文档文本内容
专题 2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:20)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:20)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:20)....................................................................................................................................................8
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. (cid:48)(cid:49)(cid:50)a(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53) (cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53)± (cid:55)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)144(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53) 1𝑎44=12(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:36)𝑎(cid:53)± 144= ±12(cid:55)
2. (cid:36)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:55)
(cid:56)(cid:57) =25(cid:54)(cid:29)(cid:64) =±5(cid:55)
2
(cid:30)(cid:65)(cid:66)𝑥(cid:54)(cid:46)(cid:67)(cid:27)(cid:34) 𝑥=p(cid:55)
2
>0 𝑥方程有两个不等的实数根 = ， =
𝑝=0 方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝒑=𝑥2 − 𝒑
𝑝<0 方程(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36) 𝑥1 𝑥2 𝟎
3. (cid:23)(cid:24)𝑝(cid:70)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:71)(cid:72)
(1)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) =p(cid:75)( + ) = ( 0, 0)(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:77)
2 2
(cid:78)2)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑥(cid:74)(cid:53)(cid:79)(cid:80)𝑚(cid:30)𝑥(cid:31)(cid:30)𝑛(cid:33)(cid:27)(cid:34)𝑝(cid:77)𝑝≥ 𝑚≠
(cid:78)3)(cid:29)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:64)(cid:81)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:55)
知识点2 配方法解一元二次方程
1. (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:83)(cid:54)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:89)(cid:90)(cid:54)(cid:91)(cid:85)(cid:92)(cid:37)(cid:93)(cid:90)(cid:35)(cid:94)(cid:44)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:54)(cid:100)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)
( + ) = (cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:57)(cid:101)(cid:89)(cid:90)(cid:102)(cid:30)(cid:80)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:29)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:94)(cid:98)(cid:99)
2
𝑥 𝑎 𝑏(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:40)(cid:61)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:55)
2. (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)((cid:115)(cid:56))
(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72) (cid:27)(cid:28) (cid:69)(cid:56) =0)
2
(cid:73)(cid:86)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:89)(cid:90)(cid:54)(cid:44) (9𝑦 −18𝑦−4
(cid:30)(cid:88) (cid:88)(cid:87) =4
(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:93)(cid:90)
2
9𝑦 −18𝑦
(cid:27)(cid:34)(cid:93)(cid:117)(cid:89)(cid:79)(cid:90)(cid:118)(cid:83)(cid:119)(cid:107)(cid:32)(cid:33) 4
(cid:32)(cid:74) (cid:32)(cid:33)(cid:87)(cid:116)(cid:50)(cid:74)(cid:53)1 =
(cid:87)(cid:116)(cid:50) 9
2
𝑦 −2𝑦
4
+1= +1
(cid:27)(cid:34)(cid:93)(cid:117)(cid:89)(cid:79)(cid:90)(cid:118)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:30)(cid:33) 9
(cid:120)(cid:35) (cid:35)(cid:27) 2
(cid:87)(cid:116)(cid:50)(cid:30)(cid:123)(cid:37)(cid:26)(cid:27) 𝑦 −2𝑦
(cid:100) = 13
9
2
(𝑦−1)
(cid:108)(cid:109)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
13
(cid:124)(cid:25) (cid:25)(cid:26)(cid:27)
=±
(cid:27) 3
(y−1)
(cid:125)(cid:29) (cid:64)(cid:126)(cid:79)(cid:80)(cid:36) (cid:88)(cid:87)(cid:54)(cid:127)(cid:128)(cid:118)(cid:129)(cid:87) y =1+ 13 (cid:54)y = 13
3 3
1 2 1−
(cid:130)(cid:131)(cid:10)(cid:132)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:90)(cid:35)(cid:94)(cid:133)(cid:3)(cid:67)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:134)(cid:54)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:136)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:140)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)
(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
3. (cid:29)(cid:21)(cid:142)(cid:58)(cid:10) ± = ± + (cid:54)(cid:85)(cid:7)(cid:40)(cid:143)(cid:37) (cid:144)(cid:145)(cid:96)(cid:97)(cid:50) (cid:54)(cid:128)(cid:109) (cid:146)(cid:147)(cid:54)(cid:148) ± = ± +
2 2 2 2 2
(cid:55) (𝑎 𝑏) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑏) 𝑥 2𝑏𝑥
2
𝑏
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. (cid:46)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) + + = 0)(cid:54)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:27)(cid:106)(cid:64) + ) = (cid:54)(cid:148)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:151)
2 𝑏 2 𝑏 2 −4 2 𝑎𝑐 2
(cid:37)(cid:152)(cid:9)(cid:153)(cid:154)(cid:55) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ (𝑥 2𝑎 4𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:30)(cid:65)(cid:66)(cid:54)(cid:40)(cid:155) (cid:62)(cid:63)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) + + =0(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:113)(cid:86)(cid:109)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)“ ”(cid:160)(cid:115)(cid:92)(cid:54)(cid:100) =
𝟐 2 𝟐
(cid:55) 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ∆ ∆ 𝒃
−2.𝟒 (cid:36)𝒂𝒄(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40) (cid:37)(cid:152)(cid:9)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)
(cid:78)1(cid:162) > (cid:30)∆(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)∆=0⟺(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)
(cid:78)3(cid:162)∆<0⟺(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
∆ 0⟺3. (cid:163)(cid:109)
(cid:78)1(cid:162)(cid:137)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:38)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:36)(cid:58)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:110)(cid:158)(cid:159)(cid:116)(cid:50)(cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:55)
知识点4 公式法解一元二次方程
±
1. (cid:132) 0(cid:83)(cid:54)(cid:27)(cid:34) + + = 0)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:168)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:106)(cid:169)(cid:53) = (cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:111)(cid:80)(cid:40)(cid:155)
𝟐
2 −𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
(cid:62)(cid:63)(cid:30)∆(cid:31)≥(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) 𝑎𝑥+ 𝑏+𝑥 =𝑐 0(cid:37)0((cid:110)𝑎(cid:36)≠(cid:7)(cid:40)(cid:55)(cid:73)(cid:170)(cid:116)(cid:50)(cid:23)(cid:24)(cid:146)(cid:171)(cid:110)(cid:36)(cid:7)𝒙(cid:40)(cid:54)(cid:111)(cid:112)𝟐𝒂(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
2
(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:55) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
>0 (cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) = ±
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
∆ 𝑥 2𝑎
=0 (cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) = =
𝑏
∆ 𝑥1 𝑥2 −2𝑎
<0 (cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)
2. (cid:108)∆(cid:109)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)
(cid:78)1(cid:162)(cid:85)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:30)(cid:65)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:172)(cid:154)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:37)(cid:47)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:110)(cid:126) = (cid:37)(cid:47)(cid:77)
2
∆ 𝑏 −4𝑎𝑐 ±
(cid:78)3(cid:162)(cid:173) 0(cid:54)(cid:148)(cid:73)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:37)(cid:47)(cid:146)(cid:174)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40) = (cid:110)(cid:126)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:54)(cid:173) <0(cid:54)(cid:148)(cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
𝟐
−𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥ 𝒙 𝟐𝒂 ∆
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. (cid:84)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:54)(cid:175)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:33)(cid:40)(cid:37)(cid:176)(cid:177)(cid:139)(cid:67)0(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:91)(cid:175)(cid:111)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:33)(cid:40)(cid:42)(cid:39)(cid:139)(cid:67)0(cid:54)(cid:178)
(cid:179)(cid:69)(cid:180)(cid:70)(cid:33)(cid:54)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:55)
2. (cid:181)(cid:127)(cid:109)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:110)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:76)(cid:40)3. (cid:108)(cid:109)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
(cid:124)(cid:29) (cid:169)(cid:126)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:29)
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)1(cid:20)(cid:173)(cid:27)(cid:34)(x﹣4)2(cid:182)a(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:29)(cid:54)(cid:148)a(cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:102)( )
A(cid:55)a≤0 B(cid:55)a≥0 C(cid:55)a(cid:183)0 D(cid:55)a(cid:184)0
(cid:15)(cid:185)(cid:40)1-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:190)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)( ) =( ) (cid:55)
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)1-2(cid:20)(cid:76)(cid:57) + ) = 0)(cid:37)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:102)(cid:78) (cid:162)3𝑥−1 𝑥−1
2
A(cid:55) =± (𝑥 𝑚B(cid:55) =𝑛±(𝑛≥+ C(cid:55) =± D(cid:55) = ±
(cid:15)(cid:185)(cid:40)𝑥1-3(cid:20)(cid:78)𝑛2025·(cid:197)(cid:198)(cid:199)𝑥(cid:200)·(cid:32)𝑚(cid:201)(cid:162)(cid:202)𝑛(cid:154)(cid:60)(cid:10) 𝑥 = 𝑛−𝑚(cid:55)(cid:173)( ) 𝑥 3−=𝑚1(cid:54)(cid:148)𝑛(cid:37)(cid:47)(cid:53) (cid:55)
2
𝑎⊗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗ 𝑥
【题型2 配方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)2(cid:20)(cid:78)2025·(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)·(cid:30)(cid:201)(cid:162)(cid:207)(cid:50)(cid:11)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:37)(cid:124)(cid:174)(cid:107)(cid:24)(cid:212)(cid:37)(cid:27)(cid:40)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:213)(cid:174)(cid:49)(cid:214)
(cid:98)(cid:94)(cid:30)(cid:80)(cid:71)(cid:72)(cid:78)(cid:57)(cid:215)(cid:162)(cid:54)(cid:216)(cid:17)(cid:144)(cid:134)(cid:54)(cid:217)(cid:180)(cid:218)(cid:134)(cid:219)(cid:101)(cid:102)(cid:220)(cid:221)(cid:37)(cid:54)(cid:128)(cid:222)(cid:10)“(cid:220)(cid:221)(cid:102)(cid:178)(cid:207)(cid:223)(cid:118)(cid:11)(cid:49)(cid:214)(cid:37)(cid:71)(cid:72)(cid:25)(cid:224)(cid:126)
(cid:180)(cid:37)(cid:55)”(cid:148)(cid:111)(cid:223)(cid:118)(cid:11)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
A(cid:55)(cid:225) B(cid:55)(cid:226) C(cid:55)(cid:227) D(cid:55)(cid:228)
(cid:15)(cid:185)(cid:40)2-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:229)(cid:206)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34) + +3=0(cid:83)(cid:54)(cid:173)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:185)(cid:76)(cid:53)
2
( + ) = (cid:54)(cid:148) =(cid:78) (cid:162) 𝑥 8𝑥
2
𝑥 A𝑝(cid:55)9 𝑞 𝑞−𝑝 B(cid:55)17 C(cid:55)13 D(cid:55)5
(cid:15)(cid:185)(cid:40)2-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:231)(cid:16)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)
(1) +12=0(cid:55)
2
(2)𝑥4 −8𝑥 +2=0(cid:77)
2
(cid:15)(cid:185)𝑥(cid:40)−27-3𝑥(cid:20)(cid:78)24-25(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:233)(cid:204)(cid:204)(cid:206)·(cid:230)(cid:234)(cid:162)(cid:189)(cid:235)(cid:102)(cid:210)(cid:236)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:114)(cid:34)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:128)(cid:98)(cid:94)(cid:138)(cid:163)
(cid:37)(cid:242)(cid:243)(cid:55)(cid:29)(cid:10)3 + =0
2
(cid:32)(cid:33)(cid:87)𝑥(cid:116)(cid:50)1(cid:74)2𝑥(cid:53)−61(cid:54)(cid:64) + =0 ……………………(cid:244)(cid:30)(cid:71)
2
(cid:88)(cid:87)(cid:54)(cid:64) + =2(cid:55)𝑥……4…𝑥−…2…………(cid:244)(cid:32)(cid:71)
2
(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:64)𝑥 +4𝑥+4=2+4(cid:54)(cid:100) +2) =6(cid:55)……………………(cid:244)(cid:120)(cid:71)
2 2
(cid:151)(cid:245)(cid:54)(cid:106)𝑥(cid:64) +4𝑥2= 6(cid:55)…………(…𝑥 ………(cid:244)(cid:124)(cid:71)
(cid:246)(cid:107)(cid:54) = 𝑥 + 6……………………(cid:244)(cid:125)(cid:71)
(cid:242)(cid:243)(cid:30)𝑥(cid:117)(cid:247)−(cid:248)2(cid:10)
“(cid:244)(cid:32)(cid:71)”(cid:185)(cid:76)(cid:37)(cid:50)(cid:11)(cid:142)(cid:58)(cid:102) (cid:77)(cid:78)(cid:109)(cid:249)(cid:158)(cid:250)(cid:251)(cid:247)(cid:248)(cid:162)
①(cid:210)(cid:236)(cid:118)(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:168)(cid:143)(cid:244)(cid:120)(cid:71)(cid:35)(cid:27)(cid:83)(cid:109)(cid:81)(cid:37)(cid:50)(cid:11)(cid:7)(cid:40)(cid:102) (cid:77)(cid:78)(cid:109)(cid:50)(cid:11)(cid:152)(cid:9)
②(cid:250)(cid:251)(cid:247)(cid:248)(cid:162)
(cid:210)(cid:236)(cid:118)(cid:11)(cid:37)(cid:29)(cid:21)(cid:114)(cid:34)(cid:143)(cid:54)(cid:178)(cid:244) (cid:71)(cid:25)(cid:224)(cid:126)(cid:180)(cid:220)(cid:221)(cid:54)(cid:220)(cid:221)(cid:37)(cid:82)(cid:41)(cid:102) (cid:55)
③(cid:242)(cid:243)(cid:32)(cid:117)(cid:237)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:10)4 =0(cid:55)
2
𝑥 −12𝑥−2
【题型3 根的判别式】
(cid:15)(cid:56)3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:233)(cid:16)(cid:255)(cid:256)·(cid:201)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:162)(cid:260)(cid:97)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) ( + ) + =0(cid:54)(cid:168)(cid:143) (cid:261)(cid:50)(cid:262)(cid:122)
2
(cid:37)(cid:46)(cid:163)(cid:263)(cid:57)(cid:215)(cid:246)(cid:115)(cid:54)(cid:148)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)(cid:78)𝑥 (cid:162) 𝑥 − 𝑚 𝑛 𝑥 𝑚𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:55)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) B(cid:55)(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)
C(cid:55)(cid:79)(cid:36)(cid:264)(cid:265)(cid:210)(cid:67)0 D(cid:55)(cid:79)(cid:36)(cid:264)(cid:177)(cid:18)(cid:67)0
(cid:15)(cid:185)(cid:40)3-1(cid:20)(cid:173)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34)3 + =0(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
2
A(cid:55) > 25 𝑥 B(cid:55) < 𝑥2−55𝑥 𝑎 C(cid:55) 25 𝑎 D(cid:55) 25
12 12 12 12
𝑎 𝑎 𝑎≤ 𝑎≥
(cid:15)(cid:185)(cid:40)3-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:266)(cid:267)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:260)(cid:97)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) +( +1) + =0(cid:55)
2
(1)(cid:110)(cid:268)(cid:10)(cid:68)(cid:269) (cid:165)(cid:270)(cid:47)(cid:54)(cid:245)(cid:27)(cid:34)(cid:271)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)𝑥(cid:55) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚
(2)(cid:132)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:80)𝑚(cid:36)(cid:102)1(cid:83)(cid:54)(cid:110) (cid:37)(cid:47)(cid:55)
(cid:15)(cid:185)(cid:40)3-3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:233)(cid:204)(cid:272)(cid:145)·𝑚(cid:32)(cid:201)(cid:162)(cid:154)(cid:60)(cid:254)(cid:51)(cid:10) ※ = + (cid:54)(cid:56)(cid:57)4※3=4 +4× ×3 (cid:54)(cid:148)
2 2 2 2
(cid:137)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:38)(cid:164)(cid:27)(cid:34)( +1)※2=0(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)𝑎 𝑏 (cid:55)𝑎 𝑎𝑏−2𝑏 3−2
𝑥
【题型4 公式法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)4(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:231)(cid:16)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:261)(cid:109)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:110)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:83)(cid:54)(cid:64)(cid:81) =
5± ( ) ×2×( ) 𝑥
(cid:54)(cid:148)(cid:273)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:106)(cid:274)(cid:53)(cid:78) (cid:162)
22×2
−5 −4 −1A(cid:55)2 + =0 B(cid:55)2 =0
2 2
C(cid:55) 𝑥 5𝑥−+1 1=0 D(cid:55)5𝑥 −5𝑥−1 =0
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)−4-21𝑥(cid:20)−(cid:78)52𝑥3-24(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:99)(cid:275)·(cid:276)(cid:134)(cid:145)(cid:277)(cid:162)(cid:109)(cid:7)𝑥(cid:40)−(cid:28)2𝑥(cid:29)−1(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:10)( )( )=0(cid:55)
𝑥−2 3𝑥−5
(cid:29)(cid:10)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)3 +10=0(cid:55)
2
= = 𝑥(cid:54)−11=𝑥10(cid:55)
𝑎 =3,𝑏 = 𝑐 ×3×10=1>0(cid:55)
2
Δ(cid:27)(cid:34)𝑏 − 4 𝑎𝑐 (cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55) −4
= = (cid:54)
𝑥 5
(cid:100) = (cid:54) = (cid:55)
3
𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)4-2(cid:20)(cid:78)23-24(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:99)(cid:275)·(cid:276)(cid:134)(cid:145)(cid:277)(cid:162)(cid:260)(cid:97) = (cid:78) 0(cid:162)(cid:54)(cid:148)(cid:40)(cid:155) + + (cid:37)(cid:47)
22
−𝑏+ 𝑏 −4𝑐 2 2
(cid:102) (cid:55) 𝑥 𝑏 −4𝑐≥ 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:185)(cid:40)4-3(cid:20)(cid:109)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)
(1) = (cid:77)
2
(2)−23𝑥 1−𝑥=0(cid:55)
2
𝑥 −4𝑥−3
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)5(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:278)(cid:212)(cid:267)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:173)(cid:27)(cid:34) +12=0(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:282)(cid:283)(cid:102)(cid:139)(cid:284) (cid:37)(cid:79)(cid:285)
2
(cid:90)(cid:286)(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:287)(cid:286)(cid:53)(cid:78) (cid:162)(cid:55) 𝑥 −8𝑥 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:55)10△𝐴𝐵𝐶 B(cid:55)14 C(cid:55)10(cid:75)14 D(cid:55)8(cid:75)10
(cid:15)(cid:185)(cid:40)5-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:266)(cid:267)(cid:288)(cid:289)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34)
(1) =0
2
(2)𝑥 −4𝑥−=5
2
(cid:15)(cid:185)(𝑥(cid:40)−45)-2(cid:20)(cid:78)102(0𝑥2−54·(cid:197)) (cid:198)(cid:197)(cid:290)·(cid:30)(cid:201)(cid:162)(cid:36)(cid:58)(cid:57)(cid:215)(cid:246)(cid:115)(cid:37)(cid:34)(cid:291)(cid:292)(cid:51)(cid:293)(cid:50) (cid:37)(cid:47)(cid:55)(cid:173)(cid:294)(cid:171) (cid:37)(cid:47)(cid:53)4(cid:54)(cid:148)(cid:294)(cid:126) (cid:37)(cid:47)
𝑦 𝑥 𝑦(cid:53)7(cid:55)(cid:173)(cid:294)(cid:126)(cid:37) (cid:47)(cid:53)13(cid:54)(cid:148)(cid:294)(cid:171)(cid:37) (cid:47)(cid:53) (cid:55)
𝑦 𝑥
(cid:15)(cid:185)(cid:40)5-3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:267)(cid:295)(cid:86)(cid:290)·(cid:30)(cid:201)(cid:162)(cid:173) =20(cid:54) =24(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:47)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
2 2
A(cid:55)±8 B(cid:55)±12 𝑎 −𝑏C(cid:55)±14𝑎𝑏 2𝑎D−(cid:55)𝑏±16
【题型6 换元法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)6(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:200)(cid:198)(cid:296)(cid:297)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:97)(cid:69)(cid:50) (cid:298)(cid:299)(cid:27)(cid:34)( + )( )+6=0(cid:54)(cid:148) + (cid:37)(cid:47)
2 2 2
(cid:102) (cid:55) 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:185)(cid:40)6-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:190)(cid:191)(cid:229)(cid:206)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:260)(cid:97)(cid:69)(cid:50)x(cid:298)(cid:299)( + ) ( + ) =0(cid:54)(cid:148)(cid:146)
2 2 2 2 2
(cid:50)(cid:40) + +1(cid:37)(cid:47)(cid:102)(cid:78) (cid:162) 𝑎 𝑏 −4 𝑎 𝑏 −12
2 2
A𝑎(cid:55)7 𝑏 B(cid:55) C(cid:55)7(cid:75) D(cid:55) (cid:75)3
(cid:15)(cid:185)(cid:40)6-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:186)(cid:187)(cid:188)−(cid:189)1·(cid:190)(cid:191)(cid:190)(cid:300)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:3)(cid:67)−1(cid:37)(cid:27)(cid:34) ( + )−+52025=0(cid:37)(cid:29)(cid:102) = (cid:54) =2
2
(cid:78) (cid:117) (cid:117) (cid:301)(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:54) 0(cid:162)(cid:55) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑘 𝑥1 −3 𝑥2
(cid:302)𝑎(cid:21)(cid:10)𝑘 𝑏 𝑎≠
(cid:78)1(cid:162)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34) ( +1+ ) +2025=0(cid:37)(cid:36)(cid:102) (cid:77)
2
(cid:78)2(cid:162)(cid:3)(cid:67)𝑥(cid:37)(cid:27)(cid:34)𝑎(𝑥 +4𝑘) +2025=0(cid:37)(cid:36)(cid:53) (cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)6-3𝑥(cid:20)(cid:78)24-2𝑎5𝑥(cid:186)−(cid:187)𝑘 (cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:127)(cid:303)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:240)(cid:241)(cid:161)(cid:304)(cid:305)(cid:10)
(cid:189)(cid:235)(cid:102)(cid:186)(cid:78)1(cid:162)(cid:306)(cid:11)(cid:196)(cid:210)(cid:211)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:11)(cid:196)(cid:310)(cid:311)(cid:37)(cid:312)(cid:42)(cid:313)(cid:314)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:128)(cid:98)(cid:94)(cid:138)(cid:163)(cid:242)(cid:243)(cid:55)(cid:307)(cid:308)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)
(cid:202)(cid:29)(cid:28)(cid:315)(cid:269)(cid:30)(cid:112)(cid:3)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:202)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:30)(cid:316)(cid:317)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:30)(cid:33)(cid:87)(cid:54)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:318)(cid:74)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)
(cid:73)(cid:168)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:319)(cid:30)(cid:71)(cid:110)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:55)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:20)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) =0(cid:54)
2
(cid:320) = + (cid:78)m(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:162)𝑥(cid:54)−4𝑥−6
(cid:73)𝑥(cid:82)(cid:27)𝑦(cid:34)(cid:74)𝑚(cid:53)( + ) ( + ) =0(cid:54)
2
(cid:27)(cid:34) (cid:321)(cid:322)(cid:54)(cid:64)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:54)
2 2
(cid:323) ① =0(cid:54)(cid:29)𝑦(cid:64) =2𝑚2(cid:55)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:132)2𝑚=−42(cid:83)(cid:54) 𝑚 =2 × = (cid:54)
2 2
𝑚(cid:27)(cid:34) (cid:74)(cid:53)𝑚 −4𝑚−=60(cid:54)(cid:29)−(cid:64)4 =2−610(cid:54)−10= 10(cid:54)
2
∴ =② + 𝑦=−__1_0________(cid:54)𝑦1= + 𝑦=2 ___−________(cid:55)
∴𝑥1 𝑦1 𝑚 𝑥2 𝑦2 𝑚(cid:242)(cid:243)(cid:10)
(1)(cid:23)(cid:24)(cid:169)(cid:126)(cid:324)(cid:325)(cid:143)“ ”(cid:312)(cid:42)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29) =___________(cid:54) =___________(cid:55)
(2)(cid:326)(cid:327)(cid:324)(cid:325)(cid:143)“(cid:56)(cid:57)”(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑥1(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)3 + 𝑥+2 1=0(cid:55)
2
𝑥 12𝑥
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
(cid:15)(cid:56)7(cid:20)(cid:78)24-25(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:233)(cid:204)(cid:190)(cid:206)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:95)(cid:174)(cid:222)“(cid:50)(cid:11)(cid:102)(cid:304)(cid:328)(cid:37)(cid:329)(cid:330)”(cid:54)(cid:254)(cid:109)(cid:265)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:37)“(cid:50)(cid:11)(cid:304)(cid:335)”(cid:265)“(cid:50)
(cid:11)(cid:27)(cid:28)”(cid:102)(cid:11)(cid:283)(cid:50)(cid:11)(cid:37)(cid:336)(cid:334)(cid:28)(cid:337)(cid:55)(cid:240)(cid:241)(cid:189)(cid:338)(cid:56)(cid:21)(cid:339)(cid:168)(cid:29)(cid:340)(cid:114)(cid:34)(cid:10)
(cid:56)(cid:10)(cid:29)(cid:27)(cid:34) =0(cid:55)
2
(cid:29)(cid:10) (cid:132) 𝑥 0−(cid:83)2|(cid:54)𝑥|−(cid:82)3(cid:27)(cid:34)(cid:53) =0(cid:54)
2
(cid:29)(cid:64)①=𝑥≥(cid:78)(cid:161) 0(cid:341)(cid:342)(cid:54)𝑥(cid:343)−(cid:317)2𝑥(cid:162)−(cid:54)3 =3(cid:55)
(cid:132)𝑥1<0−(cid:83)1(cid:54)(cid:82)(cid:27)𝑥≥(cid:34)(cid:53) + =0(cid:54)𝑥2
2
②(cid:29)(cid:64)𝑥 =1(cid:78)(cid:161) <0(cid:341)(cid:342)𝑥(cid:54)(cid:343)2𝑥(cid:317)−(cid:162)3(cid:54) = (cid:55)
(cid:246)(cid:107)𝑥(cid:82)1(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)𝑥(cid:102) =3(cid:54) = (cid:55)𝑥2 −3
(cid:261)(cid:122)(cid:235)(cid:37)(cid:29)(cid:340)(cid:114)(cid:34)𝑥(cid:143)1(cid:54)(cid:344)(cid:345)𝑥(cid:46)2 x(cid:319)−3(cid:346)(cid:315)(cid:269)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:74)(cid:347)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:55)(cid:111)(cid:102)(cid:29)(cid:153)(cid:50)(cid:11)(cid:302)(cid:21)(cid:37)(cid:30)(cid:112)(cid:336)(cid:334)(cid:304)(cid:335)——(cid:42)(cid:129)
(cid:315)(cid:269)(cid:55)
(cid:242)(cid:243)(cid:10)(cid:237)(cid:348)(cid:327)(cid:122)(cid:349)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10) =0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)7-1(cid:20)(cid:78)22-23(cid:232)(cid:187)(cid:188)(cid:122)·(cid:350)𝑥(cid:351)−(cid:352)|𝑥(cid:353)|−·2(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34) + =0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)7-2(cid:20)(cid:29)(cid:27)(cid:34) |2 +3|+9=0(cid:55) 𝑥 −|𝑥 1|−1
2
(cid:15)(cid:185)(cid:40)7-3(cid:20)(cid:78)22-23𝑥(cid:232)−(cid:187)2(cid:188)𝑥(cid:122)·(cid:200)(cid:351)(cid:354)(cid:82)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34) =0
2
𝑥 −|𝑥−5|−2
【题型8 配方法】
(cid:15)(cid:56)8(cid:20)(cid:78)2025·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:190)·(cid:30)(cid:201)(cid:162)(cid:260)(cid:97) (cid:54) (cid:54) (cid:53)(cid:69)(cid:50)(cid:54)(cid:355) + = +3 (cid:54) = + (cid:54)(cid:148) (cid:54)
2 2
(cid:54) (cid:264)(cid:356)(cid:37)(cid:18)(cid:210)(cid:3)(cid:116)(cid:102)(cid:78) (cid:162) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧A(cid:55) < B(cid:55) < C(cid:55) < D(cid:55) <
(cid:15)(cid:185)(cid:40)𝑥8-1(cid:20)𝑦(cid:78)≤2𝑧4-25(cid:232)(cid:187)(cid:188)𝑦(cid:122)·𝑥(cid:233)≤(cid:204)𝑧(cid:287)(cid:357)·(cid:230)(cid:143)(cid:162)(cid:173)𝑦(cid:146)≤(cid:50)𝑧(cid:40) 𝑥 + (cid:106)(cid:74)𝑧(cid:53)( 𝑥+≤𝑦) (cid:54)(cid:148) + (cid:37)(cid:47)(cid:102)
2 2
(cid:78) (cid:162) 𝑥 −4𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −1 𝑎 𝑏
A(cid:55)2 B(cid:55)1 C(cid:55) D(cid:55)
(cid:15)(cid:185)(cid:40)8-2(cid:20)(cid:78)2025·(cid:190)(cid:191)(cid:358)(cid:290)·(cid:201)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:162)(cid:260)(cid:97)(cid:69)(cid:50)−2a(cid:54)b(cid:298)(cid:299) + = −1>0(cid:54)(cid:148)(cid:189)(cid:338)(cid:38)(cid:164)(cid:136)(cid:172)(cid:37)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
A(cid:55) + >2, + + <4 B(cid:55) + <2, 𝑎+ 2𝑏+ 4,<𝑎 4
2 2
C(cid:55)𝑎+𝑏>2,𝑎 +5𝑎+2𝑏>4 D(cid:55)𝑎+𝑏 <2,𝑎 +5𝑎+2𝑏 >4
2 2
𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏(cid:15)(cid:185)(cid:40)8-3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:200)(cid:198)(cid:359)(cid:360)·(cid:30)(cid:201)(cid:162)(cid:260)(cid:97) (cid:53)(cid:69)(cid:50)(cid:54)(cid:320) = + +25 +5(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:218)(cid:18)(cid:47)(cid:102)
2 2
(cid:78) (cid:162) 𝑥 𝑑 𝑥 6𝑥 − 𝑥 −2𝑥 𝑑
A(cid:55)2 2 B(cid:55)2 5 C(cid:55)5 D(cid:55)6
