文档文本内容
专题 2.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:20)................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:36)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:20)........................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:49)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:36)(cid:57)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:20)............................................................................................5
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:58)(cid:59)(cid:10) + =2(cid:60) +1(cid:60) + =0(cid:60) +8=0(cid:60) = (cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:64)1(cid:65) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:64)2(cid:65)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:64)3(cid:65)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
𝟐
（2)当c=0时，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
𝟐
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙,得 𝒃𝒙 =𝟎(𝒂≠𝟎).
𝟐
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:75)(cid:63)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:31).
2.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:69)(cid:77)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:78)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:69)(cid:77)(cid:62)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:51)(cid:42)(cid:31).(cid:85) (cid:60) (cid:63)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0( 0)(cid:33)(cid:69)(cid:77)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:40)(cid:89)(cid:90)(cid:60)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:76)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:40)(cid:36)𝑥1(cid:46)(cid:73)𝑥2(cid:74)(cid:94)
2
(cid:42)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:105)(cid:77)(cid:29)(cid:30) x2﹣9=0(cid:106) (cid:64)2x+1(cid:65)(cid:64)2x﹣1(cid:65)=0(cid:106) x2=0(cid:106)
+1=1(cid:107)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:108)−2𝑥 B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:40)①1-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)②(cid:98)·(cid:105)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)③(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:60)(cid:25)(cid:34)(cid:63)④(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65)
A(cid:108) + 1 =0 B(cid:108) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:108) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:40)𝑥1-2(cid:20)𝑥(cid:64)−224-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:87)3(cid:88)𝑥−(cid:43)2(cid:40)𝑥𝑦(cid:107)(cid:60)𝑦(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65)
A(cid:108)2 +1=0 B(cid:108) =0 C(cid:108)2 =0 D(cid:108) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:40)1𝑥-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)𝑥−(cid:87)2·𝑦(cid:123)−(cid:124)3(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑥 (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:63)(cid:25)(cid:26)𝑦(cid:27)−(cid:28)3𝑦(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:84)(cid:64) (cid:65)
3 =0(cid:106) + + =0(cid:106) + 1 =0(cid:106) 2 = (cid:106) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:108) − 1 𝑥 (cid:77) ②𝑎𝑥 B(cid:108) 𝑏𝑥 2(cid:77) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:108)3(cid:77) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:108) )( 4 𝑥− (cid:77) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:58)2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:132)(cid:74)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( +1) | | + +5=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
4𝑚−2
(cid:30)(cid:60)(cid:86) = (cid:108) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:40)𝑚2-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:125)(cid:129)(cid:133)(cid:134)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:29)(cid:30) +5=0(cid:63)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:86) (cid:33)(cid:135)(cid:37)
2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:108) 0 B(cid:108) >3 C(cid:108) =0 D(cid:108) 0
(cid:15)(cid:109)(cid:40)𝑎2-≠2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)𝑎(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:100)(cid:139)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)𝑎(cid:65)(cid:85)(cid:29)(cid:30)( +1) 𝑎=≥0(cid:63)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:86)
2
3𝑎 −1
= (cid:108) 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎(cid:15)(cid:109)(cid:40)2-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:125)(cid:129)(cid:111)(cid:140)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)( ) + =0(cid:84)
2 2
𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1(cid:25)(cid:77)(cid:46)(cid:63)0(cid:60)(cid:86) =
𝑚
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:58)3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:141)(cid:111)(cid:142)(cid:143)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:29)(cid:30)( +1)( )=5(cid:144)(cid:145)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:146)(cid:60)(cid:147)
(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:149)(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:150)(cid:37)(cid:63) (cid:108) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:109)(cid:40)3-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)3 +2=0(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:60)
2
(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:151)(cid:152)(cid:42)(cid:148)(cid:153)(cid:24)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:108) B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:40)33,-−2(cid:20)5,−(cid:64)224-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)3(cid:98),−5·(cid:154)𝑥,2(cid:122)(cid:154)(cid:155)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:29)3(cid:30),5𝑥,−+2 = +5(cid:156)3(cid:138),−(cid:25)5,(cid:38)2 (cid:39)(cid:40)(cid:146)(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:151)(cid:152)(cid:42)
2
(cid:148)(cid:153)(cid:24)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:108)1(cid:151)3 B(cid:108)1(cid:151) C(cid:108)3(cid:151) D(cid:108)3(cid:151)4
(cid:15)(cid:109)(cid:40)3-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·−(cid:157)6(cid:111)(cid:158)(cid:122)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:159)−(cid:56)6(cid:25)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:138)1(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:138) (cid:60)(cid:152)(cid:42)(cid:148)(cid:138)
(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:63) (cid:108)(cid:64)(cid:93)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:160)(cid:161)(cid:65) −3
−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:58)4(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:162)(cid:163)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + = +12(cid:107)(cid:62)(cid:164)x(cid:33)(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:60)
2
(cid:86)(cid:165)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:138) (cid:108) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:40)4-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:16)(cid:166)(cid:120)(cid:134)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)( ) + + =0(cid:33)(cid:152)
2 2
(cid:42)(cid:148)(cid:138)0(cid:60)(cid:86)m(cid:33)(cid:37)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1
A(cid:108)1 B(cid:108) C(cid:108)2 D(cid:108)±1
(cid:15)(cid:109)(cid:40)4-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)−(cid:98)1·(cid:141)(cid:111)(cid:167)(cid:155)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)3 + = (cid:156)(cid:89)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
2
(cid:146)(cid:60)(cid:168)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:138)1(cid:60)(cid:152)(cid:42)(cid:148)(cid:138) (cid:60)(cid:86)(cid:169)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:33)(cid:25)𝑥 (cid:28)(cid:148)(cid:41)(cid:42)(cid:138) 𝑥(cid:108) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:109)(cid:40)4-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:105)(cid:110)−2(cid:119)(cid:26)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)2 ( +1) = ( +1)(cid:156)(cid:89)(cid:25)(cid:38)
2
(cid:39)(cid:40)(cid:146)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:138)1(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:148)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:138) (cid:60)(cid:86) (cid:33)(cid:37)(cid:138) (cid:108) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
−1 𝑚
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:58)5(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:170)(cid:171)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:85) =4(cid:63)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:29)(cid:30) =8(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:86) + (cid:33)
2
(cid:37)(cid:138) (cid:108) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:109)(cid:40)5-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:172)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:132)(cid:74)a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)( +4)( )
2
(cid:33)(cid:37)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
A(cid:108)1 B(cid:108)3 C(cid:108) D(cid:108)
−3 −5(cid:15)(cid:109)(cid:40)5-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:157)(cid:111)(cid:175)(cid:176)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)m(cid:63)(cid:29)(cid:30) =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86) + +19(cid:33)
2 2
(cid:37)(cid:138) (cid:108) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:109)(cid:40)5-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:141)(cid:111)(cid:177)(cid:178)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:132)(cid:74) (cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40)
2
+1) + + (cid:33)(cid:37)(cid:138) (cid:108) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
(𝑚 (𝑚 1)(𝑚−1)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:58)6(cid:20)(cid:64)2025·(cid:179)(cid:180)·(cid:25)(cid:181)(cid:65)(cid:132)(cid:74)m(cid:138)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40) +2 +6(cid:33)(cid:37)(cid:138) (cid:108)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:40)6-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:119)(cid:100)(cid:182)(cid:125)·(cid:113)𝑥(cid:114)(cid:115)𝑥−(cid:116)3(cid:65)(cid:59)(cid:183) (cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑚= 𝑚 −(cid:33)2(cid:31)𝑚(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40)
2 2
+2024(cid:33)(cid:37)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:108)2021 B(cid:108)2022 C(cid:108)2023 D(cid:108)2024
(cid:15)(cid:109)(cid:40)6-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:179)(cid:180)·(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:85)a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86) +2 +7(cid:33)(cid:37)(cid:138)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:40)6-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:98)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:132)(cid:74)𝑥a(cid:63)𝑥(cid:3)−4(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑎 𝑎 −3𝑎=0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:86) (cid:33)(cid:37)(cid:72)(cid:117) (cid:108)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)7(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:187)(cid:125)(cid:188)(cid:122)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:189)(cid:7)(cid:190)(cid:191)(cid:96)(cid:25)(cid:192)(cid:33)(cid:139)(cid:193)(cid:194)(cid:138)200(cid:195)(cid:26)(cid:60)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:25)(cid:200)(cid:201)(cid:33)(cid:202)(cid:139)(cid:193)
(cid:194)(cid:203)(cid:204)(cid:205)950(cid:195)(cid:26)(cid:60)(cid:36)(cid:169)(cid:7)(cid:190)(cid:27)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:77)(cid:192)(cid:139)(cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:192)(cid:208)(cid:61)(cid:209)(cid:175)(cid:210)(cid:108)(cid:211)(cid:169)(cid:7)(cid:190)(cid:27)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:77)(cid:192)(cid:139)(cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:192)(cid:208)(cid:61)
(cid:209)(cid:175)(cid:210)(cid:138) (cid:60)(cid:86)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:212)(cid:81)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:138)(cid:64) (cid:65)
𝑥
A(cid:108)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:108)200 1(cid:213) =950
2
2
C(cid:108)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:108)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:40)7-1(cid:20)(cid:64)24-𝑥25(cid:118)(cid:96)(cid:97)𝑥(cid:87)·(cid:98)(cid:184)(cid:214)(cid:215)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:98)(cid:60)𝑥(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:11)(cid:222)(cid:168)(cid:223)(cid:221)(cid:11)(cid:224)(cid:225)1(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:60)(cid:229)(cid:183)(cid:230)(cid:84)(cid:231)
(cid:224)(cid:227)(cid:228)870(cid:226)(cid:60)(cid:36)(cid:94)(cid:232)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:33)(cid:221)(cid:11)(cid:233)(cid:42)(cid:60)(cid:211)(cid:94)(cid:232)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:33)(cid:221)(cid:11)(cid:84)x(cid:233)(cid:60)(cid:234)(cid:235)(cid:81)(cid:88)(cid:56)(cid:29)(cid:30) (cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:40)7-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:154)(cid:122)(cid:154)(cid:155)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:59)(cid:236)(cid:60)(cid:138)(cid:237)(cid:156)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:60)(cid:189)(cid:238)(cid:197)(cid:198)(cid:242)(cid:25)(cid:243)(cid:175)(cid:138)60m(cid:60)(cid:244)(cid:138)
40m(cid:33)(cid:245)(cid:39)(cid:246)(cid:247)(cid:98)(cid:60)(cid:248)(cid:249)(cid:25)(cid:77)(cid:245)(cid:39)(cid:250)(cid:251)(cid:60)(cid:91)(cid:252)(cid:250)(cid:251)(cid:105)(cid:253)(cid:254)(cid:87)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:249)(cid:89)(cid:221)(cid:255)(cid:244)(cid:33)(cid:140)(cid:256)(cid:108)(cid:85)(cid:140)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:63)
3
(cid:144)(cid:77)(cid:245)(cid:39)(cid:246)(cid:247)(cid:259)(cid:260)(cid:33) (cid:60)(cid:86)(cid:165)(cid:261)(cid:140)(cid:256)(cid:33)(cid:244)(cid:138) (cid:108)
8
(cid:15)(cid:109)(cid:40)7-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:179)(cid:180)(cid:16)(cid:262)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:263)(cid:264)(cid:33)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:102)(cid:269)(cid:219)(cid:77)30(cid:270)(cid:271)(cid:33)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:48)(cid:25)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:60)(cid:91)(cid:269)(cid:219)(cid:77)50(cid:270)(cid:271)(cid:281)(cid:56)(cid:60)(cid:219)(cid:282)(cid:81)(cid:281)(cid:56)80(cid:77)(cid:108)(cid:32)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:60)(cid:219)(cid:77)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:33)(cid:281)(cid:273)(cid:219)(cid:49)(cid:287)2(cid:270)(cid:271)(cid:60)(cid:219)(cid:282)
(cid:81)(cid:288)(cid:281)(cid:56)10(cid:77)(cid:60)(cid:85)(cid:263)(cid:264)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:282)(cid:292)(cid:92)(cid:204)4000(cid:270)(cid:271)(cid:60)(cid:86)(cid:293)(cid:252)(cid:281)(cid:273)(cid:49)(cid:287)(cid:288)(cid:294)(cid:270)(cid:271)(cid:295)(cid:85)(cid:211)(cid:49)(cid:273) (cid:270)(cid:271)(cid:60)(cid:86)(cid:88)(cid:56)(cid:29)
(cid:30)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑥
A(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:108)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:108)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
50−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:58)8(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:296)(cid:249)(cid:297)(cid:122)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0( 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:138)
2
=2024(cid:60)(cid:86)(cid:3)(cid:117) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =𝑥0( 0)(cid:298)(cid:84)(cid:25)(cid:31)𝑎𝑥(cid:138)(cid:64)𝑏 𝑥 (cid:65)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 𝑦 B(cid:108) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:108) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:108) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:109)(cid:40)8-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)−(cid:87)20 · 2(cid:187)4(cid:125)(cid:299)(cid:300)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( + − ) + =0(cid:64)h(cid:60)k(cid:61)(cid:138)(cid:152)(cid:42)(cid:65)(cid:33)(cid:46)
2
(cid:63) = (cid:60) =2(cid:60)(cid:86)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( + ) + =0(cid:33)(cid:46)(cid:63) 𝑥 ℎ (cid:108)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:109)1(cid:40)8−-32(cid:20)(cid:64)𝑥224-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:301)(cid:302)(cid:139)(cid:303)𝑥·(cid:103)ℎ(cid:107)−(cid:65)3 (cid:85)(cid:3)𝑘(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2=0( 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:138)
2
=2022(cid:60)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) ( +1) + + = (cid:298)(cid:84)(cid:31)(cid:138)(cid:64) (cid:65)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2023 B(cid:108)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:108)−20221 D(cid:108)2022
(cid:15)(cid:109)(cid:40)8-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:162)(cid:163)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:117)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2= 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:138)
2
=2025(cid:60)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) ( ) + +2= (cid:298)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:138)(cid:64) (cid:65) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 B(cid:108)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:108)𝑏2026 D(cid:108)2027
