文档文本内容
专题 21.3 二次根式的加减（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:21)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:21)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:37)(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:21)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:41)(cid:21)..................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:21)..........................................................................................................................14
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:21)..........................................................................................................................17
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:21)..................................................................................................................................20
知识点1 同类二次根式
(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:63)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:68)(cid:69)(cid:10)
(cid:70)1(cid:71)(cid:45)(cid:64)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:58)(cid:74)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:75)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
(cid:76) 3(cid:77) 27(cid:58)(cid:78)(cid:79) 27=3 3(cid:58)(cid:80)(cid:81) 3(cid:77) 27(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
知识点2 二次根式的加减运算
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:36)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:76)(cid:90)(cid:68)(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:10)知识点3 二次根式的混合运算
1. (cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)
(cid:77)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:87)(cid:95)(cid:58)(cid:96)(cid:34)(cid:97)(cid:61)(cid:98)(cid:60)(cid:61)(cid:58)(cid:99)(cid:34)(cid:97)(cid:100)(cid:58)(cid:72)(cid:57)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:101)(cid:102)(cid:9)(cid:30)(cid:96)(cid:34)(cid:102)(cid:9)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:65)
2. (cid:84)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:50)(cid:106)(cid:7)(cid:29)(cid:24)(cid:95)(cid:107)(cid:54)(cid:79)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:65)
3. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:110)(cid:111)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:112)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:113)(cid:29)(cid:65)
【题型1 同类二次根式】
(cid:15)(cid:114)1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:74)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) +6(cid:77) + (cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)
3𝑎−𝑏
(cid:127)(cid:128)(cid:70) (cid:71) 2𝑎−𝑏 4𝑎 3𝑏
A(cid:65) =2(cid:58) =1 B(cid:65) =1(cid:58) = C(cid:65) =1(cid:58) =0 D(cid:65) =1(cid:58) =1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)𝑎 D 𝑏 𝑎 𝑏 −1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:138)(cid:61)(cid:139)(cid:140)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:28)(cid:143)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:44)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:58)(cid:146)(cid:137)(cid:3)(cid:79) (cid:98) (cid:30)(cid:26)(cid:147)(cid:87)(cid:27)(cid:61)(cid:139)(cid:140)(cid:58)(cid:28)(cid:143)(cid:141)(cid:61)(cid:139)(cid:140)(cid:58)(cid:146)(cid:137)(cid:129)(cid:130)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:78)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:29) 𝑏 +6(cid:77) + (cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:10)
3𝑎−𝑏
+ = +6 2𝑎−𝑏 4𝑎 3𝑏
(cid:58)
=2
4𝑎 3𝑏 2𝑎 −𝑏
3𝑎−=𝑏1
(cid:141)(cid:137)(cid:10) (cid:65)
=1
𝑎
(cid:149)(cid:150)(cid:10)D𝑏(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)1-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:76)(cid:109)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:77)2 7(cid:146)(cid:157)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:86)(cid:58)(cid:75) (cid:30)
2
(cid:48)(cid:64)(cid:70) (cid:71) 𝑎−2 𝑎
A(cid:65)7 B(cid:65)16 C(cid:65)25 D(cid:65)81
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:10)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:82)(cid:62)(cid:24)(cid:30)(cid:58) (cid:78)(cid:81)(cid:137)(cid:158) =7(cid:58)(cid:47)(cid:141)(cid:159)
(cid:146)(cid:65)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:97)(cid:61)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:58)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:141)(cid:22)(cid:163)(cid:58)(cid:137)(cid:158) =7(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)𝑎(cid:65)−2
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) (cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:77)2 7(cid:146)(cid:157)(cid:36)(cid:86)(cid:58) 𝑎−2
=7(cid:58) ∵ 𝑎−2
(cid:141)∴(cid:137)𝑎−(cid:10)2 =9(cid:58)
=9𝑎 =81
2 2
∴(cid:149)𝑎(cid:150)(cid:10)D(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)1-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:164)(cid:165)(cid:165)(cid:166)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:74) (cid:77) 12(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:168)(cid:110)(cid:138)(cid:87)(cid:169)(cid:170)(cid:36)(cid:171)(cid:172)(cid:30)(cid:72)(cid:46)(cid:26)
𝑎(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:64) (cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)𝑎(cid:21) 3(cid:70)(cid:129)(cid:130)(cid:173)(cid:174)(cid:87)(cid:71)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:58)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:28)(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:159)(cid:146)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)
(cid:82)(cid:175)(cid:176)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) 12=2 3(cid:58)
(cid:77) 12(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)
∵𝑎(cid:146)(cid:157)(cid:64) 3(cid:58)
∴(cid:149)𝑎(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) 3(cid:70)(cid:129)(cid:130)(cid:173)(cid:174)(cid:87)(cid:71)(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)1-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:177)(cid:178)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:90)(cid:179)(cid:180)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:173)(cid:62)(cid:24)(cid:30)
3
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:70) (cid:71) − −27𝑥
1
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65) 27
3 273 9
−𝑥 −𝑥
3 3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D −3𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:181)(cid:85)(cid:58)(cid:175)(cid:176)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:96)(cid:182)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:99)(cid:28)(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:141)(cid:129)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) = (cid:58)
3
− −27𝑥 3𝑥 −3𝑥
A(cid:98) = (cid:58)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
3 3
−𝑥 −3𝑥
3
− −27𝑥
B(cid:98) = (cid:58)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
273 9
−𝑥 𝑥 −3𝑥
3
1 − − −27𝑥
C(cid:98) = (cid:58)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
9 9
𝑥
3 3
−3𝑥 − −3𝑥 − −27𝑥
D(cid:98) 27 = (cid:58)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:173)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
3 3
(cid:149)(cid:150)(cid:10)D𝑥(cid:65) 3𝑥 3𝑥 − −27𝑥
【题型2 二次根式的加减运算】
(cid:15)(cid:114)2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:166)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:45)(cid:46)(cid:10) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
8 11 11 14 14 17 17 20 20 23
1 + 1 + 1 (cid:108)(cid:109)(cid:82)(cid:70) (cid:71) + + + + +
23 26 26 29 29 32
+ + +
2 2
A(cid:65)1 B(cid:65) C(cid:65)2 2 D(cid:65)4 2
3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:106)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:96)(cid:188)(cid:189)(cid:169)(cid:43)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:58)(cid:99)(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:159)(cid:146)(cid:137)(cid:138)(cid:129)(cid:130)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) 1 = 11 8 = 11 8 (cid:58)
8 11 ( 11 8)( 11 8) 3
− −
(cid:24)(cid:162)(cid:146)(cid:137) 1 + = 14 11 + 1 − = 32 29 (cid:58)
11 14 3 29 32 3
− −
1 + 1 ⋅⋅⋅ 1 + 1 1 1 1 1
+ + + + + + +
8+ 11 11+ 14 14+ 17 17+ 20 20+ 23 23+ 26 26+ 29 29+ 32
= 11 8+ 14 11+ 17 14+ 20 17+ 23 20 + 26 23+ 26+ 32 29
3 3 3 3 3 3 3 3
− − − − − − 29− −
32 8
=
3
−
4 2 2
=
3
−2
2 2
=
3
(cid:149)(cid:150)B(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)2-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:166)(cid:183)(cid:191)(cid:192)(cid:122)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:90)(cid:179)(cid:193)(cid:29)(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:82)(cid:70) (cid:71)
A(cid:65)2 3+3 2=5 5 B(cid:65) 9 1 =3 1
4 2
C(cid:65) ( = D(cid:65) 3+ 5 3+ 5 =2
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D π−3.14) 3.14−π −
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:181)(cid:85)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:28)(cid:143)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:181)(cid:85)(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:194)(cid:195)(cid:43)(cid:131)(cid:66)
(cid:67)(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:47)(cid:141)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)A. 2 3(cid:77)3 2(cid:173)(cid:196)(cid:36)(cid:86)(cid:58)(cid:149)(cid:197)(cid:150)(cid:195)(cid:173)(cid:160)(cid:161)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
B. 9 1 = 37 = 37 (cid:58)(cid:149)(cid:197)(cid:150)(cid:195)(cid:173)(cid:160)(cid:161)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
4 4 2
C. = (cid:58)(cid:149)(cid:197)(cid:150)(cid:195)(cid:173)(cid:160)(cid:161)(cid:58)(cid:173)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
2
(𝜋−3.14) 𝜋−3.14
D. 3+ 5 3+ 5 = +5=2(cid:58)(cid:149)(cid:197)(cid:150)(cid:195)(cid:160)(cid:161)(cid:58)(cid:170)(cid:36)(cid:22)(cid:163)(cid:73)
(cid:149)(cid:150)(cid:10)D(cid:65) − −3
(cid:15)(cid:151)(cid:29) 2-2(cid:21)(cid:70)23-24 (cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:198)(cid:185)(cid:199)(cid:154)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:200)(cid:201)(cid:49)(cid:144)(cid:33)(cid:34)(cid:170)(cid:9)“ ”(cid:30)(cid:163)(cid:145)(cid:82)(cid:10)(cid:202) > (cid:203)(cid:58)a
𝑎 𝑏
= + (cid:73) (cid:202) (cid:203)(cid:58) a = (cid:58)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:34)(cid:170)(cid:9)(cid:30)(cid:163)(cid:145)(cid:173)(cid:151)(cid:58)(cid:190)(cid:34)(cid:10)( 2 3) (2 2 3)=
𝑏(cid:15)(cid:129)𝑎(cid:130)(cid:21)𝑏
2
𝑎≤
3
𝑏
/ 3 2
𝑏 𝑎−𝑏 −
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)−(cid:132)(cid:22)−(cid:133)2(cid:134)(cid:135)−(cid:26)2(cid:27)(cid:28)−(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:84)(cid:41)(cid:206)(cid:144)(cid:145)(cid:33)(cid:34)(cid:159)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:58)(cid:96)(cid:37)(cid:38) 2(cid:77) 3(cid:58)2 2
(cid:77) 3(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:99)(cid:28)(cid:143)(cid:206)(cid:144)(cid:145)(cid:179)(cid:138)(cid:29)(cid:207)(cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:65)(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) 2< 3,2 2= 8> 3(cid:58)
( 2 3∵) (2 2 3) =( 2 3) (2 2+ 3)
=∴ 2 3 2− 3 − −
= −2 −23(cid:58)−
(cid:149)(cid:129)−(cid:130)(cid:64)−(cid:10)2 2 3(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)2-3(cid:21)−(cid:70)2−4-225(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:153)(cid:154)(cid:208)(cid:209)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:39)(cid:210)(cid:44)(cid:39)(cid:211)(cid:24)(cid:11)(cid:212)(cid:87)(cid:169)(cid:213)(cid:214)(cid:190)(cid:34)(cid:215)(cid:216)(cid:58)(cid:217)(cid:87)(cid:169)(cid:173)(cid:218)(cid:219)(cid:30)
(cid:220)(cid:221)(cid:105)(cid:222)(cid:223)(cid:119)(cid:169)(cid:39)(cid:214)(cid:58)(cid:39)(cid:214)(cid:118)(cid:43)(cid:224)(cid:225)(cid:101)(cid:87)(cid:169)(cid:41)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:220)(cid:221)(cid:105)(cid:213)(cid:228)(cid:39)(cid:214)(cid:58)(cid:74)(cid:213)(cid:158)(cid:229)(cid:230)(cid:214)(cid:58)(cid:231)(cid:32)(cid:232)(cid:214)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:73)
(cid:74)(cid:213)(cid:158)(cid:233)(cid:230)(cid:214)(cid:58)(cid:231)(cid:31)(cid:118)(cid:214)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:65)
(1)(cid:76)(cid:234)1(cid:58)(cid:74)(cid:39)(cid:210)(cid:213)(cid:158)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:169)(cid:39)(cid:214)(cid:58)(cid:168)(cid:190)(cid:34)(cid:138)(cid:108)(cid:109)(cid:73)
(2)(cid:76)(cid:234)2(cid:58)(cid:74)(cid:39)(cid:211)(cid:213)(cid:158)(cid:234)(cid:235)(cid:119)(cid:169)(cid:39)(cid:214)(cid:58)(cid:72)(cid:57)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:108)(cid:109)(cid:196)(cid:44) 48(cid:36)(cid:86)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:219)(cid:162)(cid:78)(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1) 3
(2)(cid:72)(cid:57)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:108)(cid:109)(cid:196)(cid:44) 48(cid:36)(cid:86)(cid:58)(cid:162)(cid:78)(cid:240)(cid:141)(cid:131)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:181)(cid:85)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:160)(cid:161)(cid:45)(cid:46)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)
(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(cid:241)(cid:242)(cid:190)(cid:34) 27 12(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:96)(cid:190)(cid:34) 12 − 1 + 27+ 2(cid:58)(cid:99)(cid:45)(cid:46) 48(cid:58)(cid:66)(cid:67)(cid:82)(cid:243)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
2
− −2
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:78)(cid:22)(cid:163)(cid:137)(cid:58) 27 12=3 3 3= 3(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:72)(cid:57)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:108)(cid:109)(cid:196)(cid:44) 48−(cid:36)(cid:86)(cid:58)(cid:162)(cid:78)(cid:76)−(cid:90)2(cid:10)
(cid:78)(cid:22)(cid:163)(cid:137)(cid:58) 12 1 + 27+ 2= 3 2+3 3+ 2= 3(cid:58)
2
− −2 −2 −
(cid:244) 48=4 3(cid:58)
3(cid:77)4 3(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:149)(cid:196)(cid:36)(cid:86)(cid:58)
∵(cid:72)(cid:57)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:108)(cid:109)(cid:196)(cid:44) 48(cid:36)(cid:86)(cid:65)
∴ 【题型3 二次根式的混合运算】
(cid:15)(cid:114)3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:166)(cid:183)(cid:36)(cid:245)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:246)(cid:79)(cid:247)(cid:163)(cid:173)(cid:62)(cid:193)(cid:30)(cid:236)(cid:169)(cid:160)(cid:84)(cid:41)a(cid:58)b(cid:58)(cid:144)(cid:145)(cid:87)(cid:248)(cid:33)(cid:34)“※”(cid:76)
(cid:90)(cid:10) ※ = (cid:58)(cid:114)(cid:76)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:65)
𝑎+𝑏 +
𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 5−4(cid:70)1(cid:71)3※6= (cid:73)
(cid:70)2(cid:71)( 3)※ 7※5 = (cid:65)
2−
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 2 6
4
+
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)−(cid:134)1(cid:144)(cid:145)(cid:206)−(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:58)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:193)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:163)(cid:136)(cid:54)(cid:22)(cid:105)(cid:114)(cid:207)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:163)(cid:96)(cid:188) 7※5 (cid:251)(cid:60)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:99)(cid:190)(cid:34)( 3)※ 3(cid:58)(cid:72)(cid:57)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
2−
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:70)1(cid:71)(cid:78)(cid:144)(cid:145)(cid:206)(cid:33)(cid:34)(cid:252)3※6= 3 6= (cid:58)
+
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) (cid:73) 3−6 −1
−1
(cid:70)2(cid:71)( 3)※ 7※5
2− 7+5
= ( 3)※
2− 12
= ( 3)※ 7−5
2
= (2− 3)※ 3
2−
3+ 3
=
3 3
2−
2−2 −
=
3
2×(2+2 3)
= 2−2
( 3)(2+2 3)
2 2+2 6
= 2−2
2 2+2 6
= 4−12
2 6
= −8 (cid:58)
4
+
−
2 6
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) (cid:65)
4
+
(cid:15)(cid:151)(cid:29)3-1(cid:21)−(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:253)(cid:154)(cid:254)(cid:219)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:234)(cid:58)(cid:255)(cid:82)(cid:87)(cid:169)(cid:41)(cid:48)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:58)(cid:74)(cid:259)(cid:223)(cid:30)a(cid:48)(cid:64) 2(cid:58)(cid:75)(cid:259)(cid:138)
(cid:30)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:64) (cid:65)(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 2 3
3
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21) − (cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:139)(cid:94)(cid:260)(cid:234)(cid:58)(cid:157)(cid:106)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:188)a(cid:64) 2(cid:261)(cid:223)(cid:139)(cid:94)(cid:260)(cid:234)(cid:190)(cid:34)(cid:47)(cid:141)(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:141)(cid:22)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:163)(cid:137) ( 2) ÷ 3
2
−4
= ( )÷ 3
= 2−÷4 3
−22 3
= (cid:65)
3
(cid:15)(cid:151)−(cid:29)3-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:253)(cid:154)(cid:254)(cid:219)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:190)(cid:34)(cid:10)
1
(1) 27÷ 3 × 18+ 24
3
−
(2)(2 3+3 2)(2 3 2) 5
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)3+ 6 −3 − −1
(2) +2 5
(cid:15)(cid:43)−1(cid:131)2(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:91)(cid:92)(cid:141)(cid:129)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:98)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:106)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:91)(cid:92)(cid:141)(cid:129)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:106)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:44)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:3)(cid:142)(cid:82)(cid:175)(cid:176)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)
(cid:83)(cid:75)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10) 27÷ 3 1 × 18+ 24
3
3 −
=3 3÷ 3 ×3 2+2 6
3
= 6+2−6
=33−+ 6(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:264)(cid:29)=(2 3) (3 2) 5+1
2 2
− − 5−2
= +2 5
=12−1+8−265(cid:65)
(cid:15)(cid:151)−(cid:29)123-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:269)(cid:252) = 3
1 𝑥 2−
(1)(cid:190)(cid:34)(cid:10) =________(cid:58) =________(cid:73)
2
(2)(cid:47)(cid:261)(cid:41)𝑥(cid:29)(7+4 3) + 𝑥 (2+ 3) + 3 (cid:30)(cid:48)(cid:65)
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1) 3(cid:58)2𝑥+ 3 𝑥 −1
7−4(2) 3+1
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:270)(cid:106)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:44)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:141)
(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
1
(cid:70)1(cid:71)(cid:188) = 3(cid:43)(cid:224)(cid:261)(cid:223)(cid:90)(cid:29)(cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:190)(cid:34)( 3) (cid:58)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:47)(cid:141) (cid:159)(cid:146)(cid:73)
3
2
(cid:70)2(cid:71)(cid:188) 𝑥 = 2− 3(cid:261)(cid:223)(7+4 3) +(2+ 3) + 3 (cid:58) 2 (cid:136) − (cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:83)2−(cid:75)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
2
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)𝑥(cid:70)12(cid:71)−(cid:141)(cid:10) = 3(cid:58)𝑥 𝑥 −1
∵𝑥 2−
=( 3) =4+ 3= 3(cid:58)
2
2
∴1𝑥 = 1 2− = 2 3 3 = −4 2+ 3 7 (cid:73) −4
3 ( 3)(2 3)
+
(cid:70) 𝑥 2(cid:71)2−(cid:141)(cid:10)(cid:264)2(cid:29)− =( + 7+4 3)( 3)+(2+ 3)( 3)+ 3
= ( )+( )+ 3 7−4 2− −1
= 439−+418(cid:65) 4−3 −1
【题型4 比较二次根式的大小】
1
(cid:15)(cid:114)4(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:217)(cid:141)(cid:275)(cid:276)(cid:22)“(cid:269)(cid:252) = (cid:58)(cid:47)2 +1(cid:30)(cid:48)”(cid:203)(cid:58)(cid:39)(cid:219)(cid:82)(cid:277)(cid:95)
2 3
2
(cid:43)(cid:131)(cid:77)(cid:141)(cid:129)(cid:30)(cid:10) 𝑎 + 𝑎 −8𝑎
= 1 = 3 = 3(cid:58)
2 3 (2 3)( 3)
2−
∵ 𝑎 = + 3(cid:58)+ ( 2− ) = 2− 3(cid:58) +4=3(cid:58)
2 2
∴ 𝑎−2 −= (cid:58)∴ 𝑎2−2 +1=𝑎 2−(4𝑎 )+1=2×( )+1= (cid:65)
2 2 2
(cid:168)∴(cid:278)𝑎(cid:28)−(cid:143)4𝑎(cid:39)(cid:219)−(cid:30)1(cid:43)(cid:131)∴(cid:56)(cid:139)𝑎 (cid:58)−8(cid:141)𝑎(cid:275)(cid:76)(cid:90)(cid:276)(cid:22)𝑎 (cid:10)−4𝑎 −1 −1
2 2
(1)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:77) (cid:73)
13 11 15 13
(2)(cid:74) = 1 (cid:58)(cid:279) − ( + ) − =9(cid:58)(cid:47)a(cid:30)(cid:48)(cid:73)
2 2
2
𝑏 1+ 𝑎 1 2𝑏
(3)(cid:74) = (cid:58) = (cid:58)(cid:47)5 + +2 + +10(cid:30)(cid:48)(cid:65)
1 2 3 2 2
2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130) 𝑐 (cid:21)(1 + ) 2 𝑑 < + 2 𝑐 4𝑐𝑑 𝑑 2𝑐−6𝑑
13 11 15 13
(2) =1+
2(cid:112)−
= +
−
2
(3)𝑎11 𝑎 −5
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:58)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:98)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:82)(cid:162)(cid:141)(cid:22)(cid:163)(cid:58)(cid:162)(cid:280)(cid:43)
(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:30)(cid:56)(cid:139)(cid:65)(cid:70)1(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:105)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:30)(cid:61)(cid:83)(cid:188)(cid:236)(cid:169)(cid:29)(cid:207)(cid:43)(cid:224)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:99)(cid:37)(cid:38)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:96)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:137)(cid:158) = 1 = 2 (cid:58)(cid:99)(cid:188)( + ) =9(cid:60)(cid:249)(cid:61)(cid:137)(cid:158) + =±3(cid:58)(cid:261)(cid:223) = 2 (cid:58)(cid:159)(cid:146)
2 2 2 2
2− 2 2−
(cid:47)(cid:141)(cid:73) 𝑏 + 𝑎 2𝑏 𝑎 2𝑏 𝑏
(cid:70)3(cid:71)(cid:96)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:137)(cid:10) = 2 (cid:58) = 2(cid:58)(cid:99)(cid:188)5 + +2 + +10(cid:40)(cid:162)(cid:64)=( + ) +
2 2 2
( ) +( +1) (cid:58)(cid:99)(cid:261)𝑐(cid:223)(cid:48)(cid:47)−(cid:141)1(cid:159)𝑑(cid:146)(cid:65)3−2 𝑐 4𝑐𝑑 𝑑 2𝑐−6𝑑 2𝑐 𝑑
2 2
(cid:15)𝑑−(cid:148)3(cid:141)(cid:21)(cid:70)𝑐 1(cid:71)(cid:141)(cid:10) 2 = 2( 13 11) =2( 13 11)= 13+ 11(cid:58)
13 11 ( 13 11)( 13 11)
+ +
2 = 2 15 1 − 3 =2 − 15 13 = + 15+ 1 1 3 3− (cid:58) 11
15 13 15 13 15 13
+ +
−
11< 15
−(cid:58) + 15−13
∵ 11+ 13< 15+ 13(cid:58)
(cid:159)∴ 2 < 2 (cid:73)
13 11 15 13
(cid:70)2(cid:71) − = 1 − = 2 = 2= 2 (cid:58)( + ) =9(cid:58) + =±3
2 2 (2 2)( 2) 2
2− 2− 2− 2
∵ 𝑏 2 + + 2− 4−2 𝑎 2𝑏 𝑎 2𝑏
+2× =±3
2
2−
𝑎+ 2=±3
𝑎 2−=1+ 2(cid:112) = + 2(cid:73)
(cid:70)∴3(cid:71)𝑎 = 1 𝑎= −5 2 = 2 (cid:58) = 1 = 2 = 2(cid:58)
1 2 ( 2 1)( 2 ) 3 2 2 (3 2 2)( 2)
−1 3−2
5
∵
+
𝑐
+
+
2 +
+
+
−1
10
−1 𝑑 + + 3−2 3−2
2 2
=∴4 𝑐+ 4𝑐𝑑+ 𝑑+ 2𝑐−6𝑑+9+ + +1
2 2 2 2
=(𝑐 + 4)𝑐𝑑+(𝑑 )𝑑+−(6𝑑+1) 𝑐 2𝑐
2 2 2
2𝑐 𝑑 𝑑−3 𝑐
=(2 2 + 2) +( 2 ) +( 2 +1)
2 2 2
−2 3−2 3−2 −3 −1
=1 +( 2) + 2
2
2 2
=1+8+−22
=11(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)4-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:10)
1 1
(cid:70)1(cid:71) (cid:73)
5 5 6
(cid:70)2(cid:71)2− 3 − 5 2(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)2(cid:21)− > − <(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:10)
(cid:70)1(cid:71)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:41)(cid:57)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:37)(cid:38)(cid:236)(cid:41)(cid:30)(cid:284)(cid:41)(cid:58)(cid:91)(cid:244)(cid:137)(cid:138)(cid:236)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:3)(cid:285)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:70)1(cid:71) 1 = 2 5 = 2+ 5 (cid:58) 1 = 5 6 = 5+ 6 (cid:58)
5 5 2 5 5 6 5 6 5 6
+ +
2+ 5= 4+ 5
∵
<
2−
5+
2
6
−(cid:58) + − − − + −
∵ 2+ 5 > 5+ 6 (cid:58)
∴−1
>
1 (cid:73)−
5 5 6
∴ (cid:149)2−(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10)− >(cid:73)
(cid:70)2(cid:71) 1 = 2 3 =2+ 3(cid:58) 1 = 5 2 = 5 2 (cid:58)
3 ( 3)(2 3) 5 2 5 2 5 2 3
+ + +
∵2− 2− + − − +
2+ 3=6 3 3> 5 2 (cid:58)
3 3
+ +
∵ 1 > 1 (cid:58)
3 5 2
∴2−
3<
−
5 2(cid:73)
(cid:149)∴2(cid:129)−(cid:130)(cid:64)(cid:10)<−(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)4-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:177)(cid:178)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:54)(cid:236)(cid:248)(cid:61)(cid:83)(cid:37)(cid:38) 5+1(cid:77) 10(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(cid:240)(cid:141)(cid:131)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:286)(cid:162)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:287)(cid:34)(cid:58)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:58)(cid:173)(cid:193)(cid:29)
(cid:30)(cid:181)(cid:85)(cid:193)(cid:252)(cid:288)(cid:58)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:41)(cid:19)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:30)(cid:289)(cid:240)(cid:61)(cid:83)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:61)(cid:83)(cid:87)(cid:10)(cid:136)(cid:54)(cid:249)(cid:61)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:73)(cid:61)(cid:83)(cid:26)(cid:58)(cid:136)(cid:54)
(cid:156)(cid:250)(cid:83)(cid:44)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:108)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:61)(cid:83)(cid:87)(cid:10) 5+1 =6+2 5(cid:58)( 10) =10(cid:58)
2 2
2< 5<3(cid:58)
∵4<2 5<6(cid:58)
∴10<6+2 5<12(cid:58)
∴ 5+1> 10(cid:73)
(cid:61)∴(cid:83)(cid:26)(cid:10) 5+ 5=1(cid:58)
∵ 1−
5+ 5 =1= = 196(cid:58)
2
∴ 1− 15−14 15−
10 5 = 2+5= 2= 200
2
∵ − 10−10 15−10 15−196> 200(cid:58)
∴15− 15−
5+ 5 > 10 5 (cid:58)
2 2
∴
5+
1−
5> 10
5(cid:58)−
∴ 5+11−> 10 −
∴(cid:15)(cid:151)(cid:29)4-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:153)(cid:154)(cid:166)(cid:290)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:195)(cid:291)(cid:29)(cid:11)(cid:126)(cid:10)
(cid:292)(cid:22)(cid:293)(cid:63) (cid:249)(cid:61)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)
(cid:294)(cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:152)(cid:90)(cid:297)(cid:70)3(cid:71)(cid:39)(cid:140) (cid:298)(cid:167)(cid:10)2025(cid:116)××(cid:299)××(cid:298)
(cid:264)(cid:162)(cid:141)(cid:300) (cid:246)(cid:79)(cid:247)(cid:163)(cid:236)(cid:169)(cid:160)(cid:41)a(cid:58)b(cid:58)(cid:74) > (cid:58)(cid:75) > (cid:65)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:37)(cid:38)2 3(cid:44)3 2(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)(cid:141)(cid:10)(2 3) =12(cid:58)(3 2) =18(cid:58) 12<18(cid:58)
(cid:301)(cid:114)(cid:251)(cid:235) 2 2
2 3<3 2(cid:65) ∵
∴
(cid:70)1(cid:71)(cid:37)(cid:38)3 5(cid:44)5 3(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:73)
(cid:247)(cid:302)(cid:141)(cid:129)
(cid:70)2(cid:71)(cid:37)(cid:38) 6 2(cid:44) 5 3(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)
− −
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)3 5<5 3(cid:73)(cid:70)2(cid:71) 6 2> 5 3
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:287)(cid:34)(cid:58)(cid:37)−(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:58)−(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:287)(cid:34)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(3 5) =45(cid:58)(5 3) =75(cid:58)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
2 2
(cid:70)2(cid:71)(cid:136)(cid:54)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:47)(cid:138)( 6 2) = 3(cid:58)( 5 3) = 15(cid:58)(cid:137)(cid:138)4 3<2 15(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:37)(cid:38)(cid:19)
2 2
(cid:39)(cid:65) − 8−4 − 8−2
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:70)1(cid:71)(3 5) =45(cid:58)(5 3) =75(cid:58)
2 2
45<75(cid:58)
∵ 3 5<5 3(cid:65)
∴
(cid:70)2(cid:71) ( 6 2) = 3(cid:58)( 5 3) = 15(cid:65)
2 2
∵ − 8−4 − 8−2
(cid:305) (4 3) =48(cid:58)(2 15) =60(cid:58)48<60(cid:58)
2 2
∵ 4 3<2 15(cid:58)
∴ 3> 15(cid:58)
∴ −4 −23> 15(cid:58)
∴ 8−64 2>8−52 3
【
∴
题型
−5
整数部
−
分和小数】
(cid:15)(cid:114)5(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:153)(cid:266)(cid:306)(cid:144)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71) 11 (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)( 11+ )( +1)(cid:30)
(cid:48)(cid:64)(cid:70) (cid:71) −1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:65) 11+2 B(cid:65)2 C(cid:65)7 D(cid:65)5+2 11
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)C
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:286)(cid:162)(cid:41)(cid:30)(cid:287)(cid:34)(cid:98)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:136)(cid:54)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:96)(cid:287)(cid:34)(cid:138)3< 11<4(cid:58)
(cid:137)(cid:138)2< 11 <3(cid:58)(cid:227)(cid:244)(cid:137)(cid:138) =2(cid:58) = 11 (cid:58)(cid:261)(cid:223)(cid:29)(cid:207)(cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)−19<11<16(cid:58) 𝑎 𝑏 −3
9< 11<∵ 16(cid:58)(cid:159)3< 11<4(cid:58)
∴2< 11 <3(cid:58)
∴ 11 (cid:30)−1(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)
∵ =−2(cid:58)1 = 11 𝑎 = 11 (cid:58) 𝑏
∴( 𝑎11+ )𝑏( +1)−1−2 −3
∴= ( 11+𝑎2)(𝑏 11 +1)
= ( 11+2)( 11−3)
= −2
=171(cid:58)−4
(cid:149)(cid:150)(cid:10)C(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)5-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:287)(cid:190)(2 2 3) (cid:30)(cid:48)(cid:53)(cid:217)(cid:70) (cid:71)
2
A(cid:65)1(cid:158)2(cid:311)(cid:312) B(cid:65)2(cid:158)3(cid:311)(cid:312) C(cid:65)5(cid:158)6(cid:311)−(cid:312) D(cid:65)10(cid:158)11(cid:311)(cid:312)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)A
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:98)(cid:286)(cid:162)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:287)(cid:34)(cid:58)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:157)(cid:118)(cid:252)(cid:288)(cid:313)(cid:82)(cid:141)
(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:314)(cid:96)(cid:190)(cid:34)(cid:264)(cid:29)= 6(cid:58)(cid:28)(cid:143) 81< 96< 100(cid:58)(cid:146)(cid:137) < 6< (cid:58)(cid:28)(cid:143)(cid:173)(cid:193)(cid:29)(cid:30)(cid:181)
(cid:85)(cid:159)(cid:146)(cid:47)(cid:141)(cid:65) 11−4 −10 −4 −9
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(2 2 3) = 6+3= 6(cid:58)
2
81< 96< 1 − 00(cid:58) 8−4 11−4
∵9<4 6<10(cid:58)
∴ < 6< (cid:58)
∴−10 −<4 −69< (cid:58)
∴111<−10 116−<42(cid:58) 11−9
(cid:149)∴(cid:150)(cid:10)1A1(cid:65)−4
(cid:15)(cid:151)(cid:29)5-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:315)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:263)(cid:316)·(cid:167)(cid:317)(cid:71)(cid:84)(cid:41) 19 (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:75) + =(cid:70) (cid:71)
A(cid:65)2 19+5 B(cid:65)2 19+1 C(cid:65)2 −191 D𝑎(cid:65)2 19 𝑏 3𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)B −1 −5
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:287)(cid:34)(cid:98)(cid:261)(cid:41)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:98)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:193)(cid:252)(cid:288)(cid:58)(cid:160)(cid:161)(cid:161)(cid:144) (cid:30)(cid:48)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:136)
(cid:54)(cid:34)(cid:318)(cid:249)(cid:61)(cid:28)(cid:30)(cid:287)(cid:34)(cid:146)(cid:252)4< 19<5(cid:58)3< 19 <4(cid:58)(cid:159) =3(cid:58) = 19 (cid:58)(cid:78)(cid:81)𝑎,(cid:159)𝑏 (cid:146)(cid:47)(cid:137)(cid:108)(cid:109)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) 4< 19<5(cid:58) −1 𝑎 𝑏 −4
3< 19 <∵4(cid:58)
∴ =3(cid:58)−=1 19 = 19 (cid:58)
∴𝑎 + 𝑏=3×3−+12−(319 )−=49+2 19 =1+2 19(cid:65)
∴(cid:149)3(cid:150)𝑎 (cid:10)2B𝑏(cid:65) −4 −8
1
(cid:15)(cid:151)(cid:29)5-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:119)(cid:120)(cid:319)(cid:290)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:269)(cid:252) (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:75) +2( 3
3
2
+ = (cid:65) 2− 𝑎 𝑏 𝑎
(cid:15)1(cid:129))𝑏(cid:130)−(cid:21)211
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:81)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:287)(cid:34)(cid:286)(cid:162)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:97)(cid:83)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:3)(cid:142)(cid:217)(cid:79)(cid:137)(cid:158) 3(cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:65)
(cid:96)(cid:91)(cid:92)(cid:43)(cid:186)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:58)(cid:80)(cid:64)1< 3<2(cid:58)(cid:78)(cid:81)(cid:137)(cid:158)3<2+ 3<4(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:137)(cid:158) (cid:58)(cid:99)(cid:261)(cid:223)(cid:190)(cid:34)(cid:47)(cid:141)(cid:65)
1 𝑎,𝑏
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)
3
2+ 32−
=
3)(2+ 3)
=2+ 3
(2−
1< 3<2
∵3<2+ 3<4
∴ = =2+ 3 = 3 (cid:58)
∴𝑎 +23(,𝑏3+ −3 −1
2
∴𝑎 1)𝑏−2=3 +2( 3+1)( 3 )
2
=9+ −1 −2
=11(cid:58)4−2
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10)11(cid:65)
【题型6 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:114)6(cid:21)(cid:70)23-24(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:320)(cid:211)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:269)(cid:252) = 5 3 (cid:58) = 5 3 (cid:58)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +19(cid:30)(cid:48)
5 3 5 3
− + 3 3
(cid:82)(cid:70) (cid:71) 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:65)6 B(cid:65)7 C(cid:65)8 D(cid:65)9
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)D
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:96)(cid:45)(cid:46) (cid:98)(cid:58)(cid:99)(cid:136)(cid:54)(cid:80)(cid:29)(cid:43)(cid:141)(cid:44)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:182) + +19(cid:256)(cid:45)
3 3
(cid:64) ( + ) +19(cid:58)(cid:182)(cid:45)(cid:46)(cid:57) (cid:98)(cid:30)(cid:48)(cid:261)𝑎 (cid:223)𝑏(cid:190)(cid:34)(cid:137)(cid:158) + +19(cid:30)(cid:48)(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:47)𝑎(cid:138)𝑏 𝑎𝑏+ +19
2 3 3 3 3
(cid:30)𝑎(cid:48)𝑏(cid:58)𝑎(cid:175)(cid:176)𝑏(cid:26)(cid:27)−2(cid:28)𝑎𝑏(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:262)(cid:263)(cid:249)𝑎(cid:61)(cid:7)𝑏(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)𝑎(cid:3)(cid:142)𝑏 (cid:65)𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) = 5 3= 5 3 = 15(cid:58)
2
5 3 5 3 5 3
− −
𝑎 + + − 4−
= 5 3 = 5 3 =4+ 15(cid:58)
2
5 3 5 3 5 3
+ +
𝑏 +− +19+= (− + )+19
3 3 2 2
∴=𝑎 𝑏 (𝑎𝑏+ ) 𝑎𝑏 +𝑎19(cid:58)𝑏
2
𝑎𝑏 𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏
= 15 4+ 15 15+4+ 15 15 4+ 15 +19(cid:58)
2
=14×−( ×1)+19(cid:58)4− −2 4−
=62+6149−(cid:58)2
=81(cid:58)
+ +19= 81=9(cid:58)
3 3
∴(cid:149)(cid:150)𝑎(cid:10)𝑏D(cid:65)𝑎𝑏
(cid:15)(cid:151)(cid:29)6-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:321)(cid:322)(cid:229)(cid:323)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:99)(cid:47)(cid:48)(cid:10)5 5 + 45 (cid:58)(cid:204)(cid:105) =4(cid:65)
5 4 5
𝑥 4𝑥
− 𝑥 𝑥 𝑥
7
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) (cid:58)7 5
2
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)5𝑥(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:28)(cid:143)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:91)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:99)(cid:261)
(cid:41)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:65)(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:264)(cid:29)= +3
2
5𝑥
5𝑥− 5𝑥
= 7 (cid:65)
2
5𝑥
(cid:202) =4(cid:203)(cid:58)(cid:264)(cid:29)= 7 5×4=7 5(cid:65)
2
𝑥
(cid:15)(cid:151)(cid:29)6-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:324)(cid:283)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:109) + +25=0(cid:58)(cid:328)(cid:47) + +2 +
2 2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 −8𝑥−6𝑦 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥−2
(cid:30)(cid:48)(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 3
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:58)(cid:188)(cid:269)(cid:252)(cid:256)(cid:45)(cid:64)( ) +( ) =0(cid:58)(cid:28)(cid:143)(cid:249)(cid:61)(cid:30)(cid:329)(cid:330)(cid:181)(cid:85)(cid:137)
2 2
𝑥−4 𝑦−3 ( ) ( )
=4(cid:58) =3(cid:58)(cid:331)(cid:244)(cid:137)(cid:158) + =7(cid:58) =1(cid:58) =12(cid:58)(cid:99)(cid:188) + +2 + (cid:45)(cid:64) (cid:58)
2 2
𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
𝑥(cid:332)(cid:57)(cid:40)(cid:333)𝑦(cid:261)(cid:223)(cid:91)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:159)𝑥(cid:146)(cid:65)𝑦(cid:175)(cid:176)(cid:249)𝑥(cid:61)−(cid:30)𝑦(cid:329)(cid:330)(cid:181)𝑥(cid:58)𝑦(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29) 𝑥 (cid:58)(cid:43) 𝑦 (cid:29)(cid:30)−(cid:33)(cid:34) 𝑦 (cid:83) 𝑥 (cid:75) − (cid:58) 2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) 𝑥𝑦 (cid:33)−(cid:34)(cid:83)(cid:75) 𝑥𝑦 (cid:82)
(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:78) + +25=0(cid:137)(cid:158) +16+ +9=0(cid:58)
2 2 2 2
( ) +(𝑥 )𝑦 −=80𝑥(cid:58)−6𝑦 𝑥 −8𝑥 𝑦 −6𝑦
2 2
∴ 𝑥−4=0(cid:58)𝑦−3=0(cid:58)
∴(cid:141)𝑥(cid:137)−4(cid:10) =4𝑦(cid:58)−3=3(cid:58)
+ 𝑥=7(cid:58) 𝑦 =1(cid:58) =12(cid:58)
∴𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥𝑦
+ +2 +
𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
∴ 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥−2
+ + +
=
2 2 2 2
𝑥 2𝑥𝑦 𝑦 𝑥 −2𝑥𝑦 𝑦
−
𝑥𝑦 𝑥𝑦
( + ) ( )
=
2 2
𝑥 𝑦 𝑥−𝑦
−
𝑥𝑦 𝑥𝑦
7 1
=
122 122
−
49 1
=
12 12
−
7 1
= 3 3
6 6
=
3(cid:65)−5
(cid:15)(cid:151)(cid:29)6-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:308)(cid:334)(cid:154)(cid:335)·(cid:167)(cid:317)(cid:71)(cid:74) + (cid:58)(cid:279) = (cid:58)(cid:75)81
2 2 +𝑛 5
+1= (cid:65) −𝑚 −𝑛 ≥10−6𝑚 2𝑛 𝑥 𝑚 𝑥
−(cid:15)8(cid:129)0𝑥(cid:130)(cid:21)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)−(cid:132)3(cid:22)1(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:262)(cid:263)(cid:249)(cid:61)(cid:7)(cid:29)(cid:30)(cid:151)(cid:113)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:82)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)
(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:58)(cid:96)(cid:78) + (cid:58)(cid:137)(cid:138)( ) +( +1) 0(cid:58)(cid:47)(cid:138) =3(cid:58) = (cid:58)(cid:137)(cid:138)
2 2 2 2
= 5 = 5 (cid:58)(cid:99) −𝑚 (cid:261)(cid:223) −𝑛 (cid:47)(cid:48) ≥ (cid:159) 10 (cid:146) − (cid:65) 6𝑚 2𝑛 𝑚−3 𝑛 ≤ 𝑚 𝑛 −1
3
+𝑛 −1
𝑥(cid:15)(cid:148)(cid:141)𝑚(cid:21)(cid:141)(cid:10) + (cid:58)
2 2
+ + ∵−𝑚 +−𝑛 ≥100(cid:58)−6𝑚 2𝑛
2 2
∴(cid:159)𝑚( 𝑛) +1(0−+6𝑚1) 2𝑛0≤(cid:58)
2 2
𝑚−=3 0(cid:58) 𝑛+1=0≤(cid:58)
∴(cid:141)𝑚(cid:137)−(cid:10)3 =3𝑛(cid:58) = (cid:58)
=
5𝑚
=
5𝑛
(cid:58)
−1
3
+𝑛 −1
∴𝑥 81 𝑚 +1
5
∴ 𝑥 −80𝑥
5 5
=81× 5 × +1
3 3
−1 −1
−80
5 80 5
=81× +1
3 5 3
−1 −80
5 −
5 5 80 5
= 2 2 +1
3 3
−1 −1 −80
−
5 5 80 5
= +1
32 3
6−2 −1 −80
4 5 5 −80 5
= +1
32 3
3− −1 −80
4 5 5 − 80 5
= +1
3 3
14−6 −1 −80
8 5 5 −80 5
= +1
3 3
7−3 −1 −80
8 10 5 80 −5
= +1
3 3
−22 −80
80 5 −80 5
= +1
3 3
−176 −80
80 5 − 5+80
= +1
3
−176−80= +1
3
−96
= +1
=−32(cid:65)
(cid:149)(cid:129)−(cid:130)31(cid:64)(cid:10) (cid:65)
【题型7 二 −3 次 1 根式的规律探索】
(cid:15)(cid:114)7(cid:21)(cid:336)(cid:337)(cid:90)(cid:179)(cid:180)(cid:29)(cid:10)
1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
1 2 1×2 2
2 2 1−
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
2 3 2×3 2 3
2 2 −
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
3 4 3×4 3 4
2 2 −
…
(cid:168)(cid:136)(cid:54)(cid:278)(cid:338)(cid:226)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:190)(cid:34)(cid:10) 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + + 1+ 1 + 1 (cid:204)(cid:108)(cid:109)(cid:64) (cid:65)
1 2 2 3 3 4 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2
⋯
99
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)
10
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:28)(cid:143)(cid:339)(cid:340)(cid:169)(cid:193)(cid:29)(cid:338)(cid:226)(cid:30)(cid:151)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:92)(cid:47)(cid:141)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10) 1+ 1 + 1 =1+ 1 =1+ 1
1 2 1×2 2
2 2
∵ 1−
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
2 3 2×3 2 3
2 2 −
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
3 4 3×4 3 4
2 2 −
…
1+ 1 + 1 =1+ 1 =1+ 1 1 (cid:58)
1) × 1) 1)
∴ 𝑛 2 (𝑛+ 2 𝑛 (𝑛+ 𝑛−(𝑛+
1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + + 1+ + + 1+ + + + 1+ +
1 2 2 3 3 4 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2
∴ ⋯
1 1 1 1 1 1 1
=1+ +1+ +1+ +…+1+
2 2 3 3 4 9 10
1− − − −
1 1 1 1 1 1 1
=9+(cid:70) + + +…+ (cid:71)
2 2 3 3 4 9 10
1− − − −1
=9+(cid:70)1(cid:341) (cid:71)
10
99
= (cid:58)
10
99
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) (cid:65)
10
(cid:15)(cid:313)(cid:342)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:77)(cid:84)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:101)(cid:3)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:98)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:196)(cid:338)(cid:226)(cid:193)(cid:29)(cid:30)(cid:151)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:86)(cid:196)(cid:343)(cid:344)(cid:33)(cid:54)
(cid:82)(cid:141)(cid:129)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
1 1 1
(cid:15)(cid:151)(cid:29)7-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:119)(cid:120)(cid:345)(cid:346)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:336)(cid:337)(cid:90)(cid:179)(cid:180)(cid:29)(cid:10) = 2 (cid:58) = 3 2(cid:58) =
2 1 3 2 2 3
+ −1 + − + 2−
1 1 1 1
3(cid:58)…(cid:136)(cid:54)(cid:278)(cid:338)(cid:226)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:141)(cid:275)(cid:10) + + + + × 2025+ 2 = (cid:65)
3 2 2 3 5 2 2025 2024
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)2023 + + + ⋯ +
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:41)(cid:347)(cid:30)(cid:151)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:106)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:82)(cid:335)(cid:56)(cid:336)(cid:337)(cid:348)(cid:349)(cid:30)(cid:193)
(cid:29)(cid:58)(cid:51)(cid:52)(cid:138)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:87)(cid:88)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:86)(cid:196)(cid:343)(cid:344)(cid:53)(cid:54)(cid:197)(cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:92)(cid:190)(cid:34)(cid:65)(cid:335)(cid:56)(cid:336)(cid:337)(cid:348)(cid:349)(cid:30)(cid:193)(cid:29)(cid:58)(cid:188)(cid:348)(cid:47)(cid:30)(cid:29)(cid:207)(cid:151)(cid:113)(cid:64)
3 2+ 3+ 5 + + 2025 2024 × 2025+ 2 (cid:58)(cid:99)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)−(cid:141)(cid:21)(cid:141)2(cid:10)−(cid:264)(cid:29)= −32 ⋯2+ 3+− 5 + + 2025 2024 × 2025+ 2
= 2025 2 × 2025−+ 2 2− −2 ⋯ −
−
= 2025 ( 2)
2 2
= −
=22002253−(cid:58)2
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10)2023(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)7-2(cid:21)(cid:70)23-24(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:266)(cid:350)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:188)(cid:87)(cid:351)(cid:282)(cid:77)(cid:352)(cid:311)(cid:37)(cid:64) 2(cid:30)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355) (cid:91)(cid:92)(cid:76)(cid:90)(cid:356)(cid:156)(cid:10)(cid:246)(cid:357)(cid:86)
(cid:358)(cid:357)(cid:359)(cid:360)(cid:60)(cid:58)(cid:338)(cid:226)(cid:189)(cid:87)(cid:27)(cid:348)(cid:137)(cid:158)(cid:30)(cid:236)(cid:169)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355)(cid:282)(cid:77)(cid:352)(cid:311)(cid:37)(cid:361)(cid:82) 2(cid:70)(cid:189)(cid:87)(cid:27)(cid:30)𝐴(cid:357)𝐵(cid:359)𝐶𝐷(cid:76)(cid:234)(cid:105)(cid:30)(cid:362)(cid:363)(cid:348)(cid:235)(cid:71)(cid:58)
(cid:75)(cid:297)3(cid:27)(cid:356)(cid:156)(cid:57)(cid:348)(cid:137)(cid:158)(cid:30)(cid:204)(cid:105)(cid:87)(cid:169)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:82) (cid:73)(cid:297)2024(cid:27)(cid:356)(cid:156)(cid:57)(cid:348)(cid:137)(cid:158)(cid:30)(cid:204)(cid:105)
(cid:87)(cid:169)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:82) (cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21) 2 2 1 2
2 2
+ +
2023
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:81)(cid:22)(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:365)(cid:357)(cid:151)(cid:257)(cid:181)(cid:85)(cid:157)(cid:106)(cid:49)(cid:50)(cid:181)(cid:276)(cid:22)(cid:53)(cid:54)(cid:65)(cid:96)(cid:47)(cid:138)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355)(cid:30)(cid:282)(cid:58)(cid:99)(cid:28)(cid:143)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:7)(cid:29)(cid:43)(cid:224)(cid:47)(cid:138)(cid:189)(cid:87)(cid:27)(cid:246)(cid:357)(cid:57)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:58)(cid:91)(cid:244)(cid:137)(cid:138)(cid:151)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:47)(cid:138)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)1× 2= 2(cid:58)
(cid:246)(cid:60)(cid:27)(cid:41)(cid:10)
(cid:297)(cid:87)(cid:27)(cid:58)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(cid:10)2 1+ 2 =2+ 2(cid:58)
2
(cid:297)(cid:26)(cid:27)(cid:58)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(cid:10)2 1 + 2 =1+ 2(cid:58)
2 2
(cid:297)(cid:366)(cid:27)(cid:58)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(cid:10)2 1 + 2 = 2 2 (cid:58)
2 4 2
+
(cid:297)(cid:119)(cid:27)(cid:58)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(cid:10)2 1 + 2 = 1 2 (cid:58)
4 4 2
+
(cid:297)(cid:367)(cid:27)(cid:58)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(cid:10)2 1 + 2 = 2 2 (cid:58)
4 8 4
+
…
2 2
(cid:297)3(cid:27)(cid:356)(cid:156)(cid:57)(cid:348)(cid:137)(cid:158)(cid:30)(cid:204)(cid:105)(cid:87)(cid:169)(cid:353)(cid:113)(cid:354)(cid:355)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:82) (cid:58)
2
+
∴
1 2
(cid:297)2024(cid:27)(cid:246)(cid:60)(cid:57)(cid:348)(cid:137)(cid:225)(cid:368)(cid:354)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:64) (cid:65)
2
+
2023
2 2 1 2
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) (cid:73) (cid:65)
2 2
+ +
2023
(cid:15)(cid:151)(cid:29)7-3(cid:21)(cid:70)23-24(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:308)(cid:165)(cid:369)(cid:185)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:169)(cid:43)(cid:186)(cid:370)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:29)(cid:207)(cid:203)(cid:58)(cid:371)(cid:54)(cid:43)(cid:207)(cid:98)(cid:43)(cid:186)
(cid:24)(cid:97)(cid:157)(cid:43)(cid:186)(cid:30)(cid:101)(cid:162)(cid:45)(cid:80)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:83)(cid:231)(cid:146)(cid:157)(cid:135)(cid:58)(cid:114)(cid:76)(cid:10) 1 = 2 = 2 = 2 = 2 (cid:58) 2 = 2× 3
2 1 ( 2 1)( 2 ) ( 2) 1 3 3× 3
−1 −1 −1
2
+ + −1 −1 −1
6
= (cid:58)
3
1
(1)(cid:74) = (cid:58)(cid:47)3 (cid:30)(cid:48)(cid:73)
5
2
(2)(cid:37) 𝑎 (cid:38) 202 − 5 2 20 𝑎 24 − (cid:77) 12 2 𝑎 0 − 2 1 4 2023(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:86)(cid:239)(cid:219)(cid:162)(cid:78)(cid:65)
(3)(cid:136)(cid:54)(cid:277)(cid:87)(cid:49)−(cid:50)(cid:190)(cid:34)(cid:10) 1 + − 1 + 1 + + 1 (cid:65)
2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2024 2023 2023 2024
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)2 + + + ⋯ +
(2) 2025 2024< 2024 2023
(3)
506− −
1012
(cid:15)(cid:43)1−(cid:131)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:96)(cid:45)(cid:46) (cid:58)(cid:99)(cid:261)(cid:223)(cid:261)(cid:41)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
𝑎 1 1
(cid:70)2(cid:71)(cid:136)(cid:54)(cid:284)(cid:41)(cid:30)(cid:3)(cid:285)(cid:58)(cid:96)(cid:43)(cid:224)(cid:45)(cid:46) (cid:98) (cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:108)(cid:109)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:91)(cid:244)(cid:146)(cid:37)(cid:38) 2025 2024
2025 2024 2024 2023
(cid:77) 2024 2023(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:73) − − −
−1 1
(cid:70)3(cid:71)(cid:78)(cid:22)(cid:163)(cid:146)(cid:137)(cid:189)(cid:195)(cid:146)(cid:372)(cid:235)(cid:64) (cid:58)(cid:136)(cid:54)(cid:197)(cid:49)(cid:50)(cid:373)(cid:195)(cid:57)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:47)(cid:141)(cid:73)
1
(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:106)(cid:45)(cid:46)𝑛− (cid:47)𝑛(cid:48)+ (cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:175)(cid:176)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10) = 1 = 5 2 = 5+2(cid:58)
5 5 5 2
+
∵𝑎 −2 −2 +
(cid:264)(cid:29)=3 5+2 5+2
2
∴
=3 5+4 5+4
−
1
1
2
2
5+24
−1(cid:58)
=27+12 5 −5 (cid:58) −1
=2(cid:73) −12 −24−1
(cid:70)2(cid:71)(cid:141)(cid:10) 1 = 2025 2024 = 2025+ 2024(cid:58)
2025 2024 2025 2024 2025 2024
+
1 ∵ = − 2024 2023 − = 2 + 024+ 2023(cid:58)
2024 2023 ( 2024 2023)( 2024 2023)
+
(cid:305) − 2025+ 2024 − > 2024+ + 2023>0(cid:58)
∵ 1 > 1 >0(cid:58)
2025 2024 2024 2023
∴ 202 − 5 2024< − 2024 2023(cid:73)
∴(cid:70)3(cid:71)(cid:141)−(cid:10) 1
=
1 1−(cid:58)
2 1 2 1 2
1 = ∵ 1 +1 (cid:58) −
3 2 2 3 2 3
+1 = 1 − 1 (cid:58)
4 3 3 4 3 4
(cid:58)+ −
⋯(cid:264)(cid:29)= 1 1
+
1 1
+
1 1
+ +
1 1
1 2 2 3 3 4 2023 2024
∴ − − − ⋯ −
= 1 1 (cid:58)
1 2024
−
506
= (cid:65)
1012
1−
【题型8 二次根式的应用】
(cid:15)(cid:114)8(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:308)(cid:165)(cid:374)(cid:185)·(cid:167)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:234)(cid:58)(cid:351)(cid:19)(cid:375)(cid:376)(cid:101)(cid:87)(cid:377)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:378)(cid:379) (cid:58)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:378)(cid:379)(cid:30) (cid:64)
72m(cid:58)(cid:352) (cid:64) 32m(cid:58)(cid:226)(cid:304)(cid:217)(cid:378)(cid:379)(cid:105)(cid:380)(cid:138)(cid:87)(cid:377)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:379)(cid:381)(cid:382)(cid:70)(cid:159)(cid:234)(cid:105)(cid:383)(cid:384)(cid:42)(cid:43)𝐴(cid:71)𝐵𝐶(cid:58)𝐷(cid:204)(cid:385)(cid:42)(cid:43)(cid:248)(cid:386)(cid:387)(cid:388)𝐵𝐶(cid:58)(cid:282)
(cid:61)(cid:113)(cid:381)(cid:382)(cid:389)𝐴(cid:30)𝐵(cid:282)(cid:64)( 13+1)m(cid:58)(cid:352)(cid:64)( 13 )m(cid:65)
−1(1)(cid:282)(cid:61)(cid:113) (cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:82)(cid:390)(cid:391)(cid:238)(cid:70)(cid:108)(cid:109)(cid:45)(cid:64)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:71)
(2)(cid:74)(cid:392)(cid:389)𝐴(cid:118)𝐵(cid:393)𝐶𝐷(cid:248)(cid:387)(cid:388)10(cid:147)/(cid:394)(cid:395)(cid:58)(cid:351)(cid:19)(cid:375)(cid:248)(cid:386)(cid:197)(cid:248)(cid:387)(cid:388)(cid:58)(cid:189)(cid:249)(cid:61)(cid:396)(cid:146)(cid:157)(cid:397)20(cid:394)(cid:395)(cid:30)(cid:387)(cid:388)(cid:58)(cid:351)(cid:19)(cid:375)(cid:76)(cid:109)(cid:188)(cid:348)
(cid:248)(cid:387)(cid:388)(cid:263)(cid:42)(cid:398)(cid:399)(cid:262)(cid:58)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:223)(cid:64)(cid:390)(cid:391)(cid:147)(cid:238)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)20 2m
(2)7200(cid:147)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:84)(cid:401)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:249)(cid:61)(cid:250)(cid:7)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:193)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:163)(cid:136)(cid:54)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:364)(cid:282)(cid:7)(cid:29)(cid:179)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:96)(cid:190)(cid:34)(cid:138)(cid:248)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:58)(cid:99)(cid:47)(cid:138)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:223)(cid:159)(cid:146)(cid:65)
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:28)(cid:143)(cid:22)(cid:163)(cid:146)(cid:252)(cid:10)
2×( 72+ 32)=2×(6 2+4 2)=20 2(m)(cid:65)
(cid:364)(cid:282)(cid:82)(cid:10)20 2m(cid:73)
(cid:70)∴ 2(cid:71)(cid:141)(cid:10) 72× 32 ( 13+1)×( 13 )(cid:58)
= ( )(cid:58) − −1
=4386−(m1)3(cid:58)−1
2
36×10×20=7200(cid:70)(cid:147)(cid:71)(cid:58)
(cid:351)(cid:19)(cid:375)(cid:76)(cid:109)(cid:188)(cid:348)(cid:248)(cid:387)(cid:388)(cid:263)(cid:42)(cid:398)(cid:399)(cid:262)(cid:58)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:223)(cid:64)7200(cid:147)(cid:65)
(cid:15)∴ (cid:151)(cid:29)8-1(cid:21)(cid:70)22-23(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:153)(cid:154)(cid:403)(cid:404)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:393)(cid:39)(cid:405)(cid:101)(cid:87)(cid:377)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:30)(cid:406)(cid:379)(cid:58)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:352)(cid:64)
( 6 2)m(cid:58)(cid:64)(cid:407)(cid:45)(cid:39)(cid:405)(cid:408)(cid:409)(cid:58)(cid:349)(cid:277)(cid:377)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:406)(cid:379)(cid:410)(cid:118)(cid:229)(cid:230)(cid:30)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:58)(cid:348)(cid:415)(cid:30)(cid:413)(cid:414)(cid:30)(cid:282)(cid:416)(cid:64)
(10−6 2)m(cid:58)(cid:127)(cid:128)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:64) m (cid:65)
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)−(cid:21)2 3)
(24−8 1
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:96)(cid:136)(cid:54)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:30)(cid:87)(cid:417)(cid:32)(cid:232)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:352)(cid:137)(cid:158)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:282)(cid:58)(cid:159)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:282)(cid:64) (10 6 2 6 2
2
)(cid:58)(cid:232)(cid:102)(cid:9)(cid:36)(cid:86)(cid:137)(cid:158)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:282)(cid:64)4 6(cid:58)(cid:332)(cid:57)(cid:28)(cid:143)(cid:353)(cid:113)(cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:7)(cid:29)(cid:137)(cid:158)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:104)(cid:402)=4 6 − ( 2 6 )− 2) ((cid:58)(cid:99)−(cid:91)
(cid:92)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:97)(cid:83)(cid:33)(cid:34)(cid:65) −
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:141)(cid:10)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:282)= 1 (10 6 2 6 2)=4 6 (m)(cid:58)
2
−2 )−( −(cid:348)(cid:157)(cid:277)(cid:377)(cid:406)(cid:379)(cid:30)(cid:104)(cid:402)=4 6( 6 2)= 3)m (cid:65)
2
(cid:149)(cid:129)(cid:130)(cid:64)(cid:10) 3)(cid:65) − (24−8
(cid:15)(cid:313)(cid:342)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(24(cid:133)−(cid:134)8(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:182)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:77)(cid:226)(cid:84)(cid:418)(cid:344)(cid:62)(cid:419)(cid:285)(cid:58)(cid:333)(cid:226)(cid:135)(cid:348)(cid:11)(cid:252)(cid:288)(cid:311)(cid:312)(cid:30)(cid:419)(cid:285)(cid:58)
(cid:420)(cid:421)(cid:348)(cid:11)(cid:252)(cid:288)(cid:30)(cid:40)(cid:333)(cid:181)(cid:58)(cid:173)(cid:67)(cid:422)(cid:423)(cid:141)(cid:275)(cid:276)(cid:22)(cid:30)(cid:424)(cid:14)(cid:58)(cid:425)(cid:426)(cid:141)(cid:275)(cid:276)(cid:22)(cid:30)(cid:196)(cid:427)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:303)(cid:304)(cid:82)(cid:217)(cid:141)(cid:275)
(cid:84)(cid:401)(cid:276)(cid:22)(cid:30)(cid:56)(cid:139)(cid:105)(cid:54)(cid:158)(cid:101)(cid:3)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:428)(cid:429)(cid:98)(cid:181)(cid:85)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:61)(cid:83)(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)8-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:152)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:430)(cid:165)(cid:431)(cid:322)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:393)(cid:432)(cid:433)(cid:251)(cid:405)(cid:101)(cid:87)(cid:377)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:434)(cid:435)(cid:405)(cid:436) (cid:70)(cid:76)(cid:234)(cid:71)(cid:58)(cid:197)
(cid:405)(cid:436)(cid:30)(cid:282) (cid:64)8 3(cid:396)(cid:58)(cid:352) (cid:64) 98(cid:396)(cid:58)(cid:226)(cid:190)(cid:380)(cid:217)(cid:405)(cid:436)(cid:105)(cid:312)(cid:222)(cid:435)(cid:87)(cid:169)(cid:160)(cid:61)(cid:113)(cid:251)(cid:437)(cid:70)(cid:383)(cid:384)(cid:42)𝐴(cid:43)𝐵(cid:71)𝐶𝐷(cid:58)(cid:251)(cid:437)(cid:30)(cid:438)(cid:282)
(cid:64)( 6 𝐵(cid:396)𝐶(cid:65) 𝐴𝐵
−1)
(1)(cid:47)(cid:197)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:434)(cid:435)(cid:405)(cid:436) (cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:73)
(2)(cid:100)(cid:232)(cid:222)(cid:435)(cid:251)(cid:437)(cid:30)(cid:379)(cid:61)𝐴(cid:58)𝐵(cid:204)𝐶𝐷(cid:385)(cid:405)(cid:436)(cid:263)(cid:42)(cid:415)(cid:304)(cid:439)(cid:118)(cid:440)(cid:441)(cid:58)(cid:74)(cid:348)(cid:439)(cid:440)(cid:441)(cid:30)(cid:399)(cid:442)(cid:64)10(cid:147)/(cid:249)(cid:61)(cid:396)(cid:58)(cid:75)(cid:443)(cid:444)(cid:440)(cid:441)(cid:19)
(cid:445)(cid:415)(cid:304)(cid:446)(cid:447)(cid:390)(cid:391)(cid:147)(cid:238)(cid:70) 6 2.4495(cid:58)(cid:108)(cid:109)(cid:306)(cid:448)(cid:158)(cid:39)(cid:41)(cid:313)(cid:57)(cid:236)(cid:449)(cid:71)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)(16 3+14 2)≈(cid:396)
(2)1350.70(cid:147)
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:160)(cid:161)(cid:175)(cid:176)(cid:62)(cid:3)(cid:181)(cid:85)(cid:433)(cid:220)(cid:82)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:91)(cid:92)(cid:179)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:159)(cid:146)(cid:156)(cid:129)(cid:65)
(cid:70)2(cid:71)(cid:96)(cid:34)(cid:138)(cid:204)(cid:385)(cid:405)(cid:436)(cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:64)(58 6 )(cid:249)(cid:61)(cid:396)(cid:58)(cid:99)(cid:108)(cid:36)(cid:348)(cid:439)(cid:440)(cid:441)(cid:30)(cid:399)(cid:442)(cid:64)10(cid:147)/(cid:249)(cid:61)(cid:396)(cid:58)(cid:91)(cid:92)(cid:179)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:58)
(cid:159)(cid:146)(cid:156)(cid:129)(cid:65) −7
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:450)(cid:22)(cid:163)(cid:58)2×(8 3+ 98)=2×(8 3+7 2)=16 3+14 2(cid:70)(cid:396)(cid:71)(cid:65)
(cid:129)(cid:10)(cid:197)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:434)(cid:435)(cid:405)(cid:436) (cid:30)(cid:364)(cid:282)(cid:64)(16 3+14 2)(cid:396)(cid:65)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:70)2(cid:71)(cid:141)(cid:10) (8 3× 98) ( 6
2
− −1)
=8 3×7 2 ( 6)
=58 6 (cid:70)−(cid:249)7(cid:61)−(cid:396)2(cid:71)(cid:65)
(cid:204)(cid:385)(cid:405)(cid:436)−7(cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:64)(58 6 )(cid:249)(cid:61)(cid:396)(cid:58)
∴ −710×(58 6 )=580 6 1350.70(cid:70)(cid:147)(cid:71)(cid:65)
(cid:129)(cid:10)(cid:443)(cid:444)(cid:440)−(cid:441)7(cid:19)(cid:445)(cid:415)(cid:304)(cid:446)−(cid:447)7013≈50.70(cid:147)(cid:65)
(cid:15)(cid:151)(cid:29)8-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:153)(cid:154)(cid:451)(cid:290)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:101)(cid:87)(cid:377)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:453) (cid:58)(cid:452)(cid:454)(cid:455)(cid:371)(cid:54)(cid:76)(cid:234)(cid:30)(cid:61)(cid:29)(cid:58)(cid:188)(cid:452)
(cid:453)(cid:30)(cid:282) (cid:456)(cid:31)2 3cm(cid:58)(cid:352) (cid:456)(cid:31)7 3cm(cid:58)(cid:137)(cid:158)(cid:87)(cid:169)(cid:104)(cid:402)(cid:64)192cm (cid:30)𝐴(cid:160)𝐵(cid:61)𝐶𝐷(cid:113) (cid:65)
2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐺
(1)(cid:47)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:453) (cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:73)
𝐴𝐵𝐶𝐷 6
(2)(cid:452)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:227)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:453) (cid:105)(cid:459)(cid:138)(cid:87)(cid:169)(cid:104)(cid:402)(cid:64)12cm (cid:58)(cid:352)(cid:64) cm(cid:30)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:460)(cid:58)(cid:75)(cid:197)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:460)(cid:30)(cid:282)(cid:64)_______
2
2
cm(cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(3)(cid:452)(cid:454)(cid:461)(cid:458)(cid:227)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:453) (cid:105)(cid:462)(cid:138)(cid:282)(cid:64)2.0cm(cid:98)(cid:352)(cid:64)1.5cm(cid:30)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:171)(cid:58)(cid:72)(cid:390)(cid:196)(cid:462)(cid:138)_________(cid:28)(cid:277)(cid:95)(cid:30)(cid:452)
(cid:171)(cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(1)18cm
2
(2)4 6
(3)5
(cid:15)(cid:43)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:303)(cid:304)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:353)(cid:113)(cid:104)(cid:402)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:160)(cid:61)(cid:113)(cid:104)(cid:402)(cid:30)(cid:190)(cid:34)(cid:58)(cid:141)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:142)(cid:82)(cid:187)(cid:125)(cid:175)(cid:176)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)(cid:65)
(cid:70)1(cid:71)(cid:96)(cid:47)(cid:138)(cid:160)(cid:61)(cid:113)(cid:30)(cid:438)(cid:282)(cid:58)(cid:332)(cid:57)(cid:99)(cid:47)(cid:138)(cid:282)(cid:61)(cid:113)(cid:30)(cid:180)(cid:438)(cid:282)(cid:58)(cid:99)(cid:47)(cid:138)(cid:108)(cid:109)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:28)(cid:143)(cid:353)(cid:113)(cid:104)(cid:402)(cid:7)(cid:29)(cid:179)(cid:29)(cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:146)(cid:73)
6 3
(cid:70)3(cid:71)(cid:28)(cid:143) =3 3(cid:58)5<3 3<6(cid:58)(cid:137)(cid:138)(cid:72)(cid:390)(cid:196)(cid:462)(cid:138)5(cid:28)(cid:277)(cid:95)(cid:30)(cid:452)(cid:171)(cid:65)
2
(cid:15)(cid:148)(cid:141)(cid:21)(cid:70)1(cid:71)(cid:141)(cid:10) (cid:452)(cid:453)(cid:30)(cid:282) (cid:456)(cid:31)2 3cm(cid:58)(cid:352) (cid:456)(cid:31)7 3cm(cid:58)(cid:137)(cid:158)(cid:87)(cid:169)(cid:104)(cid:402)(cid:64)192cm (cid:30)(cid:160)(cid:61)(cid:113) (cid:65)
2
(cid:160)(cid:61)(cid:113) (cid:30)(cid:438)(cid:282)∵(cid:64)(cid:10) 192𝐴=𝐷 8 3(cm)(cid:58) 𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐺
∴ =8𝐴𝐸3𝐹𝐺 3=6 3(cm)(cid:58) =8 3 3= 3(cm)(cid:58)
∴(cid:353)𝐴𝐷(cid:113)(cid:452)(cid:453) −2 (cid:30)(cid:104)(cid:402)(cid:64)6 3×𝐴𝐵3=18(−cm7 )(cid:73)
2
∴(cid:70)2(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:197)𝐴𝐵(cid:353)𝐶𝐷(cid:113)(cid:452)(cid:460)(cid:30)(cid:282)(cid:64)(cid:10)
12÷ 6=12× 2 =4 6(cm)(cid:73)
2 6(cid:70)3(cid:71)(cid:141)(cid:10) 6 3=3 3(cid:58)
2
∵
(cid:305) 5<3 3<6(cid:58)
(cid:227)∵(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:453) (cid:105)(cid:462)(cid:138)(cid:282)(cid:64)2.0cm(cid:98)(cid:352)(cid:64)1.5cm(cid:30)(cid:353)(cid:113)(cid:452)(cid:171)(cid:58)(cid:72)(cid:390)(cid:196)(cid:462)(cid:138)5(cid:28)(cid:277)(cid:95)(cid:30)(cid:452)(cid:171)(cid:65)
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷
