文档文本内容
专题 20.3 二次根式的加减（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:22)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:22)............................................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:40)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:22)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:22)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:46)(cid:22)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:22)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:22)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:58)(cid:59)(cid:22)....................................................................................................................................6
知识点1 二次根式的加减运算
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:60)(cid:35)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:64)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:10)
知识点2 二次根式的混合运算
1. (cid:38)(cid:39)(cid:60)(cid:76)
(cid:77)(cid:45)(cid:30)(cid:35)(cid:40)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:78)(cid:79)(cid:67)(cid:80)(cid:66)(cid:81)(cid:39)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:66)(cid:86)(cid:39)(cid:82)(cid:87)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:66)(cid:90)(cid:91)(cid:9)(cid:35)(cid:81)(cid:39)(cid:91)(cid:9)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:94)
2. (cid:61)(cid:46)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:55)(cid:96)(cid:7)(cid:30)(cid:64)(cid:80)(cid:97)(cid:59)(cid:98)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:94)
教3. (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:58)(cid:101)(cid:102)(cid:88)(cid:51)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:103)(cid:45)(cid:30)(cid:35)(cid:104)(cid:30)(cid:94)
辅
资
源
，
关
【题型1 判断二次根式 注 能否公合并】
众
号
★
全
科
(cid:15)(cid:105)1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:20)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:88)(cid:51)A(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) +6(cid:77) + (cid:63)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:66)(cid:120)(cid:121)
A
+
3𝑎−𝑏
2𝑎−𝑏 4𝑎 3𝑏(cid:106) (cid:118)
A(cid:94) =2(cid:66) =1 B(cid:94) =1(cid:66) = C(cid:94) =1(cid:66) =0 D(cid:94) =1(cid:66) =1
(cid:15)(cid:122)(cid:30)𝑎1-1(cid:22)(cid:106)𝑏24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)𝑎(cid:71)·(cid:124)(cid:125)𝑏(cid:126)(cid:127)−·1(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)𝑎(cid:118)(cid:70)(cid:100)(cid:88)𝑏 (cid:51)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) 𝑎 (cid:77)2𝑏7(cid:128)(cid:129)(cid:74)(cid:75)(cid:33)(cid:34)(cid:66)(cid:76) (cid:35)
2
(cid:53)(cid:130)(cid:106) (cid:118) 𝑎−2 𝑎
A(cid:94)7 B(cid:94)16 C(cid:94)25 D(cid:94)81
(cid:15)(cid:122)(cid:30)1-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:131)(cid:132)(cid:132)(cid:133)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:119) (cid:77) 12(cid:63)(cid:128)(cid:129)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:66)(cid:135)(cid:101)(cid:136)(cid:67)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:139)(cid:140)(cid:35)
(cid:88)(cid:51)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:130) (cid:94) 𝑎
(cid:15)(cid:122)(cid:30)1-3(cid:22)(cid:106)𝑎24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:113)(cid:141)(cid:142)(cid:143)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:71)(cid:144)(cid:145)(cid:30)(cid:146)(cid:147)(cid:50)(cid:51)(cid:89)(cid:77) (cid:35)(cid:148)(cid:85)(cid:83)(cid:46)(cid:149)(cid:150)(cid:64)(cid:35)
3
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:63)(cid:106) (cid:118) − −27𝑥
1
A(cid:94) B(cid:94) C(cid:94) D(cid:94) 27
3 273 9
−𝑥 −𝑥
3 3
−3𝑥 𝑥
【题型2 二次根式的加减运算】
(cid:15)(cid:105)2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:133)(cid:151)(cid:152)(cid:153)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:50)(cid:51)(cid:10) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
8 11 11 14 14 17 17 20 20 23
1 + 1 + 1 (cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:106) (cid:118) + + + + +
23 26 26 29 29 32
+ + +
2 2
A(cid:94)1 B(cid:94) C(cid:94)2 2 D(cid:94)4 2
3
(cid:15)(cid:122)(cid:30)2-1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:133)(cid:151)(cid:154)(cid:155)(cid:113)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:71)(cid:144)(cid:156)(cid:30)(cid:157)(cid:158)(cid:35)(cid:63)(cid:106) (cid:118)
A(cid:94)2 3+3 2=5 5 B(cid:94) 9 1 =3 1
4 2
C(cid:94) ( = D(cid:94) 3+ 5 3+ 5 =2
2
(cid:15)(cid:122)(cid:30) 2-2 π (cid:22) −3 (cid:106) .14 23 ) -24 (cid:123)3.1(cid:108)4−(cid:109)π(cid:71)·(cid:159)(cid:153)(cid:160)(cid:125)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:161)(cid:162)(cid:54)(cid:163)(cid:38)−(cid:39)(cid:138)(cid:9)“ ”(cid:35)(cid:164)(cid:165)(cid:63)(cid:10)(cid:166) > (cid:167)(cid:66)a
𝑎 𝑏
= + (cid:168) (cid:166) (cid:167)(cid:66) a = (cid:66)(cid:169)(cid:170)(cid:38)(cid:39)(cid:138)(cid:9)(cid:35)(cid:164)(cid:165)(cid:149)(cid:122)(cid:66)(cid:171)(cid:39)(cid:10)( 2 3) (2 2 3)=
𝑏(cid:15)(cid:122)𝑎(cid:30)2𝑏-3(cid:22)(cid:106)𝑎24≤-2𝑏5(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:124)𝑏 (cid:125)𝑎(cid:172)−(cid:173)𝑏·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:44)(cid:174)(cid:49)(cid:44)(cid:175)(cid:64)(cid:11)(cid:176)(cid:67)(cid:137)(cid:177)(cid:178)(cid:171)(cid:39)(cid:179)(cid:180)−(cid:66)(cid:181)(cid:67)(cid:137)(cid:149)(cid:182)(cid:183)(cid:35)
(cid:184)(cid:185)(cid:95)(cid:186)(cid:187)(cid:20)(cid:137)(cid:44)(cid:178)(cid:66)(cid:44)(cid:178)(cid:110)(cid:48)(cid:188)(cid:189)(cid:90)(cid:67)(cid:137)(cid:46)(cid:94)(cid:190)(cid:191)(cid:184)(cid:185)(cid:95)(cid:177)(cid:192)(cid:44)(cid:178)(cid:66)(cid:119)(cid:177)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:178)(cid:66)(cid:196)(cid:37)(cid:197)(cid:178)(cid:110)(cid:35)(cid:46)(cid:168)
(cid:119)(cid:177)(cid:193)(cid:198)(cid:195)(cid:178)(cid:66)(cid:196)(cid:36)(cid:110)(cid:178)(cid:110)(cid:35)(cid:46)(cid:94)
教
辅
资
源
，
关
注
公
(1)(cid:70)(cid:199)1(cid:66)(cid:119)(cid:44)(cid:174)(cid:177)(cid:193)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:137)(cid:44)众(cid:178)(cid:66)号(cid:135)(cid:171)(cid:39)(cid:136)(cid:99)(cid:100)(cid:168)
★
全
科
A
(2)(cid:70)(cid:199)2(cid:66)(cid:119)(cid:44)(cid:175)(cid:177)(cid:193)(cid:199)(cid:200)(cid:20)(cid:137)(cid:44)(cid:178)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:35)(cid:171)(cid:39)(cid:99)(cid:100)(cid:31)A(cid:49)+48(cid:33)(cid:34)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:183)(cid:205)(cid:206)(cid:94)【题型3 二次根式的混合运算】
(cid:15)(cid:105)3(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:133)(cid:151)(cid:33)(cid:207)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:208)(cid:98)(cid:209)(cid:164)(cid:149)(cid:150)(cid:156)(cid:35)(cid:201)(cid:137)(cid:157)(cid:61)(cid:46)a(cid:66)b(cid:66)(cid:163)(cid:165)(cid:67)(cid:210)(cid:38)(cid:39)“※”(cid:70)
(cid:71)(cid:10) ※ = (cid:66)(cid:105)(cid:70)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:94)
𝑎+𝑏 +
(cid:106)1(cid:118)𝑎 3※ 𝑏 6= 𝑎 − 𝑏 (cid:168) 5−4
(cid:106)2(cid:118)( 3)※ 7※5 = (cid:94)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)2 3 − -1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:211)(cid:125)(cid:212)(cid:183)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:70)(cid:199)(cid:66)(cid:213)(cid:63)(cid:67)(cid:137)(cid:46)(cid:53)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:66)(cid:119)(cid:217)(cid:187)(cid:35)a(cid:53)(cid:130) 2(cid:66)(cid:76)(cid:217)(cid:136)
(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:58)(cid:130) (cid:94)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)3-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:211)(cid:125)(cid:212)(cid:183)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:171)(cid:39)(cid:10)
1
(1) 27÷ 3 × 18+ 24
3
−
(2)(2 3+3 2)(2 3 2) 5
2
(cid:15)(cid:122)(cid:30)3-3(cid:22)(cid:106)24-25−(cid:123)3(cid:108)(cid:109)−(cid:71)·(cid:218)−(cid:219)1(cid:220)(cid:221)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:222)(cid:223) = 3
1 𝑥 2−
(1)(cid:171)(cid:39)(cid:10) =________(cid:66) =________(cid:168)
2
(2)(cid:52)(cid:224)(cid:46)𝑥(cid:30)(7+4 3) + 𝑥 (2+ 3) + 3 (cid:35)(cid:53)(cid:94)
2
【题型4 比较二次根 𝑥 式的大小】 𝑥 −1
1
(cid:15)(cid:105)4(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:181)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:23)“(cid:222)(cid:223) = (cid:66)(cid:52)2 +1(cid:35)(cid:53)”(cid:167)(cid:66)(cid:44)(cid:183)(cid:63)(cid:232)(cid:80)
2 3
2
(cid:48)(cid:233)(cid:77)(cid:229)(cid:234)(cid:35)(cid:10) 𝑎 + 𝑎 −8𝑎
= 1 = 3 = 3(cid:66)
2 3 (2 3)( 3)
2−
∵ 𝑎 = + 3(cid:66)+ ( 2− ) = 2− 3(cid:66) +4=3(cid:66)
2 2
∴ 𝑎−2 −= (cid:66)∴ 𝑎2−2 +1=𝑎 2−(4𝑎 )+1=2×( )+1= (cid:94)
2 2 2
(cid:135)∴(cid:235)𝑎(cid:29)−(cid:236)4𝑎(cid:44)(cid:183)−(cid:35)1(cid:48)(cid:233)∴(cid:147)(cid:237)𝑎 (cid:66)−8(cid:229)𝑎(cid:230)(cid:70)(cid:71)(cid:231)(cid:23)𝑎 (cid:10)−4𝑎 −1 −1
教 (1)(cid:41)辅(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:10) 2 (cid:77) 2 (cid:168)
资 源13 11 15 13
，
关
(2)(cid:119) = 1 (cid:66)(cid:238) − ( + 注 ) − = 公 9(cid:66)众(cid:52)a(cid:35)(cid:53)(cid:168)
2 2 号 ★
2 全 科
𝑏 + 𝑎 2𝑏 A A
+1 1
(3)(cid:119) = (cid:66) = (cid:66)(cid:52)5 + +2 + +10(cid:35)(cid:53)(cid:94)
1 2 3 2 2
2 2
(cid:15)(cid:122)(cid:30) 𝑐 4-1 +(cid:22)(cid:106)2 𝑑 4-25 +(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:110) 𝑐 (cid:239) 4 (cid:240) 𝑐𝑑 (cid:241)·(cid:114) 𝑑 (cid:115)(cid:116)(cid:117) 2𝑐 (cid:118) −6 (cid:41) 𝑑 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:10)
1 1
(cid:106)1(cid:118) (cid:168)
5 5 6
(cid:106)2(cid:118)2− 3 − 5 2(cid:94)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)2−4-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)−(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:113)(cid:141)(cid:142)(cid:143)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:59)(cid:201)(cid:210)(cid:83)(cid:60)(cid:41)(cid:42) 5+1(cid:77) 10(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:94)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)4-3(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:124)(cid:125)(cid:133)(cid:242)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:243)(cid:244)(cid:30)(cid:11)(cid:117)(cid:10)
(cid:245)(cid:23)(cid:246)(cid:247) (cid:248)(cid:83)(cid:60)(cid:41)(cid:42)(cid:61)(cid:46)(cid:35)(cid:43)(cid:44)
(cid:249)(cid:77)(cid:250)(cid:251) (cid:123)(cid:71)(cid:252)(cid:106)3(cid:118)(cid:44)(cid:253) (cid:254)(cid:134)(cid:10)2025(cid:108)××(cid:255)××(cid:254)
(cid:256)(cid:205)(cid:229)(cid:257) (cid:208)(cid:98)(cid:209)(cid:164)(cid:201)(cid:137)(cid:157)(cid:46)a(cid:66)b(cid:66)(cid:119) > (cid:66)(cid:76) > (cid:94)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:41)(cid:42)2 3(cid:49)3 2(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:229)(cid:10)(2 3) =12(cid:66)(3 2) =18(cid:66) 12<18(cid:66)
(cid:258)(cid:105)(cid:259)(cid:200) 2 2
2 3<3 2(cid:94) ∵
∴
(cid:106)1(cid:118)(cid:41)(cid:42)3 5(cid:49)5 3(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:168)
(cid:209)(cid:260)(cid:229)(cid:234)
(cid:106)2(cid:118)(cid:41)(cid:42) 6 2(cid:49) 5 3(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:94)
− −
【题型5 整数部分和小数】
(cid:15)(cid:105)5(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:124)(cid:219)(cid:261)(cid:163)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118) 11 (cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)( 11+ )( +1)(cid:35)
(cid:53)(cid:130)(cid:106) (cid:118) −1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:94) 11+2 B(cid:94)2 C(cid:94)7 D(cid:94)5+2 11
(cid:15)(cid:122)(cid:30)5-1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:266)(cid:171)(2 2 3) (cid:35)(cid:53)(cid:58)(cid:181)(cid:106) (cid:118)
2
A(cid:94)1(cid:193)2(cid:267)(cid:268) B(cid:94)2(cid:193)3(cid:267)(cid:268) C(cid:94)5(cid:193)6(cid:267)−(cid:268) D(cid:94)10(cid:193)11(cid:267)(cid:268)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)5-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:269)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:270)(cid:271)·(cid:134)(cid:272)(cid:118)(cid:61)(cid:46) 19 (cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)(cid:76) + =(cid:106) (cid:118)
A(cid:94)2 19+5 B(cid:94)2 19+1 C(cid:94)2 −191 D𝑎(cid:94)2 19 𝑏 3𝑎 2𝑏
−1 1 −5
(cid:15)(cid:122)(cid:30)5-3(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:20)(cid:111)(cid:273)(cid:242)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:222)(cid:223) (cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:130) (cid:66)(cid:76) +2( 3
3
教 辅 2
+ 资 = 源 (cid:94) 2− 𝑎 𝑏 𝑎
，
关
注
公
1)𝑏−2 众 号
★
全
科
A
A
+【题型6 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:105)6(cid:22)(cid:106)23-24(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:113)(cid:141)(cid:274)(cid:175)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:222)(cid:223) = 5 3 (cid:66) = 5 3 (cid:66)(cid:76)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +19(cid:35)(cid:53)
5 3 5 3
− + 3 3
(cid:63)(cid:106) (cid:118) 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:94)6 B(cid:94)7 C(cid:94)8 D(cid:94)9
(cid:15)(cid:122)(cid:30)6-1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:275)(cid:276)(cid:194)(cid:277)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:66)(cid:86)(cid:52)(cid:53)(cid:10)5 5 + 45 (cid:66)(cid:169)(cid:95) =4(cid:94)
5 4 5
𝑥 4𝑥
− 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:122)(cid:30)6-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:278)(cid:241)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:70)(cid:100) + +25=0(cid:66)(cid:282)(cid:52) + +2 +
2 2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 −8𝑥−6𝑦 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥−2
(cid:35)(cid:53)(cid:94)
5
(cid:15)(cid:122)(cid:30)6-3(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:263)(cid:283)(cid:125)(cid:284)·(cid:134)(cid:272)(cid:118)(cid:119) + (cid:66)(cid:238) = (cid:66)(cid:76)81
2 2 +𝑛 5
+1= (cid:94) −𝑚 −𝑛 ≥10−6𝑚 2𝑛 𝑥 𝑚 𝑥
− 【 8 题 0𝑥 型7 二次根式的规律探索】
(cid:15)(cid:105)7(cid:22)(cid:285)(cid:286)(cid:71)(cid:144)(cid:145)(cid:30)(cid:10)
1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
1 2 1×2 2
2 2 1−
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
2 3 2×3 2 3
2 2 −
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
3 4 3×4 3 4
2 2 −
…
(cid:135)(cid:287)(cid:59)(cid:235)(cid:288)(cid:190)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:66)(cid:171)(cid:39)(cid:10) 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + + 1+ 1 + 1 (cid:169)(cid:99)(cid:100)(cid:130) (cid:94)
1 2 2 3 3 4 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⋯ 1 1
(cid:15)(cid:122)(cid:30)7-1(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:20)(cid:111)(cid:289)(cid:290)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:285)(cid:286)(cid:71)(cid:144)(cid:145)(cid:30)(cid:10) = 2 (cid:66) = 3 2(cid:66) =
2 1 3 2 2 3
+ −1 + − + 2−
1 1 1 1
3(cid:66)…(cid:287)(cid:59)(cid:235)(cid:288)(cid:190)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:229)(cid:230)(cid:10) + + + + × 2025+ 2 = (cid:94)
3 2 2 3 5 2 2025 2024
(cid:15)(cid:122)(cid:30)7-2(cid:22)(cid:106)23-24(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:219)(cid:291)·+(cid:134)(cid:95)(cid:118)+(cid:292)(cid:67)(cid:293)(cid:240)+(cid:77)(cid:294) ⋯ (cid:267)(cid:41)(cid:130) 2+(cid:35)(cid:295)(cid:104)(cid:296)(cid:297) (cid:74)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:298)(cid:127)(cid:10)(cid:208)(cid:299)(cid:34)
(cid:300)(cid:299)(cid:301)(cid:302)(cid:85)(cid:66)(cid:288)(cid:190)(cid:303)(cid:67)(cid:28)(cid:304)(cid:305)(cid:193)(cid:35)(cid:201)(cid:137)(cid:295)(cid:104)(cid:296)(cid:297)(cid:240)(cid:77)(cid:294)(cid:267)(cid:41)(cid:306)(cid:63) 2(cid:106)(cid:303)(cid:67)(cid:28)(cid:35)𝐴(cid:299)𝐵(cid:301)𝐶𝐷(cid:70)(cid:199)(cid:95)(cid:35)(cid:307)(cid:308)(cid:304)(cid:200)(cid:118)(cid:66)
教
(cid:76)(cid:252)辅3(cid:28)资(cid:298)(cid:127)(cid:89)(cid:304)(cid:305)(cid:193)(cid:35)(cid:169)(cid:95)(cid:67)(cid:137)(cid:295)(cid:104)(cid:296)(cid:297)(cid:35)(cid:309)(cid:240)(cid:63) (cid:168)(cid:252)2024(cid:28)(cid:298)(cid:127)(cid:89)(cid:304)(cid:305)(cid:193)(cid:35)(cid:169)(cid:95)
源
，
关
注
(cid:67)(cid:137)(cid:295)(cid:104)(cid:296)(cid:297)(cid:35)(cid:309)(cid:240)(cid:63) 公 (cid:94)
众
号
★
全
科
A
A
+(cid:15)(cid:122)(cid:30)7-3(cid:22)(cid:106)23-24(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:263)(cid:132)(cid:310)(cid:153)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:50)(cid:51)(cid:67)(cid:137)(cid:48)(cid:311)(cid:312)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:30)(cid:313)(cid:167)(cid:66)(cid:314)(cid:59)(cid:48)(cid:313)(cid:84)(cid:48)(cid:311)
(cid:64)(cid:82)(cid:129)(cid:48)(cid:311)(cid:35)(cid:90)(cid:205)(cid:50)(cid:315)(cid:30)(cid:35)(cid:83)(cid:60)(cid:196)(cid:128)(cid:129)(cid:316)(cid:66)(cid:105)(cid:70)(cid:10) 1 = 2 = 2 = 2 = 2 (cid:66) 2 = 2× 3
2 1 ( 2 1)( 2 ) ( 2) 1 3 3× 3
−1 −1 −1
2
+ + −1 −1 −1
6
= (cid:66)
3
1
(1)(cid:119) = (cid:66)(cid:52)3 (cid:35)(cid:53)(cid:168)
5
2
(2)(cid:41) 𝑎 (cid:42) 202 − 5 2 20 𝑎 24 − (cid:77) 12 2 𝑎 0 − 2 1 4 2023(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:66)(cid:34)(cid:204)(cid:183)(cid:205)(cid:206)(cid:94)
(3)(cid:287)(cid:59)(cid:232)(cid:67)(cid:54)−(cid:55)(cid:171)(cid:39)(cid:10) 1 + − 1 + 1 + + 1 (cid:94)
2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2024 2023 2023 2024
+ + + ⋯ +
【题型8 二次根式的应用】
(cid:15)(cid:105)8(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:263)(cid:132)(cid:317)(cid:153)·(cid:134)(cid:95)(cid:118)(cid:70)(cid:199)(cid:66)(cid:293)(cid:43)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:67)(cid:320)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:321)(cid:322) (cid:66)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:321)(cid:322)(cid:35) (cid:130)
72m(cid:66)(cid:294) (cid:130) 32m(cid:66)(cid:190)(cid:323)(cid:181)(cid:321)(cid:322)(cid:95)(cid:324)(cid:136)(cid:67)(cid:320)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:322)(cid:325)(cid:326)(cid:106)(cid:327)(cid:199)(cid:95)(cid:328)(cid:329)(cid:47)(cid:48)𝐴(cid:118)𝐵𝐶(cid:66)𝐷(cid:169)(cid:330)(cid:47)(cid:48)(cid:210)(cid:331)(cid:332)(cid:333)𝐵𝐶(cid:66)(cid:240)
(cid:83)(cid:104)(cid:325)(cid:326)(cid:334)𝐴(cid:35)𝐵(cid:240)(cid:130)( 13+1)m(cid:66)(cid:294)(cid:130)( 13 )m(cid:94)
−1
(1)(cid:240)(cid:83)(cid:104) (cid:35)(cid:309)(cid:240)(cid:63)(cid:335)(cid:336)(cid:203)(cid:106)(cid:99)(cid:100)(cid:50)(cid:130)(cid:88)(cid:51)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:118)
(2)(cid:119)(cid:337)(cid:334)𝐴(cid:110)𝐵(cid:338)𝐶𝐷(cid:210)(cid:332)(cid:333)10(cid:339)/(cid:340)(cid:341)(cid:66)(cid:293)(cid:43)(cid:318)(cid:210)(cid:331)(cid:342)(cid:210)(cid:332)(cid:333)(cid:66)(cid:303)(cid:248)(cid:83)(cid:343)(cid:128)(cid:129)(cid:344)20(cid:340)(cid:341)(cid:35)(cid:332)(cid:333)(cid:66)(cid:293)(cid:43)(cid:318)(cid:70)(cid:100)(cid:292)(cid:304)
(cid:210)(cid:332)(cid:333)(cid:270)(cid:47)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:66)(cid:345)(cid:346)(cid:348)(cid:187)(cid:130)(cid:335)(cid:336)(cid:339)(cid:203)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)8-1(cid:22)(cid:106)22-23(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:124)(cid:125)(cid:349)(cid:350)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:338)(cid:44)(cid:351)(cid:90)(cid:67)(cid:320)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:35)(cid:352)(cid:322)(cid:66)(cid:232)(cid:320)(cid:352)(cid:322)(cid:35)(cid:294)(cid:130)
( 6 2)m(cid:66)(cid:130)(cid:353)(cid:50)(cid:44)(cid:351)(cid:354)(cid:355)(cid:66)(cid:356)(cid:232)(cid:320)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:352)(cid:322)(cid:357)(cid:110)(cid:194)(cid:195)(cid:35)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:66)(cid:304)(cid:362)(cid:35)(cid:360)(cid:361)(cid:35)(cid:240)(cid:363)(cid:130)
(10−6 2)m(cid:66)(cid:120)(cid:121)(cid:232)(cid:320)(cid:352)(cid:322)(cid:35)(cid:93)(cid:364)(cid:130) m (cid:94)
2
教(cid:15)(cid:122)(cid:30)−82-2(cid:22)(cid:106)24-25(cid:123)(cid:108)(cid:109)(cid:71)·(cid:365)(cid:132)(cid:366)(cid:276)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:338)(cid:367)(cid:368)(cid:259)(cid:351)(cid:90)(cid:67)(cid:320)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:369)(cid:370)(cid:351)(cid:371) (cid:106)(cid:70)(cid:199)(cid:118)(cid:66)(cid:342)
辅
资
源
，
(cid:351)(cid:371)(cid:35)(cid:240) (cid:130)8 3(cid:343)关(cid:66)(cid:294) (cid:130) 98(cid:343)(cid:66)(cid:190)(cid:171)(cid:324)(cid:181)(cid:351)(cid:371)(cid:95)(cid:268)(cid:186)(cid:370)(cid:67)(cid:137)(cid:157)(cid:83)(cid:104)(cid:259)(cid:372)(cid:106)(cid:328)(cid:329)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵(cid:118)𝐶𝐷(cid:66)(cid:259)(cid:372)(cid:35)(cid:373)(cid:240)
注
公
众
号
(cid:130)( 6 𝐵(cid:343)𝐶(cid:94) 𝐴𝐵 ★ 全
科
A
A
+
−1)(1)(cid:52)(cid:342)(cid:240)(cid:83)(cid:104)(cid:369)(cid:370)(cid:351)(cid:371) (cid:35)(cid:309)(cid:240)(cid:168)
(2)(cid:87)(cid:197)(cid:186)(cid:370)(cid:259)(cid:372)(cid:35)(cid:322)(cid:83)𝐴(cid:66)𝐵(cid:169)𝐶𝐷(cid:330)(cid:351)(cid:371)(cid:270)(cid:47)(cid:362)(cid:323)(cid:374)(cid:110)(cid:375)(cid:376)(cid:66)(cid:119)(cid:304)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:35)(cid:346)(cid:377)(cid:130)10(cid:339)/(cid:248)(cid:83)(cid:343)(cid:66)(cid:76)(cid:378)(cid:379)(cid:375)(cid:376)(cid:43)
(cid:380)(cid:362)(cid:323)(cid:381)(cid:382)(cid:335)(cid:336)(cid:339)(cid:203)(cid:106) 6 2.4495(cid:66)(cid:99)(cid:100)(cid:261)(cid:383)(cid:193)(cid:44)(cid:46)(cid:384)(cid:89)(cid:201)(cid:385)(cid:118)
(cid:15)(cid:122)(cid:30)8-3(cid:22)(cid:106)24-25(cid:107)(cid:108)(cid:109)≈(cid:110)·(cid:124)(cid:125)(cid:386)(cid:242)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:90)(cid:67)(cid:320)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:388) (cid:66)(cid:387)(cid:389)(cid:390)(cid:314)(cid:59)(cid:70)(cid:199)(cid:35)(cid:83)(cid:30)(cid:66)(cid:292)(cid:387)
(cid:388)(cid:35)(cid:240) (cid:391)(cid:36)2 3cm(cid:66)(cid:294) (cid:391)(cid:36)7 3cm(cid:66)(cid:305)(cid:193)(cid:67)(cid:137)(cid:93)(cid:364)(cid:130)192cm (cid:35)𝐴(cid:157)𝐵(cid:83)𝐶𝐷(cid:104) (cid:94)
2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐺
(1)(cid:52)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:388) (cid:35)(cid:93)(cid:364)(cid:168)
𝐴𝐵𝐶𝐷 6
(2)(cid:387)(cid:389)(cid:392)(cid:393)(cid:191)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:388) (cid:95)(cid:394)(cid:136)(cid:67)(cid:137)(cid:93)(cid:364)(cid:130)12cm (cid:66)(cid:294)(cid:130) cm(cid:35)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:395)(cid:66)(cid:76)(cid:342)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:395)(cid:35)(cid:240)(cid:130)_______
2
2
cm(cid:168) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(3)(cid:387)(cid:389)(cid:396)(cid:393)(cid:191)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:388) (cid:95)(cid:397)(cid:136)(cid:240)(cid:130)2.0cm(cid:84)(cid:294)(cid:130)1.5cm(cid:35)(cid:295)(cid:104)(cid:387)(cid:139)(cid:66)(cid:88)(cid:335)(cid:31)(cid:397)(cid:136)_________(cid:29)(cid:232)(cid:80)(cid:35)(cid:387)
(cid:139)(cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
