专题 21.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)......................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:19)......................................................................................................................4
𝑦 𝑎𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................4
𝑦 𝑎𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:19)................................................................................................................6
𝑦 𝑎𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)..............................................................................................................6
𝑦 𝑎𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:19)..............................................................................................................7
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)........................................................................................................8
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = 2+ (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................9
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘
2
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:31)(cid:29)(cid:30)
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
>0(cid:33) =0(cid:35)(cid:33)
=0(cid:36)
>0时，抛物线开口向上；
= (cid:32)0(cid:33)0(cid:34) y轴 𝑎最小值 𝑥
<0(cid:33) =0(cid:35)(cid:33)
2 𝑦
𝑎在对称轴右侧时,y随x的增大
𝑦 𝑎𝑥 =0
最大值
𝑎 𝑥
而增大；
>0(cid:33) =0(cid:35)(cid:33)
𝑦
= (cid:36)
= + (cid:32)0(cid:33) (cid:34) 轴 𝑎最小值 𝑥 在对称轴左侧时，y随x的增
<0(cid:33) =0(cid:35)(cid:33)
2 𝑦 𝑘
大而减小；
𝑦 𝑎𝑥 𝑘 𝑘 𝑦 =
最大值
𝑎 𝑥
>0(cid:33) = (cid:35)(cid:33) <0时，抛物线开口向下；
𝑦 𝑘
=0(cid:36)
= (cid:32) (cid:33)0(cid:34) = 𝑎最小值 𝑥 ℎ 𝑎在对称轴左侧时，y随x的增
<0(cid:33) = (cid:35)(cid:33)
2 𝑦
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) ℎ 𝑥 ℎ 最大值 =0 大而增大；
𝑎 𝑥 ℎ
>0(cid:33) = (cid:35)(cid:33)
𝑦
在对称轴侧右时，y随x的增
= (cid:36)
= + (cid:32) (cid:33) (cid:34) = 𝑎最小值 𝑥 ℎ
<0(cid:33) = (cid:35)(cid:33) 大而减小
2 𝑦 𝑘
𝑦 𝑎(𝑥−ℎ) 𝑘 ℎ 𝑘 𝑥 ℎ =
最大值
𝑎 𝑥 ℎ
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:37)(cid:38)
𝑦 𝑘
𝟐
(cid:32)1(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:10)𝒚(cid:41) 𝒂=𝒙0(cid:42)(𝒂(cid:43)≠(cid:44)𝟎(cid:33)) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)x(cid:49)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:45)(cid:52)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:53)
𝑥(cid:32)2(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:43)(cid:54)(cid:51)(cid:40)(cid:43)(cid:26)(cid:64)(cid:55)(cid:53)
(cid:32)3(cid:34)(cid:65)(cid:66)(cid:10)(cid:67)(cid:57)(cid:68)(cid:26)(cid:69)(cid:66)(cid:70)(cid:23)(cid:65)(cid:71)(cid:64)(cid:55)(cid:53)
(cid:32)4(cid:34)(cid:56)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:33)(cid:48)(cid:26)(cid:55)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:33)(cid:37)(cid:51)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:75)(cid:72)(cid:76)(cid:77)(cid:33)(cid:78)(cid:48)(cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:83)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:56)
(cid:87)(cid:55)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:64)(cid:48)2~4(cid:90)(cid:55)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:56)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:33)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:82)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:83)(cid:32)(cid:100)(cid:97)(cid:83)(cid:99)(cid:98)(cid:34)(cid:26)(cid:70)(cid:101)(cid:67)(cid:57)(cid:68)(cid:26)(cid:69)(cid:66)(cid:102)(cid:64)
(cid:90)(cid:55)(cid:65)(cid:71)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:88)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:37)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = 0)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:33)(cid:112)(cid:92)(cid:41)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:29)(cid:33)(cid:116)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:38)
2
(cid:37)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:85)(cid:89)(cid:33)(cid:117)(cid:118)(cid:67)(cid:45)(cid:46)(cid:29)𝑦(cid:37)(cid:119)𝑎(cid:85)𝑥(cid:89)((cid:53)𝑎 ≠
3. (cid:120)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:122)(cid:26)(cid:57)(cid:123)(cid:124)(cid:125)
(cid:126)(cid:127)(cid:10) = +3(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:128)(cid:129) = (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:130)(cid:131)(cid:57)(cid:123)3(cid:90)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:99) = +3(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:117)(cid:130)
2 2 2
(cid:137)(cid:57)(cid:123)𝑦5(cid:90)2(cid:132)(𝑥(cid:133)−(cid:134)5)(cid:135)(cid:136)(cid:99)(cid:26)(cid:53)(cid:138)(cid:139)(cid:33)𝑦(cid:129) 2=𝑥 +3(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:130)(cid:140)(cid:57)(cid:123)3(cid:90)(cid:132)𝑦(cid:133)(cid:134)2(cid:135)𝑥(cid:136)(cid:99) =
2 2
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:117)(cid:130)(cid:141)(cid:57)(cid:123)5(cid:90)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:99)𝑦 = 2(𝑥−(cid:26)5(cid:27)) (cid:28)(cid:53) 𝑦 2(𝑥−5)
2
【题型1 二次函数 = 的图象】 𝑦 2𝑥
𝟐
(cid:15)(cid:126)1(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)𝒚(cid:144)(cid:131)𝒂𝒙 ·(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:33) = (cid:33) = (cid:33) = (cid:26)
2 2 2 2
(cid:27)(cid:28)(cid:127)(cid:27)(cid:153)(cid:154)(cid:33)(cid:155) (cid:33) (cid:33) (cid:33) (cid:26)(cid:83)(cid:98)(cid:3)(cid:63)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦1 𝑎1𝑥 𝑦2 𝑎2𝑥 𝑦3 𝑎3𝑥 𝑦4 𝑎4𝑥
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4A(cid:53) < < < B(cid:53) < < <
C(cid:53)𝑎3< 𝑎4< 𝑎1< 𝑎2 D(cid:53)𝑎4 <𝑎3 <𝑎1 <𝑎2
(cid:15)(cid:96)(cid:156)𝑎14-1(cid:19)𝑎(cid:32)324-𝑎225(cid:142)𝑎(cid:143)1(cid:144)(cid:131)·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)𝑎(cid:151)3 (cid:152)𝑎4=(𝑎2+2)𝑎1 (cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:162)(cid:163) <0(cid:35)(cid:33) (cid:164)
2
𝑘 +𝑘−4
(cid:26)(cid:165)(cid:83)(cid:166)(cid:165)(cid:83)(cid:53) 𝑦 𝑘 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
(1)(cid:155) (cid:26)(cid:49)(cid:42)______(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:167)(cid:42)______(cid:36)
(2)(cid:151)(cid:152)𝑘 (cid:33)(cid:55) ( )(cid:56)(cid:168)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:33)(cid:155)(cid:55) (cid:56)(cid:168)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:26)(cid:61)(cid:62)(cid:42)______(cid:36)
(3)(cid:169)(cid:37)(cid:51)(cid:168)𝐴(cid:24)(cid:25)1,−(cid:27)1(cid:28)(cid:33)(cid:170)(cid:113)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:171)(cid:51)(cid:163) 𝐴<4(cid:35)(cid:33) (cid:26)(cid:172)(cid:173)(cid:42)______(cid:53)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)1-2(cid:19)(cid:32)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:178)−(cid:179)2≤(cid:180)𝑥(cid:181)(cid:34)(cid:127)(cid:27)(cid:33)𝑦(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:43)(cid:33)(cid:66)(cid:179) (cid:26)(cid:105)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:182)(cid:183)
(cid:42) (1,1)(cid:33) (1,3)(cid:33)(cid:184)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = (cid:185)(cid:66)(cid:179) (cid:186)(cid:187)(cid:55)(cid:33)(cid:155)a(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:128) 𝐴𝐵
2
𝐴 𝐵 𝑦 𝑎𝑥 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:96)(cid:156)1-3(cid:19)(cid:32)2025·(cid:145)(cid:188)(cid:189)(cid:175)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:184)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = (cid:185)(cid:59)(cid:66) = 1 +3(cid:173)(cid:194)(cid:26)(cid:195)(cid:196)(cid:27)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:186)k
2
2
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:90)(cid:200)(cid:55)(cid:32)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:34)(cid:33)(cid:155)k(cid:26)(cid:49)(cid:42)(cid:32) (cid:34)A(cid:53)2 B(cid:53)4 C(cid:53)5 D(cid:53)6
【题型2 二次函数 = 的性质】
𝟐
(cid:15)(cid:126)2(cid:19)(cid:32)23-24(cid:142)(cid:143)𝐲(cid:144)(cid:131)𝐚𝐱 ·(cid:145)(cid:146)(cid:6)(cid:206)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:33)(cid:184)(cid:56)(cid:207)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:167)(cid:26)(cid:141)(cid:89)(cid:33)y(cid:164)x
2
𝑚 −1
(cid:26)(cid:165)(cid:83)(cid:166)(cid:165)(cid:83)(cid:33)(cid:155)(cid:140)(cid:39)(cid:64)(cid:55)(cid:201)(cid:56)(cid:207)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦 𝑚𝑥
A(cid:53) 3) B(cid:53) 3) C(cid:53)(0,0) D(cid:53) 3)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)(21-1,−(cid:19)(cid:32)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(−(cid:131)1·,−(cid:145)(cid:188)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:163) 2 1(cid:35)(cid:33)(cid:24)(cid:25) (=−1, (cid:26)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:185)(cid:208)(cid:98)(cid:49)(cid:26)(cid:31)(cid:42)
2
(cid:32) (cid:34) − ≤𝑥≤ 𝑦 −2𝑥
A(cid:53)3 B(cid:53) C(cid:53) D(cid:53)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)2-2(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)−(cid:131)10·(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:175)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)−(cid:34)8(cid:151)(cid:152) = (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:131)−2(cid:186)(cid:212)(cid:55) ( )(cid:33) (1, )(cid:33)
2
(3, )(cid:33)(cid:162) < < (cid:155)a(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦 𝑎𝑥 𝐴 −4,𝑦1 𝐵 𝑦2 𝐶
𝑦A3(cid:53) >𝑦02 𝑦3 𝑦1B(cid:53) <0 C(cid:53) 0 D(cid:53) 0
(cid:15)(cid:96)(cid:156)𝑎2-3(cid:19)(cid:32)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)𝑎(cid:131)·(cid:188)(cid:213)(cid:214)(cid:215)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)𝑎(cid:34)≥(cid:151)(cid:152) ( , )(cid:33) ( 𝑎,≤)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = ( >0)(cid:131)(cid:216)
2
(cid:217)(cid:88)(cid:55)(cid:33)(cid:207)(cid:43)0 < (cid:33)(cid:184)(cid:45)(cid:218) =1(cid:33)(cid:219)(cid:186)| 𝑀|𝑥1𝑦21(cid:33)(cid:155)𝑁a𝑥(cid:26)2(cid:48)𝑦2(cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:128) 𝑦 𝑎(cid:53)𝑥 𝑎
【题型3 二次函 ≤ 数 𝑥1 = 𝑥2 + 的图 𝑥2 象 −𝑥 】 1 𝑦2−𝑦1 ≥
𝟐
(cid:15)(cid:126)3(cid:19)(cid:32)2025·(cid:131)(cid:214)𝒚(cid:220)(cid:221)𝒂 · 𝒙(cid:85)(cid:190)𝒌(cid:34)(cid:127)(cid:222)(cid:85)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = ( 0)(cid:223) = ( 0)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:219)(cid:224)(cid:225)
( )(cid:33)(cid:226)(cid:227)(cid:24)(cid:25) = (cid:26)(cid:83)(cid:228)(cid:27)(cid:229)(cid:128)(cid:32) 𝑦(cid:34)1 𝑚𝑥−6 𝑚≠ 𝑦2 𝑛𝑥−2 𝑛≠ 𝐶
1,−3 𝑦 𝑦1⋅𝑦2
A(cid:53) B(cid:53)C(cid:53) D(cid:53)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)3-1(cid:19)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:151)(cid:152)P(cid:128)(cid:24)(cid:25)y= 1 1(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:230)(cid:55)(cid:33)(cid:163)(cid:55)P(cid:56)x(cid:167)(cid:131)(cid:231)(cid:35)(cid:33)(cid:232)PH x(cid:167)(cid:218)(cid:55)H(cid:33)(cid:65)
4
2
𝑥 − ⊥
(cid:71)PO(cid:53)(cid:98)(cid:233)(cid:67)(cid:120)(cid:234)(cid:37)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:45)PO(cid:33)PH(cid:26)(cid:25)(cid:82)(cid:3)(cid:63)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:33)(cid:243)(cid:244)PO﹣PH(cid:128)(cid:90)(cid:245)(cid:49)(cid:33)(cid:155)(cid:246)(cid:90)(cid:245)(cid:49)(cid:42) (cid:53)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)3-2(cid:19)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:111)(cid:66)y (cid:247)﹣x2+1(cid:33)(cid:59)(cid:66)y (cid:247)﹣x+1(cid:33)(cid:163)x(cid:216)(cid:48)(cid:85)(cid:49)(cid:35)(cid:33)x(cid:45)(cid:52)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:182)(cid:183)(cid:42)y (cid:33)
1 2 1
y (cid:53)(cid:184)y ≠y (cid:33)(cid:48)y (cid:33)y (cid:43)(cid:26)(cid:248)(cid:98)(cid:49)(cid:249)(cid:42)M(cid:36)(cid:184)y (cid:247)y (cid:33)(cid:249)M(cid:247)y (cid:247)y (cid:53)(cid:126)(cid:127)(cid:10)(cid:163)x(cid:247)2(cid:35)(cid:33)y (cid:247)﹣3(cid:33)y (cid:247)
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
﹣1(cid:33)y (cid:250)y (cid:33)(cid:251)(cid:35)M(cid:247)﹣3(cid:53)(cid:140)(cid:39)(cid:252)(cid:253)(cid:43)(cid:10) (cid:163)x(cid:250)0(cid:35)(cid:33)M(cid:247)y (cid:36) (cid:163)x(cid:254)0(cid:35)(cid:33)M(cid:164)x(cid:26)(cid:165)(cid:83)(cid:166)(cid:165)(cid:83)(cid:36)
1 2 1
1① 2 1 ② ③
(cid:255)(cid:136)M(cid:83)(cid:218)1(cid:26)x(cid:49)(cid:201)(cid:256)(cid:56)(cid:36) (cid:255)(cid:136)M(cid:247) (cid:26)(cid:49)(cid:128)﹣ (cid:100) (cid:33)(cid:207)(cid:43)(cid:257)(cid:77)(cid:26)(cid:90)(cid:25)(cid:186)(cid:32)(cid:258)(cid:258)(cid:34)
2 2 2
④
A(cid:53)1 B(cid:53)2 C(cid:53)3 D(cid:53)4
(cid:15)(cid:96)(cid:156)3-3(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:259)(cid:146)(cid:134)(cid:260)·(cid:149)(cid:43)(cid:34)(cid:184)(cid:257)(cid:261)(cid:126)(cid:24)(cid:25) = (cid:33) (cid:164) (cid:26)(cid:165)(cid:83)(cid:166)(cid:165)(cid:83)(cid:33)(cid:155)(cid:115)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25) = + (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:83)(cid:228)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦 𝑚𝑥 𝑦 𝑥
2
𝑦 𝑚𝑥 𝑚
A(cid:53) B(cid:53)C(cid:53) D(cid:53)
【题型4 二次函数 = + 的性质】
𝟐
(cid:15)(cid:126)4(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)𝒚(cid:144)(cid:131)𝒂 · 𝒙(cid:159)(cid:262)𝒌(cid:146)(cid:263)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:245)(cid:177)(cid:10)(cid:45)(cid:218)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:88)(cid:55) ( , )(cid:33) ( , )( )(cid:33)(cid:102)
𝑀 𝑥1𝑦1 𝑁 𝑥2𝑦2 𝑥1 ≠𝑥2
(cid:26)(cid:49)(cid:46)(cid:42)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:56) (cid:179)(cid:26)“(cid:264)(cid:265)(cid:49)”(cid:33)(cid:249)(cid:232) (cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + >0)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:186)(cid:88)(cid:55)
𝑦1−𝑦2
2
𝑥1−𝑥2 𝑀𝑁 𝑘𝑀𝑁 𝑦 𝑎𝑥 1(𝑎
( , )(cid:33) ( , )(cid:33)(cid:184)(cid:45)(cid:218)(cid:216)(cid:217)(cid:26) (cid:33) (cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:163) > 1(cid:35)(cid:33)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:56) (cid:179)(cid:26)“(cid:264)(cid:265)(cid:49)”(cid:269)(cid:270)(cid:186)
𝑀 𝑥1>𝑦12(cid:33)(cid:155)𝑁a𝑥2(cid:26)𝑦(cid:48)2 (cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:128) (cid:53)𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥1 ≥ 𝑀𝑁
𝑘(cid:15)𝑀(cid:96)𝑁(cid:156)4-1(cid:19)(cid:32)22-23(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:214)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:33)(cid:163) < < (cid:35)(cid:33)y(cid:164)x(cid:26)(cid:165)(cid:83)(cid:166)
2
(cid:274)(cid:98)(cid:33)(cid:155)(cid:275)(cid:25)a(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦 𝑥 −4𝑥 −1 𝑥 𝑎
A(cid:53) >2 B(cid:53) < 2 C(cid:53) >0 D(cid:53) < 1
(cid:15)(cid:96)(cid:156)𝑎4-2(cid:19)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)−1= 𝑎≤+ >0)(cid:33)(cid:127)𝑎(cid:222)(cid:163)0 +−11(cid:35)(cid:33)𝑎≤ (cid:33)(cid:155)(cid:140)(cid:39)(cid:276)(cid:38)(cid:257)(cid:77)
2
(cid:26)(cid:128)(cid:32) (cid:34) 𝑦 𝑎𝑥 𝑐(𝑎 ≤𝑚≤𝑥≤𝑚 𝑝≤𝑦≤𝑞
A(cid:53) (cid:186)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:33)(cid:277)(cid:186)(cid:208)(cid:98)(cid:49) B(cid:53) (cid:186)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:33)(cid:278)(cid:186)(cid:208)(cid:98)(cid:49)
C(cid:53)𝑞−𝑝(cid:278)(cid:186)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:33)(cid:186)(cid:208)(cid:98)(cid:49) D(cid:53)𝑞−𝑝(cid:278)(cid:186)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:33)(cid:277)(cid:278)(cid:186)(cid:208)(cid:98)(cid:49)
(cid:15)(cid:96)(cid:156)𝑞4−-3𝑝(cid:19)(cid:32)2025·(cid:159)(cid:262)(cid:262)(cid:175)·(cid:22)(cid:190)(cid:34)(cid:45)(cid:218)(cid:85)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑞−𝑝= + (cid:41)(cid:279)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + (cid:32)(cid:207)(cid:43) (cid:223) (cid:223) (cid:266)(cid:42)
2
(cid:280)(cid:25)(cid:33)(cid:162) >0(cid:34)(cid:33)(cid:163) +1(cid:35)(cid:33)(cid:246)(cid:88)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑦 (cid:208)(cid:83)𝑎𝑥(cid:49)(cid:185)𝑏(cid:208)(cid:98)(cid:49)(cid:139)(cid:281)(cid:282)𝑦(cid:283)(cid:284)𝑎(cid:285)𝑥(cid:33)(cid:155)𝑐 (cid:26)(cid:49)(cid:42)𝑎 𝑏 𝑐 (cid:53)
【题型5 𝑎 二次函数 𝑡 = ≤𝑥≤𝑡 的图象】 𝑡
𝟐
(cid:15)(cid:126)5(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)𝒚(cid:144)(cid:131)𝒂( ·(cid:286)𝒙−(cid:159)𝒉)(cid:287)(cid:175)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:288)(cid:24)(cid:25) = ( ) (cid:33) = ( ) (cid:33)(cid:59)(cid:66) =1(cid:185)(cid:24)(cid:25)
2 2
(cid:33) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:187)(cid:218)(cid:55) (1, )(cid:33) (1, )(cid:33)(cid:136)(cid:32) (cid:34) 𝑦1 − 𝑥−𝑚 𝑦2 − 𝑥−𝑛 𝑥
𝑦1 A𝑦(cid:53)2(cid:184)1< < (cid:33)(cid:155) 𝐴 <𝑎1 𝐵 𝑎2 B(cid:53)(cid:184) <1< (cid:33)(cid:155) <
C(cid:53)(cid:184) <𝑚<1𝑛(cid:33)(cid:155)𝑎1< 𝑎2 D(cid:53)(cid:184)𝑚 <1<𝑛(cid:33)(cid:155)𝑎1 >𝑎2
(cid:15)(cid:96)(cid:156)5-1𝑚(cid:19)(cid:32)𝑛24-25(cid:142)(cid:143)𝑎(cid:144)1(cid:131)·𝑎(cid:286)2(cid:159)(cid:289)(cid:175)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:127)(cid:27)(cid:33)𝑚(cid:57)(cid:239)(cid:218)x𝑛(cid:167)(cid:26)(cid:59)𝑎1(cid:66)(cid:185)𝑎(cid:88)2 (cid:290)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = (cid:31) =
2
(cid:32) < (cid:34)(cid:284)(cid:187)(cid:218)(cid:55)A(cid:33)B(cid:33)C(cid:33)D(cid:53)(cid:184) =8(cid:33) =3(cid:33) =6(cid:33)(cid:155)h(cid:26)(cid:49)(cid:42)𝑦1 𝑎 (𝑥−(cid:53)ℎ) 𝑦2 𝑏
2
(𝑥−13) 𝑎 𝑏 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷(cid:15)(cid:96)(cid:156)5-2(cid:19)(cid:32)22-23(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:221)(cid:291)(cid:221)(cid:292)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =2( +1(cid:33)(cid:163)0≤x≤3(cid:35)(cid:33)y(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:172)(cid:173)(cid:42)
2
(cid:32)(cid:258)(cid:258)(cid:34) 𝑦 𝑥−1)
A(cid:53)3≤y≤9 B(cid:53)1≤y≤9 C(cid:53)1≤y≤3 D(cid:53)0≤y≤1
(cid:15)(cid:96)(cid:156)5-3(cid:19)如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，
若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
7 9 11 13
A(cid:53) B(cid:53) C(cid:53) D(cid:53)
3 4 5 6
【题型6 二次函数 = 的性质】
𝟐
(cid:15)(cid:126)6(cid:19)(cid:32)2025·(cid:286)(cid:159)𝒚(cid:293)(cid:294)𝒂 · ((cid:190)𝒙−(cid:191)𝒉(cid:192)) (cid:193)(cid:34)(cid:55) (cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =2 (cid:32)m(cid:42)(cid:280)(cid:25)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:33)
2
= 0(cid:53)(cid:163) +2(cid:35)(cid:33)(cid:22)𝐴(cid:23)(𝑠(cid:24),𝑡)(cid:25)(cid:26)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:185)𝑦(cid:208)(cid:98)((cid:49)𝑥−(cid:26)𝑚(cid:281)) (cid:42)(cid:32) (cid:34)
𝑠−𝑚 9𝑡≠ 𝑠−1≤𝑥≤9 𝑠 25
A(cid:53) B(cid:53) C(cid:53)12 D(cid:53)
4 2 2
(cid:15)(cid:96)(cid:156)6-1(cid:19)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:111)(cid:66)y(cid:247)(cid:32)x﹣1(cid:34)2(cid:224)(cid:225)(cid:55)A(cid:32)n(cid:33)y (cid:34)(cid:33)B(cid:32)n(cid:295)2(cid:33)y (cid:34)(cid:33)(cid:184)y (cid:250)y (cid:33)(cid:155)n(cid:26)(cid:49)(cid:92)(cid:41)(cid:42)
1 2 1 2
(cid:32) (cid:34)
A(cid:53)﹣1 B(cid:53)﹣0.5 C(cid:53)0 D(cid:53)0.5
(cid:15)(cid:96)(cid:156)6-2(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:271)(cid:272)(cid:296)(cid:175)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + (cid:32) (cid:42)(cid:280)(cid:25)(cid:34)(cid:33)(cid:163)2 5
2
(cid:35)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:42) (cid:33)(cid:155) (cid:26)(cid:49)(cid:42) (cid:53) 𝑦 −(𝑥 ℎ) ℎ ≤𝑥≤
(cid:15)(cid:96)(cid:156)6-3(cid:19)(cid:32)24-25−(cid:297)1(cid:143)(cid:144)(cid:140)ℎ ·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:59)(cid:66) = (cid:187)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = ( ) (cid:218)(cid:55) ( )(cid:33)
2
(cid:187)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = ( ) (cid:218)(cid:55) ( )(cid:33)(cid:140)(cid:39)(cid:298)(cid:299)(cid:10) (cid:184) > > (cid:33)𝑥(cid:155) 𝑐< (cid:33) 𝑦(cid:184)1 >− 𝑥>−𝑎(cid:33)(cid:155) 𝐴<𝑐,𝑚(cid:33)
2
(cid:184) > >𝑦2(cid:33)(cid:155)− 𝑥−<𝑏 (cid:33) (cid:184)𝐵 𝑐,𝑛> > (cid:33)(cid:155) <①(cid:36)(cid:207)𝑎 (cid:43)𝑏(cid:257)(cid:77)𝑐(cid:26)(cid:128)(cid:32)𝑚 (cid:34)𝑛 ② 𝑏 𝑎 𝑐 𝑚 𝑛 ③
𝑐A(cid:53)𝑏1(cid:90)𝑎 𝑚 𝑛B(cid:53)④2(cid:90)𝑎 𝑐 𝑏 𝑚C(cid:53)𝑛3(cid:90) D(cid:53)4(cid:90)【题型7 二次函数 = + 的图象】
𝟐
(cid:15)(cid:126)7(cid:19)(cid:32)2025·(cid:300)(cid:272)𝒚(cid:272)(cid:301)𝒂 · ((cid:22)𝒙−(cid:190)𝒉(cid:34))(cid:127)(cid:27)𝒌(cid:33)(cid:55)A(cid:128)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = ( ) + (cid:185)y(cid:167)(cid:26)(cid:187)(cid:55)(cid:33) (cid:167)(cid:187)(cid:110)(cid:111)(cid:66)(cid:119)(cid:85)
2
(cid:55)(cid:218)B(cid:33)(cid:55)C(cid:42)(cid:168)(cid:110)(cid:111)(cid:66)(cid:26)(cid:87)(cid:55)(cid:53)(cid:184) (cid:42)(cid:285)(cid:204)(cid:212)(cid:60)𝑦 (cid:197)𝑎(cid:33)𝑥(cid:155)−3a(cid:26)(cid:49)𝑘(cid:42)(cid:32) (cid:34) 𝐴𝐵∥𝑥
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:53) 3 B(cid:53) 2 C(cid:53) 1 D(cid:53)1
3 2
(cid:15)(cid:96)(cid:156)7-1(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:159)(cid:262)(cid:302)(cid:175)·(cid:149)(cid:43)(cid:34)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:43)(cid:33)(cid:55)A(cid:33)B(cid:26)(cid:61)(cid:62)(cid:182)(cid:183)(cid:42)(0,2)(cid:33)
(4,2)(cid:53)(cid:184)(cid:110)(cid:111)(cid:66) = 3 ( ) + (cid:32)h(cid:223)k(cid:42)(cid:280)(cid:25)(cid:34)(cid:185)(cid:66)(cid:179) (cid:187)(cid:218)C(cid:223)D(cid:88)(cid:55)(cid:33)(cid:162) = 1 (cid:33)(cid:155)k(cid:26)(cid:49)(cid:42) (cid:53)
2 2
2
𝑦 − 𝑥−ℎ 𝑘 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:96)(cid:156)7-2(cid:19)(cid:32)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:145)(cid:188)(cid:303)(cid:245)·(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =( ) +( )(cid:32) (cid:42)(cid:280)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:163) (cid:48)(cid:201)
2
(cid:304)(cid:26)(cid:49)(cid:35)(cid:33)(cid:207)(cid:27)(cid:28)(cid:305)(cid:194)(cid:85)(cid:90)“(cid:110)(cid:111)(cid:66)(cid:63)”(cid:53)(cid:127)(cid:27)(cid:33)(cid:246)(cid:306)(cid:182)(cid:183)(cid:128)(cid:163)𝑦 = 𝑥−(cid:33)3𝑎 =0(cid:33)𝑎−1=1(cid:33)𝑎 =2(cid:35)(cid:33)(cid:22)(cid:23)𝑎(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:155)(cid:115)(cid:307)(cid:26)(cid:87)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:267)(cid:268)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:308)(cid:309)(cid:156)(cid:128) (cid:53) 𝑎 −1 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:96)(cid:156)7-3(cid:19)(cid:32)2025·(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:43)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:111)(cid:66) =( ) (cid:185) (cid:167)(cid:187)(cid:218)(cid:55) (0,3)(cid:33)(cid:207)(cid:87)(cid:55)(cid:42)(cid:55) (cid:33)(cid:185)
2
(cid:167)(cid:187)(cid:218) (cid:88)(cid:55)(cid:32) (cid:56) (cid:26)(cid:141)(cid:89)(cid:34)(cid:33)(cid:65)(cid:71) (cid:33)(cid:184)(cid:56)𝑦(cid:110)(cid:111)𝑥(cid:66)−(cid:131)2(cid:256)−(cid:56)1(cid:85)(cid:55)𝑦 (cid:33)(cid:255)(cid:136)𝐷 = (cid:33)(cid:155) 𝐴(cid:26)(cid:61)
𝑥(cid:62)(cid:128)(cid:32) 𝐵 (cid:34), 𝐶(cid:53) 𝐵 𝐶 𝐷𝐵, 𝐷𝐶 𝑃 𝑆△𝑃𝑂𝐶 𝑆△𝐷𝐵𝐶 𝑃A(cid:53)(2, ) B(cid:53)(0.5,1.25) C(cid:53)(3+ 3,3+2 3) D(cid:53)( 3,2)
【题型8 − 二 1 次函数 = + 的性质】 2−
𝟐
(cid:15)(cid:126)8(cid:19)(cid:32)2025·(cid:198)(cid:313)𝒚(cid:314)(cid:315)𝒂(cid:316)(𝒙 ·(cid:85)−𝒉(cid:190))(cid:34)(cid:151)𝒌(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = ( ) +2(cid:32) (cid:42)(cid:280)(cid:25)(cid:34)(cid:33)(cid:163)(cid:95)(cid:96)(cid:82) (cid:26)(cid:49)(cid:267)(cid:268)2 4
2
(cid:26)(cid:317)(cid:318)(cid:140)(cid:33)(cid:185)(cid:207)(cid:45)(cid:52)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:49) (cid:26)(cid:208)(cid:83)(cid:49)(cid:42) (cid:33)(cid:155)𝑦 (cid:26)−(cid:49)𝑥(cid:42)−ℎ(cid:32) (cid:34) ℎ 𝑥 ≤𝑥≤
A(cid:53)0(cid:100)4 B(cid:53)2(cid:100)𝑦6 −2C(cid:53)0ℎ(cid:100)6 D(cid:53)2(cid:100)4
(cid:15)(cid:96)(cid:156)8-1(cid:19)(cid:32)24-25(cid:297)(cid:143)(cid:144)(cid:140)·(cid:188)(cid:213)·(cid:149)(cid:43)(cid:34)(cid:151)(cid:152) < (cid:33)(cid:55) ( )(cid:223)( )(cid:223)( )(cid:219)(cid:56)(cid:24)(cid:25) =( )
2
+6(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:131)(cid:33)(cid:226)(cid:227)(cid:32) (cid:34) 𝑎 −1 𝐴 𝑎−1,𝑦1 𝐵 𝑎,𝑦2 𝐶 1−𝑎,𝑦3 𝑦 𝑥−1
A(cid:53) < < B(cid:53) < <
C(cid:53)𝑦1< 𝑦2< 𝑦3 D(cid:53)𝑦1 <𝑦3 <𝑦2
(cid:15)(cid:96)(cid:156)𝑦83-2(cid:19)𝑦(cid:32)224-𝑦215(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:131)·(cid:188)(cid:213)·(cid:149)(cid:43)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:22)𝑦(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)𝑦1 =𝑦3( ) (cid:33)(cid:163)1 4(cid:35)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:49)y(cid:26)(cid:208)
2
(cid:83)(cid:49)(cid:42)4(cid:33)(cid:155)a(cid:26)(cid:49)(cid:42) (cid:53) 𝑦 𝑎 𝑥−2 −2𝑎 ≤𝑥≤
(cid:15)(cid:96)(cid:156)8-3(cid:19)(cid:32)2025·(cid:271)(cid:272)(cid:319)(cid:320)·(cid:85)(cid:190)(cid:34)(cid:45)(cid:218)(cid:85)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = ( ) + ( 0)(cid:43)(cid:256)(cid:56)(cid:85)(cid:55) ( , )(cid:33)(cid:255)(cid:136)
2 ′ ′
= 0(cid:33)(cid:155)(cid:46)2| |(cid:42)(cid:168)(cid:110)(cid:111)(cid:66)(cid:26)“(cid:321)(cid:148)(cid:83)(cid:98)𝑦”(cid:33)(cid:226)𝑎(cid:227)𝑥−(cid:110)𝑚(cid:111)(cid:66)𝑘=𝑎2≠ + +3“(cid:321)(cid:148)𝑃(cid:83)𝑥(cid:98)𝑦”(cid:42) (cid:53)
′ ′ ′ 2
𝑥 −𝑚 𝑦 −𝑘≠ 𝑥 −𝑚 𝑦 𝑥 3𝑥
