专题2.4一元二次方程的根与系数的关系(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(北师大)

专题 2.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)............................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)....................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:20)....................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:20)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:28)(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:20)..........................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:20)..................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:52)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:29)(cid:56)(cid:57)(cid:20)......................................................................................15
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:53)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:49)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:20)..............................................................................17
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:29)(cid:68)(cid:37)(cid:69)(cid:24)(cid:20)..........................................................................................20
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:70)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:29)(cid:68)(cid:37)(cid:72)(cid:24)(cid:20)......................................................................................23
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. (cid:53)(cid:32)(cid:25)(cid:7)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:76)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + = 0)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) = (cid:77) =
𝟐
2 −𝒃+ 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥𝟎 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ 𝑥1 𝟐𝒂 𝑥2
,(cid:81) + = (cid:77) = (cid:82)
𝟐
−𝒃− 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝒃 𝒄
(cid:83)(cid:84)𝟐(cid:10)𝒂(cid:38)(cid:39) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = −𝒂 0(cid:29)𝑥(cid:78) 1𝑥(cid:25) 2 (cid:80)𝒂 (cid:77) (cid:77)(cid:81) + = (cid:77) = (cid:82)
2
2. (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)𝑥(cid:38)(cid:39)𝑝(cid:25)𝑥(cid:26)(cid:27)𝑞(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:29)(cid:72)𝑥(cid:24)1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝒑 𝑥1𝑥2 𝒒
(cid:85)1(cid:86)(cid:52)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:32)(cid:3)(cid:87)(cid:38)(cid:39)(cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)2(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:49)(cid:25)(cid:77)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:62)(cid:49)(cid:25)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)3(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:29)(cid:35)(cid:82)
(cid:85)4(cid:86)(cid:26)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:92)(cid:36)(cid:37)(cid:77)(cid:40)(cid:93)(cid:49)(cid:94)(cid:68)(cid:37)(cid:21)(cid:82)
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104) (cid:105)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
𝑏 𝑎
2
𝑎,𝑏 𝑥 𝑥 −𝑥−3 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 7
3
−
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:79)(cid:34)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:77)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:7)(cid:34)(cid:29)(cid:117)(cid:67)(cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)
2
𝑎𝑥+ + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25) (cid:122) (cid:123)(cid:124) + = (cid:77) = (cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
𝑏 𝑐
𝑏𝑥 𝑐 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:127) + =1(cid:77) = (cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:130) + (cid:117)(cid:67)(cid:129)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:32)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:82)
𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) a(cid:77)b(cid:105)(cid:38)(cid:39) = 𝑎 0(cid:29)𝑏(cid:78)(cid:63)(cid:106)𝑎(cid:28)𝑏(cid:25)(cid:77)−3 𝑎 𝑏
2
+ =1(cid:77)∵ = 𝑥 −𝑥−3
∴𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑏 =( −3) =1 ×( )= 7 (cid:82)
2 2 2 2 3
𝑏 𝑎 𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 −2𝑎𝑏 −2 −3
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 −3 −
7
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) (cid:82)
3
(cid:15)(cid:117)(cid:34)1-1(cid:20)−(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:140)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81)
2
= (cid:82) 𝑎,𝑏 𝑥 𝑥−2025
𝑎(cid:15)𝑏(cid:107)−𝑎(cid:108)−(cid:20)𝑏
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)−(cid:110)2(cid:21)02(cid:111)4(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:141)(cid:142)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:74)(cid:127) + = = (cid:77)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:143)
(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:82)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82) 𝑎 𝑏 −1,𝑎𝑏 −2025
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
+ = ∵𝑎=,𝑏 (cid:77) 𝑥 𝑥−2025
∴𝑎 𝑏 −=1,𝑎𝑏 (−+202)5= ( )= (cid:148)
∴(cid:136)𝑎(cid:107)𝑏−(cid:108)𝑎−(cid:80)𝑏(cid:10) 𝑎𝑏− 𝑎(cid:82) 𝑏 −2025− −1 −2024
(cid:15)(cid:117)(cid:34)1-2(cid:20)−(cid:85)202244-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:18)(cid:152)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:105) (cid:77) (cid:77)(cid:81)
2
+ (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑥 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
2 2
𝑥(cid:15)1(cid:107)(cid:108)𝑥2(cid:20)5
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:29)(cid:78)(cid:63)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:70)(cid:27)(cid:28) (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:153)(cid:84)(cid:98)(cid:3)(cid:27)(cid:10) + = (cid:77) = (cid:77)(cid:53)(cid:21)(cid:73)(cid:74) + = (cid:77)
𝑏 𝑐
=
(cid:77)𝑥1 (cid:154)(cid:23)𝑥2 (cid:24)(cid:114)(cid:115)(cid:116)𝑎(cid:38)𝑏(cid:7)(cid:34)𝑐(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:40)(cid:82)𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1⋅𝑥2 𝑎 𝑥1 𝑥2 −1 𝑥1⋅𝑥2
(cid:15)(cid:135)−(cid:40)2 (cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:105) (cid:77) (cid:77)
2
+ = ∵(cid:77) = 𝑥(cid:77) 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
∴𝑥1+𝑥2 =−( 1 +𝑥1⋅)𝑥2 −2 =( ) ×( )=5(cid:77)
2 2 2 2
∴(cid:136)𝑥(cid:107)1 (cid:108)𝑥(cid:80)2 (cid:10)5𝑥(cid:82)1 𝑥2 −2𝑥1⋅𝑥2 −1 −2 −2
(cid:15)(cid:117)(cid:34)1-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:151)(cid:155)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:85)m(cid:80)(cid:56)(cid:131)(cid:28)(cid:86)(cid:29)
2 2
(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:161)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:84)(cid:10)(cid:75) =1(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:161)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:81) 𝑥 1 + 2𝑥1− + 𝑚1− + 𝑚1 + + 1 + 1
𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚 𝛼1 𝛽1 𝛼1 𝛽1 𝛼2 𝛽2 ⋯ 𝛼2025 𝛽2025= (cid:82)
2025
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)
1013
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:53)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:162)
+ = (cid:77) = ( + )(cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:74)(cid:162) 1 + 1 =2 1 1 (cid:77)(cid:53)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:40)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)
1
2
𝛼(cid:168) 𝑚 (cid:169)(cid:59)𝛽(cid:170) 𝑚 (cid:171)(cid:172)−2(cid:173)(cid:174)𝛼(cid:69) 𝑚𝛽(cid:24) 𝑚 (cid:105)(cid:40)−(cid:165)𝑚(cid:21)(cid:29)(cid:3)𝑚(cid:125)(cid:82) 𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚−𝑚+
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:85)m(cid:80)(cid:56)(cid:131)(cid:28)(cid:86)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:161)(cid:80) (cid:77) (cid:77)
2 2
+ = ∵ (cid:77) = 𝑥( 2+𝑥−𝑚)(cid:77)−𝑚 𝛼𝑚 𝛽𝑚
2
∴𝛼1 𝑚
+
1𝛽𝑚
=
−2
=
𝛼𝑚𝛽𝑚 −
=
𝑚
2
1 𝑚 1
(cid:77)
( ) 1
𝛼𝑚+𝛽𝑚 −2
2
∴𝛼1 𝑚 𝛽1 𝑚 1𝛼𝑚𝛽1 𝑚 − 𝑚 +1𝑚 1 𝑚−𝑚+
+ + + + + +
∴𝛼1 𝛽1 1𝛼2 𝛽12 ⋯1 𝛼2025 𝛽20125 1
=2 + +…+
2 2 3 2025 2026
1− 1 − −
=2×
2026
20251−
= (cid:77)
1013
2025
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) (cid:82)
1013
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:176)(cid:157)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104) (cid:77) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:33)(cid:28)(cid:34)2
2 2
+ + +5(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−2025 𝛼
(cid:15)6(cid:107)𝛼(cid:108)(cid:20)2𝛽4051
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:118)(cid:59)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:130) = (cid:33)(cid:133)(cid:179)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:154)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27) + = (cid:134)(cid:73)(cid:40)(cid:93)(cid:180)(cid:21)(cid:82)
𝑏
(cid:15)𝑥(cid:135)(cid:40)𝛼(cid:20)(cid:40)(cid:10) α(cid:77)β(cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0 𝑥(cid:29) 1 (cid:78)𝑥(cid:63) 2 (cid:106)(cid:28)−𝑎(cid:25)(cid:77)
2
+
∵
=0(cid:77) +
𝑥
=
22𝑥
=
−202
(cid:77)
5
1
2
∴𝛼 2𝛼−2025 𝛼 𝛽 − −2
+ =2025(cid:77)
2
∴(cid:81)𝛼2 2+𝛼 + +5=2 + + + +5
2 2
=2𝛼( +6𝛼 )2+𝛽2( + )𝛼+54𝛼 2𝛼 2𝛽
2
=2×𝛼20225𝛼+2×(𝛼 )𝛽+5
−2=4051(cid:77)
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)4051(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)2-1(cid:20)(cid:85)2025·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:138)·(cid:89)(cid:111)(cid:184)(cid:21)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:70) (cid:77)(cid:81)(cid:33)(cid:28)(cid:34) +
2 2
(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑥 −5𝑥−24 𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)29
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:70) (cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
2
+ =5(cid:77) =24(cid:77)(cid:185) + (cid:131)(cid:186)(cid:73)(cid:74)(cid:10) + 𝑥=−(5𝑥−24)+( + )(cid:77)(cid:154)(cid:23)(cid:24)𝑎(cid:131)𝑏(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:143)(cid:32)
2 2 2 2
𝑎(cid:35)(cid:134)𝑏(cid:73)(cid:82) 𝑎 −5𝑎 𝑎 −4𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏 𝑎 −5𝑎 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:70) (cid:77)
2
+ =5(cid:77)∵ 𝑥 −5=𝑥−02(cid:77)4 𝑎 𝑏
2
∴𝑎 𝑏 =24𝑎(cid:77)−5𝑎−24
2
∴𝑎 −5𝑎+
2
∴=𝑎 −4𝑎 +𝑏 +
2
=𝑎( −5𝑎 )+𝑎 ( 𝑏+ )
2
=2𝑎4+−55𝑎 𝑎 𝑏
=29(cid:82)
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)29(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)2-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:138)(cid:152)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:70) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81) +
2 2
( )(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82) 𝑎 𝑏 𝑥 4𝑥−4 𝑎 5𝑎−𝑏
(cid:15)𝑎−(cid:107)1(cid:108)(cid:20)4
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:88)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:162) = (cid:77)
+ = (cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:74) + =0(cid:77)(cid:154)(cid:130) + ( )(cid:117)(cid:67)(cid:80) + 𝑎+𝑏 ( −+4 )(cid:77)(cid:187)(cid:129)(cid:131)(cid:132)
2 2 2
𝑎(cid:33)(cid:133)𝑏(cid:32)(cid:35)−(cid:134)4(cid:73)(cid:82) 𝑎 4𝑎−4 𝑎 5𝑎−𝑏 𝑎−1 𝑎 4𝑎−𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:70) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)
2
+ =∵0𝑎(cid:77)𝑏 = (cid:77)𝑥 +4𝑥−=4 (cid:77)
2
∴𝑎 +4𝑎−=44(cid:77) 𝑎𝑏 −4 𝑎 𝑏 −4
2
∴𝑎 +4𝑎 ( )
2
=∴𝑎 +5𝑎−𝑏 𝑎−+1
2
=𝑎 +5𝑎−𝑎𝑏+𝑏( + )
2
𝑎 4𝑎−𝑎𝑏 𝑎 𝑏= ( )+( )
=44−(cid:82)−4 −4
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)4(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)2-3(cid:20)(cid:85)2025·(cid:188)(cid:16)·(cid:49)(cid:189)(cid:86)(cid:84)(cid:190)m(cid:77)n(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) =3(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:191)(cid:192)2 + (cid:29)
2 2
(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −𝑥 𝑛 −𝑚𝑛 2𝑚
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)11
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:193)(cid:194)(cid:122)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:32)(cid:35)(cid:195)(cid:59)(cid:170)(cid:171)(cid:77)(cid:120)(cid:121)(cid:49)(cid:50)
(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)
(cid:196)(cid:130)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:197)(cid:80)(cid:49)(cid:198)(cid:67)(cid:34)(cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:127) + = = (cid:168)(cid:88)(cid:38)(cid:39)
(cid:29)(cid:40)(cid:73)(cid:74) =3+ (cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:199)2 + (cid:117)(cid:67)(cid:129)(cid:33)(cid:133)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:40)(cid:107)(cid:82) 𝑚 𝑛 1,𝑚𝑛 −3
2 2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)𝑛(cid:40)(cid:10) m(cid:77)𝑛n(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)𝑛(cid:38)−(cid:39)𝑚𝑛 2𝑚=3(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:134) =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 2
+ = ∵ = =0 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥−3
2
∴𝑚 =𝑛3+1,𝑚𝑛 −3,𝑛 −𝑛−3
2
∴𝑛2 +𝑛
2
∴=2𝑛(3−+𝑚𝑛) (2𝑚)+
=6+ 𝑛+−3+−3 2𝑚
=9+22(𝑛 + )2𝑚
=9+2×𝑛1 𝑚
=11(cid:82)
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)11(cid:82)
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
(cid:15)(cid:83)3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:200)(cid:197)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:122) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + +2(cid:29)
2 3
(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−1 𝛼 5𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)−(cid:110)1(cid:21)0(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74) + =0(cid:77) + = (cid:77)
2
(cid:130)(cid:179)(cid:34)(cid:117)(cid:67)(cid:77)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73) 𝛼 2𝛼−1 𝛼 𝛽 −2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:122) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)
2
+ =∵0𝛼(cid:77)𝛽+ = 𝑥 (cid:77)2𝑥−1
2
∴𝛼 =2𝛼−1 (cid:77) +𝛼 𝛽=1−2
2 2
∴𝛼 1−2𝛼 𝛼 2𝛼+ +2
3
∴=𝛼 5𝛽+ +2
2
=𝛼(⋅𝛼 )5+𝛽 +2
=𝛼 1−2𝛼 5+𝛽 + +2
2
=𝛼−(22𝛼 −+4𝛼 )4+𝛼 5+𝛽 +2
2
=𝛼− 𝛼( +4𝛼 )+4𝛼 +5𝛽2
2
=55(𝛼−+2 𝛼) 2𝛼 5𝛽
=5×𝛼( 𝛽)
= −(cid:77)2
(cid:136)(cid:107)−(cid:108)10(cid:80)(cid:10) (cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)3-1(cid:20)−(cid:85)1024-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:201)(cid:202)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:122) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + +2=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + +5
2 3
(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝛼 𝛽 𝑥 4𝑥 𝛼 14𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 43
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)−(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:70)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:203)(cid:204)(cid:28)(cid:205)(cid:206)(cid:143)(cid:29)(cid:207)(cid:24)(cid:77)(cid:120)(cid:121)(cid:49)(cid:50)
(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:70)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:3)(cid:125)(cid:82)(cid:53)(cid:21)(cid:208)(cid:73)(cid:59) + = (cid:77) + +2=0(cid:77)(cid:144)(cid:164)(cid:131)(cid:186)(cid:162)
2 3
= +8(cid:77)(cid:130)(cid:209)(cid:33)(cid:133)(cid:197)(cid:210)(cid:32)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:82) 𝛼 𝛽 −4 𝛼 4𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:135)14(cid:40)𝛼(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:25)(cid:126)(cid:21)(cid:208)(cid:77) (cid:122) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + +2=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:25)(cid:77)
2
+ = (cid:77) + +2𝛼=𝛽0(cid:77) 𝑥 4𝑥
2
∴𝛼 =𝛽 −4 (cid:77)𝛼 4𝛼
2
∴𝛼 =−4𝛼−2= = ( ) = +8(cid:77)
3 2 2
∴𝛼 + 𝛼⋅𝛼+5=−4𝛼 −+28𝛼+ −4 +−45𝛼=−214−(2𝛼+ )1+4𝛼13=14×( )+13= (cid:82)
3
∴(cid:136)𝛼(cid:107)(cid:108)1(cid:80)4𝛽(cid:10) 43(cid:82)14𝛼 14𝛽 𝛼 𝛽 −4 −43
(cid:15)(cid:117)(cid:34)3-2(cid:20)−(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:188)(cid:16)(cid:211)(cid:212)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:84)(cid:190)m(cid:77)n(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:191)
2
(cid:192)(cid:213)(cid:214)(cid:34) + + 3 +2032(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82) 𝑥 𝑥−3
3
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 𝑚 2029 3𝑛−𝑚𝑛 𝑛
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
( 0)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:76)(cid:77) + = (cid:77) = (cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)(cid:196)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:162) + = (cid:77)
𝑏 𝑐
𝑎≠ 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎 𝑚 𝑛 −1
1 1 3
= (cid:77)(cid:154)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:74)(cid:127) = +3(cid:77) = (cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:74)(cid:127) = (cid:77) = +1(cid:77)
3
𝑛+
2 3
𝑚𝑛 −3 𝑚 −𝑚 𝑛 𝑚 4𝑚−3 𝑛 𝑛(cid:81)(cid:179)(cid:34)(cid:197)(cid:210)(cid:80)4( + ) +2032(cid:77)(cid:187)(cid:129)(cid:23)(cid:24)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:29)(cid:38)(cid:143)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) 𝑚(cid:122)𝑛(cid:105)−(cid:49)𝑚(cid:50)𝑛(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
2
+ = ∵(cid:77)𝑚 𝑛= (cid:77) + 𝑥=0𝑥(cid:77)−3 + =0
2 2
∴𝑚 =𝑛 −+13(cid:77)𝑚𝑛( +−31)=𝑚3 𝑚−3 𝑛 𝑛−3
2
∴𝑚 = −(𝑚 +3)𝑛=𝑛 + = ( +3)+ =
3 2
∴1
=
𝑚 1
(cid:77)
𝑚
(cid:134)
−3𝑚
= +1
−𝑚 3𝑚 − −𝑚 3𝑚 4𝑚−3
3
𝑛+
𝑛 𝑛 𝑛 3
+ + +2032
3
∴𝑚 3𝑛−𝑚𝑛
= + + +1+2032
𝑛
=4𝑚−+3 3𝑛−𝑚𝑛+𝑛2032
=44(𝑚 +4𝑛)−𝑚𝑛−+22030
=4×𝑚( 𝑛)−(𝑚𝑛)+2030
=2029−1 − −3
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)2029(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)3-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:215)(cid:188)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:32) +3
2 6
(cid:29)(cid:35)(cid:80) 𝛼 𝛽 𝑥 𝑥−3 𝛼 −40𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)100
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2
𝑎𝑥
+ + =0( 0)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:70)(cid:27)(cid:28) (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:153)(cid:84)(cid:98)(cid:3)(cid:27)(cid:10) + = (cid:77) = (cid:77)(cid:53)(cid:21)(cid:208)
𝑏 𝑐
(cid:74)𝑏(cid:162)𝑥 𝑐 + 𝑎 = ≠ 0(cid:77) + = (cid:77)(cid:163)𝑥1 (cid:164)(cid:74)𝑥2 (cid:162) + 𝑎 = 𝑏 3(cid:77)𝑐(cid:32)(cid:162) = + 𝑥1 57(cid:77)𝑥(cid:131) 2 (cid:132)−(cid:33)𝑎(cid:133)(cid:146)𝑥1 (cid:147)⋅𝑥(cid:134) 2 (cid:73)(cid:74)𝑎 (cid:162)(cid:107)(cid:108)(cid:82)
2 2 6
(cid:15)(cid:135)𝛼(cid:40)(cid:20)(cid:40)𝛼−(cid:10)3 (cid:122) 𝛼(cid:105)(cid:49)𝛽(cid:50)(cid:51)−(cid:42)1(cid:38)(cid:39) + 𝛼 =𝛼0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77) 𝛼 −40𝛼
2
+ =0∵(cid:77)𝛼 𝛽+ = (cid:77) 𝑥 𝑥−3
2
∴𝛼 =𝛼−3 (cid:77) 𝛼 𝛽 −1
2
∴𝛼 =3−𝛼( +3)= + = + = (cid:77)
3 2
∴𝛼 =𝛼( ⋅ )−𝛼 −𝛼 3𝛼 𝛼−3 3𝛼 4𝛼−3
6 3 2
∴=𝛼( 𝛼)
2
=146𝛼−3 +9
2
=16𝛼( −2)4𝛼 +9
= 3−𝛼 −24𝛼+9
48−16𝛼−24𝛼= +57(cid:77)
−40𝛼 +3
6
∴=𝛼 −40𝛽 +57+3
=−40𝛼(−+40𝛽)+60
=−4040+𝛼60 𝛽
=100(cid:82)
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)100(cid:82)
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
(cid:15)(cid:83)4(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:216)(cid:217)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)
2
6 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
(cid:25) (cid:77) (cid:82)(cid:106)(cid:28) (cid:123)(cid:124)( )( )= (cid:77)(cid:81)(cid:106)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
(cid:15)𝑥(cid:107) 1 (cid:108)𝑥(cid:20) 2 𝑚 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑚−1 𝑚
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)−(cid:165)2(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:218)(cid:196)(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:74)(cid:127)(cid:78)(cid:25)(cid:141)(cid:70)(cid:70)(cid:78)(cid:25)(cid:141)(cid:219)(cid:77)(cid:128)
(cid:129)(cid:185)( )( )(cid:220)(cid:221)(cid:80) ( + )+1(cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:23)(cid:24)(cid:222)(cid:223)(cid:29)(cid:195)(cid:34)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:127)(cid:3)(cid:87)m(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:134)(cid:73)(cid:32)
(cid:162)(cid:36)(cid:190)𝑥1(cid:82)−1 𝑥2−1 𝑥1𝑥2− 𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
+ = (cid:77)∵𝑥1 𝑥2= (cid:77) 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
∴𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑥1𝑥26 2𝑚−1
( )( )= (cid:77)
∵ 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑚−1
6
( + )+1= (cid:77)
∴𝑥1𝑥2− 𝑥1 𝑥2 𝑚−1
6
+1= (cid:77)
∴(cid:40)2(cid:74)𝑚−1− = 𝑚 (cid:77) 𝑚 = −1 3(cid:77)
(cid:224)(cid:225)𝑚(cid:226)1 =−2 𝑚(cid:77)2 =3(cid:105)(cid:79)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:77)
(cid:227) (cid:38)(cid:39)𝑚1 −2+𝑚2 =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
∵= 𝑥 −(𝑚𝑥 2)𝑚−01(cid:77)
2
∴(cid:75)Δ 𝑚= −4(cid:76)2(cid:77)𝑚−1= ≥ ×( )=24>0(cid:77)
(cid:75)𝑚1 =−3(cid:76)2(cid:77) Δ= 4−4×5=−5 <0(cid:77)
(cid:228)𝑚(cid:37)2 (cid:229)(cid:230)(cid:29)mΔ(cid:29)(cid:35)9−(cid:80)4 = −1(cid:82)1
∴(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) (cid:82) 𝑚1 −2
−2(cid:15)(cid:117)(cid:34)4-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:151)(cid:231)(cid:95)(cid:151)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:77) (cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) +1=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
(cid:232)( )( )= (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:195)(cid:87) (cid:82) 𝑥1 𝑥2 𝑥 −𝑚𝑥
(cid:15)(cid:107)𝑥1(cid:108)−(cid:20)2 4𝑥2−2 −3
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:199)(cid:87)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:77)(cid:104) (cid:77)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥1
(cid:105)(cid:233)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + = (cid:77) = (cid:77)(cid:126)(cid:165)(cid:73)(cid:74) + = (cid:77) =1(cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126)( )
𝑏 𝑐
𝑥
(
2
)= (cid:74)(cid:127) ( +
𝑥1
)
𝑥
+
2
4=
−𝑎
(cid:77)
𝑥
(cid:134)
1𝑥2 𝑎
+4= (cid:77)
𝑥1
(cid:40)(cid:38)
𝑥2
(cid:39)(cid:134)
𝑚
(cid:73)(cid:74)
𝑥
(cid:127)
1𝑥
(cid:107)
2
(cid:108)(cid:82)
𝑥1−2
(cid:15)𝑥2(cid:135)−(cid:40)2 (cid:20)(cid:40)−(cid:10)3 (cid:77)𝑥1𝑥2(cid:105)−2(cid:3)𝑥(cid:87)1 x(cid:29)𝑥2(cid:38)(cid:39) −3 +11=−20𝑚(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)−(cid:28)3(cid:25)(cid:77)
2
+ = (cid:77)∵𝑥1 𝑥2=1(cid:77) 𝑥 −𝑚𝑥
∴𝑥(1 𝑥)2( 𝑚 )𝑥=1𝑥2 (cid:77)
∵ 𝑥1−2 𝑥2−2 +4−3= (cid:77)
∴𝑥1𝑥2−2𝑥(1−+2𝑥2 )+4=−3 (cid:77)
∴𝑥1𝑥2−2+𝑥41= 𝑥2(cid:77) −3
∴1−=2𝑚4(cid:77) −3
(cid:136)∴𝑚(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)4(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)4-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:151)(cid:155)(cid:234)(cid:235)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39) +( ) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:141)(cid:219)(cid:105)(cid:78)(cid:25)
2 2
(cid:141)(cid:70)(cid:29)2(cid:236)(cid:77)(cid:81) = (cid:82) 𝑥 4−2𝑚 𝑥 𝑚 −5
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)1 𝑚
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:195)(cid:59)(cid:170)(cid:77)(cid:237)(cid:87)(cid:238)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:77)
(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:239)(cid:110)(cid:59)(cid:170)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:3)(cid:125)(cid:82)(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)2( )=
2
(cid:77)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:134)(cid:73)(cid:32)(cid:162)m(cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:154)(cid:33)(cid:133)(cid:179)(cid:38)(cid:39)(cid:225)(cid:226)(cid:134)(cid:74)(cid:107)(cid:108)(cid:82) 2𝑚−4 𝑚
(cid:15)−5(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:38)(cid:39) +( ) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:77) (cid:77)
2 2
(cid:81) + = (cid:77)𝑥 4=−2𝑚 𝑥 (cid:77)𝑚 −5 𝑥1 𝑥2
2
(cid:25)𝑥(cid:126)1(cid:21)(cid:208)𝑥2(cid:74)(cid:10)22𝑚(−4 𝑥)1=⋅𝑥2 𝑚(cid:77)−(cid:134)5 +3=0(cid:77)
2 2
(cid:40)(cid:74) =1(cid:241) =2𝑚3−(cid:148)4 𝑚 −5 𝑚 −4𝑚
(cid:75) 𝑚=1(cid:76)(cid:77)𝑚(cid:179)(cid:38)(cid:39)(cid:80) + =0(cid:77) >0(cid:148)
2
(cid:75)𝑚=3(cid:76)(cid:77)(cid:179)(cid:38)(cid:39)(cid:80)𝑥 2𝑥−+44=0(cid:77)Δ <0(cid:77)(cid:242)(cid:243)(cid:82)
2
𝑚=1(cid:82) 𝑥 −2𝑥 Δ
∴(cid:136)𝑚(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)1(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)4-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:244)(cid:234)(cid:245)(cid:246)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25) (cid:77) (cid:123)(cid:124) =2
2 2
𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚 −4 𝑥1 𝑥2 𝑥1+3(cid:77)(cid:232) > (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
𝑥(cid:15)2(cid:107)(cid:108)(cid:20)3𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:82)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:127) +
3 3 𝑥1 𝑥2
= (cid:77) = (cid:77)(cid:144)(cid:164)(cid:25)(cid:126)(cid:58)(cid:59)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:247)(cid:162) = (cid:77) = (cid:77)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:38)(cid:39) = (cid:77)
3 3 3 3
2 2𝑚−3 4𝑚+ 4𝑚+ 2𝑚−3 2
(cid:40)(cid:38)2𝑚(cid:39)(cid:129)𝑥(cid:25) 1𝑥(cid:126) 2 𝑚
>
−4(cid:226)(cid:248)(cid:36)(cid:190)(cid:134)(cid:73)(cid:82) 𝑥2 𝑥1 ⋅ 𝑚 −4
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)𝑥1 (cid:77)𝑥2 (cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) + =4(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)
2 2
+ = ∵(cid:77)𝑥1 𝑥2= 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚
2
∴𝑥1 =𝑥2 2𝑚(cid:77) 𝑥1𝑥2 𝑚 −4
∴𝑥1 =22𝑚−+𝑥32
(cid:77)
∵𝑥1 𝑥2=2 +3(cid:77)
∴2𝑚−𝑥2 𝑥2
= (cid:77)
3
2𝑚−3
∴𝑥2
3
= = (cid:77)
3 3
2𝑚−3 4𝑚+
∴𝑥1 2𝑚−
3 = (cid:77)
3 3
4𝑚+ 2𝑚−3 2
∴ ⋅ 𝑚 −4
8 + =9 (cid:77)
2 2
∴ 𝑚+ 6𝑚−12=𝑚0−(cid:77)9 𝑚 −36
2
∴(cid:40)𝑚(cid:74) 6=𝑚−2(cid:241)7 =3(cid:77)
>𝑚 (cid:77)−9 𝑚
∵𝑥1
3 >
𝑥2
(cid:77)
3 3
4𝑚+ 2𝑚−3
∴
> (cid:77)
∴𝑚=3−(cid:77)3
∴(cid:136)𝑚(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)3(cid:82)
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
(cid:15)(cid:83)5(cid:20)(cid:85)23-24(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:216)(cid:217)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39)4 ( +5)=0(cid:29)(cid:40)(cid:89)(cid:77)(cid:249)(cid:153)(cid:49)(cid:63)(cid:56)
2
(cid:28)(cid:40)(cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −5𝑥− 𝑚
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:25)𝑚(cid:126)≥(cid:49)−(cid:50)5 (cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:79)(cid:250)(cid:77)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:168)(cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:251)(cid:162)(cid:52)(cid:195)(cid:34)(cid:252)(cid:77)(cid:172)(cid:40)(cid:107)(cid:32)(cid:74) (cid:29)(cid:44)(cid:35)
(cid:45)(cid:46)(cid:82)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:79)(cid:250)(cid:77)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:195)(cid:59)(cid:170)(cid:171)(cid:77)(cid:40)(cid:165)(cid:21)(cid:29)𝑚(cid:3)(cid:125)(cid:105)= ×4× +5)] 0
(cid:74)(cid:127) 5 (cid:82)
2 0
Δ (−5) −4 4 [−(𝑚 ≥
𝑚+
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:3)−(cid:87) (cid:29)(cid:38)≤(cid:39)4 +5)=0(cid:29)(cid:40)(cid:89)(cid:77)(cid:249)(cid:153)(cid:49)(cid:63)(cid:56)(cid:28)(cid:40)(cid:77)
2
= ×4× +5)] 0
∵ 𝑥 𝑥 −5𝑥−(𝑚
2
5
0
(cid:77)
Δ (−5) −4 4 [−(𝑚 ≥
𝑚+
(cid:40)∴(cid:74) (cid:82) − ≤
(cid:136)(cid:107)𝑚(cid:108)(cid:80)≥(cid:10)−5 (cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)5-1(cid:20)𝑚(cid:85)≥24−-525(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:253)(cid:254)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)
2
(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:232) , (cid:123)(cid:124)2 > + (cid:77)(cid:81) (cid:29)(cid:44)(cid:35)𝑥(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:82) 𝑥 −4𝑥 𝑚−1
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)3< 𝑥1<𝑥25/5>𝑥1𝑥>2 3 𝑥1𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)𝑚(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:29)𝑚(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:255)(cid:94)(cid:59)(cid:170)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)(cid:126)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:73)(cid:74) =
( ) ×1×( )>0(cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)2( )>4(cid:77)(cid:134)(cid:73)(cid:32)(cid:162)m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:82) Δ
2
(cid:15)−(cid:135)4(cid:40)−(cid:20)4(cid:40)(cid:10)(cid:25)(cid:126)𝑚(cid:21)−1(cid:208)(cid:77) =( ) ×1×( )>0(cid:77)𝑚−1
2
(cid:40)(cid:74) <5(cid:77) Δ −4 −4 𝑚−1
(cid:3)(cid:87)𝑚(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)
2
∵ +𝑥 =4, = 𝑥 −(cid:77)4𝑥 𝑚−1 𝑥1𝑥2
∴(cid:227)𝑥12 𝑥2 > 𝑥1+𝑥2 (cid:77)𝑚−1
2∵( 𝑥1𝑥2)>4𝑥1 𝑥2
(cid:40)∴ (cid:74)𝑚−>1 3(cid:77)
(cid:106)(cid:28)𝑚m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:105)(cid:10)3< <5(cid:82)
∴(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)3< <5(cid:82) 𝑚
(cid:15)(cid:117)(cid:34)5-2(cid:20)(cid:85)2𝑚3-24(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:256)(cid:257)·(cid:103)(cid:258)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)
2
(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:232) <1< (cid:77)(cid:81)(cid:106)(cid:28) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)𝑥(cid:80) (cid:82) 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 3 < 𝑥1𝑥 < 2 0 𝑥1 𝑥2 𝑎
2
− 𝑎
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:40)(cid:107)(cid:110)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:105)(cid:259)(cid:260)(cid:21)(cid:208)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:51)
(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:59)(cid:170)(cid:40)(cid:107)(cid:82)(cid:25)(cid:126)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:77)(cid:73)(cid:168)(cid:74)(cid:127)a
2
𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥2 2
(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126) <1< (cid:74)(cid:162)( )( )<0(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:162) + = (cid:77) =
𝑎+
𝑥1 𝑥2 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 − 𝑎 𝑥1𝑥2
1
(cid:77)(cid:154)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:29)(cid:38)(cid:143)(cid:32)(cid:162)a(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:110)(cid:21)(cid:74)(cid:168)(cid:40)(cid:93)(cid:82)
𝑎(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:77)
2
∵ 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥20
(cid:77)
( +2) >0
𝑎2≠
∴(cid:40)(cid:74)𝑎 0(cid:77)−4𝑎
(cid:77)𝑎≠(cid:105)(cid:38)(cid:39) +( +2) +1=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑎2𝑥 𝑎 1 𝑥
+ = (cid:77) = (cid:77)
𝑎+
∴𝑥1
<
𝑥
1
2
<
−(cid:77)𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
∵𝑥1 <0(cid:77)𝑥2 >0(cid:77)
∴𝑥(1−1 )( 𝑥2)−<10(cid:77)
∴ 𝑥1−1( 𝑥2+−1 )+1<0(cid:77)
∴𝑥1 1𝑥2− 𝑥2 1
+
𝑥
1
2
<0(cid:77)
𝑎+
∴𝑎− − 𝑎
3
(cid:131)(cid:186)(cid:74)(cid:10) < (cid:77)
𝑎 −2
3 3
(cid:75) <0(cid:76)(cid:77)(cid:40)(cid:52)(cid:195)(cid:34) < (cid:74)(cid:10) > (cid:77)
2
𝑎 𝑎 −2 𝑎 −
3 < <0(cid:148)
2
∴− 𝑎
3 3
(cid:75) >0(cid:76)(cid:77)(cid:40)(cid:52)(cid:195)(cid:34) < (cid:74)(cid:10) < (cid:77)
2
(cid:165)𝑎(cid:76)(cid:264)(cid:40)(cid:148) 𝑎 −2 𝑎 −
∴ (cid:68)(cid:169)(cid:79)(cid:109)(cid:73)(cid:59)(cid:10) 3 < <0(cid:82)
2
− 𝑎
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) 3 < <0(cid:82)
2
− 𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:34)5-3(cid:20)(cid:85)23-24(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:253)(cid:254)·(cid:103)(cid:258)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) ( +2) + +4=0
2 2
(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:105) (cid:77)(cid:104) (cid:122) (cid:123)(cid:124)(cid:10) =𝑥|− +2𝑚 |(cid:77)(cid:81)𝑥 𝑚= − 4 𝑚(cid:82)
𝑥1 𝑥2 1 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 3+2 2
2
𝑚≥
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:168)(cid:88)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:77)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:134)(cid:73)
(cid:74)(cid:162)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:49)(cid:42)(cid:52)(cid:195)(cid:34)(cid:77)(cid:40)(cid:141)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:162) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:148)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:162) +
= +2𝑚(cid:77) = +4(cid:77)(cid:36)(cid:37) (cid:29)(cid:44)𝑚(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:162) + = +2>0(cid:77)(cid:154)(cid:53) 𝑥1 𝑥2=| +
2
|(cid:77)2(cid:134)𝑚(cid:73)(cid:74)(cid:162)𝑥1⋅𝑥2 +𝑚 −4𝑚= +2(cid:77)𝑚(cid:40)(cid:141)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:162) (cid:29)(cid:35)(cid:82)𝑥1 𝑥2 2𝑚 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2
2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20) (cid:38)𝑚(cid:39)−4𝑚 4−+1 2+𝑚 +4=0(cid:153)(cid:78)𝑚(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) (cid:77) (cid:77)
2 2
= ∵ 𝑥+2−)(]2𝑚 2)𝑥 𝑚+−44)𝑚= 0(cid:77) 𝑥1 𝑥2
2 2
∴ Δ [−(2𝑚 −4(𝑚 −4𝑚 24𝑚−12≥1
(cid:40)(cid:74)(cid:10) (cid:148)
2
(cid:179)(cid:38)𝑚(cid:39)(cid:29)≥(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) (cid:122) (cid:77)
∵ + = +2(cid:77) 𝑥1 =𝑥2 +4(cid:77)
2
∴𝑥1 1𝑥2 2𝑚 𝑥1⋅𝑥2 𝑚 −4𝑚
(cid:77)
2
∵𝑚≥ + = +2>0(cid:77)
∴𝑥1 𝑥2 =2|𝑚+ |(cid:77)
∵𝑥1𝑥2−1= 𝑥1+ 𝑥2(cid:77)
∴𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2
1
+ = +2(cid:77)(cid:232) (cid:77)
2
2
(cid:131)∴(cid:186)𝑚(cid:74)−(cid:77)4𝑚 4−1 +1 2𝑚 =0(cid:77) 𝑚≥
2
=( 𝑚) −6×𝑚1×1=32>(cid:77)
2
∵𝛥 = −(6 )±−432=6±4 2=3±2 3(cid:77)
2 2
− −6
∴𝑚
1
(cid:77)
2
∵(cid:40)𝑚(cid:74)≥(cid:10) =3+2 2(cid:82)
∴ 𝑚 1
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) (cid:77)3+2 2(cid:82)
2
𝑚≥
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
(cid:15)(cid:83)6(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:188)(cid:16)(cid:265)(cid:157)·(cid:103)(cid:258)(cid:86)(cid:58)(cid:59)2 +3=0,3 +2=0(cid:77)(cid:232) 1(cid:77)(cid:81)
𝑥
2 2
𝑥 −2025𝑥 𝑦 −2025𝑦 𝑥𝑦≠ 𝑦
(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
3
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) /1.5
2
1
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:168)(cid:221)(cid:50)(cid:266)(cid:267)(cid:29)(cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:268) = (cid:77)(cid:36)(cid:37) 1(cid:77)(cid:81)z(cid:105)2
2
𝑦 𝑧 𝑥𝑦≠ 𝑧
+3=0(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:191)(cid:192)(cid:77)x(cid:70)z(cid:80)(cid:38)(cid:39)2 +3=0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:134)(cid:73)(cid:32)(cid:74)(cid:82)
2
−2025𝑧 1 𝑥 −2025𝑥
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:268) = (cid:77)
𝑦 𝑧
1(cid:77)
∵𝑥𝑦≠ 1 +2 1 =0(cid:77)
2
∴(cid:81)32−2025𝑦 +𝑦3=0(cid:77)
2
(cid:191)(cid:192)𝑧(cid:77)−x2(cid:70)02z5𝑧(cid:80)(cid:38)(cid:39)2 +3=0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)
2
𝑥 −2025𝑥3
= (cid:77)
2
∴𝑥𝑧 3
(cid:81) = (cid:77)
2
𝑥
𝑦
3
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) (cid:82)
2
+ =8
(cid:15)(cid:117)(cid:34)6-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:169)(cid:269)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:38)(cid:39)(cid:252)
=15
(cid:29)(cid:40)(cid:105) (cid:82)
𝑥 𝑦
=3 =5 𝑥𝑦
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) (cid:241)
=5 =3
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)𝑦(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)𝑦(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:130)(cid:38)(cid:39)(cid:252)(cid:220)(cid:197)(cid:253)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:253)(cid:80)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)
(cid:125)(cid:270)
(cid:196)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:130)(cid:38)(cid:39)(cid:252)(cid:220)(cid:197)(cid:80)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:270)
+ =8
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:53)(cid:21)(cid:208)(cid:77) (cid:77)
=15
𝑥 𝑦
(cid:77) (cid:73)(cid:168)(cid:271)(cid:272)(cid:105)(cid:38)(cid:39) ∵ 𝑥𝑦+15=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25).
2
∴(cid:227)𝑥 (cid:38)𝑦(cid:39) +15=𝑧0(cid:29)−8(cid:78)𝑧(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) =3(cid:241) =5(cid:77)
2
∵ 𝑧 −+8𝑧=8 =3 =𝑧5 𝑧
(cid:38)(cid:39)(cid:252) =15 (cid:29)(cid:40)(cid:105) =5 (cid:241) =3 .
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥
∴ 𝑥𝑦 =3 =5𝑦 𝑦
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) =5 (cid:241) =3 .
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:117)(cid:34)6-2(cid:20)𝑦(cid:85)24-25(cid:137)𝑦(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:151)(cid:231)(cid:273)(cid:274)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:106)(cid:28) ( )(cid:123)(cid:124)2 =0(cid:77)2
2 2
𝑚,𝑛 𝑚≠𝑛 𝑚 −3𝑚−1 𝑛
=0(cid:77)(cid:81) + (cid:29)(cid:35)(cid:80)
𝑛 𝑚
−3𝑛−1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 13
2
−
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:168)(cid:88)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:275)(cid:118)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:74)(cid:127)m(cid:77)n(cid:105)(cid:38)
(cid:39)2 =0(cid:29)(cid:78)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)(cid:25)(cid:126)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:55)(cid:162)m(cid:77)n(cid:105)(cid:38)(cid:39)2 =0(cid:29)(cid:78)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:128)(cid:129)
2 2
(cid:23)(cid:24)𝑥(cid:25)−(cid:26)3𝑥(cid:27)−(cid:28)1(cid:3)(cid:27)(cid:134)(cid:73)(cid:32)(cid:40)(cid:82) 𝑥 −3𝑥−1
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:106)(cid:28) (cid:77) (cid:123)(cid:124)(cid:195)(cid:34)2 =0(cid:77)2 =0(cid:77)
2 2
m(cid:77)n(cid:105)(cid:38)(cid:39)∵2 𝑚 𝑛(=𝑚0≠(cid:29)𝑛(cid:78))(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77) 𝑚 −3𝑚−1 𝑛 −3𝑛−1
2
∴ 3 𝑥 −3𝑥1−1
+ = (cid:77) = (cid:77)
2 2
∴𝑚 + 𝑛 = 𝑚𝑛 =( − ) = 9 4 × 1 2 = 13 (cid:77)
2 2 2 1 2
𝑛 𝑚 𝑛 +𝑚 𝑚+𝑛 −2𝑚𝑛 −2 2−
∴𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛 − −
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) 13
2
−
(cid:15)(cid:117)(cid:34)6-3(cid:20)(cid:240) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:80)(cid:276)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:77)(cid:232)( )( )=1(cid:77)( )( )=1(cid:77)(cid:81)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑥 −𝑡 𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡(cid:29)(cid:35)(cid:80)(cid:85) (cid:86)
A(cid:82)-1 B(cid:82)1 C(cid:82)0 D(cid:82)0.5
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)A
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:185) , (cid:271)(cid:272)(cid:168)(cid:169)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:203)(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:73)(cid:74) ( + ) =0(cid:77)(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)
2 2 4 2 2 2 2 2
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)𝑥(cid:32)(cid:40)𝑦 (cid:134)(cid:73) 𝑥 − 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑡 −1
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) ( )( )=1(cid:77)( )( )=1(cid:77)
2 2 2 2 2 2 2 2
, (cid:271)(cid:272)(cid:168)∵(cid:169)(cid:38)𝑥 (cid:39)−𝑠(cid:29)(cid:78)𝑥(cid:63)−(cid:52)𝑡(cid:203)(cid:29)(cid:25)(cid:77)𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡
2 2
(cid:134)∴ 𝑥, 𝑦(cid:105)(cid:38)(cid:39) ( + ) =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)
2 2 4 2 2 2 2 2
(cid:136)𝑥 𝑦 = 𝑥 −(cid:77)𝑠 (cid:134) 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑡=−1
2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:136)𝑥(cid:277)𝑦A −𝑠 𝑡 −1 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡 −1
(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:133)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
(cid:15)(cid:83)7(cid:20)(cid:85)2024(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:115)(cid:279)·(cid:280)(cid:21)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)a(cid:122)b(cid:122)c(cid:105) (cid:29)(cid:281)(cid:229)(cid:282)(cid:29)(cid:283)(cid:77)(cid:191)(cid:192)(cid:38)(cid:39) +( + ) +
2
=0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86) △𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
4
𝑐
A(cid:82)(cid:284)(cid:153)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:57)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
C(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:57)(cid:106)(cid:25) D(cid:82)(cid:285)(cid:153)(cid:49)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)B
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:122)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:281)(cid:282)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:40)(cid:110)
(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:287)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:126)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:54)(cid:55)(cid:162)(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:195)(cid:29)(cid:57)(cid:106)(cid:25)(cid:82)
(cid:25)(cid:126)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:281)(cid:282)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:127)( + ) > (cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:70)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:32)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:287)(cid:38)(cid:39) + 𝑎 ( + 𝑏 ) + 𝑐 =0(cid:89)(cid:77)
4
2 𝑐
𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
(cid:73)(cid:74)(cid:10) =( + ) =( + ) (cid:77)
4
2 𝑐 2 2
Δ 𝑎 𝑏 −4𝑐⋅ 𝑎 𝑏 −𝑐
a(cid:122)b(cid:122)c(cid:105) (cid:29)(cid:281)(cid:229)(cid:282)(cid:29)(cid:283)(cid:77)
∵ >0(cid:77) >△0(cid:77)𝐴𝐵𝐶>0(cid:82) + > (cid:77)(cid:134)( + ) > (cid:77)
2 2
∴𝑎( + ) 𝑏 >0𝑐(cid:77) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2 2
∴ 𝑎>0𝑏(cid:77)−𝑐
∴(cid:38)Δ (cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
∴(cid:227) (cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:70)(cid:105) <0(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:29)(cid:219)(cid:105)4 = 1 >0(cid:77)
𝑐
4
𝑎+𝑏
(cid:38)∵(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:195)−(cid:29)𝑐 (cid:57)(cid:106)(cid:25)(cid:82) 𝑐
∴(cid:136)(cid:277)(cid:10)B(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)7-1(cid:20)(cid:85)2025·(cid:151)(cid:155)(cid:234)(cid:288)·(cid:189)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:86)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) =0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86)
2
A(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)𝑥(cid:106)−(cid:28)2(cid:25)𝑘𝑥(cid:232)−1(cid:78)(cid:25)(cid:292)(cid:9)
C(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:232)(cid:78)(cid:25)(cid:203)(cid:9) D(cid:82)(cid:284)(cid:153)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)B
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:10)(cid:104) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:29)(cid:78)
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:25)(cid:76)(cid:77) + = (cid:77) = .(cid:293)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:82)(cid:196)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:74)(cid:127) =4
𝑏 𝑐 2
+4(cid:77)(cid:81)𝑥1 > 𝑥 0 2 (cid:77)(cid:81)−(cid:25) 𝑎 (cid:126)𝑥(cid:25) 1𝑥(cid:29) 2 (cid:54)𝑎(cid:71)(cid:34)(cid:29)(cid:208)(cid:194)(cid:74)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)Δ(cid:27)(cid:74)(cid:127)𝑘 (cid:38)
(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:25)Δ(cid:141)(cid:219)(cid:80) (cid:77)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:292)(cid:9)(cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:199)(cid:294)(cid:277)(cid:214)(cid:144)(cid:145)(cid:54)(cid:55)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) −1= ×1×( )=4 +4>0(cid:77)
2 2
(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)∵Δ(cid:92)(cid:195)((cid:29)−(cid:106)2𝑘(cid:28)) (cid:25)−4(cid:77) −1 𝑘
(cid:240)∴(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:77) (cid:77)
= <0(cid:77) 𝑥1 𝑥2
∵𝑥(cid:38)1𝑥(cid:39)2(cid:29)(cid:78)−(cid:25)1 (cid:292)(cid:9)(cid:82)
(cid:136)∴(cid:277)(cid:10)B(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)7-2(cid:20)(cid:85)2022·(cid:151)(cid:155)(cid:234)(cid:288)·(cid:51)(cid:189)(cid:86)(cid:38)(cid:39)( +1)( )+1=0(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:98)(cid:251)(cid:36)(cid:263)(cid:89)(cid:56)(cid:260)(cid:29)(cid:105)( )
A(cid:82)(cid:78)(cid:63)(cid:56)(cid:25) B(cid:82)(cid:78)(cid:63)(cid:57)(cid:25) 𝑥 C(cid:82)(cid:49)𝑥−(cid:63)2(cid:56)(cid:25)(cid:77)(cid:49)(cid:63)(cid:57)(cid:25) D(cid:82)(cid:264)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)C
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:38)(cid:39)(cid:131)(cid:186)(cid:80)(cid:49)(cid:198)(cid:67)(cid:34)(cid:77)(cid:295)(cid:296)(cid:162)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:77)(cid:54)(cid:55)(cid:40)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:172)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:134)(cid:73)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) ( +1)( )+1=0(cid:77)
(cid:131)(cid:186)(cid:77)(cid:74)(cid:10) ∵ 𝑥 =0𝑥(cid:77)−2
2
=( ) 𝑥 −×𝑥−(1 )=5>0(cid:77)
2
∵(cid:38)Δ (cid:39)(cid:153)−(cid:78)1 (cid:63)−(cid:52)4(cid:92)(cid:195)−(cid:29)1 (cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:240)(cid:80) (cid:77) (cid:77)
∴ = <0(cid:77) + =1>0(cid:77)𝑥1 𝑥2
∵(cid:38)𝑥1𝑥(cid:39)2(cid:153)(cid:49)−(cid:63)1 (cid:56)(cid:25)(cid:77)𝑥1(cid:49)(cid:63)𝑥(cid:57)2 (cid:25)(cid:77)(cid:232)(cid:56)(cid:25)(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:18)(cid:87)(cid:57)(cid:25)(cid:29)(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:82)
∴(cid:136)(cid:277)(cid:10)C(cid:82)(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:82)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:10)(cid:104) (cid:77)
𝑥1 𝑥2
(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:81) + = (cid:77) = (cid:148)(cid:34)(cid:298) = (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)
𝑏 𝑐
2 2
(cid:38)(cid:39) + + 𝑎𝑥 =0( 𝑏𝑥 0 𝑐 )(cid:25)(cid:29)(cid:54)𝑎(cid:71)≠(cid:34)(cid:77) > (cid:38)𝑥(cid:39) 1 (cid:153)𝑥(cid:78) 2 (cid:63)−(cid:52)𝑎(cid:195)(cid:29)𝑥1 (cid:106)𝑥2 (cid:28)(cid:25)𝑎(cid:148) = Δ (cid:38)𝑏(cid:39)−(cid:153)4𝑎(cid:78)𝑐 (cid:63)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)
2
(cid:28)(cid:25)𝑎(cid:148)𝑥 <𝑏𝑥 (cid:38)𝑐(cid:39)(cid:264)(cid:106)𝑎≠(cid:28)(cid:25)(cid:82)(cid:120)(cid:121)(cid:49)(cid:50)(cid:51)Δ(cid:42)(cid:38)0(cid:39)⇔(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)Δ(cid:105)(cid:40)0⇔(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)Δ7-3(cid:20)0⇔(cid:85)23-24(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:77)(cid:58)(cid:59) >0(cid:77) >0(cid:77) <0(cid:77)
2
(cid:81)(cid:255)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:105)(cid:85) (cid:86) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:82)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:56)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25) B(cid:82)(cid:284)(cid:153)(cid:106)(cid:28)(cid:25)
C(cid:82)(cid:153)(cid:49)(cid:56)(cid:25)(cid:49)(cid:57)(cid:25)(cid:232)(cid:56)(cid:25)(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:18) D(cid:82)(cid:153)(cid:49)(cid:56)(cid:25)(cid:49)(cid:57)(cid:25)(cid:232)(cid:57)(cid:25)(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:18)
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)D
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:196)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126) = (cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:29)(cid:228)(cid:9)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:25)(cid:126) + = (cid:54)(cid:193)(cid:25)(cid:29)
𝑐 𝑏
(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:18)(cid:303)(cid:3)(cid:27)(cid:82) 𝑥1𝑥2 𝑎 𝑥1 𝑥2 −𝑎
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20) >0(cid:77) >0(cid:77) <0(cid:77)
<0(cid:77)∵𝑎 >0 𝑏 𝑐
∴𝑎𝑐= 𝑎𝑏 >0(cid:77)
2
∴(cid:38)Δ (cid:39)𝑏(cid:153)−(cid:78)4(cid:63)𝑎𝑐(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
∴ = <0(cid:77)
𝑐
∵𝑥1𝑥2
𝑎
(cid:78)(cid:25)(cid:292)(cid:9)(cid:77)
∴
+ = <0(cid:77)
𝑏
∵ (cid:57) 𝑥1 (cid:25)(cid:29) 𝑥2 (cid:297)(cid:199) − (cid:35)𝑎 (cid:18)(cid:77)
∴(cid:68)(cid:169)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:153)(cid:49)(cid:56)(cid:25)(cid:49)(cid:57)(cid:25)(cid:232)(cid:57)(cid:25)(cid:297)(cid:199)(cid:35)(cid:18)(cid:77)
2
(cid:136)(cid:277)(cid:10)D(cid:82) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:69)(cid:147)(cid:143)(cid:81)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
(cid:15)(cid:83)8(cid:20)(cid:85)22-23(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:176)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:148) + + =0(cid:77)(cid:209)
2 2
(cid:89) 0(cid:77) (cid:77)(cid:304)(cid:162)(cid:168)(cid:98)(cid:181)(cid:63)(cid:36)(cid:263)(cid:10) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)𝑀(cid:195):𝑎(cid:29)𝑥(cid:106)(cid:28)𝑏𝑥(cid:25)(cid:77)𝑐(cid:81)(cid:38)(cid:39)𝑁N:𝑐(cid:293)𝑥(cid:153)(cid:78)𝑏𝑥(cid:63)(cid:52)𝑎(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)
𝑎𝑐≠ 𝑎≠𝑐 ① 1
(cid:28)(cid:25)(cid:148) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:228)(cid:9)(cid:92)(cid:203)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39)N(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:228)(cid:9)(cid:293)(cid:92)(cid:203)(cid:148) (cid:104)m(cid:105)(cid:38)(cid:39)M(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81) (cid:105)(cid:38)
(cid:39)N(cid:29)②(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:148) (cid:104)(cid:38)(cid:39)M(cid:70)(cid:38)(cid:39)N(cid:153)(cid:49)(cid:63)(cid:92)(cid:203)(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:255)(cid:63)(cid:25)(cid:305)③(cid:105) =1(cid:77)(cid:209)(cid:89)(cid:56)(cid:260)(cid:29)(cid:36)(cid:263)(cid:105)(cid:85) 𝑚 (cid:86)
④ 𝑥A(cid:82) B(cid:82) C(cid:82) D(cid:82)
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)①B③ ①②③ ①②④ ①③④
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:77)(cid:25)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:77)(cid:146)(cid:147)(cid:54)(cid:55)(cid:134)(cid:73)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20) + + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
= ∵𝑀:𝑎(cid:306)𝑥0(cid:77)𝑏𝑥 𝑐
2
∴Δ 𝑏+−4𝑎+𝑐 =0(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:80) = = (cid:306)0(cid:77)
2 2 2
∵(cid:38)𝑁:𝑐(cid:39)𝑥N(cid:293)𝑏𝑥(cid:153)(cid:78)𝑎(cid:63)(cid:52)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)Δ(cid:25)(cid:77)𝑏 −4𝑐𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
∴(cid:136) (cid:56)(cid:260)(cid:148)
① + + =0(cid:78)(cid:25)(cid:228)(cid:9)(cid:92)(cid:203)(cid:77)
2
∵𝑀: = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0, (cid:306)0(cid:77)
2 𝑐
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐≥ 𝑎
= 0, (cid:306)0(cid:77)
2 𝑎
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐≥ 𝑐
(cid:38)(cid:39)N(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:228)(cid:9)(cid:293)(cid:92)(cid:203)(cid:77)
∴(cid:136) (cid:56)(cid:260)(cid:148)
m②(cid:105)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:77)
2
∵ + 𝑀+:𝑎𝑥=0(cid:77)𝑏𝑥 𝑐
2
∴𝑎𝑚 𝑏𝑚1 𝑐
+ × + = =0
2
𝑐 𝑐+𝑏𝑚+𝑎𝑚
2 2
∵𝑚 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚
1
(cid:105)(cid:38)(cid:39)N(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:148)
∴(cid:136)𝑚 (cid:56)(cid:260)(cid:148)
(cid:240)③(cid:38)(cid:39)M(cid:70)(cid:38)(cid:39)N(cid:92)(cid:203)(cid:29)(cid:25)(cid:80) (cid:77)
(cid:25)(cid:126)(cid:21)(cid:208)(cid:77)(cid:74) + + = 𝑥0 + + =0(cid:77)
2 2
( ) = 𝑎𝑥0(cid:77)𝑏𝑥0 𝑐 0,𝑐𝑥0 𝑏𝑥0 𝑎
2
∴ 𝑎−𝑐0𝑥(cid:77)0 𝑎−(cid:77)𝑐
∵𝑎𝑐≠=1(cid:77)𝑎≠𝑐
2
∴(cid:40)𝑥(cid:74)0 =±1(cid:77)
(cid:136)(cid:255)𝑥(cid:63)0(cid:25)(cid:105) =±1(cid:77)
(cid:136) (cid:307)(cid:308)(cid:148)𝑥
(cid:136)④(cid:277)B(cid:82)
(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:77)(cid:7)(cid:309)(cid:25)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:134)(cid:310)(cid:38)(cid:39)(cid:311)(cid:312)(cid:78)(cid:282)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:313)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)8-1(cid:20)(cid:85)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:151)(cid:155)(cid:234)(cid:288)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:104)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:122)
2
2(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39) + + =0 (cid:29)(cid:25)(cid:80) (cid:82) 𝑥 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘 −3
2
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) 𝑎(=𝑥−1，ℎ) =3𝑘 / =3， =
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)𝑥(cid:25)1(cid:126)(cid:51)−(cid:42)2 (cid:314)𝑥(cid:28)2 (cid:26)(cid:49)(cid:50)𝑥1(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)𝑥2(cid:29)(cid:3)−(cid:27)2 (cid:168)(cid:88)(cid:314)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:315)(cid:40)(cid:21)(cid:148)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40) (cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) (cid:122)2
2
(cid:314)(cid:28) = ∵ + 𝑥 + (cid:26) (cid:316)(cid:29)(cid:317)(cid:171)𝑎((cid:80)𝑥 ℎ) (cid:77)𝑘(2,0) −3
2
∴ (cid:314)(cid:28)𝑦 =𝑎(𝑥 ℎ) + 𝑘 +𝑥 (cid:105)(cid:53)(cid:314)(cid:28) (−=3,0) + + (cid:318)(cid:312)(cid:116)(cid:315)(cid:49)(cid:63)(cid:319)(cid:320)(cid:283)(cid:321)(cid:74)(cid:127)(cid:148)
2 2
∵(cid:314)(cid:28) =𝑦 𝑎(𝑥−+1 ℎ)+ (cid:26)𝑘 (cid:316)(cid:29)(cid:317)(cid:171)𝑦(cid:80)𝑎(𝑥 ℎ(cid:77)) (3,𝑘0)
2
∴(cid:3)(cid:87)𝑦(cid:38)(cid:39)𝑎(𝑥−1 +ℎ) +𝑘 =𝑥 0(cid:29)(cid:25)(cid:80)(cid:10)(−2=,0) (cid:77) =3
2
∴(cid:136)(cid:107)(cid:108)𝑥(cid:80)(cid:10)𝑎(𝑥=−1 (cid:77)ℎ) =𝑘3 𝑥1 −2 𝑥2
(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)𝑥(cid:21)1(cid:111)(cid:112)−(cid:113)2 (cid:51)𝑥(cid:42)2 (cid:314)(cid:28)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:122)(cid:51)(cid:42)(cid:314)(cid:28)(cid:29)(cid:116)(cid:315)(cid:148)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:51)(cid:42)(cid:314)(cid:28)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)
(cid:39)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)8-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:175)(cid:151)(cid:102)(cid:157)·(cid:103)(cid:258)(cid:86)(cid:104) =2025(cid:77) =1(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:78)
2
(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39) + 2027 =0(cid:29)(cid:40)(cid:80) (cid:82) 𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2025
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20) =2027(cid:77) =
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)𝑥(cid:110)1(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)𝑥(cid:50)2 (cid:51)−(cid:42)1(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:122)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:53)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)
(cid:74) = (cid:77) = =2025(cid:77)(cid:130)(cid:38)(cid:39) + 2027 =0(cid:78)(cid:282)(cid:203)(cid:76)(cid:322)(cid:168) (cid:73)(cid:74)(cid:10) + 2027 =0(cid:77)
2025 2025
𝑏 𝑐 2 2 𝑏 𝑐
(cid:131) 𝑎 (cid:186)(cid:73)−(cid:74)2026 𝑎 𝑥1⋅𝑥2 =0(cid:77)(cid:32)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:82)𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐 𝑎 𝑥 𝑎𝑥− ⋅𝑎
2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)𝑥(cid:40)(cid:10)−2026=𝑥−22002257(cid:77) =1(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
= + =2026(cid:77) = =2025(cid:77)
𝑏 𝑐
∴−𝑎 𝑥1 𝑥2 𝑎 𝑥1⋅𝑥2
= (cid:77)
𝑏
∴𝑎 −2026
(cid:130)(cid:38)(cid:39) + 2027 =0(cid:78)(cid:282)(cid:203)(cid:76)(cid:322)(cid:168) (cid:73)(cid:74)(cid:10) + 2027 =0(cid:77)
2025 2025
2 2 𝑏 𝑐
𝑎𝑥 𝑏𝑥−
=
𝑐
0(cid:77)
𝑎 𝑥 𝑎𝑥− ⋅𝑎
2
∴(cid:40)𝑥(cid:74)−(cid:10)2026=𝑥−2022072(cid:77)7 = (cid:77)
(cid:38)(cid:39)
𝑥1
+
2027𝑥2
=0
−
(cid:29)
1
(cid:40)(cid:80) =2027(cid:77) = (cid:77)
2025
2
∴ 𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐 𝑥1 𝑥2 −1
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) =2027(cid:77) = (cid:82)
𝑥1 𝑥2 −1(cid:15)(cid:117)(cid:34)8-3(cid:20)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:203)(cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:3)(cid:87)y(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2 2
+ + =0(cid:293)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:203)(cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)𝑥(cid:25)(cid:77)𝑝(cid:81)𝑥(cid:98)(cid:251)𝑞 (cid:325)(cid:143)(cid:56)(cid:260)(cid:29)(cid:105)(cid:85) (cid:86) 𝑦
𝑞A𝑦(cid:82)p𝑝(cid:105)(cid:56)(cid:28)(cid:77)q(cid:105)(cid:57)(cid:28) B(cid:82) + (cid:326)8
2 2
C(cid:82)q(cid:105)(cid:56)(cid:28)(cid:77)p(cid:105)(cid:57)(cid:28) D(cid:82)(𝑝−2) +(𝑞−2) 8
2 2
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)D (𝑝−2) (𝑞−2) ≥
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:240)(cid:38)(cid:39)x2+px+q(cid:327)0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:80)x (cid:122)x (cid:77)(cid:38)(cid:39)y2+qy+p(cid:327)0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:80)y (cid:122)y (cid:82)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:36)(cid:37)
1 2 1 2
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:162)x •x (cid:327)q(cid:306)0(cid:77)y •y (cid:327)p(cid:306)0(cid:77)(cid:134)(cid:73)(cid:54)(cid:55)A(cid:26)C(cid:148) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)
1 2 1 2
(cid:34)(cid:74)(cid:162)p2﹣4q≥0(cid:77)q2﹣4p≥0(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:52)(cid:195)(cid:34)(cid:29)(cid:328)(cid:329)(cid:168)(cid:88)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:7)(cid:34)(cid:74)(cid:162)②(cid:85)p﹣2(cid:86)2+(cid:85)q﹣2(cid:86)2≥8(cid:77)(cid:134)(cid:73)(cid:54)(cid:55)B
(cid:26)D(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:38)(cid:39)x2+px+q(cid:327)0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:80)x (cid:122)x (cid:77)(cid:38)(cid:39)y2+qy+p(cid:327)0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:80)y (cid:122)y (cid:82)
1 2 1 2
(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)x2+px+q(cid:327)0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:203)(cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:3)(cid:87)y(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)y2+qy+p(cid:327)0(cid:293)(cid:153)(cid:78)(cid:63)
(cid:203)∵ (cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
x •x (cid:327)q(cid:306)0(cid:77)y •y (cid:327)p(cid:306)0(cid:77)
1 2 1 2
(cid:136)∴ (cid:277)(cid:214)A(cid:26)C(cid:325)(cid:143)(cid:330)(cid:307)(cid:308)(cid:77)(cid:52)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)
(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)x2+px+q(cid:327)0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:203)(cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:3)(cid:87)y(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)y2+qy+p(cid:327)0(cid:293)(cid:153)(cid:78)(cid:63)
(cid:203)∵ (cid:9)(cid:323)(cid:324)(cid:131)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
p2﹣4q≥0(cid:77)q2﹣4p≥0(cid:77)
∴(cid:85)p﹣2(cid:86)2+(cid:85)q﹣2(cid:86)2(cid:327)p2﹣4q+4+q2﹣4p+4≥8(cid:85)p(cid:122)q(cid:52)(cid:275)(cid:203)(cid:76)(cid:80)2(cid:77)(cid:331)(cid:81)(cid:78)(cid:63)(cid:38)(cid:39)(cid:330)(cid:264)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:86)(cid:77)
∴(cid:136)(cid:277)(cid:214)B(cid:325)(cid:143)(cid:307)(cid:308)(cid:77)(cid:52)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)(cid:277)(cid:214)D(cid:325)(cid:143)(cid:56)(cid:260)(cid:77)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)
(cid:136)(cid:277)(cid:10)D(cid:82)
(cid:15)(cid:171)(cid:278)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:168)(cid:88)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:77)(cid:332)(cid:49)(cid:79)(cid:109)(cid:181)(cid:63)(cid:277)(cid:214)(cid:325)(cid:143)(cid:29)(cid:56)(cid:308)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
(cid:15)(cid:83)9(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:140)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:195)(cid:333) (cid:29)(cid:49)(cid:229)(cid:282)(cid:80)7(cid:77)(cid:209)(cid:334)(cid:78)(cid:282)(cid:29)(cid:282)(cid:283)(cid:335)(cid:336)(cid:105)(cid:38)(cid:39)
2
( +1) + +5=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:81)m(cid:29)(cid:35)(cid:105) (cid:82)△𝐴𝐵𝐶 𝑥 −2
2
(cid:15) 𝑚(cid:107)(cid:108)(cid:20)𝑥4 𝑚
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:195)(cid:333)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:77)(cid:47)(cid:253)(cid:281)(cid:286)
(cid:67)(cid:29)(cid:229)(cid:230)(cid:77)(cid:75)(cid:333)(cid:283)(cid:80)7(cid:76)(cid:77) =7(cid:105)(cid:38)(cid:39) ( +1) + +5=0(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:77)(cid:75)(cid:204)(cid:282)(cid:283)(cid:80)7(cid:76)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39)
2 2
( +1) + +5=0𝑥(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:195)(cid:29)𝑥 (cid:106)−2(cid:28) 𝑚(cid:25)(cid:77)(cid:126)(cid:165)𝑥(cid:79)𝑚(cid:71)(cid:32)(cid:162)(cid:78)(cid:337)(cid:60)(cid:61)(cid:98)m(cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:154)(cid:32)(cid:162)(cid:38)(cid:39)(cid:199)(cid:72)(cid:29)(cid:25)(cid:77)
2 2
(cid:187)𝑥 (cid:129)−2(cid:25) 𝑚(cid:126)(cid:47)(cid:253)𝑥(cid:281)(cid:286)𝑚(cid:67)(cid:29)(cid:229)(cid:230)(cid:32)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:82)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:75)(cid:333)(cid:283)(cid:80)7(cid:76)(cid:77)(cid:81) =7(cid:105)(cid:38)(cid:39) ( +1) + +5=0(cid:29)(cid:49)(cid:63)(cid:25)(cid:77)
2 2
7 ×7( +1)+ +5=0𝑥(cid:77) 𝑥 −2 𝑚 𝑥 𝑚
2 2
∴(cid:40)(cid:74)−2=4(cid:241) 𝑚 =10(cid:77)𝑚
(cid:75) 𝑚=4(cid:76)(cid:77)𝑚(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:62)(cid:49)(cid:25)(cid:80)2( +1) =2×(4+1) =3(cid:77)
(cid:165)𝑚(cid:76)(cid:233)(cid:195)(cid:333)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:79)(cid:71)(cid:80)7(cid:77)7(cid:77)3(cid:77) 𝑚 −7 −7
∴3+7>7(cid:77)
∵(cid:165)(cid:76)(cid:275)(cid:47)(cid:253)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:77)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)
∴(cid:75) =10(cid:76)(cid:77)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:62)(cid:49)(cid:25)(cid:80)2( +1) =2×(10+1) =15(cid:77)
(cid:165)𝑚(cid:76)(cid:233)(cid:195)(cid:333)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:79)(cid:71)(cid:80)7(cid:77)7(cid:77)15(cid:77) 𝑚 −7 −7
∴7+7<15(cid:77)
∵(cid:165)(cid:76)(cid:52)(cid:275)(cid:47)(cid:253)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:77)(cid:52)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)
∴(cid:75)(cid:204)(cid:282)(cid:283)(cid:80)7(cid:76)(cid:77)(cid:81)(cid:38)(cid:39) ( +1) + +5=0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:92)(cid:195)(cid:29)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 2
𝑥 −2 𝑚 𝑥 𝑚
= ( +1) ( +5)=0(cid:77)
2
2
∴(cid:40)Δ(cid:74) −=22 (cid:77)𝑚 −4 𝑚
(cid:53)(cid:25) 𝑚 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:80) = = ( 1) =3(cid:77)
2
−2 𝑚+
∴ 𝑥1 𝑥2
3+3<7(cid:77)
∵(cid:165)(cid:76)(cid:52)(cid:275)(cid:47)(cid:253)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:77)(cid:52)(cid:228)(cid:37)(cid:21)(cid:208)(cid:148)
∴(cid:68)(cid:169)(cid:338)(cid:339)(cid:77) =4(cid:148)
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)4𝑚(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)9-1(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:151)(cid:155)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:104)(cid:49)(cid:63)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:78)(cid:229)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:283)(cid:79)(cid:71)(cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)
(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:232)(cid:209)(cid:223)(cid:219)(cid:80)4(cid:77)(cid:81)(cid:233)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:282)(cid:283)(cid:80) (cid:82)
2
(cid:15)𝑥(cid:107)(cid:108)−6(cid:20)𝑥 5𝑚
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:177)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:88)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:328)(cid:329)(cid:77)(cid:120)(cid:121)(cid:340)(cid:67)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:26)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:223)(cid:219)(cid:122)(cid:282)(cid:283)(cid:142)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:88)(cid:195)(cid:34)(cid:29)(cid:117)(cid:67)(cid:105)(cid:40)(cid:93)(cid:110)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:240)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:78)(cid:229)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:283)(cid:79)(cid:71)(cid:80)a(cid:122)b(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:88)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:26)(cid:340)(cid:67)(cid:223)(cid:219)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:195)(cid:34)(cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126)(cid:340)(cid:67)
(cid:29)(cid:282)(cid:283)(cid:26)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:32)(cid:162)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:282)(cid:283)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:78)(cid:229)(cid:199)(cid:286)(cid:341)(cid:283)(cid:79)(cid:71)(cid:80)a(cid:122)b(cid:77)
+ =6
(cid:53)(cid:21)(cid:208)(cid:74)(cid:10) (cid:77)
=
𝑎 𝑏
𝑎𝑏 𝑚(cid:340)(cid:67)(cid:223)(cid:219)(cid:80)4(cid:77)
∵1
=4(cid:77)(cid:40)(cid:74)(cid:10) =8(cid:77)
2
∴ 𝑎𝑏 𝑎𝑏
(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:282)(cid:283)(cid:80) ( ) +( )
2 2
𝑎 2 𝑏 2
∴ 1
= +
2
2 2
1 𝑎 𝑏
= +
2
2
1 (𝑎 𝑏) −2𝑎𝑏
=
2
= 5
3(cid:77)6−16
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10) 5(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)9-2(cid:20)(cid:85)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:253)(cid:254)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:116)(cid:145)(cid:181)(cid:282)(cid:67) (cid:29)(cid:78)(cid:282) (cid:122) (cid:29)(cid:283)(cid:105)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)
(cid:38)(cid:39) + 1 =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:75)(cid:181)(cid:282)(cid:67) (cid:105)(cid:340)(cid:67)(cid:76)(cid:77)(cid:209)(cid:245) 𝐴𝐵 (cid:283) 𝐶 (cid:80) 𝐷 𝐴𝐵 (cid:82) 𝐴𝐷
2 4
2 𝑚
𝑥 −𝑚𝑥 − 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)2
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:196)(cid:25)(cid:126)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:328)(cid:329)(cid:74)(cid:127) = (cid:77)(cid:81)(cid:25)(cid:126)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:29)(cid:208)(cid:194)(cid:74)(cid:127) = ×( 1 1 )=0(cid:77)(cid:25)
2 4
2
𝐴𝐵 𝐴𝐷 △ (−𝑚) −4 𝑚−
(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)(cid:127) + = (cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:127) (cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:74)(cid:127)(cid:340)(cid:67) (cid:29)(cid:245)(cid:283)(cid:82)
(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝐴(cid:3)𝐵(cid:27)(cid:70)𝐴(cid:116)𝐷(cid:145)(cid:181)𝑚(cid:282)(cid:67)(cid:70)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:328)(cid:329)𝑚(cid:77)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:105)(cid:10)(cid:118)(cid:119)𝐴(cid:120)𝐵(cid:121)𝐶𝐷(cid:92)(cid:3)(cid:328)(cid:329)(cid:193)(cid:186)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10) (cid:181)(cid:282)(cid:67) (cid:105)(cid:340)(cid:67)(cid:77)
= (cid:77)∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵 (cid:77) 𝐴𝐷 (cid:29)(cid:283)(cid:105)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:38)(cid:39) + 1 =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 4
2 𝑚
∵𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 −
= ×( 1 1 )=0(cid:77) + = (cid:77)
2 4
2
∴ Δ (−𝑚) −4 𝑚− 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑚
(cid:40)(cid:74) = =1(cid:77)
𝑚 = 1 1 𝑚 = 2 1 (cid:77)
2 2
∴𝐴𝐵 𝑚
1
(cid:134)(cid:340)(cid:67)(cid:29)(cid:245)(cid:283)(cid:80) ×4=2(cid:82)
2
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)2(cid:82)
(cid:15)(cid:117)(cid:34)9-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:175)(cid:151)(cid:176)(cid:157)·(cid:103)(cid:89)(cid:86)(cid:282)(cid:283)(cid:80)(cid:131)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:77)(cid:104)(cid:209)(cid:78)(cid:30)(cid:286)(cid:282)(cid:283)(cid:105)(cid:38)(cid:39) ( +2)
2
+ =0(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:77)(cid:81)(cid:233)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:342)(cid:282)(cid:283)(cid:80) (cid:82) 𝑥 − 𝑘
𝑥(cid:15)(cid:107)4(cid:108)𝑘(cid:20)13(cid:241)10(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:105)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:7)(cid:34)(cid:195)(cid:59)(cid:170)(cid:171)(cid:77)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:105)(cid:40)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:25)(cid:126)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:30)(cid:286)(cid:282)(cid:105)(cid:131)(cid:28)(cid:77)(cid:74)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:105)(cid:131)(cid:28)(cid:77)(cid:343)(cid:165)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:80)(cid:116)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:199)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:162)(cid:35)(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:127)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:342)(cid:282)(cid:29)(cid:283)(cid:82)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:78)(cid:30)(cid:286)(cid:282)(cid:283)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:81) + = +2, = (cid:77)
(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:80)(cid:131)(cid:28)(cid:77) 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑘 𝑥1⋅𝑥2 4𝑘
∵ =( +2) (cid:80)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:28)(cid:77)
2
∴(cid:240)Δ =𝑘( +2)−16𝑘 =
2 2
(cid:131)Δ(cid:186)(cid:74)(𝑘 + −)1(6𝑘 𝑛)=32(cid:77)
(cid:75)( +𝑘 𝑛−)6( 𝑘−𝑛−)6=32×1(cid:76)(cid:77)
① + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘3−2𝑛−6
=1
𝑘 𝑛−6
∴
𝑘−𝑛−465
(cid:40)(cid:74) = (cid:85)(cid:242)(cid:243)(cid:86)(cid:148)
2
(cid:75)𝑘 ( + )( )=16×2(cid:76)(cid:77)
② + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘1−6𝑛−6
=2
𝑘 𝑛−6
∴(cid:40)(cid:74)𝑘−𝑛=−165(cid:77)
𝑘
(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:342)(cid:282)(cid:283)(cid:80) + = ( + ) = ( ) =13(cid:148)
2 2 2 2
∴ (cid:75)( + )( )= 𝑥1 8×4 𝑥 (cid:76) 2 (cid:77) 𝑥1 𝑥2 −2𝑥1𝑥2 𝑘−2
② + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘8−𝑛−6
=4
𝑘 𝑛−6
∴(cid:40)(cid:74)𝑘−𝑛=−612(cid:77)
𝑘
(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:342)(cid:282)(cid:283)(cid:80) + = ( + ) = ( ) =10(cid:148)
2 2 2 2
∴(cid:68)(cid:169)(cid:77)(cid:233)(cid:30)(cid:286)(cid:281)(cid:286)(cid:67)(cid:29)(cid:342)(cid:282) 𝑥1 (cid:283)(cid:80) 𝑥 1 2 3(cid:241)10. 𝑥1 𝑥2 −2𝑥1𝑥2 𝑘−2
(cid:136)(cid:107)(cid:108)(cid:80)(cid:10)13(cid:241)10.
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
(cid:15)(cid:83)10(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:138)(cid:139)(cid:344)(cid:157)·(cid:103)(cid:258)(cid:86)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) ( +1) +2=0(cid:82)
2
(1)(cid:54)(cid:55)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:172)(cid:325)(cid:259)(cid:186)(cid:53)(cid:82) 𝑥 𝑚𝑥 − 2𝑚 𝑥(2)(cid:104)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:254)(cid:105)(cid:131)(cid:28)(cid:77)(cid:32)(cid:228)(cid:37)(cid:229)(cid:230)(cid:29)(cid:131)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:29)(cid:70)(cid:82)
(3)(cid:104)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:79)(cid:71)(cid:80) , (cid:77)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34) +𝑚 ( +1) + +2 + (cid:29)(cid:35)(cid:82)
5 5 4 4 3 3
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)(1)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:345)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)𝑥(cid:25)1(cid:77)𝑥2(cid:346)(cid:40)(cid:109) 𝑚 𝑥1 𝑥2 − 2𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2
(2)0
(3)0
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:122)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:74)(cid:193)(cid:194)(cid:122)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:10)(cid:104) (cid:77) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥
+ + =0( 0)(cid:29)(cid:78)(cid:25)(cid:76)(cid:77) + = (cid:77) = (cid:82)
𝑏 𝑐
𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
(cid:85)1(cid:86)(cid:53)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34) = ( +1) ×2=( ) (cid:134)(cid:73)(cid:59)(cid:148)
2
2
(cid:85)2(cid:86)(cid:25)(cid:126)(cid:347)(cid:348)(cid:193)(cid:186)(cid:59) Δ + − 2𝑚 = 1 = −4 2 𝑚 + 1 (cid:77) 2𝑚− = 12 (cid:77)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:254)(cid:105)(cid:131)(cid:28)(cid:73)(cid:74)(cid:107)(cid:108)(cid:148)
2𝑚+
(cid:85)3(cid:86)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:74)𝑥(cid:193) 1 (cid:194)(cid:74)𝑥2 𝑚 ( +1 𝑚 ) 𝑥 + 1 2 ⋅ = 𝑥2 0(cid:122) 𝑚 ( +1) +2=0(cid:77)(cid:349)(cid:164)(cid:59) ( +1)
2 2 5
+2 =0(cid:77) ( +𝑚𝑥11) − 2+𝑚2 =𝑥10(cid:77)(cid:78)(cid:34)(cid:92)(cid:350)𝑚(cid:73)𝑥2(cid:74)−(cid:82)2𝑚 𝑥2 𝑚𝑥1 − 2𝑚
4 3 5 4 3
𝑥(cid:15)1(cid:135)(cid:40)𝑥(cid:20)1(cid:85)1(cid:86)(cid:40)𝑚(cid:10)𝑥(cid:165)2 (cid:38)−(cid:39)2𝑚(cid:345)(cid:153)(cid:78)𝑥(cid:63)2(cid:106)(cid:28)𝑥(cid:25)2(cid:82)
(cid:186)(cid:53)(cid:10) = ( +1) 2=( ) (cid:77)
2
2
(cid:52)(cid:263)∵(cid:80)Δ(cid:65)(cid:35)−(cid:77)2(𝑚 ) −4𝑚0(cid:77)⋅ 2𝑚−1
2
∴(cid:165)(cid:38)𝑚(cid:39)(cid:345)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)2𝑚(cid:28)−(cid:25)1(cid:82)≥
(cid:85)∴2(cid:86)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:25)(cid:80) , (cid:77)
(cid:81) + = 1 =2+ 1 (cid:77) 𝑥1𝑥2 = 2 (cid:82)
2𝑚+
𝑥(cid:165) 1 (cid:38)(cid:39)𝑥2 (cid:29)(cid:78)(cid:63)𝑚(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:254) 𝑚 (cid:105)(cid:131)𝑥1 (cid:28)⋅𝑥(cid:77) 2 𝑚
∵ (cid:29)(cid:35)(cid:80)±1(cid:77)
∴𝑚(cid:228)(cid:37)(cid:229)(cid:230)(cid:29)(cid:131)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:29)(cid:70)(cid:80)0(cid:82)
(cid:85)∴3(cid:86)(cid:40)(cid:10) , (cid:105)𝑚(cid:38)(cid:39) ( +1) +2=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
( ∵𝑥+11𝑥)2 +2=𝑚0𝑥(cid:77)− 2𝑚 ( 𝑥+1) +2=0(cid:77)
2 2
∴𝑚𝑥1−(2𝑚+1)𝑥1+2 =0(cid:77)𝑚𝑥2− 2𝑚( +𝑥12) +2 =0(cid:77)
5 4 3 5 4 3
(cid:168)∴(cid:169)𝑚𝑥(cid:78)1−(cid:34)(cid:92)2𝑚(cid:350)(cid:77)(cid:73)𝑥(cid:74)1 𝑥1 + 𝑚(𝑥2−+2𝑚1) +𝑥2 +𝑥2 2 + =0(cid:77)
5 5 4 4 3 3
(cid:134) + ( +𝑚1)𝑥1 +𝑥2 −+2𝑚2 + 𝑥1 =𝑥02(cid:82) 𝑥1 𝑥2
5 5 4 4 3 3
(cid:15)𝑚(cid:117)(cid:34)𝑥110-𝑥12(cid:20)−(cid:85)224𝑚-25(cid:137)(cid:96)𝑥1(cid:97)(cid:98)𝑥·2(cid:175)(cid:151)·(cid:103)𝑥1(cid:89)(cid:86)𝑥(cid:3)2 (cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:82)
2
(1)(cid:32) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:82) 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑘
𝑘(2)(cid:84)(cid:190) (cid:105)(cid:228)(cid:37)(cid:229)(cid:230)(cid:29)(cid:187)(cid:18)(cid:131)(cid:28)(cid:77)(cid:232)(cid:3)(cid:87) (cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)( ) + + =0(cid:26)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)
2 2
(cid:49)(cid:63)(cid:92)(cid:203)𝑘(cid:29)(cid:25)(cid:77)(cid:32)(cid:165)(cid:76) (cid:29)(cid:35)(cid:82) 𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥 𝑚−3 𝑥 −5𝑥 𝑘
(3)(cid:104)(cid:38)(cid:39) + =𝑚0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) , (cid:77)(cid:123)(cid:124) =4 (cid:77)(cid:32)(cid:165)(cid:76) (cid:29)(cid:35)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)(
𝑥
1)
−5𝑥25 𝑘 𝑥1𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑘
4
𝑘≤
9
(2)
10
(3)4
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:122)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:40)(cid:77)(cid:118)
(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:168)(cid:169)(cid:59)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:69)(cid:24)(cid:105)(cid:40)(cid:165)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:125)(cid:82)
(cid:85)1(cid:86)(cid:25)(cid:126) 0(cid:77)(cid:40)(cid:52)(cid:195)(cid:34)(cid:134)(cid:73)(cid:74)(cid:162)(cid:107)(cid:108)(cid:148)
(cid:85)2(cid:86)(cid:32)(cid:162)Δ(cid:29)≥(cid:35)(cid:80)6(cid:77)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:162) =2(cid:77) =3(cid:77)(cid:33)(cid:133)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:162) (cid:29)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:148)
(cid:85)3(cid:86)(cid:53)(cid:49)𝑘(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)𝑥1(cid:27)(cid:74)(cid:162)𝑥2+ =5(cid:77) = (cid:77)𝑚(cid:154)(cid:36)(cid:37) =4 (cid:32)(cid:162) , (cid:29)(cid:35)(cid:77)(cid:134)(cid:73)(cid:74)
(cid:162)(cid:107)(cid:108)(cid:82) 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:85)1(cid:86)(cid:40)(cid:10)(cid:25)(cid:126)(cid:21)(cid:208)(cid:74)(cid:10) = =( ) 0(cid:77)
2 2
25 Δ 𝑏 −4𝑎𝑐 −5 −4𝑘≥
(cid:40)(cid:74) (cid:148)
4
(cid:85)2(cid:86)𝑘(cid:40)≤(cid:10) (cid:105)(cid:228)(cid:37)(cid:229)(cid:230)(cid:29)(cid:187)(cid:18)(cid:131)(cid:28)(cid:77)
(cid:29)(cid:35)(cid:80)6∵(cid:77)𝑘
∴(cid:38)𝑘 (cid:39) + =0(cid:117)(cid:67)(cid:80) +6=0(cid:77)
2 2
∴(cid:40)(cid:74) 𝑥=−25(cid:77)𝑥 𝑘=3(cid:77) 𝑥 −5𝑥
(cid:49)(cid:50)𝑥1(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)𝑥2( ) + + =0(cid:26)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:153)(cid:49)(cid:63)(cid:92)(cid:203)(cid:29)(cid:25)(cid:77)
2 2
∵(cid:75) =2(cid:76)(cid:77)4(𝑚−1)𝑥+2+𝑥 𝑚−=30(cid:77) 𝑥 −5𝑥 𝑘
∴(cid:40)(cid:74)𝑥(cid:10) =1(cid:77)𝑚−1 𝑚−3
𝑚0(cid:77)
∵𝑚−11≠(cid:148)
∴(cid:75)𝑚≠=3(cid:76)(cid:77)9( )+3+ =0(cid:77)
𝑥 9 𝑚−1 𝑚−3
(cid:40)(cid:74)(cid:10) = (cid:77)
10
𝑚
9
(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:82)
10
∴(cid:85)𝑚 3(cid:86)(cid:40)(cid:10) (cid:77) (cid:105)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑥 −5𝑥 𝑘+ =5(cid:77) = (cid:77)
∴𝑥1 =𝑥42 (cid:77) 𝑥1𝑥2 𝑘
∵𝑥41 + 𝑥2=5(cid:77)
(cid:40)∴ (cid:74)𝑥2(cid:10) 𝑥2=1(cid:77)
=4𝑥(cid:77)2
∴𝑥1= =1×4=4(cid:82)
∴(cid:15)𝑘(cid:117)(cid:34)𝑥11𝑥02-2(cid:20)(cid:85)2025·(cid:181)(cid:182)(cid:234)(cid:351)·(cid:51)(cid:189)(cid:86)(cid:58)(cid:59) (cid:122) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:82)
2 2
(1)(cid:32)(cid:131)(cid:28) (cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:148) 𝑎 𝑏 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
(2)(cid:104)(cid:195)(cid:34)𝑘 + =0(cid:253)(cid:352)(cid:77)(cid:32)(cid:131)(cid:28) (cid:29)(cid:35)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)(𝑎1)±21𝑏(cid:77)−05 𝑘
(2)±1
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:148)
(cid:85)1(cid:86)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)(cid:353)(cid:153) 0(cid:77)(cid:32)(cid:162)k(cid:29)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:74)(cid:127)(cid:131)(cid:28)(cid:40)(cid:134)(cid:73)(cid:148)
(cid:85)2(cid:86)(cid:25)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:74)Δ(cid:127)≥+ =2(cid:77) = +2(cid:77)(cid:128)(cid:129)(cid:33)(cid:133)(cid:32)(cid:162)(cid:131)(cid:28)k(cid:29)(cid:35)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:20)(cid:85)1(cid:86)(cid:40)(cid:10) (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) 𝑎 +𝑏 𝑎=0(cid:153)2(cid:78)𝑎−(cid:63)𝑘(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 2
= +8 0∵(cid:77) 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
2
(cid:40)∴Δ(cid:74)(cid:10)4−4𝑘3 ≥ 3(cid:77)
(cid:131)(cid:28) −(cid:29)(cid:80)≤±𝑘1(cid:77)≤0(cid:148)
∴(cid:85)2(cid:86)(cid:40)𝑘 (cid:10) (cid:122) (cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + =0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 2
+ =2∵(cid:77)𝑎 𝑏= +2(cid:77) 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
2 2
∴𝑎 +𝑏 =𝑎 2𝑎−+𝑘2+ = + =0(cid:77)
2 2 2
∴(cid:40)𝑎(cid:74) 2=𝑏±−51(cid:77)2𝑎−𝑘 2𝑏−5 4−𝑘 2−5
(cid:131)(cid:28)𝑘 (cid:29)(cid:35)(cid:80)±1(cid:82)
∴(cid:15)(cid:117)(cid:34)𝑘10-3(cid:20)(cid:85)24-25(cid:137)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:354)(cid:355)(cid:356)·(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:160)(cid:86)(cid:357)(cid:358)(cid:49)(cid:10)(cid:193)(cid:194)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)
2
+ + =0( 0)(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25) , (cid:77)(cid:232)(cid:123)(cid:124)| + |=| |(cid:77)(cid:81)(cid:359)(cid:165)(cid:261)(cid:38)(cid:39)(cid:80)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:82)𝑎𝑥
(cid:83) 𝑏 (cid:84) 𝑥 (cid:10) 𝑐 9 𝑎 + ≠9 =0(cid:77)(cid:134)( ) 𝑥1 3𝑥2 =0(cid:77)(cid:40)(cid:74) 𝑥1 = 𝑥 3 2 , = 𝑥1 3⋅𝑥2
2 2 2 2
2
𝑥 − 𝑥 𝑥−3 𝑥− 𝑥1 𝑥2
+ 3 = × 3 (cid:77) 9 + 9 =0(cid:105)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:82)
2 2 2 2
2
∵∣3 ∣ ∣3 ∣ ∴𝑥 − 𝑥
(cid:357)(cid:358)(cid:51)(cid:10)(cid:143)(cid:279)(cid:28)(cid:11)(cid:360)(cid:347)(cid:348)(cid:287)(cid:361)(cid:362)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:363)(cid:364)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:29)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) (cid:77) (cid:77)(cid:81)(cid:10) + = , = (cid:77)(cid:255)(cid:365)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:27)(cid:77)(cid:293)(cid:366)(cid:359)(cid:272)“(cid:347)(cid:348)
𝑏 𝑐
(cid:193)(cid:186)”(cid:82)
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎𝑥1⋅𝑥2 𝑎
(1)(cid:38)(cid:39) +6=0 (cid:85)(cid:367)(cid:105)(cid:241)(cid:52)(cid:105)(cid:86)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:148)
2
(2)(cid:104)(cid:3)𝑥(cid:87)−x5(cid:29)𝑥(cid:38)(cid:39) ( +3) + =0(cid:105)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)(cid:81) =_____
2
(3)(cid:104)(cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:49)(cid:50)𝑥(cid:51)(cid:42)−(cid:38)𝑛(cid:39) 𝑥+(3𝑛 +1) + + =0(cid:105)𝑛 “(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)(cid:32)m(cid:29)(cid:35)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:107)(cid:108)(cid:20)(1)(cid:52)(cid:105) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 2𝑚
(2) 3 (cid:241) 3
2 4
−
(3)m(cid:29)(cid:35)(cid:80) (cid:241) 3 (cid:241) 3 (cid:82)
(cid:15)(cid:79)(cid:109)(cid:20)本题−1考查了−新2定−义运−算2，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的
关键．
(cid:85)1(cid:86)(cid:25)(cid:126)“(cid:347)(cid:348)(cid:193)(cid:186)”(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:54)(cid:55)(cid:148)
(cid:85)2(cid:86)(cid:25)(cid:126)“(cid:347)(cid:348)(cid:193)(cid:186)”(cid:36)(cid:37)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:77)(cid:74)(cid:127)| +3|=| |(cid:77)(cid:126)(cid:165)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:32)(cid:40)(cid:148)
1 𝑛 3𝑛
(cid:85)3(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:178)(cid:25)(cid:29)(cid:54)(cid:71)(cid:34)(cid:32)(cid:74) (cid:77)(cid:154)(cid:25)(cid:126)“(cid:347)(cid:348)(cid:193)(cid:186)”(cid:36)(cid:37)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:77)(cid:74)(cid:127)| +1|=
4
| +
|(cid:77)(cid:126)(cid:165)(cid:146)(cid:147)(cid:134)(cid:73)(cid:32)𝑚(cid:40)(cid:82)≤ 2𝑚
2
(cid:15)𝑚(cid:135)(cid:40)2(cid:20)𝑚(cid:85)1(cid:86)(cid:40)(cid:10)(cid:240)(cid:38)(cid:39) +6=0(cid:29)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:80) (cid:77) (cid:77)
2
𝑥 −5𝑥 𝑥1 𝑥2
+ = =5(cid:77) =6(cid:77)
𝑏
∴𝑥
5
1
6
𝑥
(cid:77)
2 −𝑎 𝑥1⋅𝑥2
∵| ≠+ | | |(cid:77)
∴(cid:38)𝑥1(cid:39) 𝑥2 ≠+𝑥16⋅=𝑥20(cid:52)(cid:105)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)
2
∴(cid:136)(cid:107)(cid:108)𝑥(cid:80)−(cid:10)5𝑥(cid:52)(cid:105)(cid:148)
(cid:85)2(cid:86)(cid:40)(cid:10) (cid:3)(cid:87)x(cid:29)(cid:38)(cid:39) ( +3) + =0(cid:105)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:77) + = +3(cid:77) = (cid:77)
2
| +3|=∵| |(cid:77) 𝑥 − 𝑛 𝑥 3𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑛 𝑥1⋅𝑥2 3𝑛
∴ 𝑛 3𝑛 3
(cid:75) +3= (cid:76)(cid:77)(cid:40)(cid:74) = (cid:148)
2
𝑛 3𝑛 𝑛
3
(cid:75) +3= (cid:76)(cid:77)(cid:40)(cid:74) = (cid:148)
4
(cid:85)𝑛 3(cid:86)(cid:40)(cid:10)−(cid:38)3𝑛(cid:39) +( 𝑛 +1 − ) + + =0(cid:153)(cid:78)(cid:63)(cid:106)(cid:28)(cid:25)(cid:77)
2 2
=( ∵+1) 𝑥 ( 2+𝑚 ) 𝑥 0(cid:77)𝑚 2𝑚
2 2
∴Δ 12𝑚 −4 𝑚 2𝑚 ≥
(cid:77)
4
∴𝑚≤(cid:38)(cid:39) +( +1) + + =0(cid:105)“(cid:70)(cid:219)(cid:38)(cid:39)”(cid:77)
2 2
∵| +𝑥 1|=2|𝑚 + 𝑥 |(cid:77)𝑚 2𝑚
2
(cid:75)∴ 2𝑚 +1= 𝑚+ 2𝑚(cid:76)(cid:77)
2
(cid:131)(cid:186)2𝑚(cid:74) =𝑚1(cid:77) 2𝑚
2
(cid:40)(cid:74) 𝑚=1(cid:85)(cid:242)(cid:243)(cid:86)(cid:241) = (cid:148)
(cid:75) 𝑚+1= (cid:76)𝑚(cid:77)−1
2
(cid:131)2(cid:186)𝑚(cid:74) +−𝑚+−12=𝑚0(cid:77)
2
(cid:40)(cid:74) 𝑚= 34𝑚(cid:241) = 3 (cid:148)
m(cid:29)𝑚(cid:35)(cid:80) −(cid:241)2 3𝑚 (cid:241)− −32 (cid:82)
∴ −1 −2 − −2