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第 10 课 认识一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二
次方程．
解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一
元二次方程是解题的关键．
2．关于x的方程 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，
b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二
次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解： ，化为一般式为则二次项系数和一次项系数分别是
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（ ）
A． B． C． D． 为任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可
得m2 1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2 1≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．
4．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程）进行判断即可．
解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；C. x2＋ ﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方
程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）．
5．下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义直接判断即可．
解： 是一元二次方程；
含有两个未知数，不是一元二次方程；
未知数在根号内，不是一元二次方程；
未知数在分母中，不是一元二次方程；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次
方程是解题关键．
6．若一元二次方程 有一个解为 ，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【解析】
【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k
的值．
把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，
解得k=1，k=-1，
1 2
而k-1≠0，
所以k=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，
得：1＋m﹣3＝0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
将 代入方程得到关于 和n的方程，从而即可期刊．
把 代入方程，得 ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于 和n的方程是解题的关
键．
二、填空题
9．方程 的一次项系数是______．
【答案】-8
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式解答．
解：方程 的一次项是 ，其系数是 ．
故答案是： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
10．一元二次方程 化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是
_______，一次项系数是_______，常数项是_______．
【答案】 3 2
【解析】
【分析】
首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到 ，然后
再确定二次项、一次项系数和常数项．
解：方程 整理为一般形式为 ，
∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是 ，
故答案为： ，3，2， ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是： （a，
b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中
a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．11．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，
解得：m≠1，
故答案是：m≠1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝
___．
【答案】 0 7
【解析】
【分析】
首先把方程变为一元二次方程的一般形式 ，再根据题意可得 ，进
而可得答案．
解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，
整理得， ，
∵为一元二次方程且不含x的一次项，
∴ ，
解得 ，
故答案为：0，7．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化
成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．
13．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________【答案】0
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)即可求得a-b+c的值．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为-1，
∴x=-1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴ ，即a-b+c=0．
故答案是：0．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够
使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是________．
【答案】6
【解析】
【分析】
把x＝0代入一元二次方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，求出m＝0，代入方程，解方程即可
求出方程的另一个根．
把x＝0代入方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，
解得：m＝0或1，
∵方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0是一元二次方程，
∴m−1≠0，
解得：m≠1，
∴m＝0，
代入方程得：−x2＋6x＝0，
−x（x−6）＝0，
x＝0，x＝6，
1 2
即方程的另一个根为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义的应用，解题的关键是求出m的值．三、解答题
15．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】（1） ；（2） ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【解析】
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；
解：（1）∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得
（2）∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ 即 ，
∴这个一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟
练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．
16．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
一次项系
方程 一般形式 二次项系数 常数项
数
【答案】见解析【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常
数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3 1
1 1
7 0
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）
特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，
c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题(共0分)
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋ ﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程）进行判断即可．
解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C. x2＋ ﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方
程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）．
2．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
①变形为 ，是一元二次方程；
② ，整理变形为 ，最高次数为4，不是一元二次方程；
③ ，变形为 ，是一元二次方程；
④ 变形为 ，不是一元二次方程；
⑤ ，是分式方程；
故①③满足，共有 个一元二次方程
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0
D．（2-x）2=0是一元二次方程
【答案】D
【解析】【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
解：A、形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程，故此选项错误；
B、方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x-6=0含有常数项，故此选项错误；
C、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；
D、（2-x）2=0是一元二次方程，故此选项正确.
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化
简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【答案】C
【解析】
【分析】
把x=-1代入方程x2+mx+n=0求出n-m=-1，根据完全平方公式代入求出即可．
把x=-1代入方程x2+mx+n=0得出n-m=-1，
∴m2+n2﹣2mn=（m-n）2=1
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的解, 完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义
及完全平方式.
5．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 ( )
A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解
【答案】D
【解析】【分析】
由于实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，根据一元二次方程的解的意义可知，x=a，x=b都是方程x2-
3x+1=0的根．
∵实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，
∴x=a，x=b都是一元二次方程x2-3x+1=0的根．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
6．若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则方程 必有一
根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】
【分析】
把 化为： 再结合题意可得 从而可得方程的解.
解： 可化为：
关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
把 看作是整体未知数，则
即 有一根为
故选D
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.二、填空题(共0分)
7．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，
解得：m≠1，
故答案是：m≠1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：
_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
【答案】 m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为 ，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．下列方程中，① ； ② ； ③ （其中 是常数）；
④ ； ⑤ ，一定是一元二次方程的有__________（填编号）
【答案】①⑤
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：① 是一元二次方程；
② ，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；
③ （其中 是常数），a=0时不是一元二次方程；
④ ，整理后是一元一次方程；
⑤ 是一元二次方程；
一定是一元二次方程的有①⑤．
故答案为①⑤．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是 （且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点.
10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为
____.
【答案】-1
【解析】
【分析】
二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答.
根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键．
11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣
2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+ ﹣ 的值是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用新定义得到“天宫”方程的一个解为 ，则 ，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为 ，
方程 是“天宫”方程，
，
， ， ，
．故答案为： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整
体代入的方法计算是解决本题的关键．
12．根据如下表格对应值：
1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c 2 1 2
判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是___________．
【答案】0<x<0.5或1.5<x<2
【解析】
【分析】
利用表中数 据得到x=1.5和x=2时，代数式ax2+bx+c的值一个小于1.5，一个大
于1.5，从而可判断当0＜x＜0.5或1.5＜x＜2时，代数式ax2+bx+c﹣1.5的值为0．
当x=0.5和1.5时，
当x=0和2时，ax2+bx+c=2，
所以方程的解的范围为0<x<0.5或1.5<x<2.
故答案为0<x<0.5或1.5<x<2
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具
体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的
值愈接近方程的根．
三、解答题(共0分)
13．已知方程 .
（1）当 为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当 为何值时，此方程为一元一次方程？
【答案】（1） （2） 或2
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面．
(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程，
∴
解得：m=4，
所以当m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程；
(2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程，
∴ 或 或
解得，m=5或m=2（无意义，舍去），
故当m为5时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各性质定义.
14．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】
把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，
解得：a＝2，b＝1，c＝−2，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，
注意系数对应相等的运用．
15．若m是一元二次方程 的一个实数根．（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义得到 ，即可求解；
（2）利用方程的解得到 ，推出 和 ，再整体代入原式即可求解．
（1）由于 是关于 的一元二次方程，
所以 ，
解得 ；
（2）由（1）知，该方程为 ，
把 代入，得 ，
所以 ，①
由 ，得 ，
所以 ，②
把①和②代入 ，
得 ，
即 ．
【点睛】
本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得
和 是解题的关键．
16．（1）若方程 是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．
【答案】（1） 且 ；（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；
（2）把 代入 中得到 ，再由 进行求解即可．
解：（1）∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ 且 ；
（2）∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题
的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．
17．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x＝1，x＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b
1 2
＝0的解是 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；
小明的思路
第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出 的值；
第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为 ，从而更简单地解决了问题．
策略运用
（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问
题，请用他们说的方法完成解答．
已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判
断△ABC的形状．
【答案】（1）x＝－1，x＝－4 （2）1或－2 （3）直角三角形
1 2
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用待定系数法求解即可.
（2）把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
（3）先根据有两个相等的实数根，再根据根于系数的关系列出方程，找到a、b、c的关系，从而判断三角
形的形状．
（1）解：将x＝1，x＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，
1 2
得 ，
∴ m＋1＝±(m－2)，
解得 m＝
∴ a( ＋1)2＋b＝0．
∴ － ＝
第2个方程可变形为(x＋ ＋2)2＝－ ，
即(x＋ )2＝ ，
解得：x＝－1，x＝－4
1 2
（2）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x=-2，x=1，（a，m，b均为常数，a≠0）；
1 2
（3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0，
∴ 方程必有一根是x＝1
∴ 方程的两根为x＝x＝1．
1 2∴ x·x＝1＝ ．
1 2
∴ a2＝b2＋c2．
∴ △ABC是一个直角三角形
【点睛】
此题考查根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2019·甘肃兰州·中考真题） 是关于 的一元二次方程 的解，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先把x=1代入方程 得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）
＝2×（－1）
＝－2.
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则实
数 的值是（ ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
【答案】B
【解析】
【分析】把x＝ 代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
解：根据题意得 ，
解得 ；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为
一元二次方程的根．
3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么 的值为
（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意有 ，即有 ，据此即可作答．
∵m为 的根据，
∴ ，且m≠0，
∴ ，
则有原式= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为 得到
是解答本题的关键．
二、填空题
4．（2022·广东·中考真题）若 是方程 的根，则 ____________．【答案】1
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程 ，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够
使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2021·江苏宿迁·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
【答案】-1
【解析】
【分析】
把x=3代入一元二次方程即可求出a．
解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程
根的意义是解题的关键．
6．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则
的值是___．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义把 代入到 进行求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
7．（2018·四川资阳·中考真题）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则
m=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程
求得m的值即可．∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这
一条件．
8．（2018·湖北荆门·中考真题）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则
k的值为_____．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二
次方程的定义确定k的值即可．把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k=0，k=﹣3，
1 2
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值是一元二次方程的解．
9．（2017·江苏镇江·中考真题）已知实数 满足 ，则代数式 的值等于
__________．
【答案】9【解析】
试题解析：∵ ，∴ ，∴ =
= = = = = =9．故答案为9．
三、解答题
10．（2018·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣
8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根
【答案】2（m2+m﹣1），2．
【解析】
【分析】
先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出m2+m=2，代入计
算可得．
解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运
算法则、方程的解的定义．
