关
9 8 源 ，
资
72 =(8×∵9𝑚) =8 𝑛×9教 辅=(8 ) ×(9 ) = (cid:72)
72 72 72 72 9 8 8 9 8 9
∴(cid:140)(cid:160)(cid:10)A(cid:72) 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:76)(cid:46)3-3(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:218)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:150)(cid:40)
2
×1.5 ×( ) (cid:28)(cid:151)(cid:152)(cid:91)(cid:104) (cid:115)
3 2023
2022 2021
2 3 2 3−1
A(cid:72) B(cid:72) C(cid:72) D(cid:72)
3 2 3 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)C − −
2 2
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:132)(cid:93)(cid:212)(cid:46)(cid:76)(cid:192)(cid:84) × ×1.5
3 3 2022
×( ) (cid:59)(cid:156)(cid:56)(cid:245)(cid:76)(cid:192)(cid:100)(cid:133)(cid:59)(cid:137)(cid:68)(cid:41)(cid:126)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
2021
−1 2 2
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(cid:212)(cid:46)= × ×1.5 ×( )
3 3 2022
2021
2 −1
= ×1×( )
3
2 −1
=
3
(cid:140)(cid:160)−(cid:10)C(cid:72)【题型4 同底数幂的除法及其逆用】
(cid:15)(cid:103)4(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:246)(cid:213)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:179)(cid:154)3 =2(cid:59)3 =4(cid:59)3 =12(cid:59)(cid:73)(cid:142)(cid:247)(cid:151)(cid:248)(cid:165)(cid:166)(cid:28)(cid:91)(cid:104) (cid:115)
𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:72) =1 B(cid:72) =1 C(cid:72) + =0 D(cid:72) =0
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)𝑐−C𝑏 𝑐−2𝑎 2𝑎 𝑐−2𝑏 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:41)(cid:180)3 =4(cid:59)(cid:73)3 =3 (cid:59)(cid:138)(cid:100) = (cid:59)
2𝑎 2𝑎 𝑏
2𝑎 𝑏
(cid:137)(cid:68)(cid:138)(cid:249)(cid:250)A(cid:81)(cid:136)(cid:137)3 ÷3 =3(cid:100)(cid:133)3 =3(cid:59)(cid:73) =1(cid:59)(cid:137)(cid:68)(cid:138)(cid:249)(cid:250)A(cid:189)B(cid:81)(cid:150)(cid:40)(cid:180)3 =16(cid:59)(cid:73)(cid:138)(cid:100)
𝑐 𝑏 𝑐−𝑏 2𝑏
3 3 ÷3 =3 =3(cid:59)(cid:73) + =1(cid:59)𝑐−(cid:137)𝑏(cid:68)(cid:138)(cid:249)(cid:250)C(cid:72)
2𝑎 𝑐 2𝑏 2𝑎+𝑐−2𝑏
⋅ 2𝑎 𝑐−2𝑏
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 3 =2(cid:59)3 =4(cid:59)3 =12(cid:59)
𝑎 𝑏 𝑐
(3 ) =2 (cid:59) ∵ (cid:101)3 =4(cid:59)
𝑎 2 2 2𝑎
∴ 3 =3 (cid:59)
2𝑎 𝑏
∴ = (cid:59)(cid:101) =0(cid:59)(cid:140)D(cid:151)(cid:248)(cid:65)(cid:48)(cid:59)(cid:75)(cid:168)(cid:169)(cid:22)(cid:63)(cid:81)
∴23𝑎=4𝑏(cid:59)3 2=𝑎−1𝑏2(cid:59) 科AA+
𝑏 𝑐 号★ 全
∵3 ÷3 =3(cid:59) 公 众
注
关
𝑐 𝑏 源 ，
资
∴3 =3(cid:59) 教 辅
𝑐−𝑏
∴ =1(cid:59)(cid:140)A(cid:151)(cid:248)(cid:65)(cid:48)(cid:59)(cid:75)(cid:168)(cid:169)(cid:22)(cid:63)(cid:81)
∴𝑐−𝑏 =1(cid:59)(cid:140)B(cid:151)(cid:248)(cid:65)(cid:48)(cid:59)(cid:75)(cid:168)(cid:169)(cid:22)(cid:63)(cid:81)
∴𝑐(3−2)𝑎 =3 =4 =16(cid:59)
𝑏 2 2𝑏 2
∵3 3 ÷3 =3 =4×12÷16=3(cid:59)
2𝑎 𝑐 2𝑏 2𝑎+𝑐−2𝑏
∴ +⋅ =1(cid:59)(cid:140)C(cid:151)(cid:248)(cid:165)(cid:166)(cid:59)(cid:168)(cid:169)(cid:22)(cid:63)(cid:81)
(cid:140)∴2(cid:160)𝑎 (cid:81)𝑐C−(cid:72)2𝑏
1
(cid:15)(cid:76)(cid:46)4-1(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:183)(cid:184)(cid:232)(cid:251)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:179)(cid:154)10 =50,10 = (cid:59)(cid:73) (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:59)9 ÷3
2
𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦
(cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72) 𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) 2 81
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:30)(cid:59)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:30)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:156)(cid:157)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
1
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 10 =50,10 = (cid:59)
2
𝑥 𝑦
10 ÷10 =∵10 ,
𝑥 𝑦 𝑥−𝑦
∴1
(cid:252)10 ÷10 =50÷ =100=10 ,
2
𝑥 𝑦 2
=2,
∴9𝑥−÷𝑦3 =3 ÷3 =3 =3 ( ) =3 =81(cid:59)
𝑥 2𝑦 2𝑥 2𝑦 2𝑥−2𝑦 2 𝑥−𝑦 4
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)2(cid:81)81
(cid:15)(cid:76)(cid:46)4-2(cid:21)(cid:104)2025(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:109)(cid:110)·(cid:235)(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:179)(cid:154)25 5 =5 ,4 ÷4 =4(cid:59)(cid:73)(cid:45)(cid:26)(cid:46) + (cid:28)(cid:47)
𝑎 2𝑏 6 𝑏 𝑐
(cid:91) (cid:72) ⋅ 𝑎−3𝑏 4𝑐
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)−(cid:153)1(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:59)(cid:41)(cid:180)a(cid:189)b(cid:189)c(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:3)(cid:52)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:132)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)
(cid:30)(cid:41)(cid:180) + = =1(cid:59)(cid:100)(cid:133) + =2(cid:59)(cid:98)(cid:45)(cid:182) + (cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)𝑎 (cid:126)𝑏(cid:10) 235,𝑏−𝑐5 =5 ,4 𝑎÷4𝑐 =4(cid:59) 𝑎−3𝑏 4𝑐
𝑎 2𝑏 6 𝑏 𝑐
5 =5 ,∵4 =⋅ 4(cid:59)
2𝑎+2𝑏 6 𝑏−𝑐
∴ + = =1(cid:59)
∴(cid:225)𝑎(cid:46)(cid:74)𝑏(cid:102)(cid:59)3,𝑏(cid:138)−(cid:100)𝑐 + =2(cid:59)
+ = 𝑎+ 𝑐( )= + ( )= = (cid:59) 全
科AA+
号★
众
公
∴(cid:140)𝑎(cid:117)−3(cid:118)𝑏(cid:84)(cid:10)4𝑐 (cid:72)𝑎 𝑐− 3𝑏−3𝑐 𝑎 𝑐−3 𝑏−关𝑐 注 2−3 −1
，
源
资
辅
教
−1
(cid:15)(cid:76)(cid:46)4-3(cid:21)(cid:104)23-24(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:253)(cid:213)(cid:174)(cid:254)(cid:255)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:179)(cid:154)4 =16(cid:59)32 =2(cid:59)(cid:73)2 (cid:28)(cid:47)(cid:91) (cid:72)
𝑚 𝑛 𝑚−5𝑛
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)2
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:71)(cid:190)(cid:26)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:189)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:91)
(cid:126)(cid:22)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:132)(cid:136)(cid:137)(cid:71)(cid:190)(cid:26)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:138)(cid:100) =2(cid:59)(cid:98)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)
(cid:100)(cid:72) 𝑚
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 4 =16=4 (cid:59)
𝑚 2
=2(cid:59) ∵
∴𝑚32 =2(cid:59)
𝑛
∵2 =2 ÷2
𝑚−5𝑛 𝑚 5𝑛
∴=2 ÷(2 )
2 5 𝑛
=4÷32
𝑛
=4÷2
=2(cid:59)(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)2(cid:72)
【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】
(cid:15)(cid:103)5(cid:21)(cid:116) (cid:59) (cid:202)(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:26)(cid:59)(cid:203)2 4 =128(cid:59)(cid:73) + (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
2𝑥+1 𝑦
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)3𝑥 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:128)(cid:129)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:136)(cid:137)(cid:74)(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)2 ·4 =128(cid:59)
2𝑥+1 𝑦
2 ·2 =128(cid:59)
2𝑥+1 2𝑦
2 =128(cid:59)
2𝑥+1+2𝑦
2 =128(cid:59)
2𝑥+2𝑦+1
(cid:101)2 ( ) =2 (cid:59)
2 𝑥+𝑦 +1 7
2( + )+1=7(cid:59)
∴ +𝑥 =𝑦 3(cid:72)
科AA+
全
∴(cid:140)𝑥(cid:117)(cid:118)𝑦(cid:84)(cid:10)3 (cid:72) 号★
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:76)(cid:46)5-1(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:109)(cid:110)资·(cid:146)源(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:116)2×8 ×16 =2 (cid:59)(cid:73)n(cid:28)(cid:47)(cid:91) (cid:72)
辅
教
𝑛 𝑛 29
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)4
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:136)(cid:137)( ) = (cid:31) = (cid:41)(cid:126)(cid:101)
𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚 𝑛 𝑚+𝑛
(cid:138)(cid:100)(cid:133)(cid:117)(cid:118)(cid:81) 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 2×8 ×16 =2 (cid:59)
𝑛 𝑛 29
2×(2 ) ×(∵2 ) =2 (cid:59)
3 𝑛 4 𝑛 29
∴(cid:101)(cid:10)2 =2 (cid:59)
1+3𝑛+4𝑛 29
1+ + =29(cid:59)(cid:126)(cid:100)(cid:10) =4(cid:59)
∴(cid:140)(cid:117)(cid:118)3𝑛(cid:84)(cid:10)44𝑛(cid:72) 𝑛
(cid:15)(cid:76)(cid:46)5-2(cid:21)(cid:104)24-25(cid:174)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:175)(cid:17)(cid:256)(cid:232)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:179)(cid:154)3 9 27 81 =3 (cid:59)(cid:73)m(cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 30
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)3 ⋅ ⋅ ⋅
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:191)(cid:154)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:260)(cid:261)(cid:90)(cid:138)(cid:130)(cid:34)3(cid:28)
(cid:27)(cid:28)(cid:192)(cid:46)(cid:239)(cid:240)(cid:59)(cid:227)(cid:228)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:192)(cid:46)(cid:59)(cid:98)(cid:38)(cid:34)(cid:30)(cid:73)(cid:262)(cid:228)(cid:46)(cid:263)(cid:59)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:24)(cid:59)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:92)(cid:247)(cid:35)(cid:207)(cid:59)(cid:126)
(cid:180)(cid:35)(cid:207)(cid:101)(cid:138)(cid:72)(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 3 ·(3 ) ·(3 ) ·(3 ) =3 (cid:59)
𝑚 2 𝑚 3 𝑚 4 𝑚 30
3 ∵ =3 (cid:59)
𝑚+2𝑚+3𝑚+4𝑚 30
∴ + + + =30(cid:59)
(cid:126)∴(cid:100)𝑚 2=𝑚3(cid:72)3𝑚 4𝑚
(cid:140)(cid:117)𝑚(cid:118)(cid:84)(cid:10)3(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)5-3(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:264)(cid:265)(cid:183)(cid:266)(cid:267)(cid:243)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:116)2 =4 (cid:59)27 =3 (cid:59)(cid:73) (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
𝑥 𝑦+1 𝑦 𝑥−1
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)3 𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:68)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:39)(cid:40)(cid:130)(cid:31)(cid:237)(cid:112)(cid:56)(cid:206)(cid:35)(cid:207)(cid:268)(cid:28)(cid:126)(cid:30)(cid:59)(cid:269)(cid:270)(cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:39)(cid:40)(cid:125)(cid:271)(cid:167)(cid:212)(cid:46)(cid:76)
(cid:192)(cid:59)(cid:156)(cid:198)(cid:100)(cid:180)(cid:3)(cid:61)x(cid:59)y(cid:28)(cid:92)(cid:46)(cid:41)(cid:180)(cid:117)(cid:118)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 2 =4 =2 (cid:59)27 =3 =3 (cid:59)
𝑥 𝑦+1 2𝑦+2 𝑦 3𝑦 𝑥−1
= +2 ∵
= (cid:59)
𝑥 2𝑦
∴ 3𝑦 𝑥−=14
(cid:126)(cid:100)(cid:10) =1(cid:59)
𝑥
(cid:73) =𝑦 =3(cid:72)
科AA+
全
(cid:140)𝑥(cid:117)−(cid:118)𝑦(cid:84)(cid:10)4−31(cid:72) 号★
众
公
注
关
，
源
【题型6 利用幂的运算求幂的辅值】资
教
1
(cid:15)(cid:103)6(cid:21)(cid:104)24-25(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:175)(cid:17)(cid:243)(cid:213)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:179)(cid:154) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:26)(cid:59)(cid:203)( ) =9(cid:59)(cid:41) ( ) (cid:28)(cid:47)
3 2
𝑛 2 3𝑛 2 2𝑛
(cid:84) (cid:72) 𝑛 𝑥 𝑥 −3 𝑥
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)−(cid:153)1(cid:22)62(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:132)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:41)(cid:180) =9 (cid:59) =
6𝑛 3 4𝑛
1 1 𝑥 𝑥
9 (cid:59)(cid:98)(cid:208)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:100)(cid:133) ( ) = (cid:59)(cid:137)(cid:68)(cid:45)(cid:47)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
3 2 9
2 3𝑛 2 2𝑛 6𝑛 4𝑛
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) ( ) =9(cid:59) 𝑥 −3 𝑥 𝑥 −3𝑥
𝑛 2
=9(cid:59) ∵ 𝑥
2𝑛
∴𝑥( ) =9 (cid:59)( ) =9 (cid:59)
2𝑛 3 3 2𝑛 2 2
∴ 𝑥 =9 (cid:59) 𝑥=9 (cid:59)
6𝑛 3 4𝑛 2
∴𝑥1 𝑥
( )
3 2
3𝑛 2 2𝑛
∴ 1𝑥 −3 𝑥
=
9
6𝑛 4𝑛
𝑥 −3𝑥1
= ×9 ×9 (cid:59)
9
3 2
= (cid:59)−3
(cid:140)(cid:117)−(cid:118)16(cid:84)2(cid:10) (cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)6-1(cid:21)−(cid:104)16224-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:169)(cid:272)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:179)(cid:154) +7=0(cid:59)(cid:73)(cid:45)(cid:26)(cid:46)4 8 (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
𝑥+1 2−𝑦
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)2 2𝑥−3𝑦 ⋅
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:41)(cid:45)(cid:26)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:92)(cid:154)(cid:155)(cid:59)(cid:132)(cid:41)(cid:180) = (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:73)(cid:189)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:93)4 8 (cid:76)(cid:192)(cid:84)2 (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:93) = 2𝑥−(cid:66)3(cid:181)𝑦(cid:45)(cid:182)−7(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
𝑥+1 2−𝑦 2𝑥−3𝑦+8
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) +7=0(cid:59) ⋅ 2𝑥−3𝑦 −7
= ∵(cid:59)2𝑥−3𝑦
∴24𝑥−3𝑦8 −7
𝑥+1 2−𝑦
∴=(2 )⋅ (2 )
2 𝑥+1 3 2−𝑦
=2 2⋅
2𝑥+2 6−3𝑦
=2 ⋅
=2
2𝑥−3𝑦+8 科AA+
全
号★
−7+8 公 众
=2(cid:59) 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)2(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)6-2(cid:21)(cid:104)2023·(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)·(cid:238)(cid:277)(cid:278)(cid:113)(cid:115)(cid:116)17 =3 (cid:59)(cid:73)51 (cid:28)(cid:47)(cid:91) (cid:72)
𝑎 2−𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)9
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:30)(cid:211)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:156)(cid:157)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 17 =3 (cid:59)
𝑎 2−𝑎
17 =3 ÷3∵ ,
𝑎 2 𝑎
∴17 ×3 =3 (cid:59)
𝑎 𝑎 2
∴(17×3) =9,(cid:101)51 =9(cid:59)
𝑎 𝑎
∴(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)9(cid:72)
(cid:15)(cid:88)(cid:279)(cid:21)(cid:210)(cid:91)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:126)(cid:117)(cid:153)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)6-3(cid:21)(cid:179)(cid:154) =2(cid:59) =3(cid:72)
𝑛 𝑛
(cid:104)1(cid:115) ) (cid:28)(cid:47)(cid:84)𝑥 (cid:81)𝑦
2𝑛
(cid:104)2(cid:115)((cid:116)𝑥𝑦 =64(cid:59)(cid:73) (cid:28)(cid:47)(cid:84) (cid:72)
3𝑛+1 3𝑛+1
𝑥 ⋅𝑦 𝑥𝑦8
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) 36
27
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(1)(cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:30)(cid:73)(cid:156)(cid:157)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:100)(cid:180)(cid:151)(cid:152)(cid:81)
(2)(cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:30)(cid:73)(cid:156)(cid:157)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:100)(cid:180)(cid:151)(cid:152)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(1) =2(cid:59) =3(cid:59)
𝑛 𝑛
) ∵𝑥 𝑦
2𝑛
∴=(𝑥𝑦
2𝑛 2𝑛
=𝑥( 𝑦) ( )
𝑛 2 𝑛 2
=2𝑥 ×3𝑦
2 2
=4×9
=36(cid:59)
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)36(cid:81)
(2) =64(cid:59)
3𝑛+1 3𝑛+1
∵𝑥 ⋅𝑦 =64(cid:59)
∴(𝑥
3𝑛
)⋅𝑦
3
(
𝑛
⋅𝑥)𝑦 =64(cid:59) 全
科AA+
号★
𝑛 3 𝑛 3 公 众
注
∴ 𝑥 =2⋅(cid:59)𝑦 =⋅𝑥3𝑦(cid:59) 关
，
源
𝑛 𝑛 辅 资
教
∵𝑥2 ×3 𝑦 =64(cid:59)
3 3
∴ 8 ⋅𝑥𝑦
= (cid:59)
27
∴𝑥𝑦 8
(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10) (cid:72)
27
(cid:15)(cid:88)(cid:279)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:128)(cid:129)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:126)(cid:280)(cid:281)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】
(cid:15)(cid:103)7(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:174)(cid:143)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)(cid:219)(cid:49)(cid:225)(cid:26) (cid:59) (cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:56)(cid:282)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:283)(cid:158)( )(cid:10)(cid:82)(cid:152) = (cid:59)(cid:284)
𝑐
𝑎 𝑏 1 1 𝑎,𝑏 𝑎 𝑏
(cid:285)( )= (cid:72)(cid:103)(cid:82)(cid:10)(cid:67)(cid:84)2 =16(cid:59)(cid:99)(cid:130)(2,16)=4(cid:72)(cid:67)(cid:84)3 = (cid:59)(cid:99)(cid:130) 3, = (cid:72)
27 27
4 −3
𝑎,𝑏 𝑐 1 −3
(1)(cid:136)(cid:137)(cid:108)(cid:286)(cid:219)(cid:49)(cid:59)(cid:287)(cid:288)(cid:10)(5,125)=______(cid:59) 4, =______(cid:81)
256
(2)(cid:289)(cid:290)(cid:10)(2 ,3 )=(2,3)(cid:81)
𝑛 𝑛
(3)(cid:116)(16,25)= (cid:59)(64,216)= (cid:59)(16,900)= (cid:59)(cid:291)(cid:292) (cid:59) (cid:59) (cid:28)(cid:3)(cid:52)(cid:72)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)(1)3(cid:59)𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
(2)(cid:289)(cid:290)(cid:293)(cid:126)(cid:119) −4(3) + =
(cid:15)(cid:96)𝑥 (cid:119)𝑦(cid:21)(cid:104)𝑧1(cid:115)(cid:136)(cid:137)(cid:218)(cid:49)(cid:214)(cid:150)(cid:40)(cid:101)(cid:138)(cid:41)(cid:126)(cid:81)
(cid:104)2(cid:115)(cid:294)(2 ,3 )= (cid:59)(cid:138)(cid:100)(2 ) =3 (cid:59)(cid:101)(cid:100)(2 ) =3 (cid:59)(cid:100)(cid:133)2 =3(cid:59)(cid:101)(cid:100)(cid:133)(2,3)= (cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:41)(cid:289)(cid:81)
𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥
(cid:104)3(cid:115)(cid:38)(cid:34)(cid:104)2(cid:115)(cid:28)(cid:151)𝑥 (cid:248)(cid:138)(cid:100)(4,5)= (cid:59)(4,6)= (cid:59)(4,30)= (cid:59)(cid:101)(cid:100)4 =5(cid:59)4 =6(cid:59)4𝑥 =30(cid:59)(cid:156)(cid:198)(cid:100)(cid:133)
𝑥 𝑦 𝑧
4 ×4 =4 (cid:59)(cid:101)(cid:100) + = (cid:59)(cid:101)(cid:138)𝑥(cid:41)(cid:126)(cid:81) 𝑦 𝑧
𝑥 𝑦 𝑧
(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:218)(cid:49)(cid:214)(cid:39)𝑥(cid:40)(cid:59)𝑦(cid:85)(cid:66)𝑧(cid:26)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:190)(cid:126)(cid:218)(cid:49)(cid:214)(cid:39)(cid:40)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:104)1(cid:115)(cid:126)(cid:10) 5 =125(cid:59)
3
(5,125)=3(cid:59) ∵
∴ 1
4 = (cid:59)
256
−4
∵ 1
4, = (cid:59)
256
(cid:140)∴(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)3−(cid:59)4 (cid:81)
(cid:104)2(cid:115)(cid:289)(cid:290)(cid:10)(cid:294)(−24,3 )= (cid:59)
𝑛 𝑛
(2 ) =3 (cid:59) 𝑥
𝑛 𝑥 𝑛
科AA+
全
∴(2 ) =3 (cid:59) 号★
众
公
𝑥 𝑛 𝑛 关 注
，
∴2 =3(cid:59)
资
源
辅
教
𝑥
∴(2,3)= (cid:59)
∴(2 ,3 )𝑥=(2,3)(cid:81)
𝑛 𝑛
(cid:104)∴3(cid:115)(cid:126)(cid:10)(cid:208)(cid:104)2(cid:115)(cid:154)(16,25)=(4,5)(cid:59)(64,216)=(4,6)(cid:59)(16,900)=(4,30)(cid:59)
(4,5)= (cid:59)(4,6)= (cid:59)(4,30)= (cid:59)
∴4 =5(cid:59)𝑥4 =6(cid:59)4𝑦=30(cid:59) 𝑧
𝑥 𝑦 𝑧
∴5×6=30(cid:59)
∵4 ×4 =4 (cid:59)
𝑥 𝑦 𝑧
(cid:101)∴4 =4 (cid:59)
𝑥+𝑦 𝑧
+ = (cid:72)
(cid:15)∴(cid:76)𝑥 (cid:46)𝑦7-1(cid:21)𝑧 (cid:104)22-23(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:143)(cid:144)(cid:295)(cid:213)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:179)(cid:154)2 = (cid:59)5 = (cid:59)20 = (cid:59)(cid:284)(cid:285) (cid:189) (cid:189) (cid:50)(cid:51)(cid:296)(cid:297)(cid:28)(cid:92)
𝑛 𝑛 𝑛
(cid:298)(cid:3)(cid:52)(cid:91) (cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) =
2
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)𝑐(cid:33)(cid:34)𝑎(cid:36)𝑏(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:100)(cid:180)(cid:151)(cid:248)(cid:72)(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)20 =(4×5) =(2 ×5) =2 ×5 =(2 ) ×5 = = (cid:59)
𝑛 𝑛 2 𝑛 2𝑛 𝑛 𝑛 2 𝑛 2
(cid:189) (cid:189) (cid:50)(cid:51)(cid:296)(cid:297)(cid:28)(cid:92)(cid:298)(cid:3)(cid:52)(cid:91) = (cid:81) 𝑎 𝑏 𝑐
2
(cid:140)∴𝑎(cid:117)(cid:118)𝑏 (cid:84)𝑐(cid:10) = (cid:72) 𝑐 𝑎 𝑏
2
(cid:15)(cid:88)(cid:279)(cid:21)(cid:153)(cid:22)𝑐 (cid:120)𝑎(cid:121)𝑏(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:59)(cid:91)(cid:126)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)7-2(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:115)若2 =3，2 =6，2 =12，则 ， ， 的关系：
𝑎 𝑏 𝑐
① = +2；② =1；③ + = ；④ + = +1，其中正确的是 (cid:72)𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:117)𝑐(cid:118)(cid:21)𝑎 ①②③𝑐−𝑏 𝑎 𝑐 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:59)(cid:191)(cid:148)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:30)(cid:73)(cid:91)(cid:126)(cid:117)(cid:68)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)(cid:162)
(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:59)(cid:156)(cid:157)(cid:191)(cid:148)(cid:76)(cid:299)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:41)(cid:180)(cid:65)(cid:48)(cid:117)(cid:118)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 2 ÷2 =2 =12÷3=4=2 (cid:59)
𝑐 𝑎 𝑐−𝑎 2
=2(cid:59)(cid:101)∵ =2+ (cid:59)(cid:140)①(cid:65)(cid:48)(cid:81)
∴𝑐2−𝑎÷2 =2 𝑐 =12𝑎÷6=2(cid:59)
𝑐 𝑏 𝑐−𝑏
∵ =1(cid:59)(cid:140)②(cid:65)(cid:48)(cid:81)
∴𝑐−𝑏
科AA+
2 ·2 =2 =3×12=36(cid:59)2 =6 =36(cid:59) 号★ 全
众
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 2𝑏 2 注 公
关
∵ + = (cid:59)(cid:140)③(cid:65)(cid:48)(cid:81) 资 源 ，
辅
教
∴𝑎2 ·2𝑐 =22𝑏 =3×6=18(cid:59)2 ×2=2 =24(cid:59)
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑐 𝑐+1
∵ + +1(cid:72)(cid:140)④(cid:165)(cid:166)(cid:72)
(cid:140)∴(cid:117)𝑎 (cid:118)𝑏(cid:84)≠(cid:10)𝑐①②③(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)7-3(cid:21)(cid:104)22-23(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:300)(cid:183)(cid:301)(cid:213)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)43 =2021,47 =2021(cid:59)(cid:114)(cid:291)(cid:292)(cid:45)(cid:26)(cid:46) (cid:64) + (cid:50)
𝑥 𝑦
(cid:51)(cid:3)(cid:52)(cid:72) 𝑥𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) = +
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:208)𝑥𝑦(cid:302)(cid:303)𝑥(cid:138)(cid:100)𝑦(43 ) =2021 ,(47 ) =2021 (cid:138)(cid:100)43 47 =(43 ) ×(47 ) =2021 ×2021
𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
=2021 (cid:59)(cid:198)43 ×47 =(43×47) =2021 (cid:59)(cid:220)(cid:198)(cid:138)(cid:100)⋅ (cid:117)(cid:118)(cid:72)
𝑥+𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) 43 =2021,47 =2021(cid:59)
𝑥 𝑦
(43 ) =202∵1 ,(47 ) =2021 (cid:59)
𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥
∴43 47 =(43 ) ×(47 ) =2021 ×2021 =2021 (cid:59)
𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥+𝑦
∴43 ⋅×47 =(43×47) =2021 (cid:59)
𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦
∵2021 =2021 (cid:59)
𝑥𝑦 𝑥+𝑦
∴= +
∴(cid:15)𝑥(cid:88)𝑦 (cid:279)𝑥(cid:21)(cid:153)𝑦(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:28)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:128)(cid:129)“(cid:38)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:156)(cid:157)(cid:76)(cid:192)”(cid:91)
(cid:126)(cid:153)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:72)
【题型8 利用幂的运算比较大小】
(cid:15)(cid:103)8(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:142)·(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:53)(cid:54)3 (cid:189)4 (cid:189)5 (cid:28)(cid:19)(cid:55)(cid:104) (cid:115)
555 444 333
A(cid:72)3 <4 <5 B(cid:72)5 <4 <3
555 444 333 333 444 555
C(cid:72)5 <3 <4 D(cid:72)4 <5 <3
333 555 444 444 333 555
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)C
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:34)(cid:59)(cid:136)(cid:137) =( ) (cid:59)(cid:66)(cid:190)(cid:100)3 =(3 ) =243 (cid:59)4 =(4 )
𝑚𝑛 𝑚 𝑛 555 5 111 111 444 4 111
𝑎 𝑎
=256 (cid:59)5 =(5 ) =125 (cid:59)(cid:98)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:55)(cid:59)(cid:101)(cid:138)(cid:158)(cid:117)(cid:72)
111 333 3 111 111
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)(cid:304)(cid:22)(cid:63)(cid:59)3 =(3 ) =243 (cid:59)4 =(4 ) =256 (cid:59)5 =(5 ) =125 (cid:59)
555 5 111 111 444 4 111 111 333 3 111 111
125<243<256(cid:59)
科AA+
全
∵5 <3 <4 (cid:59) 号★
众
公
333 555 444 关 注
，
∴(cid:140)(cid:160)(cid:10)C
资
源
辅
教
(cid:15)(cid:76)(cid:46)8-1(cid:21)(cid:53)(cid:54)(cid:19)(cid:55)(cid:10)(2 ) (3 )
3 4 4 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)(cid:305)
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:136)(cid:137)(cid:225)(cid:26)(cid:28)(cid:306)(cid:88)(cid:59)(cid:132)(cid:93)(cid:307)(cid:70)(cid:76)(cid:172)(cid:25)(cid:26)(cid:96)(cid:97)(cid:91)8(cid:211)9(cid:59)(cid:77)(cid:26)(cid:84)4(cid:28)(cid:192)(cid:46)(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:98)(cid:53)(cid:54)(cid:19)(cid:55)(cid:72)
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(2 ) =8 (cid:59)(3 ) =(3 ) =9 (cid:81)
3 4 4 4 2 2 4 4
8(cid:305)9(cid:59) 8 <9 (cid:59) (2 ) (cid:305)(3 ) (cid:72)
4 4 3 4 4 2
∵(cid:140)(cid:117)(cid:118)(cid:84)∴(cid:305)(cid:72) ∴
(cid:15)(cid:88)(cid:279)(cid:21)(cid:153)(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:53)(cid:54)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:19)(cid:55)(cid:72)(cid:126)(cid:117)(cid:153)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:127)(cid:91)(cid:93)(cid:308)(cid:70)(cid:227)(cid:228)(cid:84)(cid:77)(cid:26)(cid:74)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:192)(cid:46)(cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)8-2(cid:21)(cid:104)24-25(cid:141)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:108)(cid:244)(cid:309)(cid:310)·(cid:177)(cid:89)(cid:115)(cid:53)(cid:54)(cid:19)(cid:55)(cid:10)2 4 +4 (cid:72)
𝑚+𝑛+1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21)
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)(cid:153)≤(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:311)(cid:109)(cid:229)(cid:35)(cid:7)(cid:46)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:38)(cid:34)(cid:158)(cid:312)(cid:30)(cid:41)(cid:180)4 +
𝑚
4 2 =(2 2 ) 0(cid:59)(cid:137)(cid:68)(cid:138)(cid:100)(cid:117)(cid:118)(cid:72)
𝑛 𝑚+𝑛+1 𝑚 𝑛 2
(cid:15)(cid:139)−(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10)4 +−4 2 ≥
𝑚 𝑛 𝑚+𝑛+1
=(2 ) +(2 ) 2 −2 ×2
2 𝑚 2 𝑛 𝑚 𝑛
− ⋅=(2 ) +(2 ) 2 2 ×2
𝑚 2 𝑛 2 𝑚 𝑛
=(2 2 ) 0−(cid:59) ⋅
𝑚 𝑛 2
4 +−4 2≥ (cid:59)
𝑚 𝑛 𝑚+𝑛+1
(cid:140)∴ (cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:10)≥ (cid:72)
(cid:15)(cid:76)(cid:46)8-3(cid:21)≤(cid:179)(cid:154) =81 (cid:59) =27 (cid:59) =9 (cid:59)(cid:114)(cid:53)(cid:54)a(cid:59)b(cid:59)c(cid:28)(cid:19)(cid:55)(cid:59)(cid:34)“>”(cid:167)(cid:308)(cid:70)(cid:313)(cid:270)(cid:314)(cid:315)(cid:10) (cid:72)
31 41 61
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:21) > >𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:96)(cid:119)(cid:21)𝑎(cid:153)(cid:22)𝑏(cid:209)(cid:210)𝑐(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:71)(cid:190)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:19)(cid:55)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:150)(cid:40)(cid:59)(cid:132)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:35)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:100)(cid:133) =3 (cid:59) =3 (cid:59) =3 (cid:59)(cid:137)(cid:68)(cid:138)(cid:100)(cid:117)(cid:118)(cid:72)
124 123 122
(cid:15)(cid:139)(cid:126)(cid:21)(cid:126)(cid:10) =81𝑎 =(3 ) 𝑏=3 (cid:59) 𝑐=27 =(3 ) =3 (cid:59) =(3 ) =3 (cid:59)
31 4 31 124 41 3 41 123 2 61 122
3 >3 >𝑎 3 (cid:59) 𝑏 𝑐
124 123 122
∵ > > (cid:59)
∴(cid:140)𝑎(cid:117)(cid:118)𝑏(cid:84)(cid:10)𝑐 > > (cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
