专题 21.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:22)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:22)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:22)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:22)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:22)..............................................................................................................12
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:45)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:22)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:22)......................................................................................................18
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:22)..................................................................................................................................................20
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. (cid:50)(cid:51)(cid:52)a(cid:39)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:55) (cid:56)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:55)± (cid:57)
(cid:58)(cid:59)(cid:10)144(cid:39)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:55) 1𝑎44=12(cid:56)(cid:28)(cid:29)(cid:38)𝑎(cid:55)± 144= ±12(cid:57)
2. (cid:38)(cid:60)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:64)(cid:65)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)
(cid:58)(cid:59) =25(cid:56)(cid:31)(cid:66) =±5(cid:57)
2
(cid:32)(cid:67)(cid:68)𝑥(cid:56)(cid:48)(cid:69)(cid:29)(cid:36) 𝑥=p(cid:57)
2
>0 𝑥方程有两个不等的实数根 = ， =
𝑝=0 方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝒑=𝑥2 − 𝒑
𝑝<0 方程(cid:70)(cid:71)(cid:52)(cid:38) 𝑥1 𝑥2 𝟎
3. (cid:25)(cid:26)𝑝(cid:72)(cid:35)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:73)(cid:74)
(1)(cid:75)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55) =p(cid:77)( + ) = ( 0, 0)(cid:39)(cid:78)(cid:42)(cid:79)
2 2
(cid:80)2)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑥(cid:76)(cid:55)(cid:81)(cid:82)𝑚(cid:32)𝑥(cid:33)(cid:32)𝑛(cid:35)(cid:29)(cid:36)𝑝(cid:79)𝑝≥ 𝑚≠
(cid:80)3)(cid:31)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:66)(cid:83)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:57)
教
知识
辅
点2资 配方法解一元二次方程
源
，
关
注
公
1. (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:85)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:52)(cid:89)众(cid:90)(cid:83)(cid:91)(cid:92)(cid:56)(cid:93)(cid:87)(cid:94)(cid:39)(cid:95)(cid:92)(cid:37)(cid:96)(cid:46)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:39)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:56)(cid:102)(cid:75)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)
号
★
全
科
( + ) = (cid:39)(cid:78)(cid:42)(cid:56)(cid:59)(cid:103)(cid:91)(cid:92)(cid:104)(cid:32)(cid:82)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:105)(cid:106)(cid:107)A(cid:108)(cid:109)A(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:112)(cid:31)(cid:57)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:37)(cid:96)(cid:100)(cid:101)
+
2
𝑥 𝑎 𝑏(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:42)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:64)(cid:65)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:57)
2. (cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:32)(cid:67)(cid:73)(cid:74)((cid:117)(cid:58))
(cid:32)(cid:67)(cid:73)(cid:74) (cid:29)(cid:30) (cid:71)(cid:58) =0)
2
(cid:75)(cid:88)(cid:52)(cid:89)(cid:90)(cid:83)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:91)(cid:92)(cid:56)(cid:46) (9𝑦 −18𝑦−4
(cid:32)(cid:90) (cid:90)(cid:89) =4
(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:83)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:95)(cid:92)
2
9𝑦 −18𝑦
(cid:29)(cid:36)(cid:95)(cid:119)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:120)(cid:85)(cid:121)(cid:109)(cid:34)(cid:35) 4
(cid:34)(cid:76) (cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:118)(cid:52)(cid:76)(cid:55)1 =
(cid:89)(cid:118)(cid:52) 9
2
𝑦 −2𝑦
4
+1= +1
(cid:29)(cid:36)(cid:95)(cid:119)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:120)(cid:85)(cid:123)(cid:124)(cid:32)(cid:35) 9
(cid:122)(cid:37) (cid:37)(cid:29) 2
(cid:89)(cid:118)(cid:52)(cid:32)(cid:125)(cid:39)(cid:28)(cid:29) 𝑦 −2𝑦
(cid:102) = 13
9
2
(𝑦−1)
(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
13
(cid:20)(cid:27) (cid:27)(cid:28)(cid:29)
=±
(cid:29) 3
(y−1)
(cid:19)(cid:31) (cid:66)(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:38) (cid:90)(cid:89)(cid:56)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:129)(cid:89) y =1+ 13 (cid:56)y = 13
3 3
1 2 1−
(cid:130)(cid:131)(cid:10)(cid:132)(cid:29)(cid:36)(cid:32)(cid:92)(cid:37)(cid:96)(cid:133)(cid:3)(cid:69)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:39)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:134)(cid:56)(cid:59)(cid:103)(cid:135)(cid:32)(cid:92)(cid:104)(cid:136)(cid:52)(cid:56)(cid:105)(cid:106)(cid:113)(cid:82)(cid:29)(cid:36)(cid:107)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:79)(cid:59)(cid:103)(cid:135)(cid:32)(cid:92)(cid:104)(cid:140)(cid:56)(cid:105)(cid:106)(cid:113)(cid:82)(cid:29)(cid:36)(cid:107)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:79)(cid:59)(cid:103)(cid:135)(cid:32)(cid:92)(cid:104)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:105)(cid:106)(cid:113)(cid:82)(cid:29)(cid:36)(cid:107)
(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57)
3. (cid:31)(cid:23)(cid:142)(cid:60)(cid:10) ± = ± + (cid:56)(cid:87)(cid:7)(cid:42)(cid:143)(cid:39) (cid:144)(cid:145)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:56)(cid:128)(cid:111) (cid:146)(cid:147)(cid:56)(cid:148) ± = ± +
2 2 2 2 2
(cid:57) (𝑎 𝑏) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑏) 𝑥 2𝑏𝑥
2
知
𝑏
识点3 一元二次方程根的判别式
1. (cid:48)(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) + + = 0)(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:37)(cid:29)(cid:108)(cid:66) + ) = (cid:56)(cid:148)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:151)
2 𝑏 2 𝑏 2 −4 2 𝑎𝑐 2
(cid:39)(cid:152)(cid:9)(cid:153)(cid:154)(cid:57) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ (𝑥 2𝑎 4𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:56)(cid:42)(cid:155) (cid:64)(cid:65)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) + + =0(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:56)(cid:115)(cid:88)(cid:111)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)“ ”(cid:160)(cid:117)(cid:94)(cid:56)(cid:102) =
𝟐 2 𝟐
(cid:57) 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ∆ ∆ 𝒃
−2.𝟒 (cid:38)𝒂𝒄(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:39)(cid:152)(cid:9)(cid:161)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)
(cid:80)1(cid:162) > (cid:32)∆(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:79)
教(cid:80)2(cid:162)∆=0⟺(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:79)
辅
资
源
，
(cid:80)3(cid:162)∆<0⟺(cid:32)(cid:33)(cid:34)关(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57)
注
公
众
号
∆ 0⟺ ★ 全
科
A
A
+3. (cid:163)(cid:111)
(cid:80)1(cid:162)(cid:137)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:40)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:38)(cid:60)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:112)(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:52)(cid:39)(cid:165)(cid:49)(cid:166)(cid:167)(cid:57)
知识点4 公式法解一元二次方程
±
1. (cid:132) 0(cid:85)(cid:56)(cid:29)(cid:36) + + = 0)(cid:115)(cid:116)(cid:37)(cid:29)(cid:56)(cid:168)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:108)(cid:169)(cid:55) = (cid:39)(cid:78)(cid:42)(cid:56)(cid:113)(cid:82)(cid:42)(cid:155)
𝟐
2 −𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
(cid:64)(cid:65)(cid:32)∆(cid:33)≥(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) 𝑎𝑥+ 𝑏+𝑥 =𝑐 0(cid:39)0((cid:112)𝑎(cid:38)≠(cid:7)(cid:42)(cid:57)(cid:75)(cid:170)(cid:118)(cid:52)(cid:25)(cid:26)(cid:146)(cid:171)(cid:112)(cid:38)(cid:7)𝒙(cid:42)(cid:56)(cid:113)(cid:114)𝟐𝒂(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)
2
(cid:64)(cid:65)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:57) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
>0 (cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38) = ±
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
∆ 𝑥 2𝑎
=0 (cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38) = =
𝑏
∆ 𝑥1 𝑥2 −2𝑎
<0 (cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:52)(cid:38)
2. (cid:110)∆(cid:111)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:32)(cid:67)(cid:73)(cid:74)
(cid:80)1(cid:162)(cid:87)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)(cid:32)(cid:67)(cid:78)(cid:42)(cid:56)(cid:172)(cid:154)a(cid:56)b(cid:56)c(cid:39)(cid:49)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:112)(cid:126) = (cid:39)(cid:49)(cid:79)
2
∆ 𝑏 −4𝑎𝑐 ±
(cid:80)3(cid:162)(cid:173) 0(cid:56)(cid:148)(cid:75)a(cid:56)b(cid:56)c(cid:39)(cid:49)(cid:146)(cid:174)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42) = (cid:112)(cid:126)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:38)(cid:56)(cid:173) <0(cid:56)(cid:148)(cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57)
𝟐
−𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥ 𝒙 𝟐𝒂 ∆
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. (cid:86)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:56)(cid:175)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:35)(cid:42)(cid:39)(cid:176)(cid:177)(cid:139)(cid:69)0(cid:39)(cid:78)(cid:42)(cid:56)(cid:93)(cid:175)(cid:113)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:35)(cid:42)(cid:44)(cid:41)(cid:139)(cid:69)0(cid:56)(cid:178)
(cid:179)(cid:71)(cid:180)(cid:72)(cid:35)(cid:56)(cid:113)(cid:114)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:30)(cid:57)
2. (cid:181)(cid:127)(cid:111)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:30)(cid:112)(cid:31)(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:78)(cid:42)
教
辅
资
3. (cid:110)(cid:111)(cid:43)(cid:42)源(cid:44)(cid:31)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:32)(cid:67)(cid:73)(cid:74)
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
(cid:20)(cid:31) (cid:169)(cid:126)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:31)
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)1(cid:22)(cid:173)(cid:29)(cid:36)(x﹣4)2(cid:182)a(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:31)(cid:56)(cid:148)a(cid:39)(cid:165)(cid:49)(cid:166)(cid:167)(cid:104)( )
A(cid:57)a≤0 B(cid:57)a≥0 C(cid:57)a(cid:183)0 D(cid:57)a(cid:184)0
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)B
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:188)(cid:134)(cid:38)(cid:60)(cid:34)(cid:35)(cid:38)(cid:42)(cid:39)(cid:189)(cid:27)(cid:29)(cid:52)(cid:39)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:190)(cid:126)(cid:3)(cid:69)a(cid:39)(cid:137)(cid:139)(cid:42)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:188)
(cid:134)(cid:112)(cid:66)a(cid:39)(cid:165)(cid:49)(cid:166)(cid:167)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22) (cid:29)(cid:36)(x﹣4)2(cid:182)a(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:31)(cid:56)
x﹣4(cid:182)±∵a(cid:56)
∴a≥0(cid:56)
∴(cid:192)(cid:193)B(cid:57)
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)--(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:112)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:39)(cid:129)(cid:24)(cid:97)(cid:10)x2=a
(cid:80)a≥0(cid:162)(cid:79)ax2=b(cid:80)a(cid:56)b(cid:120)(cid:9)(cid:199)a≠0(cid:162)(cid:79)(cid:80)x+a(cid:162)2=b(cid:80)b≥0(cid:162)(cid:79)a(cid:80)x+b(cid:162)2=c(cid:80)a(cid:56)c(cid:120)(cid:9)(cid:199)a≠0(cid:162)(cid:57)(cid:30)(cid:148)(cid:10)(cid:200)(cid:87)
(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)“(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:91)(cid:88)(cid:52)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:118)(cid:52)(cid:76)(cid:55)1(cid:56)(cid:93)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:165)(cid:136)(cid:51)(cid:56)(cid:44)(cid:27)(cid:112)(cid:66)(cid:29)(cid:36)(cid:31)”(cid:57)(cid:31)(cid:185)(cid:201)(cid:23)(cid:85)(cid:56)(cid:202)(cid:110)(cid:111)(cid:133)
(cid:34)(cid:35)(cid:38)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:62)(cid:39)(cid:203)(cid:204)(cid:113)(cid:32)(cid:99)(cid:205)(cid:194)(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)1-1(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:211)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:10)( ) =( ) (cid:57)
2 2
1 3𝑥−1 𝑥−1
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) =0(cid:56) = (cid:57)
2
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)𝑥(cid:196) 1 (cid:23)(cid:197)(cid:198)𝑥(cid:111) 2 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:57)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:112)(cid:31)(cid:108)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)( ) =( ) (cid:56)
2 2
(cid:27)(cid:29)(cid:66) =±3𝑥(−1 )(cid:56) 𝑥−1
3=𝑥−1 (cid:77) 𝑥−1= +1(cid:56)
∴3𝑥−1 𝑥−1 13𝑥−1 −𝑥
教=0(cid:56) = (cid:57)
辅 2
资
源
∴(cid:15)𝑥(cid:206) 1 (cid:42)1-2 𝑥(cid:22) 2 (cid:78)(cid:59) ， + 关 )注= 0)(cid:39)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:94)(cid:39)(cid:38)(cid:104)(cid:80) (cid:162)
公
众
2 号 ★
A(cid:57) =± (𝑥 𝑚B(cid:57) =𝑛±(𝑛≥+ 全C(cid:57) 科=± D(cid:57) = ±
A
A
+
𝑥 𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥 𝑛−𝑚 𝑥 −𝑚 𝑛(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)D
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:43)(cid:55)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:95)(cid:92)(cid:104)(cid:32)(cid:82)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:56)(cid:199)(cid:189)(cid:27)(cid:29)(cid:52)n≥0(cid:56)(cid:218)(cid:109)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:52)(cid:39)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:112)(cid:31)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:43)(cid:55)n≥0(cid:56)(cid:27)(cid:29)(cid:66)x(cid:219)m(cid:182)± n(cid:56)
(cid:90)(cid:89)(cid:66)(cid:10)x(cid:182)−m± n(cid:57)
(cid:192)(cid:193)D(cid:57)
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:220)(cid:200)(cid:221)(cid:111)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:56)(cid:226)(cid:87)(cid:189)(cid:27)(cid:29)(cid:52)(cid:144)(cid:96)(cid:222)(cid:223)(cid:56)(cid:199)(cid:200)(cid:4)(cid:61)n(cid:55)(cid:136)(cid:52)(cid:56)(cid:109)(cid:175)(cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:31)(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)1-3(cid:22)(cid:80)2025·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:34)(cid:231)(cid:162)(cid:232)(cid:154)(cid:62)(cid:10) = (cid:57)(cid:173)( ) 3=1(cid:56)(cid:148) (cid:39)(cid:49)(cid:55) (cid:57)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)3(cid:77) 𝑎⊗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗ 𝑥
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)−(cid:197)1(cid:198)(cid:133)(cid:232)(cid:154)(cid:62)(cid:221)(cid:53)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:38)(cid:60)(cid:23)(cid:61)(cid:66)(cid:83)( ) =1(cid:56)(cid:102)( ) =4(cid:56)(cid:66)(cid:83) =±2(cid:56)(cid:112)(cid:126) =3(cid:77) = (cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:66)(cid:83)(cid:185)(cid:186)(cid:57)
2 2
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) 𝑥−(cid:232)1(cid:154)(cid:62)−3(cid:10) =𝑥−1 (cid:56)( ) 𝑥3−=11(cid:56) 𝑥 𝑥 −1
2
( ) ∵=1(cid:56)(cid:102)( 𝑎⊗) 𝑏=4(cid:56)𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗
2 2
∴ 𝑥−1=±−32(cid:56) 𝑥−1
(cid:31)∴(cid:66)𝑥(cid:10)−1 =3(cid:77) = (cid:56)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:55)(cid:10)3(cid:77)𝑥 (cid:57)−1
−1
【题型2 配方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)2(cid:22)(cid:80)2025·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:241)(cid:52)(cid:11)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:39)(cid:20)(cid:174)(cid:109)(cid:26)(cid:246)(cid:39)(cid:29)(cid:42)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:247)(cid:174)(cid:51)(cid:248)
(cid:100)(cid:96)(cid:32)(cid:82)(cid:73)(cid:74)(cid:80)(cid:59)(cid:249)(cid:162)(cid:56)(cid:250)(cid:251)(cid:144)(cid:134)(cid:56)(cid:252)(cid:180)(cid:253)(cid:134)(cid:254)(cid:103)(cid:104)(cid:255)(cid:256)(cid:39)(cid:56)(cid:128)(cid:257)(cid:10)“(cid:255)(cid:256)(cid:104)(cid:178)(cid:241)(cid:258)(cid:120)(cid:11)(cid:51)(cid:248)(cid:39)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:259)(cid:126)
(cid:180)(cid:39)(cid:57)”(cid:148)(cid:113)(cid:258)(cid:120)(cid:11)(cid:104)(cid:80) (cid:162)
A(cid:57)(cid:260) B(cid:57)(cid:261) C(cid:57)(cid:262) D(cid:57)(cid:263)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)B
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:86)(cid:87)2 + =0(cid:264)(cid:265)(cid:90)(cid:89)(cid:56)(cid:93)(cid:87)(cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:118)(cid:52)(cid:76)1(cid:56)(cid:188)(cid:134)
2
(cid:37)(cid:29)(cid:56)(cid:93)(cid:31)(cid:126) (cid:39)(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:145)(cid:185)(cid:57) 𝑥 4𝑥−1
教
(cid:15)(cid:191)辅(cid:31)(cid:22)资(cid:31)(cid:10)𝑥(cid:142)(cid:23)(cid:61)(cid:56)2 + =0(cid:56)
源
，
关2
注
(cid:90)(cid:89)(cid:66)2 + =1(cid:56) 𝑥 公4𝑥−1
众
号
2 ★ 全
(cid:222)(cid:266)(cid:66) 𝑥 + 4𝑥 = 1 (cid:56) 科 A A
2 +
2
𝑥 2𝑥3
+ +1=
2
2
∴𝑥 2𝑥
3
( +1) = (cid:56)
2
2
∴ 𝑥
+1=± 3 =± 6
2 2
∴𝑥
= 6 = 6 (cid:57)
2 2
(cid:267)∴𝑥(cid:268) 1 (cid:109)(cid:269)−(cid:48)1(cid:270),𝑥2 (cid:56)(cid:66)−(cid:126)(cid:255)−(cid:256)1 (cid:104)(cid:178)(cid:261)(cid:120)(cid:11)(cid:51)(cid:248)(cid:39)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:259)(cid:126)(cid:180)(cid:39)(cid:56)
(cid:192)(cid:193)(cid:10)B
(cid:15)(cid:206)(cid:42)2-1(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:271)(cid:240)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36) + +3=0(cid:85)(cid:56)(cid:173)(cid:75)(cid:29)(cid:36)(cid:206)(cid:78)(cid:55)
2
( + ) = (cid:56)(cid:148) =(cid:80) (cid:162) 𝑥 8𝑥
2
𝑥 A𝑝(cid:57)9 𝑞 𝑞−𝑝 B(cid:57)17 C(cid:57)13 D(cid:57)5
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)A
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:73)(cid:74)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:79)
(cid:86)(cid:75)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:29)(cid:66)(cid:83)( +4) =13(cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:66)(cid:126)p(cid:119)q(cid:39)(cid:49)(cid:56)(cid:264)(cid:179)(cid:108)(cid:66)(cid:185)(cid:186).
2
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:29)(cid:36) +𝑥 +3=0(cid:102)(cid:55) + = (cid:56)
2 2
(cid:218)(cid:109) + +16=𝑥 8+𝑥16=13(cid:56) 𝑥 8𝑥 −3
2
(cid:102)( 𝑥+4)8𝑥=13(cid:56) −3
2
=𝑥 =13(cid:56)
∴𝑝 4=,𝑞 =9(cid:79)
∴(cid:192)𝑞(cid:193)−𝑝(cid:10)A.13−4
(cid:15)(cid:206)(cid:42)2-2(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:273)(cid:274)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:10)
(1) +12=0(cid:57)
2
(2)𝑥4 −8𝑥 +2=0(cid:79)
2
(cid:15)(cid:185)𝑥(cid:186)−(cid:22)7(𝑥1) =6(cid:56) =2(cid:57)
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)𝑥1(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:32)𝑥2(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:56)(cid:38)(cid:60)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:104)(cid:31)
(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(1) +12=0
教
辅 资 2
+4 源= ， 𝑥 −+84𝑥
关
注
2 2 2 公
𝑥( −8)𝑥 =4 −12 众 号
★
全
2 科 A
𝑥−4=±2 A +
𝑥−4=2(cid:77) =
𝑥−4=6(cid:56)𝑥−=42(cid:57)−2
(cid:10)∴𝑥(12)4 𝑥2 +2=0(cid:56)
2
4 𝑥=−7𝑥
2
𝑥 −77𝑥
=
−1
(cid:56)
2
4 2
2
𝑥 − 𝑥 −
(cid:37)(cid:29)(cid:66) 7 + 7 7 = 1 (cid:56)
4 8 2 8 2 2
2
𝑥 − 𝑥 − −
7 49 1
=
8 2 64 2
∴ 𝑥− − −
7 17
=
8 2 64
∴ 𝑥−
7 =± 17 (cid:56)
8 8
∴𝑥−
7 17 17
x = (cid:56)x = (cid:57)
8 8
+ 7−
(cid:15)∴ (cid:206) 1 (cid:42)2-3(cid:22)(cid:80)2 2 4-25(cid:275)(cid:208)(cid:209)(cid:124)·(cid:276)(cid:238)(cid:238)(cid:240)·(cid:272)(cid:277)(cid:162)(cid:210)(cid:278)(cid:104)(cid:244)(cid:279)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:116)(cid:36)(cid:56)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:128)(cid:100)(cid:96)(cid:138)(cid:163)
(cid:39)(cid:285)(cid:286)(cid:57)
(cid:31)(cid:10)3 + =0
2
(cid:34)(cid:35)(cid:89)𝑥(cid:118)(cid:52)1(cid:76)2𝑥(cid:55)−61(cid:56)(cid:66) + =0 ……………………(cid:287)(cid:32)(cid:73)
2
(cid:90)(cid:89)(cid:56)(cid:66) + =2(cid:57)𝑥……4…𝑥−…2…………(cid:287)(cid:34)(cid:73)
2
(cid:37)(cid:29)(cid:56)(cid:66)𝑥 +4𝑥+4=2+4(cid:56)(cid:102) +2) =6(cid:57)……………………(cid:287)(cid:122)(cid:73)
2 2
(cid:151)(cid:288)(cid:56)(cid:108)(cid:66)𝑥 +4𝑥2= 6(cid:57)…………(…𝑥 ………(cid:287)(cid:20)(cid:73)
(cid:218)(cid:109)(cid:56) = 𝑥 + 6……………………(cid:287)(cid:19)(cid:73)
(cid:285)(cid:286)(cid:32)𝑥(cid:119)(cid:289)−(cid:290)2(cid:10)
“(cid:287)(cid:34)(cid:73)”(cid:206)(cid:78)(cid:39)(cid:52)(cid:11)(cid:142)(cid:60)(cid:104) (cid:79)(cid:80)(cid:111)(cid:291)(cid:158)(cid:292)(cid:293)(cid:289)(cid:290)(cid:162)
①(cid:244)(cid:279)(cid:120)(cid:11)(cid:113)(cid:114)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:168)(cid:143)(cid:287)(cid:122)(cid:73)(cid:37)(cid:29)(cid:85)(cid:111)(cid:83)(cid:39)(cid:52)(cid:11)(cid:7)(cid:42)(cid:104) (cid:79)(cid:80)(cid:111)(cid:52)(cid:11)(cid:152)(cid:9)
②(cid:292)(cid:293)(cid:289)(cid:290)(cid:162)
(cid:244)(cid:279)(cid:120)(cid:11)(cid:39)(cid:31)(cid:23)(cid:116)(cid:36)(cid:143)(cid:56)(cid:178)(cid:287) (cid:73)(cid:27)(cid:259)(cid:126)(cid:180)(cid:255)(cid:256)(cid:56)(cid:255)(cid:256)(cid:39)(cid:84)(cid:43)(cid:104) (cid:57)
③(cid:285)(cid:286)(cid:34)(cid:119)(cid:280)(cid:294)(cid:295)(cid:221)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:10)4 =0(cid:57)
教 2
(cid:15)(cid:185)辅(cid:186)(cid:22)资(cid:285)(cid:286)(cid:32)(cid:10) (cid:139)(cid:42)(cid:39)(cid:296)(cid:196)(cid:297)(cid:298)(cid:79) +𝑥 −+12𝑥−=2 ( + ) (cid:79) (cid:20)(cid:79)(cid:141)(cid:97)(cid:136)(cid:172)(cid:221)(cid:111)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:61)(cid:62)
源
，
关 2 2 2
注
(cid:285)(cid:286)(cid:34)(cid:10) = 3 + ①11 (cid:56) = 公3 1众1 ②𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ③
2 2 2 2 号 ★
全
科
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)𝑥(cid:196) 1 (cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:139)(cid:42)(cid:39)𝑥2 (cid:297)(cid:298)−(cid:56)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:56)(cid:28)(cid:29)(cid:38) A (cid:61)A(cid:62)(cid:56)+(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:139)(cid:57)(cid:285)(cid:286)(cid:32)(cid:10) (cid:110)(cid:111)(cid:139)(cid:42)(cid:39)(cid:296)(cid:196)(cid:297)(cid:298)(cid:145)(cid:185)(cid:102)(cid:108)(cid:79) (cid:110)(cid:111)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:145)(cid:185)(cid:102)(cid:108)(cid:79) (cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:61)(cid:62)(cid:145)(cid:185)(cid:102)(cid:108)(cid:79)
(cid:285)(cid:286)(cid:34)(cid:10)(cid:37)①(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:57) ② ③
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:285)(cid:286)(cid:32)(cid:10) (cid:139)(cid:42)(cid:39)(cid:296)(cid:196)(cid:297)(cid:298)(cid:79)(cid:77)(cid:289) (cid:139)(cid:42)(cid:81)(cid:92)(cid:120)(cid:85)(cid:123)(cid:124)(cid:80)(cid:77)(cid:299)(cid:300)(cid:162)(cid:120)(cid:32)(cid:82)(cid:222)(cid:42)(cid:56)(cid:218)(cid:66)(cid:254)(cid:103)(cid:301)(cid:104)
(cid:139)(cid:42) ①
+ + =( + ) (cid:56)
2 2 2
②𝑎 (cid:20)(cid:56)2(cid:141)𝑎𝑏(cid:97)(cid:136)𝑏(cid:172)(cid:221)(cid:111)𝑎 (cid:28)𝑏(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:79)
③(cid:285)(cid:286)(cid:34)(cid:10)(cid:31)(cid:10)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:108)(cid:76)(cid:55)(cid:10)4 =0(cid:56)
2
(cid:37)(cid:29)(cid:66)(cid:10) + 3 = 1 + 9 (cid:56) 𝑥 − (cid:102) 1 2𝑥−23 = 11 (cid:56)
2 2 2 4 2 2 4
2
𝑥 −3𝑥 𝑥−
3 =± 11 (cid:56)
2 4
∴𝑥−
= 3 + 11 (cid:77) = 3 11 (cid:57)
2 2 2 2
∴𝑥1 𝑥2 −
【题型3 根的判别式】
(cid:15)(cid:58)3(cid:22)(cid:80)2025·(cid:276)(cid:274)(cid:302)(cid:303)·(cid:231)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:162)(cid:307)(cid:99)(cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) ( + ) + =0(cid:56)(cid:168)(cid:143) (cid:308)(cid:52)(cid:309)(cid:124)
2
(cid:39)(cid:48)(cid:163)(cid:194)(cid:59)(cid:249)(cid:218)(cid:117)(cid:56)(cid:148)(cid:113)(cid:82)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:104)(cid:80)𝑥 (cid:162) 𝑥 − 𝑚 𝑛 𝑥 𝑚𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:57)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38) B(cid:57)(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)
C(cid:57)(cid:81)(cid:38)(cid:310)(cid:311)(cid:244)(cid:69)0 D(cid:57)(cid:81)(cid:38)(cid:310)(cid:177)(cid:312)(cid:69)0
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)C
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:38)(cid:161)(cid:118)(cid:52)(cid:39)(cid:3)(cid:118)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:104)(cid:31)(cid:153)
(cid:288)(cid:129)(cid:313)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)(cid:38)(cid:60)(cid:52)(cid:309)(cid:124)(cid:160)(cid:117)(cid:39)(cid:194)(cid:39)(cid:49)(cid:311)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42) =( + ) (cid:56)(cid:40)(cid:154)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
2
(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)(cid:254)(cid:127) + = + <0(cid:56) = <0(cid:108)(cid:66)(cid:185)Δ(cid:186)(cid:57)𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)𝑥(cid:151)1(cid:52)(cid:309)𝑥2(cid:144)(cid:126)𝑚 <𝑛0(cid:56) >𝑥10𝑥(cid:56)2| 𝑚|>𝑛| |(cid:56)
( + ) + =0(cid:104)𝑚(cid:3)(cid:69)x𝑛(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)𝑚(cid:35)(cid:29)(cid:36)𝑛(cid:56)
2
∵𝑥 =−(𝑚 +𝑛)𝑥 𝑚𝑛(cid:56) + = + <0(cid:56) = <0(cid:56)
2
∴Δ <0𝑚(cid:56) 𝑛>0−(cid:56)4𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑛 𝑥1𝑥2 𝑚𝑛
∵𝑚 >𝑛0
教
辅
资
∴−4=𝑚(𝑛 + 源) ，>0(cid:56)
关
注
2 公
∴(cid:84)Δ (cid:29)(cid:36)𝑚(cid:97)(cid:81)𝑛(cid:82)−(cid:137)4(cid:138)𝑚𝑛(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57)众 号
★
全
科
A
∴A(cid:56)B(cid:56)D(cid:137)(cid:152)(cid:127)(cid:23)(cid:61)(cid:56)C(cid:152)(cid:127)(cid:23)(cid:61) A +
∴(cid:192)(cid:193)(cid:10)C(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)3-1(cid:22)(cid:173)(cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:29)(cid:36)3 + =0(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)(cid:148) (cid:39)(cid:165)(cid:49)(cid:166)(cid:167)(cid:104)(cid:80) (cid:162)
2
A(cid:57) > 25 𝑥 B(cid:57) < 𝑥2−55𝑥 𝑎 C(cid:57) 25 𝑎 D(cid:57) 25
12 12 12 12
𝑎 𝑎 𝑎≤ 𝑎≥
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)A
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:39)(cid:104)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:38)(cid:60)(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:66)(cid:83) =( ) × <0(cid:56)(cid:31)(cid:137)(cid:139)(cid:42)(cid:102)
2
(cid:108)(cid:57) Δ −5 −4 3𝑎
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) (cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:29)(cid:36)3 + =0(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)
2
=( ) ∵× 𝑥<0(cid:56) 𝑥 −5𝑥 𝑎
2
∴Δ −525 −4 3𝑎
(cid:31)(cid:66) > (cid:56)
12
(cid:192)(cid:193)𝑎(cid:10)A
(cid:15)(cid:206)(cid:42)3-2(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:314)(cid:315)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:307)(cid:99)(cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) +( +1) + =0(cid:57)
2
(1)(cid:112)(cid:316)(cid:10)(cid:70)(cid:317) (cid:165)(cid:318)(cid:49)(cid:56)(cid:288)(cid:29)(cid:36)(cid:319)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)𝑥(cid:57) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚
(2)(cid:132)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:32)(cid:82)𝑚(cid:38)(cid:104)1(cid:85)(cid:56)(cid:112) (cid:39)(cid:49)(cid:57)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)(1)(cid:316)(cid:279)(cid:320)(cid:31)(cid:187) 𝑚
2
(2) =
3
𝑚 −
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:56)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:110)(cid:111)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:29)(cid:36)(cid:31)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:80)1(cid:162)(cid:110)(cid:111)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:154)(cid:102)(cid:108)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:75) =1(cid:146)(cid:171) +( +1) + =0(cid:56)(cid:112)(cid:31)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
2
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)𝑥(cid:80)1(cid:162)(cid:31)(cid:10)𝑥 =2(𝑚 +1𝑥) 𝑚
2
=4 + + ∵Δ 2𝑚 −4𝑚
2
=4𝑚 +41𝑚>0(cid:56)1−4𝑚
2
(cid:70)(cid:317)𝑚 (cid:165)(cid:318)(cid:49)(cid:56)(cid:288)(cid:29)(cid:36)(cid:319)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:79)
(cid:80)∴ 2(cid:162)(cid:31)𝑚(cid:10)(cid:75) =1(cid:146)(cid:171) +( +1) + =0(cid:56)
2
(cid:66)1 +( +𝑥1)+ =𝑥0(cid:56) 2𝑚 𝑥 𝑚
教2
(cid:31)(cid:66)
辅 (cid:10)资2
=
𝑚
源
2
(cid:57)
𝑚
3 ，
关
注
公
(cid:15)(cid:206)(cid:42)𝑚 3-3(cid:22)−(cid:80)2025·(cid:276)(cid:238)(cid:321)(cid:145)·(cid:34)(cid:231)众(cid:162)号(cid:154)(cid:62)(cid:221)(cid:53)(cid:10) ※ = + (cid:56)(cid:58)(cid:59)4※3=4 +4× ×3 (cid:56)(cid:148)
★
全
科 A2 2 2 2
(cid:137)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:40)(cid:164)(cid:29)(cid:36)( +1)※2=0(cid:39)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:104)𝑎 𝑏 (cid:57)A𝑎 +𝑎𝑏−2𝑏 3−2
𝑥(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:139)(cid:71)(cid:52)(cid:38)
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:232)(cid:154)(cid:62)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:266)(cid:31)(cid:232)(cid:154)(cid:62)(cid:39)(cid:221)(cid:53)(cid:56)(cid:66)(cid:126)(cid:29)(cid:36)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:86)(cid:110)(cid:111)(cid:232)(cid:154)(cid:62)(cid:66)(cid:83)( +1) +2( +1) ×2 =0(cid:56)(cid:93)(cid:87)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)(cid:32)(cid:67)(cid:42)(cid:56)(cid:264)(cid:179)(cid:40)(cid:164)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:152)(cid:9)(cid:56)(cid:112)(cid:31)(cid:102)
2 2
(cid:108)(cid:57) 𝑥 𝑥 −2
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) ( +1)※2=0(cid:56)
( +1) +2∵( 𝑥+1) ×2 =0(cid:56)
2 2
(cid:102)∴ 𝑥 + =𝑥0(cid:56) −2
2
𝑥= 4𝑥=−5 =
∵𝑎 =1,𝑏 4,𝑐=1−65+20=36>0
2
∴(cid:29)Δ (cid:36)𝑏( −+41𝑎)𝑐※2=0(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:139)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)
(cid:192)∴ (cid:185)(cid:186)𝑥(cid:55)(cid:10)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:139)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57)
【题型4 公式法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)4(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:273)(cid:274)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:308)(cid:111)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:112)(cid:241)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:38)(cid:85)(cid:56)(cid:66)(cid:83) =
5± ( ) ×2×( ) 𝑥
(cid:56)(cid:148)(cid:201)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:108)(cid:322)(cid:55)(cid:80) (cid:162)
22×2
−5 −4 −1
A(cid:57)2 + =0 B(cid:57)2 =0
2 2
C(cid:57) 𝑥 5𝑥−+1 1=0 D(cid:57)5𝑥 −5𝑥−1 =0
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)−2B𝑥 −5𝑥 𝑥 −2𝑥−1
±
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:56)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:38)(cid:60)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42) = (cid:56)(cid:48)(cid:270)(cid:307)(cid:99)(cid:42)(cid:155)
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:172)(cid:154)a(cid:56)b(cid:56) (cid:39)(cid:49)(cid:57) 𝑥 2𝑎
𝑐 5± ×2×
(cid:115)(cid:116)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42) = (cid:56)(cid:44)(cid:187)(cid:126)a(cid:56)b(cid:56) (cid:57)
22×2
(−5) −4 (−1)
𝑥 𝑐
± 5± ×2×
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:55) = (cid:56)(cid:307)(cid:99) = (cid:56)
2 22×2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐 (−5) −4 (−1)
(cid:151) =2×2(cid:56)(cid:108)(cid:66) =2(cid:56) 𝑥 2𝑎 𝑥
(cid:151)2𝑎 =5(cid:56)(cid:108)(cid:66) =𝑎 (cid:56)
(cid:151)−𝑏 =4×2×𝑏 −(cid:56)5(cid:108)(cid:66) = (cid:56)
教(cid:75)4𝑎=𝑐 2(cid:56) = ((cid:56)−1)= (cid:146)𝑐(cid:171)(cid:32)−(cid:33)1(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) + + =0(cid:56)
辅
资
源 2
，
(cid:66)𝑎(cid:83)2 𝑏 −5=0𝑐(cid:56)关(cid:48)−(cid:163)1(cid:193)(cid:89)B(cid:57) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
注
公
2 众 号
(cid:192)(cid:193)(cid:10)𝑥B−(cid:57)5𝑥−1 ★ 全
科
A
A
+(cid:15)(cid:206)(cid:42)4-1(cid:22)(cid:111)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:10)( )( )=0(cid:57)
𝑥−2 3𝑥−5
(cid:31)(cid:10)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)3 +10=0(cid:57)
2
= = 𝑥(cid:56)−11=𝑥10(cid:57)
𝑎 =3,𝑏 = 𝑐 ×3×10=1>0(cid:57)
2
(cid:29)Δ (cid:36)𝑏 − 4 𝑎𝑐 (cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:57) −4
= = (cid:56)
𝑥 5
(cid:102) = (cid:56) = (cid:57)
3
𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) (cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39) ( )± 1 11±1 2
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:38)(cid:60)(cid:7)−(cid:42)11(cid:30)(cid:31)(cid:32)((cid:33)−(cid:34)11(cid:35)) (cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:73)(cid:74)(cid:112)(cid:31)(cid:102)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)3 +10=0(cid:57)
2
=3(cid:56) = (cid:56) =10𝑥(cid:57)−11𝑥
𝑎 = 𝑏 −=11 ( 𝑐 ) ×3×10=1>0(cid:57)
2 2
Δ(cid:29)(cid:36)𝑏(cid:97)−(cid:81)4(cid:82)𝑎𝑐(cid:137)(cid:138)(cid:139)−(cid:39)11(cid:71)(cid:52)−4(cid:38)(cid:57)
= ( )± 1 = 11±1 (cid:56)
2×3 6
− −11
𝑥
5
(cid:102) =2(cid:56) = (cid:57)
3
𝑥1 𝑥2
( )± 1 11±1
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:10) (cid:79) (cid:79)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:39)(cid:79) (cid:79) (cid:79)2(cid:57)
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:22)(cid:196)−(cid:23)1(cid:197)1(cid:198)((cid:7)−(cid:42)11(cid:30)) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:73)(cid:74)(cid:104)(cid:31)(cid:185)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)4-2(cid:22)(cid:307)(cid:99) = (cid:80) 0(cid:162)(cid:56)(cid:148)(cid:42)(cid:155) + + (cid:39)(cid:49)(cid:104) (cid:57)
22
−𝑏+ 𝑏 −4𝑐 2 2
教
(cid:15)(cid:185)辅(cid:186)(cid:22)资0 𝑥 𝑏 −4𝑐≥ 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
源
，
关
注
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)公(cid:36)(cid:39)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:56)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:233)(cid:216)(cid:221)(cid:111)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:56)(cid:196)(cid:23)(cid:323)(cid:69)
众
号
★
全
(cid:296)(cid:324)(cid:23)(cid:24)(cid:56)(cid:38)(cid:60)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:102)(cid:108)(cid:112)(cid:126)科(cid:185)(cid:186)(cid:57)
A
A
+(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:112)(cid:38)(cid:7)(cid:42)(cid:108)(cid:99)(cid:10) + + =0(cid:39)(cid:168)(cid:143)(cid:32)(cid:82)(cid:31)(cid:55) = (cid:56)
22
2 −𝑏+ 𝑏 −4𝑐
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:10)0(cid:57) 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:15)(cid:206)(cid:42)4-3(cid:22)(cid:111)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:10)
(1) = (cid:79)
2
(2)−23𝑥 1−𝑥=0(cid:57)
2
(cid:15)(cid:185) 𝑥 (cid:186) − (cid:22) 4 ( 𝑥 1 − ) 3 =3 13, = 13
2 2
+ 3−
𝑥1 𝑥2
(2) =2 10, = 10
2 2
+ 2−
(cid:15)(cid:44)𝑥1 (cid:187)(cid:22)(cid:80)1(cid:162)𝑥2
(cid:86)(cid:53)(cid:126) = =13(cid:56)(cid:93)(cid:146)(cid:171)(cid:7)(cid:42)(cid:264)(cid:265)(cid:325)(cid:53)(cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:66)(cid:83)(cid:185)(cid:186)(cid:79)
2
(cid:80)2(cid:162)(cid:86)(cid:53)(cid:126) = Δ =𝑏4−0(cid:56)4𝑎(cid:93)𝑐 (cid:146)(cid:171)(cid:7)(cid:42)(cid:264)(cid:265)(cid:325)(cid:53)(cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:66)(cid:83)(cid:185)(cid:186)(cid:79)
2
(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:7)Δ(cid:42)(cid:30)𝑏(cid:31)−(cid:32)4𝑎(cid:33)𝑐(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:136)(cid:172)(cid:234)(cid:235)(cid:138)(cid:3)(cid:297)(cid:298)(cid:326)(cid:327)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:80)1(cid:162)(cid:31)(cid:10) = (cid:56)
2
=0(cid:56) ∵−3𝑥 1−𝑥
2
∴𝑥 =−3𝑥−1 = ×1×( )=13(cid:56)
2
∴Δ =3±𝑏 1−34
=
𝑎𝑐3± 193−
(cid:56)
4 −1
2×1 2
∴𝑥
=3 13, = 13 (cid:79)
2 2
+ 3−
∴(cid:80)𝑥 2 1 (cid:162)(cid:31)(cid:10) 2 𝑥2 =0(cid:56)
2
= ∵ 𝑥 =−4𝑥−3 ×2×( )=40(cid:56)
2
∴Δ =4±𝑏 4−04
=
𝑎𝑐2± 1106
(cid:56)
−4 −3
2×2 2
∴𝑥
=2 10, = 10
2 2
+ 2−
∴𝑥1 𝑥2
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)5(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:328)(cid:246)(cid:315)(cid:329)(cid:330)(cid:331)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:173)(cid:29)(cid:36) +12=0(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:38)(cid:332)(cid:333)(cid:104)(cid:139)(cid:334) (cid:39)(cid:81)(cid:203)
2
(cid:92)(cid:335)(cid:56)(cid:148) (cid:39)(cid:336)(cid:335)(cid:55)(cid:80) (cid:162)(cid:57) 𝑥 −8𝑥 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:57)10△𝐴𝐵𝐶 B(cid:57)14 C(cid:57)10(cid:77)14 D(cid:57)8(cid:77)10
教(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)B
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)本题考查了关等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得 =2， =6，然后根
注
公
众
号
据三角形三边的关系得到 的腰为6，★底全边为2，再计算三角形的周长，进行分𝑥1类讨论𝑥是2解题的关键(cid:57)
科
A
A
+
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) +12=0，
2
解得 =2，𝑥 −=86𝑥，
因为𝑥这1个方程𝑥的2两个根恰好是等腰 的两条边长，
当 的腰为6，底边为2，则△𝐴𝐵𝐶 的周长为6+6+2=14；
①当△𝐴𝐵𝐶的腰为2，底边为6时，△不能𝐴𝐵构𝐶成三角形．
②综上所△述𝐴，𝐵𝐶该三角形的周长的14．
故选：B．
(cid:15)(cid:206)(cid:42)5-1(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:314)(cid:315)(cid:337)(cid:338)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:31)(cid:29)(cid:36)
(1) =0
2
(2)𝑥 −4𝑥−=5
2
(cid:15)(cid:185)(𝑥(cid:186)−4(cid:22))(1) 10=(𝑥5−(cid:56)4) = (cid:56)
(2) =4(cid:56)𝑥1=14 𝑥2 −1
(cid:15)(cid:44)𝑥1(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)𝑥2(cid:197)(cid:198)(cid:39)(cid:104)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:79)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:42)(cid:30)(cid:161)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:104)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:80)1(cid:162)(cid:110)(cid:111)(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:44)(cid:31)(cid:43)(cid:42)(cid:55)( )[( ) ]=0(cid:56)(cid:93)(cid:76)(cid:55)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:93)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:80)1(cid:162)(cid:31)(cid:10)𝑥−(4 )𝑥(−4+−1)10=0(cid:56)
(cid:31)(cid:66)(cid:10) =5(cid:56) =𝑥−5(cid:79)𝑥
(cid:80)2(cid:162)(cid:31)𝑥(cid:10)1 (cid:222)(cid:266)(cid:56)𝑥2(cid:66)(cid:10)−(1 ) ( )=0(cid:56)
2
(cid:43)(cid:42)(cid:44)(cid:31)(cid:56)(cid:66)(cid:10)( )[𝑥(−4 )−10]𝑥=−40(cid:56)
(cid:102)(cid:10) =0(cid:77) 𝑥−4=0𝑥(cid:56)−4 −10
(cid:31)(cid:66)𝑥(cid:10)−4 =4(cid:56)𝑥−1=414(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)𝑥51-2(cid:22)(cid:80)2𝑥0225·(cid:227)(cid:228)(cid:227)(cid:339)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:38)(cid:60)(cid:59)(cid:249)(cid:218)(cid:117)(cid:39)(cid:36)(cid:340)(cid:325)(cid:53)(cid:341)(cid:52) (cid:39)(cid:49)(cid:57)(cid:173)(cid:342)(cid:171) (cid:39)(cid:49)(cid:55)4(cid:56)(cid:148)(cid:342)(cid:126) (cid:39)(cid:49)
(cid:55)7(cid:57)(cid:173)(cid:342)(cid:126)(cid:39) (cid:49)(cid:55)13(cid:56)(cid:148)(cid:342)(cid:171)(cid:39) (cid:49)(cid:55) (cid:57) 𝑦 𝑥 𝑦
𝑦 𝑥
教(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) (cid:77)7/7(cid:77)
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)−(cid:196)3(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:341)关−(cid:52)3(cid:49)(cid:119)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:86)(cid:38)(cid:60)(cid:307)(cid:99)(cid:112)(cid:66)b(cid:49)(cid:56)(cid:93)(cid:151) =13(cid:44)(cid:41)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:112)(cid:66)x(cid:49)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
注
公
众
号
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) (cid:342)(cid:171) (cid:39)(cid:49)(cid:55)4(cid:56)(cid:148)(cid:342)(cid:126) (cid:39)★(cid:49)(cid:55)全7(cid:56)(cid:199)4>3(cid:56) 𝑦
科
A
A
+
∵ 𝑥 𝑦2×4+ =7(cid:56)(cid:31)(cid:66) = (cid:56)
(cid:173)∴ (cid:342)(cid:126)(cid:39)𝑏(cid:49)(cid:55)13(cid:56) 𝑏 −1
(cid:148)(cid:132) >3𝑦(cid:85)(cid:56)(cid:151) =13(cid:66) =7(cid:79)
(cid:132) <𝑥 3(cid:85)(cid:56)(cid:151) 2𝑥−+11=13(cid:66)𝑥 = (cid:56) =4(cid:80)(cid:343)(cid:300)(cid:162)(cid:56)
2
(cid:344)(cid:124)𝑥 (cid:56)(cid:173)(cid:342)(cid:126)(cid:39)𝑥 −(cid:49)𝑥(cid:55)13(cid:56)(cid:148)(cid:342)(cid:171)𝑥1(cid:39)x−(cid:49)3 (cid:55)𝑥2 (cid:77)7(cid:56)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:55)(cid:10) (cid:77)𝑦7(cid:57) −3
(cid:15)(cid:206)(cid:42)5-3(cid:22)−(cid:80)32025·(cid:315)(cid:345)(cid:88)(cid:339)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:173) =20(cid:56) =24(cid:56)(cid:148) (cid:39)(cid:49)(cid:104)(cid:80) (cid:162)
2 2
A(cid:57)±8 B(cid:57)±12 𝑎 −𝑏C(cid:57)±14𝑎𝑏 2𝑎D−(cid:57)𝑏±16
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)A
24 24
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:38)(cid:60) =24(cid:66)(cid:83) = (cid:199)a(cid:56)b(cid:120)(cid:9)(cid:56)(cid:254)(cid:127) =20(cid:66)(cid:83) =20(cid:56)(cid:222)(cid:266)(cid:134)(cid:56)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
2
2 2 2
(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:50)𝑎(cid:51)𝑏(cid:297)(cid:56)(cid:31)(cid:29)(cid:36)𝑎(cid:56)(cid:112)𝑏(cid:146)(cid:52)(cid:42)(cid:39)(cid:49)(cid:56)(cid:233)(cid:216)(cid:234)𝑎(cid:235)−(cid:31)𝑏(cid:29)(cid:36)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)𝑏(cid:3)−(cid:236)𝑏(cid:57)
24
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:151) =24(cid:66)(cid:83) = (cid:199)a(cid:56)b(cid:120)(cid:9)(cid:56)
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
=20
2 2
∵𝑎24−𝑏
=20
2
2
∴( 𝑏 ) −+𝑏20 24 =0(cid:56)
2 2 2 2
∴(𝑏 +36)(𝑏 − )=0(cid:56)
2 2
∴(cid:346)𝑏 +36 𝑏36−(cid:56)16
2
𝑏 =≥0(cid:56)
2
∴(cid:31)𝑏(cid:66)−1=6±4(cid:56)
𝑏=6 =
(cid:192) (cid:77) (cid:56)
=4 =
𝑎 𝑎 −6
(cid:132) 𝑏= =4𝑏(cid:85)(cid:56)−4 =8(cid:79)
(cid:132)𝑎=6,𝑏 = (cid:85)2(cid:56)𝑎−𝑏 = (cid:79)
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)−A6(cid:57),𝑏 −4 2𝑎−𝑏 −8
【题型6 换元法解一元二次方程】
教(cid:15)(cid:58)6(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:230)(cid:228)(cid:347)(cid:348)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:307)(cid:99)(cid:71)(cid:52) (cid:349)(cid:350)(cid:29)(cid:36)( + )( )+6=0(cid:56)(cid:148) + (cid:39)(cid:49)
辅
资
源 2 2 2
，
(cid:104) (cid:57) 关 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥
注
公
众
号
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)3 ★ 全
科
A
A
+(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:351) = + (cid:56)(cid:148)(cid:84)(cid:42)(cid:55) ( )+6=0(cid:56)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:31)(cid:185)(cid:56)(cid:4)(cid:61)(cid:29)(cid:36)
2
(cid:70)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:150)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57) 𝑡 𝑥 𝑥 𝑡 1−𝑡
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:351) = + (cid:56)
2
(cid:148)(cid:84)(cid:42)(cid:55) ( )𝑡+6𝑥=0(cid:56)𝑥
(cid:31)(cid:66) =𝑡3,1−=𝑡 (cid:56)
(cid:132) 𝑡+1 =3𝑡2(cid:85)(cid:56)−2=1 +4×1×3=13>0(cid:56)(cid:29)(cid:36)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)
2 2
(cid:132)𝑥 +𝑥= (cid:85)(cid:56)Δ =1 ×1×2= <0(cid:56)(cid:29)(cid:36)(cid:141)(cid:97)(cid:71)(cid:52)(cid:38)(cid:56)
2 2
𝑥 +𝑥 =−3(cid:56)2 Δ −4 −7
2
(cid:192)∴(cid:185)𝑥 (cid:186)(cid:55)𝑥 (cid:10)3(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)6-1(cid:22)(cid:80)24-25(cid:275)(cid:208)(cid:209)(cid:124)·(cid:211)(cid:212)(cid:271)(cid:240)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:307)(cid:99)(cid:71)(cid:52)x(cid:349)(cid:350)( + ) ( + ) =0(cid:56)(cid:148)(cid:146)
2 2 2 2 2
(cid:52)(cid:42) + +1(cid:39)(cid:49)(cid:104)(cid:80) (cid:162) 𝑎 𝑏 −4 𝑎 𝑏 −12
2 2
A𝑎(cid:57)7 𝑏 B(cid:57) C(cid:57)7(cid:77) D(cid:57) (cid:77)3
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)A −1 −1 −5
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:45)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:146)(cid:52)(cid:42)(cid:112)(cid:49)(cid:57)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:45)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:146)(cid:52)(cid:42)(cid:112)(cid:49)
(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:352) + = (cid:56) >0(cid:56)(cid:148) =0(cid:56)(cid:108)(cid:112)(cid:349)(cid:350)(cid:200)(cid:112)(cid:31)(cid:55) =6(cid:56)(cid:188)(cid:134)(cid:146)(cid:49)(cid:112)(cid:31)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
2 2 2
(cid:15)𝑎(cid:191)(cid:31)(cid:22)𝑏(cid:31)(cid:10)𝑥(cid:352)𝑥 + =𝑥(cid:56)−4𝑥>−01(cid:56)2 𝑥
2 2
=0𝑎(cid:56) 𝑏 𝑥 𝑥
2
∴(𝑥+−24)𝑥(−12)=0(cid:56)
(cid:31)𝑥(cid:66)(cid:56) 𝑥=−6 (cid:80)(cid:343)(cid:300)(cid:162)(cid:77) =6(cid:56)
+ 𝑥 +−12=6+1=7(cid:56)𝑥
2 2
∴(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)𝑏A(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)6-2(cid:22)(cid:80)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:211)(cid:353)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:29)(cid:36) ( + ) +2025=0(cid:39)(cid:31)(cid:104) = (cid:56) =2
2
(cid:80) (cid:119) (cid:119) (cid:354)(cid:55)(cid:88)(cid:52)(cid:56) 0(cid:162)(cid:57) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑘 𝑥1 −3 𝑥2
(cid:313)𝑎(cid:23)(cid:10)𝑘 𝑏 𝑎≠
(cid:80)1(cid:162)(cid:3)(cid:69) (cid:39)(cid:29)(cid:36) ( +1+ ) +2025=0(cid:39)(cid:38)(cid:104) (cid:79)
教 2
(cid:80)2辅(cid:162)(cid:3)资(cid:69)𝑥(cid:39)(cid:29)(cid:36)𝑎(𝑥 +4𝑘) +2025=0(cid:39)(cid:38)(cid:55) (cid:57)
源
，
关 2
注
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) 𝑥 =𝑎 𝑥−(cid:56)𝑘 =公1 = (cid:56) =
众
号
★
全
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)𝑥(cid:198)1 (cid:133)−(cid:31)4(cid:32)(cid:33)𝑥2(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)𝑥1(cid:234)(cid:235)−(cid:221)1(cid:111)(cid:45)𝑥科2(cid:33)(cid:30) A−(cid:31)6 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
A
+(cid:80)1(cid:162)(cid:75) +1(cid:144)(cid:145)(cid:222)(cid:223)(cid:56)(cid:151)(cid:23)(cid:61)(cid:108)(cid:99) +1= (cid:56) +1=2(cid:93)(cid:112)(cid:31)(cid:102)(cid:108)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:355)𝑥(cid:356)(cid:80)1(cid:162)(cid:325)(cid:53)(cid:102)(cid:108)(cid:57) 𝑥 −3 𝑥
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:80)1(cid:162) (cid:29)(cid:36) ( + ) +2025=0(cid:39)(cid:31)(cid:104) = (cid:56) =2(cid:56)
2
(cid:352) = +1(cid:56)(cid:148) (∵+1𝑎+𝑥) +𝑘2025=0(cid:108)(cid:76)(cid:55) ( +𝑥1 ) −+3202𝑥52=0(cid:56)
2 2
∴ 𝑐= 𝑥(cid:56) =2𝑎(cid:56)𝑥 𝑘 𝑎 𝑐 𝑘
∴𝑐1+1−=3 𝑐(cid:56) 2 +1=2(cid:56)
∴(cid:31)𝑥(cid:66)(cid:10) −=3 𝑥(cid:56) =1(cid:57)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:55)1(cid:10) −4= 𝑥2(cid:56) =1(cid:57)
(cid:80)2(cid:162)(cid:352) +𝑥41= −4(cid:56)(cid:148)𝑥2( +4) +2025=0(cid:108)(cid:76)(cid:55) ( ) +2025=0(cid:56)
2 2
(cid:102) ( +𝑥) +202−5𝑡=0(cid:56)𝑎 𝑥−𝑘 𝑎 −𝑡−𝑘
2
(cid:3)𝑎(cid:69)𝑡 x(cid:39)𝑘 (cid:29)(cid:36) ( + ) +2025=0(cid:39)(cid:31)(cid:104) = (cid:56) =2(cid:56)
2
∵ = (cid:56) =𝑎2𝑥(cid:56)(cid:102)𝑘 = = (cid:56)𝑥1 −3 𝑥2
∴𝑡1+4−=3 𝑡2+4= −(cid:56)𝑡1 3,−𝑡2 −2
(cid:31)∴𝑥(cid:66)(cid:10) 3=,𝑥 (cid:56) −=2 (cid:57)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:55)1(cid:10) −1= 𝑥2(cid:56) −6= (cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)6-3(cid:22)𝑥1(cid:80)24−-215(cid:207)𝑥2(cid:208)(cid:209)−(cid:210)6·(cid:211)(cid:212)(cid:127)(cid:357)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:283)(cid:284)(cid:161)(cid:224)(cid:197)(cid:10)
(cid:210)(cid:278)(cid:104)(cid:207)(cid:80)1(cid:162)(cid:358)(cid:11)(cid:217)(cid:244)(cid:245)(cid:359)(cid:360)(cid:297)(cid:11)(cid:217)(cid:361)(cid:362)(cid:39)(cid:363)(cid:44)(cid:326)(cid:327)(cid:56)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:128)(cid:100)(cid:96)(cid:138)(cid:163)(cid:285)(cid:286)(cid:57)(cid:359)(cid:360)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)
(cid:232)(cid:31)(cid:30)(cid:364)(cid:317)(cid:32)(cid:114)(cid:3)(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:232)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:32)(cid:365)(cid:300)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:89)(cid:56)(cid:75)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:366)(cid:76)(cid:55)(cid:108)(cid:109)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:78)(cid:42)(cid:56)
(cid:75)(cid:168)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:178)(cid:179)(cid:264)(cid:32)(cid:73)(cid:112)(cid:66)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:57)
(cid:15)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) =0(cid:56)
2
(cid:352) = + (cid:80)m(cid:55)(cid:88)(cid:52)(cid:162)𝑥(cid:56)−4𝑥−6
(cid:75)𝑥(cid:84)(cid:29)𝑦(cid:36)(cid:76)𝑚(cid:55)( + ) ( + ) =0(cid:56)
2
(cid:29)(cid:36) (cid:222)(cid:266)(cid:56)(cid:66)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:56)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:56)(cid:31)𝑦(cid:66) =2𝑚2(cid:57)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:132)2𝑚=−42(cid:85)(cid:56) 𝑚 =2 × = (cid:56)
2 2
𝑚(cid:29)(cid:36) (cid:76)(cid:55)𝑚 −4𝑚−=60(cid:56)(cid:31)−(cid:66)4 =2−610(cid:56)−10= 10(cid:56)
教 2
∴ 辅=②资+ 𝑦=−__1_0________(cid:56)𝑦1= + 𝑦=2 ___−________(cid:57)
源
，
关
(cid:285)∴(cid:286)𝑥1(cid:10) 𝑦1 𝑚 注 公𝑥2 𝑦2 𝑚
众
号
★
全
(1)(cid:25)(cid:26)(cid:169)(cid:126)(cid:367)(cid:368)(cid:143)“ ”(cid:363)(cid:44)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31) =________科___(cid:56)
A
=___________(cid:57)
A
+
𝑥1 𝑥2(2)(cid:369)(cid:356)(cid:367)(cid:368)(cid:143)“(cid:58)(cid:59)”(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)3 + +1=0(cid:57)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)(1) 10+2(cid:56) 10+2(cid:79) 𝑥 12𝑥
(2) = 33 (cid:56) = − 33
3 3
(cid:15)(cid:44)𝑥1 (cid:187)(cid:22)(cid:196)−(cid:23)2(cid:197)(cid:198)𝑥2 (cid:32)(cid:33)−(cid:34)(cid:35)−(cid:29)2(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:30)(cid:56)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:266)(cid:31)(cid:23)(cid:61)(cid:56)(cid:370)(cid:371)(cid:221)(cid:111)(cid:218)(cid:11)(cid:99)(cid:205)(cid:31)(cid:153)(cid:313)(cid:23)(cid:56)
(cid:80)1(cid:162)(cid:38)(cid:60)(cid:367)(cid:368)(cid:143)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:112)(cid:126)(cid:31)(cid:102)(cid:108)(cid:79)
(cid:80)2(cid:162)(cid:352) = + (cid:80)m(cid:55)(cid:88)(cid:52)(cid:162)(cid:56)(cid:75)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55) + + + + 1 =0(cid:56)(cid:29)(cid:36)(cid:222)(cid:266)(cid:56)(cid:66) + + +
3
2 2
𝑥 𝑦 𝑚 (𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) 𝑦 (2𝑚 4)𝑦
+ + 1 =0(cid:56)(cid:351) +4=0(cid:31)(cid:66) = (cid:56)(cid:132) = (cid:85)(cid:56) + + 1 = 11 (cid:56)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55) 11 =0(cid:56)(cid:31)
3 3 3 3
2 2 2
𝑚 4𝑚 2𝑚 𝑚 −2 𝑚 −2 𝑚 4𝑚 − 𝑦 −
33 33
(cid:66) = (cid:56), = (cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:112)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:57)
3 3
(cid:15)𝑦(cid:191) 1 (cid:31)(cid:22)(cid:80)1(cid:162)𝑦2 (cid:31)(cid:10)−(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36) =0(cid:56)
2
(cid:352) = + (cid:80)m(cid:55)(cid:88)(cid:52)(cid:162)(cid:56) 𝑥 −4𝑥−6
(cid:75)𝑥(cid:84)(cid:29)𝑦(cid:36)(cid:76)𝑚(cid:55)( + ) ( + ) =0(cid:56)
2
(cid:29)(cid:36) (cid:222)(cid:266)(cid:56)(cid:66)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:56)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:56)(cid:31)𝑦(cid:66) =2𝑚2(cid:57)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:132)2𝑚=−42(cid:85)(cid:56) 𝑚 =2 × = (cid:56)
2 2
𝑚(cid:29)(cid:36) (cid:76)(cid:55)𝑚 −4𝑚−=60(cid:56)(cid:31)−(cid:66)4 =2−610(cid:56)−10= 10(cid:56)
2
∴ =② + 𝑦=−1010+2(cid:56) =𝑦1 + = 𝑦210+−2
(cid:192)∴(cid:185)𝑥(cid:186)1 (cid:55)𝑦(cid:10)1 1𝑚0+2(cid:56) 10+𝑥22(cid:79)𝑦2 𝑚 −
(cid:80)2(cid:162)(cid:352) = + (cid:80)m−(cid:55)(cid:88)(cid:52)(cid:162)(cid:56)
(cid:75)(cid:84)(cid:29)(cid:36) 𝑥 (cid:76)(cid:55) 𝑦 𝑚 + + + + 1 =0
3
2
(𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) ①
(cid:29)(cid:36) (cid:222)(cid:266)(cid:56)(cid:66)
+
①
+ + + +
1
=0
3
2 2
𝑦 (2𝑚 4)𝑦 𝑚 4𝑚 ②
(cid:351) +4=0(cid:31)(cid:66) = (cid:56)
(cid:132)
2𝑚
= (cid:85)(cid:56)
𝑚
+
−
+
21
=
11
(cid:56)
3 3
2
𝑚 −2 𝑚 4𝑚 −
(cid:29)(cid:36) (cid:76)(cid:55) 11 =0
教 辅 3
资 源2
∴ ② 𝑦，−
(cid:31)(cid:66) =
33
(cid:56) =
关 注33
(cid:56) 公
3 3 众
号
★
𝑦1 𝑦2 − 全 科
= + = 33 (cid:56) = + = 33 (cid:57) A A
3 3 +
∴ 𝑥1 𝑦1 𝑚 −2 𝑥2 𝑦2 𝑚 − −2【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
(cid:15)(cid:58)7(cid:22)(cid:80)24-25(cid:275)(cid:208)(cid:209)(cid:124)·(cid:276)(cid:238)(cid:211)(cid:240)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:97)(cid:174)(cid:257)“(cid:52)(cid:11)(cid:104)(cid:224)(cid:372)(cid:39)(cid:223)(cid:373)”(cid:56)(cid:221)(cid:111)(cid:311)(cid:234)(cid:235)(cid:374)(cid:200)(cid:39)“(cid:52)(cid:11)(cid:224)(cid:225)”(cid:311)“(cid:52)
(cid:11)(cid:29)(cid:30)”(cid:104)(cid:11)(cid:333)(cid:52)(cid:11)(cid:39)(cid:375)(cid:200)(cid:30)(cid:376)(cid:57)(cid:283)(cid:284)(cid:210)(cid:190)(cid:58)(cid:23)(cid:269)(cid:168)(cid:31)(cid:185)(cid:116)(cid:36)(cid:10)
(cid:58)(cid:10)(cid:31)(cid:29)(cid:36) =0(cid:57)
2
(cid:31)(cid:10) (cid:132) 𝑥 0−(cid:85)2|(cid:56)𝑥|−(cid:84)3(cid:29)(cid:36)(cid:55) =0(cid:56)
2
(cid:31)(cid:66)①=𝑥≥(cid:80)(cid:161) 0(cid:377)(cid:378)(cid:56)𝑥(cid:343)−(cid:300)2𝑥(cid:162)−(cid:56)3 =3(cid:57)
(cid:132)𝑥1<0−(cid:85)1(cid:56)(cid:84)(cid:29)𝑥≥(cid:36)(cid:55) + =0(cid:56)𝑥2
2
(cid:31)②(cid:66)𝑥 =1(cid:80)(cid:161) <0(cid:377)(cid:378)𝑥(cid:56)(cid:343)2𝑥(cid:300)−(cid:162)3(cid:56) = (cid:57)
(cid:218)(cid:109)𝑥(cid:84)1(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:38)𝑥(cid:104) =3(cid:56) = (cid:57)𝑥2 −3
(cid:308)(cid:124)(cid:278)(cid:39)(cid:31)(cid:185)(cid:116)(cid:36)𝑥(cid:143)1(cid:56)(cid:379)(cid:380)𝑥(cid:48)2 x(cid:264)−3(cid:265)(cid:364)(cid:317)(cid:56)(cid:178)(cid:179)(cid:76)(cid:381)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:57)(cid:113)(cid:104)(cid:31)(cid:153)(cid:52)(cid:11)(cid:313)(cid:23)(cid:39)(cid:32)(cid:114)(cid:375)(cid:200)(cid:224)(cid:225)——(cid:44)(cid:129)
(cid:364)(cid:317)(cid:57)
(cid:285)(cid:286)(cid:10)(cid:280)(cid:382)(cid:356)(cid:124)(cid:383)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:10) =0(cid:57)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) =2(cid:56) = 𝑥 −|𝑥|−2
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)𝑥(cid:196)1(cid:23)(cid:197)(cid:198)𝑥(cid:133)2(cid:31)(cid:32)−2(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:266)(cid:31)(cid:23)(cid:61)(cid:56)(cid:11)(cid:226)(cid:110)(cid:111)(cid:44)(cid:129)(cid:364)(cid:317)(cid:39)(cid:224)(cid:225)(cid:224)
(cid:197)(cid:313)(cid:23)(cid:57)
(cid:196)(cid:23)(cid:86)(cid:44)(cid:129)(cid:364)(cid:317)(cid:56)(cid:75)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:264)(cid:179)(cid:112)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:343)(cid:384)(cid:137)(cid:152)(cid:127)(cid:203)(cid:204)(cid:39)(cid:185)(cid:186)(cid:56)(cid:102)
(cid:108)(cid:66)(cid:83)(cid:196)(cid:23)(cid:39)(cid:185)(cid:186)(cid:79)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:44)(cid:81)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:317)
(cid:80)1(cid:162)(cid:132) 0(cid:85)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:108)(cid:76)(cid:55) =0(cid:56)
2
(cid:31)(cid:66)(cid:10) 𝑥=≥2(cid:56) = (cid:80)(cid:343)(cid:300)(cid:162)𝑥(cid:79)−𝑥−2
(cid:80)2(cid:162)(cid:132)𝑥1 <0(cid:85)𝑥(cid:56)2(cid:84)(cid:29)−(cid:36)1 (cid:108)(cid:76)(cid:55) + =0(cid:56)
2
(cid:31)(cid:66)(cid:10) 𝑥= (cid:56) =1(cid:80)(cid:343)(cid:300)(cid:162)𝑥(cid:79) 𝑥−2
(cid:344)(cid:124)(cid:218)𝑥1(cid:383)(cid:56)−(cid:84)2(cid:29)(cid:36)𝑥2(cid:39)(cid:38)(cid:104) =2(cid:56) = (cid:57)
∴(cid:15)(cid:206)(cid:42)7-1(cid:22)(cid:31)(cid:29)(cid:36) +𝑥1 =0𝑥(cid:57)2 −2
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) =2, = 𝑥 −|𝑥 1|−1
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)𝑥(cid:38)1(cid:60)(cid:23)𝑥(cid:61)2 (cid:44)−1(cid:81)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:317)(cid:56)(cid:76)(cid:381)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:56)(cid:188)(cid:134)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:112)(cid:31)(cid:57)
教
辅
资
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)源(cid:44)(cid:81)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:10)
，
关
注
公
(cid:132) +1 0(cid:56)(cid:102) (cid:85)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)众(cid:76)(cid:55)号( +1) =0(cid:56)(cid:31)(cid:66) =2, = (cid:79)
★
全
①(cid:132)𝑥+1≥<0(cid:56)(cid:102)𝑥≥<−1(cid:85)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55)𝑥 2 −+(𝑥+1)− 科 1= A 0(cid:56)A(cid:31)(cid:66)+𝑥1=0(cid:80)𝑥2(cid:343)−(cid:300)1(cid:162)(cid:56) = (cid:80)(cid:343)(cid:300)(cid:162)(cid:57)
2
② 𝑥 𝑥 −1 𝑥 𝑥 −1 𝑥3 𝑥4 −1(cid:344)(cid:124)(cid:218)(cid:383)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:104) =2, = (cid:57)
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:31)(cid:32)𝑥(cid:33)1(cid:34)(cid:35)𝑥(cid:29)2 (cid:36)−1(cid:56)(cid:44)(cid:129)(cid:364)(cid:317)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)7-2(cid:22)(cid:31)(cid:29)(cid:36) |2 +3|+9=0(cid:57)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) =1, =3𝑥 −2 𝑥
𝑥1 𝑥2
3 3
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:355)(cid:356)(cid:58)(cid:23)(cid:56)(cid:44) (cid:161) < (cid:56)(cid:76)(cid:381)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:66)(cid:83)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:112)(cid:31)(cid:57)
2 2
𝑥≥− 𝑥 −
3
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:132)2 +1 0(cid:56)(cid:102) (cid:85)(cid:56)
2
(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:108)(cid:76)(cid:55)𝑥(cid:10) ≥ 𝑥
+
≥
3
−
)+9=0
2
(cid:222)(cid:266)(cid:66)(cid:10) +𝑥3−=20(2𝑥
2
(cid:31)(cid:66)(cid:10) =𝑥1−, 4𝑥=3
𝑥1 𝑥2
3
(cid:132)2 +1<0(cid:56)(cid:102) < (cid:85)(cid:56)
2
(cid:84)(cid:29)𝑥(cid:36)(cid:108)(cid:76)(cid:55)(cid:10)𝑥 −
+2(2 +3)+9=0
2
(cid:222)(cid:266)(cid:66) +4 +1𝑥5=0 𝑥
2
=4 𝑥 ×1𝑥×15= <0,
2
∵(cid:288)Δ (cid:29)(cid:36)−(cid:70)4 (cid:71)(cid:52)(cid:31)(cid:56)−44
∴(cid:344)(cid:124)(cid:218)(cid:383)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:39)(cid:31)(cid:55)(cid:10) =1, =3
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑥(cid:34)1(cid:35)(cid:29)𝑥(cid:36)2 (cid:56)(cid:44)(cid:129)(cid:364)(cid:317)(cid:76)(cid:381)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)
(cid:15)(cid:206)(cid:42)7-3(cid:22)(cid:31)(cid:29)(cid:36) =0
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22) =
29𝑥
(cid:56)
−|
=
𝑥−5|−229
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)𝑥(cid:38) 1 (cid:60)(cid:23)(cid:61)(cid:44)x 𝑥 -5 2 ≥0(cid:311)x-5(cid:184)0(cid:81)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:56)(cid:44)(cid:41)(cid:31)(cid:29)(cid:36)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) (cid:132)x-5≥0(cid:85)(cid:56)(cid:102)x≥5(cid:85)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55) + =0(cid:56)(cid:102) +3=0(cid:56)
2 2
=1, = =①3(cid:56) 𝑥 −𝑥 5−2 𝑥 −𝑥
𝑎 =𝑏 −1,𝑐=( ) ×1×3= <0(cid:56)
2 2
∴(cid:84)Δ (cid:29)𝑏(cid:36)−(cid:70)4𝑎(cid:31)𝑐 (cid:56)−1 −4 −11
∴ (cid:132)x-5(cid:184)0(cid:85)(cid:56)(cid:102)x(cid:184)5(cid:85)(cid:56)(cid:84)(cid:29)(cid:36)(cid:76)(cid:55) + =0(cid:56)(cid:102) + =0(cid:56)
2 2
②=1, =1, = (cid:56) 𝑥 𝑥−5−2 𝑥 𝑥−7
教
辅
资
𝑎 =𝑏 𝑐 源=−17 ，×1×( )=29>0
关
注
2 2 公
∴Δ 𝑏 ±−42𝑎9𝑐 −4 −7 众 号
= ★ 全
2×1 科
A
−1 A
+
𝑥29 29
(cid:31)(cid:66)(cid:10) = (cid:56) = (cid:57)
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:194)(cid:195)𝑥(cid:22) 1 (cid:288)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)𝑥(cid:31) 2 (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:36)(cid:56)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:38)(cid:60)(cid:23)(cid:61)(cid:44)(cid:81)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:317)(cid:57)
【题型8 配方法】
(cid:15)(cid:58)8(cid:22)(cid:80)2025·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:211)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:307)(cid:99) (cid:56) (cid:56) (cid:55)(cid:71)(cid:52)(cid:56)(cid:199) + = +3 (cid:56) = + (cid:56)(cid:148) (cid:56)
2 2
(cid:56) (cid:310)(cid:385)(cid:39)(cid:312)(cid:244)(cid:3)(cid:118)(cid:104)(cid:80) (cid:162) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧A(cid:57) < B(cid:57) < C(cid:57) < D(cid:57) <
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:39)(cid:163)(cid:111)(cid:56)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:163)(cid:111)(cid:57)(cid:86)(cid:38)(cid:60)(cid:307)(cid:99)(cid:139)(cid:42)(cid:112)(cid:126) = +2(cid:56) =2
2 2
+3(cid:56)(cid:93)(cid:110)(cid:111)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:40)(cid:164)(cid:126) > (cid:56) (cid:56)(cid:151)(cid:288)(cid:102)(cid:108)(cid:66)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:57) 𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥
(cid:15)−3(cid:191)𝑥(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) + = +3 (cid:56) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:56)
2 2
(cid:31)(cid:66) = ∵+𝑦2(cid:56)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:56)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:56)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:79)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:56)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:56)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:56)
∴(cid:192)𝑥(cid:193)(cid:10)𝑦A≤(cid:57)𝑧
(cid:15)(cid:206)(cid:42)8-1(cid:22)(cid:80)24-25(cid:275)(cid:208)(cid:209)(cid:124)·(cid:276)(cid:238)(cid:336)(cid:386)·(cid:272)(cid:143)(cid:162)(cid:173)(cid:146)(cid:52)(cid:42) + (cid:108)(cid:76)(cid:55)( + ) (cid:56)(cid:148) + (cid:39)(cid:49)(cid:104)
2 2
(cid:80) (cid:162) 𝑥 −4𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −1 𝑎 𝑏
A(cid:57)2 B(cid:57)1 C(cid:57) D(cid:57)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)B −2 −1
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:39)(cid:104)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:104)(cid:163)(cid:111)(cid:56)(cid:234)(cid:235)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:57)(cid:38)(cid:60)(cid:100)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:42)(cid:87)(cid:84)(cid:42)(cid:206)(cid:78)(cid:56)
(cid:93)(cid:38)(cid:60)(cid:23)(cid:61)(cid:112)(cid:126) =3(cid:56) = (cid:56)(cid:325)(cid:53)(cid:102)(cid:108)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10) 𝑎 + 𝑏 −2
2
= + 𝑥 −+4𝑥 𝑎
2
教=𝑥( −4𝑥) +4−4 (cid:56)𝑎
辅
资
2 源
，
(cid:151)(cid:23)𝑥(cid:61)−(cid:66)2 (cid:10) 𝑎=−4 (cid:56)关= (cid:56)
注
公
众
号
(cid:31)(cid:66)(cid:10) =3𝑏(cid:56) −=2 𝑎(cid:56)−4 −1 ★ 全
科
A
A
+
𝑎 𝑏 −2(cid:148) + = =1(cid:56)
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)𝑏B(cid:57)3−2
(cid:15)(cid:206)(cid:42)8-2(cid:22)(cid:80)2025·(cid:211)(cid:212)(cid:387)(cid:339)·(cid:231)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:162)(cid:307)(cid:99)(cid:71)(cid:52)a(cid:56)b(cid:349)(cid:350) + = >0(cid:56)(cid:148)(cid:210)(cid:190)(cid:40)(cid:164)(cid:136)(cid:172)(cid:39)(cid:104)(cid:80) (cid:162)
A(cid:57) + >2, + + <4 B(cid:57) + <2, 𝑎+ 2𝑏+ 4,<𝑎 4
2 2
C(cid:57)𝑎+𝑏>2,𝑎 +5𝑎+2𝑏>4 D(cid:57)𝑎+𝑏 <2,𝑎 +5𝑎+2𝑏 >4
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)𝑎C 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:137)(cid:139)(cid:42)(cid:39)(cid:297)(cid:298)(cid:269)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:163)(cid:111)(cid:56)(cid:31)(cid:153)(cid:196)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:104)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:137)(cid:139)(cid:42)(cid:39)(cid:297)(cid:298)(cid:269)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:39)
(cid:163)(cid:111)(cid:56)(cid:151) + =4(cid:108)(cid:66) = (cid:56)(cid:108)(cid:66) + = + = = 4 .(cid:108)(cid:66)(cid:126) 4 > 4 =2(cid:56) (cid:102) + >2(cid:48)
2 2 2 2 2 2
4−𝑎 4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+ 𝑎+
(cid:218)(cid:97) >0 𝑎(cid:96)(cid:388)2𝑏(cid:57)(cid:75) = 𝑏 (cid:146)(cid:171) + 𝑎 + 𝑏 (cid:66)𝑎(cid:10) + + = + + = + +4 𝑎 = 𝑏 +2)
2 2 2 2 2
.(cid:108)(cid:66)𝑎 +2) >2 2=𝑏 4(cid:56)4 −(cid:93)𝑎(cid:40)(cid:164)𝑎(cid:102)(cid:108)5(cid:57)𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
2 2
(𝑎
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:151) + =4(cid:108)(cid:66) = (cid:56)
2
4−𝑎
𝑎 2𝑏 𝑏
4
+ = + = = .
2 2 2
4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+
∴ 𝑎 𝑏 𝑎
>0(cid:56)
∵𝑎+4>4(cid:56)
∴𝑎 4 > 4 =2(cid:56)
2 2
𝑎+
∴
(cid:102) + >2(cid:48)(cid:218)(cid:97) >0(cid:96)(cid:388)(cid:57)
(cid:75)𝑎 =𝑏 (cid:146)(cid:171) 𝑎+ + (cid:66)(cid:10)
2
2+𝑏 4+−𝑎 = 𝑎 + 5𝑎+ 2𝑏 = + +4= +2) .
2 2 2 2
𝑎 >5𝑎0(cid:56) 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
∵𝑎+2>2(cid:56)
∴𝑎 +2) >2 =4(cid:56)
2 2
(cid:102)∴(𝑎 + + >4(cid:48)(cid:218)(cid:97) >0(cid:96)(cid:388)(cid:57)
2
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)C5(cid:57)𝑎 2𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:206)(cid:42)8-3(cid:22)(cid:80)2025·(cid:230)(cid:228)(cid:389)(cid:390)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:307)(cid:99) (cid:55)(cid:71)(cid:52)(cid:56)(cid:352) = + +25 +5(cid:56)(cid:148) (cid:39)(cid:253)(cid:312)(cid:49)(cid:104)
2 2
(cid:80) (cid:162) 𝑥 𝑑 𝑥 6𝑥 − 𝑥 −2𝑥 𝑑
教
辅
资
A(cid:57)2 2源 ， B(cid:57)2 5 C(cid:57)5 D(cid:57)6
关
注
公
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:22)B 众 号
★
全
科
A
(cid:15)(cid:44)(cid:187)(cid:22)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:391)(cid:392)(cid:154)(cid:266)(cid:119)(cid:81)(cid:194)(cid:310)(cid:385)(cid:39)(cid:393)(cid:394)(cid:56)(cid:234)(cid:235)(cid:308)A(cid:28)(cid:278)+(cid:25)(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:118)(cid:143)(cid:112)(cid:126)(cid:81)(cid:194)(cid:385)(cid:39)(cid:393)(cid:394)(cid:39)(cid:7)(cid:42)(cid:104)(cid:31)(cid:23)(cid:39)(cid:3)(cid:236)(cid:56)(cid:86)(cid:266)(cid:31)(cid:23)(cid:61)(cid:56)(cid:221)(cid:111)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:87)(cid:189)(cid:27)(cid:29)(cid:52)(cid:206)(cid:78)(cid:56)(cid:93)(cid:38)(cid:60)(cid:122)(cid:395)(cid:78)(cid:39)(cid:122)(cid:92)(cid:3)(cid:118)(cid:264)(cid:265)(cid:44)(cid:187)(cid:56)(cid:109)(cid:269)(cid:81)(cid:194)(cid:385)(cid:39)
(cid:393)(cid:394)(cid:7)(cid:42)(cid:190)(cid:42)(cid:325)(cid:53)(cid:56)(cid:102)(cid:108)(cid:145)(cid:185)(cid:57)
(cid:15)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:31)(cid:10)(cid:142)(cid:23)(cid:61)(cid:56) + +25= + +16+9=( +3) +4 (cid:56)
2 2 2 2
(cid:124)(cid:42)(cid:160)(cid:117) ( )(cid:161) ( 𝑥 )(cid:310)6(cid:385)𝑥(cid:39)(cid:393)(cid:394)(cid:56)𝑥 6𝑥 𝑥
+𝐴5=𝑥,0 𝐵 −+31,4+4=( ) +2 (cid:56)
2 2 2 2
𝑥(cid:124)(cid:42)−2(cid:160)𝑥(cid:117) ( 𝑥)(cid:161)−2𝑥(1,2)(cid:310)(cid:385)(cid:39)(cid:393)𝑥(cid:394)−1(cid:56)
𝐴 𝑥,0 𝐶
(cid:151)(cid:391)(cid:392)(cid:154)(cid:266)(cid:66) = ( ) +( ) =2 5(cid:56)
2 2
𝐵𝐶 −3−1 4−2
(cid:254)(cid:127)(cid:122)(cid:395)(cid:78)(cid:122)(cid:92)(cid:3)(cid:118)(cid:66) (cid:39)(cid:253)(cid:312)(cid:49)(cid:104)(cid:194)B(cid:311)(cid:194)C(cid:39)(cid:393)(cid:394)(cid:56)(cid:102) (cid:39)(cid:253)(cid:312)(cid:49)=2 5(cid:56)
(cid:192)(cid:193)(cid:10)B(cid:57) 𝑑 𝑑
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
