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第 10 课 认识一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2
3．关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（ ）
A． B． C． D． 为任意实数
4．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
5．下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若一元二次方程 有一个解为 ，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题
9．方程 的一次项系数是______．10．一元二次方程 化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是
_______，一次项系数是_______，常数项是_______．
11．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
12．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝
___．
13．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________
14．关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是________．
三、解答题
15．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
16．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
一次项系
方程 一般形式 二次项系数 常数项
数
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程B．方程4x2+3x=6不含常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0
D．（2-x）2=0是一元二次方程
4．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
5．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 ( )
A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解
6．若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则方程 必有一
根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、填空题
7．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
8．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：
_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
9．下列方程中，① ； ② ； ③ （其中 是常数）；
④ ； ⑤ ，一定是一元二次方程的有__________（填编号）
10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为
____.
11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣
2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+ ﹣ 的值是 ___．
12．根据如下表格对应值：
1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c 2 1 2
判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是___________．三、解答题
13．已知方程 .
（1）当 为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当 为何值时，此方程为一元一次方程？
14．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值．
15．若m是一元二次方程 的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式 的值．
16．（1）若方程 是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．
（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．
17．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x＝1，x＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b
1 2
＝0的解是 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；
小明的思路
第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出 的值；
第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，
则“x＋2”的值为 ，从而更简单地解决了问题．
策略运用
（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问
题，请用他们说的方法完成解答．
已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2019·甘肃兰州·中考真题） 是关于 的一元二次方程 的解，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则实
数 的值是（ ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么 的值为
（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
二、填空题
4．（2022·广东·中考真题）若 是方程 的根，则 ____________．
5．（2021·江苏宿迁·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
6．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则
的值是___．
7．（2018·四川资阳·中考真题）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则
m=_____．
8．（2018·湖北荆门·中考真题）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则
k的值为_____．
9．（2017·江苏镇江·中考真题）已知实数 满足 ，则代数式 的值等于
__________．
三、解答题
10．（2018·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣
8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根
