专题 26.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ + (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................5
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ + (cid:27)(cid:28)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:3)(cid:32)(cid:19)....................................................................................5
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ + (cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:19)................................................................................................7
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:35)“(cid:36)(cid:37)(cid:38)”(cid:39)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:19).............................................................................................................8
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:35)“(cid:42)(cid:43)(cid:38)”(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:19).............................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:35)“(cid:44)(cid:43)(cid:38)”(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:19)...........................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:45)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:19)..........................................................................................12
知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
1. (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:26)(cid:51)(cid:52)
(cid:53)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38) = + + ( 0)(cid:51)(cid:52)(cid:61)(cid:42)(cid:43)(cid:38) = + (cid:57)(cid:62)(cid:63) =
2 𝟐
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒚 𝒂(𝒙−𝒉) 𝒌 𝒉 −
(cid:57) = (cid:57)(cid:64)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48) = (cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69) ， (cid:70)
𝟐 𝟐
𝒃 𝟒𝒂𝒄−𝒃 2 𝒃 𝒃 𝟒𝒂𝒄−𝒃
𝟐2𝒂. (cid:22)𝒌(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝟒𝒂y=ax²+bx+c(a≠0)(cid:26)𝑦(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:71)𝑥 (cid:29)(cid:30)𝑏𝑥 𝑐 𝒙 −𝟐𝒂 −𝟐𝒂 𝟒𝒂
符号 >0 <0
𝑎 𝑎
函数图像
开口方向 (cid:72)(cid:73) (cid:72)(cid:74)
对称轴 =
𝒃
𝒙 −
顶点坐标 ， 𝟐𝒂
𝟐
𝒃 𝟒𝒂𝒄−𝒃
在对称轴(cid:75)侧时，y随x的−增大 在对称轴(cid:76)侧时，y随x的增大而
𝟐𝒂 𝟒𝒂
增减性 而增大； 增大；
在对称轴(cid:76)侧时，y随x的增大 在对称轴(cid:75)侧时，y随x的增大而而减小 减小
最值 当 = 时, = 当 = 时, =
最小值 最大值
2 2
𝒃 4𝑎𝑐−𝑏 𝒃 4𝑎𝑐−𝑏
3. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 𝒙 + −𝟐𝒂 + 𝑦 ( )(cid:26)(cid:27)4𝑎(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:31) 𝒙 (cid:57) − (cid:57) 𝟐𝒂 (cid:57) 𝑦 (cid:26)(cid:79)4𝑎(cid:9)(cid:3)(cid:32)
𝟐 𝟐
代数式（𝒚决定𝒂𝒙因素𝒃）𝒙 𝒄 𝒂≠𝟎 图像特𝒂征 𝒃 𝒄 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 符号判定
抛物线开口向上 >0
a((cid:80)(cid:81)(cid:55)(cid:72))
抛物线开口向下 𝑎<0
𝑎
对称轴在y轴右侧，即 = >0 a(cid:82)b(cid:83)(cid:9)
b((cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:82)a(cid:26)(cid:86)(cid:87)) 𝑏
𝑥 −2𝑎
对称轴在y轴左侧，即 = <0 a(cid:82)b(cid:88)(cid:9)
𝑏
𝑥 −2𝑎
交于原点 =0
c((cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:31)y(cid:65)(cid:44)(cid:43)(cid:84)(cid:85)) 交于y轴正半轴 𝑐>0
交于y轴负半轴 𝑐<0
与x轴有两个交点 𝑐 >0
2
((cid:31)x(cid:65)(cid:44)(cid:43)(cid:91)(cid:25)) 与x轴有一个交点 𝑏 −4𝑎𝑐=0
2 2
𝑏 −4𝑎𝑐 与x轴没有交点 𝑏 −4𝑎𝑐<0
2
𝑏 −4𝑎𝑐
知识点2 求二次函数的解析式
1. (cid:92)(cid:93)(cid:32)(cid:25)(cid:56)
(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:77)(cid:43)(cid:57)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:105)(cid:38)(cid:57)(cid:106)(cid:60)(cid:96)(cid:97)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:40)(cid:55)(cid:111)((cid:112))(cid:39)(cid:113)(cid:114)(cid:97)(cid:25)
(cid:26)(cid:115)(cid:57)(cid:116)(cid:58)(cid:113)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:70)
(cid:118)1(cid:119)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:10)
(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:91)(cid:43)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:118)(cid:122)(cid:112)x(cid:57)y(cid:26)(cid:115)(cid:119)(cid:57)(cid:58)(cid:123)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:69) = + + ( )(cid:70)
𝟐
(cid:118)2(cid:119)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:10) 𝒚 𝒂𝒙 𝒃𝒙 𝒄 𝒂≠𝟎
(cid:96)(cid:97)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:57) (cid:119)(cid:82)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:46)(cid:102)(cid:124)(cid:118)(cid:125)(cid:119)(cid:115)(cid:57)(cid:58)(cid:123)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:69) = + ( )(cid:57)(cid:77)(cid:126)(cid:127)(cid:57)(cid:128)
𝟐
(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:42)(cid:43)(cid:129)(cid:130)(cid:43)(cid:57)ℎ (cid:131)𝑘 = =0(cid:57)(cid:123)(cid:62)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:69) = 0)(cid:70)𝒚 𝒂(𝒙−𝒉) 𝒌 𝒂≠𝟎
2
(cid:118)3(cid:119)(cid:44)(cid:43)(cid:38)(cid:10) ℎ 𝑘 𝑦 𝑎𝑥 (𝑎 ≠
(cid:96)(cid:97)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:31)x(cid:65)(cid:26)(cid:44)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:118) (cid:57)0(cid:119)(cid:57)(cid:118) (cid:57)0(cid:119)(cid:57)(cid:58)(cid:123)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:69) = )( )(cid:70)
2. (cid:33)(cid:34) 𝑥1 𝑥2 𝒚 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐 𝒂≠𝟎
(cid:118)1(cid:119)(cid:60)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:52)(cid:69)(cid:42)(cid:43)(cid:38) = + ( 0)(cid:57)(cid:106)(cid:53)(cid:35)“(cid:76)(cid:132)(cid:75)(cid:133)(cid:57)(cid:73)(cid:132)(cid:74)(cid:133)”(cid:26)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:70)
2
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘 𝑎≠(cid:118)2(cid:119)(cid:138)(cid:45)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:26)(cid:105)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:57)(cid:143)a(cid:141)(cid:142)(cid:57)(cid:64)(cid:59)(cid:129)(cid:39)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:144)(cid:57)(cid:109)(cid:145)(cid:58)(cid:53)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:55)(cid:56)(cid:10)
(cid:36)(cid:66)(cid:39)(cid:148)(cid:130)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:120)(cid:121)(cid:146)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:57)(cid:53)(cid:35)(cid:92)(cid:93)(cid:32)(cid:25)(cid:56)(cid:39)(cid:148)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)(cid:22)(cid:66)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:57)
(cid:53)(cid:35)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:116)(cid:58)(cid:39)(cid:148)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:70)
3. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:45)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)
(cid:128)(cid:96)(cid:97)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:43)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:35)(cid:92)(cid:93)(cid:32)(cid:25)(cid:56)(cid:39)(cid:62)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:70)(cid:128)(cid:96)(cid:97)(cid:153)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:57)(cid:39)(cid:62)(cid:3)(cid:45)(cid:153)(cid:47)(cid:48)(cid:46)
(cid:153)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:57)(cid:145)(cid:35)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:74)(cid:10)
(cid:118)1(cid:119)(cid:3)(cid:45)x(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)
= + + ( 0)(cid:3)(cid:45)x(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10) = (cid:149)
2 2
𝑦 =𝑎𝑥 𝑏𝑥 +𝑐 (𝑎≠ 0)(cid:3)(cid:45)x(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10)𝑦 =−𝑎𝑥 −𝑏𝑥−𝑐 (cid:70)
2 2
𝑦(cid:118)2(cid:119)𝑎(cid:3)(𝑥(cid:45)−ℎy)(cid:65)(cid:49)𝑘(cid:50)𝑎(cid:26)≠(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38) 𝑦 −𝑎(𝑥−ℎ) −𝑘
= + + ( 0)(cid:3)(cid:45)y(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10) = + (cid:149)
2 2
𝑦 =𝑎𝑥 𝑏𝑥 +𝑐 (𝑎≠ 0)(cid:3)(cid:45)y(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10)𝑦 =𝑎𝑥 −+𝑏𝑥 𝑐+ (cid:70)
2 2
𝑦(cid:118)3(cid:119)𝑎(cid:3)(𝑥(cid:45)−ℎ(cid:42))(cid:43)(cid:49)𝑘(cid:50)𝑎(cid:26)≠(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38) 𝑦 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘
= + + ( 0)(cid:3)(cid:45)(cid:42)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10) = + (cid:149)
2
2 2 𝑏
𝑦 =𝑎𝑥 𝑏𝑥 +𝑐
(
𝑎≠ 0)(cid:3)(cid:45)(cid:42)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10)𝑦 =−𝑎𝑥 −𝑏𝑥 +𝑐−2(cid:70)𝑎
2 2
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘 𝑎≠ 𝑦 −𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘
【题型1 二次函数 = + + 的图象】
𝟐
(cid:15)(cid:157)1(cid:19)(cid:118)2025(cid:158)(cid:159)𝒚(cid:160)(cid:74)𝒂 · 𝒙(cid:161)(cid:162)𝒃 ·(cid:163)𝒙(cid:20)(cid:164)𝒄 (cid:165)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:66)(cid:153)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:57)(cid:138)(cid:170)(cid:171)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:71)(cid:172)(cid:105)(cid:173)(cid:61)(cid:57)(cid:59)(cid:172)(cid:105)(cid:26)(cid:42)(cid:43)
(cid:69)(cid:67)(cid:68)(cid:130)(cid:43)(cid:57) (cid:64)(cid:129)(cid:47)(cid:48)(cid:69) (cid:65)(cid:57)(cid:174)(cid:47)(cid:55)(cid:72)(cid:69) (cid:65)(cid:57)(cid:175)(cid:176)(cid:33)(cid:169)(cid:47)(cid:177)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:69) = 1 𝐴
4
2
𝐴𝐵 𝑥 𝑦 𝑦 − 𝑥
+ + (cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:69) (cid:57)(cid:178) =2(cid:57)(cid:131)(cid:43) (cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:70)
2𝑥 𝑐 𝑃 𝐴𝐷 𝐶
(cid:15)(cid:142)(cid:38)1-1(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:179)(cid:180)·(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + ( 0)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:43) (0,3)(cid:57)
2
(2,3)(cid:57) ( )(cid:70) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝐴 𝐵
(1)(cid:39)(cid:182)𝐶(cid:89)−(cid:90)1(cid:48),0(cid:26)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:185)(cid:161)(cid:183)(cid:186)(cid:57)(cid:187)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:149)x … …
y … …
(3)(cid:3)(cid:45)(cid:182)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:74)(cid:188)(cid:189)(cid:56)(cid:86)(cid:190)(cid:26)(cid:191)______(cid:70)
(cid:27)(cid:28)(cid:80)(cid:81)(cid:192)(cid:74)(cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:69)(1,4)(cid:149)
①(cid:193) 1(cid:144)(cid:57)y(cid:194)x(cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:133)(cid:125)(cid:149)
②(cid:193)𝑥0≤< <3(cid:144)(cid:57)y(cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:69)0< <4(cid:149)
③(cid:27)(cid:28)(cid:31)𝑥(cid:146)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:26)(cid:44)(cid:43)(cid:64)(cid:105)(cid:61)(cid:26)(cid:122)(cid:177)𝑦(cid:105)(cid:169)(cid:200)(cid:69)6(cid:70)
④
(cid:15)(cid:142)(cid:38)1-2(cid:19)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:36)(cid:98)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:31)x(cid:65)(cid:201)(cid:44)(cid:45)A(cid:82)B(cid:146)(cid:43)(cid:118)(cid:43)A(cid:129)(cid:43)B(cid:26)(cid:76)(cid:202)(cid:119)(cid:57)(cid:62)(cid:42)(cid:43)P(cid:129)(cid:48)(cid:203)MN(cid:73)(cid:34)
(cid:204)(cid:70)(cid:128)(cid:43)M(cid:82)N(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:171)(cid:205)(cid:69)( )(cid:82)( )(cid:57)(cid:43)B(cid:26)(cid:206)(cid:67)(cid:68)(cid:26)(cid:102)(cid:124)(cid:115)(cid:69)3(cid:57)(cid:131)(cid:43)A(cid:26)(cid:206)(cid:67)(cid:68)(cid:26)(cid:102)(cid:125)(cid:115)(cid:69) (cid:70)
−1,−2 1,−2
(cid:15)(cid:142)(cid:38)1-3(cid:19)(cid:118)2025·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:207)·(cid:122)(cid:210)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = + (cid:118)m(cid:69)(cid:145)(cid:25)(cid:119)(cid:31)x(cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43) (cid:57) (cid:57)(cid:31)
2
y(cid:65)(cid:87)(cid:211)(cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43)C(cid:57)(cid:128)(cid:193) = (cid:144)(cid:57) >0(cid:57)(cid:212)(cid:213)(cid:3)𝑦(cid:45)x−(cid:26)𝑥(cid:36)−(cid:23)2𝑥(cid:24)(cid:25)2𝑚= + +2(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:214)(cid:66)(cid:118)𝐴 𝐵(cid:119)
𝑥 𝑛 𝑦 𝑦 𝑚𝑥 𝑛A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
【题型2 二次函数 = + + 的性质】
𝟐
(cid:15)(cid:157)2(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)𝒚(cid:160)(cid:74)𝒂 · 𝒙(cid:215)(cid:216)𝒃(cid:216)𝒙(cid:207)· 𝒄(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + ( >1)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:217)(cid:110)(cid:218)(cid:91)(cid:28)(cid:219)(cid:57)
2
(cid:131) (cid:26)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:66)(cid:118)(cid:220)(cid:220)(cid:119) 𝑦 𝑎𝑥 2𝑎𝑥 𝑎−3 𝑎
𝑎A(cid:70)2 B(cid:70)3 C(cid:70)4 D(cid:70)6
(cid:15)(cid:142)(cid:38)2-1(cid:19)(cid:118)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:122)(cid:210)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:43) ( )(cid:129)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:57)(cid:178)(cid:43) (cid:117) (cid:65)(cid:26)(cid:225)(cid:226)
2
(cid:125)(cid:45)2(cid:57)(cid:131) (cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:66)(cid:118) (cid:119) 𝑃 𝑚,𝑛 𝑦 𝑥 2𝑥−3 𝑃 𝑦
A(cid:70) 𝑛< <5 B(cid:70) <5 C(cid:70) < <5 D(cid:70) <5
(cid:15)(cid:142)(cid:38)−2-32(cid:19)(cid:118)𝑛24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)−(cid:74)3≤·(cid:207)𝑛(cid:208)(cid:227)(cid:228)·(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:89)−(cid:90)4(cid:48)𝑛= + (cid:217)−(cid:110)4(cid:43)≤𝑛( ) ( ) ( , )(cid:70)
2
(cid:118)1(cid:119)(cid:128) =1(cid:57)(cid:131)(cid:182)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48) = (cid:70)𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−2 𝐴 2𝑎,−2 ,𝐵 4𝑎,𝑦1 ,𝐶 𝑥2𝑦2
(cid:118)2(cid:119)(cid:128)𝑎(cid:49)(cid:45) 3+ (cid:57)(cid:229)(cid:191) < (cid:57)𝑥 (cid:131) (cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:66) (cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)2-3(cid:19)3(cid:118)𝑎2≤02𝑥52·(cid:215)≤(cid:216)(cid:230)(cid:231)𝑎 ·(cid:210)(cid:232)(cid:233)𝑦1(cid:234)(cid:119)𝑦(cid:96)2(cid:97)(cid:89)𝑎(cid:90)(cid:48) = +3(cid:118) (cid:69)(cid:145)(cid:25)(cid:57)(cid:178) >0(cid:119)(cid:217)(cid:110)(cid:43) ( )
2
(cid:71)(cid:43) ( )(cid:57)(cid:128) < (cid:57)(cid:131) (cid:26)(cid:115)(cid:58)(cid:214)(cid:66)(cid:118) (cid:119) 𝑦 𝑎𝑥 −2𝑎𝑥 𝑎 𝑎 𝐴 −2, 𝑚
A𝐵(cid:70)𝑡, 𝑛 𝑚 𝑛 B(cid:70)𝑡 C(cid:70)1 D(cid:70)4
−1 −4
【题型3 二次函数 = + + 图象与系数的关系】
𝟐
(cid:15)(cid:157)3(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)𝒚(cid:160)(cid:73)𝒂𝒙 ·(cid:235)(cid:236)𝒃(cid:216)𝒙(cid:237)· 𝒄(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + 0)(cid:26)(cid:170)(cid:171)(cid:27)(cid:28)(cid:156)(cid:27)(cid:64)(cid:238)(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:27)
2
(cid:28)(cid:110)(cid:43) (cid:57)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69)(cid:47)(cid:48) =2(cid:57)(cid:74)(cid:188)(cid:154)(cid:155)(cid:10) 𝑦 >𝑎0𝑥(cid:149) 𝑏𝑥 +𝑐(𝑎=≠0(cid:149) + =0(cid:149) (cid:193) >
(cid:144)(cid:57)y(cid:26)(−(cid:115)1(cid:194),0)x(cid:115)(cid:26)(cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:195)(cid:124)𝑥(cid:149) + > ①𝑎+𝑏𝑐 (cid:62)(cid:63)(cid:86)②(cid:190)4𝑎(cid:26)(cid:154)𝑏(cid:155)(cid:191)(cid:118)(cid:220)③(cid:220)5𝑎(cid:119)(cid:91)𝑐(cid:70) ④ 𝑥 −1
2
⑤4𝑎 2𝑏 𝑎𝑚 𝑏𝑚
A(cid:70)1 B(cid:70)2 C(cid:70)3 D(cid:70)4
1
(cid:15)(cid:142)(cid:38)3-1(cid:19)(cid:118)2025·(cid:239)(cid:228)(cid:240)(cid:241)·(cid:210)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:57)(cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69) = (cid:70)(cid:242)(cid:191)(cid:59)(cid:74)(cid:243)
10
2
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:91)(cid:154)(cid:155)(cid:10) >0(cid:149) < (cid:149) <0(cid:149) >0(cid:149) + =0(cid:70)(cid:62)(cid:63)(cid:86)(cid:190)(cid:26)(cid:66)________(cid:70)
2 38
2 4𝑎𝑐−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑏𝑐
2
①𝑎𝑏𝑐 ②𝑏 4𝑎𝑐 ③ 4𝑎 ④− 𝑎 ⑤𝑎 5𝑏A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)①3-2②(cid:19)③(cid:24)(cid:25)④⑤(cid:57) (cid:129)①(cid:88)(cid:36)③(cid:33)④(cid:169)⑤(cid:47)(cid:177)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:63)②(cid:26)(cid:27)③(cid:244)④(cid:156)(cid:27)(cid:64)(cid:238)(cid:57)(cid:131)(cid:129)①(cid:182)②(cid:33)(cid:169)⑤(cid:47)(cid:177)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:63)(cid:57)(cid:24)(cid:25) =
+ (cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:58)(cid:214)(cid:66)𝑦1(cid:118) 𝑦 2(cid:119) 𝑦 𝑦1
𝑦2
A． B(cid:70)
C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)3-3(cid:19)(cid:118)2025·(cid:222)(cid:216)(cid:245)(cid:246)·(cid:210)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + ( 0)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:156)(cid:27)(cid:64)(cid:238)(cid:57)(cid:62)
2
(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69)(cid:47)(cid:48) =1(cid:57)(cid:59)(cid:74)4(cid:91)(cid:154)(cid:155)(cid:10) <0(cid:149) + +𝑦 >𝑎0𝑥(cid:149) 𝑏𝑥(cid:128)(cid:43)𝑐 𝑎(≠ )(cid:129)(cid:182)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:57)(cid:178)
>1(cid:57)(cid:131) 𝑥+ + <0(cid:149) + ①>𝑎0𝑏(cid:70)𝑐(cid:62)(cid:63)(cid:86)②(cid:190)4(cid:154)𝑎(cid:155)(cid:191)2𝑏(cid:118) 𝑐 (cid:119) ③ 𝐴 𝑚,𝑛
𝑚 𝑎𝑚 𝑎 𝑏 ④3𝑎 𝑐A(cid:70)1(cid:91) B(cid:70)2(cid:91) C(cid:70)3(cid:91) D(cid:70)4(cid:91)
【题型4 二次函数 = + + 图象的平移】
𝟐
(cid:15)(cid:157)4(cid:19)(cid:118)2025·(cid:247)(cid:237)𝒚(cid:124)(cid:248)𝒂 · 𝒙(cid:210)(cid:232)𝒃(cid:233)𝒙(cid:234)(cid:119)𝒄(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = ( +1) +2(cid:33)(cid:34)(cid:117)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = ( )
2 2
(cid:57)(cid:43) ( )(cid:57) ( )(cid:171)(cid:205)(cid:129)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:57) (cid:73)(cid:70)(cid:74)𝐶(cid:188)1:(cid:154)𝑦(cid:155)(cid:10)− 𝑥 (cid:249)(cid:155) (cid:197)(cid:250)(cid:115)(cid:57)(cid:229)(cid:191) 𝐶<2:𝑦0(cid:149)− (cid:128)𝑥−(cid:43)2 (cid:33)
−(cid:34)1(cid:139)(cid:26)(cid:49)𝑃(cid:251)𝑚(cid:43),𝑛1(cid:69) 𝑄(cid:57)𝑚(cid:131),𝑛2 =3 2(cid:149) (cid:193)𝐶1 <𝐶2 <1(cid:144)(cid:57)(cid:48)(cid:203) ①(cid:26)(cid:252)(cid:194)𝑚(cid:253) (cid:26)(cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:133)𝑛2(cid:125)(cid:70)(cid:62)(cid:63)②(cid:86)(cid:190)(cid:26)𝑃(cid:154)
′ ′
(cid:155)(cid:69)(cid:118) (cid:119) 𝑃 𝑃𝑃 ③ −3 𝑚 𝑃𝑄 𝑚
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)①4-1②(cid:19)③(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)①(cid:74)②·(cid:207)(cid:208)(cid:207)(cid:254)·(cid:255)(cid:203)(cid:164)(cid:165)①(cid:119)③(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =( +1)②( ③)(cid:72)(cid:73)(cid:33)(cid:34)5(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:57)(cid:72)(cid:75)(cid:33)
(cid:34)3(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:139)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69)(cid:47)(cid:48) (cid:70) 𝑦 𝑥 𝑥−3
(cid:15)(cid:142)(cid:38)4-2(cid:19)(cid:118)2025·(cid:257)(cid:175)(cid:258)(cid:259)·(cid:22)(cid:210)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = +3(cid:57)(cid:60)(cid:62)(cid:27)(cid:28)(cid:72)(cid:75)(cid:33)(cid:34) ( >0)(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:57)
2
(cid:113)(cid:117)(cid:245)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:260)(cid:113)(cid:193) < <3(cid:144)(cid:57)𝑦 (cid:194)−𝑥(cid:195)−(cid:124)4𝑥(cid:196)(cid:195)(cid:124)(cid:149)(cid:193)4< <5(cid:144)(cid:57)𝑘 𝑘(cid:194) (cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:133)
(cid:125)(cid:70)(cid:131)(cid:261)(cid:25) (cid:26)(cid:197)(cid:115)𝑦(cid:58)1 (cid:59)(cid:66)(cid:118) (cid:119) −1 𝑥 𝑦1 𝑥 𝑥 𝑦1 𝑥
A(cid:70)4.5 𝑘 B(cid:70)5.5 C(cid:70)6.5 D(cid:70)7.5
(cid:15)(cid:142)(cid:38)4-3(cid:19)(cid:118)2025·(cid:207)(cid:208)(cid:262)(cid:228)·(cid:122)(cid:210)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = + (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:72)(cid:75)(cid:33)(cid:34)1(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:252)(cid:263)(cid:57)(cid:106)
2
(cid:72)(cid:73)(cid:33)(cid:34) >0)(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:252)(cid:263)(cid:57)(cid:113)(cid:117)(cid:89)(cid:90)(cid:48) =𝐿1:𝑦 +−𝑥(cid:70) 2𝑥 𝐿1
2
(cid:118)1(cid:119)b(cid:26)𝑐(cid:115)(𝑐(cid:69) (cid:149) 𝐿2:𝑦 −𝑥 𝑏𝑥
(cid:118)2(cid:119)(cid:43) ( , )(cid:57) ( , )(cid:171)(cid:205)(cid:129)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:71) (cid:73)(0 < < (cid:57)(cid:110)(cid:43)A(cid:264)y(cid:65)(cid:26)(cid:265)(cid:48)(cid:57)(cid:110)(cid:43)B(cid:264)x
(cid:65)(cid:26)(cid:265)(cid:48)𝐴(cid:57)𝑥(cid:146)1𝑚(cid:98)(cid:265)(cid:48)𝐵 (cid:44)𝑥2(cid:45)𝑛(cid:43) (cid:70)(cid:128) = 𝐿1 (cid:57)𝐿2(cid:131) ≤𝑥(cid:26)1(cid:115)(cid:69)𝑥2 , 𝑚 (cid:70)𝑛),
𝐶 𝐵𝐶 3𝐴𝐶 𝑥2−𝑥1【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
(cid:15)(cid:157)5(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:179)(cid:180)(cid:236)(cid:266)·(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:36)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:170)(cid:171)(cid:43)(cid:26)(cid:206)(cid:67)(cid:68)x(cid:31)(cid:267)(cid:67)(cid:68)y(cid:26)(cid:49)(cid:251)(cid:115)
(cid:156)(cid:183)(cid:64)(cid:238)(cid:10)
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
−1
(1)(cid:39)(cid:268)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:129)(cid:269)(cid:93)(cid:26)(cid:33)(cid:169)(cid:47)(cid:177)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:63)(cid:187)(cid:148)(cid:268)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:149)
(3)(cid:193) < <3(cid:144)(cid:57)y(cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:69)______(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)−15-1(cid:19)𝑥(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:222)(cid:270)(cid:271)(cid:109)·(cid:255)(cid:203)(cid:164)(cid:165)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:36)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)( )(cid:57)(1,0)(cid:57)(3,10)(cid:122)(cid:43)(cid:70)
(1)(cid:39)(cid:268)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149) −1,6
(2)(cid:156)(cid:250)(cid:33)(cid:34)(cid:268)(cid:91)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:57)(cid:260)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:69)(cid:67)(cid:68)(cid:130)(cid:43)(cid:272)(cid:273)(cid:148)(cid:268)(cid:91)(cid:142)(cid:274)(cid:110)(cid:111)(cid:275)(cid:273)(cid:148)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:64)(cid:113)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)5-2(cid:19)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:217)(cid:110)(cid:43) ( )(cid:57) (0,2)(cid:71) (2,2)(cid:70)
2
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 3,−4 𝐶 𝐵
(1)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:39)(cid:148)(cid:24)(cid:25)y(cid:194)(cid:276)(cid:142)(cid:277)(cid:26)(cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:133)(cid:125)(cid:26)x(cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:149)(3)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:182)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:69)M(cid:57)(cid:31)y(cid:65)(cid:201)(cid:44)(cid:45)C(cid:57)(cid:248)(cid:278) (cid:82) (cid:82) (cid:70)(cid:39) (cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)5-3(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:255)(cid:203)(cid:164)(cid:165)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:129)(cid:33)𝑀(cid:169)𝐶(cid:47)𝑀(cid:177)𝐴(cid:67)(cid:68)𝐴𝐶(cid:32)(cid:63)(cid:57)𝑆△(cid:22)𝐴(cid:23)𝑀𝐶(cid:24)(cid:25) = + +
2
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:217)(cid:110)(cid:43) (cid:57)(cid:43) (cid:70) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
𝐴(0,−3) 𝐵(1,0)
(1)(cid:39)(cid:283)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:70)
(2)(cid:193) 2(cid:144)(cid:57)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:26)(cid:102)(cid:124)(cid:115)(cid:71)(cid:102)(cid:125)(cid:115)(cid:70)
2
(3)(cid:43)−(cid:69)2≤(cid:283)𝑥(cid:24)≤(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:120)(cid:121)(cid:36)(cid:43)(cid:57)𝑦(cid:62)(cid:206)𝑥(cid:67)(cid:68)𝑏𝑥(cid:69) 𝑐(cid:57)(cid:110)(cid:43) (cid:264) (cid:65)(cid:57)(cid:43) (cid:26)(cid:206)(cid:67)(cid:68)(cid:69) +1(cid:70)(cid:96)(cid:97)(cid:43) (cid:31)(cid:43)
(cid:141)(cid:284)𝑃(cid:103)(cid:70) 𝑚 𝑃 𝑃𝑄∥𝑥 𝑄 −𝑚 𝑃
𝑄 (cid:193)(cid:48)(cid:203) (cid:26)(cid:252)(cid:263)(cid:194) (cid:26)(cid:195)(cid:124)(cid:196)(cid:133)(cid:125)(cid:144)(cid:57) (cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:69)________(cid:70)
① 𝑃𝑄 𝑚 𝑚 1
(cid:193) 5(cid:57)(cid:48)(cid:203) (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:118) < (cid:119)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:191)1(cid:91)(cid:44)(cid:43)(cid:144)(cid:57)(cid:47)(cid:278)(cid:273)(cid:148) (cid:26)(cid:197)(cid:115)
2
2
②(cid:198)(cid:199)(cid:70)𝑃𝑄≤ 𝑃𝑄 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 −3≤𝑥 𝑚
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
(cid:15)(cid:157)6(cid:19)(cid:118)2025·(cid:285)(cid:271)(cid:286)(cid:287)·(cid:22)(cid:210)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:110)(cid:43) (0,2)(cid:57)(cid:31) (cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43) (cid:82) (cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69)( )(cid:57)
(cid:172)(cid:105) (cid:26)(cid:288) (cid:129)(cid:48)(cid:203) (cid:73)(cid:118)(cid:43) (cid:129)(cid:43) (cid:26)(cid:76)(cid:202)(cid:119)(cid:57)𝐶 (cid:43) (cid:57) (cid:129)𝑥(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:70)𝐴 𝐵 −4,6
𝐺𝐹𝐸𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐹 𝐸 𝐺 𝐷
(1)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:39)(cid:289)(cid:10)(cid:47)(cid:48) = 1 +9(cid:31)(cid:182)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:290)(cid:191)(cid:44)(cid:43)(cid:149)
2
𝑦 𝑥
(3)(cid:123) ( )(cid:57)(cid:172)(cid:105) (cid:26)(cid:291)(cid:252)(cid:69) (cid:57)(cid:273)(cid:148) (cid:31) (cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:32)(cid:38)(cid:57)(cid:275)(cid:39) (cid:26)(cid:102)(cid:124)(cid:115)(cid:149)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)𝐸 𝑎6-,01(cid:19)(cid:96)(cid:97)(cid:22)𝐷(cid:23)𝐸𝐹(cid:24)𝐺(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:26)𝑚(cid:42)(cid:43)(cid:69) (𝑚 𝑎)(cid:57)(cid:178)(cid:31) (cid:65)(cid:26)(cid:36)(cid:91)(cid:44)(cid:43)𝑚(cid:67)(cid:68)(cid:66) (3,0)(cid:70)
𝑃 1,−4 𝑥 𝐴(1)(cid:39)(cid:182)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:191)(cid:146)(cid:43)(2, )(cid:82)(3, )(cid:57)(cid:47)(cid:278)(cid:273)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:115) (cid:82) (cid:26)(cid:124)(cid:125)(cid:3)(cid:32)(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)6-2(cid:19)(cid:118)2025·(cid:245)(cid:292)(cid:293)(cid:294)·(cid:210)𝑦1(cid:232)(cid:233)(cid:234)𝑦(cid:119)2 (cid:153)(cid:295)(cid:296)(cid:7)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:175)𝑦1(cid:36)(cid:91)𝑦2(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:57)(cid:305)(cid:31)(cid:127)(cid:169)(cid:61)(cid:36)(cid:93)(cid:177)(cid:263)(cid:26)(cid:303)(cid:306)
(cid:307)(cid:303)(cid:148)(cid:26)(cid:306)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:58)(cid:59)(cid:311)(cid:264)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:36)(cid:170)(cid:171)(cid:70)(cid:312)(cid:303)(cid:148)(cid:26)(cid:306)(cid:308)(cid:225)(cid:303)(cid:306)(cid:307)(cid:148)(cid:306)(cid:81)(cid:26)(cid:306)(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:69) (cid:313)(cid:57)(cid:225)(cid:127)(cid:169)(cid:26)
(cid:174)(cid:47)(cid:314)(cid:263)(cid:69) (cid:313)(cid:57)(cid:242)(cid:234)(cid:113) (cid:31) (cid:26)(cid:315)(cid:112)(cid:49)(cid:251)(cid:25)(cid:95)(cid:156)(cid:74)(cid:10) 𝑥
𝑦 𝑥 𝑦
(cid:306)(cid:33)(cid:225)(cid:226) m 0 1 2 3 4 5 6 …
𝑥
(cid:265)(cid:47)(cid:314)(cid:263) m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
𝑦
(cid:125)(cid:316)(cid:94)(cid:95)(cid:11)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:217)(cid:317)(cid:57)(cid:49)(cid:24)(cid:25) (cid:194)(cid:276)(cid:142)(cid:277) (cid:26)(cid:142)(cid:52)(cid:196)(cid:142)(cid:52)(cid:26)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:74)(cid:169)(cid:66)(cid:125)(cid:316)(cid:26)(cid:319)(cid:320)(cid:110)(cid:111)(cid:57)
(cid:321)(cid:185)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:10) 𝑦 𝑥
(1)(cid:129)(cid:33)(cid:169)(cid:47)(cid:177)(cid:67)(cid:68)(cid:32) (cid:63)(cid:57)(cid:325)(cid:148)(cid:59)(cid:183)(cid:63)(cid:326)(cid:112)(cid:49)(cid:251)(cid:25)(cid:95)(cid:69)(cid:67)(cid:68)(cid:26)(cid:43)(cid:57)(cid:275)(cid:187)(cid:148)(cid:182)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:149)
(2)(cid:154)(cid:103)(cid:183)(cid:63)(cid:64)(cid:269)(cid:25)(cid:95)𝑥(cid:46)𝑂(cid:64)𝑦(cid:187)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:113)(cid:148)(cid:306)(cid:327)(cid:102)(cid:314)(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:127)(cid:169)(cid:26)(cid:265)(cid:47)(cid:314)(cid:263)(cid:69)___________(cid:313)(cid:149)
(3)(cid:39)(cid:148) (cid:3)(cid:45) (cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:32)(cid:38)(cid:149)
(4)(cid:154)(cid:103)𝑦(cid:24)(cid:25)(cid:27)𝑥(cid:28)(cid:57)(cid:40)(cid:328)(cid:329)(cid:20)(cid:10)(cid:182)(cid:295)(cid:296)(cid:7)(cid:297)(cid:330)(cid:331)(cid:129)(cid:225)(cid:303)(cid:306)(cid:307)(cid:148)(cid:306)(cid:81)(cid:26)(cid:306)(cid:33)(cid:225)(cid:226)2.5(cid:313)(cid:332)(cid:300)(cid:175)(cid:36)(cid:91)(cid:124)(cid:333)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:57)
(cid:260)(cid:303)(cid:306)(cid:307)(cid:303)(cid:148)(cid:26)(cid:306)(cid:308)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:129)(cid:335)(cid:336)(cid:42)(cid:340)(cid:57)(cid:131)(cid:124)(cid:333)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:26)(cid:314)(cid:263)(cid:341)(cid:69)___________(cid:313)(cid:70)(cid:118)(cid:154)(cid:342)(cid:343)(cid:190)(cid:117)0.1(cid:313)(cid:119)
(cid:118)(cid:4)(cid:10)(cid:344)(cid:14)(cid:124)(cid:333)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:345)(cid:263)(cid:346)(cid:62)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:119)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)6-3(cid:19)(cid:118)2025·(cid:285)(cid:271)(cid:291)(cid:81)·(cid:22)(cid:210)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57) (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:31) (cid:65)(cid:44)(cid:45) (cid:82) (cid:146)(cid:43)(cid:57)(cid:31) (cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43) (0,3)(cid:57)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(1,4)(cid:57)(cid:43) ( )(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:36)(cid:43)(cid:70) 𝑥 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶
𝐷 𝑚,𝑛
(1)(cid:39)(cid:182)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)5
(2)(cid:193) (cid:178) 0(cid:144)(cid:10)
2
(cid:39)−(cid:26)2≤(cid:197)(cid:115)𝑥≤(cid:198)(cid:199)(cid:149)𝑚≠
①(cid:128)𝑛 = (cid:57)(cid:47)(cid:278)(cid:273)(cid:148) (cid:26)(cid:115)(cid:70)
② 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑚
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
(cid:15)(cid:157)7(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:350)(cid:351)(cid:222)(cid:352)·(cid:255)(cid:203)(cid:164)(cid:165)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:3)(cid:45) (cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:31) (cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:146)(cid:43)( ),(3,0)(cid:146)
(cid:43)(cid:57)(cid:178)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:43)(0,3)(cid:70) 𝑥 𝑥 −1,0
(1)(cid:39)(cid:268)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149)
(2)(cid:39)(cid:148)(cid:182)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:102)(cid:115)(cid:57)(cid:275)(cid:189)(cid:353)(cid:66)(cid:102)(cid:124)(cid:115)(cid:354)(cid:66)(cid:102)(cid:125)(cid:115)(cid:272)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)7-1(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:218)(cid:355)(cid:271)(cid:322)·(cid:181)(cid:356)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:31)(cid:217)(cid:110)(1,0)(cid:57)( )(cid:57)( )(cid:70)
(1)(cid:39)(cid:268)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149) −3,0 0,−3
(2)(cid:357)(cid:148)(cid:358)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:71)(cid:102)(cid:115)(cid:70)
(cid:15)(cid:142)(cid:38)7-2(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:257)(cid:175)(cid:359)(cid:360)·(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = + (cid:31)x(cid:65)(cid:171)(cid:205)(cid:44)(cid:45)(cid:43) (2,0)
2
( )(cid:57)(cid:31)y(cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43)C(cid:57)(cid:43)Q(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:36)(cid:43)(cid:70) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−4 𝐴 ,𝐵
−4,0
(1)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:10)
(2)(cid:128)(cid:43)Q(cid:129)(cid:47)(cid:48) (cid:74)(cid:55)(cid:26)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:73)(cid:57)(cid:110)(cid:43)Q(cid:264) (cid:65)(cid:45)(cid:43)D(cid:57)(cid:44)(cid:47)(cid:48) (cid:45)(cid:43)E(cid:57)(cid:264) (cid:45)(cid:43)F(cid:57)(cid:193)
= (cid:144)(cid:57)(cid:39)(cid:43)𝐵𝐶Q(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:70) 𝑄𝐷⊥𝑥 𝐵𝐶 𝑄𝐹⊥𝐵𝐶
𝐵 (cid:15) 𝐸 (cid:142)(cid:38) 2𝐸 7- 𝐹 3(cid:19)(cid:118)2025·(cid:285)(cid:179)(cid:334)(cid:361)(cid:362)·(cid:36)(cid:210)(cid:119)(cid:156)(cid:27)1(cid:71)(cid:27)2(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = 1 ( ) (cid:31)x(cid:65)(cid:44)(cid:45)A(cid:57)B(cid:146)(cid:43)(cid:57)
4
2
𝐿1:𝑦 𝑥−6 −16
(cid:89)(cid:90)(cid:48) = 1 + + (cid:31)x(cid:65)(cid:44)(cid:45)(cid:43) ( )(cid:71)(cid:43) ( )(cid:57)(cid:62)(cid:63) > (cid:70)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:57) (cid:31)y(cid:65)(cid:171)(cid:205)(cid:44)
4
2
𝐿2:𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐶 −10,0 𝑀 𝑚,0 𝑚 −10 𝐿1 𝐿2
(cid:45)(cid:43)P(cid:57)N(cid:70)(1)(cid:39)A(cid:57)B(cid:146)(cid:43)(cid:26)(cid:67)(cid:68)(cid:149)
(2)(cid:156)(cid:27)1(cid:57)(cid:193)(cid:43)P(cid:82)N(cid:284)(cid:103)(cid:144)(cid:57)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:26)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:363)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:149)
(3)(cid:156)(cid:27)2(cid:57)(cid:248)(cid:278) (cid:57)(cid:128)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:339)𝐿(cid:129)2 (cid:138)(cid:48)(cid:203) (cid:363)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:199)(cid:61)(cid:26)(cid:364)(cid:365)(cid:27)(cid:105)(cid:366)(cid:170)(cid:118)(cid:141)(cid:367)(cid:288)(cid:368)(cid:119)(cid:57)(cid:39)m
(cid:26)(cid:197)(cid:115)(cid:198)(cid:199)(cid:70) 𝑀𝑁 𝐿1 𝑀𝑁 𝐿2
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
(cid:15)(cid:157)8(cid:19)(cid:118)24-25(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:73)·(cid:369)(cid:370)(cid:254)(cid:231)·(cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:93)(cid:241)(cid:10)(cid:3)(cid:45) (cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:178)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:201)(cid:88)(cid:26)(cid:146)(cid:98)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:371)(cid:264)“(cid:88)(cid:65)(cid:49)(cid:50)
(cid:89)(cid:90)(cid:48)”(cid:70)(cid:157)(cid:156)(cid:10) = (cid:26)“(cid:88)(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:89)(cid:90)(cid:48)”(cid:69)𝑥 = +2(cid:70)
2 2
𝑦1 (𝑥−1) −2 𝑦2 −(𝑥−1)
(1)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = (cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:57)(cid:62)“(cid:88)(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:89)(cid:90)(cid:48)” = +2(cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:149)
2 2
(2)(cid:39)(cid:89)(cid:90)𝑦(cid:48)1 =(𝑥−1) +−2 +3(cid:26)“(cid:88)(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:89)(cid:90)(cid:48)”(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:149) 𝑦2 −(𝑥−1)
2
(3)(cid:156)(cid:27)(cid:57)(cid:129)(cid:33)𝑦 (cid:169)−(cid:47)2(cid:177)𝑥(cid:67)(cid:68)4𝑥(cid:32)(cid:63)(cid:57) (cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:48) = + >0)(cid:73)(cid:36)(cid:43)(cid:57)(cid:43) (cid:26)(cid:206)(cid:67)(cid:68)(cid:69)1(cid:57)(cid:110)(cid:43) (cid:264)
2
(cid:65)(cid:26)(cid:265)(cid:48)(cid:57)(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:26)“(cid:88)(cid:65)(cid:49)𝐵(cid:50)(cid:89)(cid:90)(cid:48)”𝐿(cid:45):𝑦(cid:43) 𝑎(cid:57)𝑥(cid:171)−(cid:205)4𝑎(cid:264)𝑥(cid:43)1(cid:57)(𝑎 (cid:3)(cid:45)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:49)(cid:50)𝐵(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:43) (cid:57) (cid:70)(cid:372)𝐵(cid:23)
′ ′
𝑥(cid:248)(cid:278)(cid:43) (cid:57) (cid:57) (cid:57) (cid:70)𝐿(cid:193)(cid:218)(cid:288)(cid:105) (cid:69)(cid:86)(cid:55)(cid:105)𝐶(cid:144)(cid:57)(cid:39) (cid:26)(cid:115)𝐵(cid:70)𝐶 𝐵 𝐶
′ ′ ′ ′
(cid:15)(cid:142)(cid:38)𝐵8-1(cid:19)𝐵(cid:193)(cid:146)𝐶 (cid:98)(cid:373)𝐶 (cid:48)(cid:3)(cid:45)(cid:153)(cid:47)𝐵(cid:48)𝐵 𝐶(cid:49)𝐶(cid:50)(cid:144)(cid:57)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:268)(cid:146)𝑎(cid:98)(cid:373)(cid:48)(cid:371)(cid:377)(cid:3)(cid:45)(cid:47)(cid:48) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:373)(cid:48)(cid:57)(cid:156)(cid:342)(cid:89)(cid:90)(cid:48)
= (cid:31)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:3)(cid:45)(cid:47)(cid:48) =𝑙 (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:373)(cid:48)(cid:57)(cid:212)(cid:213)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:26)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:69)𝑙 (cid:70) 𝐶1
2
:𝑦 𝑥 −2𝑥 𝐶2 𝑥 −1 𝐶2(cid:15)(cid:142)(cid:38)8-2(cid:19)(cid:376)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:378)0 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:264)(cid:3)(cid:45)(cid:130)(cid:43)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:142)(cid:52)(cid:57)(cid:64)(cid:113)(cid:117)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:69)
2
= ( ) + (cid:57)(cid:128)(𝑦 𝑎)𝑥 +𝑏𝑥+ 𝑐 𝑎 0(cid:57)(cid:131) (cid:102)(cid:125)(cid:115)(cid:66) (cid:70)
2
𝑦 (cid:15)(cid:142) − (cid:38) 𝑎 8 𝑥 -3 − (cid:19) 1 (cid:118)23 4 - 𝑎 24(cid:158)(cid:159) 𝑚 (cid:160) − (cid:73) 1 · 𝑎 (cid:218)(cid:355) 𝑏 (cid:379)(cid:231) 𝑐 · ≤ (cid:181)(cid:63)(cid:119)(cid:156) 𝑚 (cid:27)(cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:10) = 1 + (cid:380) (cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:139)(cid:57)(cid:72)(cid:75)(cid:33)(cid:34)3
2
2
𝐶1 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑥
(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:252)(cid:263)(cid:57)(cid:106)(cid:72)(cid:74)(cid:33)(cid:34)5(cid:91)(cid:256)(cid:84)(cid:252)(cid:263)(cid:57)(cid:113)(cid:117)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:57)(cid:128)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:69) (cid:57)(cid:43) (cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:48) (cid:73)(cid:36)(cid:43)(cid:57)
(cid:131) (cid:26)(cid:169)(cid:200)(cid:26)(cid:102)(cid:125)(cid:115)(cid:69) 𝐶2 𝐶1 𝐴 𝑃 𝐶2
△𝑃𝑂𝐴
