文档文本内容
专题 2.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)............................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)....................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)....................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:20)........................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:28)(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:20)............................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:20)....................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:52)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:29)(cid:56)(cid:57)(cid:20)........................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:53)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:49)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:20)................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:29)(cid:68)(cid:37)(cid:69)(cid:24)(cid:20)............................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:70)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:29)(cid:68)(cid:37)(cid:72)(cid:24)(cid:20)........................................................................................5
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. (cid:53)(cid:32)(cid:25)(cid:7)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:76)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + = 0)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) = (cid:77) =
𝟐
2 −𝒃+ 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥𝟎 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ 𝑥1 𝟐𝒂 𝑥2
,(cid:81) + = (cid:77) = (cid:82)
𝟐
−𝒃− 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝒃 𝒄
(cid:83)(cid:84)𝟐(cid:10)𝒂(cid:38)(cid:39) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = −𝒂 0(cid:29)𝑥(cid:78) 1𝑥(cid:25) 2 (cid:80)𝒂 (cid:77) (cid:77)(cid:81) + = (cid:77) = (cid:82)
2
2. (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)𝑥(cid:38)(cid:39)𝑝(cid:25)𝑥(cid:26)(cid:27)𝑞(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:29)(cid:72)𝑥(cid:24)1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝒑 𝑥1𝑥2 𝒒
(cid:85)1(cid:86)(cid:52)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:32)(cid:3)(cid:87)(cid:38)(cid:39)(cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)2(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:49)(cid:25)(cid:77)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:62)(cid:49)(cid:25)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)3(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)4(cid:86)(cid:26)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:92)(cid:36)(cid:37)(cid:77)(cid:40)(cid:93)(cid:49)(cid:94)(cid:68)(cid:37)(cid:21)(cid:82)
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104) (cid:105)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
𝑏 𝑎
2
(cid:15)(cid:107)(cid:34)1-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:37)(cid:111)·(cid:103)(cid:89)𝑎(cid:86),𝑏(cid:58)(cid:59) 𝑥(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)𝑥 (cid:42)−𝑥(cid:38)−(cid:39)3
+
=0(cid:29)𝑎(cid:78)(cid:63)𝑏(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81)
2
= (cid:82) 𝑎,𝑏 𝑥 𝑥−2025
𝑎𝑏−𝑎−𝑏(cid:15)(cid:107)(cid:34)1-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:18)(cid:115)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:105) (cid:77) (cid:77)(cid:81)
2
+ (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑥 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
2 2
𝑥(cid:15)1(cid:107)(cid:34)𝑥21-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:114)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:85)m(cid:80)(cid:56)(cid:123)(cid:28)(cid:86)(cid:29)
2 2
(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:124)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:84)(cid:10)(cid:75) =1(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:124)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:81) 𝑥 1 + 2𝑥1− + 𝑚1− + 𝑚1 + + 1 + 1
𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚 𝛼1 𝛽1 𝛼1 𝛽1 𝛼2 𝛽2 ⋯ 𝛼2025 𝛽2025
= (cid:82)
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104) (cid:77) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:33)(cid:28)(cid:34)2
2 2
+ + +5(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−2025 𝛼
(cid:15)6(cid:107)𝛼(cid:34)22-𝛽1(cid:20)(cid:85)2025·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:109)·(cid:89)(cid:130)(cid:131)(cid:21)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:70) (cid:77)(cid:81)(cid:33)(cid:28)(cid:34) +
2 2
(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑥 −5𝑥−24 𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:107)(cid:34)2-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:109)(cid:115)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:70) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81) +
2 2
( )(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑎 𝑏 𝑥 4𝑥−4 𝑎 5𝑎−𝑏
(cid:15)𝑎−(cid:107)1(cid:34)2-3(cid:20)(cid:85)2025·(cid:132)(cid:16)·(cid:49)(cid:133)(cid:86)(cid:84)(cid:134)m(cid:77)n(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) =3(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:135)(cid:136)2 + (cid:29)
2 2
(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −𝑥 𝑛 −𝑚𝑛 2𝑚
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:137)(cid:138)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:139) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + +2(cid:29)
2 3
(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−1 𝛼 5𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:34)3-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:140)(cid:141)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:139) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + +2=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + +5
2 3
(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 4𝑥 𝛼 14𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:34)3-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:132)(cid:16)(cid:143)(cid:144)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:84)(cid:134)m(cid:77)n(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:135)
2
(cid:136)(cid:145)(cid:146)(cid:34) + + 3 +2032(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝑥 𝑥−3
3
(cid:15)(cid:107)(cid:34)3- 𝑚 3(cid:20)(cid:85) 3 2 𝑛 4 − -2 𝑚 5 𝑛 (cid:95)(cid:96)𝑛(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:147)(cid:132)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:32) +3
2 6
(cid:29)(cid:35)(cid:80) 𝛼 𝛽 𝑥 𝑥−3 𝛼 −40𝛽
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
(cid:15)(cid:83)4(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:114)(cid:148)(cid:149)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)
2
6 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
(cid:25) (cid:77) (cid:82)(cid:106)(cid:28) (cid:151)(cid:152)( )( )= (cid:77)(cid:81)(cid:106)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
(cid:15)𝑥(cid:107) 1 (cid:34)𝑥 4 2 -1(cid:20)(cid:85)2 𝑚 4-25(cid:95)(cid:96)𝑥1 (cid:97)−1(cid:98)· 𝑥(cid:114) 2−(cid:153)1(cid:95)(cid:114)𝑚 ·(cid:103)−1(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59)𝑚(cid:77) (cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) +1=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
𝑥1 𝑥2 𝑥 −𝑚𝑥(cid:154)( )( )= (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:155)(cid:87) (cid:82)
(cid:15)(cid:107)𝑥1(cid:34)−24-2𝑥(cid:20)2(cid:85)−224-25−(cid:95)3(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:157)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39) +( ) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:158)(cid:159)(cid:105)(cid:78)(cid:25)
2 2
(cid:158)(cid:70)(cid:29)2(cid:160)(cid:77)(cid:81) = (cid:82) 𝑥 4−2𝑚 𝑥 𝑚 −5
(cid:15)(cid:107)(cid:34)4-3(cid:20)(cid:85)24𝑚-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:161)(cid:156)(cid:162)(cid:163)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25) (cid:77) (cid:151)(cid:152) =2
2 2
+3(cid:77)(cid:154) > (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚 −4 𝑥1 𝑥2 𝑥1
𝑥 【 2 题型5 𝑥 利 1 用根 𝑥2 与系数的关系求参数的取值范围】
(cid:15)(cid:83)5(cid:20)(cid:85)23-24(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:114)(cid:148)(cid:149)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39)4 ( +5)=0(cid:29)(cid:40)(cid:89)(cid:77)(cid:164)(cid:150)(cid:49)(cid:63)(cid:56)
2
(cid:28)(cid:40)(cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −5𝑥− 𝑚
(cid:15)(cid:107)(cid:34)5-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:127)(cid:128)(cid:165)(cid:166)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)
2
(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:154) , (cid:151)(cid:152)2 > + (cid:77)(cid:81) (cid:29)(cid:44)(cid:35)𝑥(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −4𝑥 𝑚−1
(cid:15)(cid:107)(cid:34)5-2(cid:20)(cid:85)𝑥123𝑥-224(cid:108)(cid:96)𝑥1(cid:97)𝑥2(cid:98)·(cid:125)(cid:114)𝑥1(cid:167)𝑥2(cid:168)·(cid:103)𝑥1(cid:169)(cid:86)𝑥(cid:58)2 (cid:59)(cid:3)𝑚(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) +( +2) +1=0(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)
2
(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:154) <1< (cid:77)(cid:81)(cid:106)(cid:28) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)𝑥(cid:80) (cid:82) 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
(cid:15)(cid:107)(cid:34)5-3(cid:20)(cid:85)𝑥213𝑥-224(cid:95)(cid:96)𝑥1(cid:97)(cid:142)·(cid:127)(cid:128)𝑥2(cid:165)(cid:166)·(cid:103)(cid:169)𝑎(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) ( +2) + +4=0
2 2
(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:77)(cid:104) (cid:139) (cid:151)(cid:152)(cid:10) 𝑥=|− 2+𝑚 |(cid:77)𝑥(cid:81) 𝑚=− 4 𝑚 (cid:82)
【题型6 利用 𝑥1 根与 𝑥2 系数的关系构造一元二次方程求 𝑥 解 1 】 𝑥2 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:83)6(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:132)(cid:16)(cid:170)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:86)(cid:58)(cid:59)2 +3=0,3 +2=0(cid:77)(cid:154) 1(cid:77)(cid:81)
𝑥
2 2
𝑥 −2025𝑥 𝑦 −2025𝑦 𝑥𝑦≠ 𝑦
(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
+ =8
(cid:15)(cid:107)(cid:34)6-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:142)(cid:171)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:38)(cid:39)(cid:172)
=15
(cid:29)(cid:40)(cid:105) (cid:82)
𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:107)(cid:34)6-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:114)(cid:153)(cid:173)(cid:174)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)𝑥(cid:106)𝑦(cid:28) ( )(cid:151)(cid:152)2 =0(cid:77)2
2 2
𝑚,𝑛 𝑚≠𝑛 𝑚 −3𝑚−1 𝑛
=0(cid:77)(cid:81) + (cid:29)(cid:35)(cid:80)
𝑛 𝑚
−3𝑛−1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:107)(cid:34)6-3(cid:20)(cid:175) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:80)(cid:176)(cid:52)(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:77)(cid:154)( )( )=1(cid:77)( )( )=1(cid:77)(cid:81)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:29)(cid:35)(cid:80)(cid:85) (cid:86) 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑥 −𝑡 𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡
A(cid:82)-1 B(cid:82)1 C(cid:82)0 D(cid:82)0.5
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
(cid:15)(cid:83)7(cid:20)(cid:85)2024(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:177)(cid:178)·(cid:179)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)a(cid:139)b(cid:139)c(cid:105) (cid:29)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:29)(cid:183)(cid:77)(cid:135)(cid:136)(cid:38)(cid:39) +( + ) +
2
=0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86) △𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
4
𝑐
A(cid:82)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:57)(cid:106)(cid:28)(cid:25)C(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:57)(cid:106)(cid:25) D(cid:82)(cid:185)(cid:150)(cid:49)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:34)7-1(cid:20)(cid:85)2025·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:133)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:86)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86)
2
A(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:155)(cid:29)𝑥(cid:106)−(cid:28)2(cid:25)𝑘𝑥(cid:154)−1(cid:78)(cid:25)(cid:190)(cid:9)
C(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:154)(cid:78)(cid:25)(cid:191)(cid:9) D(cid:82)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:34)7-2(cid:20)(cid:85)2022·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:51)(cid:133)(cid:86)(cid:38)(cid:39)( +1)( )+1=0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:98)(cid:192)(cid:36)(cid:193)(cid:89)(cid:56)(cid:194)(cid:29)(cid:105)( )
A(cid:82)(cid:78)(cid:63)(cid:56)(cid:25) B(cid:82)(cid:78)(cid:63)(cid:57)(cid:25) 𝑥 C(cid:82)(cid:49)𝑥−(cid:63)2(cid:56)(cid:25)(cid:77)(cid:49)(cid:63)(cid:57)(cid:25) D(cid:82)(cid:195)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:34)7-3(cid:20)(cid:85)23-24(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:77)(cid:58)(cid:59) >0(cid:77) >0(cid:77) <0(cid:77)
2
(cid:81)(cid:200)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:82)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:56)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
C(cid:82)(cid:150)(cid:49)(cid:56)(cid:25)(cid:49)(cid:57)(cid:25)(cid:154)(cid:56)(cid:25)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:18) D(cid:82)(cid:150)(cid:49)(cid:56)(cid:25)(cid:49)(cid:57)(cid:25)(cid:154)(cid:57)(cid:25)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:18)
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
(cid:15)(cid:83)8(cid:20)(cid:85)22-23(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:203) + + =0(cid:77)(cid:204)
2 2
(cid:89) 0(cid:77) (cid:77)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:98)(cid:127)(cid:63)(cid:36)(cid:193)(cid:10) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)𝑀(cid:155):𝑎(cid:29)𝑥(cid:106)(cid:28)𝑏𝑥(cid:25)(cid:77)𝑐(cid:81)(cid:38)(cid:39)𝑁N:𝑐(cid:208)𝑥(cid:150)(cid:78)𝑏𝑥(cid:63)(cid:52)𝑎(cid:92)(cid:155)(cid:29)(cid:106)
𝑎𝑐≠ 𝑎≠𝑐 ① 1
(cid:28)(cid:25)(cid:203) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:209)(cid:9)(cid:92)(cid:191)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39)N(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:209)(cid:9)(cid:208)(cid:92)(cid:191)(cid:203) (cid:104)m(cid:105)(cid:38)(cid:39)M(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81) (cid:105)(cid:38)
(cid:39)N(cid:29)②(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:203) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:70)(cid:38)(cid:39)N(cid:150)(cid:49)(cid:63)(cid:92)(cid:191)(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:200)(cid:63)(cid:25)(cid:210)③(cid:105) =1(cid:77)(cid:204)(cid:89)(cid:56)(cid:194)(cid:29)(cid:36)(cid:193)(cid:105)(cid:85) 𝑚 (cid:86)
A(cid:82) ④ B(cid:82) C(cid:82) D(cid:82)𝑥
(cid:15)(cid:107)(cid:34)①8-1③(cid:20)(cid:85)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)①(cid:142)②·(cid:114)③(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104)①(cid:3)(cid:87)②④(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)①③+④ + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:139)
2
2(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39) + + =0 (cid:29)(cid:25)(cid:80) (cid:82) 𝑥 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘 −3
2
(cid:15)(cid:107)(cid:34)8-2𝑎(cid:20)(𝑥(cid:85)−214-25ℎ)(cid:95)(cid:96)𝑘(cid:97)(cid:142)·(cid:125)(cid:114)(cid:102)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:86)(cid:104) =2025(cid:77) =1(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:78)
2
(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39) + 2027 =0(cid:29)(cid:40)(cid:80) (cid:82) 𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2025
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐
(cid:15)(cid:107)(cid:34)8-3(cid:20)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:191)(cid:9)(cid:211)(cid:212)(cid:123)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:3)(cid:87)y(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2 2
+ + =0(cid:208)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:191)(cid:9)(cid:211)(cid:212)(cid:123)(cid:28)𝑥(cid:25)(cid:77)𝑝(cid:81)𝑥(cid:98)(cid:192)𝑞 (cid:213)(cid:214)(cid:56)(cid:194)(cid:29)(cid:105)(cid:85) (cid:86) 𝑦
𝑞A𝑦(cid:82)p𝑝(cid:105)(cid:56)(cid:28)(cid:77)q(cid:105)(cid:57)(cid:28) B(cid:82) + (cid:215)8
2 2
C(cid:82)q(cid:105)(cid:56)(cid:28)(cid:77)p(cid:105)(cid:57)(cid:28) D(cid:82)(𝑝−2) +(𝑞−2) 8
2 2
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用 ( 】 𝑝−2) (𝑞−2) ≥
(cid:15)(cid:83)9(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:37)(cid:111)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:155)(cid:216) (cid:29)(cid:49)(cid:181)(cid:182)(cid:80)7(cid:77)(cid:204)(cid:217)(cid:78)(cid:182)(cid:29)(cid:182)(cid:183)(cid:218)(cid:219)(cid:105)(cid:38)(cid:39)
2
( +1) + +5=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82)△𝐴𝐵𝐶 𝑥 −2
2
(cid:15) 𝑚(cid:107)(cid:34)9𝑥-1(cid:20)𝑚(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:114)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:104)(cid:49)(cid:63)(cid:220)(cid:67)(cid:29)(cid:78)(cid:181)(cid:202)(cid:221)(cid:222)(cid:183)(cid:79)(cid:71)(cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:154)(cid:204)(cid:223)(cid:159)(cid:80)4(cid:77)(cid:81)(cid:224)(cid:220)(cid:67)(cid:29)(cid:182)(cid:183)(cid:80) (cid:82)
2
(cid:15)𝑥(cid:107)(cid:34)−69𝑥-2(cid:20)𝑚(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:142)·(cid:127)(cid:128)(cid:165)(cid:166)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:225)(cid:226)(cid:127)(cid:182)(cid:67) (cid:29)(cid:78)(cid:182) (cid:139) (cid:29)(cid:183)(cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)
(cid:38)(cid:39) + 1 =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:75)(cid:127)(cid:182)(cid:67) (cid:105)(cid:220)(cid:67)(cid:76)(cid:77)(cid:204)(cid:162) 𝐴𝐵 (cid:183) 𝐶 (cid:80) 𝐷 𝐴𝐵 (cid:82) 𝐴𝐷
2 4
2 𝑚
𝑥 −𝑚𝑥 − 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:107)(cid:34)9-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:182)(cid:183)(cid:80)(cid:123)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:221)(cid:180)(cid:221)(cid:67)(cid:77)(cid:104)(cid:204)(cid:78)(cid:30)(cid:221)(cid:182)(cid:183)(cid:105)(cid:38)(cid:39) ( +2)
2
+ =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:224)(cid:30)(cid:221)(cid:180)(cid:221)(cid:67)(cid:29)(cid:227)(cid:182)(cid:183)(cid:80) (cid:82) 𝑥 − 𝑘
𝑥 【题 4 型 𝑘 10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
(cid:15)(cid:83)10(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:109)(cid:110)(cid:228)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) ( +1) +2=0(cid:82)
2
(1)(cid:54)(cid:55)(cid:229)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:230)(cid:213)(cid:231)(cid:232)(cid:53)(cid:82) 𝑥 𝑚𝑥 − 2𝑚 𝑥
(2)(cid:104)(cid:229)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:166)(cid:105)(cid:123)(cid:28)(cid:77)(cid:32)(cid:209)(cid:37)(cid:181)(cid:233)(cid:29)(cid:123)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:29)(cid:70)(cid:82)
(3)(cid:104)(cid:229)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) , (cid:77)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34) +𝑚 ( +1) + +2 + (cid:29)(cid:35)(cid:82)
5 5 4 4 3 3
(cid:15)(cid:107)(cid:34)10-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:125)𝑥1(cid:114)𝑥2·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:3)(cid:87)𝑚(cid:29)𝑥(cid:49)1(cid:50)𝑥(cid:51)2(cid:42)−(cid:38)2(cid:39)𝑚 𝑥1+ 𝑥=20(cid:150)(cid:106)𝑥(cid:28)1 (cid:25)𝑥(cid:82)2
2
(1)(cid:32) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:82) 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑘
(2)(cid:84)𝑘(cid:134) (cid:105)(cid:209)(cid:37)(cid:181)(cid:233)(cid:29)(cid:234)(cid:18)(cid:123)(cid:28)(cid:77)(cid:154)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)( ) + + =0(cid:26)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:150)
2 2
(cid:49)(cid:63)(cid:92)(cid:191)𝑘(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:32)(cid:229)(cid:76) (cid:29)(cid:35)(cid:82) 𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥 𝑚−3 𝑥 −5𝑥 𝑘
(3)(cid:104)(cid:38)(cid:39) + =𝑚0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) , (cid:77)(cid:151)(cid:152) =4 (cid:77)(cid:32)(cid:229)(cid:76) (cid:29)(cid:35)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:34)10𝑥-2(cid:20)−5(cid:85)𝑥202𝑘5·(cid:127)(cid:128)(cid:156)(cid:235)·(cid:51)(cid:133)(cid:86)(cid:58)𝑥(cid:59)1𝑥(cid:139)2 (cid:105)(cid:49)𝑥(cid:50)1(cid:51)(cid:42)𝑥(cid:38)2(cid:39) 𝑘+ =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:82)
2 2
(1)(cid:32)(cid:123)(cid:28) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:203) 𝑎 𝑏 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
(2)(cid:104)(cid:155)(cid:34)𝑘 + =0(cid:165)(cid:236)(cid:77)(cid:32)(cid:123)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:34)10𝑎-3(cid:20)(cid:85)2𝑏2−45-25(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)𝑘(cid:237)(cid:238)(cid:239)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:240)(cid:241)(cid:49)(cid:10)(cid:242)(cid:243)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2
+ + =0( 0)(cid:150)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:154)(cid:151)(cid:152)| + |=| |(cid:77)(cid:81)(cid:244)(cid:229)(cid:245)(cid:38)(cid:39)(cid:80)“(cid:70)(cid:159)(cid:38)(cid:39)”(cid:82)𝑎𝑥
(cid:83) 𝑏 (cid:84) 𝑥 (cid:10) 𝑐 9 𝑎 + ≠9 =0(cid:77)(cid:246)( ) 𝑥1 3𝑥2 =0(cid:77)(cid:40)(cid:74) 𝑥1 = 𝑥 3 2 , = 𝑥1 3⋅𝑥2
2 2 2 2
2
𝑥 − 𝑥 𝑥−3 𝑥− 𝑥1 𝑥2
+ 3 = × 3 (cid:77) 9 + 9 =0(cid:105)“(cid:70)(cid:159)(cid:38)(cid:39)”(cid:82)
2 2 2 2
2
∵∣3 ∣ ∣3 ∣ ∴𝑥 − 𝑥
(cid:240)(cid:241)(cid:51)(cid:10)(cid:214)(cid:178)(cid:28)(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:253)(cid:254)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:29)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:81)(cid:10) + = , = (cid:77)(cid:200)(cid:255)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:208)(cid:256)(cid:244)(cid:257)“(cid:248)(cid:249)
𝑏 𝑐
(cid:242)(cid:232)”(cid:82)
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎𝑥1⋅𝑥2 𝑎
(1)(cid:38)(cid:39) +6=0 (cid:85)(cid:258)(cid:105)(cid:259)(cid:52)(cid:105)(cid:86)“(cid:70)(cid:159)(cid:38)(cid:39)”(cid:203)
2
(2)(cid:104)(cid:3)𝑥(cid:87)−x5(cid:29)𝑥(cid:38)(cid:39) ( +3) + =0(cid:105)“(cid:70)(cid:159)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)(cid:81) =_____
2
𝑥 − 𝑛 𝑥 3𝑛 𝑛(3)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) +( +1) + + =0(cid:105)“(cid:70)(cid:159)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)(cid:32)m(cid:29)(cid:35)(cid:82)
2 2
𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 2𝑚
