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第 10 课 认识一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二
次方程．
解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一
元二次方程是解题的关键．
2．关于x的方程 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，
b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二
次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解： ，化为一般式为则二次项系数和一次项系数分别是
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（ ）
A． B． C． D． 为任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可
得m2 1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2 1≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．
4．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程）进行判断即可．
解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；C. x2＋ ﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方
程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）．
5．下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义直接判断即可．
解： 是一元二次方程；
含有两个未知数，不是一元二次方程；
未知数在根号内，不是一元二次方程；
未知数在分母中，不是一元二次方程；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次
方程是解题关键．
6．若一元二次方程 有一个解为 ，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【解析】
【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k
的值．
把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，
解得k=1，k=-1，
1 2
而k-1≠0，
所以k=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，
得：1＋m﹣3＝0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
将 代入方程得到关于 和n的方程，从而即可期刊．
把 代入方程，得 ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于 和n的方程是解题的关
键．
二、填空题
9．方程 的一次项系数是______．
【答案】-8
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式解答．
解：方程 的一次项是 ，其系数是 ．
故答案是： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
10．一元二次方程 化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是
_______，一次项系数是_______，常数项是_______．
【答案】 3 2
【解析】
【分析】
首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到 ，然后
再确定二次项、一次项系数和常数项．
解：方程 整理为一般形式为 ，
∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是 ，
故答案为： ，3，2， ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是： （a，
b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中
a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．11．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，
解得：m≠1，
故答案是：m≠1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝
___．
【答案】 0 7
【解析】
【分析】
首先把方程变为一元二次方程的一般形式 ，再根据题意可得 ，进
而可得答案．
解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，
整理得， ，
∵为一元二次方程且不含x的一次项，
∴ ，
解得 ，
故答案为：0，7．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化
成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．
13．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________【答案】0
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)即可求得a-b+c的值．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为-1，
∴x=-1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴ ，即a-b+c=0．
故答案是：0．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够
使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是________．
【答案】6
【解析】
【分析】
把x＝0代入一元二次方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，求出m＝0，代入方程，解方程即可
求出方程的另一个根．
把x＝0代入方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，
解得：m＝0或1，
∵方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0是一元二次方程，
∴m−1≠0，
解得：m≠1，
∴m＝0，
代入方程得：−x2＋6x＝0，
−x（x−6）＝0，
x＝0，x＝6，
1 2
即方程的另一个根为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义的应用，解题的关键是求出m的值．三、解答题
15．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】（1） ；（2） ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【解析】
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；
解：（1）∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得
（2）∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ 即 ，
∴这个一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟
练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．
16．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
一次项系
方程 一般形式 二次项系数 常数项
数
【答案】见解析【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常
数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3 1
1 1
7 0
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）
特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，
c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题(共0分)
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程）进行判断即可．
解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C. x2＋ ﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方
程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）．
2．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
①变形为 ，是一元二次方程；
② ，整理变形为 ，最高次数为4，不是一元二次方程；
③ ，变形为 ，是一元二次方程；
④ 变形为 ，不是一元二次方程；
⑤ ，是分式方程；
故①③满足，共有 个一元二次方程
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0
D．（2-x）2=0是一元二次方程
【答案】D
【解析】【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
解：A、形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程，故此选项错误；
B、方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x-6=0含有常数项，故此选项错误；
C、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；
D、（2-x）2=0是一元二次方程，故此选项正确.
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化
简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【答案】C
【解析】
【分析】
把x=-1代入方程x2+mx+n=0求出n-m=-1，根据完全平方公式代入求出即可．
把x=-1代入方程x2+mx+n=0得出n-m=-1，
∴m2+n2﹣2mn=（m-n）2=1
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的解, 完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义
及完全平方式.
5．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 ( )
A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解
【答案】D
【解析】【分析】
由于实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，根据一元二次方程的解的意义可知，x=a，x=b都是方程x2-
3x+1=0的根．
∵实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，
∴x=a，x=b都是一元二次方程x2-3x+1=0的根．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
6．若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则方程 必有一
根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】
【分析】
把 化为： 再结合题意可得 从而可得方程的解.
解： 可化为：
关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
把 看作是整体未知数，则
即 有一根为
故选D
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.二、填空题(共0分)
7．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，
解得：m≠1，
故答案是：m≠1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：
_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
【答案】 m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为 ，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．下列方程中，① ； ② ； ③ （其中 是常数）；
④ ； ⑤ ，一定是一元二次方程的有__________（填编号）
【答案】①⑤
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：① 是一元二次方程；
② ，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；
③ （其中 是常数），a=0时不是一元二次方程；
④ ，整理后是一元一次方程；
⑤ 是一元二次方程；
一定是一元二次方程的有①⑤．
故答案为①⑤．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是 （且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点.
10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为
____.
【答案】-1
【解析】
【分析】
二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答.
根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键．
11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣
2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+ ﹣ 的值是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用新定义得到“天宫”方程的一个解为 ，则 ，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为 ，
方程 是“天宫”方程，
，
， ， ，
．故答案为： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整
体代入的方法计算是解决本题的关键．
12．根据如下表格对应值：
1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c 2 1 2
判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是___________．
【答案】0
